Модультай тэгшитгэлийн геометрийн шийдэл. Модультай тэгшитгэл. Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Тооны модулийг олоход хялбар бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэхэд түүний цаад онол чухал байдаг.
Дасгал, шалгалтыг шийдвэрлэхэд ашигладаг шинж чанар, тодруулгын дүрэм нь сургуулийн сурагчид, оюутнуудад ашигтай байх болно. https://teachs.ru дээр өөрийн мэдлэгээ ашиглан мөнгө олоорой!
Математикийн модуль гэж юу вэ
Тооны модуль нь тэгээс цэгийн байрлалыг харгалзахгүйгээр тоон шулуун дээрх тэгээс цэг хүртэлх зайг тодорхойлдог. Математик тэмдэглэгээ : |x|.
Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тооны үнэмлэхүй утга юм. Тодорхойлолт нь үнэ цэнэ нь хэзээ ч сөрөг байдаггүй гэдгийг баталж байна.
Модулийн шинж чанарууд
Дараах шинж чанаруудыг санах нь чухал.
Комплекс тооны модуль
Үнэмлэхүй үнэ цэнэ нийлмэл тоонийлмэл хавтгайн эхнээс (a, b) цэг хүртэл зурсан чиглэсэн сегментийн урт юм.
Энэ чиглэгдсэн сегмент нь мөн комплекс тоог илэрхийлдэг вектор юм a+bi, тиймээс комплекс тооны абсолют утга нь илэрхийлэх векторын хэмжээтэй (эсвэл урттай) ижил байна a+ bi.
Модультай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ
Модультай тэгшитгэл нь илэрхийллийг агуулсан тэгшитгэл юм үнэмлэхүй үнэ цэнэ. Хэрэв бодит тооны хувьд энэ нь тоон шулуун дээрх гарал үүслээс зайг илэрхийлдэг бол модультай тэгш бус байдал нь үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх тэгш бус байдлын төрөл юм.
|x| гэх мэт тэгшитгэлүүд = a
Тэгшитгэл |x| = байна хоёр хариулт x = a ба x = –a, учир нь хоёр сонголт хоёулаа координатын шугам дээр 0-ээс a зайд байрладаг.
Үнэмлэхүй утгатай тэгш байдал нь сөрөг утгатай бол шийдэлгүй болно.
Хэрэв |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
|x| гэх мэт тэгшитгэлүүд = |y|
Тэгшитгэлийн хоёр талд үнэмлэхүй утгууд байгаа тохиолдолд бид эерэг ба сөрөг илэрхийлэл гэсэн хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхойлолтуудын аль алиныг нь авч үзэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, |x − a| тэгш байдлын хувьд = |x + b| (x − a) = − (x + b) эсвэл (x − a) = (x + b) гэсэн хоёр сонголт байна.
|x| гэх мэт тэгшитгэлүүд = y
Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь тэгийн зүүн талд хувьсагч, баруун талд үл мэдэгдэх өөр нэг хувьсагчтай илэрхийллийн үнэмлэхүй утгыг агуулна. y хувьсагч нь тэгээс их эсвэл бага байж болно.
Энэ тэгшитгэлийн хариултыг авахын тулд та хэд хэдэн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй бөгөөд үүнд та y нь сөрөг бус хэмжигдэхүүн мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
Модулиар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Модулийг хэрхэн өргөжүүлэх талаар илүү сайн ойлгохын тулд янз бүрийн төрөлтэгш байдал ба тэгш бус байдлын хувьд та жишээнд дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй.
|x| хэлбэрийн тэгшитгэлүүд = a
Жишээ 1(алгебр 6-р анги). Шийдэх: |x| + 2 = 4.
Шийдэл.
Ийм тэгшитгэлийг үнэмлэхүй утгагүй тэгшитгэлийн нэгэн адил шийддэг. Энэ нь үл мэдэгдэхийг зүүн тийш, тогтмолуудыг баруун тийш шилжүүлснээр илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм.
Тогтмолыг баруун тийш шилжүүлсний дараа бид дараахь зүйлийг авна. |x| = 2.
Үл мэдэгдэх нь үнэмлэхүй утгатай холбоотой тул энэ тэгшитгэл нь хоёр хариулттай: 2 Тэгээд −2 .
