Трапец хэлбэрийн томьёоны хүндийн төвийн координатууд. Массын төвийн байрлал. Хоёр талт гурвалжны геометрийн шинж чанар

Инженерийн практикт хүндийн төвийн байрлалыг мэддэг энгийн элементүүдээс бүрдсэн нарийн төвөгтэй хавтгай дүрсийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолох шаардлагатай болдог. Энэ даалгавар нь... тодорхойлох ажлын нэг хэсэг юм.

Цацраг ба бариулын нийлмэл хөндлөн огтлолын геометрийн шинж чанарууд. Ихэнхдээ хайчлагчийн инженерүүд даралтын төвийн координатыг тодорхойлох, ачаа байрлуулахдаа янз бүрийн тээврийн хэрэгслийн ачих схемийг боловсруулах, элементийн хэсгүүдийг сонгохдоо металл хийц зохион бүтээгчид, мэдээжийн хэрэг оюутнуудад ижил төстэй асуултуудтай тулгардаг. "Онолын механик", "Материалын бат бөх байдал" гэсэн чиглэлээр суралцаж байна.

Анхан шатны дүрүүдийн номын сан.

Тэгш хэмтэй хавтгай дүрсүүдийн хувьд хүндийн төв нь тэгш хэмийн төвтэй давхцдаг. Энгийн объектуудын тэгш хэмт бүлэгт тойрог, тэгш өнцөгт (дөрвөлжин орно), параллелограмм (ромбыг оруулаад), ердийн олон өнцөгт орно.

Дээрх зурагт үзүүлсэн арван зургаас зөвхөн хоёр нь үндсэн байна. Өөрөөр хэлбэл, гурвалжин ба тойргийн секторуудыг ашиглан та практик сонирхол бүхий бараг бүх зургийг нэгтгэж болно. Аливаа дурын муруйг хэсэг болгон хувааж, дугуй нумаар сольж болно.

Үлдсэн найман тоо нь хамгийн түгээмэл байдаг тул энэ өвөрмөц номын санд оруулсан болно. Манай ангилалд эдгээр элементүүд нь үндсэн биш юм. Хоёр гурвалжингаас тэгш өнцөгт, параллелограмм, трапец хэлбэртэй байж болно. Зургаан өнцөгт нь дөрвөн гурвалжны нийлбэр юм. Тойргийн сегмент нь тойрог ба гурвалжны секторын ялгаа юм. Тойргийн дугуй сектор нь хоёр секторын ялгаа юм. Тойрог нь α=2*π=360˚ өнцөгтэй тойргийн сектор юм. Хагас тойрог нь α=π=180˚ өнцөгтэй тойргийн сектор юм.

Нийлмэл дүрсийн хүндийн төвийн координатыг Excel дээр тооцоолох.

Асуудлыг цэвэр онолын тооцоогоор судлахаас жишээ авч үзэх замаар мэдээллийг дамжуулах, ойлгох нь үргэлж хялбар байдаг. "Таталцлын төвийг хэрхэн олох вэ?" Гэсэн асуудлын шийдлийг авч үзье. Энэ текстийн доорх зурагт үзүүлсэн нийлмэл зургийн жишээг ашиглан.

Нийлмэл хэсэг нь тэгш өнцөгт (хэмжээтэй а1 =80 мм, б1 =40 мм), зүүн дээд талд нь тэгш өнцөгт гурвалжин нэмсэн (суурийн хэмжээтэй хамт) а2 =24 мм ба өндөр h2 =42 мм) ба түүнээс баруун дээд талаас хагас тойрог (төв нь координаттай цэг дээр) таслагдсан. x03 =50 мм ба y03 =40 мм, радиус r3 =26 мм).

Бид тооцооллыг хийхэд тань туслах программыг ашиглах болно MS Excel эсвэл програм OOo Calc . Тэдний хэн нь ч бидний даалгаврыг амархан даван туулах болно!

-тэй эсүүдэд шар бид үүнийг дүүргэх болно туслах урьдчилсан тооцоолол .

Бид цайвар шар өнгийн дүүргэлт бүхий нүднүүдийн үр дүнг тооцоолно.

Цэнхэр фонт нь эх сурвалж мэдээлэл .

Хар фонт нь завсрын тооцооны үр дүн .

Улаан фонт нь эцсийн тооцооны үр дүн .

Бид асуудлыг шийдэж эхэлдэг - бид хэсгийн хүндийн төвийн координатыг хайж эхэлдэг.

Анхны өгөгдөл:

1. Бид нийлмэл хэсгийг бүрдүүлсэн анхан шатны дүрсүүдийн нэрийг бичнэ

D3 нүд рүү: Тэгш өнцөгт

E3 нүд рүү: Гурвалжин

F3 нүд рүү: Хагас тойрог

2. Энэ нийтлэлд үзүүлсэн "Анхан шатны дүрсүүдийн номын сан" -ыг ашиглан бид нийлмэл хэсгийн элементүүдийн хүндийн төвүүдийн координатыг тодорхойлох болно. xciТэгээд yciдур мэдэн сонгосон 0x ба 0y тэнхлэгтэй харьцуулахад мм-ээр бичнэ

D4 нүд рүү: =80/2 = 40,000

xc 1 = а 1 /2

D5 нүд рүү: =40/2 =20,000

yc 1 = б 1 /2

E4 нүд рүү: =24/2 =12,000

xc 2 = а 2 /2

E5 нүд рүү: =40+42/3 =54,000

yc 2 = б 1 + h 2 /3

F4 нүд рүү: =50 =50,000

xc 3 = x03

F5 нүд рүү: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Элементүүдийн талбайг тооцоолъё Ф 1 , Ф 2 , Ф3 мм2-д дахин "Эхний тоонуудын номын сан" хэсгийн томъёог ашиглана.

D6 нүдэнд: =40*80 =3200

Ф1 = а 1 * б1

E6 нүдэнд: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

F6 нүдэнд: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Гурав дахь элементийн талбай - хагас тойрог нь сөрөг байна, учир нь энэ нь огтлолт - хоосон зай юм!

