Эллипс параболоидын каноник тэгшитгэл. Эллипсоид. Гиперболоидууд. Параболоидууд. Дэлхий дээрх параболоидууд

Түүний тэнхлэгийн эргэн тойронд та ердийн эллипс авч болно. Энэ нь хөндий изометрийн бие бөгөөд хэсгүүд нь эллипс ба парабол юм. Зууван параболоидыг дараах байдлаар тодорхойлно.
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Параболоидын бүх үндсэн хэсгүүд нь параболууд юм. XOZ ба YOZ онгоцыг огтлох үед зөвхөн параболыг авдаг. Хэрэв та Xoy хавтгайтай харьцуулахад перпендикуляр зүсэлт зурвал эллипс авч болно. Түүнчлэн парабол болох хэсгүүдийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлно.
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Эллипсийн хэсгүүдийг бусад тэгшитгэлээр өгөгдсөн:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2ц
a=b цэгийн эллипс хэлбэрийн параболоид нь эргэлтийн параболоид болж хувирдаг. Параболоидыг бүтээх нь анхааралдаа авах шаардлагатай хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг. Үндэслэлийг бэлтгэх замаар үйл ажиллагааг эхлүүлнэ үү - функцийн графикийн зураг.

Параболоидыг барьж эхлэхийн тулд эхлээд параболо бүтээх хэрэгтэй. Зурагт үзүүлсэн шиг Oxz хавтгайд параболыг зур. Ирээдүйн параболоидыг тодорхой өндрөөр өг. Үүнийг хийхийн тулд параболын дээд цэгүүдэд хүрч, Үхрийн тэнхлэгтэй параллель байхаар шулуун шугам зур. Дараа нь Ёзын хавтгайд парабол зурж, шулуун шугамыг зур. Та бие биентэйгээ перпендикуляр хоёр параболоид онгоц авах болно. Үүний дараа Xoy хавтгайд эллипс зурахад туслах параллелограммыг байгуул. Энэ параллелограммыг бүх талыг нь шүргэхийн тулд эллипс бич. Эдгээр хувиргалтын дараа параболоидын гурван хэмжээст дүрс үлддэг параллелограммыг арилгана.

Мөн зууван хэлбэрээс илүү хотгор хэлбэртэй гипербол параболоид байдаг. Түүний хэсгүүд нь мөн парабол, зарим тохиолдолд гиперболуудтай байдаг. Oxz болон Oyz дагуух гол хэсгүүд нь эллипс параболоидын адил параболууд юм. Тэдгээрийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн.
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Хэрэв та Oxy тэнхлэгтэй харьцуулахад зүсэлт зурвал гиперболыг авч болно. Гиперболик параболоидыг бүтээхдээ дараах тэгшитгэлийг ашиглана.
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - гиперболын параболоидын тэгшитгэл

Эхлээд Oxz хавтгайд тогтмол параболыг байгуул. Ойз хавтгайд хөдөлж буй параболыг зур. Үүний дараа h параболоидын өндрийг тогтооно. Үүнийг хийхийн тулд тогтмол параболын хоёр цэгийг тэмдэглээрэй, энэ нь өөр хоёр хөдлөх параболын орой болно. Дараа нь өөр нэг O"x"y" координатын системийг зурж, гиперболуудыг зурна. Энэ координатын системийн төв нь параболоидын өндөртэй давхцах ёстой. Бүх бүтээцийн дараа дээр дурдсан хөдлөх хоёр параболыг шүргэхийн тулд зур. туйлын цэгүүдгипербол. Үр дүн нь гиперболын параболоид юм.

Параболын шүргэгчийн батлагдсан шинж чанар нь маш чухал бөгөөд үүнээс үзэхэд хонхор параболын толь, өөрөөр хэлбэл параболыг тэнхлэгээ тойруулан эргүүлэх замаар гадаргууг олж авсан толины фокусаас ялгарах туяа нь үүснэ. зэрэгцээ туяа, тухайлбал зэрэгцээ толин тусгал тэнхлэгүүдээр тусгагдсан (Зураг).

