Олон гишүүнтийн бүх рационал язгуурыг ол. Олон гишүүнтийн рационал язгуурын тухай теорем. Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал үндэс. Хорнерын схем

Болъё

- n ≥ зэрэгтэй олон гишүүнт 1 Бодит буюу нийлмэл коэффициент бүхий z бодит эсвэл комплекс хувьсагчийн a i.

Дараах теоремыг нотолгоогүйгээр хүлээн авцгаая.

Теорем 1 Pn тэгшитгэл(z) = 0

дор хаяж нэг үндэстэй.

Дараах лемма-г баталъя.

Лемма 1 Pn(z) 1 - n, z зэрэгтэй олон гишүүнт
- тэгшитгэлийн үндэс: Pn.
(z 1) = 0 PnДараа нь Pn
- тэгшитгэлийн үндэс: хэлбэрээр зөвхөн хэлбэрээр төлөөлж болно:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) хаана Pn- 1(z) 1 .

- n зэрэгтэй олон гишүүнт -

Баталгаа PnҮүнийг батлахын тулд бид теоремыг хэрэглэнэ (олон гишүүнийг булан ба баганаар хуваах ба үржүүлэхийг үзнэ үү), үүний дагуу дурын хоёр олон гишүүнт P n. Pnболон Qk
- тэгшитгэлийн үндэс: , n ба k зэрэгтэй, n ≥ k-тэй бол дараах хэлбэртэй өвөрмөц дүрслэл байна.,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) Pnхаана Pn-k хаана Pn-- n-k зэрэгтэй олон гишүүнт, U k- 1 .

- k-ээс ихгүй олон гишүүнт 1 k = гэж тавья , Q k(z) = z - z 1
- тэгшитгэлийн үндэс: , Дараа нь,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + в 1 Энд c нь тогтмол. Энд z = z-г орлуулъя Pn:
- тэгшитгэлийн үндэс: мөн P n гэдгийг анхаарч үзээрэй;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0 Тиймээс c =
.
Дараа нь

Pn,

Q.E.D. PnОлон гишүүнт хүчин зүйл хийх 1 Тиймээс 1-р теорем дээр үндэслэн P n олон гишүүнт Pnдор хаяж нэг үндэстэй. Үүнийг z гэж тэмдэглэе
- тэгшитгэлийн үндэс: ,Pn.
. 1 Дараа нь Лемма 1 дээр үндэслэн: хаана Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2 Цаашилбал, хэрэв n > , дараа нь олон гишүүнт P n-Тиймээс c =
Мөн дор хаяж нэг үндэстэй бөгөөд бид үүнийг z гэж тэмдэглэдэг ,Pn-;
- тэгшитгэлийн үндэс: 1 (z 2) = 0.

Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- тэгшитгэлийн үндэс: Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид n тоо z байна гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
1 , z 2 , ... , z n тиймэрхүү(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1) Гэхдээ П 0(z).

- энэ бол тогтмол. z n-ийн коэффициентүүдийг тэнцүүлэхдээ энэ нь n-тэй тэнцүү болохыг олж мэднэ. Pn.

Үүний үр дүнд бид олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох томъёог олж авна. (1) Pn (1) дараах байдлаар бичиж болно.
(2) Гэхдээ П (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Энд i ≠ j-ийн хувьд z i ≠ z j байна. 1 Хэрэв n i = , Тэрүндэс z iэнгийн гэж нэрлэдэг . Энэ нь хэлбэрт хүчин зүйлчлэлд ордог(z-z i) 1 Хэрэв n i = , Тэрүндэс .Хэрэв n i > олон язгуур гэж нэрлэдэг.

n i.

Энэ нь n i үндсэн хүчин зүйлийн үржвэр болгон хүчин зүйлчлэлд ордог.

(z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i

- n зэрэгтэй олон гишүүнт -

Бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтүүд

Лемма 2
,
Бодит коэффициенттэй олон гишүүнтийн цогц язгуур бол , , нийлмэл нийлмэл тоо нь мөн олон гишүүнтийн үндэс, .
Үнэхээр олон гишүүнтийн , ба коэффициентүүд нь бодит тоо бол . (2) Тиймээс цогц язгуурууд нь нийлмэл коньюгат утгуудтай хосоор хүчин зүйлчлэлд ордог.
(3) ;
.

хаана , бодит тоонууд.

