График ба энгийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд. Функцийн графикийг хэрхэн зурах вэ График e

Математикийн хамгийн алдартай экспоненциал функцүүдийн нэг бол экспонент юм. Энэ нь заасан хүчин чадалд хүрсэн Эйлерийн тоог илэрхийлнэ. Excel-д үүнийг тооцоолох боломжийг олгодог тусдаа оператор байдаг. Үүнийг практикт хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.

Экспонент нь өгөгдсөн зэрэглэлд хүрсэн Эйлерийн тоо юм. Эйлерийн тоо өөрөө ойролцоогоор 2.718281828 байна. Заримдаа үүнийг Napier тоо гэж нэрлэдэг. Экспонент функц нь дараах байдалтай байна.

Энд e нь Эйлерийн тоо, n нь өсөлтийн зэрэг юм.

Тооцоолохын тулд энэ үзүүлэлт Excel-д тусдаа оператор ашигладаг - EXP. Үүнээс гадна энэ функцийг график хэлбэрээр харуулах боломжтой. Бид эдгээр хэрэгслүүдтэй ажиллах талаар цаашид ярих болно.

Арга 1: Функцийг гараар оруулах замаар экспонентыг тооцоол

EXP(тоо)

Өөрөөр хэлбэл, энэ томьёо нь зөвхөн нэг аргумент агуулдаг. Энэ нь яг л Эйлерийн тоог өсгөх ёстой хүч юм. Энэ аргумент нь тоон утга эсвэл экспонент агуулсан нүдний лавлагаа байж болно.

Арга 2: Функцийн шидтэнг ашиглах

Хэдийгээр экспонентыг тооцоолох синтакс нь маш энгийн боловч зарим хэрэглэгчид ашиглахыг илүүд үздэг Функцийн мастер. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харцгаая.

Хэрэв индекс агуулсан нүдний лавлагааг аргумент болгон ашигладаг бол курсорыг талбарт байрлуулах шаардлагатай. "Тоо"зүгээр л хуудсан дээрх нүдийг сонгоно уу. Түүний координатууд талбарт нэн даруй гарч ирнэ. Үүний дараа үр дүнг тооцоолохын тулд товчлуур дээр дарна уу "За".

Арга 3: зураг зурах

Нэмж дурдахад Excel-д экспонентыг тооцоолсны үндсэн дээр олж авсан үр дүнг ашиглан график байгуулах боломжтой. График байгуулахын тулд хуудас нь янз бүрийн чадлын экспонентийн тооцоолсон утгуудтай байх ёстой. Тэдгээрийг дээр дурдсан аргуудын аль нэгийг ашиглан тооцоолж болно.

Эхлээд функцийн домэйныг олохыг хичээ:

Та удирдаж чадсан уу? Хариултуудыг харьцуулж үзье:

Бүх зүйл зөв үү? Сайн байна!

Одоо функцийн утгын мужийг олохыг хичээцгээе:

Олсон уу? Харьцуулъя:

Ойлгосон уу? Сайн байна!

Дахин графиктай ажиллацгаая, зөвхөн одоо энэ нь арай илүү төвөгтэй байх болно - функцийн тодорхойлолтын домэйн болон функцийн утгын мужийг хоёуланг нь олоорой.

Функцийн домэйн болон мужийг хэрхэн олох вэ (дэвшилтэт)

Юу болсныг энд харуулав.

Та графикуудыг ойлгосон гэж бодож байна. Одоо томъёоны дагуу функцийн тодорхойлолтын домэйныг олохыг хичээцгээе (хэрэв та үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байгаа бол энэ хэсгийг уншина уу):

Та удирдаж чадсан уу? Шалгацгаая хариултууд:

1. , учир нь радикал илэрхийлэл нь тэгээс их буюу тэнцүү байх ёстой.
2. , учир нь та тэгээр хувааж болохгүй бөгөөд радикал илэрхийлэл нь сөрөг байж болохгүй.
3. , оноос хойш, тус тус, бүх.
4. , учир нь та тэгээр хувааж болохгүй.

Гэсэн хэдий ч бидэнд хариулагдаагүй өөр нэг зүйл байна ...

Би тодорхойлолтыг дахин давтаж, онцолж хэлье.

Та анзаарсан уу? "Ганц бие" гэдэг үг нь бидний тодорхойлолтын маш чухал элемент юм. Би та нарт хуруугаараа тайлбарлахыг хичээх болно.

Шулуун шугамаар тодорхойлогдсон функц байна гэж бодъё. . Бид энэ утгыг "дүрэм"-дээ орлуулж, үүнийг авна. Нэг утга нь нэг утгатай тохирч байна. Бид ширээ ч хийж болно өөр өөр утгатаймөн үүнийг шалгахын тулд энэ функцийн графикийг байгуул.

