Тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ хөрвүүлэх үеийн инерцийн момент. Тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ хөрвүүлэх үед энергийн моментуудын өөрчлөлт. Статик мөчүүд. Хүндийн төвийг тодорхойлох

Хавтгай дүрсийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгүүдийг төв тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Төв тэнхлэгийг тойрсон инерцийн моментийг төв инерцийн момент гэнэ.

Теорем

Аливаа тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент нь үүнтэй параллель байрлах төв тэнхлэгийн инерцийн момент ба зургийн талбайн үржвэр ба тэнхлэгүүдийн хоорондох зайны квадраттай тэнцүү байна.

Энэ теоремыг батлахын тулд талбай нь тэнцүү байх дурын хавтгай дүрсийг авч үзье А , хүндийн төв цэг дээр байрлана ХАМТ , мөн тэнхлэгийг тойрсон инерцийн төв момент x болно Ix .
Тодорхой тэнхлэгтэй харьцуулахад зургийн инерцийн моментийг тооцоолъё x 1 , төв тэнхлэгтэй параллель ба түүнээс хол зайд байрладаг А (будаа).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Үүссэн томъёонд дүн шинжилгээ хийхдээ эхний гишүүн нь төв тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн тэнхлэгийн момент, хоёр дахь гишүүн нь төв тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ зургийн талбайн статик момент (тиймээс энэ нь тэнцүү байна) гэдгийг бид тэмдэглэж байна. тэг), интеграцийн дараах гурав дахь нэр томъёог бүтээгдэхүүнээр илэрхийлж болно а 2 А , өөрөөр хэлбэл, үр дүнд нь бид дараах томъёог авна.

I x1 = I x + a 2 A- теорем батлагдсан.

Теорем дээр үндэслэн бид үүнийг дүгнэж болно Цуврал зэрэгцээ тэнхлэгүүдийн хувьд хавтгай дүрсийн тэнхлэгийн инерцийн момент нь төв тэнхлэгтэй харьцуулахад хамгийн бага байх болно. .

Үндсэн тэнхлэг ба инерцийн үндсэн моментууд

Координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн моментууд нь хавтгай дүрсийг төсөөлье Ix Тэгээд би y , мөн гарал үүсэлтэй харьцуулахад туйлын инерцийн момент нь тэнцүү байна би ρ . Өмнө нь тогтоосны дагуу,

I x + I y = I ρ.

Хэрэв координатын тэнхлэгүүдийг хавтгайдаа координатын гарал үүслийн эргэн тойронд эргүүлбэл туйлын инерцийн момент өөрчлөгдөхгүй, тэнхлэгийн моментууд өөрчлөгдөх ба тэдгээрийн нийлбэр тогтмол хэвээр байх болно. Хувьсагчдын нийлбэр тогтмол байдаг тул тэдгээрийн нэг нь буурч, нөгөө нь өсдөг ба эсрэгээр.
Үүний үр дүнд тэнхлэгүүдийн тодорхой байрлалд тэнхлэгийн моментуудын нэг нь хамгийн их утгад, нөгөө нь хамгийн багадаа хүрнэ.

Инерцийн моментууд хамгийн бага ба хамгийн их утгатай байх тэнхлэгүүдийг инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг.
Үндсэн тэнхлэгт хамаарах инерцийн моментийг үндсэн инерцийн момент гэнэ.

Хэрэв үндсэн тэнхлэг нь дүрсийн хүндийн төвийг дайран өнгөрвөл түүнийг үндсэн төв тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд ийм тэнхлэгт хамаарах инерцийн моментийг инерцийн үндсэн төв момент гэнэ.
Хэрэв дүрс нь ямар ч тэнхлэгт тэгш хэмтэй байвал энэ тэнхлэг нь үргэлж энэ зургийн инерцийн гол төв тэнхлэгүүдийн нэг байх болно гэж бид дүгнэж болно.

Төвөөс зугтах инерцийн момент

Хавтгай дүрсийн төвөөс зугтах инерцийн момент нь бүх талбайг эзэлсэн энгийн талбайн бүтээгдэхүүний нийлбэр ба харилцан перпендикуляр хоёр тэнхлэг хүртэлх зай юм.

I xy = Σ xy dA,

Хаана x , y - талбайгаас хол зай дА тэнхлэгүүд рүү x Тэгээд y .
Төвөөс зугтах инерцийн момент нь эерэг, сөрөг эсвэл тэг байж болно.

Тэгш бус огтлолын үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлох томъёонд төвөөс зугтах инерцийн момент багтсан болно.
Стандарт профайлын хүснэгтүүд нь нэртэй шинж чанарыг агуулдаг хэсгийн эргэлтийн радиус , томъёогоор тооцоолно:

i x = √ (I x / A),би у = √ (I у / А) , (цаашид тэмдэг"√"- үндэс тэмдэг)

Хаана би х, би y - төвийн тэнхлэгтэй харьцуулахад хэсгийн инерцийн тэнхлэгийн моментууд; А - хөндлөн огтлолын талбай.
Энэхүү геометрийн шинж чанарыг хазайсан хурцадмал байдал эсвэл шахалт, мөн уртааш гулзайлтын судалгаанд ашигладаг.

Эргэлтийн деформаци

Эргэлтийн тухай үндсэн ойлголтууд. Дугуй цацрагийн мушгиралт.