Дараа нь задрал 0 Хүчин зүйлийн бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийг зөвхөн бодит тогтмолууд байгаа хэлбэрээр төлөөлж болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх аргаДээр дурдсаныг харгалзан олон гишүүнтийг үржүүлэхийн тулд P n (z) = тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох хэрэгтэй. (3) .

мөн тэдгээрийн олон талт байдлыг тодорхойлно. -тэй үржүүлэгч
1. нарийн төвөгтэй үндэс 1 нийлмэл коньюгатуудтай бүлэглэсэн байх ёстой. Дараа нь тэлэлтийг томъёогоор тодорхойлно Тиймээс олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох арга нь дараах байдалтай байна..
2.1. z үндэсийг олох 1 тэгшитгэл Pn (z 1) = 0 (z 1) = 0 1 :
.
Хэрэв үндэс нь zбодит, дараа нь бид өргөтгөлийн хүчин зүйл нэмнэ (1) (z - z 1)
2.2. 1(z)

,
, цэгээс эхлэн Бид бүх үндсийг олох хүртэл.Хэрэв язгуур нь төвөгтэй бол нийлмэл нийлмэл тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно. Дараа нь өргөтгөл нь хүчин зүйл орно хаана б.
1 = - 2 x 1 , в 1 = x 1 2 + y 1 2 , вЭнэ тохиолдолд бид өргөтгөлийн хүчин зүйлийг нэмнэ 2 :
.
(z 2 + b 1 z + c 1) P n (z) олон гишүүнтийг хуваанабодит, дараа нь бид өргөтгөлийн хүчин зүйл нэмнэ (1) (z - z 1)

.

Үүний үр дүнд бид n градусын олон гишүүнтийг олж авна -

Дараа нь бид P n- олон гишүүнт үйл явцыг давтан хийнэ.

2(z)
.

Олон гишүүнтийн үндсийг олох

Олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох гол ажил бол түүний үндсийг олох явдал юм. Харамсалтай нь үүнийг үргэлж аналитик байдлаар хийх боломжгүй юм. Энд бид олон гишүүнтийн үндсийг аналитик аргаар олох хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзэх болно.
Нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнтийн үндэс Нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт нь шугаман функц юм. Энэ нь нэг үндэстэй. Өргөтгөл нь z хувьсагчийг агуулсан зөвхөн нэг хүчин зүйлтэй байна:.
Дискриминант нь бол тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай байна.
, .
Дараа нь хүчин зүйлчлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв ялгаварлагч D = 0 , тэгвэл тэгшитгэл нь нэг давхар язгууртай байна:
;
.
Хэрэв ялгаварлагч Д< 0 , тэгвэл тэгшитгэлийн үндэс нь төвөгтэй,
.

Хоёроос дээш зэрэгтэй олон гишүүнт

3 ба 4-р зэргийн олон гишүүнтийн үндсийг олох томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь том хэмжээтэй тул ховор хэрэглэгддэг. 4-р зэрэгтэй олон гишүүнтийн язгуурыг олох томьёо байдаггүй. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд олон гишүүнт хүчин зүйл хийх боломжтой байдаг.

Бүх үндэсийг олох

Коэффициент нь бүхэл тоо бүхий олон гишүүнт бүхэл язгууртай гэдгийг мэддэг бол бүх боломжит утгыг хайж олох боломжтой.

Лемма 3

Олон гишүүнтийг үзье
,
a i коэффициентүүд нь бүхэл тоонууд нь бүхэл язгуур z байна 1 . 0 .

- n зэрэгтэй олон гишүүнт -

Тэгвэл энэ язгуур нь а тооны хуваагч болно Pn P n тэгшитгэлийг дахин бичье
.
хэлбэрээр:
Дараа нь бүхэлд нь Мз.
1 = - 0 1 :
.
z-д хуваана

M нь бүхэл тоо тул M нь бүхэл тоо юм. Q.E.D. 0 Тиймээс хэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд бүхэл тоо бол бүхэл язгуурыг олохыг оролдож болно. Үүнийг хийхийн тулд та чөлөөт нэр томьёоны бүх хуваагчийг олох хэрэгтэй Pn тэгшитгэлба P n тэгшитгэлд орлуулах замаар
, тэдгээр нь энэ тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгана уу.Анхаарна уу Pn тэгшитгэл. Хэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь рационал тоо бол P n тэгшитгэлийг үржүүлнэ.

a i тоонуудын нийтлэг хуваагчаар бид бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн тэгшитгэлийг олж авна. Олж байна

оновчтой үндэс 1 Хэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь бүхэл тоо бөгөөд бүхэл язгуур байхгүй бол n ≠
, та оновчтой үндсийг олохыг оролдож болно. Үүнийг хийхийн тулд та орлуулалт хийх хэрэгтэй
z = y/a n 1 тэгшитгэлийг n n-ээр үржүүлнэ.
.