"Хараач! - та "" хоёр удаа тохиолддог!" Тэгэхээр парабола функц биш юм болов уу? Үгүй ээ, тийм!

“ ” хоёр удаа гарч ирсэн нь параболыг хоёрдмол утгатай гэж буруутгах шалтгаан биш юм!

Тооцоолоход бид нэг тоглоом хүлээн авсан нь баримт юм. Тооцоолохдоо бид нэг тоглоом авсан. Энэ нь зөв, парабол бол функц юм. Графикийг харна уу:

Ойлгосон уу? Хэрэв тийм биш бол математикаас маш хол амьдралын жишээ энд байна!

Бидэнд бичиг баримтаа бүрдүүлж байхдаа уулзсан хэсэг өргөдөл гаргагчид байгаа гэж бодъё, тэд бүгдээрээ хаана амьдардаг тухайгаа яриа өрнүүлэв.

Зөвшөөрч байна, нэг хотод хэд хэдэн залуус амьдрах бүрэн боломжтой, гэхдээ нэг хүн хэд хэдэн хотод нэгэн зэрэг амьдрах боломжгүй юм. Энэ нь бидний "параболын" логик дүрслэл шиг юм - Хэд хэдэн өөр X нь ижил тоглоомтой тохирч байна.

Одоо хамаарал нь функц биш байх жишээг гаргая. Эдгээр залуус ямар мэргэжлээр бүртгүүлсэн тухайгаа бидэнд хэлсэн гэж бодъё.

Энд бид огт өөр нөхцөл байдалтай байна: нэг хүн нэг буюу хэд хэдэн чиглэлд бичиг баримтыг хялбархан гаргаж өгөх боломжтой. Тэр нь нэг элементбагцыг захидал харилцаанд оруулсан болно хэд хэдэн элементолон түмэн. тус тус, энэ функц биш.

Таны мэдлэгийг практик дээр туршиж үзье.

Функц гэж юу вэ, юу нь болохгүй вэ гэдгийг зургуудаас тодорхойл.

Ойлгосон уу? Тэгээд энд байна хариултууд:

• Функц нь - B, E.
• Функц нь A, B, D, D биш юм.

Та яагаад гэж асууж байна уу? Тийм ээ, яагаад гэвэл:

Бусад бүх зураг дээр IN)Тэгээд E)Нэг нь хэд хэдэн байна!

Одоо та функцийг функцгүй функцээс хялбархан ялгаж, аргумент гэж юу болох, хамааралтай хувьсагч гэж юу болохыг хэлж, аргументийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ, функцийг тодорхойлох хүрээг тодорхойлж чадна гэдэгт би итгэлтэй байна. . Дараагийн хэсэг рүү шилжье - функцийг хэрхэн тохируулах вэ?

Функцийг тодорхойлох аргууд

Энэ үгс нь ямар утгатай гэж та бодож байна вэ? "функцийг тохируулах"? Энэ нь зөв, энэ нь хүн бүрт ямар функц байгааг тайлбарлах гэсэн үг юм энэ тохиолдолдяриа байдаг. Тэгээд хүн бүр таныг зөвөөр ойлгож, таны тайлбар дээр үндэслэн хүмүүсийн зурсан функцын графикууд адилхан байхаар тайлбарла.

Үүнийг яаж хийх вэ? Функцийг хэрхэн тохируулах вэ?Энэ нийтлэлд нэгээс олон удаа ашиглагдсан хамгийн энгийн арга бол томъёог ашиглан.Бид томьёо бичиж, түүнд утгыг орлуулж утгыг тооцоолно. Таны санаж байгаагаар томьёо бол X нь хэрхэн Y болж хувирах нь бидэнд болон өөр хүнд тодорхой болох хууль, дүрэм юм.

Ихэвчлэн энэ нь тэдний хийдэг зүйл юм - даалгаварт бид томъёогоор тодорхойлогдсон бэлэн функцуудыг хардаг, гэхдээ хүн бүр мартдаг функцийг тохируулах өөр аргууд байдаг тул "өөр функцийг яаж тохируулах вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирдэг. хаалтууд. Бүгдийг дарааллаар нь ойлгож, аналитик аргаар эхэлье.

Функцийг тодорхойлох аналитик арга

Аналитик арга нь томьёо ашиглан функцийг тодорхойлох явдал юм. Энэ бол хамгийн түгээмэл, өргөн хүрээтэй, хоёрдмол утгагүй арга юм. Хэрэв та томьёотой бол функцийн талаар бүх зүйлийг мэддэг - та үүнээс утгуудын хүснэгт хийж, график байгуулж, функц хаана нэмэгдэж, хаана буурч байгааг тодорхойлох боломжтой, ерөнхийдөө үүнийг судалж болно. бүрэн хэмжээгээр.

Функцийг авч үзье. Ялгаа нь юу вэ?