Мушгиа гэдэг нь дам нурууны аль ч хөндлөн огтлолд зөвхөн эргүүлэх момент үүсдэг хэв гажилтын төрөл, өөрөөр хэлбэл энэ хэсэгт перпендикуляр тэнхлэгтэй харьцуулахад хэсгийн дугуй хөдөлгөөнийг үүсгэдэг эсвэл ийм хөдөлгөөнөөс сэргийлдэг хүчний хүчин зүйл юм. Өөрөөр хэлбэл шулуун цацрагт түүний тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд хос буюу хос хүч үйлчлэхэд мушгих хэв гажилт үүсдэг.
Эдгээр хос хүчний моментуудыг мушгирах буюу эргүүлэх гэж нэрлэдэг. Эргэлтийн хүчийг -ээр тэмдэглэнэ Т .
Энэхүү тодорхойлолт нь мушгих хэв гажилтын хүчний хүчин зүйлийг гадаад хүчин зүйлд (мушгирах, эргүүлэх момент) хуваадаг. Т ) ба дотоод (момент M cr ).

Машин, механизмд дугуй эсвэл гуурсан босоо ам нь ихэвчлэн мушгирахад өртдөг тул ийм нэгж, эд ангиудын хувьд бат бөх, хатуу байдлын тооцоог ихэвчлэн хийдэг.

Дугуй цилиндр босоо амны мушгиралтыг авч үзье.
Төгсгөлийн нэг нь хатуу бэхлэгдсэн резинэн цилиндр босоо амыг төсөөлөөд үз дээ, гадаргуу дээр уртааш шугам, хөндлөн тойрог бүхий тор байдаг. Бид энэ босоо амны тэнхлэгт перпендикуляр босоо амны чөлөөт төгсгөлд хэд хэдэн хүчийг хэрэглэнэ, өөрөөр хэлбэл бид үүнийг тэнхлэгийн дагуу эргүүлнэ. Хэрэв та босоо амны гадаргуу дээрх тор шугамыг сайтар шалгаж үзвэл дараахь зүйлийг анзаарах болно.
- мушгих тэнхлэг гэж нэрлэгддэг босоо амны тэнхлэг нь шулуун хэвээр байх болно;
- тойргийн диаметр ижил хэвээр байх бөгөөд зэргэлдээх тойргийн хоорондох зай өөрчлөгдөхгүй;
- босоо ам дээрх уртааш шугамууд мушгиа шугам болж хувирна.

Эндээс бид дугуй цилиндр хэлбэртэй дам нурууг (гол) мушгихад хавтгай огтлолын таамаглал хүчинтэй, мөн хэв гажилтын үед тойргийн радиус шулуун хэвээр байна гэж дүгнэж болно (тэдгээрийн диаметр өөрчлөгдөөгүй). Мөн босоо амны хэсгүүдэд уртааш хүч байхгүй тул тэдгээрийн хоорондох зайг хадгална.

Иймээс дугуй босоо амны мушгих хэв гажилт нь мушгих тэнхлэгийн эргэн тойронд бие биентэйгээ харьцуулахад хөндлөн огтлолын эргэлтээс бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн эргэлтийн өнцөг нь тогтмол хэсгийн зайтай шууд пропорциональ байдаг - аль ч хэсэг нь тогтмол төгсгөлөөс хол байх тусам босоо амны тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний мушгих өнцөг их байх тусам .
Босоо амны хэсэг бүрийн хувьд эргэлтийн өнцөг нь энэ хэсэг ба битүүмжлэлийн (тогтмол төгсгөл) хооронд бэхлэгдсэн босоо амны хэсгийн эргэлтийн өнцөгтэй тэнцүү байна.


Булан ( будаа. 1) босоо амны чөлөөт төгсгөлийн эргэлтийг (төгсгөлийн хэсэг) гэж нэрлэдэг бүрэн өнцөгцилиндр цацрагийг мушгих (босоо ам).
Харьцангуй эргэлтийн өнцөг φ 0 мушгих өнцгийн харьцаа гэж нэрлэдэг φ 1 зайд л 1 өгөгдсөн хэсгээс суулгац хүртэл (тогтмол хэсэг).
Хэрэв цилиндр цацраг (босоо ам) урт бол л тогтмол хөндлөн огтлолтой бөгөөд чөлөөт төгсгөлд мушгих моментоор ачаалагдсан (өөрөөр хэлбэл, нэгэн төрлийн геометрийн огтлолоос бүрдэнэ), тэгвэл мэдэгдэл үнэн болно.
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - утга нь тогтмол байна.

Хэрэв бид дээрх резинэн цилиндр баарны гадаргуу дээр нимгэн давхаргыг авч үзвэл ( будаа. 1), сүлжээний нүдээр хязгаарлагдсан cdef , дараа нь бид энэ эс хэв гажилтын үед муруйж байгааг тэмдэглэж, түүний тал нь тогтмол хэсгээс алслагдсан, цацрагийн эргэлт рүү шилжиж, байрлалыг эзэлдэг. cde 1 f 1 .

Зүссэн хэв гажилтын үед ижил төстэй зураг ажиглагдаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд гадаргуу нь мушгирах хэв гажилттай адил эргэлтийн хөдөлгөөнөөс биш, харин бие биентэйгээ харьцуулахад хэсгүүдийн хөрвүүлгийн хөдөлгөөнөөс болж гажигтай байдаг. Үүний үндсэн дээр бид хөндлөн огтлолын мушгих үед зөвхөн шүргэгч үүсдэг гэж дүгнэж болно дотоод хүчэргүүлэх момент үүсгэдэг (стресс).