Үүний үр дүнд бид бүхэл тооны коэффициент бүхий y хувьсагчийн олон гишүүнтийн тэгшитгэлийг олж авна. Дараа нь бид чөлөөт гишүүний хуваагчдаас энэ олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг хайж олно. Хэрэв бид ийм язгуур y i олсон бол x хувьсагч руу шилжвэл оновчтой язгуурыг олж авна.

z i = y i / a n .

Ашигтай томъёо
- тэгшитгэлийн үндэс: Бид олон гишүүнт хүчин зүйлд ашиглаж болох томьёог танилцуулж байна.,
Ерөнхийдөө олон гишүүнтийг өргөжүүлэх 0 (z) = z n - a 0
хаана а 0 .
- цогцолбор бол та түүний бүх үндсийг олох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. 0 z n = a
.
Энэ тэгшитгэлийг a-г илэрхийлснээр амархан шийдэж болно 0 модуль r ба аргумент φ-ээр: оноос хойш аХэрэв бид аргумент дээр нэмбэл өөрчлөгдөхгүй 0 P n тэгшитгэлийг дахин бичье
,
2π
;
.
, дараа нь төсөөлөөд үз дээ Энд k нь бүхэл тоо. Дараа нь k утгыг оноож k =
.

0, 1, 2, ... n-1

, бид олон гишүүнтийн n үндэсийг авна. Дараа нь түүний хүчин зүйлчлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Биквадрат олон гишүүнт үндсийг олохгүйгээр үржүүлэх боломжтой.

Хэзээ, бидэнд байна:

,
Хаана.

Бикуб ба квадрат олон гишүүнт

Олон гишүүнтийг авч үзье:
.
Үүний үндэс нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.
.
Үүнийг t = z n-ийг орлуулах замаар квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.
а 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Энэ тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид түүний үндсийг олно, t 1 ,т 2 .
.
Дараа нь бид өргөтгөлийг дараах хэлбэрээр олно. 1 Дараа нь дээр дурдсан аргыг ашиглан бид z n - t-ийг хүчин зүйл болгон хуваана 2 ба z n - t

.

Эцэст нь бид цогц коньюгат үндэс агуулсан хүчин зүйлсийг бүлэглэв. Давтагдах олон гишүүнтүүдолон гишүүнт гэж нэрлэдэг

буцаах боломжтой
.

, хэрэв түүний коэффициентүүд тэгш хэмтэй бол: -1 Рефлекс олон гишүүнтийн жишээ: + 1 Хэрэв давтагдах олон гишүүнт n-ийн зэрэг нь сондгой байвал ийм олон гишүүнт z = үндэстэй байна.

. Ийм олон гишүүнтийг z-д хуваах, бид зэрэгтэй давтагдах олон гишүүнтийг олж авдаг

Энэ нийтлэлд бид судалж эхлэх болно

рационал тоо

. Энд бид рационал тоонуудын тодорхойлолтыг өгч, шаардлагатай тайлбарыг өгч, рационал тооны жишээг өгөх болно. Үүний дараа бид өгөгдсөн тоо оновчтой эсэхийг хэрхэн тодорхойлох талаар анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци. Рационал тооны тодорхойлолт ба жишээЭнэ хэсэгт бид оновчтой тооны хэд хэдэн тодорхойлолтыг өгөх болно. Үг хэллэгийн ялгааг үл харгалзан эдгээр бүх тодорхойлолтууд ижил утгатай: рационал тоо нь бүхэл тоо, бутархай тоог нэгтгэдэгтэй адил бүхэл тоо нь натурал тоо, тэдгээрийн эсрэг болон тэг тоог нэгтгэдэг. Өөрөөр хэлбэл рационал тоо нь бүхэл ба бутархай тоог ерөнхийд нь илэрхийлдэг.