"Юу гэсэн үг вэ?" - чи асууж байна. Би одоо тайлбарлая.

Тэмдэглэгээнд хаалтанд байгаа илэрхийллийг аргумент гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Мөн энэ аргумент нь энгийн байх албагүй ямар ч илэрхийлэл байж болно. Үүний дагуу ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид илэрхийлэлд бичнэ.

Бидний жишээнд энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Шалгалтанд танд өгөх функцийг тодорхойлох аналитик аргатай холбоотой өөр нэг ажлыг авч үзье.

гэсэн илэрхийллийн утгыг ол.

Та ийм илэрхийлэлийг хараад эхэндээ айж байсан гэдэгт би итгэлтэй байна, гэхдээ энэ талаар ямар ч аймшигтай зүйл байхгүй!

Өмнөх жишээн дээрх бүх зүйл ижил байна: ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид үүнийг илэрхийлэлд бичнэ. Жишээлбэл, функцийн хувьд.

Бидний жишээн дээр юу хийх хэрэгтэй вэ? Үүний оронд та бичих хэрэгтэй бөгөөд оронд нь -:

үүссэн илэрхийллийг богиносго:

Ингээд л болоо!

Бие даасан ажил

Одоо дараах хэллэгүүдийн утгыг өөрөө олохыг хичээ.

1. , Хэрэв
2. , Хэрэв

Та удирдаж чадсан уу? Хариултаа харьцуулж үзье: Функц нь хэлбэртэй байдагт бид дассан

Бидний жишээн дээр ч бид функцийг яг ийм байдлаар тодорхойлдог боловч аналитик байдлаар функцийг далд хэлбэрээр тодорхойлох боломжтой.

Энэ функцийг өөрөө бүтээж үзээрэй.

Та удирдаж чадсан уу?

Би үүнийг ингэж барьсан.

Эцэст нь бид ямар тэгшитгэл гаргасан бэ?

Зөв! Шугаман, энэ нь график нь шулуун шугам болно гэсэн үг юм. Манай шугамд аль цэгүүд хамаарахыг хүснэгт үүсгэцгээе.

Энэ бол яг бидний ярьж байсан зүйл ... Нэг нь хэд хэдэнтэй тохирч байна.

Юу болсныг зурахыг хичээцгээе:

Бидэнд байгаа зүйл функц мөн үү?

Энэ нь зөв, үгүй! Яагаад? Энэ асуултанд зургийн тусламжтайгаар хариулахыг хичээгээрэй. Та юу авсан бэ?

"Учир нь нэг утга нь хэд хэдэн утгатай тохирч байна!"

Үүнээс бид ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Энэ нь зөв, функцийг үргэлж тодорхой илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд функцээр "далдлагдсан" зүйл нь үргэлж функц биш юм!

Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга

Нэрнээс нь харахад энэ арга нь энгийн тэмдэг юм. Тийм, тийм. Чи бид хоёрын аль хэдийн хийсэн шиг. Жишээ нь:

Энд та тэр даруй хэв маягийг анзаарсан - Y нь X-ээс гурав дахин том байна. Одоо "маш болгоомжтой бодох" даалгавар: Хүснэгт хэлбэрээр өгсөн функц нь функцтэй тэнцүү гэж та бодож байна уу?

Удаан ярихгүй, харин зурцгаая!

Тэгэхээр. Бид ханын цаасны заасан функцийг дараах байдлаар зурдаг.

Та ялгааг харж байна уу? Энэ бүхэн тэмдэглэсэн цэгүүдийн тухай биш юм! Ойролцоогоор харна уу:

Та одоо харсан уу? Функцийг хүснэгтийн хэлбэрээр тодорхойлохдоо бид график дээр зөвхөн хүснэгтэд байгаа цэгүүдийг харуулдаг бөгөөд шугам (манай тохиолдолд) зөвхөн тэдгээрээр дамждаг. Бид функцийг аналитик байдлаар тодорхойлохдоо дурын цэгүүдийг авч болох бөгөөд бидний үүрэг зөвхөн үүгээр хязгаарлагдахгүй. Энэ бол онцлог юм. Санаж байна уу!

Функцийг бүтээх график арга

Функцийг бүтээх график арга нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Бид функцээ зурж, өөр нэг сонирхсон хүн тодорхой x дээр y нь ямар тэнцүү болохыг олж чадна гэх мэт. График ба аналитик аргуудхамгийн нийтлэг зарим нь.

Гэсэн хэдий ч, энд та бидний эхэнд юу ярьж байсныг санах хэрэгтэй - координатын системд зурсан "зайвар" бүр функц биш юм! Чи санаж байна уу? Ямар ч тохиолдолд би функц гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг энд хуулах болно.