Хүндийн төвийн координатыг тооцоолох:

4. Тодорхойлъё нийт талбайэцсийн зураг Ф0 мм2-д

D8E8F8 нэгтгэсэн нүдэнд: =D6+E6+F6 =2642

Ф0 = Ф 1 + Ф 2 + Ф3

5. Нийлмэл дүрсийн статик моментуудыг тооцоолъё SxТэгээд С 0x ба 0y сонгосон тэнхлэгтэй харьцуулахад мм3

D9E9F9 нэгтгэсэн нүдэнд: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

нэгтгэсэн нүдэнд D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

С = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Эцэст нь нийлмэл хэсгийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолъё XcТэгээд Ycсонгосон координатын системд мм-ээр 0x - 0y

нэгтгэсэн нүдэнд D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = С / Ф0

нэгтгэсэн нүдэнд D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Асуудал шийдэгдэж, Excel-ийн тооцоо дууссан - гурван энгийн элемент ашиглан эмхэтгэсэн хэсгийн хүндийн төвийн координатууд олдлоо!

Дүгнэлт.

Нарийн төвөгтэй хэсгийн хүндийн төвийг тооцоолох аргачлалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс нийтлэл дэх жишээг маш энгийнээр сонгосон. Арга нь ямар ч гэсэн нарийн төвөгтэй дүрсбүхий энгийн элементүүдэд хуваагдах ёстой алдартай газруудхүндийн төвүүдийн байршил, бүх хэсгийн эцсийн тооцоог хийнэ.

Хэрэв хэсэг нь өнхрөх профиль - өнцөг ба сувгуудаар хийгдсэн бол тэдгээрийг дугуй хэлбэртэй "π / 2" салбартай тэгш өнцөгт, дөрвөлжин болгон хуваах шаардлагагүй болно. Эдгээр профайлын хүндийн төвүүдийн координатуудыг ГОСТ хүснэгтэд өгсөн болно, өөрөөр хэлбэл өнцөг ба суваг хоёулаа нийлмэл хэсгүүдийн тооцоололд үндсэн элемент байх болно (I-цацрагуудын талаар ярих нь утгагүй юм. хоолой, саваа ба зургаан өнцөгт - эдгээр нь төвлөрсөн тэгш хэмтэй хэсгүүд юм).

Мэдээжийн хэрэг координатын тэнхлэгүүдийн байршил нь зургийн хүндийн төвийн байрлалд нөлөөлөхгүй! Тиймээс тооцоогоо хялбарчлах координатын системийг сонго. Жишээлбэл, би координатын системийг цагийн зүүний дагуу 45˚ эргүүлэх юм бол тэгш өнцөгт, гурвалжин, хагас тойргийн хүндийн төвүүдийн координатыг тооцоолох нь тооцооллын өөр нэг тусдаа бөгөөд төвөгтэй үе шат болж хувирах бөгөөд үүнийг хийх боломжгүй юм. толгойд".

Доор үзүүлсэн Excel тооцооллын файл дотор байна энэ тохиолдолдпрограм биш. Үүний оронд энэ нь тодорхой тохиолдол бүрт дагаж мөрддөг тооцоолуур, алгоритм, загвар юм. тод шар өнгийн дүүргэлттэй нүднүүдийн хувьд өөрийн томъёоны дарааллыг үүсгэ.

Тиймээс та одоо аль ч хэсгийн хүндийн төвийг хэрхэн олохоо мэддэг болсон! Дурын нарийн төвөгтэй нийлмэл хэсгүүдийн бүх геометрийн шинж чанаруудын бүрэн тооцоог "" хэсгийн дараагийн нийтлэлүүдийн аль нэгэнд авч үзэх болно. Блог дээрх мэдээг дагаарай.

Учир нь хүлээн авч байна шинэ нийтлэлүүд гарах тухай мэдээлэл болон төлөө ажиллаж байгаа програмын файлуудыг татаж авах Өгүүллийн төгсгөлд эсвэл хуудасны дээд талд байрлах цонхон дээрх зарлалуудыг бүртгүүлэхийг би танаас хүсч байна.

Хаягаа оруулсны дараа имэйл"Өгүүллийн зарлал хүлээн авах" товчийг дарна уу БҮҮ МАРТ ЗАХИАЛГАА БАТАЛГААРАЙ холбоос дээр дарж үзнэ үү заасан имэйл хаягаар танд шууд ирэх захидалд (заримдаа хавтсанд « Спам » )!

Өгүүллийн эхэнд байгаа "зурагны дүрс" дээр дүрслэгдсэн шил, зоос, хоёр сэрээний талаар хэдэн үг хэлье. Та нарын олонхи нь хүүхэд, насанд хүрэгчдийн гайхшралыг төрүүлдэг энэхүү "заль мэх"-ийг мэддэг байх. Энэ нийтлэлийн сэдэв бол хүндийн төв юм. Энэ бол бидний ухамсар, туршлагаар тоглож буй тулгуур цэг бөгөөд бидний оюун санааг зүгээр л хуурч байна!

“Сэрээ+зоос” системийн хүндийн төв нь үргэлж дээр байрладаг тогтмолзай босоо доошзоосны ирмэгээс, энэ нь эргээд тулгуур цэг юм. Энэ бол тогтвортой тэнцвэрийн байрлал юм!Хэрэв та сэрээгээ сэгсэрвэл систем нь өмнөх тогтвортой байр сууриа эзлэхийг хичээж байгаа нь тэр даруй тодорхой болно! Савлуурыг төсөөлөөд үз дээ - бэхэлгээний цэг (=шилний ирмэг дээрх зоосны тулгуур цэг), дүүжингийн саваа тэнхлэг (=Манай тохиолдолд тэнхлэг нь виртуаль, учир нь хоёр салааны масс. орон зайд янз бүрийн чиглэлд тархсан) ба тэнхлэгийн доод хэсэгт ачаалал (=бүхэл "салаа" системийн хүндийн төв + зоос"). Хэрэв та савлуурыг босоо тэнхлэгээс аль нэг чиглэлд (урагш, хойш, зүүн, баруун) хазайлгаж эхэлбэл таталцлын нөлөөгөөр анхны байрлал руугаа буцах нь гарцаагүй. тэнцвэрийн тогтвортой байдал(Манай сэрээ, зоостой ижил зүйл тохиолддог)!