Параболик тольны энэ шинж чанарыг хайс барих, аливаа машины гэрэл, мөн тусгах телескоп хийхэд ашигладаг. Түүнээс гадна, сүүлчийн тохиолдолд, эсрэгээр, тэнгэрийн биеэс ирж буй туяа; бараг зэрэгцээ, тэдгээр нь телескопын толины фокусын ойролцоо төвлөрч, гэрэлтүүлгийн янз бүрийн цэгээс ирж буй туяа нь параллель бус байдаг тул фокусын ойролцоо өөр өөр цэгүүдэд төвлөрдөг тул фокусын ойролцоо гэрэлтдэг. гэрэлтүүлэгчийг олж авах тусам том байх тусмаа их болно фокусын уртпарабол. Энэ зургийг аль хэдийн микроскопоор (телескопын нүдний шил) харж байна. Хатуухан хэлэхэд толины тэнхлэгтэй яг параллель туяаг нэг цэгт (фокус) цуглуулдаг бол толины тэнхлэгт өнцгөөр эргэлдэж буй параллель туяаг бараг нэг цэг хүртэл цуглуулдаг бөгөөд цаашдаа энэ цэг нь фокусаас харахад илүү их зураг бүдэгрэх болно. Энэ нөхцөл байдал нь "телескопын харах талбар" -ыг хязгаарладаг.

Түүний дотоод гадаргуу нь толин тусгал гадаргуу байх болтугай, энэ параболик толь нь op-amp-ийн тэнхлэгтэй параллель гэрлийн туяагаар гэрэлтдэг. Оп-амп тэнхлэгтэй параллель бүх цацрагууд тусгасны дараа op-amp тэнхлэгийн нэг цэг дээр огтлолцоно (фокус F). Параболик дурангийн загвар нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Алс холын оддын цацраг нь параллель цацраг хэлбэрээр бидэнд ирдэг. Параболик дуран хийж, түүний фокус дээр гэрэл зургийн хавтанг байрлуулснаар бид одноос ирж буй гэрлийн дохиог нэмэгдүүлэх боломжийг олж авдаг.

Үүнтэй ижил зарчим нь радио дохиог нэмэгдүүлэх боломжийг олгодог параболик антенныг бий болгоход оршино. Хэрэв та параболик толины голомт дээр гэрлийн эх үүсвэр байрлуулбал толины гадаргуугаас тусгасны дараа энэ эх үүсвэрээс ирж буй туяа тархахгүй, харин толины тэнхлэгтэй параллель нарийн цацрагт хуримтлагдана. . Энэ баримтыг гэрэлтүүлэг, дэнлүү, янз бүрийн проектор үйлдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд толь нь параболоид хэлбэрээр хийгдсэн байдаг.

Параболик толины дээр дурдсан оптик шинж чанарыг толин тусгал дуран, нарны халаалтын төрөл бүрийн суурилуулалт, мөн хайсан гэрлийг бий болгоход ашигладаг. Параболик толины голомт дээр гэрлийн хүчирхэг цэгийн эх үүсвэрийг байрлуулснаар бид толины тэнхлэгтэй параллель ойсон цацрагийн нягт урсгалыг олж авдаг.

Парабол тэнхлэгээ тойрон эргэх үед параболоид гэж нэрлэгддэг дүрс гарч ирнэ. Хэрэв параболоидын дотоод гадаргууг толин тусгал болгож, цацраг туяа чиглүүлбэл, тэнхлэгтэй параллельпараболын тэгш хэмтэй бол туссан туяа нэг цэг дээр нийлэх бөгөөд үүнийг фокус гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ, гэрлийн эх үүсвэрийг фокус дээр байрлуулсан бол параболоидын толин тусгал гадаргуугаас туссан туяа нь параболоид байх бөгөөд тархаагүй болно.

Эхний шинж чанар нь параболоидын фокусын өндөр температурыг олж авах боломжийг олгодог. Домогт өгүүлснээр энэ өмчийг эртний Грекийн эрдэмтэн Архимед (МЭӨ 287-212) ашиглаж байжээ. Ромчуудын эсрэг дайнд Сиракузыг хамгаалж байхдаа нарны туссан туяаг Ромын хөлөг онгоцон дээр төвлөрүүлэх боломжийг олгодог параболик тольны системийг бүтээжээ. Үүний үр дүнд параболик толины голомт дахь температур маш өндөр байсан тул хөлөг онгоцон дээр гал гарч, тэд шатжээ.

Хоёрдахь өмчийг жишээлбэл, гэрэлтүүлэг, машины гэрэл үйлдвэрлэхэд ашигладаг.