Хариулт: 2 Тэгээд −2 .
Жишээ 2(7-р ангийн алгебр). |x + 2| тэгш бус байдлыг шийд ≥ 1.
Шийдэл.
Хамгийн эхний хийх зүйл бол үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөх цэгүүдийг олох явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэл нь тэнцүү байна 0 . Хүлээн авсан: x = –2.
Энэ нь гэсэн үг –2 - эргэлтийн цэг.
Интервалыг 2 хэсэгт хуваая:
- x + 2 ≥ 0-ийн хувьд
[−1; + ∞).
- x + 2-ийн хувьд< 0
Эдгээр хоёр тэгш бус байдлын нийтлэг хариулт бол интервал юм (−∞; –3].
Эцсийн шийдвэр – бие даасан хэсгүүдийн хариултыг нэгтгэх:
x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Хариулт: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
|x| хэлбэрийн тэгшитгэлүүд = |y|
Жишээ 1(8-р ангийн алгебр). Тэгшитгэлийг хоёр модультай шийд: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.
Шийдэл:
Хариулт: x 1 = 3; x 2 = − 1.
Жишээ 2(8-р ангийн алгебр). Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:
Шийдэл:
|x| хэлбэрийн тэгшитгэлүүд = y
Жишээ 1(алгебр 10-р анги). x олох:
Шийдэл:
Баруун гар талыг шалгах нь маш чухал бөгөөд эс тэгвээс та хариултдаа алдаатай үндэс бичиж болно. Энэ нь цоорхойд ороогүй нь тогтолцооноос тодорхой харагдаж байна.
Хариулт: x = 0.
Нийлбэрийн модуль
Ялгааны модуль
Хоёр тооны зөрүүний үнэмлэхүй утга xба y нь координаттай цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна XТэгээд Юкоординатын шугам дээр.
Жишээ 1.
Жишээ 2.
Сөрөг тооны модуль
Тэгээс бага тооны абсолют утгыг олохын тулд тэгээс хэр хол байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Зай үргэлж эерэг байдаг тул ("сөрөг" алхмуудыг хийх боломжгүй, тэдгээр нь зүгээр л нөгөө чиглэлийн алхамууд юм) үр дүн нь үргэлж эерэг байдаг. Энэ нь,
Өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга сөрөг тооэсрэг утгатай.
Тэг модуль
Мэдэгдэж буй өмч:
Тийм учраас үнэмлэхүй утгыг эерэг тоо гэж хэлж болохгүй: тэг нь сөрөг ч биш, эерэг ч биш.
Дөрвөлжин модуль
Квадрат модуль нь үргэлж квадрат илэрхийлэлтэй тэнцүү байна:
Модуль бүхий графикуудын жишээ
Ихэнхдээ тест, шалгалтанд зөвхөн графикт дүн шинжилгээ хийх замаар шийдвэрлэх боломжтой ажлууд байдаг. Ийм ажлуудыг авч үзье.
Жишээ 1.
f(x) = |x| функц өгөгдсөн. 1-ийн алхамтай - 3-аас 3 хүртэлх графикийг байгуулах шаардлагатай.
Шийдэл:
Тайлбар: График нь Y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байгааг зураг харуулж байна.
Жишээ 2. f(x) = |x–2| функцийн графикийг зурж, харьцуулах шаардлагатай ба g(x) = |x|–2.
Шийдэл:
Тайлбар: Үнэмлэхүй утгын доторх тогтмол нь сөрөг байвал графикийг бүхэлд нь баруун тийш, эерэг утгатай бол зүүн тийш шилжүүлнэ. Харин гаднах тогтмол нь эерэг байвал графыг дээш, сөрөг байвал доошоо хөдөлнө (жишээ нь - 2 функцэд g(x)).
Оройн координат x(хоёр шугамын холбогдох цэг, графын орой) нь графикийг зүүн эсвэл баруун тийш шилжүүлэх тоо юм. Координат y– энэ нь график дээш эсвэл доош шилжих утга юм.
Та онлайн график програмуудыг ашиглан ийм график үүсгэж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та тогтмол үзүүлэлтүүд функцэд хэрхэн нөлөөлж байгааг тодорхой харж болно.