Тиймээс эргүүлэх момент нь хөндлөн огтлолд үйлчилж буй дотоод тангенциал хүчний цацрагийн тэнхлэгтэй харьцуулахад үүсэх момент юм.

Ix, Iy, Ixy бас мэдэгдэж байг. xy тэнхлэгүүдтэй параллель x 1, y 1 шинэ тэнхлэг зуръя.

Мөн шинэ тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад ижил хэсгийн инерцийн моментийг тодорхойлъё.

X 1 = x-a; y 1 =y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Хэрвээ х тэнхлэг тухайн хэсгийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл статик момент Sx =0 байна.

I x 1 = Ix + b 2 A

Шинэ y 1 тэнхлэгтэй адил бид I y 1 = Iy + a 2 A томъёотой болно.

Шинэ тэнхлэгүүдийн хувьд төвөөс зугтах инерцийн момент

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Хэрвээ xy тэнхлэгүүд хэсгийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл Ix 1 y 1 = Ixy + abA болно.

Хэрвээ зүсэлт тэгш хэмтэй байвал төв тэнхлэгүүдийн ядаж нэг нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй давхцаж байвал Ixy =0, энэ нь Ix 1 y 1 = abA гэсэн үг юм.

Тэнхлэгийг эргүүлэх үед инерцийн моментыг өөрчлөх.

xy тэнхлэгүүдийн ойролцоох тэнхлэгийн инерцийн моментууд тодорхой байг.

Бид эргүүлэх замаар шинэ xy координатын системийг олж авдаг хуучин системцагийн зүүний эсрэг эргэвэл өнцгөөр (a >0).

Сайтын хуучин болон шинэ координатуудын хоорондын хамаарлыг тогтооцгооё

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

acd гурвалжингаас:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

гурвалжин oed-аас:

de/od =sin α dc = od*sin α

Эдгээр утгыг y-ийн илэрхийлэлд орлуулъя

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Үүний нэгэн адил

x 1 = x cos α + y sin α.

Шинэ тэнхлэг x 1-тэй харьцуулахад тэнхлэгийн инерцийн моментийг тооцоолъё

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Үүнтэй адил Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Үүссэн илэрхийллийн зүүн ба баруун талыг нэмье.

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Эргэлтийн үед тэнхлэгийн инерцийн моментуудын нийлбэр өөрчлөгддөггүй.

Шинэ тэнхлэгтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн моментийг тодорхойлъё. x 1, y 1 утгуудыг төсөөлье.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Инерцийн үндсэн момент ба гол тэнхлэгүүд.

Инерцийн гол моментуудтэдгээрийг туйлын үнэ цэнэ гэж нэрлэдэг.

Хэт их утгыг олж авсан тэнхлэгүүдийг инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Тэд үргэлж харилцан перпендикуляр байдаг.

Гол тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн момент үргэлж 0-тэй тэнцүү байна.Хэсэгт тэгш хэмийн тэнхлэг байгаа нь мэдэгдэж байгаа тул төвөөс зугтах момент нь 0-тэй тэнцүү байна, энэ нь тэгш хэмийн тэнхлэг нь үндсэн тэнхлэг гэсэн үг юм. Хэрэв бид I x 1 илэрхийллийн эхний деривативыг аваад "0" -тэй тэнцүүлвэл инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалд харгалзах өнцгийн утгыг = авна.

tan2 α 0 = -

Хэрэв α 0 >0 бол үндсэн тэнхлэгүүдийн тодорхой байрлалд хуучин тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх шаардлагатай. Гол тэнхлэгүүдийн нэг нь max, нөгөө нь мин. Энэ тохиолдолд хамгийн их тэнхлэг нь илүү том тэнхлэгийн инерцийн моменттэй харьцуулахад санамсаргүй тэнхлэгтэй бага өнцөгтэй тохирч байна. Инерцийн тэнхлэгийн моментийн хэт утгыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Бүлэг 2. Материалын бат бэхийн үндсэн ойлголтууд. Зорилго, арга.

Төрөл бүрийн бүтцийг төлөвлөхдөө хүч чадал, хатуулаг, тогтвортой байдлын янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Хүч чадал- тухайн биеийн янз бүрийн ачааллыг устгахгүйгээр тэсвэрлэх чадвар.

Хатуу байдал– их хэмжээний хэв гажилт (шилжилт)гүйгээр бүтцийн ачааллыг шингээх чадвар. Урьдчилан зөвшөөрөгдөх хэв гажилтын утгыг зохицуулдаг барилгын кодуудба дүрэм (SNIP).

Тогтвортой байдал

Уян хатан саваа шахалтыг авч үзье

Хэрэв ачаалал аажмаар нэмэгдвэл саваа эхлээд богиносно. F хүч нь тодорхой эгзэгтэй утгад хүрэхэд саваа тэврэлт болно. - үнэмлэхүй богиносгох.

Энэ тохиолдолд саваа нурж унахгүй, харин хэлбэрээ огцом өөрчилдөг. Энэ үзэгдлийг тогтвортой байдлын алдагдал гэж нэрлэдэг бөгөөд сүйрэлд хүргэдэг.