Гипербола

4. Гиперболын тодорхойлолт нь түүнийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр бүтээх энгийн аргыг бидэнд өгдөг: уртын зөрүү нь 2a байх хоёр утас авч, эдгээр утаснуудын нэг үзүүрийг F" ба F цэгүүдэд холбоно. Хэрэв та нөгөөг нь барьж байвал. хоёр үзүүрийг гараараа нийлүүлж, утаснуудын дагуу харандааны үзүүрээр хөдөлж, утсыг цаасан дээр дарж, сунгаж, шүргэж, зургийн үзүүрээс эхлээд үзүүрүүд нь нийлэх цэг хүртэл зурна. гиперболын салбаруудын аль нэгнийх нь хэсэг (утас нь том байх тусам урт байх болно) (Зураг).

F" ба F цэгүүдийн үүргийг өөрчилснөөр бид өөр салааны хэсгийг олж авна.

Жишээ нь,"2-р эрэмбийн муруй" сэдвээр та дараахь асуудлыг авч үзэж болно.

Даалгавар.А, В хоёр төмөр замын буудал нь бие биенээсээ с км зайд байрладаг. Ямар ч М цэг хүртэл ачааг А станцаас шууд авто тээврээр (эхний зам) эсвэл тээвэрлэж болно төмөр замВ станц руу, тэндээс машинаар (хоёр дахь зам). Төмөр замын тариф (1 км тутамд 1 тонн тээвэрлэх үнэ) м рубль, авто тээврийн тариф n рубль, n > м, ачих буулгах тариф к рубль байна. Төмөр замын В станцын нөлөөллийн талбайг тодорхойл, өөрөөр хэлбэл А станцаас ачааг холимог аргаар - төмөр замаар, дараа нь авто замаар хүргэх нь илүү хямд байх газрыг тодорхойлно. Хоёр дахь зам нь эхнийхээс илүү ашигтай байх цэгүүдийн геометрийн байршлыг тодорхойлох.

Шийдэл. AM = r, BM = g гэж тэмдэглэе, тэгвэл AM маршрутын дагуу хүргэх зардал (тээвэрлэлт, ачих/буулгах) нь nr + k, ABM маршрутын дагуу хүргэх зардал нь ms + 2k + -тэй тэнцүү байна. нг. Дараа нь хоёр утга нь тэнцүү M цэгүүд нь nr + k = ms+2k+ng тэгшитгэлийг хангана, эсвэл

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

тиймээс мужийг заагласан шугам нь гиперболын нэг салбар | r - r | = const. Энэ гиперболын А цэгтэй нэг талд байрлах онгоцны бүх цэгүүдийн хувьд эхний зам нь илүү давуу талтай, нөгөө талд байрлах цэгүүдийн хувьд хоёрдугаарт, гиперболын салбар нь нөлөөллийн талбайг тоймлодог. В станцын.

Энэ асуудлын хувилбар.

А, В хоёр төмөр замын буудал нь бие биенээсээ l км зайд байрладаг. М цэгт ачааг А станцаас шууд авто тээврээр, эсвэл төмөр замаар В станц руу, тэндээс машинаар хүргэж болно (Зураг 49). Энэ тохиолдолд төмөр замын тариф (1 км тутамд 1 тонн тээвэрлэх үнэ) м рубль, ачих, буулгах зардал к рубль (1 тонн тутамд), авто тээврийн тариф n рубль (n > м) байна. Төмөр замын В станцын нөлөөллийн бүс гэж нэрлэгддэг бүсийг, өөрөөр хэлбэл А-аас ачааг холимог замаар хүргэх нь илүү хямд бүсийг тодорхойлъё: төмөр замаар, дараа нь авто замаар.

Шийдэл. AM чиглэлийн дагуу 1 тонн ачаа хүргэх зардал нь r n, энд r = AM, ABM чиглэлийн дагуу 1м + k + r n-тэй тэнцүү байх болно. Бид r n 1m+ k+ r n давхар тэгш бус байдлыг шийдэж, (x, y) хавтгай дээрх цэгүүд хэрхэн тархаж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй бөгөөд үүнд ачааг эхний эсвэл хоёр дахь замаар хүргэх нь хямд байдаг.