Хэрэв та ойлгохгүй байгаа ч ойлгохыг хүсч байвал өөрөө ойлгоорой. Өөрөө "тэнд очих" нь маш сонирхолтой юм! Тогтвортой тэнцвэрийг ашиглах ижил зарчмыг Vanka-stand-up тоглоомонд бас хэрэгжүүлдэг гэдгийг би нэмж хэлье. Зөвхөн энэ тоглоомын хүндийн төв нь тулгуур цэгээс дээш, харин тулгуур гадаргуугийн хагас бөмбөрцгийн төвийн доор байрладаг.

Би та бүхний сэтгэгдлийг харахдаа үргэлж баяртай байдаг, эрхэм уншигчид аа!!!

Гуйя ХҮНДЭТГЭЛ зохиогчийн бүтээл, татаж авах файл SUBSCRIBE хийсний дараа нийтлэлийн зарын хувьд.

Массын төвийг тооцоолох математик техник нь математикийн хичээлийн салбарт хамаарна; ижил төстэй ажлууд тэнд үйлчилдэг сайн жишээнүүдинтеграл тооцоонд. Гэхдээ та хэрхэн нэгтгэхээ мэддэг байсан ч массын төвийн байрлалыг тооцоолох зарим заль мэхийг мэдэх нь ашигтай байдаг. Ийм нэг заль мэх нь дараах байдлаар ажилладаг Паппусын теоремыг ашиглахад суурилдаг. Хэрэв бид зарим хаалттай дүрсийг аваад хатуу биеийг бүрдүүлж, энэ дүрсийг орон зайд эргүүлж, цэг бүр нь зургийн хавтгайд перпендикуляр хөдөлдөг бол үүссэн биеийн эзэлхүүн нь тухайн зургийн талбайн үржвэртэй тэнцүү байна. мөн түүний хүндийн төвөөр туулсан зай! Мэдээжийн хэрэг, хавтгай дүрс нь түүний талбайд перпендикуляр шулуун шугамаар хөдөлж байгаа тохиолдолд энэ теорем бас үнэн байх болно, гэхдээ хэрэв бид түүнийг тойрог эсвэл өөр ямар нэгэн байдлаар хөдөлгөвөл

муруй, дараа нь энэ нь илүү сонирхолтой биеийг бий болгодог. Муруй зам дагуу хөдөлж байх үед зургийн дотоод хэсэг нь гаднах хэсгээс бага хөдөлдөг бөгөөд эдгээр нөлөө нь бие биенээ нөхдөг. Тэгэхээр бид тодорхойлохыг хүсвэл; Нэг төрлийн нягтралтай хавтгай дүрсийн массын төв бол тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлдэж буй эзэлхүүн нь массын төвөөс туулсан зайг тухайн зургийн талбайгаар үржүүлсэнтэй тэнцүү гэдгийг санах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, бид массын төвийг олох шаардлагатай бол зөв гурвалжинсуурь D ба H өндөртэй (Зураг 19.2), дараа нь үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ. H дагуух тэнхлэгийг төсөөлөөд гурвалжинг энэ тэнхлэгийг тойрон 360° эргүүлнэ. Энэ нь бидэнд конусыг өгдөг. Массын төвийн х-координатаар туулсан зай нь 2πx, хөдөлсөн бүсийн талбай, өөрөөр хэлбэл гурвалжны талбай нь l/2 HD байна. Массын төв ба гурвалжны талбайн туулсан зайны үржвэр нь конусын эзэлхүүнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 1/3 πD 2 H. Тиймээс (2πх) (1/2HD) = 1/3D. 2 H, эсвэл x = D/Z. Үүнтэй ижил төстэй байдлаар, хоёр дахь хөлийг тойрон эргэх эсвэл зүгээр л тэгш хэмийн шалтгаанаар бид y = H / 3 болохыг олж мэдэв. Ерөнхийдөө аливаа нэгэн төрлийн гурвалжны массын төв нь суурийнх нь 1-тэй тэнцүү зайд байрлах гурван медианы (гурвалжны оройг эсрэг талын голд холбосон шугам) огтлолцох цэг дээр байрладаг. / медиан бүрийн уртын 3.
Яаж үзэх вэ? Суурьтай параллель шугам бүхий гурвалжинг олон тууз болгон хайчилж ав. Медиан нь тууз бүрийг хагасаар хуваадаг тул массын төв нь медиан дээр байх ёстой гэдгийг анхаарна уу.
Одоо илүү төвөгтэй зургийг авч үзье. Бид нэгэн төрлийн хагас тойргийн массын төвийн байрлалыг олох хэрэгтэй гэж бодъё, өөрөөр хэлбэл хагасыг нь огтолсон тойрог. Энэ тохиолдолд массын төв хаана байх вэ? Бүтэн тойргийн хувьд массын төв нь геометрийн төвд байрладаг боловч хагас тойргийн хувьд түүний байрлалыг олоход илүү хэцүү байдаг. Тойргийн радиусыг r, хагас тойргийн шулуун хилээс массын төвийн зайг x гэж үзье. Энэ ирмэгийг тэнхлэгийн эргэн тойронд мэт эргүүлснээр бид бөмбөг авдаг. Энэ тохиолдолд массын төв нь 2πx зайд явдаг бөгөөд хагас тойргийн талбай нь 1/2πr 2 (тойргийн талбайн тал)-тай тэнцүү байна. Бөмбөгний эзэлхүүн нь мэдээжийн хэрэг 4πg 3 /3 тул эндээс бид олно

эсвэл

Паппусын өөр нэг теорем байдаг бөгөөд энэ нь дээр дурдсан теоремын онцгой тохиолдол бөгөөд тиймээс бас хүчинтэй. Хатуу хагас тойргийн оронд бид хагас тойрог, жишээлбэл, жигд нягтралтай хагас тойрог хэлбэртэй утсыг авч, түүний массын төвийг олохыг хүсч байна гэж бодъё. Хөдөлгөөний явцад хавтгай муруйгаар "арагдсан" талбай нь дээр дурдсантай төстэй бөгөөд массын төвөөс туулсан зайг энэ муруйн уртаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. (Муруйг маш нарийн зурвас гэж үзэж болох ба өмнөх теоремыг түүн дээр хэрэглэж болно.)

Дээр олж авсан ерөнхий томъёонд үндэслэн биеийн хүндийн төвүүдийн координатыг тодорхойлох тусгай аргуудыг зааж өгөх боломжтой.

1. Тэгш хэм.Хэрэв нэгэн төрлийн бие нь хавтгай, тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвтэй бол (Зураг 7) түүний хүндийн төв нь тэгш хэмийн хавтгай, тэгш хэмийн тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвд тус тус байрладаг.