Модультай асуудалд интервалын арга
Интервал арга нь нэг юм хамгийн сайн арга замуудмодультай холбоотой асуудлуудын хариултыг олох, ялангуяа илэрхийлэлд тэдгээрийн хэд хэдэн нь байгаа бол.
Энэ аргыг ашиглахын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
- Илэрхийлэл бүрийг тэгтэй тэнцүүл.
- Хувьсагчдын утгыг ол.
- 2-р алхам дээр олж авсан цэгүүдийг тооны шулуун дээр зур.
- Интервал дээрх илэрхийллийн тэмдгийг (сөрөг эсвэл эерэг утга) тодорхойлж, тус тусад нь - эсвэл + тэмдэг зур. Тэмдгийг тодорхойлох хамгийн хялбар арга бол орлуулах аргыг ашиглах явдал юм (заавалаас дурын утгыг орлуулах).
- Өгөгдсөн тэмдгээр тэгш бус байдлыг шийд.
Жишээ 1. Интервалын аргыг ашиглан шийднэ.
Шийдэл:
Бид математикийг сонгодоггүйТүүний мэргэжил, тэр биднийг сонгодог.
Оросын математикч Ю.И. Манин
Модультай тэгшитгэл
Сургуулийн математикийн шийдвэрлэхэд хамгийн хэцүү асуудал бол модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та модулийн тодорхойлолт, үндсэн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, оюутнууд ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой.
Үндсэн ойлголт ба шинж чанарууд
Бодит тооны модуль (үнэмлэхүй утга).гэж тэмдэглэсэн бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдоно.
TO энгийн шинж чанаруудмодуль нь дараахь харилцааг агуулна.
Анхаар, Сүүлийн хоёр шинж чанар нь тэгш хэмийн хувьд хүчинтэй байна.
Түүнээс гадна, хэрэв, хаана, дараа нь болон
Илүү төвөгтэй модулийн шинж чанарууд, модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үр дүнтэй ашиглаж болно, Дараах теоремоор томъёолно.
Теорем 1.Дурын хувьд аналитик функцууд Тэгээд тэгш бус байдал нь үнэн юм
Теорем 2.Тэгш байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ.
Теорем 3.Тэгш байдал тэгш бус байдалтай адил.
Ингээд авч үзье ердийн жишээнүүд"Тэгшитгэл" сэдвээр асуудал шийдвэрлэх, модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан."
Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Сургуулийн математикийн модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга бол арга юм, модулийн өргөтгөл дээр суурилсан. Энэ арга нь бүх нийтийнх юм, гэхдээ ерөнхий тохиолдолд түүнийг ашиглах нь маш төвөгтэй тооцоолол хийхэд хүргэдэг. Үүнтэй холбогдуулан оюутнууд бусад зүйлийг мэддэг байх ёстой, илүү үр дүнтэй аргуудИйм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техник. Ялангуяа, теоремуудыг хэрэглэх ур чадвартай байх шаардлагатай, энэ нийтлэлд өгсөн.
Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд. (1)
Шийдэл. Бид (1) тэгшитгэлийг "сонгодог" арга буюу модулиудыг илрүүлэх аргыг ашиглан шийднэ. Ингэхийн тулд тооны тэнхлэгийг хувааяцэгүүд болон интервалд хувааж, гурван тохиолдлыг авч үзье.
1. Хэрэв , , , , тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна. Үүнээс үүдэн гарч байна. Гэхдээ энд олсон утга нь (1) тэгшитгэлийн язгуур биш юм.
2. Хэрэв, Дараа нь (1) тэгшитгэлээс бид олж авнаэсвэл .
Түүнээс хойш тэгшитгэлийн үндэс (1).
3. Хэрэв, тэгвэл (1) тэгшитгэл хэлбэрийг авнаэсвэл . Үүнийг тэмдэглэе.
Хариулт: , .
Дараагийн тэгшитгэлийг модулийн тусламжтайгаар шийдвэрлэхдээ бид ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үр ашгийг нэмэгдүүлэхийн тулд модулиудын шинж чанарыг идэвхтэй ашиглах болно.
Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Түүнээс хойш ба Дараа нь тэгшитгэлээс үүснэ. Үүнтэй холбогдуулан, , , ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг. Эндээс бид авдаг. Гэсэн хэдий ч, тиймээс анхны тэгшитгэл нь үндэсгүй.