Эдгээр хоёр бүсийн хилийг бүрдүүлдэг шугамын тэгшитгэлийг олъё, өөрөөр хэлбэл хоёр зам нь "ижил ашигтай" цэгүүдийн байршлыг:

r n = 1м+ k+ r n

Энэ нөхцлөөс бид r - r = = const-ийг олж авна.

Тиймээс хуваах шугам нь гипербол юм. Энэ гиперболын бүх гадаад цэгүүдийн хувьд эхний зам нь илүү давуу талтай, дотоод цэгүүдийн хувьд хоёр дахь нь. Иймд гипербол нь В станцын нөлөөллийн бүсийг тоймлон харуулна. Гиперболын хоёр дахь салбар нь А станцын нөлөөллийн бүсийг тоймлон харуулна (ачаа В станцаас хүргэгдэнэ). Гиперболынхоо параметрүүдийг олцгооё. Үүний гол тэнхлэг нь 2a = бөгөөд энэ тохиолдолд голомтын хоорондох зай (А ба В станцууд) 2c = l байна.

Иймд энэ асуудлын боломжийн нөхцөл нь хамаарлаар тодорхойлогддог a< с, будет

Энэ даалгавар нь хийсвэрийг холбодог геометрийн ойлголттээвэр, эдийн засгийн асуудалтай гиперболууд.

Шаардлагатай цэгийн цэг нь В цэгийг агуулсан гиперболын баруун мөчир дотор байрлах цэгүүдийн багц юм.

6. Мэдэхдээ" Хөдөө аж ахуйн машинууд» чухал гүйцэтгэлийн шинж чанарНалуу дээр ажиллаж буй тракторын тогтвортой байдлыг харуулах уртын налуу өнцөг ба хажуугийн өнхрөх өнцөг юм.

Энгийн байхын тулд бид дугуйт тракторыг авч үзэх болно. Трактор ажиллаж байгаа гадаргууг (наад зах нь нэлээд бага хэсэг) онгоц (хөдөлгөөний хавтгай) гэж үзэж болно. Тракторын уртааш тэнхлэг нь урд болон хойд тэнхлэгийн дунд цэгүүдийг хөдөлгөөний хавтгайд холбосон шулуун шугамын проекц юм. Хажуугийн өнхрөх өнцөг нь уртааш тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамын хэвтээ хавтгайд үүссэн, хөдөлгөөний хавтгайд байрлах өнцөг юм.

Математикийн хичээл дээр "Орон зай дахь шулуун ба хавтгай" сэдвийг судлахдаа бид дараахь асуудлыг авч үздэг.

а) Налуугийн налуу өнцөг болон тракторын траекторийн уртааш чиглэлээс хазайх өнцөг тодорхой байвал налуу дагуу хөдөлж буй тракторын уртааш хазайлтын өнцгийг ол.

б) Тракторын хажуугийн өнхрөх өнцөг нь тракторын хазайлтгүйгээр зогсох налуугийн зөвшөөрөгдөх дээд өнцөг юм. Хамгийн их хажуугийн өнхрөх өнцгийг тодорхойлохын тулд тракторын ямар параметрүүдийг мэдэхэд хангалттай; энийг яаж олох вэ
булан?

7. Шулуун шугаман генератор байгаа нь барилгын тоног төхөөрөмжид ашиглагддаг. Энэхүү баримтыг практикт ашиглах үндэслэгч нь Оросын нэрт инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853-1939) юм. В.Г.Шухов шулуун шугаман генераторын дагуу байрлах металл дам нуруу, тулгуур багана, тулгуурын дизайныг хийсэн. хувьсгалын нэг хуудас гиперболоид. Өндөр хүч чадалИйм бүтэц нь хөнгөн, үйлдвэрлэлийн хямд өртөг, дэгжин байдлыг хослуулан орчин үеийн барилгын ажилд өргөнөөр ашиглах боломжийг олгодог.