-ээс эхэлье

• рационал тоонуудын тодорхойлолт
• , энэ нь хамгийн жам ёсны байдлаар ойлгогддог.
• Тодорхойлолтоос харахад оновчтой тоо нь:
• Дурын натурал тоо n. Үнэн хэрэгтээ та ямар ч натурал тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, жишээлбэл, 3=3/1.
• Аливаа бүхэл тоо, ялангуяа тэг тоо. Үнэн хэрэгтээ аливаа бүхэл тоог эерэг бутархай, сөрөг бутархай эсвэл тэг гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 26=26/1, .

Энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тул ямар ч төгсгөлгүй үе бус аравтын бутархай рационал тоо БИШ гэдэг нь тодорхой байна.

Одоо бид амархан өгч чадна рационал тоонуудын жишээ. 4, 903, 100,321 тоо нь натурал тоо учраас рационал тоо юм. 58, −72, 0, −833,333,333 бүхэл тоо нь рационал тооны жишээ юм. 4/9, 99/3 энгийн бутархай нь мөн рационал тооны жишээ юм. Рационал тоо нь бас тоо юм.

Дээрх жишээнүүдээс харахад эерэг ба сөрөг рационал тоонууд байх ба тэг рационал тоо нь эерэг ч биш сөрөг ч биш юм.

Рационал тоонуудын дээрх тодорхойлолтыг илүү товч хэлбэрээр томъёолж болно.

Тодорхойлолт.

Рационал тоо z/n бутархай хэлбэрээр бичиж болох тоонууд бөгөөд z нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм.

Рационал тоонуудын энэхүү тодорхойлолт нь өмнөх тодорхойлолттой дүйцэхүйц гэдгийг баталъя. Бутархайн шугамыг хуваах тэмдэг гэж үзэж болно гэдгийг бид мэднэ, тэгвэл бүхэл тоог хуваах шинж чанар, бүхэл тоог хуваах дүрмээс дараах тэгшитгэлийн хүчинтэй байдал гарч ирнэ. Тиймээс энэ бол нотолгоо юм.

Энэ тодорхойлолт дээр үндэслэн рационал тоонуудын жишээг өгье. −5, 0, 3, мөн гэсэн тоонууд рационал тоо, учир нь тэдгээрийг бүхэл тоологч болон хэлбэрийн натурал хуваагчтай бутархай хэлбэрээр бичиж болно.

Рационал тоонуудын тодорхойлолтыг дараах томъёогоор өгч болно.

Тодорхойлолт.

Рационал тоонь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр бичиж болох тоонууд юм.

Энгийн бутархай бүр нь төгсгөлтэй эсвэл үечилсэн аравтын бутархайтай тохирч байх ба эсрэгээр, ямар ч бүхэл тоо нь аравтын бутархайн дараа тэгтэй аравтын бутархайтай холбогдож болох тул энэ тодорхойлолт нь эхний тодорхойлолттой адил юм.

Жишээлбэл, 5, 0, −13 тоонууд нь рационал тоонуудын жишээ юм, учир нь тэдгээрийг дараах аравтын бутархай 5.0, 0.0, −13.0, 0.8, −7, (18) хэлбэрээр бичиж болно.

Энэ цэгийн онолыг дараах мэдэгдлээр дуусгая.

• бүхэл тоо ба бутархай (эерэг ба сөрөг) нь оновчтой тооны багцыг бүрдүүлдэг;
• рационал тоо бүрийг бүхэл тоон болон натурал хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба ийм бутархай бүр нь тодорхой рационал тоог илэрхийлдэг;
• рационал тоо бүрийг төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба ийм бутархай бүр нь рационал тоог илэрхийлдэг.

Энэ тоо оновчтой юу?

Өмнөх догол мөрөнд дурын натурал тоо, дурын бүхэл тоо, энгийн бутархай, холимог тоо, төгсгөлтэй аравтын бутархай, түүнчлэн үечилсэн аравтын бутархай нь рационал тоо болохыг олж мэдсэн. Энэхүү мэдлэг нь олон тооны бичсэн тоонуудаас оновчтой тоог "таних" боломжийг бидэнд олгодог.

Харин тоо нь зарим , эсвэл гэх мэт хэлбэрээр өгөгдсөн бол энэ тоо оновчтой эсэх асуултад хэрхэн хариулах вэ? Ихэнх тохиолдолд хариулахад маш хэцүү байдаг. Бодлын зарим чиглэлийг зааж өгье.