Зураг 7

2. Хагалах.Биеийг хязгаарлагдмал тооны хэсгүүдэд хуваадаг (Зураг 8), тус бүр нь хүндийн төв ба талбайн байрлалыг мэддэг.

Зураг 8

3.Сөрөг бүсийн арга.Хуваах аргын онцгой тохиолдол (Зураг 9). Энэ нь зүсэлтгүй биеийн хүндийн төвүүд болон зүсэлттэй хэсэг нь мэдэгдэж байгаа бол зүсэлттэй биед хамаарна. Зүсэлт бүхий хавтан хэлбэртэй биеийг S 1 талбайтай цул хавтанг (тайралтгүй) ба S 2 зүссэн хэсгийн талбайн хослолоор дүрсэлдэг.

Зураг 9

4.Бүлэглэх арга.Энэ нь сүүлийн хоёр аргын сайн нэмэлт юм. Дүрсийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваасны дараа энэ бүлгийн тэгш хэмийг харгалзан шийдлийг хялбарчлахын тулд тэдгээрийн заримыг дахин нэгтгэх нь тохиромжтой.

Зарим нэгэн төрлийн биетүүдийн хүндийн төвүүд.

1) Дугуй нумын хүндийн төв.Нуманыг анхаарч үзээрэй ABрадиус Ртөв өнцөгтэй. Тэгш хэмийн улмаас энэ нумын хүндийн төв нь тэнхлэг дээр байрладаг Үхэр(Зураг 10).

Зураг 10

Томъёог ашиглан координатыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд нуман дээр сонгоно уу ABэлемент ММ'урт, байрлал нь өнцгөөр тодорхойлогддог. Координат Xэлемент ММ'болно. Эдгээр утгыг орлуулах Xболон d лИнтеграл нь нумын бүх уртын дагуу үргэлжлэх ёстойг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хаана Л- нумын урт AB, тэнцүү байна.

Эндээс бид эцэст нь дугуй нумын хүндийн төв нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг дээр төвөөс хол зайд оршдог болохыг олж мэдэв. ТУХАЙ, тэнцүү

Энд өнцгийг радианаар хэмждэг.

2) Гурвалжны талбайн хүндийн төв.Онгоцонд хэвтэж буй гурвалжинг авч үзье Окси, оройнуудын координатууд нь мэдэгдэж байна: А и(x i,y i), (би= 1,2,3). Гурвалжинг хажуу талдаа параллель нарийн тууз болгон хуваана А 1 А 2-т бид гурвалжны хүндийн төв нь голч байх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. А 3 М 3 (Зураг 11).

Зураг.11

Гурвалжинг хажуу талдаа параллель тууз болгон хуваах А 2 А 3, энэ нь медиан дээр байх ёстой гэдгийг бид шалгаж болно А 1 М 1. Тиймээс, гурвалжны хүндийн төв нь түүний медиануудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг, энэ нь мэдэгдэж байгаагаар, харгалзах талаас нь тоолох медиан бүрээс гуравны нэг хэсгийг тусгаарладаг.

Ялангуяа дунд зэргийн хувьд А 1 М 1 цэгийн координатыг харгалзан бид олж авна М 1 нь оройнуудын координатын арифметик дундаж юм А 2 ба А 3:

х в = x 1 + (2/3)∙(х М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Тиймээс гурвалжны хүндийн төвийн координатууд нь түүний оройн координатуудын арифметик дундаж юм.

x в =(1/3)Σ x i ; y в =(1/3)Σ y i.

3) Дугуй секторын талбайн хүндийн төв.Радиустай тойргийн салбарыг авч үзье Ртэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай 2α-ийн төв өнцөгтэй Үхэр(Зураг 12) .

Энэ нь ойлгомжтой y в = 0 бөгөөд энэ салбарыг огтолж буй тойргийн төвөөс хүндийн төв хүртэлх зайг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.

Зураг.12

Энэ интегралыг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол интеграцийн домайныг өнцгөөр энгийн секторуудад хуваах явдал юм. гφ. Нэгдүгээр эрэмбийн хязгааргүй тоо хүртэл нарийвчлалтай ийм секторыг суурьтай тэнцүү гурвалжингаар сольж болно. Р× гφ ба өндөр Р. Ийм гурвалжны талбай dF=(1/2)Р 2 ∙гφ, түүний хүндийн төв нь 2/3 зайд байна Роройноос, тиймээс бид (5)-д тавьдаг x = (2/3)Р∙cosφ. (5)-д орлуулж байна Ф= α Р 2, бид авна:

Сүүлийн томъёог ашиглан бид, ялангуяа хүндийн төв хүртэлх зайг тооцоолно хагас тойрог.

(2) -д α = π/2-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. x в = (4Р)/(3π) ≅ 0.4 Р .

Жишээ 1.Зурагт үзүүлсэн нэгэн төрлийн биеийн хүндийн төвийг тодорхойлъё. 13.

Зураг.13

Бие нь нэгэн төрлийн, тэгш хэмтэй хоёр хэсгээс бүрддэг. Тэдний хүндийн төвүүдийн координатууд:

Тэдний хэмжээ:

Тиймээс биеийн хүндийн төвийн координатууд

Жишээ 2.Зөв өнцгөөр муруйсан хавтангийн хүндийн төвийг олцгооё. Хэмжээ нь зураг дээр байна (Зураг 14).

Зураг 14

Хүндийн төвүүдийн координатууд:

Газар нутаг:

Цагаан будаа. 6.5.

Жишээ 3.Дөрвөлжин хуудас см см-ээр зүсэгдсэн дөрвөлжин нүхтэй байна (Зураг 15). Хуудасны хүндийн төвийг олъё.

Зураг.15

Энэ асуудалд биеийг том дөрвөлжин, дөрвөлжин нүх гэсэн хоёр хэсэгт хуваах нь илүү тохиромжтой. Зөвхөн нүхний талбайг сөрөг гэж үзэх хэрэгтэй. Дараа нь нүхтэй хуудасны хүндийн төвийн координатууд:

бие нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй (диагональ) тул координат.

Жишээ 4.Утасны бэхэлгээ (Зураг 16) нь ижил урттай гурван хэсгээс бүрдэнэ л.