8. ЧӨЛӨӨТ ХҮНИЙ ХӨДӨЛГӨӨНИЙ ХУУЛЬ

Чөлөөт биеийн хувьд бүх төрлийн хөдөлгөөн адилхан боломжтой боловч энэ нь чөлөөт биеийн хөдөлгөөн эмх замбараагүй бөгөөд ямар ч хуульд захирагдахгүй гэсэн үг биш юм; эсрэгээр, хатуу биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөн нь гаднах хэлбэрээс үл хамааран массын төвийн хуулиар хязгаарлагдаж, нэг цэгийн хөдөлгөөн хүртэл буурдаг бөгөөд эргэлтийн хөдөлгөөн нь үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг. инерцийн буюу инерцийн эллипсоид. Тиймээс чөлөөт орон зайд хаягдсан саваа, эсвэл ангилагчаас нисч буй үр тариа зэрэг нь нэг цэг (массын төв) болж урагш хөдөлж, массын төвийг тойрон эргэлддэг. Ерөнхийдөө хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед хэлбэр дүрсээс үл хамааран аливаа хатуу биет эсвэл нарийн төвөгтэй машиныг нэг цэгээр (массын төв), эргэлтийн хөдөлгөөний үед инерцийн эллипсоидоор сольж болно. , радиус векторууд нь --тэй тэнцүү, энд / нь эллипсоидын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад энэ биеийн инерцийн момент юм.

Эргэлтийн үед биеийн инерцийн момент ямар нэг шалтгааны улмаас өөрчлөгдвөл эргэлтийн хурд ч өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, дээгүүр үсрэлт хийх үед акробатууд бөмбөгийг шахаж, биеийн инерцийн момент буурч, эргэлтийн хурд нэмэгдэхэд хүргэдэг бөгөөд энэ нь үсрэлт амжилттай болоход шаардлагатай байдаг. Үүнтэй адилаар хүмүүс хальтирсаны дараа гараа хажуу тийш нь сунгаснаар инерцийн момент нэмэгдэж, эргэлтийн хурд багасдаг. Үүнтэй адилаар хэвтээ тэнхлэгийг эргүүлэх үед ургацын тармуурын босоо тэнхлэгийн эргэн тойронд инерцийн момент нь хувьсах чадвартай байдаг.

Параболоидын өндрийг томъёогоор тодорхойлж болно

Доод хэсэгт хүрч буй параболоидын эзэлхүүн нь суурь радиус R, өндөр H бүхий цилиндрийн эзэлхүүний хагастай тэнцүү бөгөөд ижил эзэлхүүн нь параболоидын доорх W' орон зайг эзэлдэг (Зураг 4.5a).

Зураг.4.5. Доод талд хүрэх параболоидын эзлэхүүний харьцаа.

Wп – параболоидын эзэлхүүн, W’ – параболоидын доорх эзэлхүүн, Нп – параболоидын өндөр

Зураг 4.6. Цилиндрийн ирмэгт хүрэх параболоидын эзлэхүүний харьцаа Hp нь параболоидын өндөр., R нь савны радиус, Wl нь эргэлт эхлэхээс өмнөх савны шингэний өндрийн доорх эзэлхүүн, z. 0 нь параболоидын оройн байрлал, H нь эргэлт эхлэхээс өмнөх савны шингэний өндөр юм.

4.6а-р зурагт эргэлт эхлэхээс өмнөх цилиндр дэх шингэний түвшин H. Эргэлтийн өмнөх ба дараа нь шингэний Wl-ийн эзэлхүүнийг хадгалах ба z 0 өндөртэй цилиндрийн Wt эзлэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна. Hn өндөртэй Wp параболоидын эзэлхүүнтэй тэнцүү параболоидын доорх шингэний эзэлхүүн

Хэрэв параболоид цилиндрийн дээд ирмэгт хүрвэл эргэлт эхлэхээс өмнө цилиндр дэх шингэний өндөр H нь параболоидын өндрийг Hn хоёр тэнцүү хэсэгт хуваавал параболоидын хамгийн доод цэг (орой) нь харьцангуйгаар байрлана. суурь руу (Зураг 4.6c)

Үүнээс гадна H өндөр нь параболоидыг хоёр хэсэгт хуваадаг (Зураг 4.6c), эзлэхүүн нь W 2 = W 1-тэй тэнцүү байна. Параболын цагираг W 2 ба параболын аяга W 1-ийн эзэлхүүний тэнцүү байдлаас, Зураг 4.6c.

Параболоидын гадаргуу нь савны ёроолтой огтлолцох үед (Зураг 4.7) W 1 =W 2 =0.5W цагираг.

Зураг 4.7 Параболоидын гадаргуу нь цилиндрийн ёроолтой огтлолцох үеийн хэмжээ ба өндөр.