Хэрэв тоог зөвхөн рационал тоо, арифметик тэмдэг (+, −, · ба:) агуулсан тоон илэрхийлэл болгон өгсөн бол энэ илэрхийллийн утга нь рационал тоо байна. Энэ нь рационал тоонуудтай үйлдлүүд хэрхэн тодорхойлогдсоноос хамаарна. Жишээлбэл, илэрхийлэл дэх бүх үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид 18 оновчтой тоог авна.

Заримдаа, илэрхийлэл болон бусад зүйлийг хялбаршуулсаны дараа нарийн төвөгтэй төрөл, өгөгдсөн тоо оновчтой эсэхийг тодорхойлох боломжтой болно.

Үргэлжлүүлье. Аливаа натурал тоо рационал байдаг тул 2-ын тоо нь оновчтой тоо юм. Дугаар нь яах вэ? Энэ нь оновчтой юу? Үгүй ээ, энэ бол оновчтой тоо биш, энэ бол иррационал тоо юм (энэ баримтыг зөрчилдөөнөөр нотлох баримтыг 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт доор дурдсан эх сурвалжийн жагсаалтад оруулсан болно). Мөн квадрат язгуур нь батлагдсан натурал тооязгуур нь зарим натурал тооны төгс квадрат тоо агуулсан тохиолдолд л оновчтой тоо юм. Жишээлбэл, 81 = 9 2 ба 1 024 = 32 2 тул рационал тоонууд ба 7 ба 199 тоонууд нь оновчтой биш тул төгс квадратууднатурал тоонууд.

Энэ тоо оновчтой юу, үгүй ​​юу? IN энэ тохиолдолдТиймээс энэ тоо оновчтой гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тоо оновчтой юу? Бүхэл тооны язгуурын k-р язгуур нь язгуур тэмдгийн доорх тоо нь зарим нэг бүхэл тооны k-р зэрэгтэй байвал рационал тоо болох нь батлагдсан. Тиймээс тав дахь зэрэг нь 121 байх бүхэл тоо байхгүй тул энэ нь оновчтой тоо биш юм.

Зөрчилдөөний арга нь зарим тоонуудын логарифм нь ямар нэг шалтгаанаар оновчтой тоо биш гэдгийг батлах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, энэ нь оновчтой тоо биш гэдгийг баталцгаая.

Эсрэгээр нь, өөрөөр хэлбэл, рационал тоо бөгөөд энгийн бутархай m/n гэж бичиж болно гэж үзье. Дараа нь бид дараах тэгшитгэлийг өгнө: . Зүүн талд байгаа тул сүүлчийн тэгш байдал боломжгүй юм сондгой тоо 5 n, баруун талд нь тэгш тоо 2 м байна. Тиймээс бидний таамаглал буруу, тиймээс оновчтой тоо биш юм.

Эцэст нь хэлэхэд, тоонуудын оновчтой эсвэл оновчтой бус байдлыг тодорхойлохдоо гэнэтийн дүгнэлт хийхээс зайлсхийх хэрэгтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Жишээлбэл, та π ба e-ийн иррационал тоонуудын үржвэр нь иррационал тоо гэдгийг шууд батлах ёсгүй, энэ нь "илэрхий мэт" боловч нотлогдоогүй; Эндээс "Яагаад бүтээгдэхүүн оновчтой тоо байх ёстой юм бэ?" гэсэн асуулт гарч ирнэ. Яагаад болохгүй гэж, учир нь үржвэр нь рационал тоог өгдөг иррационал тоонуудын жишээг өгч болно: .

Мөн тоо болон бусад олон тоо оновчтой эсэх нь тодорхойгүй байна. Жишээлбэл, иррациональ хүчин чадал нь рационал тоо байдаг иррационал тоонууд байдаг. Дүрслэхийн тулд бид хэлбэрийн зэрэг, энэ зэргийн суурь ба илтгэгч нь рационал тоо биш харин , 3 нь рационал тоо юм.

Лавлагаа.