Дүрмээр бол хүмүүс бидний ярилцсан функцийг тодорхойлох гурван аргыг ихэвчлэн нэрлэдэг - аналитик (томьёог ашиглан), хүснэгт, график, функцийг амаар тайлбарлаж болно гэдгийг бүрэн мартдаг. Энэ яаж байна? Тийм ээ, маш энгийн!

Функцийн аман тайлбар

Функцийг амаар хэрхэн тодорхойлох вэ? Саяхны жишээг авч үзье - . Энэ функц"х-ийн бодит утга бүрт түүний гурвалсан утгатай тохирч байна" гэж тодорхойлж болно. Ингээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Та мэдээж эсэргүүцэх болно - "ийм нарийн төвөгтэй функцууд байдаг тул амаар зааж өгөх боломжгүй!" Тийм ээ, ийм байдаг, гэхдээ томъёогоор тодорхойлохоос илүү амаар тайлбарлахад хялбар функцүүд байдаг. Жишээ нь: "Хүн бүр байгалийн үнэ цэнэ x нь түүний бүрдэх цифрүүдийн хоорондох зөрүүтэй тохирч байгаа бол хасах хэсгийг тухайн тооны бичлэгт агуулагдах хамгийн том цифр гэж авна." Одоо функцын аман тайлбарыг практикт хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн тооны хамгийн том орон нь хасах тоо, тэгвэл:

Функцийн үндсэн төрлүүд

Одоо хамгийн сонирхолтой хэсэг рүүгээ орцгооё - сургууль, коллежийн математикийн хичээл дээр ажиллаж байсан/ажиллаж байгаа болон ажиллах үндсэн функцүүдийн төрлүүдийг харцгаая, өөрөөр хэлбэл тэдэнтэй танилцъя. , мөн тэдэнд өгөх товч тайлбар. Холбогдох хэсгээс функц бүрийн талаар дэлгэрэнгүй уншина уу.

Шугаман функц

Бодит тоонууд болох хэлбэрийн функц.

Энэ функцийн график нь шулуун шугам тул шугаман функц байгуулах нь хоёр цэгийн координатыг олоход хүргэдэг.

Координатын хавтгай дээрх шулуун шугамын байрлал нь өнцгийн коэффициентээс хамаарна.

Функцийн хамрах хүрээ (хүчин төгөлдөр аргументын утгуудын хүрээ) нь .

Утгын хүрээ - .

Квадрат функц

Маягтын функц, хаана

Функцийн график нь параболын салбарууд доош чиглэсэн үед, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн үед парабол болно;

Олон өмч квадрат функцялгаварлагчийн утгаас хамаарна. Дискриминантыг томъёогоор тооцоолно

Утга ба коэффициенттэй харьцуулахад координатын хавтгай дээрх параболын байрлалыг зурагт үзүүлэв.

Тодорхойлолтын домэйн

Утгын хүрээ нь өгөгдсөн функцийн экстремум (параболын оройн цэг) ба коэффициент (параболын мөчрүүдийн чиглэл) -ээс хамаарна.

Урвуу пропорциональ байдал

Томъёогоор өгөгдсөн функц, энд

Энэ тоог урвуу пропорциональ коэффициент гэж нэрлэдэг. Утгааас хамааран гиперболын мөчрүүд нь өөр өөр квадрат хэлбэртэй байна.

Тодорхойлолтын хамрах хүрээ - .

Утгын хүрээ - .

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

1. Функц гэдэг нь олонлогийн элемент бүр олонлогийн нэг элементтэй холбогдох дүрэм юм.

• - энэ нь функцийг илэрхийлдэг томъёо, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн нөгөөгөөс хамаарлыг илэрхийлдэг;
• - хувьсах утга, эсвэл аргумент;
• - хамааралтай хэмжигдэхүүн - аргумент өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл нэг хэмжигдэхүүнээс нөгөө хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг тусгасан аливаа тодорхой томъёоны дагуу.

2. Аргументуудын хүчинтэй утгууд, эсвэл функцийн домэйн нь тухайн функцийн утга учиртай болох боломжуудтай холбоотой зүйл юм.

3. Функцийн хүрээ- Энэ бол хүлээн зөвшөөрөгдсөн үнэ цэнийг харгалзан үзэх үнэлэмж юм.

4. Функцийг тохируулах 4 арга байдаг:

• аналитик (томьёог ашиглах);
• хүснэгт;
• график
• аман тайлбар.

5. Функцийн үндсэн төрлүүд:

• : , хаана, бодит тоонууд;
• : , Хаана;
• : , Хаана.

Онгоцонд сонгоцгооё тэгш өнцөгт системкоординатууд ба бид аргументийн утгыг абсцисса тэнхлэг дээр зурах болно X, ба ординат дээр - функцийн утгууд у = f(x).

Функцийн график у = f(x)Энэ нь абсциссууд нь функцийг тодорхойлох мужид хамаарах бүх цэгүүдийн олонлог бөгөөд ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл y = f (x) функцийн график нь хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог, координат юм. X, цагтхарилцааг хангадаг у = f(x).