4.6-р зураг дээрх өндөр

хэмжээ 4.6-р зурагт.

Байршил чөлөөт гадаргуухөлөг онгоцонд

Зураг 4.8. Эргэлтийн үед харьцангуй амрах гурван тохиолдол

1. Хэрэв сав нээлттэй байвал Po = Ratm (Зураг 4.8а). Эргэлтийн үед параболоидын дээд хэсэг нь анхны түвшингээс доош унаж, ирмэгүүд нь эхний түвшнээс дээш өргөгддөг.

2. Савыг бүрэн дүүргэсэн, таглаатай, чөлөөтэй гадаргуугүй, Po>Patm илүүдэл даралттай бол эргүүлэхийн өмнө Po=Patm байх гадаргуу (PP) өндөрт тагны түвшнээс дээш байх болно. h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Хэрэв сав бүрэн дүүрсэн бол энэ нь вакуум По дор байна<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Өндөр өнцгийн хурдтай эргэлт (Зураг 4.9)

Шингэн агуулсан сав өндөр өнцгийн хурдаар эргэх үед төвөөс зугтах хүчтэй харьцуулахад таталцлын хүчийг үл тоомсорлож болно. Шингэн дэх даралтын өөрчлөлтийн хуулийг томъёоноос авч болно

(4.22),

Түвшингийн гадаргуу нь хөлөг онгоцыг тойрон эргэдэг нийтлэг тэнхлэгтэй цилиндрийг үүсгэдэг. Хэрэв эргэлт эхлэхээс өмнө савыг бүрэн дүүргээгүй бол даралт P 0 радиусын дагуу ажиллах болно r = r 0 , илэрхийллийн оронд (4.22) бид байх болно

Үүнд бид g(z 0 - z) = 0-г авна,

Цагаан будаа. 4.9 Хүндийн хүч байхгүй үед эргэлтийн гадаргуугийн байршил.

Мэдэгдэж буй H ба h-ийн дотоод гадаргуугийн радиус

Хоёр төрлийн параболоид байдаг: эллипс ба гипербол.

Эллипс параболоиднь декартын тэгш өнцөгт координатын зарим системд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гадаргуу юм.

Зууван параболоид нь хязгааргүй гүдгэр аяга хэлбэртэй байдаг. Энэ нь харилцан перпендикуляр тэгш хэмийн хоёр хавтгайтай. Координатын гарал үүслийг нэгтгэх цэгийг эллипс параболоидын орой гэж нэрлэдэг; p ба q тоонуудыг түүний параметр гэж нэрлэдэг.

Гипербол параболоид нь тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуу юм

Гиперболик параболоидэмээл хэлбэртэй байдаг. Энэ нь харилцан перпендикуляр тэгш хэмийн хоёр хавтгайтай. Координатын гарал үүслийг нэгтгэх цэгийг гиперболын параболоидын орой гэж нэрлэдэг; тоо rТэгээд qтүүний параметрүүд гэж нэрлэдэг.

Дасгал 8.4.Хэлбэрийн гипербол параболоидын бүтцийг авч үзье

Дараах мужуудад байрлах параболоидын хэсгийг байгуулах шаардлагатай болгоорой. xО[–3; 3], цагтО[–2; 2] хоёр хувьсагчийн хувьд D=0.5 алхамтай.

Гүйцэтгэл. Эхлээд та хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй z.Жишээн дээр

Хувьсагчийн утгуудыг оруулъя Xбагана руу А. Үүнийг хийхийн тулд үүрэнд A1тэмдэг оруулна уу X.Эс рүү А2аргументийн эхний утгыг оруулсан - мужын зүүн хязгаар (–3). Эс рүү A3- аргументын хоёрдахь утга нь мужын зүүн хязгаар дээр нэмэх нь барилгын алхам юм (–2,5). Дараа нь эсийн блокыг сонгоно A2: AZ, autofill ашиглан бид аргументийн бүх утгыг авдаг (бид блокийн баруун доод буланг нүд рүү чирнэ. A14).

Хувьсах утгууд цагтмөрөнд оруулна уу 1 . Үүнийг хийхийн тулд үүрэнд B1Хувьсагчийн эхний утгыг оруулсан - мужын зүүн хязгаар (–2). Эс рүү C1- хувьсагчийн хоёр дахь утга - мужын зүүн хязгаар дээр нэмэх нь барилгын алхам (– 1,5). Дараа нь эсийн блокыг сонгоно B1:C1,автоматаар бөглөх замаар бид аргументийн бүх утгыг авдаг (бид блокны баруун доод буланг нүд рүү чирнэ. J1).