Хариулт: үндэс байхгүй.
Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Түүнээс хойш. Хэрэв бол ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг.
Эндээс бид авдаг.
Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Тэгшитгэлийг тэнцүү хэлбэрээр дахин бичье. (2)
Үүссэн тэгшитгэл нь төрлийн тэгшитгэлд хамаарна.
Теорем 2-ыг харгалзан үзвэл (2) тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна гэж үзэж болно. Эндээс бид авдаг.
Хариулт: .
Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Тийм ч учраас, Теорем 3-ын дагуу, энд тэгш бус байдал байнаэсвэл .
Жишээ 6.Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Ингэж бодъё. Учир нь, тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг авна, (3)
Хаана . (3) тэгшитгэл нь нэг эерэг язгууртайба , дараа нь . Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг олж авна.Мөн .
Жишээ 7. Тэгшитгэлийг шийд. (4)
Шийдэл. Тэгшитгэлээс хойшнь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна:Мөн , тэгвэл (4) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хоёр тохиолдлыг авч үзэх шаардлагатай.
1. Хэрэв , тэгвэл эсвэл .
Эндээс бид , ба .
2. Хэрэв , тэгвэл эсвэл .
Түүнээс хойш.
Хариулт: , , , .
Жишээ 8.Тэгшитгэлийг шийд . (5)
Шийдэл.Түүнээс хойш ба , дараа нь . Эндээс болон тэгшитгэлээс (5) дараах нь ба , i.e. Энд бид тэгшитгэлийн системтэй байна
Гэсэн хэдий ч энэ тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй байна.
Хариулт: үндэс байхгүй.
Жишээ 9. Тэгшитгэлийг шийд. (6)
Шийдэл.Хэрэв бид үүнийг тэмдэглэвэл (6) тэгшитгэлээс бид олж авна
Эсвэл . (7)
(7) тэгшитгэл нь хэлбэртэй тул энэ тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Эндээс бид авдаг. Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл .
Хариулт: .
Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд. (8)
Шийдэл.Теорем 1-ийн дагуу бид бичиж болно
(9)
(8) тэгшитгэлийг харгалзан бид (9) тэгш бус байдал хоёулаа тэнцүү болж хувирдаг гэж дүгнэж байна. тэгшитгэлийн систем байдаг
Гэхдээ теорем 3-ын дагуу дээрх тэгшитгэлийн систем нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү байна.
(10)
Тэгш бус байдлын системийг шийдэж (10) бид олж авна. Тэгшитгэлгүй байдлын систем (10) нь тэгшитгэл (8)-тай тэнцүү тул анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай.
Хариулт: .
Жишээ 11. Тэгшитгэлийг шийд. (11)
Шийдэл.ба гэж байг, тэгвэл (11) тэгшитгэлээс тэгшитгэл гарна.
Үүнийг дагадаг ба . Тиймээс энд тэгш бус байдлын систем бий болно
Энэ тэгш бус байдлын тогтолцооны шийдэл ньМөн .
Хариулт: , .
Жишээ 12.Тэгшитгэлийг шийд. (12)
Шийдэл. (12) тэгшитгэлийг модулиудыг дараалан өргөтгөх аргаар шийднэ. Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.
1. Хэрэв , тэгвэл .
1.1. Хэрэв , тэгвэл ба , .
1.2. Хэрэв, тэгвэл. Гэсэн хэдий ч, тиймээс дотор энэ тохиолдолд(12) тэгшитгэлд үндэс байхгүй.
2. Хэрэв , тэгвэл .
2.1. Хэрэв , тэгвэл ба , .
2.2. Хэрэв , дараа нь ба .
Хариулт: , , , , .
Жишээ 13.Тэгшитгэлийг шийд. (13)
Шийдэл.(13) тэгшитгэлийн зүүн тал нь сөрөг биш тул . Үүнтэй холбогдуулан тэгшитгэл (13)
эсвэл хэлбэрийг авдаг.
тэгшитгэл гэдгийг мэддэг хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байнаМөн , Бид үүнийг олж авах болно, . Учир нь, тэгвэл (13) тэгшитгэл нэг үндэстэй байна.
Хариулт: .