Зураг 16

Хэсгийн хүндийн төвүүдийн координатууд:

Тиймээс бүхэл хаалтны хүндийн төвийн координатууд нь:

Жишээ 5.Бүх саваа нь ижил шугаман нягттай фермийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлно (Зураг 17).

Физикийн хувьд биеийн нягт ρ ба түүний хувийн жин g нь γ= ρ харьцаатай байдгийг эргэн санацгаая. g, Хаана g- чөлөөт уналтын хурдатгал. Ийм нэгэн төрлийн биеийн массыг олохын тулд нягтыг эзлэхүүнээр нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Зураг 17

"Шугаман" эсвэл "шугаман" нягт гэдэг нэр томъёо нь фермийн савааны массыг тодорхойлохын тулд шугаман нягтыг энэ саваагийн уртаар үржүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм.

Асуудлыг шийдэхийн тулд та хуваах аргыг ашиглаж болно. Өгөгдсөн фермийг 6 бие даасан савааны нийлбэрээр төлөөлүүлэн бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хаана Л иурт би th фермийн саваа, ба x i, y i- түүний хүндийн төвийн координатууд.

Дотоод сүлжээний сүүлийн 5 баарыг бүлэглэх замаар энэ асуудлын шийдлийг хялбаршуулж болно. Энэ бүлгийн савааны хүндийн төв байрладаг дөрөв дэх бариулын дунд байрлах тэгш хэмийн төвтэй дүрсийг бүрдүүлж байгааг харахад хялбар байдаг.

Тиймээс өгөгдсөн фермийг зөвхөн хоёр бүлгийн саваагаар төлөөлж болно.

Эхний бүлэг нь эхний саваагаас бүрдэнэ Л 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м хоёр дахь бүлгийн саваа нь таван саваагаас бүрдэнэ Л 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Дотоод сүлжээний хүндийн төвийн координатыг дараахь томъёогоор олно.

x в = (Л 1 ∙x 1 +Л 2 ∙x 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y в = (Л 1 ∙y 1 +Л 2 ∙y 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

төв гэдгийг анхаарна уу ХАМТхолбосон шулуун шугам дээр байрладаг ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 ба сегментийг хуваана ХАМТ 1 ХАМТ 2 талаар: ХАМТ 1 ХАМТ/SS 2 = (x в - x 1)/(x 2 - x в ) = Л 2 /Л 1 = 2,5/0,5.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

Зэрэгцээ хүчний төвийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Зэрэгцээ хүчний төвийн координатыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Үр дүн нь тэг болох параллель хүчний төвийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Зэрэгцээ хүчний төв ямар шинж чанартай вэ?

Зэрэгцээ хүчний төвийн координатыг ямар томъёогоор тооцоолох вэ?

Биеийн хүндийн төв гэж юу вэ?

Биеийн цэг дээр үйлчлэх дэлхийн таталцлын хүчийг яагаад параллель хүчний систем гэж үзэж болох вэ?

Нэг төрлийн ба нэгэн төрлийн биетүүдийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёо, хавтгай хэсгүүдийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёог бичнэ үү?

Энгийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёог бичнэ үү геометрийн хэлбэрүүд: тэгш өнцөгт, гурвалжин, трапец, хагас тойрог?

Талбайн статик момент гэж юу вэ?

Хүндийн төв нь биеийн гадна байрладаг биеийн жишээг өг.

Биеийн хүндийн төвийг тодорхойлоход тэгш хэмийн шинж чанарыг хэрхэн ашигладаг вэ?

Сөрөг жингийн аргын мөн чанар юу вэ?

Дугуй нумын хүндийн төв хаана байдаг вэ?

Гурвалжны хүндийн төвийг олохын тулд ямар график бүтцийг ашиглаж болох вэ?

Дугуй секторын хүндийн төвийг тодорхойлох томъёог бич.

Гурвалжин ба дугуй секторын хүндийн төвүүдийг тодорхойлох томъёог ашиглан дугуй сегментийн ижил төстэй томъёог гарга.

Нэг төрлийн биет, хавтгай дүрс, шугамын хүндийн төвүүдийн координатыг ямар томъёогоор тооцоолох вэ?

Онгоцны дүрсийн талбайн тэнхлэгтэй харьцуулахад статик момент гэж юу вэ, үүнийг хэрхэн тооцдог, ямар хэмжээстэй вэ?

Хэрэв түүний бие даасан хэсгүүдийн хүндийн төвүүдийн байрлал мэдэгдэж байгаа бол тухайн талбайн хүндийн төвийн байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Таталцлын төвийн байрлалыг тодорхойлоход ямар туслах теоремуудыг ашигладаг вэ?

6.1. Ерөнхий мэдээлэл

Зэрэгцээ хүчний төв
Нэг чиглэлд чиглэсэн хоёр параллель хүчийг авч үзье, мөн цэг дээр биед үйлчлэх А 1 ба А 2 (Зураг 6.1). Энэхүү хүчний систем нь үйл ажиллагааны шугам нь тодорхой цэгээр дамждаг үр дүнтэй байдаг ХАМТ. Цэгийн байрлал ХАМТВариньоны теоремыг ашиглан олж болно:

Хэрэв та хүчийг эргүүлж, цэгүүдийн ойролцоо байвал А 1 ба А 2 нэг чиглэлд, ижил өнцгөөр бид авдаг шинэ системижил модультай зэрэгцээ салаа. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн үр дүн нь мөн цэгээр дамжих болно ХАМТ. Энэ цэгийг параллель хүчний төв гэж нэрлэдэг.
Цэгүүд дээр хатуу биед үйлчлэх параллель ба ижил чиглэсэн хүчний системийг авч үзье. Энэ систем нь үр дүнтэй байдаг.
Хэрэв системийн хүч бүрийг тэдгээрийн хэрэглээний цэгүүдийн ойролцоо нэг чиглэлд, ижил өнцгөөр эргүүлбэл ижил модуль, хэрэглээний цэгүүдтэй ижил чиглэсэн зэрэгцээ хүчний шинэ системийг олж авна. Ийм системийн үр дүн нь ижил модультай байх болно Р, гэхдээ тэр болгонд өөр чиглэл. Хүч чадлаа цуглуулсан Ф 1 ба Ф 2 Тэдний үр дүн гэдгийг бид олж мэдсэн Р 1, энэ нь үргэлж цэгээр дамжин өнгөрөх болно ХАМТ 1, байрлал нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. Цааш нугалах Р 1 ба Ф 3, бид тэдгээрийн үр дүнг олох бөгөөд энэ нь үргэлж цэгээр дамжин өнгөрөх болно ХАМТ 2 шулуун шугаман дээр хэвтэж байна А 3 ХАМТ 2. Хүч нэмэх үйл явцыг төгсгөлд нь авчирсны дараа бид бүх хүчний үр дүн үргэлж нэг цэгээр дамжин өнгөрөх болно гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. ХАМТ, оноотой харьцуулахад байрлал нь өөрчлөгдөхгүй.
Цэг ХАМТ, параллель хүчний үр дүнгийн системийн үйл ажиллагааны шугам нь ижил өнцгөөр ижил чиглэлд тэдгээрийн хэрэглээний цэгүүдийн ойролцоо эдгээр хүчний аливаа эргэлтэнд дамждаг хэсгийг параллель хүчний төв гэж нэрлэдэг (Зураг 6.2).

