3-р зэргийн үндсийг гаргаж авсан нийлмэл тоо. Дурын рационал илтгэгчтэй хүч

-тайТэгээд натурал тоо n 2 .

Цогцолбор тоо Здуудсан үндэсn– в, Хэрэв З n = в.

Үндэсний бүх утгыг олъё n– өө комплекс тооны хүч -тай. Болъё в=| в|·(cos Арг в+ би· нүгэл Аргхамт),А З = | З|·(хамтos Арг З + би· нүгэл Арг З) , Хаана Зүндэс n- өө комплекс тооны хүч -тай. Дараа нь байх ёстой = в = | в|·(cos Арг в+ би· нүгэл Аргхамт). Үүнийг дагадаг
Тэгээд n· Арг З = Арг-тай
Арг З =
(к=0,1,…) . Тиймээс, З =
(cos
+ би· нүгэл
), (к=0,1,…) . Үнэт зүйлсийн аль нэгийг нь харахад хялбар байдаг
, (к=0,1,…) харгалзах утгуудын аль нэгээс ялгаатай
,(к = 0,1,…, n-1) олон тоогоор 2π. Тийм ч учраас, (к = 0,1,…, n-1) .

Жишээ.

(-1)-ийн язгуурыг тооцоод үзье..

, ойлгомжтой |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + би· нүгэл π )

, (k = 0, 1).

= би

Дурын рационал илтгэгчтэй хүч

Дурын цогцолбор тоог авч үзье -тай. Хэрэв nнатурал тоо, тэгвэл -тай n = | в| n ·(хамтos nArgs +би· нүгэл nArgхамт)(6). Энэ томьёо нь тухайн тохиолдолд бас үнэн юм n = 0 (s≠0)
. Болъё n < 0 Тэгээд n ЗТэгээд s ≠ 0, Дараа нь

-тай n =
(учир нь nArg-тай+i·sin nArg-тай) = (учир нь nArg-тай+ i·sin nArg-тай) . Тиймээс (6) томъёо аль ч тохиолдолд хүчинтэй байна n.

Рационал тоог авч үзье , Хаана qнатурал тоо, ба rбүхэлдээ.

Дараа нь доор зэрэг в rБид тоог ойлгох болно
.

Бид үүнийг ойлгодог ,

(к = 0, 1, …, q-1). Эдгээр үнэт зүйлс qхэсэг, хэрвээ бутархай нь буурахгүй бол.

Лекц No3 Комплекс тоонуудын дарааллын хязгаар

Байгалийн аргументын нийлмэл утгатай функцийг нэрлэдэг нийлмэл тоонуудын дараалалболон томилогдсон (хамт n ) эсвэл -тай 1 , Хамт 2 , ..., Хамт n . -тай n = a n + б n · би (n = 1,2, ...) нийлмэл тоо.

-тай 1 , Хамт 2 , … - дарааллын гишүүд; -тай n - нийтлэг гишүүн

Цогцолбор тоо -тай = а+ б· бидуудсан нийлмэл тоонуудын дарааллын хязгаар (в n ) , Хаана -тай n = a n + б n · би (n = 1, 2, …) , хаана нь

Энэ нь хүн бүрийн өмнө n > Нтэгш бус байдал бий
. Хязгаарлагдмал хязгаартай дарааллыг нэрлэдэг нэгдэхдараалал.

Теорем.

Нарийн төвөгтэй тоонуудын дараалал үүсгэхийн тулд (хамт n ) (хамт n = a n + б n · би) -тэй тоонд нийлэв = а+ б· би, тэгш байдлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттайлим а n = а, лим б n = б.

Баталгаа.

Дараах илэрхий давхар тэгш бус байдлын үндсэн дээр бид теоремыг батлах болно

, Хаана З = x + y· би (2)

Хэрэгцээ.Болъё лим(хамт n ) = s. Тэнцүү байдал үнэн гэдгийг харуулъя лим а n = аТэгээд лим б n = б (3).

Мэдээжийн хэрэг (4)

Учир нь
, Хэзээ n → ∞ , тэгвэл (4) тэгш бус байдлын зүүн талаас үүнийг дагана
Тэгээд
, Хэзээ n → ∞ . Тиймээс (3) тэгшитгэл хангагдсан байна. Хэрэгцээтэй нь нотлогдсон.

Хангалттай байдал.Одоо тэгш байдлыг (3) хангая. Тэгш байдал (3) -аас ийм зүйл гарч ирнэ
Тэгээд
, Хэзээ n → ∞ , тиймээс тэгш бус байдлын (4) баруун талын улмаас энэ нь байх болно
, Хэзээ n→∞ , гэсэн үг лим(хамт n )=c. Хангалттай нь батлагдсан.

Тиймээс, нийлмэл тоонуудын дарааллыг нэгтгэх тухай асуудал нь хоёр бодит тооны дарааллын нийлэхтэй тэнцүү тул бодит тооны дарааллын хязгаарын бүх үндсэн шинж чанарууд нь цогцолбор тоонуудын дараалалд хамаарна.

Жишээлбэл, комплекс тоонуудын дарааллын хувьд Коши шалгуур хүчинтэй байна: нийлмэл тоонуудын дарааллаар (хамт n ) нийлдэг, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм

, энэ нь ямар ч гэсэнn, м > Нтэгш бус байдал бий
.

Теорем.