• Математик. 6-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Н. Я Виленкин болон бусад]. - 22-р хэвлэл, Илч. - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Энэ олон гишүүнт бүхэл тоон коэффициенттэй. Хэрэв бүхэл тоо нь энэ олон гишүүнтийн язгуур бол энэ нь 16-ын хуваагч болно. Тиймээс хэрэв өгөгдсөн олон гишүүнт бүхэл язгууртай бол эдгээр нь зөвхөн ±1 тоо байж болно; ±2; ±4; ±8; ±16. Шууд баталгаажуулснаар бид 2-ын тоо нь энэ олон гишүүнтийн үндэс, өөрөөр хэлбэл x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x) гэдэгт итгэлтэй байна, энд Q (x) нь олон гишүүнт юм. хоёр дахь зэрэг. Үүний үр дүнд олон гишүүнт хүчин зүйлүүдэд задардаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (x - 2) юм. Q (x) олон гишүүнтийн төрлийг олохын тулд бид Horner схемийг ашигладаг. Энэ аргын гол давуу тал нь тэмдэглэгээний нягт, олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хурдан хуваах чадвар юм. Үнэн хэрэгтээ Хорнерын схем нь бүлэглэх аргыг бүртгэх өөр нэг хэлбэр боловч сүүлчийнхээс ялгаатай нь энэ нь бүрэн харааны бус юм. Хариултыг (факторжуулалт) эндээс өөрөө олж авдаг бөгөөд бид үүнийг олж авах үйл явцыг олж харахгүй байна. Бид Хорнерын схемийг нарийн нотлох ажилд оролцохгүй, зөвхөн энэ нь хэрхэн ажилладагийг харуулах болно.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

Тэгш өнцөгт хүснэгтэд 2 × (n + 2), n нь олон гишүүнтийн зэрэг, (зураг харна уу) олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг дээд мөрөнд дараалан бичсэн (зүүн дээд буланд чөлөөтэй үлдсэн). Зүүн доод буланд тоог бичнэ үү - олон гишүүнтийн үндэс (эсвэл x 0 тоо, хэрэв бид хоёр гишүүнд (x - x 0) хуваахыг хүсвэл), бидний жишээнд энэ нь 2 дугаар юм. Дараа нь бүхэл бүтэн хүснэгтийн доод мөрийг дараах дүрмийн дагуу бөглөнө.

Дээр байгаа нүдний тоог доод шугамын хоёр дахь нүд рүү "шилжүүлсэн", өөрөөр хэлбэл 1. Дараа нь тэд үүнийг хийдэг. Тэгшитгэлийн язгуурыг (2-р тоо) сүүлчийн бичсэн тоогоор (1) үржүүлж, үр дүнг дараагийн чөлөөт нүдний дээд эгнээнд байгаа тоогоор нэмнэ, бидний жишээнд:

Бид үр дүнг −2-ын доорх чөлөөт нүдэнд бичнэ. Дараа нь бид ижил зүйлийг хийнэ:
Хуваалтын үр дүнд бий болсон олон гишүүнтийн зэрэг нь анхныхаас үргэлж 1-ээр бага байдаг. Тэгэхээр:

Олон гишүүнтийн рационал язгуурыг олох асуулт е(x)Q[x] (рациональ коэффициенттэй) нь олон гишүүнтийн оновчтой язгуурыг олох асуулт руу буурдаг. к ∙ е(x)З[x] (бүхэл тоон коэффициенттэй). Энд тоо байна кнь өгөгдсөн олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Шаардлагатай, гэхдээ үгүй хангалттай нөхцөлбүхэл тоон коэффициент бүхий олон гишүүнт рационал язгуур байгаа нь дараах теоремоор өгөгдөнө.

Теорем 6.1 (бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал үндэс дээр). Хэрэв – олон гишүүнтийн рационал үндэсе(x) = а n  x n + + …+ а 1  x + а 0 -тай бүхэлд нь коэффициент, ба(х, q) = 1, дараа нь бутархайн дугаархчөлөөт нэр томъёоны хуваагч a 0 , ба хуваагчqнь тэргүүлэх коэффициентийн хуваагч a 0 .

Теорем 6.2.Хэрэв Q ( Хаана (х, q) = 1) олон гишүүнтийн рационал үндэс юм е(x) бүхэл тооны коэффициентүүдтэй, дараа нь
–бүхэл тоо.

Жишээ.Олон гишүүнтийн бүх рационал язгуурыг ол

е(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.

1. Теорем 6.1-ээр: хэрэв – олон гишүүнтийн рационал үндэс е(x), (Хаана( х, q) = 1), Тэр а 0 = 1 х, а n = 6 q. Тийм ч учраас х { 1}, q (1, 2, 3, 6) гэсэн утгатай

.

2. Энэ нь мэдэгдэж байна (Үндэслэл 5.3) тоо Аолон гишүүнтийн үндэс юм е(x) зөвхөн хэрэв байгаа бол е(x)-д хуваагдана ( х – а).