Дараа нь хувьсагчийн утгыг оруулна уу z.Үүнийг хийхийн тулд хүснэгтийн курсорыг нүдэнд байрлуулах ёстой B2- = томьёог оруулна $A2^2/18 -B$1^2/8,дараа нь товчлуурыг дар Оруулна уу. Нэг эс дотор B2гарч ирнэ 0. Одоо та нүднээс функцийг хуулах хэрэгтэй B2. Үүнийг хийхийн тулд энэ томьёог эхлээд муж руу хуулахын тулд автоматаар бөглөх (баруун тийш зурах) ашиглана уу B2: J2, дараа нь (доошоо татах замаар) - муж руу B2: J14.

Үүний үр дүнд мужид B2: J14Гиперболик параболоид цэгүүдийн хүснэгт гарч ирнэ.

Хэрэгслийн самбар дээр диаграм зурах Стандартта товчлуур дарах хэрэгтэй Диаграмын шидтэн. Гарч ирэх харилцах цонхонд Chart Wizard (4-ийн 1-р алхам): Диаграмын төрөлдиаграмын төрлийг заана уу - Гадаргуу, болон харах - Утас (тунгалаг) гадаргуу(баруун цонхны баруун дээд диаграмм). Дараа нь товчлуурыг дар Дараа ньхарилцах цонхонд.

Гарч ирэх харилцах цонхонд Chart Wizard (4-ийн 2-р алхам): Өгөгдлийн эх сурвалжтабыг сонгох хэрэгтэй диаграм Хүрээөгөгдөл болон талбарт Хүрээөгөгдлийн интервалыг хулганаар зааж өгнө үү B2: J14.

Дараа нь та өгөгдлийн мөрүүд байрлах мөр эсвэл баганыг зааж өгөх хэрэгтэй. Энэ нь тэнхлэгүүдийн чиглэлийг тодорхойлох болно XТэгээд у.Жишээлбэл, шилжүүлэгч Дотор эгнээХулганы заагчийг ашиглан баганын байрлалд тохируулна уу.

Мөр таб болон талбарт сонгоно уу X тэнхлэгийн шошгогарын үсгийн хүрээг заана. Үүнийг хийхийн тулд хулганын заагч дээр дарж энэ талбарыг идэвхжүүлж, тэнхлэгийн шошгоны мужийг оруулна уу. X -А2: А14.

Тэнхлэгийн шошгоны утгыг оруулна уу у.Үүнийг хийхийн тулд ажлын талбарт Мөрэхний оруулгыг сонгоно уу 1-р эгнээмөн ажлын талбарыг идэвхжүүлснээр Нэрхулганы заагчаар хувьсагчийн эхний утгыг оруулна у: -2.Дараа нь талбай руу Мөрхоёр дахь оруулгыг сонгоно уу 2-р эгнээмөн ажлын талбарт Нэрхувьсагчийн хоёр дахь утгыг оруулна уу y: -1.5.Сүүлийн оруулга хүртэл ийм байдлаар давтана - 9-р эгнээ.

Шаардлагатай оруулгууд гарч ирсний дараа товчлуур дээр дарна уу Дараа нь.

Гурав дахь цонх нь диаграмын гарчиг болон тэнхлэгийн нэрийг оруулахыг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд табыг сонгоно уу Гарчигдээр нь хулганы заагчаар дарна уу. Дараа нь ажлын талбар руу Графикийн гарчиггарнаас нэрийг оруулна уу: Гиперболик параболоид.Дараа нь ижил аргаар ажлын талбарт оруулна уу X тэнхлэг (ангилууд),Y тэнхлэг (өгөгдлийн цуврал)Тэгээд Z тэнхлэг (утгууд)холбогдох нэрс: x, yТэгээд z.

