Цогцолбор цогцолборын n-р үндэс. Дурын рационал илтгэгчтэй хүч

тригонометрийн хэлбэрээр тоонууд.

Мойврын томъёо

z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) ба z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2) гэж үзье.

Цогцолбор тоог бичих тригонометрийн хэлбэр нь үржүүлэх, хуваах, бүхэл зэрэгт хүргэх, n зэрэглэлийн үндсийг гаргах үйлдлүүдийг хийхэд тохиромжтой.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Хоёр цогц тоог үржүүлэх үедтригонометрийн хэлбэрээр тэдгээрийн модулиудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмдэг. Хуваах үедтэдгээрийн модулиудыг хувааж, аргументуудыг нь хасна.

Комплекс тоог үржүүлэх дүрмийн үр дагавар нь цогц тоог нэг зэрэгтэй болгох дүрэм юм.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Энэ харьцааг нэрлэдэг Мойврын томъёо.

Жишээ 8.1 Тоонуудын үржвэр ба коэффициентийг ол:

Тэгээд

Шийдэл

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Жишээ 8.2 Тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү

∙
–i) 7 .

Шийдэл

гэж тэмдэглэе
ба z 2 =
– би.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = арктан
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = арктан
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Комплекс тооны язгуурыг задлахТодорхойлолт. Үндэс n
комплекс тооны 0-р зэрэглэл z (заах) гэж нэрлэдэг
= 0.

нийлмэл тоо

w n = z байхаар w. Хэрэв z = 0 бол

z  0, z = r(cos + isin) байг. w = (cos + sin) гэж тэмдэглээд w n = z тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Тиймээс  n = r,

Тиймээс wk =

Эдгээр утгуудын дунд яг n өөр байдаг.
Тиймээс k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Нарийн нийлмэл хавтгайд эдгээр цэгүүд нь радиустай тойрогт сийлсэн ердийн n өнцөгтийн оройнууд юм.

төв нь О цэг дээр байна (Зураг 12).Зураг 12
.

Жишээ 9.1

Бүх утгыг ол

Шийдэл.
Энэ тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё.

w k =
.

, энд k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

Нарийн төвөгтэй хавтгайд эдгээр цэгүүд нь радиустай тойрогт сийлсэн дөрвөлжингийн оройнууд юм

гарал үүсэл дээр төвтэй (Зураг 13).Зураг 12
.

Жишээ 9.1

Зураг 13 Зураг 14

Шийдэл.
Жишээ 9.2

w k =
z = – 64 = 64(cos +исин);
;

w 0 =
, энд k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

Нарийн төвөгтэй хавтгайд эдгээр цэгүүд нь төв нь О (0; 0) цэгтэй, 2 радиустай тойрогт сийлсэн ердийн зургаан өнцөгтийн оройнууд юм - Зураг 14.

§ 10 Комплекс тооны экспоненциал хэлбэр.

Эйлерийн томъёо

гэж тэмдэглэе
= cos  + isin  ба
= cos  - isin  . Эдгээр харилцааг нэрлэдэг .

Эйлерийн томъёо
Чиг үүрэг

экспоненциал функцийн ердийн шинж чанартай:

z комплекс тоог тригонометрийн z = r(cos + isin) хэлбэрээр бичье.

Эйлерийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
.

z = r Энэ оруулга гэж нэрлэдэгэкспоненциал хэлбэр

нийлмэл тоо. Үүнийг ашиглан бид үржүүлэх, хуваах, экспонентацилах, үндсийг задлах дүрмийг олж авдаг.
Хэрэв z 1 = r 1 ·
ба z 2 = r 2 ·

?Тэр
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, энд k = 0, 1, … , n – 1.Жишээ 10.1

Тоо алгебрийн хэлбэрээр бичнэ үү
.

Жишээ 9.1

z =Жишээ 10.2

Жишээ 9.1

z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Аливаа нарийн төвөгтэй коэффициентүүдийн хувьд энэ тэгшитгэл нь z 1 ба z 1 гэсэн хоёр үндэстэй (давхцаж магадгүй). Эдгээр үндэсийг бодит тохиолдлын адил томъёог ашиглан олж болно. Учир нь

Зөвхөн тэмдгээр ялгаатай хоёр утгыг авбал энэ томъёо дараах байдалтай байна.
–9 = 9 e  i тул утгууд

тоонууд байх болно:
Дараа нь
.

Жишээ 9.1

z 3 +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд; z 3 = – 1.
.

Тэгшитгэлийн шаардлагатай үндэс нь утгууд байх болно

Шийдэл.
z = –1-ийн хувьд r = 1, arg(–1) =  байна.

, k = 0, 1, 2.

Дасгал

G)

d) 7(cos0 + isin0).

11 Тоонуудыг алгебр болон геометрийн хэлбэрээр бич.

12 тоо өгөгдсөн
.

Тэдгээрийг экспоненциал хэлбэрээр үзүүлээд олоорой

13 Комплекс тооны экспоненциал хэлбэрийг ашиглан дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.
A)

б)
V)

г)-тай Тэгээд § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах 2 .

натурал тоо Цогцолбор тооЗ дуудсан§ 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах– үндэсв Цогцолбор тоо § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = үндэс.