Тиймээс 1 ба –1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгах е(x) та Horner-ийн схемийг ашиглаж болно:

е(1) = 60,е(–1) = 120 тул 1 ба –1 нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм е(x).

3. Үлдсэн тоонуудын заримыг нь устгах
, бид 6.2 теоремыг ашиглана. Хэрэв илэрхийлэл эсвэл
харгалзах тоологч утгуудын бүхэл утгыг хүлээн авна хба хуваагч q, дараа нь хүснэгтийн харгалзах нүднүүдэд (доороос үзнэ үү) бид "ts" үсгийг бичнэ, эс тэгвэл "dr" гэж бичнэ.

=
=

4. Хорнерын схемийг ашиглан шүүж дууссаны дараа үлдсэн тоо байх эсэхийг шалгана
үндэс е(x). Эхлээд хувааж үзье е(x) хүртэл ( X – ).

Үүний үр дүнд бид: е(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) ба – үндэс е(x). Хувийн q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2-ыг ( X + ).

Учир нь q (–) = 30 бол (-) нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм q(x), улмаар олон гишүүнт е(x).

Эцэст нь бид олон гишүүнтийг хуваана q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 дээр ( X – ).

Хүлээн авсан: q () = 0, өөрөөр хэлбэл – үндэс q(x), тиймээс үндэс нь юм е (x). Тиймээс олон гишүүнт е (x) нь хоёр оновчтой үндэстэй: ба.

Бутархайн хуваагч дахь алгебрийн иррационал байдлаас ангижрах

Сургуулийн хичээл дээр бутархайн хуваагч дахь иррациональ байдлаас ангижрахын тулд тодорхой төрлийн бодлогуудыг шийдвэрлэхдээ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хуваагчтай нэгтгэсэн тоогоор үржүүлэхэд хангалттай.

Жишээ. 1.т =
.

Энд үржүүлгийн товчилсон томъёо (квадратуудын ялгаа) нь хуваагч дээр ажилладаг бөгөөд энэ нь хуваарь дахь үндэслэлгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөлөх боломжийг олгодог.

2. Бутархайн хуваагч дахь оновчгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөл

т =
. Илэрхийлэл - тоонуудын зөрүүний бүрэн бус квадрат А=
Тэгээд б= 1. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан А 3 – б 3 = (a +б) · ( а 2 – ab + б 2 ), бид үржүүлэгчийг тодорхойлж чадна м = (a +б) =
+ 1, үүгээр бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй тбутархайн хуваарь дахь оновчгүй байдлаас ангижрах т. Тиймээс,

Үржүүлэх товчилсон томъёо ажиллахгүй тохиолдолд бусад аргыг ашиглаж болно. Доор бид теоремыг томъёолох болно, үүний нотолгоо нь ялангуяа илүү төвөгтэй нөхцөл байдалд бутархайн хуваагч дахь иррационал байдлаас ангижрах алгоритмыг олох боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт 6.1.Тоо zдуудсан талбар дээрх алгебрийн Ф, олон гишүүнт байвал е(x) Ф[x], үндэс нь z, эс бөгөөс тоо zдуудсан талбай дээгүүр трансцендентФ.

Тодорхойлолт 6.2.Талбай дээрх алгебрийн зэрэг Ф тоо zталбар дээрх бууруулж болохгүй байдлын зэрэг гэж нэрлэдэг Фолон гишүүнт х(x)Ф[x], язгуур нь тоо юм z.

Жишээ. z = тоо гэдгийг харуулъя
талбар дээр алгебрийн байна Qмөн түүний зэрэглэлийг ол.

Талбай дээрх бууруулж болохгүйг олцгооё Qолон гишүүнт х(X), түүний үндэс нь x =
. Хоёр талын тэгш байдлыг дээшлүүлье x =
дөрөв дэх хүчийг бид авна X 4 = 2 эсвэл X 4 – 2 = 0. Тэгэхээр, х(X) = X 4 – 2, мөн тооны хүч zтэнцүү байна градус х(X) = 4.

Теорем 6.3 (бутархайн хуваагч дахь алгебрийн иррационал байдлаас ангижрах тухай).Болъёz– талбар дээрх алгебрийн тооФградусn. Маягтын илэрхийлэлт = ,Хаана е(x), (x)Ф[x], (z) 0

зөвхөн хэлбэрээр төлөөлүүлж болно:

т = -тай n -1 z n -1 + в n -2 z n -2 + … + в 1 z + в 0 , в би Ф.