Зураг.6.2

Зэрэгцээ хүчний төвийн координатыг тодорхойлъё. Цэгийн байрлалаас хойш ХАМТбиетэй харьцуулахад өөрчлөгдөөгүй бол координат нь координатын системийн сонголтоос хамаардаггүй. Бүх хүчийг тэнхлэгт параллель болгохын тулд тэдгээрийн хэрэглээний эргэн тойронд эргүүлье Өөэргүүлэх хүчинд Вариньоны теоремыг хэрэглэнэ. Учир нь R"нь эдгээр хүчний үр дүн юм, тэгвэл Вариньоны теоремын дагуу бид байна , учир нь , , бид авдаг

Эндээс параллель хүчний төвийн координатыг олно zc:

Координатыг тодорхойлох xcТэнхлэгийг тойрсон хүчний моментийг илэрхийлье Оз.

Координатыг тодорхойлох ycбүх хүчийг тэнхлэгт параллель болгохоор эргүүлье Оз.

Гарал үүсэлтэй харьцуулахад параллель хүчний төвийн байрлалыг (Зураг 6.2) түүний радиус вектороор тодорхойлж болно.

6.2. Хатуу биеийн хүндийн төв

Хүндийн төвхатуу биеийн цэг нь энэ биетэй байнга холбоотой байдаг ХАМТ, өгөгдсөн биеийн таталцлын үр дүнгийн хүчний үйл ажиллагааны шугам дамждаг, орон зай дахь биеийн аль ч байрлалд.
Таталцлын төвийг таталцлын нөлөөн дор бие ба тасралтгүй зөөвөрлөгчийн тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлыг судлах, бусад тохиолдолд, тухайлбал: материалын бат бөх байдал, бүтцийн механикт - Верещагины дүрмийг ашиглах үед ашигладаг.
Биеийн хүндийн төвийг тодорхойлох хоёр арга байдаг: аналитик ба туршилт. Аналитик аргаХүндийн төвийн тодорхойлолт нь параллель хүчний төвийн үзэл баримтлалаас шууд гардаг.
Зэрэгцээ хүчний төв болох хүндийн төвийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана Р- бүх биеийн жин; pk- биеийн хэсгүүдийн жин; xk, yk, zk- биеийн хэсгүүдийн координатууд.
Нэг төрлийн биеийн хувьд бүх биеийн болон түүний аль нэг хэсгийн жин нь эзлэхүүнтэй пропорциональ байна P=Vγ, pk =vk γ, Хаана γ - нэгж эзлэхүүн дэх жин, В- биеийн хэмжээ. Орлуулах илэрхийлэл П, pkхүндийн төвийн координатыг тодорхойлох, нийтлэг хүчин зүйлээр багасгах томъёонд оруулна γ , бид авах:

Цэг ХАМТ, тэдгээрийн координатууд нь үүссэн томъёогоор тодорхойлогддог, гэж нэрлэдэг эзлэхүүний хүндийн төв.
Хэрэв бие нь нимгэн нэгэн төрлийн хавтан бол хүндийн төвийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Хаана С- бүхэл хавтангийн талбай; ск- түүний хэсгийн талбай; xk, yk- хавтангийн хэсгүүдийн хүндийн төвийн координатууд.
Цэг ХАМТЭнэ тохиолдолд үүнийг дууддаг талбайн хүндийн төв.
Хавтгай дүрсүүдийн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлдог илэрхийллийн тоологчийг дараах байдлаар нэрлэдэг. талбайн статик моментуудтэнхлэгтэй харьцуулахад цагтТэгээд X:

Дараа нь тухайн талбайн хүндийн төвийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.

Урт нь хөндлөн огтлолын хэмжээнээс хэд дахин их биеийн хувьд шугамын хүндийн төвийг тодорхойлно. Шугамын хүндийн төвийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана Л- шугамын урт; лк- түүний хэсгүүдийн урт; xk, yk, zk- шугамын хэсгүүдийн хүндийн төвийн координат.

6.3. Биеийн хүндийн төвүүдийн координатыг тодорхойлох арга

Хүлээн авсан томъёонд үндэслэн биеийн хүндийн төвүүдийг тодорхойлох практик аргуудыг санал болгож болно.
1. Тэгш хэм. Хэрэв бие нь тэгш хэмийн төвтэй бол хүндийн төв нь тэгш хэмийн төвд байна.
Хэрэв бие нь тэгш хэмийн хавтгайтай бол. Жишээлбэл, XOU онгоц, дараа нь хүндийн төв нь энэ хавтгайд байрладаг.
2. Хагалах. Энгийн хэлбэртэй биетүүдээс бүрдэх биетүүдийн хувьд хуваах аргыг ашигладаг. Биеийг хэсгүүдэд хуваадаг бөгөөд хүндийн төв нь тэгш хэмийн аргаар тодорхойлогддог. Бүх биеийн хүндийн төвийг эзэлхүүний хүндийн төвийн (талбай) томъёогоор тодорхойлно.

Жишээ. Доорх зурагт үзүүлсэн хавтангийн хүндийн төвийг тодорхойлно (Зураг 6.3). Хавтанг тэгш өнцөгт болгон хувааж болно янз бүрийн аргаартэгш өнцөгт бүрийн хүндийн төвийн координат ба тэдгээрийн талбайг тодорхойлно.