Сопромат- Эдгээр нь инженерийн байгууламжийн бат бөх, бат бөх, тогтвортой байдлын шинжлэх ухааны үндэс суурь юм. Бат бөх материал нь онолын механик, физик, математикийн аргуудыг ашигладаг. Онолын механикаас ялгаатай нь бат бэхийн эсэргүүцэл нь ачаалал ба температурын нөлөөн дор биеийн хэмжээ, хэлбэрийн өөрчлөлтийг харгалзан үздэг.

Ихэнхдээ шийдвэр гаргахдаа практик асуудлуудтүүний хавтгайд өөр өөр чиглэлтэй тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад хэсгийн инерцийн моментуудыг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд техникийн ном зохиол, тусгай лавлах ном, хүснэгтэд өгөгдсөн бусад тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад бүх хэсгийн (эсвэл түүний бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн) инерцийн моментуудын аль хэдийн мэдэгдэж байсан утгыг ашиглах нь тохиромжтой. боломжтой томъёог ашиглан. Тиймээс өөр тэнхлэгтэй харьцуулахад ижил хэсгийн инерцийн моментуудын хоорондын хамаарлыг тогтоох нь маш чухал юм.

Хамгийн ерөнхий тохиолдолд аль ч хуучин зүйл рүү шилжих шинэ системКоординатыг хуучин координатын системийн дараалсан хоёр хувиргалт гэж үзэж болно.

1) координатын тэнхлэгүүдийг шинэ байрлал руу зэрэгцээ шилжүүлэх замаар ба

2) шинэ гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэдгээрийг эргүүлэх замаар. Эдгээр хувиргалтын эхнийхийг, өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэгүүдийн зэрэгцээ орчуулгыг авч үзье.

Хуучин тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад өгөгдсөн огтлолын инерцийн моментууд (Зураг 18.5) мэдэгдэж байна гэж үзье.

Тэнхлэгүүд нь өмнөхтэй параллель байгаа шинэ координатын системийг авъя. Хуучин координатын систем дэх цэгийн координатыг (өөрөөр хэлбэл шинэ эхлэл) a ба b гэж тэмдэглэе.

Хуучин координатын систем дэх координатууд нь y ба -тай тэнцүү энгийн сайтыг авч үзье. Шинэ системд тэд тэнцүү байна

Эдгээр координатын утгыг тэнхлэгтэй харьцуулахад тэнхлэгийн инерцийн моментийн илэрхийлэл болгон орлуулж үзье.

Үүссэн илэрхийлэлд инерцийн момент буюу тэнхлэгтэй харьцуулахад хэсгийн статик момент нь тухайн хэсгийн F талбайтай тэнцүү байна.

Тиймээс,

Хэрэв z тэнхлэг нь хэсгийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрвөл статик момент ба

Томъёо (25.5)-аас харахад хүндийн төвийг дайран өнгөрдөггүй аливаа тэнхлэгтэй харьцах инерцийн момент нь хүндийн төвийг дайран өнгөрч буй тэнхлэгтэй харьцах инерцийн моментоос үргэлж эерэг байх хэмжээгээр их байх нь тодорхой байна. Иймээс параллель тэнхлэгүүдийн инерцийн бүх моментуудаас тэнхлэгийн инерцийн момент нь дараах байдалтай байна. хамгийн бага утгахэсгийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад.

Тэнхлэгийг тойрсон инерцийн момент [(24.5) томьёотой зүйрлэснээр]

Ялангуяа у тэнхлэг нь хэсгийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх тохиолдолд

(25.5) ба (27.5) томъёог нарийн төвөгтэй (нийлмэл) хэсгүүдийн инерцийн тэнхлэгийн моментуудыг тооцоолоход өргөн ашигладаг.

Одоо тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн моментийн илэрхийлэлд утгуудыг орлуулъя.

Зураг 7.

,

,

,

Хаана би х, би y – жишиг тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн тэнхлэгийн моментууд;

би xy– жишиг тэнхлэгтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн момент;

Би xc, би yc– төв тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн тэнхлэгийн моментууд;

Би xcyc– төв тэнхлэгтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн момент;

а, б- тэнхлэг хоорондын зай.

Тэнхлэгийг эргүүлэх үед хэсгийн инерцийн моментуудыг тодорхойлох

Төв тэнхлэгтэй харьцуулахад хэсгийн бүх геометрийн шинж чанарууд мэдэгдэж байна x C,үед C(Зураг 8). Тэнхлэгүүдийн инерцийн моментуудыг тодорхойлъё x 1,1 цагт, төв хэсгүүдтэй харьцуулахад тодорхой өнцгөөр эргэлддэг а.

Зураг 8

,

Хаана I x 1, I y 1 – тэнхлэгүүдийн инерцийн тэнхлэгийн моментууд x 1,1 цагт ;

I x 1 y 1– тэнхлэгтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн момент x 1,1 цагт .

Инерцийн гол төв тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлох

Хэсгийн инерцийн гол төв тэнхлэгүүдийн байрлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

,

Хаана a 0 – инерцийн төв ба үндсэн тэнхлэгийн хоорондох өнцөг.

Инерцийн үндсэн моментуудыг тодорхойлох

Хэсгийн инерцийн гол моментуудыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Нарийн төвөгтэй хэсгийг тооцоолох дараалал

1) Нарийн төвөгтэй хэсгийг энгийн хэсгүүдэд хуваа геометрийн хэлбэрүүд [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) Дурын тэнхлэгүүдийг сонгох XOY .

3) Хэсгийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлно [х в, у в].

4) Төв тэнхлэгүүдийг зур X c OY c.

5) Инерцийн моментуудыг тооцоол Ixc, би в , тэнхлэгүүдийг зэрэгцээ хөрвүүлэх теоремыг ашиглан.

6) Инерцийн төвөөс зугтах моментийг тооцоол Ix c y c.

7) Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно tg2a 0.

8) Инерцийн үндсэн моментуудыг тооцоол Imax, Имин.

ЖИШЭЭ 2

Зураг 13-т үзүүлсэн зургийн хувьд гол цэгүүдийг тодорхойлно

инерци ба инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлал.

1) Бид нарийн төвөгтэй хэсгийг энгийн геометрийн хэлбэрт хуваадаг

S 1 = 2000 мм 2, S 2 = 1200 мм 2, S= 3200 мм 2.

2) Дурын XOY тэнхлэгүүдийг сонгоно уу.

3) Хэсгийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлно

x c = 25 мм, y c=35 мм.

4) Төв тэнхлэгүүдийг зурах X c OY c

5) Инерцийн моментуудыг тооцоол Ix c, Iy c

6) Төвөөс зугтах инерцийн моментийг тооцоол Ix c y c

7) Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно

Хэрэв I x >I y Тэгээд a 0 >0 , дараа нь өнцөг a 0 тэнхлэгээс офсет X с цагийн зүүний эсрэг.

8) Инерцийн үндсэн моментуудыг тооцоол Imax, Имин

ЖИШЭЭ 3

Зурагт үзүүлсэн зургийн хувьд. 8 үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно

Зураг 8.

инерци ба инерцийн үндсэн моментууд.

1) Бид зураг бүрийн үндсэн анхны өгөгдлийг бичдэг

Суваг

S 1 = 10.9 см 2

I x = 20.4 см 4

би у = 174 см 4

y 0= 1.44 см

h= 10 см

Тэгш бус булан

S 3 = 6.36 см 2

I x = 41.6 см 4

би у = 12.7 см 4

Би мин = 7.58 см 4

tga= 0,387

x 0= 1.13 см

y 0= 2.6 см

Тэгш өнцөгт

S 2 = 40 см 2

см 4

см 4

2) Хэсгийг масштабаар зур

3) Дурын координатын тэнхлэгүүдийг зур

4) Хэсгийн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлно

5) Төв тэнхлэгүүдийг зур

6) Төв тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн тэнхлэгийн моментуудыг тодорхойлно

7) Төв тэнхлэгтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн моментийг тодорхойлно

Өнцөг цувисан гангийн хүндийн төвтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн моментийг дараах томъёоны аль нэгээр тодорхойлно.

-4

Өнцөг цувисан гангийн төвөөс зугтах инерцийн моментийн тэмдгийг Зураг дээр заасны дагуу тодорхойлно. Тиймээс 9 Би xy 3= -13.17 см 4.

8) Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно

a 0 = 21.84°

9) Инерцийн үндсэн моментуудыг тодорхойлно

ДААЛГАВАР 4

Өгөгдсөн схемийн хувьд (Хүснэгт 6) дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) Хөндлөн огтлолыг хатуу масштабаар зур.

2) Хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлно.

3) Төв тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн тэнхлэгийн моментуудын утгыг ол.

4) Төв тэнхлэгтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн моментийн утгыг ол.

5) Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно.

6) Инерцийн гол моментуудыг ол.

Хүснэгтээс тоон мэдээллийг авна уу. 6.

4-р асуудлын тооцооллын схемүүд

Хүснэгт 6

4-р даалгаврын эхний өгөгдөл

№	Тэгш өнцөг булан	Тэгш бус булан	би-туяа	Суваг	Тэгш өнцөгт	Схемийн дугаар.
	30'5	50'32'4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14а	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20а	16а	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22а	18а	60'60
	100'10	160'100'12			60'40
	г	А	б	В	Г	г

5-р асуудлын заавар

Гулзайлтын хэлбэр нь саваагийн хөндлөн огтлолын хэсэгт V.S.F гарч ирдэг. - гулзайлтын мөч.

Гулзайлтын цацрагийг тооцоолохын тулд гулзайлтын хамгийн их моментийн утгыг мэдэх шаардлагатай Ммөн тохиолдох хэсгийн байрлал. Үүнтэй адилаар та хамгийн их хажуугийн хүчийг мэдэх хэрэгтэй Q. Энэ зорилгоор гулзайлтын момент ба зүсэлтийн хүчний диаграммыг бүтээдэг. Диаграммуудаас тухайн мөчийн хамгийн их утга хаана байгааг тодорхойлоход хялбар байдаг зүсэх хүч. Тоо хэмжээг тодорхойлох МТэгээд Qхэсгийн аргыг хэрэглэнэ. Зураг дээр үзүүлсэн хэлхээг авч үзье. 9. Тэнхлэг дээрх хүчний нийлбэрийг нэгтгэе Ю, цацрагийн таслагдсан хэсэгт үйлчилдэг.

Зураг 9.

Хөндлөн хүч нь тухайн хэсгийн нэг талд үйлчлэх бүх хүчний алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэсэгтэй харьцуулахад цацрагийн таслагдсан хэсэгт үйлчлэх моментуудын нийлбэрийг нэгтгэн гаргая.