Бид тодорхой жишээн дээр бутархайн хуваагч дахь утгагүй байдлаас ангижрах алгоритмыг үзүүлэх болно.

Жишээ.Бутархайн хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөл:

т =

1. Бутархайн хуваагч нь олон гишүүнтийн утга юм (X) = X 2 – X+1 хэзээ X =
. Өмнөх жишээ үүнийг харуулж байна
– талбар дээрх алгебрийн тоо Q 4-р зэрэг, учир нь энэ нь буурахгүй оверын үндэс юм Qолон гишүүнт х(X) = X 4 – 2.

2. GCD-ийн шугаман тэлэлтийг олъё ( (X), х(x)) Евклидийн алгоритмыг ашиглан.

_x 4 – 2 | x 2 –х + 1

x 4 –х 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 –х 2 – 2

x 3 –х 2 + x

x 2 –х + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Тиймээс, GCD ( (X), х(x)) = r 2 = 7. Түүний шугаман тэлэлтийг олъё.

Олон гишүүнт тэмдэглэгээг ашиглан Евклидийн дарааллыг бичье.

х(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =х(x) – (x) · q 1 (x)

(x) = r 1 (x) · q 2 (x) + r 2 (x)
r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x)

r 1 (x) = r 2 (x) · q 2 (x).

7=-г орлуулбал тэгшитгэлд оруулъя r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x) үлдэгдэл утга r 1 (x) = х(x) – (x) · q 1 (x), хувиргасны дараа бид GCD-ийн шугаман өргөтгөлийг олж авдаг ( (X), х(x)): 7 = х(x) · (– q 2 (x)) + (x) · . Хэрэв бид тэмдэглэгээний оронд сүүлчийн тэгшитгэлд харгалзах олон гишүүнтүүдийг орлуулж, үүнийг харгалзан үзвэл х(
) = 0, тэгвэл бидэнд:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. (1) тэгшитгэлээс хэрвээ бутархайн хуваагч ттоогоор үржүүлнэ м= байвал 7 гарна. Тиймээс,

т =
=.

АРГА 16.Хичээлийн сэдэв: Олон гишүүнтийн стандарт хэлбэр

Хичээлийн төрөл: хичээлийн шалгалт, мэдлэг, ур чадварыг хянах

Хичээлийн зорилго:

Олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулах чадвараа шалгаарай

Оюутнуудын логик сэтгэлгээ, анхаарлыг хөгжүүлэх

Бие даасан байдлыг дэмжих

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч

Товч мэдээлэл

Бие даасан ажил.

1. Өгүүлбэрүүдийг гүйцээнэ үү:

a) Нэг гишүүнтийн нийлбэрийг агуулсан илэрхийллийг ... (олон гишүүн) гэнэ.

b) Стандарт мономиалуудаас бүрдсэн, ижил төстэй гишүүнчлэл агуулаагүй олон гишүүнтийг ... (стандарт олон гишүүнт) гэнэ.

в) Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт багтсан мономиалуудын хамгийн их хүчийг ... гэж нэрлэдэг (олон гишүүнтийн зэрэг).

г) Олон гишүүнтийн зэргийг тодорхойлохын өмнө та... (стандарт хэлбэрт оруулах) хэрэгтэй.

e) Олон гишүүнтийн утгыг олохын тулд эхнийх нь... (олон гишүүнийг стандарт хэлбэрээр харуулах), хоёр дахь ... (хувьсагчийн утгыг энэ илэрхийлэлд орлуулах) хийх хэрэгтэй.

2. Олон гишүүнтийн утгыг ол:

A) 2 а 4 - ab+2 б 2 цагт а=-1, б=-0,5

б) x 2 +2 xy+ y 2 цагт x=1,2, y=-1,2

3. Олон гишүүнтийг стандарт хэлбэр болгон бууруул:

A) -5 цаг 2 + 7а 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 - 4 цаг 2 – 8а 2 X;

б) (5х 2 – 7х – 13) – (3х 2 – 8x + 17);

V) 2a – (1.4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6.4av);

G) (2сек 2 – 1.6с + 4) – ((10.6с.) 2 + 4,4 сек – 0,3) – (3,6 сек 2 – 7с – 0.7));

4. Олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулж ямар утгатай болохыг олж мэд Xтүүний утга нь 1:

A) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;

б) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07

Тасалбарын дугаар 17.Бүхэл тоонд хуваагдах чадвар