Эллипсоид нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй гадаргуу юм Декартын системкоординат Oxyz нь a ^ b ^ c > 0 хэлбэртэй байна. Эллипсоид ямар харагддагийг мэдэхийн тулд бид дараах байдлаар ажиллана. Oxz хавтгай дээр эллипс авч, Oz тэнхлэгийг тойруулан эргүүлье (Зураг 46). Зураг.46 Үүссэн гадаргуу нь эллипсоид юм. Гиперболоидууд. Параболоидууд. Цилиндр ба хоёрдугаар зэргийн конус. - эргэлтийн эллипсоид - эллипсоид хэрхэн бүтэцлэгдсэн тухай ойлголтыг аль хэдийн өгсөн ерөнхий үзэл . Түүний тэгшитгэлийг олж авахын тулд эргэлтийн эллипсоидыг Oy тэнхлэгийн дагуу J ^!, t.c коэффициенттэй тэнцүү хэмжээгээр шахахад хангалттай. y-г түүний тэгшитгэлд Jt/5-аар солино). 10.2. Гиперболоидууд Гиперболыг эргүүлдэг fl i! Oz тэнхлэгийн эргэн тойронд = a2 c2 1 (Зураг 47), бид эргэлтийн нэг хуудас гиперболоид гэж нэрлэгддэг гадаргууг олж авдаг. Түүний тэгшитгэл нь *2 + y; эргэлтийн эллипсоидын нэгэн адил аргаар олж авдаг. 5) +yJ + *J = l" бөмбөрцгийг Oz тэнхлэгийн дагуу ~ ^ 1 коэффициенттэй жигд шахах замаар эргэлтийн эллипсоид гаргаж болно. Энэ гадаргууг Oy тэнхлэгийн дагуу 2 ^ 1 коэффициенттэй жигд шахах замаар. , бид нэг хуудас гиперболоид олж авах нь Эллипсоид юм O тэнхлэг, бид энэ гадаргууг 2 ^ 1-ийн коэффициентээр жигд шахаж, эргэлтийн хоёр хуудасны гиперболоидыг олж авна -y-ийн тусламжтайгаар бид параболыг Oz тэнхлэгийн дагуу эргүүлж, yj* ^ 1 коэффициенттэй x2 + y2 = 2 pz хэлбэрийн эргэлтийн параболоидыг олж авна. Бид эллипс параболоидыг олж авна, түүний тэгшитгэлийг эргүүлэх параболоидын тэгшитгэлээс If гэж орлуулж авна. 50. 10.4. Гипербол параболоид гэж тодорхой тэгш өнцөгт декартын координатын систем дэх тэгшитгэл нь Oxyz нь p > 0, q > 0 хэлбэртэй гадаргуу юм. Бид энэ гадаргуугийн төрлийг огтлолын гэгдэх аргыг ашиглан тодорхойлдог бөгөөд энэ нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ. : координатын хавтгайтай зэрэгцээ, судалж буй гадаргууг огтолж буй хавтгайг зурж, үүссэн хавтгай муруйнуудын тохиргоог өөрчилснөөр гадаргуугийн бүтцийн талаар дүгнэлт хийдэг. Oxy координатын хавтгайтай параллель z = h = const хавтгайн хэсгүүдээс эхэлье. h > 0-ийн хувьд бид h - коньюгат гипербол, харин - хос огтлолцсон шулуун шугамыг олж авдаг бөгөөд эдгээр шулуун шугамууд нь бүх гиперболын хувьд асимптот гэдгийг анхаарна уу (өөрөөр хэлбэл ямар ч h Ф 0). Үүссэн муруйг Окси хавтгайд проекц хийцгээе. Бид дараах зургийг авна (Зураг 51). Зөвхөн энэ бодол нь авч үзэж буй гадаргуугийн эмээл хэлбэртэй бүтцийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог (Зураг 52). Зураг.51 Зураг.52 Одоо тэгшитгэл дэх y гадаргууг А-аар сольж, параболын тэгшитгэлийг олж авъя. 53). Өгөгдсөн гадаргууг онгоцоор огтлох үед ижил төстэй зураг гарч ирдэг, энэ тохиолдолд мөчрүүд нь доош чиглэсэн (мөн y = h хавтгайтай огтлохын хувьд дээш биш) параболуудыг олж авдаг (Зураг 54). налуубодит X тэнхлэг нь 3; в) параболын У2 = , орой (3, 2), параболын хонхор руу чиглэсэн тэнхлэгийн вектор (-2, -1) -тэй тэнцүү; г) төвтэй гипербола, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель асимптотууд; д) огтлолцсон хос шулуун f) хос зэрэгцээ шугам