Гулзайлтын момент нь тухайн хэсгийн хүндийн төвтэй харьцуулахад цацрагийн таслагдах хэсэгт үйлчилж буй бүх моментуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цацрагийн аль ч төгсгөлөөс тооцоолол хийх боломжтой байхын тулд дотоод хүчний хүчин зүйлийн тэмдгийн дүрмийг батлах шаардлагатай.

Таслах хүчний хувьд Q.

Зураг 10.

Хэрэв гадны хүч цацрагийн зүссэн хэсгийг цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл, гадны хүч нь цацрагийн зүссэн хэсгийг цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл хүч нь сөрөг байна.

Гулзайлтын моментийн хувьд М.

Зураг 11.

Хэрэв гадны хүчний нөлөөн дор гулзайлтын муруй тэнхлэг нь хонхор аяга хэлбэртэй байвал дээрээс орж буй бороо усаар дүүргэх тохиолдолд гулзайлтын момент эерэг байна (Зураг 11а). Хэрэв гадны хүчний нөлөөгөөр цацрагийн муруй тэнхлэг нь гүдгэр аяга хэлбэртэй байвал дээрээс орж буй бороо усаар дүүргэхгүй бол гулзайлтын момент сөрөг байна (Зураг 11б).

Тархсан ачааллын эрчмийн хооронд q, зүсэх хүч Qба гулзайлтын момент М, тодорхой хэсэгт үйлчилдэг, дараах ялгаатай хамааралууд байдаг.

Гулзайлтын үед заасан дифференциал хамаарал нь хөндлөн хүч ба гулзайлтын моментуудын диаграммын зарим шинж чанарыг тогтоох боломжийг олгодог.

1) Тархсан ачаалал байхгүй газруудад диаграмм Q диаграммын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамаар хязгаарлагдах ба диаграмм М , ерөнхий тохиолдолд налуу шулуун шугамаар (Зураг 19).

2) Цацрагт жигд тархсан ачаалал өгдөг газруудад диаграмм Q налуу шулуун шугамууд болон диаграммаар хязгаарлагддаг М – квадрат парабол (Зураг 20). Хуйвалдаан хийх үед М шахсан утаснууд дээр параболын гүдгэр нь тархсан ачааллын үйл ажиллагааны эсрэг чиглэлд (Зураг 21a, b).

Зураг 12.

Зураг 13.

3) Эдгээр хэсгүүдэд Q= 0, диаграммтай шүргэгч Мдиаграммын тэнхлэгтэй параллель (Зураг 12, 13). Цацрагийн ийм хэсгүүдийн гулзайлтын момент нь асар их хэмжээтэй байдаг ( М хамгийн их,Ммин).

4) газар нутагт Q> 0, МДиаграмын эерэг ординатуудыг зүүнээс баруун тийш нэмэгдүүлнэ Мнэмэгдэх, сөрөг нь буурах (Зураг 12, 13); байгаа газруудад Q < 0, Мбуурдаг (Зураг 12, 13).

5) Цацрагт төвлөрсөн хүч үйлчлэх хэсгүүдэд:

а) диаграмм дээр Qүйлчлэх хүчний хэмжээ болон чиглэлд үсрэлтүүд үүснэ (Зураг 12, 13).

б) диаграмм дээр Мхугарал байх болно (Зураг 12, 13), хугарлын үзүүр нь хүчний үйл ажиллагааны эсрэг чиглэнэ.

6) Диаграм дээр төвлөрсөн моментуудыг цацрагт хэрэглэж байгаа хэсгүүдэд Мдиаграмм дээрх эдгээр моментуудын хэмжээгээр үсрэлтүүд байх болно Qөөрчлөлт гарахгүй (Зураг 14).

Зураг 14.

Зураг 15.

7) Хэрэв төвлөрсөн

момент, дараа нь энэ хэсэгт гулзайлтын момент нь гадаад моменттэй тэнцүү байна (хэсэг CТэгээд БЗураг дээр. 15).

8) Диаграм Qталбайн деривативын диаграммыг илэрхийлнэ М. Тиймээс ординатууд Qдиаграмм дахь шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай пропорциональ М(Зураг 14).

Зураг зурах дараалал QТэгээд М:

1) Цацрагийн дизайны диаграммыг (тэнхлэг хэлбэрээр) түүн дээр ажиллаж буй ачааллыг харуулсан зурсан болно.

2) Тулгуурын цацрагт үзүүлэх нөлөөг харгалзах урвалаар солино; урвалын тэмдэглэгээ ба тэдгээрийн хүлээн зөвшөөрөгдсөн чиглэлийг зааж өгсөн болно.

3) Цацрагийн тэнцвэрийн тэгшитгэлийг эмхэтгэсэн бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь дэмжлэгийн урвалын утгыг тодорхойлдог.

4) Цацраг нь хэсгүүдэд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн хил хязгаар нь гадны төвлөрсөн хүч ба моментуудын хэрэглээний цэгүүд, түүнчлэн үйл ажиллагааны эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд эсвэл тархсан ачааллын шинж чанарыг өөрчлөх.

5) Гулзайлтын моментуудын илэрхийллийг эмхэтгэсэн Мболон зүсэх хүч Qцацрагийн хэсэг бүрийн хувьд. Тооцооллын диаграмм нь хэсэг бүрийн зайг хэмжих эхлэл ба чиглэлийг заана.