, Хэрэв § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах– Үндэсний бүх утгыг олцгооё г)өө комплекс тооны хүч үндэс=| үндэс|·(. Болъё cos үндэс+ Арг· би cosнүгэлхамт), Цогцолбор тоо = | Цогцолбор тооА|·(хамт cos Цогцолбор тоо + Арг· би cos Цогцолбор тоо) os Цогцолбор тоо, Хаана § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах- Үндэсний бүх утгыг олцгооё г)үндэс = үндэс = | үндэс|·(. Болъё cos үндэс+ Арг· би cos. Дараа нь байх ёстойхамт)
. Үүнийг дагадаг § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах· cos Цогцолбор тоо = cosТэгээд
cos Цогцолбор тоо =
(-тай=0,1,…) к Цогцолбор тоо =
(. Болъё
+ Арг· би
), (-тай=0,1,…) . Тиймээс,
, (-тай=0,1,…) . Үнэт зүйлсийн аль нэгийг нь харахад хялбар байдаг
,(-тай = 0,1,…, § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах-1) харгалзах утгуудын аль нэгээс ялгаатай олон тоогоор 2π (-тай = 0,1,…, § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах-1) .

. Тийм ч учраас,

Жишээ..

(-1)-ийн язгуурыг тооцоод үзье. |-1| = 1, , ойлгомжтой (-1) = π

arg. Болъё π + Арг· би π )

, -1 = 1·(

= Арг

(k = 0, 1).

Дурын рационал илтгэгчтэй хүч г)Дурын цогцолбор тоог авч үзье § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах. Хэрэв г) § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = | үндэс| § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах натурал тоо, тэгвэл|·(хамт ·(хамтnArgАрг· би ·(хамт. Дараа нь байх ёстой s + § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = 0 ((6). Энэ томьёо нь тухайн тохиолдолд бас үнэн юм)
өө комплекс тооны хүч § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах < 0 s≠0 § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах Цогцолбор тоо-тай Тэгээд s ≠ 0

г) § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах =
, Дараа ньг)(учир нь nArgг)) = , Дараа ньг)+i·sin nArgг)) + i·sin nArg § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах.

. Тиймээс (6) томъёо аль ч тохиолдолд хүчинтэй байна os Рационал тоог авч үзье q натурал тоо, ба r

бүхэлдээ. Дараа нь доор үндэс зэрэгБид тоог ойлгох болно
.

Бид үүнийг ойлгодог ,

(-тай = 0, 1, …, Рационал тоог авч үзье-1). Эдгээр үнэт зүйлс Рационал тоог авч үзьехэсэг, хэрвээ бутархай нь буурахгүй бол.

Лекц No3 Комплекс тоонуудын дарааллын хязгаар

Байгалийн аргументын нийлмэл утгатай функцийг нэрлэдэг нийлмэл тоонуудын дараалалболон томилогдсон (хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) эсвэл г) 1 , Хамт 2 , ..., Хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах . г) § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = a § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах + б § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах · Арг (§ 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = 1,2, ...) нийлмэл тоо.

г) 1 , Хамт 2 , … - дарааллын гишүүд; -тай § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах - нийтлэг гишүүн

натурал тоо г) = а+ б· АргЗ нийлмэл тоонуудын дарааллын хязгаар (үндэс § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) os г) § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = a § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах + б § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах · Арг (§ 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = 1, 2, …) , хаана нь

Энэ нь хүн бүрийн өмнө § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах > Нтэгш бус байдал бий
. Хязгаарлагдмал хязгаартай дарааллыг нэрлэдэг нэгдэхдараалал.

Теорем.

Нарийн төвөгтэй тоонуудын дараалал үүсгэхийн тулд (хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) (хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = a § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах + б § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах · Арг) -тэй тоонд нийлэв = а+ б· Арг, тэгш байдлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттайлим а § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = а, лим б § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = б.

Баталгаа.

Дараах илэрхий давхар тэгш бус байдлын үндсэн дээр бид теоремыг батлах болно

, Хаана Цогцолбор тоо = x + y· Арг (2)

Хэрэгцээ.Болъё лим(хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) = s. Тэнцүү байдал үнэн гэдгийг харуулъя лим а § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = а-тай лим б § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах = б (3).

Мэдээжийн хэрэг (4)

Учир нь
, Хэзээ § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах → ∞ , тэгвэл (4) тэгш бус байдлын зүүн талаас үүнийг дагана
. Үүнийг дагадаг
, Хэзээ § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах → ∞ . Тиймээс (3) тэгшитгэл хангагдсан байна. Хэрэгцээтэй нь нотлогдсон.

Хангалттай байдал.Одоо тэгш байдлыг (3) хангая. Тэгш байдал (3) -аас ийм зүйл гарч ирнэ
. Үүнийг дагадаг
, Хэзээ § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах → ∞ , тиймээс тэгш бус байдлын баруун талын (4) улмаас энэ нь байх болно
, Хэзээ § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах→∞ , гэсэн үг лим(хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах )=c. Хангалттай нь батлагдсан.

Тиймээс, нийлмэл тоонуудын дарааллыг нэгтгэх тухай асуудал нь хоёр бодит тооны дарааллын нийлэхтэй тэнцүү тул бодит тооны дарааллын хязгаарын бүх үндсэн шинж чанарууд нь цогцолбор тоонуудын дараалалд хамаарна.

Жишээлбэл, комплекс тоонуудын дарааллын хувьд Коши шалгуур хүчинтэй байна: нийлмэл тоонуудын дарааллаар (хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) нийлдэг, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм

, энэ нь ямар ч гэсэн§ 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах, м > Нтэгш бус байдал бий
.

Теорем.

Комплекс тоонуудын дараалал (хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) ба (z § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) c-д нийлэх ба тус тусz, тэгвэл тэгш байдал үнэн болнолим(хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах z § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) = үндэс z, лим(хамт § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах · z § 9 Комплекс тооны язгуурыг задлах ) = үндэс· z. Хэрэв энэ нь тодорхой мэдэгдэж байгаа болz0-тэй тэнцүү биш бол тэгш байдал үнэн болно
.