Жишээ 14. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (14)
Шийдэл.Түүнээс хойш ба , дараа нь ба . Үүний үр дүнд (14) тэгшитгэлийн системээс бид дөрвөн тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Дээрх тэгшитгэлийн системийн үндэс нь тэгшитгэлийн системийн үндэс юм (14).
Хариулт: ,, , , , , , .
Жишээ 15. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (15)
Шийдэл.Түүнээс хойш. Үүнтэй холбогдуулан (15) тэгшитгэлийн системээс бид хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна
Нэгдүгээр системийн тэгшитгэлийн үндэс нь ба , хоёр дахь системээс бид ба .
Хариулт: , , , .
Жишээ 16. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (16)
Шийдэл.(16) системийн эхний тэгшитгэлээс .
Түүнээс хойш . Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье. Түүнээс хойш, Тэр, ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг, , эсвэл .
Хэрэв та утгыг орлуулах юм болсистемийн эхний тэгшитгэлд (16), дараа нь , эсвэл .
Хариулт: , .
Асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй холбоотой, модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан, зөвлөгөө өгч чадах уу сургалтын хэрэглэгдэхүүнсанал болгож буй уран зохиолын жагсаалтаас.
1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.
2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй даалгавар. – М.: CD "Librocom" / URSS, 2017. – 200 х.
3. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: асуудал шийдвэрлэх стандарт бус аргууд. – М.: CD "Librocom" / URSS, 2017. – 296 х.
Асуулт хэвээр байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Модуль нь илэрхийллийн үнэмлэхүй утга юм. Ямар нэгэн байдлаар модулийг зааж өгөхийн тулд шулуун хаалт ашиглах нь заншилтай байдаг. Тэгш хаалтанд байгаа утга нь модулаар авсан утга юм. Аливаа модулийг шийдвэрлэх үйл явц нь математикийн хэлээр модуль хаалт гэж нэрлэгддэг маш шулуун хаалтуудыг нээхээс бүрддэг. Тэдний ил тод байдал нь тодорхой тооны дүрмийн дагуу явагддаг. Мөн модулиудыг шийдвэрлэх дарааллаар модуль хаалтанд байсан илэрхийллийн утгын багцыг олно. Ихэнх тохиолдолд модуль нь дэд модульчлагдсан илэрхийлэл нь эерэг ба сөрөг утгыг, тэг утгыг багтаасан байдлаар өргөжүүлдэг. Хэрэв бид модулийн тогтсон шинж чанаруудаас эхлэх юм бол процессын явцад анхны илэрхийлэлээс янз бүрийн тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг эмхэтгэх бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх шаардлагатай болно. Модулиудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдье.
Шийдвэрлэх үйл явц
Модулийг шийдвэрлэх нь модультай анхны тэгшитгэлийг бичихээс эхэлдэг. Модультай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд та үүнийг бүрэн нээх хэрэгтэй. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд модулийг өргөжүүлсэн. Бүх модульчлагдсан илэрхийлэлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Түүний найрлагад орсон үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн ямар утгыг хаалтанд оруулсан модуль илэрхийлэл тэг болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд модульчлагдсан хаалт дахь илэрхийлэлийг тэгтэй тэнцүүлж, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийн шийдийг тооцоолоход хангалттай. Олсон утгыг бүртгэх ёстой. Үүнтэй адилаар та энэ тэгшитгэлийн бүх модулийн үл мэдэгдэх хувьсагчийн утгыг тодорхойлох хэрэгтэй. Дараа нь та илэрхийлэлд хувьсагчид тэгээс өөр байх үед байгаа бүх тохиолдлыг тодорхойлж, авч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та анхны тэгш бус байдлын бүх модульд тохирсон тэгш бус байдлын зарим системийг бичих хэрэгтэй. Тэгш бус байдлыг тоон мөрөнд байгаа хувьсагчийн боломжтой болон боломжит бүх утгыг багтаахаар бичих ёстой. Дараа нь та дүрслэхийн тулд ижил тооны шугамыг зурах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь олж авсан бүх утгыг зурах хэрэгтэй.