Зураг.6.3

Хариулт: xв=17.0см; yв=18.0см.

3. Нэмэлт. Энэ арга нь хуваах аргын онцгой тохиолдол юм. Биеийн зүсэлтгүй биеийн хүндийн төвийн координатыг мэддэг бол зүсэлт, зүсмэл гэх мэт тохиолдолд хэрэглэнэ.

Жишээ. Таслах радиустай дугуй хавтангийн хүндийн төвийг тодорхойл r = 0,6 Р(Зураг 6.4).

Зураг.6.4

Дугуй хавтан нь тэгш хэмийн төвтэй байдаг. Координатын гарал үүслийг хавтангийн төвд байрлуулъя. Зүсэлтгүй хавтангийн талбай, зүссэн хэсэг. Зүссэн дөрвөлжин хавтан; .
Зүссэн хавтан нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байдаг О1 x, тиймээс, yc=0.

4. Интеграци. Хэрэв биеийг хүндийн төвүүдийн байрлал нь мэдэгдэж байгаа хязгаарлагдмал тооны хэсгүүдэд хуваах боломжгүй бол биеийг дурын жижиг эзэлхүүнүүдэд хуваадаг бөгөөд хуваах аргыг ашиглан томъёо нь дараах хэлбэртэй байна. .
Дараа нь тэд хязгаарт хүрч, үндсэн эзэлхүүнийг тэг рүү чиглүүлдэг, өөрөөр хэлбэл. гэрээт хэмжээг цэг болгон хуваах. Нийлбэрүүд нь биеийн бүх эзэлхүүнийг хамарсан интегралаар солигддог бөгөөд дараа нь эзэлхүүний хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох томъёонууд дараах хэлбэртэй байна.

Талбайн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох томъёо:

Бүтцийн механик дахь Морын интегралыг тооцоолохдоо ялтсуудын тэнцвэрийг судлахдаа тухайн талбайн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Жишээ. Радиустай дугуй нумын хүндийн төвийг тодорхойлно уу Ртөв өнцөгтэй AOB= 2α (Зураг 6.5).

Цагаан будаа. 6.5

Тойргийн нум нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна Өө, тиймээс нумын хүндийн төв нь тэнхлэг дээр байрладаг Өө, yс = 0.
Шугамын хүндийн төвийн томъёоны дагуу:

6.Туршилтын арга. Нарийн төвөгтэй хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус биетүүдийн хүндийн төвүүдийг туршилтаар тодорхойлж болно: өлгөх, жинлэх аргаар. Эхний арга бол биеийг янз бүрийн цэгүүдэд кабель дээр түдгэлзүүлэх явдал юм. Биеийг түдгэлзүүлсэн кабелийн чиглэл нь таталцлын чиглэлийг өгнө. Эдгээр чиглэлүүдийн огтлолцох цэг нь биеийн хүндийн төвийг тодорхойлдог.
Жинлэх арга нь эхлээд машины жинг тодорхойлох явдал юм. Дараа нь тээврийн хэрэгслийн хойд тэнхлэгийн тулгуур дээрх даралтыг жингийн дагуу тодорхойлно. Нэг цэгтэй, жишээлбэл, урд дугуйны тэнхлэгтэй харьцуулахад тэнцвэрийн тэгшитгэлийг хийснээр та энэ тэнхлэгээс машины хүндийн төв хүртэлх зайг тооцоолж болно (Зураг 6.6).

Зураг.6.6

Заримдаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ таталцлын төвийн координатыг тодорхойлох янз бүрийн аргыг нэгэн зэрэг ашиглах шаардлагатай болдог.

6.4. Зарим энгийн геометрийн дүрсүүдийн хүндийн төвүүд

Байнга тохиолддог хэлбэрийн (гурвалжин, дугуй нуман, сектор, сегмент) биеийн хүндийн төвийг тодорхойлохын тулд лавлагааны өгөгдлийг ашиглах нь тохиромжтой (Хүснэгт 6.1).

Хүснэгт 6.1

Зарим нэг төрлийн биетүүдийн хүндийн төвийн координатууд

№	Зургийн нэр	Зурах
	Тойргийн нум: жигд тойргийн нумын хүндийн төв нь тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байна (координат uc=0). Р- тойргийн радиус.
	Нэг төрлийн дугуй салбар uc=0). энд α нь төвийн өнцгийн хагас; Р- тойргийн радиус.
	Сегмент: хүндийн төв нь тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрладаг (координат uc=0). энд α нь төвийн өнцгийн хагас; Р- тойргийн радиус.
	Хагас тойрог:
	Гурвалжин: нэгэн төрлийн гурвалжны хүндийн төв нь түүний медиануудын огтлолцлын цэг дээр байна. Хаана x1, y1, x2, y2, x3, y3- гурвалжны оройн координатууд
	Конус: жигд дугуй конусын хүндийн төв нь түүний өндөрт байрлах ба конусын суурийн өндрийн 1/4-ийн зайд байрладаг.

Дугуй нумын хүндийн төв

Нуман нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй. Хүндийн төв нь энэ тэнхлэг дээр байрладаг, i.e. y C = 0 .

dl- нуман элемент, dl = Rdφ, Р- тойргийн радиус, x = Rcosφ, L= 2αR,

Тиймээс:

x C = R(sinα/α).

Дугуй хэлбэрийн хүндийн төв

Радиусын салбар Ртөв өнцөгтэй 2 α тэгш хэмийн тэнхлэгтэй Үхэр, таталцлын төв хаана байрладаг.

Бид салбарыг гурвалжин гэж үзэж болох анхан шатны салбаруудад хуваадаг. Энгийн секторуудын хүндийн төвүүд нь радиустай дугуй нуман дээр байрладаг (2/3) Р.

Салбарын хүндийн төв нь нумын хүндийн төвтэй давхцдаг AB:

Хагас тойрог:

37. Кинематик. Нэг цэгийн кинематик. Цэгийн хөдөлгөөнийг тодорхойлох аргууд.

Кинематик– материаллаг биетүүдийн хөдөлгөөнийг геометрийн үүднээс масс болон тэдгээрт үйлчлэх хүчийг харгалзахгүйгээр судалдаг механикийн салбар. Цэгийн хөдөлгөөнийг тодорхойлох аргууд: 1) байгалийн, 2) координат, 3) вектор.