Зураг дээр. 45 ба 46 функцүүдийн графикийг харуулав y = 2x + 1Тэгээд y = x 2 - 2x.

Хатуухан хэлэхэд функцийн график (түүний математикийн нарийн тодорхойлолтыг дээр дурдсан) ба зурсан муруй хоёрыг ялгах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь зөвхөн графикийн илүү их эсвэл бага нарийвчлалтай тоймыг өгдөг (тэр ч байтугай дүрмээр бол) Графикийг бүхэлд нь биш, харин зөвхөн онгоцны эцсийн хэсгүүдэд байрлах хэсэг). Дараа нь бид ерөнхийдөө "график" гэхээсээ илүү "график" гэж хэлэх болно.

График ашиглан функцийн утгыг цэг дээр олох боломжтой. Тухайлбал, хэрэв цэг x = aфункцийн тодорхойлолтын мужид хамаарна у = f(x), дараа нь дугаарыг олох f(a)(жишээ нь цэг дээрх функцийн утгууд x = a) та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ нь абсцисса цэгээр зайлшгүй шаардлагатай x = aшулуун шугам зурах тэнхлэгтэй параллельординат; Энэ шугам нь функцийн графиктай огтлолцоно у = f(x)нэг цэг дээр; Энэ цэгийн ординат нь графикийн тодорхойлолтын дагуу тэнцүү байх болно f(a)(Зураг 47).

Жишээлбэл, функцийн хувьд f(x) = x 2 - 2xграфикийг (46-р зураг) ашиглан бид f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 гэх мэтийг олно.

Функцийн график нь функцийн зан төлөв, шинж чанарыг тодорхой харуулдаг. Жишээлбэл, Зураг дээр авч үзсэнээс. 46 функц болох нь тодорхой байна y = x 2 - 2xүед эерэг утгыг авдаг X< 0 болон цагт x > 2, сөрөг - 0-д< x < 2; хамгийн бага утгафункц y = x 2 - 2xхүлээн авдаг x = 1.

Функцийн графикийг зурах f(x)Та онгоцны бүх цэг, координатыг олох хэрэгтэй X,цагттэгшитгэлийг хангадаг у = f(x). Ихэнх тохиолдолд ийм цэгүүд хязгааргүй олон байдаг тул үүнийг хийх боломжгүй юм. Тиймээс функцийн графикийг ойролцоогоор дүрсэлсэн болно - их эсвэл бага нарийвчлалтай. Хамгийн энгийн нь хэд хэдэн цэгийг ашиглан график зурах арга юм. Энэ нь аргументаас бүрддэг XХ 1, x 2, x 3,..., x k гэсэн хязгаарлагдмал тооны утгыг өгч, сонгосон функцийн утгуудыг багтаасан хүснэгтийг үүсгэ.

Хүснэгт дараах байдлаар харагдаж байна.

Ийм хүснэгтийг гаргасны дараа бид функцийн график дээрх хэд хэдэн цэгийг тоймлон гаргаж болно у = f(x). Дараа нь эдгээр цэгүүдийг гөлгөр шугамаар холбосноор функцийн графикийн ойролцоо дүрсийг олж авна y = f(x).

Гэхдээ олон цэгийн графикийн арга нь маш найдваргүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, төлөвлөсөн цэгүүдийн хоорондох графикийн төлөв байдал болон авсан хэт цэгүүдийн хоорондох сегментийн гаднах байдал тодорхойгүй хэвээр байна.

Жишээ 1. Функцийн графикийг зурах у = f(x)хэн нэгэн аргумент болон функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн:

Холбогдох таван цэгийг Зураг дээр үзүүлэв. 48.

Эдгээр цэгүүдийн байршилд үндэслэн тэрээр функцийн график нь шулуун шугам юм (Зураг 48-д тасархай шугамаар харуулав) гэж дүгнэсэн. Энэ дүгнэлтийг найдвартай гэж үзэж болох уу? Энэхүү дүгнэлтийг батлах нэмэлт хүчин зүйл байхгүй бол үүнийг найдвартай гэж үзэх боломжгүй юм. найдвартай.

Бидний мэдэгдлийг батлахын тулд функцийг авч үзье

.

Тооцоолол нь -2, -1, 0, 1, 2 цэг дээрх энэ функцийн утгыг дээрх хүснэгтэд яг тодорхой тайлбарласан болохыг харуулж байна. Гэхдээ энэ функцийн график нь огт шулуун биш (49-р зурагт үзүүлэв). Өөр нэг жишээ бол функц байж болно y = x + l + sinπx;Үүний утгыг дээрх хүснэгтэд мөн тайлбарласан болно.