Одоо бараг бүх зүйлийг интернетээр хийх боломжтой. Модуль нь дүрмээс үл хамаарах зүйл биш юм. Та үүнийг орчин үеийн олон нөөцийн аль нэгэнд онлайнаар шийдэж болно. Тэг модульд байгаа хувьсагчийн бүх утгууд нь модульчлагдсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад хэрэглэгдэх тусгай хязгаарлалт байх болно. Анхны тэгшитгэлд та бүх боломжит модульчлагдсан хаалтуудыг нээж, илэрхийллийн тэмдгийг өөрчлөх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр хүссэн хувьсагчийн утгууд нь тоон мөрөнд харагдах утгуудтай давхцах болно. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх ёстой. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад олж авах хувьсагчийн утгыг модулийн өөрөө тодорхойлсон хязгаарлалттай харьцуулах шаардлагатай. Хэрэв хувьсагчийн утга нөхцөлийг бүрэн хангаж байвал зөв байна. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад олж авах боловч хязгаарлалтад тохирохгүй бүх үндэсийг хаях ёстой.
Оюутнуудын хувьд хамгийн хэцүү сэдвүүдийн нэг бол модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал юм. Эхлээд энэ нь юутай холбоотой болохыг олж мэдье? Жишээлбэл, яагаад ихэнх хүүхдүүд квадрат тэгшитгэлийг самар шиг эвддэг мөртлөө модуль гэх мэт нарийн төвөгтэй ойлголтоос маш их асуудалтай байдаг вэ?
Миний бодлоор эдгээр бүх бэрхшээлүүд нь модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тодорхой томъёолол байхгүйтэй холбоотой юм. Тиймээс, квадрат тэгшитгэлийг шийдэхдээ оюутан эхлээд ялгах томьёог, дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглах хэрэгтэй гэдгийг баттай мэддэг. Хэрэв тэгшитгэлд модуль олдвол яах вэ? Бид тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно шаардлагатай төлөвлөгөөтэгшитгэл нь модулийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тохиолдолд үйлдлүүд. Бид тохиолдол бүрийн хувьд хэд хэдэн жишээ өгөх болно.
Гэхдээ эхлээд санацгаая модулийн тодорхойлолт. Тиймээс, тоог модуль болгоно аэнэ тоог өөрөө if гэж нэрлэдэг асөрөг бус ба -а, хэрэв тоо атэгээс бага. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
|а| = a хэрэв a ≥ 0 ба |a| = -a хэрэв a< 0
тухай ярьж байна геометрийн мэдрэмжмодулийн хувьд бодит тоо бүр нь тооны тэнхлэгийн тодорхой цэгтэй тохирч байгааг санах нь зүйтэй 
зохицуулах. Тэгэхээр, модуль буюу тоон үнэмлэхүй утга нь энэ цэгээс тоон тэнхлэгийн гарал үүсэл хүртэлх зай юм. Зайг үргэлж эерэг тоогоор зааж өгдөг. Тиймээс аливаа сөрөг тооны модуль нь эерэг тоо юм. Дашрамд хэлэхэд, энэ үе шатанд ч олон оюутнууд төөрөлдөж эхэлдэг. Модуль нь ямар ч тоог агуулж болох боловч модулийг ашигласны үр дүн үргэлж эерэг тоо байдаг.
Одоо тэгшитгэлүүдийг шийдвэрлэхэд шууд шилжье.
1. |x| хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье = c, энд c нь бодит тоо. Энэ тэгшитгэлийг модулийн тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болно.
Бид бүх бодит тоог гурван бүлэгт хуваадаг: тэгээс их, тэгээс бага, гурав дахь бүлэг нь 0 тоо. Бид шийдлийг диаграмм хэлбэрээр бичнэ.
(±c, хэрэв c > 0 бол
Хэрэв |x| = c, тэгвэл x = (0, хэрэв c = 0 бол
(хэрэв байгаа бол үндэс байхгүй< 0
1) |x| = 5, учир нь 5 > 0, дараа нь x = ±5;
2) |x| = -5, учир нь -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, дараа нь x = 0.
2. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = b, энд b > 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд модулийг арилгах шаардлагатай. Бид үүнийг дараах байдлаар хийдэг: f(x) = b эсвэл f(x) = -b. Одоо та үүссэн тэгшитгэл бүрийг тусад нь шийдэх хэрэгтэй. Хэрэв анхны тэгшитгэлд b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, учир нь 4 > 0, дараа нь
x + 2 = 4 эсвэл x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, учир нь 11 > 0, дараа нь
x 2 – 5 = 11 эсвэл x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 үндэс байхгүй
3) |x 2 – 5x| = -8, учир нь -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = g(x). Модулийн утгын дагуу ийм тэгшитгэл нь түүний баруун гар тал нь тэгээс их буюу тэнцүү байвал шийдлүүдтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл. g(x) ≥ 0. Дараа нь бид:
f(x) = g(x)эсвэл f(x) = -g(x).
1) |2х – 1| = 5x – 10. 5x – 10 ≥ 0 бол энэ тэгшитгэл үндэстэй болно. Эндээс ийм тэгшитгэлийн шийдэл эхэлнэ.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Шийдэл:
2x – 1 = 5x – 10 эсвэл 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Бид O.D.Z-г нэгтгэдэг. Үүний шийдэл нь бид дараахь зүйлийг олж авна.
X = 11/7 үндэс нь O.D.Z.-д тохирохгүй, 2-оос бага, харин x = 3 нь энэ нөхцлийг хангаж байна.
Хариулт: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2.
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдье:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Шийдэл:
x – 1 = 1 – x 2 эсвэл x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 эсвэл x = 1 x = 0 эсвэл x = 1
3. Бид шийдэл болон O.D.Z.-г нэгтгэдэг:
Зөвхөн x = 1 ба x = 0 үндэс тохиромжтой.
Хариулт: x = 0, x = 1.
4. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = |g(x)|. Ийм тэгшитгэл нь f(x) = g(x) эсвэл f(x) = -g(x) гэсэн хоёр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.
1) |x 2 – 5x + 7| = |2х – 5|. Энэ тэгшитгэл нь дараах хоёртой тэнцүү байна.
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 эсвэл x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 эсвэл x = 4 x = 2 эсвэл x = 1
Хариулт: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Орлуулах аргаар шийдсэн тэгшитгэл (хувьсагчийн орлуулалт). Энэ аргашийдлүүдийг тайлбарлахад хамгийн хялбар байдаг тодорхой жишээ. Тэгэхээр, модультай квадрат тэгшитгэл өгье.
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Модулийн шинж чанараар x 2 = |x| 2, тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Орлуулах |x|-г хийцгээе = t ≥ 0, тэгвэл бид дараах байдалтай байна:
t 2 – 6t + 5 = 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, t = 1 эсвэл t = 5 болохыг олж мэдье. Орлуулах руу буцъя:
|x| = 1 эсвэл |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Хариулт: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Өөр нэг жишээг харцгаая:
x 2 + |x| – 2 = 0. Модулийн шинж чанараар x 2 = |x| 2, тиймээс
|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x|-г орлуулъя = t ≥ 0, тэгвэл:
t 2 + t – 2 = 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид t = -2 эсвэл t = 1 болно. Орлуулах руу буцъя:
|x| = -2 эсвэл |x| = 1
Үндэс байхгүй x = ± 1
Хариулт: x = -1, x = 1.
6. Өөр нэг төрлийн тэгшитгэл бол "цогцолбор" модультай тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлд "модуль доторх модультай" тэгшитгэлүүд орно. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг модулийн шинж чанарыг ашиглан шийдэж болно.
1) |3 – |x|| = 4. Бид хоёр дахь төрлийн тэгшитгэлтэй ижил аргаар ажиллах болно. Учир нь 4 > 0, дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг авна.
3 – |x| = 4 эсвэл 3 – |x| = -4.
Одоо тэгшитгэл тус бүрт x модулийг илэрхийлье, тэгвэл |x| = -1 эсвэл |x| = 7.
Бид үүссэн тэгшитгэл бүрийг шийддэг. Эхний тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь -1< 0, а во втором x = ±7.
Хариулт x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийддэг.
3 + |x + 1| = 5 эсвэл 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 эсвэл x + 1 = -2. Үндэс байхгүй.
Хариулт: x = -3, x = 1.
Мөн модультай тэгшитгэлийг шийдэх бүх нийтийн арга байдаг. Энэ бол интервалын арга юм. Гэхдээ бид үүнийг дараа нь авч үзэх болно.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.