6) Хүлээн авсан илэрхийллүүдийг ашиглан диаграммын ординатуудыг цацрагийн хэд хэдэн хэсгүүдэд эдгээр диаграммыг харуулахад хангалттай хэмжээгээр тооцоолно.

7) Хөндлөн хүч нь тэгтэй тэнцүү байх ба моментууд үйлчилдэг хэсгүүдийг тодорхойлно. Mmaxэсвэл Мминцацрагийн өгөгдсөн хэсгийн хувьд; Эдгээр мөчүүдийн утгыг тооцоолно.

8) Олж авсан ордны утгыг ашиглан диаграммуудыг байгуулна.

9) Баригдсан диаграммуудыг өөр хоорондоо харьцуулан шалгана.

Аюултай хэсгийг тодорхойлохын тулд гулзайлтын үед дотоод хүчний хүчин зүйлсийн диаграммыг байгуулав. Аюултай хэсгийг олсны дараа цацрагийг бат бэхийн хувьд тооцоолно. Хөндлөн гулзайлтын ерөнхий тохиолдолд бариулын хэсгүүдэд гулзайлтын момент ба хөндлөн хүч үйлчлэх үед дам нурууны хэсэгт хэвийн ба тангенциал хүчдэл үүснэ. Тиймээс хүч чадлын хоёр нөхцлийг авч үзэх нь логик юм.

a) хэвийн хүчдэлийн дагуу

б) тангенциал хүчдэлээр

Цацрагийн гол эвдэх хүчин зүйл нь хэвийн хүчдэл байдаг тул хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрийн дам нурууны хөндлөн огтлолын хэмжээсийг хэвийн хүчдэлийн бат бэхийн нөхцлөөс тодорхойлно.

Дараа нь сонгосон дам нурууны хэсэг нь зүсэлтийн хүчдэлийн бат бэхийн нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана.

Гэсэн хэдий ч цацрагийг тооцоолох энэ арга нь цацрагийн хүчийг хараахан тодорхойлж чадахгүй байна. Ихэнх тохиолдолд цацрагийн хэсгүүдэд их хэмжээний хэвийн ба зүсэлтийн хүчдэл нэгэн зэрэг үйлчилдэг цэгүүд байдаг. Ийм тохиолдолд гол хүчдэлийг ашиглан цацрагийн хүчийг шалгах шаардлагатай болно. Хүч чадлын гурав ба дөрөв дэх онолууд нь ийм туршилтанд хамгийн тохиромжтой байдаг.

, .

ЖИШЭЭ 1

Таслах хүчний диаграммыг бүтээх Qба гулзайлтын момент МЗурагт үзүүлсэн цацрагийн хувьд. 16 хэрэв: F 1= 3 кН, F 2= 1.5 кН, М = 5.1 кН∙м, q = =2кН/м, А = 2м, б = 1 м, -тай = 3м.

Зураг 16.

1) Дэмжих урвалыг тодорхойлох.

;

Шалгалт:

Хариултуудыг зөв олсон

2) Бид цацрагийг хэсэг болгон хуваадаг C.A.,МЭ,Д.Э,Э.К.,К.Б..

3) утгыг тодорхойлох QТэгээд Мсайт бүр дээр.

SA

, ; , .

МЭ

, ;

, .

Д.Э

, ;

, .

HF

, , ;

, , .

Талбай дээрх хамгийн их гулзайлтын моментийг олъё К.Б..

Тэгшитгэлийг тэгшитгэе Qэнэ хэсэгт тэг болгож координатыг илэрхийлнэ z макс , аль үед Q= 0, момент нь хамгийн их утгатай байна. Дараа нь бид орлуулах болно z макс моментийн тэгшитгэлийг энэ хэсэгт оруулаад ол Mmax.

EK

, ;

, .

4) Бид диаграммыг бүтээдэг (Зураг 16)

ЖИШЭЭ 2

Зурагт үзүүлсэн цацрагийн хувьд. 16 дугуй, тэгш өнцөгтийн хэмжээсийг тодорхойлох ( h/b = 2) ба I-хэсэг. Хэрэв I-цацрагын хүчийг үндсэн хүчдэлээр шалгана уу [s]= 150 МПа, [t]= 150 МПа.

1) Хүч чадлын нөхцлөөс шаардлагатай эсэргүүцлийн моментийг тодорхойлно

2) Дугуй хэсгийн хэмжээсийг тодорхойлно

3) Тэгш өнцөгт хэсгийн хэмжээсийг тодорхойлно

4) Бид I-цацраг №10-ийг төрөл бүрийн дагуу сонгоно (ГОСТ 8239-89)

В X= 39.7 см 3, S X * =23 см 3, I X = 198 см 4, h = 100 мм, б = 55 мм, г = 4.5 мм, т = 7.2 мм.

Үндсэн хүчдэл дээр тулгуурлан цацрагийн хүчийг шалгахын тулд аюултай хэсэгт хэвийн ба тангенциал хүчдэлийн диаграммыг барих шаардлагатай. Үндсэн хүчдэлийн хэмжээ нь хэвийн ба тангенциал хүчдэлээс хамаардаг тул бат бэхийн туршилтыг цацрагийн хэсэгт хийх ёстой. МТэгээд Qхангалттай том. Дэмжлэг дээр IN(Зураг 16) зүсэх хүч QГэхдээ энд хамгийн их утгатай байна М= 0. Тиймээс бид тулгуур дээрх хэсгийг аюултай гэж үзэж байна А, гулзайлтын момент хамгийн их, зүсэх хүч харьцангуй их байна.