Комплекс тоонуудын дараалал (хамт n ) ба (z n ) c-д нийлэх ба тус тусz, тэгвэл тэгш байдал үнэн болнолим(хамт n z n ) = в z, лим(хамт n · z n ) = в· z. Хэрэв энэ нь тодорхой мэдэгдэж байгаа болz0-тэй тэнцүү биш бол тэгш байдал үнэн болно
.

тригонометрийн хэлбэрээр тоонууд.

Мойврын томъёо

z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) ба z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2) гэж үзье.

Цогцолбор тоог бичих тригонометрийн хэлбэр нь үржүүлэх, хуваах, бүхэл зэрэгт хүргэх, n зэрэглэлийн үндсийг гаргах үйлдлүүдийг хийхэд тохиромжтой.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Хоёр цогц тоог үржүүлэх үедтригонометрийн хэлбэрээр тэдгээрийн модулиудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмдэг. Хуваах үедтэдгээрийн модулиудыг хувааж, аргументуудыг нь хасна.

Комплекс тоог үржүүлэх дүрмийн үр дагавар нь цогц тоог нэг зэрэгтэй болгох дүрэм юм.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Энэ харьцааг нэрлэдэг Мойврын томъёо.

Жишээ 8.1 Тоонуудын үржвэр ба коэффициентийг ол:

Тэгээд

Шийдэл

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Жишээ 8.2 Тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү

∙
–i) 7 .

Шийдэл

гэж тэмдэглэе
ба z 2 =
– би.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = арктан
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = арктан
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7n§ 9 Комплекс тооны язгуурыг задлахТодорхойлолт. Үндэс
комплекс тооны 0-р зэрэглэл
= 0.

z (заах

) нь w n = z байх w комплекс тоо юм. Хэрэв z = 0 бол

z  0, z = r(cos + isin) байг. w = (cos + sin) гэж тэмдэглээд w n = z тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Тиймээс  n = r,

Тиймээс wk =

Эдгээр утгуудын дунд яг n өөр байдаг.
Тиймээс k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Нарийн нийлмэл хавтгайд эдгээр цэгүүд нь радиустай тойрогт сийлсэн ердийн n өнцөгтийн оройнууд юм.

төв нь О цэг дээр байна (Зураг 12).Зураг 12
.

Жишээ 9.1

Бүх утгыг ол

Шийдэл.
Энэ тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё.

w k =
.

, энд k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

Нарийн төвөгтэй хавтгайд эдгээр цэгүүд нь радиустай тойрогт сийлсэн дөрвөлжингийн оройнууд юм
гарал үүсэл дээр төвтэй (Зураг 13).

Зураг 13 Зураг 14

Жишээ 9.2Зураг 12
.

Жишээ 9.1

z = – 64 = 64(cos +исин);

Шийдэл.
, энд k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w k =
;
;

w 0 =
w 1 =

w 3 =
w 4 =
.

;

w 5 =

Нарийн төвөгтэй хавтгайд эдгээр цэгүүд нь төв нь О (0; 0) цэгтэй, 2 радиустай тойрогт сийлсэн ердийн зургаан өнцөгтийн оройнууд юм - Зураг 14.

гэж тэмдэглэе
§ 10 Комплекс тооны экспоненциал хэлбэр.
Эйлерийн томъёо = cos  + isin  ба .

= cos  - isin  .
Эдгээр харилцааг нэрлэдэг

Эйлерийн томъёо

Чиг үүрэг

экспоненциал функцийн ердийн шинж чанартай:
.

z цогцолбор тоог тригонометрийн z = r(cos + isin) хэлбэрээр бичье. Эйлерийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно. z = r

Энэ оруулга гэж нэрлэгддэг
экспоненциал хэлбэр
нийлмэл тоо. Үүнийг ашиглан бид үржүүлэх, хуваах, экспонентацилах, үндсийг задлах дүрмийг олж авдаг.

Хэрэв z 1 = r 1 ·
;

·

ба z 2 = r 2 ·

?Тэр

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · z n = r n ·

, энд k = 0, 1, … , n – 1.
.

Жишээ 9.1

Жишээ 10.1Тоо алгебрийн хэлбэрээр бичнэ үү

Жишээ 9.1

z =
Жишээ 10.2

z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Аливаа нарийн төвөгтэй коэффициентүүдийн хувьд энэ тэгшитгэл нь z 1 ба z 1 гэсэн хоёр үндэстэй (давхцаж магадгүй). Эдгээр үндэсийг бодит тохиолдлын адил томъёог ашиглан олж болно. Учир нь

Зөвхөн тэмдгээр ялгаатай хоёр утгыг авбал энэ томъёо дараах байдалтай байна.
–9 = 9 e  i тул утгууд
.

Жишээ 9.1

Тэгээд
.

Жишээ 10.3

Шийдэл.
z 3 +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд; z 3 = – 1.

Тэгшитгэлийн шаардлагатай үндэс нь утгууд байх болно

z = –1-ийн хувьд r = 1, arg(–1) =  байна.

б)

A)

V)

d) 7(cos0 + isin0).
.

11 Тоонуудыг алгебр болон геометрийн хэлбэрээр бич.

12 тоо өгөгдсөн
Тэдгээрийг экспоненциал хэлбэрээр үзүүлээд олоорой

13 Комплекс тооны экспоненциал хэлбэрийг ашиглан дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.
A)