Эдгээр жишээнүүд нь "цэвэр" хэлбэрээрээ хэд хэдэн цэгийг ашиглан график зурах арга нь найдваргүй болохыг харуулж байна. Тиймээс өгөгдсөн функцийн графикийг зурахдаа ихэвчлэн дараах байдлаар ажиллана. Нэгдүгээрт, бид энэ функцийн шинж чанарыг судалж, түүний тусламжтайгаар графикийн ноорог зурж болно. Дараа нь функцийн утгыг хэд хэдэн цэг дээр (түүний сонголт нь функцийн тогтоосон шинж чанараас хамаарна) тооцоолсноор графикийн харгалзах цэгүүдийг олно. Эцэст нь энэ функцийн шинж чанарыг ашиглан барьсан цэгүүдээр муруй зурна.

График ноорог олоход хэрэглэгдэх функцүүдийн зарим шинж чанаруудыг (хамгийн энгийн бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг) дараа нь авч үзэх болно, харин одоо бид график байгуулахад түгээмэл хэрэглэгддэг аргуудыг авч үзэх болно.

y = |f(x)| функцийн график.

Функцийг зурах нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг у = |f(x)|, хаана f(x) -өгөгдсөн функц. Үүнийг хэрхэн хийснийг танд сануулъя. Тооны үнэмлэхүй утгыг тодорхойлсноор бид бичиж болно

Энэ нь функцийн график гэсэн үг юм y =|f(x)|графикаас авч болно, функц у = f(x)дараах байдлаар: функцийн график дээрх бүх цэгүүд у = f(x), ординатууд нь сөрөг бус байвал өөрчлөгдөхгүй байх ёстой; цаашлаад функцийн графикийн цэгүүдийн оронд у = f(x)Сөрөг координаттай бол функцийн график дээр харгалзах цэгүүдийг байгуулах хэрэгтэй у = -f(x)(жишээ нь функцийн графикийн хэсэг
у = f(x), тэнхлэгийн доор байрладаг X,тэнхлэгт тэгш хэмтэй туссан байх ёстой X).

Жишээ 2.Функцийн график зур y = |x|.

Функцийн графикийг авч үзье у = x(Зураг 50, а) ба энэ графикийн хэсэг нь at X< 0 (тэнхлэгийн доор хэвтэж байна X) тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй туссан X. Үүний үр дүнд бид функцийн графикийг авдаг y = |x|(Зураг 50, b).

Жишээ 3. Функцийн график зур y = |x 2 - 2x|.

Эхлээд функцийн графикийг зуръя y = x 2 - 2x.Энэ функцийн график нь парабол бөгөөд түүний салбарууд дээшээ чиглэсэн, параболын орой нь координаттай (1; -1), түүний график нь 0 ба 2 цэгүүдэд х тэнхлэгийг огтолж байна. интервалд (0; 2) функц нь сөрөг утгыг авдаг тул графикийн энэ хэсэг абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тусгагдсан байдаг. Зураг 51-д функцийн графикийг үзүүлэв y = |x 2 -2x|, функцийн график дээр үндэслэсэн y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) функцийн график

Функцийн график байгуулах асуудлыг авч үзье y = f(x) + g(x).Хэрэв функцийн график өгөгдсөн бол у = f(x)Тэгээд у = g(x).

y = |f(x) + g(x)| функцийн тодорхойлолтын муж гэдгийг анхаарна уу y = f(x) ба y = g(x) функц хоёулаа тодорхойлогдсон x-ийн бүх утгуудын багц, өөрөөр хэлбэл энэ тодорхойлолтын муж нь f(x) функцүүдийн огтлолцол юм. болон g(x).

Оноо өгье (x 0 , y 1) Мөн (x 0, y 2) функцүүдийн графикт тус тус хамаарна у = f(x)Тэгээд у = g(x), өөрөөр хэлбэл y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0).Тэгвэл (x0;. y1 + y2) цэг нь функцийн графикт хамаарна у = f(x) + g(x)(for f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. функцийн график дээрх дурын цэг у = f(x) + g(x)ингэж авч болно. Тиймээс функцийн график у = f(x) + g(x)функцийн графикаас авч болно у = f(x). Тэгээд у = g(x)цэг бүрийг солих ( x n, y 1) функциональ график у = f(x)цэг (x n, y 1 + y 2),Хаана y 2 = g(x n), өөрөөр хэлбэл цэг бүрийг шилжүүлэх замаар ( x n, y 1) функцийн график у = f(x)тэнхлэгийн дагуу цагтхэмжээгээр y 1 = g(x n). Энэ тохиолдолд зөвхөн ийм цэгүүдийг авч үзнэ X n функцийг хоёуланг нь тодорхойлсон у = f(x)Тэгээд у = g(x).