Нэг цэгийн кинематик- судалдаг кинематикийн хэсэг математик тайлбарматериаллаг цэгүүдийн хөдөлгөөн. Кинематикийн гол ажил бол энэ хөдөлгөөнийг үүсгэсэн шалтгааныг тодорхойлохгүйгээр математикийн аппарат ашиглан хөдөлгөөнийг дүрслэх явдал юм.

Байгалийн sp. цэгийн замнал, энэ траекторийн дагуух хөдөлгөөний хууль, нумын координатын эхлэл ба чиглэлийг зааж өгсөн болно: s=f(t) – цэгийн хөдөлгөөний хууль. Шугаман хөдөлгөөний хувьд: x=f(t).

Координат sp. орон зай дахь цэгийн байрлал нь гурван координатаар тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээрийн өөрчлөлт нь тухайн цэгийн хөдөлгөөний хуулийг тодорхойлдог: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Хэрэв хөдөлгөөн хавтгайд байвал хөдөлгөөний хоёр тэгшитгэл байна. Хөдөлгөөний тэгшитгэлүүд нь траекторийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дүрсэлдэг. Тэгшитгэлээс t параметрийг хассанаар бид траекторийн тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр олж авна: f(x,y)=0 (хавтгайн хувьд).

Vector sp. цэгийн байрлалыг зарим төвөөс татсан радиус вектороор тодорхойлно. Векторын төгсгөлд зурсан муруйг нэрлэдэг. годографэнэ вектор. Тэдгээр. замнал – радиус вектор годограф.

38. Координат ба векторын хамаарал, цэгийн хөдөлгөөнийг тодорхойлох координат ба натурал аргууд.

ВЕКТОР АРГЫН КООРДИНАТ БА НАТУРАЛ АРГААР ХАРИЛЦАХ БАЙДАЛхарьцаагаар илэрхийлнэ:

өгөгдсөн цэгийн траекторийн шүргэгчийн нэгжийн нэгж, зайны лавлагаа руу чиглэсэн ба өгөгдсөн цэг дэх траекторийн нормын нэгж, муруйлтын төв рүү чиглэсэн (3-р зургийг үз). .

КООРДИНАТЫН АРГЫГ БАЙГАЛИЙН ХОЛБООТОЙ. Траекторын тэгшитгэл f(x, y)=z; t хугацааг хассанаар координат хэлбэрийн хөдөлгөөний тэгшитгэлээс f 1 (x, z)=y гарна. Нэг цэгийн координат авч болох утгуудын нэмэлт дүн шинжилгээ нь траектор болох муруй хэсгийг тодорхойлно. Жишээлбэл, цэгийн хөдөлгөөнийг тэгшитгэлээр өгвөл: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , тэгвэл цэгийн траектори нь y=x 2 параболын -1≤x≤+1, 0≤x≤1 байх хэсэг юм. Зай тоолох эхлэл ба чиглэлийг дур зоргоороо сонгосон бөгөөд энэ нь цаашдаа хурдны тэмдэг, анхны зайны хэмжээ, тэмдгийг тодорхойлдог s 0 .

Хөдөлгөөний хууль нь дараахь хамаарлаар тодорхойлогддог.

+ эсвэл - тэмдгийг зайны хэмжилтийн хүлээн зөвшөөрөгдсөн чиглэлээс хамааран тодорхойлно.

Цэгийн хурднь түүний хөдөлгөөний кинематик хэмжүүр бөгөөд авч үзэж буй лавлах системийн энэ цэгийн радиус векторын цаг хугацааны деривативтай тэнцүү байна. Хурдны вектор нь хөдөлгөөний чиглэл дэх цэгийн траектор руу шүргэхэд чиглэнэ

Хурдны вектор (v)гэдэг нь биеийн тодорхой чиглэлд нэгж хугацаанд туулах зай юм. тодорхойлолт гэдгийг анхаарна уу хурдны векторнь хурдны тодорхойлолттой маш төстэй бөгөөд нэг чухал ялгааг эс тооцвол: биеийн хурд нь хөдөлгөөний чиглэлийг заадаггүй, харин биеийн хурдны вектор нь хөдөлгөөний хурд ба чиглэлийг хоёуланг нь заадаг. Тиймээс биеийн хурдны векторыг тодорхойлох хоёр хувьсагч шаардлагатай: хурд ба чиглэл. Утгатай, чиглэлтэй физик хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэнэ.

Хурдны векторбие нь үе үе өөрчлөгдөж болно. Хэрэв түүний хурд эсвэл чиглэл өөрчлөгдвөл биеийн хурд ч өөрчлөгддөг. Тогтмол хурдны вектор нь тогтмол хурд ба тогтмол чиглэлийг илэрхийлдэг бол тогтмол хурд гэдэг нь чиглэлийг харгалзахгүйгээр зөвхөн тогтмол утгыг илэрхийлдэг. "Хурдны вектор" гэсэн нэр томьёог ихэвчлэн "хурд" гэсэн нэр томъёотой сольж хэрэглэдэг. Тэд хоёулаа бие махбодийн нэгж хугацаанд туулах зайг илэрхийлдэг

Цэгийн хурдатгалнь энэ цэгийн хурдны цаг хугацааны дериватив эсвэл цаг хугацааны хувьд цэгийн радиус векторын хоёр дахь деривативтай тэнцүү хурдны өөрчлөлтийн хэмжүүр юм. Хурдатгал нь хурдны векторын хэмжээ, чиглэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог бөгөөд траекторийн хонхорхой руу чиглэнэ.

Хурдатгалын вектор

Энэ нь хурдны өөрчлөлтийг тухайн өөрчлөлт гарсан хугацаанд харьцуулсан харьцаа юм. Дундаж хурдатгалыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.

Хаана - хурдатгалын вектор.

Хурдатгалын векторын чиглэл нь хурдны өөрчлөлтийн чиглэлтэй давхцдаг Δ = - 0 (энд 0 нь анхны хурд, өөрөөр хэлбэл биеийн хурдасч эхэлсэн хурд).

t1 үед (1.8-р зургийг үз) бие нь 0 хурдтай байна. t2 үед бие нь хурдтай байдаг. Вектор хасах дүрмийн дагуу хурдны өөрчлөлтийн векторыг Δ = - 0 олно. Дараа нь та хурдатгалыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.