Хэсгийн өндрийн дагуу өөрчлөгдөх хэвийн хүчдэл нь шугаман хуулийг дагаж мөрддөг.

Хаана y– огтлолын цэгийн координат (Зураг 24).

цагт цагт= 0, s = 0;

цагт ymax ,

Шилжилтийн хүчдэлийн өөрчлөлтийн хууль нь талбайн статик моментийн өөрчлөлтийн хуулиар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь эргээд параболын хуулийн дагуу огтлолын өндрийн дагуу өөрчлөгддөг. Хэсгийн онцлог цэгүүдийн утгыг тооцоолсны дараа бид тангенциал даралтын диаграммыг байгуулна. T-ийн утгыг тооцоолохдоо бид зурагт үзүүлсэн хэсгийн хэмжээсийн тэмдэглэгээг ашиглана. 17.

3-3 давхаргын бат бэхийн нөхцөл хангагдсан.

ДААЛГАВАР 5

Өгөгдсөн цацрагийн схемийн хувьд (Хүснэгт 12) хөндлөн хүчний диаграммыг байгуулна Qба гулзайлтын момент М. Диаграммын хөндлөн огтлолыг сонгоно уу a) дугуй [s]= 10 МПа; б) I-туяа [s]= 150 МПа.

Хүснэгтээс тоон мэдээллийг авна уу. 7.

Хүснэгт 7

6-р асуудлын эхний өгөгдөл

№

а, м

q 1 =q 3, кН/м

q 2 , кН/м

F 1, kN

F 2, kN

F 3, kN

М 1, кН∙м

М 2, кН∙м

М 3, кН∙м

Схемийн дугаар.

0,8

1,2

12-р хүснэгтийн үргэлжлэл

Хэрэв тэнхлэгүүд нь төвд байвал тэнхлэгүүд нь дараах байдалтай харагдана.

15.хоорондын хамаарал тэнхлэгийг эргүүлэх үед инерцийн моментууд:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Хуучин координатын системээс шинэ системд шилжих шилжилт цагийн зүүний эсрэг явагдах бол өнцөг a>0. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Инерцийн моментуудын туйлын (хамгийн их ба хамгийн бага) утгууд гэж нэрлэдэг инерцийн гол моментууд. Инерцийн тэнхлэгийн моментууд нь хэт их утгатай байдаг тэнхлэгүүдийг нэрлэдэг инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд. Инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд нь харилцан перпендикуляр байдаг. Үндсэн тэнхлэгүүдийн ойролцоох төвөөс зугтах инерцийн момент = 0, өөрөөр хэлбэл. инерцийн үндсэн тэнхлэгүүд - төвөөс зугтах инерцийн момент нь тэнхлэгүүд = 0. Хэрэв тэнхлэгүүдийн аль нэг нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй давхцаж байгаа эсвэл хоёулаа давхцаж байвал тэдгээр нь үндсэн тэнхлэгүүд юм. Үндсэн тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлох өнцөг: , хэрэв a 0 >0 Þ бол тэнхлэгүүд цагийн зүүний эсрэг эргэдэг. Хамгийн их тэнхлэг нь инерцийн момент их байх тэнхлэгтэй харьцуулахад үргэлж бага өнцөг үүсгэдэг. Хүндийн төвөөр дамжин өнгөрөх гол тэнхлэгүүдийг нэрлэдэг инерцийн гол төв тэнхлэгүүд. Эдгээр тэнхлэгүүдийн инерцийн моментууд:

J max + J min = J x + J y . Инерцийн үндсэн төв тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад төвөөс зугтах инерцийн момент 0-тэй тэнцүү байна.Хэрэв инерцийн үндсэн моментууд нь мэдэгдэж байгаа бол эргүүлэх тэнхлэгт шилжих томьёо нь:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

Хэсгийн геометрийн шинж чанарыг тооцоолох эцсийн зорилго нь инерцийн гол төв моментууд ба инерцийн гол төв тэнхлэгүүдийн байрлалыг тодорхойлох явдал юм. Инерцийн радиус - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Хэрэв J x ба J y нь инерцийн гол момент бол i x ба i y - эргэлтийн гол радиус. Хагас тэнхлэг дээрх шиг инерцийн үндсэн радиусууд дээр баригдсан эллипсийг нэрлэдэг инерцийн эллипс. Инерцийн эллипсийг ашиглан та дурын тэнхлэгийн x 1-ийн инерцийн радиус i x 1-ийг графикаар олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та эллипс рүү шүргэгч зурах хэрэгтэй. тэнхлэгтэй параллель x 1 ба энэ тэнхлэгээс шүргэгч хүртэлх зайг хэмжинэ. Инерцийн радиусыг мэдсэнээр та х тэнхлэгтэй харьцуулахад хэсгийн инерцийн моментийг олох боломжтой 1: . Хоёроос дээш тэгш хэмийн тэнхлэгтэй хэсгүүдийн хувьд (жишээлбэл: тойрог, дөрвөлжин, цагираг гэх мэт) бүх төвийн тэнхлэгүүдийн инерцийн тэнхлэгийн моментууд тэнцүү, J xy =0, инерцийн эллипс нь инерцийн тойрог болж хувирдаг. .