Функцийн график зурах энэ арга у = f(x) + g(x) функцийн график нэмэх гэж нэрлэдэг у = f(x)Тэгээд у = g(x)

Жишээ 4. Зураг дээр график нэмэх аргыг ашиглан функцийн графикийг бүтээв
y = x + sinx.

Функцийг зурахдаа y = x + sinxбид тэгж бодсон f(x) = x,А g(x) = sinx.Функцийн графикийг зурахын тулд бид -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 абсциссатай цэгүүдийг сонгоно. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxСонгосон цэгүүд дээр тооцоолж, үр дүнг хүснэгтэд байрлуулцгаая.

Экспонентийг , эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Тоо e

Экспонентын зэрэглэлийн үндэс нь тоо e. Энэ иррационал тоо. Энэ нь ойролцоогоор тэнцүү байна
д ≈ 2,718281828459045...

e тоог дарааллын хязгаараар тодорхойлно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юм хоёр дахь гайхалтай хязгаар:
.

e тоог мөн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно:
.

Экспоненциал график

График нь экспонентийг харуулж байна дтодорхой хэмжээгээр X.
y (x) = e x
Графикаас харахад экспонент нь монотон нэмэгдэж байгааг харуулж байна.

Томъёо

Үндсэн томъёо нь e зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцтэй адил байна.

;
;
;

Дурын суурьтай a зэрэгтэй экспоненциал функцийг экспоненциалаар илэрхийлэх:
.

Хувийн үнэт зүйлс

y (x) = e x.
.

Дараа нь

Экспонентын шинж чанарууд д > 1 .

Экспонент нь чадлын суурьтай экспоненциал функцийн шинж чанартай байдаг

Домэйн, утгуудын багц (x) = e xЭкспонент y
бүх x хувьд тодорхойлогдсон.
- ∞ < x + ∞ .
Түүний тодорхойлолтын хүрээ:
0 < y < + ∞ .

Түүний олон утгатай:

Хэт их, өсөх, буурах

Экспоненциал нь монотон өсөн нэмэгдэж буй функц тул түүнд экстремум байхгүй. Үүний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Урвуу функц
;
.

Экспонентийн урвуу нь натурал логарифм юм.

Экспонентийн дериватив дтодорхой хэмжээгээр XДериватив дтодорхой хэмжээгээр X :
.
тэнцүү байна
.
n-р эрэмбийн дериватив:

Томьёог гарган авах > > >

Интеграл

Нарийн төвөгтэй тоо -тай хийсэн үйлдлүүднийлмэл тоо ашиглан гүйцэтгэсэн:
,
Эйлерийн томъёо
.

Гиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл

; ;
.

Тригонометрийн функцийг ашигласан илэрхийлэл

; ;
;
.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Функцийн график нь координатын хавтгай дээрх функцийн үйл ажиллагааны дүрслэл юм. График нь функцийг өөрөө тодорхойлох боломжгүй функцийн янз бүрийн талыг ойлгоход тусална. Та олон функцийн графикийг барьж болох бөгөөд тус бүрд нь тодорхой томьёо өгөх болно. Аливаа функцийн графикийг тодорхой алгоритм ашиглан бүтээдэг (хэрэв та тодорхой функцийн график зурах үйл явцыг яг таг мартсан бол).

Алхам

Шугаман функцийн график зурах

Функц шугаман эсэхийг тодорхойл.Шугаман функцийг маягтын томъёогоор өгөгдсөн F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)эсвэл y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(жишээ нь, ), түүний график нь шулуун шугам юм. Тиймээс томьёо нь нэг хувьсагч ба нэг тогтмол (тогтмол) -ийг илтгэгч, язгуур тэмдэг гэх мэт зүйлгүйгээр агуулдаг. Хэрэв ижил төрлийн функц өгөгдсөн бол ийм функцийн графикийг зурах нь маш энгийн. Шугаман функцүүдийн бусад жишээ энд байна:

Y тэнхлэг дээрх цэгийг тэмдэглэхийн тулд тогтмолыг ашиглана.Тогтмол (b) нь графикийн Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн "y" координат бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь "x" координат нь 0-тэй тэнцүү цэг юм. Тиймээс хэрэв x = 0-ийг томъёонд орлуулсан бол. , дараа нь y = b (тогтмол). Бидний жишээнд y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)тогтмол нь 5-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5). Энэ цэгийг координатын хавтгайд зур.

Хай налуушууд.Энэ нь хувьсагчийн үржүүлэгчтэй тэнцүү байна. Бидний жишээнд y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" хувьсагчийн хувьд 2-ын хүчин зүйл байна; ингэснээр налуугийн коэффициент нь 2-той тэнцүү байна.Налуугийн коэффициент нь шулуун шугамын X тэнхлэгт налуу өнцгийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл налуугийн коэффициент их байх тусам функц хурдан өсөх эсвэл буурах болно.

Налууг бутархай хэлбэрээр бич.Өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс, өөрөөр хэлбэл босоо зайг (шулуун шугамын хоёр цэгийн хоорондох) хэвтээ зайд (ижил цэгүүдийн хоорондох) харьцаатай тэнцүү байна. Бидний жишээн дээр налуу нь 2 тул босоо зай нь 2, хэвтээ зай нь 1 байна гэж хэлж болно. Үүнийг бутархай хэлбэрээр бичнэ үү. 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Хэрэв налуу нь сөрөг байвал функц буурч байна.

1. Шулуун шугам нь Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээс босоо болон хэвтээ зайг ашиглан хоёр дахь цэгийг зур.

   Шугаман функцийг хоёр цэг ашиглан графикаар зурж болно. Бидний жишээнд Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5); Энэ цэгээс дээш 2 зай, дараа нь баруун тийш 1 зай ав. Нэг цэгийг тэмдэглэх; энэ нь координаттай байх болно (1,7). Одоо та шулуун шугам зурж болно.Захирагч ашиглан хоёр цэгээр шулуун шугам зур.

   Алдаа гаргахгүйн тулд гурав дахь цэгийг олоорой, гэхдээ ихэнх тохиолдолд графикийг хоёр цэгийг ашиглан зурж болно. Тиймээс та шугаман функцийг зурсан байна.

   1. Координатын хавтгайд цэгүүдийг зурахФункцийг тодорхойлох.

      Функцийг f(x) гэж тэмдэглэнэ. "y" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг ба "x" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, y = x+2, тухайлбал f(x) = x+2 функцийг авч үзье.Хоёр огтлолцсон перпендикуляр шугам зур.

      Хэвтээ шугам нь Y тэнхлэг юм.Координатын тэнхлэгүүдийг тэмдэглэ. Тэнхлэг бүрийг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, дугаарлана. Тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэг нь 0. X тэнхлэгийн хувьд: баруун тийш (0-ээс) зурсан байна.эерэг тоонууд

      , зүүн талд сөрөг байна. Y тэнхлэгийн хувьд: эерэг тоонуудыг дээд талд (0-ээс), сөрөг тоонуудыг доод талд нь зурна."x"-ийн утгуудаас "y"-ийн утгыг ол.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Бидний жишээнд f(x) = x+2. Харгалзах y утгыг тооцоолохын тулд энэ томьёонд тодорхой x утгуудыг орлуулна уу. Хэрэв нийлмэл функц өгөгдсөн бол тэгшитгэлийн нэг талын "y"-г тусгаарлах замаар хялбаршуулна.Координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг зур.

      Хос координат бүрийн хувьд дараахь зүйлийг хий: X тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, босоо шугам (цэсгээр) зурах; Y тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, хэвтээ шугам (тасархай) зур. Хоёр тасархай шугамын огтлолцлын цэгийг тэмдэглэ; Тиймээс та график дээр цэг зурсан байна.Тасалсан зураасыг арилга.

   График дээрх бүх цэгүүдийг координатын хавтгайд зурсны дараа үүнийг хий. Тайлбар: f(x) = x функцийн график нь координатын төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам [координат (0,0) цэг]; f(x) = x + 2 график нь f(x) = x шулуунтай параллель шулуун боловч хоёр нэгжээр дээш шилжсэн тул (0,2) координаттай цэгийг дайран өнгөрдөг (учир нь тогтмол нь 2) .

   Нарийн төвөгтэй функцийг графикаар зурахФункцийн тэг нь x хувьсагчийн утгууд бөгөөд y = 0, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь график X тэнхлэгтэй огтлолцдог цэгүүд юм, гэхдээ бүх функцууд тэгтэй байдаггүй гэдгийг санаарай Аливаа функцийн графикийг зурах үйл явцын алхам. Функцийн тэгийг олохын тулд үүнийг тэгтэй тэнцүүл. Жишээ нь:

   Хэвтээ асимптотуудыг олж тэмдэглэ.Асимптот гэдэг нь функцийн график ойртож байгаа мөртлөө огтлолцохгүй шугам юм (өөрөөр хэлбэл энэ мужид функц тодорхойлогдоогүй, жишээлбэл, 0-д хуваагдах үед). Асимптотыг тасархай шугамаар тэмдэглэ. Хэрэв "x" хувьсагч нь бутархайн хуваарьт байгаа бол (жишээлбэл, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), хуваагчийг тэг болгож, “x”-ийг ол. "X" хувьсагчийн олж авсан утгуудад функц тодорхойлогдоогүй байна (бидний жишээнд x = 2 ба x = -2 дундуур тасархай шугам зурна уу), учир нь та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ асимптотууд нь зөвхөн функц нь бутархай илэрхийлэл агуулсан тохиолдолд байдаггүй. Тиймээс нийтлэг ойлголтыг ашиглахыг зөвлөж байна: