Шүргэх ба хэвийн гадаргуутай

Тодорхойлолт. Ердийн N 0 цэг дээрх гадаргуу руу N 0 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам нь энэ гадаргуутай шүргэгч хавтгайд перпендикуляр байна.

Ямар ч үед гадаргуу нь зөвхөн нэг шүргэгч хавтгайтай эсвэл огт байхгүй.

Хэрэв гадаргуу нь z = f(x, y) тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол f(x, y) нь M 0 (x 0, y 0) цэгт дифференциалагдах функц, N 0 цэг дээрх шүргэгч хавтгай. x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) байгаа бөгөөд тэгшитгэлтэй байна:

Энэ цэгийн гадаргуугийн хэвийн тэгшитгэл нь:

Геометрийн мэдрэмж бүрэн дифференциал(x 0, y 0) цэг дэх f(x, y) хоёр хувьсагчийн функц нь (x 0, y 0) цэгээс шилжих үед гадаргууд шүргэгч хавтгайн хэрэглээний (z координат) нэмэгдэхийг хэлнэ. цэг (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Эндээс харахад хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын геометрийн утга нь орон зайн аналог юм. геометрийн утганэг хувьсагчийн функцийн дифференциал.

Жишээ.Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг ол

М(1, 1, 1) цэг дээр.

Тангенс хавтгай тэгшитгэл:

Хэвийн тэгшитгэл:

Тооцоолол давхар интегралтуйлын координатаар.

D талбайг шугамаар хязгаарла r = r()ба туяа = Тэгээд = , хаана болон r– хавтгай дээрх цэгийн туйлын координат, түүний декарт координаттай холбоотой xТэгээд y

Харилцаа холбоо (Зураг 5). Энэ тохиолдолд

Сэтгэгдэл.Хэрэв D хэсэгт Декарт координатжишээлбэл, хоёр гишүүнийг агуулсан тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол ийм муж дээрх давхар интегралыг туйлын координатаар тооцоолох нь илүү тохиромжтой.

Давхар интеграл. Үндсэн тодорхойлолт ба шинж чанарууд.

Давхар интеграл.

Тэгшитгэл нь байгаа хавтгай дээрх зарим битүү муруйг авч үзье

Муруй дотор болон муруйн дээр байрлах бүх цэгүүдийн багцыг хаалттай муж D гэнэ. Хэрэв та муруй дээр байрлах цэгүүдийг харгалзахгүйгээр тухайн муж дахь цэгүүдийг сонговол тухайн мужийг нээлттэй D муж гэж нэрлэнэ.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл D нь контураар хязгаарлагдсан зургийн талбай юм.

D мужийг x тэнхлэгийн дагуу бие биенээсээ Dx i зайгаар, у тэнхлэгийн дагуу Dу i зайд байрлуулсан шугамын тороор n хэсэгчилсэн муж болгон хуваая. Ерөнхийдөө энэ хуваах дарааллыг заавал биелүүлэх ёстой бөгөөд энэ нь талбайг дурын хэлбэр, хэмжээтэй хэсэг болгон хуваах боломжтой юм.

Бид S талбайг энгийн тэгш өнцөгтүүдэд хуваасан бөгөөд тэдгээрийн талбай нь S i = Dx i × Dy i-тэй тэнцүү болохыг олж мэдэв.

Хэсэгчилсэн муж бүрт дурын P(x i, y i) цэгийг авч, интеграл нийлбэрийг зохио.

Энд f нь D мужийн бүх цэгүүдийн хувьд тасралтгүй ба тодорхойгүй функц юм.

Хэрэв бид D i хэсэгчилсэн мужуудын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх юм бол S i хэсэгчилсэн муж бүрийн талбай тэг болох хандлагатай байгаа нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Хэрэв D домэйны хуваалтын алхам тэг рүү ойртох тусам интеграл нийлбэрүүд хязгаарлагдмал хязгаартай бол энэ хязгаарыг гэнэ. давхар интеграл D домэйн дээрх f(x, y) функцээс.

S i = Dx i × Dy i гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дээрх тэмдэглэгээнд хоёр S тэмдэг байна, учир нь нийлбэрийг x ба y гэсэн хоёр хувьсагчаар гүйцэтгэнэ.

Учир нь Интеграцийн бүсийг хуваах нь дур зоргоороо бөгөөд Р i цэгийг сонгох нь мөн дур зоргоороо байдаг тул Si бүх талбайг ижил гэж үзвэл бид томъёог олж авна.

Давхар интеграл байх нөхцөл.

Томьёолъё хангалттай нөхцөлдавхар интеграл байгаа эсэх.

Теорем. Хэрэв f(x, y) функц нь хаалттай D мужид тасралтгүй байвал давхар интеграл байна

Теорем. Хэрэв f(x, y) функц нь хаалттай D мужид хязгаарлагдмал бөгөөд хязгаарлагдмал тооны хэсэгчилсэн гөлгөр шугамаас бусад бүх газарт тасралтгүй байвал давхар интеграл байна.

Давхар интегралын шинж чанарууд.

3) Хэрэв D = D 1 + D 2 байвал

4) Дундаж утгын теорем. f(x, y) функцийн давхар интеграл нь интеграцийн домэйн ба интеграцийн домайн талбайн аль нэг цэг дэх энэ функцийн утгын үржвэртэй тэнцүү байна.

5) Хэрэв D мужид f(x, y) ³ 0 байвал .

6) Хэрэв f 1 (x, y) £ f 2 (x, y) бол .

№43 Тодорхойлолтмуруй гэж үзье Cөгсөн вектор функцхувьсагч хаана байна с− муруйн нумын урт. Дараа нь вектор функцийн дериватив

Энэ нь энэ муруйн шүргэгчийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор юм (Зураг 1).
Дээрх томъёонд α, β Тэгээд γ − О тэнхлэгүүдийн шүргэгч ба эерэг чиглэлүүдийн хоорондох өнцөг x, О yболон О z, тус тус.

Муруй дээр тодорхойлогдсон вектор функцийг танилцуулъя C, ингэснээр скаляр функцийн хувьд

Ийм интегралыг муруйн дагуух вектор функцийн хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл гэж нэрлэдэг. Cгэж тэмдэглэсэн байна

Тиймээс, тодорхойлолтоор,

муруйн шүргэгчийн нэгж вектор хаана байна C.
Сүүлийн томъёог вектор хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Хаана.
Хэрэв муруй бол C O хавтгайд байрладаг xy, дараа нь таамаглаж байна R = 0, бид авдаг

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд

Хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь дараах шинж чанартай байна: Let Cцэгээс эхэлсэн муруйг илэрхийлнэ Аба төгсгөлийн цэг Б. -ээр тэмдэглэе −Cэсрэг чиглэлд муруй - эхлэн Бруу А. Дараа нь

Хэрэв C- муруйг хослуулах C 1 ба C 2 (дээрх зураг 2), дараа нь муруй бол Cхэлбэрээр параметрт өгөгдсөн бол , дараа нь муруй бол C O хавтгайд байрладаг xyба Tm тэгшитгэл өгөгдсөн (энэ гэж таамаглаж байна R = 0 ба t = x), дараа нь сүүлчийн томъёог маягтаар бичнэ

No49F гадаргуу нь z = z(x,y), (x,y)О D (авсаархан), тодорхой өгөгдсөн.

z(x,y) нь D-д эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол f(x,y,z) функц тодорхойлогдсон ба F дээр тасралтгүй байна. Дараа нь үүнтэй тэнцүү интеграл байна.

Баталгаа. Бидний авсан газруудын хувьд

Дараа нь интеграл нийлбэрүүд тэнцүү болно

Эхнийх нь нийлбэр нь салшгүй, хоёр дахь нь хангалттай жижиг хуваалтыг сонгох замаар дур зоргоороо жижиг болгож болно. Сүүлийнх нь D дээрх f(x,y,z(x,y)) функцийн жигд тасралтгүй байдлаас үүсдэг.

№40 (үргэлжлэл) Оршихуйн хангалттай нөхцөл муруйн интегралЭхний төрлийг бид үүнийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах үед дараа нь томъёолох болно.

Эхний төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт нь тодорхой интегралын тодорхойлолттой бүтцийн хувьд ижил байна. Тиймээс эхний төрлийн муруйн интеграл нь тодорхой интегралтай ижил шинж чанартай байдаг. Бид эдгээр шинж чанаруудыг нотлох баримтгүйгээр танилцуулж байна.

1-Р ТӨРЛИЙН МУРЖИЛГААН ИНТЕГРАЛЫН ШИНЖ

1. , муруйн урт хаана байна.

2. Тогтмол хүчин зүйлийг эхний төрлийн муруйн интегралын тэмдгээс гаргаж болно, i.e.

3. Хоёр (хязгаарлагдмал тооны) функцын алгебрийн нийлбэрээс авсан эхний төрлийн муруйн интеграл нь эдгээр функцүүдийн эхний төрлийн муруйн интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

4. Хэрэв муруй нь хоёр хэсэгт хуваагдаж, нийтлэг дотоод цэггүй бол

(эхний төрлийн муруйн интегралын нэмэгдлийн шинж чанар).

5. Хэрэв функц () муруй дээр хаа сайгүй байвал

6. Хэрэв муруй дээр хаа сайгүй (),

7. (6 ба 1-р шинж чанарын үр дагавар) Хэрэв ба нь хамгийн бага ба тус тус хамгийн өндөр үнэ цэнэмуруй дээрх функцууд, тэгвэл

муруйн урт хаана байна.

8. (Нэгдүгээр төрлийн муруйн интегралын дундаж утгын теорем) Хэрэв функц муруй дээр тасралтгүй байвал тэгшитгэлтэй байх цэг байна.

муруйн урт хаана байна.

No 42 Муруй урт.

Хэрэв f(x, y, z) интеграл функц ≡ 1 бол 1-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолтоос бид энэ тохиолдолд интеграл явагдаж буй муруйн урттай тэнцүү болохыг олж мэднэ.

Муруй масс.

γ (x, y, z) интеграл функц нь муруйн цэг бүрийн нягтыг тодорхойлдог гэж үзвэл бид муруйн массыг томъёогоор олно.

3. Бид l муруйн моментуудыг хавтгай мужтай адил аргаар олох болно: -

статик мөчүүдхавтгай муруй l Ox болон Oy тэнхлэгтэй харьцуулахад;

гарал үүсэлтэй харьцуулахад орон зайн муруйн инерцийн момент;

· муруйн координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн моментууд.

4. Муруйн массын төвийн координатыг томъёогоор тооцоолно

No 38(2) Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт

Давхар интеграл шиг гурвалсан интегралыг тооцоолохдоо хувьсагчийн өөрчлөлт хийх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. Энэ нь интеграцийн домайн эсвэл интегралын хэлбэрийг хялбарчлах боломжийг танд олгоно.

Анхны гурвалсан интегралыг U мужид декартын x, y, z координатаар өгье.

Энэ интегралыг u, v, w шинэ координатуудад тооцоолох шаардлагатай. Хуучин болон шинэ координатуудын хоорондын хамаарлыг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.

Дараахь нөхцлийг хангасан гэж үзэж байна.

1. φ, ψ, χ функцууд нь хэсэгчилсэн деривативын хамт тасралтгүй;

2. xyz орон зай дахь U интегралчлалын бүсийн цэгүүд болон uvw орон зай дахь U" мужын цэгүүдийн хооронд нэгээс нэг харгалзах байдал байна;

3. I (u,v,w) хувирлын Якобиан, тэнцүү

тэгээс ялгаатай бөгөөд U интеграцийн домэйны хаа сайгүй тогтмол тэмдгийг хадгалдаг.

Дараа нь гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Дээрх илэрхийлэлд энэ нь гэсэн үг юм үнэмлэхүй үнэ цэнэЯкобиан

No38 Гурвалсан интегралууд бөмбөрцөг координат

M(x,y,z) цэгийн бөмбөрцөг координатууд нь − ρ, φ, θ гэсэн гурван тоо байна.

ρ - M цэгийн радиус векторын урт;

φ нь радиус векторын Oxy хавтгай ба Ox тэнхлэгт проекцоор үүссэн өнцөг;

θ нь радиус векторын Oz тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс хазайх өнцөг юм (Зураг 1).

Бөмбөрцөг ба цилиндр координат дахь ρ, φ-ийн тодорхойлолтууд нь бие биенээсээ ялгаатай болохыг анхаарна уу.

Цэгийн бөмбөрцөг координатууд нь түүний декарт координатуудтай харилцаа холбоогоор холбогддог

Декартаас бөмбөрцөг координат руу шилжих Якобиан нь дараах хэлбэртэй байна.

Тодорхойлогчийг хоёр дахь баганад өргөжүүлбэл бид олж авна

Үүний дагуу Якобийн үнэмлэхүй утга нь тэнцүү байна

Тиймээс декартын координатыг бөмбөрцөг координат болгон хувиргах үед хувьсагчдыг өөрчлөх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

U интегралын муж нь бөмбөг (эсвэл түүний зарим хэсэг) ба/эсвэл интеграл нь f (x2 + y2 + z2) хэлбэртэй байх үед гурвалсан интегралыг бөмбөрцөг координатаар тооцоолох нь илүү тохиромжтой.

Гадаргуу

Гөлгөр гадаргуу дээр (хаалттай эсвэл гөлгөр контураар хязгаарлагдсан) M0 цэгийг сонгож, гадаргуу дээр нь нормийг зурж, тодорхой чиглэлийг (хоёр боломжит аль нэгийг) сонгоно уу. М0 цэгээс эхлээд төгсгөлийн гадаргуугийн дагуу битүү контур зуръя. Энэ контурыг тойрох М цэгийг авч үзье, түүний байрлал бүрт өмнөх цэгийн норм тасралтгүй өнгөрөх чиглэлийн нормийг зурна. Хэрэв контурыг өнгөрсний дараа гадаргуу дээрх M0 цэгийг сонгохдоо хэвийн байдал нь M0 цэг дээр анхны байрлалдаа буцаж ирвэл гадаргууг хоёр талт гэж нэрлэдэг. Хэрэв хэвийн чиглэл нь дор хаяж нэг цэгийг давсны дараа эсрэгээр өөрчлөгдвөл гадаргууг нэг талт гэж нэрлэдэг (нэг талт гадаргуугийн жишээ бол Мобиусын зурвас юм). нэг цэг дэх нормын чиглэл нь гадаргуугийн бүх цэг дэх хэвийн чиглэлийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлдог.

Тодорхойлолт

Ижил хэвийн чиглэлтэй гадаргуу дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гадаргуугийн тал гэж нэрлэдэг.

Гадаргуугийн чиг баримжаа.

L контураар хязгаарлагдсан нээлттэй гөлгөр хоёр талт S гадаргууг авч үзээд энэ гадаргуугийн нэг талыг сонгоно.

Тодорхойлолт

Контурын дагуух хөдөлгөөн нь хэвийн төгсгөлийн цэгт байрлах ажиглагчтай харьцуулахад цагийн зүүний эсрэг явагдах L контурын хөндлөн гарах чиглэлийг эерэг гэж нэрлэе. Урвуу чиглэлБид хэлхээний тойргийг сөрөг гэж нэрлэдэг.

Талбайн вектор урсгал.

Орон зайн G мужид тодорхойлогдсон вектор талбар A(M), S гадаргуугийн сонгосон тал дээрх чиглэгдсэн гөлгөр гадаргуу S G ба нэгж нормуудын n(M) талбарыг авч үзье.

Тодорхойлолт 13.3. 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл, (13.1)

Энд Ан нь харгалзах векторуудын скаляр үржвэр, Ан нь A векторын хэвийн чиглэл рүү чиглэсэн проекц бөгөөд үүнийг A(M) векторын талбайн S гадаргуугийн сонгосон хажуугаар урсах урсгал гэж нэрлэдэг.

Тайлбар 1.

Хэрэв та гадаргуугийн нөгөө талыг сонговол хэвийн, улмаар урсгал нь тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Тайлбар 2.

Хэрэв А вектор нь өгөгдсөн цэг дэх шингэний урсгалын хурдыг зааж өгсөн бол интеграл (13.1) нь эерэг чиглэлд S гадаргуугаар нэгж хугацаанд урсах шингэний хэмжээг тодорхойлно (тиймээс "урсгал" гэсэн ерөнхий нэр томъёо).

No53 Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл. Тодорхойлолт ба гэгээнтнүүд.

Тодорхойлолт

Гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр хоёр талт гадаргууг авч үзээд түүний хоёр талын аль нэгийг нь засаж, гадаргуу дээр тодорхой чиг баримжаа сонгохтой тэнцэх болно.

Тодорхой байхын тулд эхлээд гадаргуу нь тодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд цэг нь хэсэгчилсэн гөлгөр контураар хязгаарлагдсан хавтгай дээрх мужид өөрчлөгддөг гэж үзье.

Одоо энэ гадаргуугийн цэгүүдэд зарим функцийг тодорхойлъё. Гадаргууг хэсэгчилсэн гөлгөр муруйн сүлжээгээр хэсэг болгон хувааж, ийм хэсэг тус бүр дээр цэгийг сонгосны дараа бид өгөгдсөн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолж, хавтгай дээрх проекцын талбайгаар үржүүлнэ. тодорхой тэмдгээр тоноглогдсон элемент. Интеграл нийлбэрийг гаргая:

Бүх хэсгүүдийн диаметр тэг болох хандлагатай байгаа энэ интеграл нийлбэрийн эцсийн хязгаарыг хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг.

гадаргуугийн сонгосон тал руу тарааж, тэмдгээр тэмдэглэнэ

(энд) нь гадаргуугийн элементийн хавтгайд проекцын талбайг бидэнд сануулж байна

Хэрэв бид хавтгайн оронд гадаргуугийн элементүүдийг хавтгай дээр эсвэл ., дараа нь бид хоёр дахь төрлийн бусад хоёр гадаргуугийн интегралыг олж авна.

Хэрэглээнд эдгээр бүх төрлийн интегралуудын холболтууд ихэвчлэн тохиолддог:

-ийн функцууд нь гадаргуугийн цэгүүдэд тодорхойлогддог.

Хоёр дахь болон эхний төрлийн гадаргуугийн интегралуудын хоорондын хамаарал

Гадаргуугийн нэгж хэвийн вектор хаана байна - ort.

Үл хөдлөх хөрөнгө

1. Шугаман байдал: ;

2. Нэмэлт: ;

3. Гадаргуугийн чиглэл өөрчлөгдөхөд гадаргуугийн интеграл тэмдэг өөрчлөгдөнө.

№60 Операторнабла (Хэмилтоны оператор)- тэмдгээр (набла) тэмдэглэсэн вектор дифференциал оператор. Тэгш өнцөгт декартын координат дахь гурван хэмжээст Евклидийн орон зайн хувьд nabla операторыг дараах байдлаар тодорхойлно: x, y, z тэнхлэгийн дагуух нэгж векторууд хаана байна.

Ажиглах боломжтой операторын шинж чанарууд.Хэрэв та векторыг скаляр φ-ээр үржүүлбэл функцийн градиентийг илэрхийлэх вектор гарч ирнэ. Хэрэв векторыг вектороор скаляраар үржүүлбэл үр дүн нь скаляр болно

өөрөөр хэлбэл векторын зөрүү. Хэрэв та вектороор үржүүлбэл векторын роторыг авна.

Анхаарна уу: Скаляр болон вектор үржвэрийг ерөнхийд нь тэмдэглэхийн тулд тэдгээрийг набла оператортой хамт хэрэглэхэд дээр дурдсантай адил төстэй өөр тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг, жишээлбэл, ихэвчлэн бичихийн оронд , оронд нь бичдэг. бичих; Энэ нь доор өгөгдсөн томъёонд мөн хамаарна.

Үүний дагуу скаляр үржвэр нь Лаплас оператор гэж нэрлэгддэг скаляр оператор юм. Сүүлийнх нь мөн томилогдсон. Декартын координатуудад Лаплас операторыг дараах байдлаар тодорхойлно: Набла оператор нь дифференциал оператор тул илэрхийллийг хувиргахдаа вектор алгебрийн дүрэм болон ялгах дүрмийг хоёуланг нь харгалзан үзэх шаардлагатай. Жишээ нь:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр талбараас хамаарах илэрхийллийн дериватив нь зөвхөн нэг талбарт ялгагдах илэрхийллийн нийлбэр юм. Набла аль талбарт үйлчилдэгийг зааж өгөхөд хялбар байх үүднээс талбар ба операторуудын үржвэрт оператор бүр түүний баруун талд байгаа илэрхийлэл дээр ажилладаг бөгөөд зүүн талын бүх зүйл дээр ажилладаггүй гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Хэрэв оператор зүүн талд байгаа талбарт ажиллах шаардлагатай бол энэ талбарыг ямар нэгэн байдлаар, жишээлбэл, үсгийн дээр сум байрлуулж тэмдэглэнэ: Энэ тэмдэглэгээний хэлбэрийг ихэвчлэн завсрын хувиргалтанд ашигладаг. Энэ нь тохиромжгүй учраас эцсийн хариултын сумнаас салах гэж оролдож байна.

№61 Хоёр дахь эрэмбийн вектор дифференциал үйлдлүүдДараах таван үйлдлийг дуудна.

1. Лаплас оператор хаана байна.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Векторын проекц бүрт Лаплас операторыг хэрэглэснээр векторын хэмжигдэхүүнийг энд харуулав.

- - - - - - - - - - - - - - -

Давхар интегралын үндсэн шинж чанарууд

Давхар интегралын шинж чанарууд (мөн тэдгээрийн гаралтай) нь нэг тодорхой интегралын харгалзах шинж чанаруудтай төстэй.

1°. Нэмэлт чанар. Хэрэв функц бол е(x, y) нь домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Дмөн хэрэв талбай Дмуруй ашиглан Гтэг талбай нь дотоод нийтлэг цэггүй хоёр холбогдсон бүсэд хуваагдана Д 1 ба Д 2, дараа нь функц е(x, y) нь домэйн болгонд нэгтгэгдэх боломжтой Д 1 ба Д 2, ба

2°. Шугаман шинж чанар . Хэрэв функцууд е(x, y) Мөн g(x, y) домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д, А α Тэгээд β - ямар ч бодит тоо, дараа нь функц [ α · е(x, y) + β · g(x, y)] нь мөн домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д, ба

3°. Хэрэв функцууд е(x, y) Мөн g(x, y) домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д, дараа нь эдгээр функцүүдийн үржвэрийг нэгтгэх боломжтой Д.

4°. Хэрэв функцууд е(x, y) Мөн g(x, y) хоёулаа домайн интегралдах боломжтой Дмөн энэ бүсийн хаа сайгүй е(x, y) ≤ g(x, y), Тэр

5°. Хэрэв функц бол е(x, y) нь домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д, дараа нь функц | е(x, y)| хэсгүүдэд нэгтгэх боломжтой Д, ба

(Мэдээж интегралчлалаас | е(x, y)| В Динтегралчлалыг дагаж мөрддөггүй е(x, y) В Д.)

6°. Дундаж утгын теорем. Хэрэв хоёулаа функцтэй бол е(x, y) Мөн g(x, y) домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д, функц g(x, y) энэ бүс нутагт хаа сайгүй сөрөг биш (эерэг биш), МТэгээд м- функцийн яг дээд ба доод хязгаар е(x, y) бүсэд Д, дараа нь тоо байна μ , тэгш бус байдлыг хангаж байна м ≤ μ ≤ Мтомъёо хүчинтэй байхаар

Давхар интеграл

ЛЕКЦ 1

Давхар интеграл.Давхар интегралын тодорхойлолт, түүний шинж чанарууд. Давтагдсан интегралууд. Давхар интегралыг давтагдсан интеграл болгон бууруулах. Интеграцийн хязгаарыг тогтоох. Декартын координатын систем дэх давхар интегралын тооцоо.

Давхар интеграл гэдэг нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд нэгтгэсэн ерөнхий ойлголт юм. Энэ тохиолдолд интеграцийн сегментийн оронд зарим төрлийн хавтгай дүрс байх болно.

Болъё Дзарим хаалттай хязгаарлагдмал талбай юм, мөн е(x,y) нь энэ хэсэгт тодорхойлогдсон, хязгаарлагдмал дурын функц юм. Бүс нутгийн хил хязгаар гэж бид таамаглах болно Дхэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хязгаарлагдмал тооны муруйгаас бүрдэнэ y=е(x) эсвэл x=g( y), Хаана е(x) Мөн g(y) нь тасралтгүй функцууд юм.

Талбайг хувацгаая Дсанамсаргүй байдлаар nхэсгүүд. Дөрвөлжин би-р хэсгийг D тэмдгээр тэмдэглэнэ с би. Хэсэг бүрт бид санамсаргүй байдлаар цэг сонгоно Пи,мөн зарим тогтмол декартын системд координаттай байг ( x i , y i). Зохиоцгооё интеграл нийлбэрфункцийн хувьд е(x,y) бүс нутгаар D,Үүнийг хийхийн тулд функцийн утгыг бүх цэгээс олоорой П и, тэдгээрийг Ds харгалзах хэсгүүдийн талбайгаар үржүүлнэ биолж авсан бүх үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:

За дуудъя диаметр диаметр(Г) талбайнууд Гэнэ талбайн хилийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн их зай.

Давхар интеграл функцууд f(x,y) Д гаруй домэйн нь интеграл нийлбэрийн дараалалд хандах хязгаар юм (1.1) хуваалтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх n (нэгэн зэрэг). Үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна

Ерөнхийдөө интеграл нийлбэр гэдгийг анхаарна уу өгөгдсөн функцмөн интеграцийн өгөгдсөн домэйн нь домайныг хуваах аргаас хамаарна Дболон цэгүүдийг сонгох П и. Гэсэн хэдий ч, хэрэв давхар интеграл байгаа бол энэ нь харгалзах интеграл нийлбэрийн хязгаар нь заасан хүчин зүйлээс хамаарахгүй гэсэн үг юм. Давхар интеграл оршин байхын тулд(эсвэл тэдний хэлснээр тийм функц f(x,y) D домэйнд интегралдах боломжтой байх), интеграл функц байх нь хангалттай тасралтгүйӨгөгдсөн интеграцийн домэйнд.

Функцийг зөвшөөр е(x,y) нь домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д. Ийм функцүүдийн харгалзах интеграл нийлбэрийн хязгаар нь интеграцийн домайныг хуваах аргаас хамаардаггүй тул хуваалтыг босоо болон хэвтээ шугам ашиглан хийж болно. Дараа нь бүс нутгийн ихэнх нутаг дэвсгэр Дталбай нь D-тэй тэнцүү тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх болно с би=Д x iД y i. Тиймээс талбайн дифференциалыг ингэж бичиж болно ds=dxdy. Тиймээс, Декартын координатын системд давхар интегралхэлбэрээр бичиж болно

Сэтгэгдэл. Хэрэв интеграл f(x,y)º1, Дараа нь давхар интеграл нь интеграцийн бүсийн талбайтай тэнцүү байх болно.

Давхар интеграл нь тодорхой интегралтай ижил шинж чанартай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тэдгээрийн заримыг нь тэмдэглэе.

Давхар интегралын шинж чанарууд.

1 0 .Шугаман шинж чанар. Функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна:

ба интеграл тэмдгээс тогтмол коэффициентийг гаргаж болно:

2 0 .Нэмэлт шинж чанар. Хэрэв D интегралын мужийг хоёр хэсэгт хуваасан бол давхар интеграл нь эдгээр хэсэг бүрийн дээрх интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.:

3 0 .Дундаж утгын теорем. Хэрэв функц бол f( x,y)Г мужид үргэлжилдэг бол энэ мужид ийм цэг байдаг(x,h) , Юу:

Дараагийн асуулт бол давхар интегралыг хэрхэн тооцдог вэ? Үүнийг ойролцоогоор тооцоолж болно, энэ зорилгоор үүнийг боловсруулсан болно үр дүнтэй аргуудхаргалзах интеграл нийлбэрүүдийг эмхэтгэж, дараа нь компьютер ашиглан тоон хэлбэрээр тооцдог. Давхар интегралыг аналитик аргаар тооцоолохдоо тэдгээрийг хоёр тодорхой интеграл болгон бууруулна.

1.1 Давхар интегралын тодорхойлолт

1.2 Давхар интегралын шинж чанарууд

Давхар интегралын шинж чанарууд (мөн тэдгээрийн гаралтай) нь нэг тодорхой интегралын харгалзах шинж чанаруудтай төстэй.

1°. Нэмэлт чанар. Хэрэв f(x, y) функц нь D мужид интегралчлагдах боломжтой бөгөөд хэрэв D муж нь тэг талбайн Г муруйгаар хуваагдаж, нийтлэг дотоод цэггүй D1 ба D2 холбогдсон хоёр мужид хуваагдвал f(x) функц болно. , y) нь D 1 ба D 2 талбайн тус бүрд интегралдах боломжтой ба

2°. Шугаман шинж чанар. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функцууд нь D мужид интегралдах боломжтой бол тийм үү? Тэгээд? - ямар ч бодит тоо, дараа нь функц [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] нь мөн D мужид интегралдах боломжтой ба

3°. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функцүүд нь D мужид интегралдах боломжтой бол эдгээр функцүүдийн үржвэр нь D-д мөн интегралч болно.

4°. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функцүүд хоёулаа D мужид болон энэ мужид f(x, y) хаа сайгүй интегралдах боломжтой бол? g(x, y), тэгвэл

5°. Хэрэв f(x, y) функц нь D мужид интегралдах боломжтой бол |f(x, y)| функц байна. D домэйнд интегралдах боломжтой ба

(Мэдээж D-ийн |f(x, y)|-ийн интегралчлал нь D-ийн f(x, y)-ийн интегралч байдлыг илэрхийлдэггүй.)

6°. Дундаж утгын теорем. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функц хоёулаа D мужид интегралдах боломжтой бол g(x, y) функц нь энэ домайн хаа сайгүй сөрөг биш (эерэг биш) байвал M ба m нь D муж дахь f( x, y) функцийн дээд ба инфимум бол m тэгш бус байдлыг хангах тоо байна уу? ? ? M ба томъёо нь хүчинтэй байх болно

Ялангуяа D-д f(x, y) функц тасралтгүй, D муж холбогдсон бол энэ мужид ийм цэг (?, ?) байна? = f(?, ?), томъёо нь хэлбэрийг авна

7°. Чухал геометрийн шинж чанар. D бүсийн талбайтай тэнцүү

Т биеийг огторгуйд өгье (Зураг 2.1), доороос D мужаар, дээрээс - тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн графикаар хязгаарлагдсан z=f (x, y) -ээр тодорхойлогддог. D бүс, хажуу талаас - цилиндр гадаргуу, чиглэл нь D бүсийн хил бөгөөд генатрисууд нь Оз тэнхлэгтэй параллель байна. Энэ төрлийн биеийг цилиндр бие гэж нэрлэдэг.

1.3 Давхар интегралын геометрийн тайлбар

1.4 Тэгш өнцөгтийн давхар интегралын тухай ойлголт

R = тэгш өнцөгтийн хаа сайгүй дурын f(x, y) функц тодорхойлогдъё?

(1-р зургийг үз).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

a сегментийг хувааж үзье? х? b a = x 0 цэгүүдийг ашиглан n хэсэгчилсэн сегмент болгон

Ox болон Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ашиглан энэ хуваалт нь R тэгш өнцөгтийг n · p хэсэгчилсэн тэгш өнцөгт R kl = хуваахтай тохирч байна?

(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Бид R тэгш өнцөгтийн заасан хуваалтыг T тэмдгээр тэмдэглэнэ. Цаашид энэ хэсэгт "тэгш өнцөгт" гэсэн нэр томъёог координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ талуудтай тэгш өнцөгт гэж ойлгох болно.

R kl хэсэгчилсэн тэгш өнцөгт бүр дээр дурын цэгийг (? k, ? l) сонгоно. ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 гэж тавиад R kl тэгш өнцөгтийн талбайг?R kl гэж тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг, ?R kl = ?x k ?y l .

R тэгш өнцөгтийн өгөгдсөн T хуваалт болон T хуваалтын хэсэгчилсэн тэгш өнцөгтүүдийн завсрын цэгүүдийн (? k, ? l) өгөгдсөн сонголттой харгалзах f(x, y) функцийн интеграл нийлбэр гэнэ. Бид диагональыг тэгш өнцөгтийн диаметр гэж нэрлэнэ R kl. Билэг тэмдэг үү? бүх хэсэгчилсэн тэгш өнцөгтүүдийн хамгийн том диаметрийг R kl гэж тэмдэглэе. I тоог интеграл нийлбэрийн хязгаар (1) гэж нэрлэдэг вэ? Хэрэв эерэг тоо байвал > 0? та үүнийг зааж өгч болно< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

эерэг тоо< ?.

?, яах вэ?

| ? - Би |

Хэрэв энэ функцийн интеграл нийлбэрийн төгсгөлөг I хязгаар байгаа бол f(x, y) функцийг R тэгш өнцөгт дээр Риманы интегралчлагдах боломжтой гэж нэрлэх вэ? > 0.

Заасан I хязгаарыг R тэгш өнцөгт дээрх f(x, y) функцийн давхар интеграл гэж нэрлэх ба дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

Сэтгэгдэл. Ганц тодорхой интегралын нэгэн адил R тэгш өнцөгт дээр интегралдах f(x, y) ямар ч функц энэ тэгш өнцөгт дээр хязгаарлагдах нь тогтоогдсон. Энэ нь зөвхөн f(x, y) хязгаарлагдмал функцуудыг дараах байдлаар авч үзэх үндэслэл болно.

1. ДАВХАР ИНТЕГРАЛД

1.1. Давхар интегралын тодорхойлолт

Давхар интеграл гэдэг нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд нэгтгэсэн ерөнхий ойлголт юм. Энэ тохиолдолд интеграцийн сегментийн оронд зарим төрлийн хавтгай дүрс байх болно.

Болъё Дзарим хаалттай хязгаарлагдмал талбай юм, мөн е(x, y) нь энэ хэсэгт тодорхойлогдсон, хязгаарлагдмал дурын функц юм. Бүс нутгийн хил хязгаар гэж бид таамаглах болно Дхэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хязгаарлагдмал тооны муруйгаас бүрдэнэ y=е(x) эсвэл x=g( y), Хаана е(x) Мөн g(y) нь тасралтгүй функцууд юм.

Р

Цагаан будаа. 1.1

азобиемийн талбай Дсанамсаргүй байдлаар nхэсгүүд. Дөрвөлжин би-р хэсгийг  тэмдгээр тэмдэглэнэ с би. Хэсэг бүрт бид санамсаргүй байдлаар цэг сонгоно П би , мөн зарим тогтмол декартын системд координаттай байг ( x би , y би). Зохиоцгооё интеграл нийлбэрфункцийн хувьд е(x, y) бүс нутгаар Д, Үүнийг хийхийн тулд функцийн утгыг бүх цэгээс олоорой П би, тэдгээрийг харгалзах хэсгүүдийн s талбайгаар үржүүлнэ биолж авсан бүх үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:

. (1.1)

За дуудъя диаметр диаметр(Г) талбайнууд Гэнэ талбайн хилийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн их зай.

Давхар интеграл функцууд е(x, y) бүс нутгаар Д интегралын дарааллын хандлагатай хязгаар юм хэмжээ (1.1) хуваалтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх замаар n (нэгэн зэрэг
). Үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна

. (1.2)

Өгөгдсөн функц болон өгөгдсөн интеграцийн домэйны интеграл нийлбэр нь тухайн домайныг хуваах аргаас хамаарна гэдгийг анхаарна уу. Дболон цэгүүдийг сонгох П би. Гэсэн хэдий ч, хэрэв давхар интеграл байгаа бол энэ нь харгалзах интеграл нийлбэрийн хязгаар нь заасан хүчин зүйлээс хамаарахгүй гэсэн үг юм. Давхар интеграл оршин байхын тулд(эсвэл тэдний хэлснээр руу функц е(x, y) байсан талбарт нэгтгэсэнД), интеграл функц байх нь хангалттайтасралтгүй Өгөгдсөн интеграцийн домэйнд.

П

Цагаан будаа. 1.2

функцтэй байна е(x, y) нь домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д. Ийм функцүүдийн харгалзах интеграл нийлбэрийн хязгаар нь интеграцийн домайныг хуваах аргаас хамаардаггүй тул хуваалтыг босоо болон хэвтээ шугам ашиглан хийж болно. Дараа нь бүс нутгийн ихэнх нутаг дэвсгэр Дталбай нь -тай тэнцүү тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх болно с би =x би y би. Тиймээс талбайн дифференциалыг ингэж бичиж болно ds= dxdy. Тиймээс, Декартын координатын системд давхар интегралхэлбэрээр бичиж болно

. (1.3)

Сэтгэгдэл . Хэрэв интеграл е(x, y)1, Дараа нь давхар интеграл нь интеграцийн бүсийн талбайтай тэнцүү байх болно.

. (1.4)

Давхар интеграл нь тодорхой интегралтай ижил шинж чанартай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тэдгээрийн заримыг нь тэмдэглэе.

Давхар интегралын шинж чанарууд.

1 0 . Шугаман шинж чанар. Функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна:

ба интеграл тэмдгээс тогтмол коэффициентийг гаргаж болно:

.

2 0 . Нэмэлт шинж чанар. Хэрэв интеграцийн домайн болДхоёр хэсэгт хуваагдвал давхар интеграл нь эдгээр хэсэг тус бүрийн интегралын нийлбэртэй тэнцүү байх болно.:

.

3 0 . Дундаж утгын теорем. Хэрэв функц бол f( x, y)бүс нутагт тасралтгүйД, тэгвэл энэ бүс нутагт ийм цэг байдаг() , Юу:

.

Дараагийн асуулт бол давхар интегралыг хэрхэн тооцдог вэ? Үүнийг ойролцоогоор тооцоолох боломжтой бөгөөд холбогдох интеграл нийлбэрийг бүрдүүлэх үр дүнтэй аргуудыг боловсруулж, дараа нь компьютер ашиглан тоон хэлбэрээр тооцдог. Давхар интегралыг аналитик аргаар тооцоолохдоо тэдгээрийг хоёр тодорхой интеграл болгон бууруулна.

1.2. Давтагдсан интегралууд

Давтагдсан интеграл нь хэлбэрийн интеграл юм

. (1.5)

Энэ илэрхийлэлд эхлээд дотоод интегралыг тооцоолно, i.e. Нэгдүгээрт, хувьсагч дээрх интеграци хийгддэг y(энэ тохиолдолд хувьсагч xтогтмол утга гэж үздэг). Интеграцийн үр дүнд дууссан yдагуу та зарим функцийг авах болно x:

.

Дараа нь үүссэн функцийг нэгтгэнэ x:

.

Жишээ 1.1.Интегралыг тооцоолох:

A)
, б)
.

Шийдэл . a) Интеграцид орцгооё y, хувьсагч гэж үзвэл x= const. Үүний дараа бид интегралыг тооцоолно x:

.

б) Дотоод интегралд интеграл нь хувьсагч дээр явагддаг тул x, Тэр y 3-ыг гадаад интегралд тогтмол хүчин зүйл болгон авч болно. Түүнээс хойш yДотоод интеграл дахь 2-ыг тогтмол утга гэж үзвэл энэ интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй болно. Дэс дараалсан интеграцчлалыг гүйцэтгэж байна yТэгээд x, бид авдаг

Давхар болон давталттай интегралуудын хооронд хамаарал байдаг ч эхлээд энгийн, төвөгтэй талбаруудыг авч үзье. Талбайг гэж нэрлэдэг энгийнхэрэв энэ чиглэлд татсан шулуун шугам нь тухайн бүсийн хилийг хоёроос илүүгүй цэгээр огтолж байвал аль ч чиглэлд. Декартын координатын системд О тэнхлэгийн дагуух чиглэлийг ихэвчлэн авч үздэг xболон О y. Хэрэв талбай нь хоёр чиглэлд энгийн байвал чиглэлийг онцлохгүйгээр энгийн газар гэж товчхон хэлнэ. Хэрэв бүс нутаг энгийн биш бол түүнийг тийм гэж хэлдэг цогцолбор.

Л

a b

Цагаан будаа. 1.4

Аливаа нийлмэл мужийг энгийн мужуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үүний дагуу аливаа давхар интегралыг энгийн мужууд дээрх давхар интегралуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид зөвхөн энгийн домайн дээрх интегралуудыг авч үзэх болно.

Теорем . Хэрэв интеграцийн домайн болД- тэнхлэгийн чиглэлд энгийнӨө(1.4а-р зургийг үз), тэгвэл давхар интегралыг дараах байдлаар давтан бичиж болно.

; (1.6)

интеграцийн домэйн болД- тэнхлэгийн чиглэлд энгийнҮхэр(1.4б-р зургийг үз), дараа нь давхар интегралыг дараах байдлаар давтан бичиж болно.

. (1.7)

Э

Цагаан будаа. 1.3

Хэрэв интеграцийн домэйн хоёр чиглэлд зөв байвал интегралын хялбар байдлаас хамааран давтагдсан интегралын төрлийг дур мэдэн сонгож болно.

1.3. НЭГДСЭН ХЯЗГААР ТОХИРУУЛАХ

1.3.1. Тэгш өнцөгт интеграцийн бүс

П

Цагаан будаа. 1.5

Давхар интегралыг давтан болгон бууруулахад дотоод интегралд хязгаар тогтооход гол бэрхшээл үүсдэг. Тэгш өнцөгт талбайн хувьд үүнийг хийхэд хамгийн хялбар байдаг (1.5-р зургийг үз).

Жишээ 1.2.Давхар интегралыг тооцоол

.

Шийдэл . Давхар интегралыг давталтаар бичье.

.

1.3.2. Интеграцийн дур зоргоороо домэйн

Давхар интегралаас давтагдах интеграл руу шилжихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

интеграцийн домэйныг бий болгох;

Гадаад интегралыг аль хувьсагчаас тооцож байгаагаас үл хамааран гадаад интегралын хязгаар нь тогтмол хэмжигдэхүүн (өөрөөр хэлбэл тоо) байх ёстой гэдгийг санаарай..

Жишээ 1.3.Давхар интегралын харгалзах давтагдсан интегралд интегралын хязгаарыг зохион байгуул

, хэрэв a)
б)

Р

Цагаан будаа. 1.6

шийдвэр . A)Интеграцийн талбарыг дүрсэлцгээе Д(1.6-р зургийг үз). Гаднах интеграл дахь интеграцчлалыг хувьсагч дээр гүйцэтгэнэ x, мөн дотоодод – дагуу y. Хязгаарыг тогтоохдоо та үргэлж гаднах интегралаас эхлэх хэрэгтэй, энэ тохиолдолд хувьсагчтай x. Зурагнаас харахад энэ нь тодорхой байна x хувьсагчийн утгууд 0-ээс 1 хүртэл өөрчлөгдөнө yшулуун шугам дээрх утгуудаас ялгаатай байх болно y= xшулуун шугам дээрх утгууд руу y=2x. Тиймээс бид авдаг

.

Одоо гаднах интеграл дахь интегралчлалыг дагуу гүйцэтгэнэ y, мөн дотоодод – дагуу x. yЭнэ тохиолдолд утгууд x 0-ээс 2 хүртэл өөрчлөгдөнө. Гэсэн хэдий ч хувьсагчийн утгын өөрчлөлтийн дээд хязгаар x= yхоёр хэсгээс бүрдэнэ x/2 ба y=1. Энэ нь интеграцийн бүсийг шулуун шугамын хоёр хэсэгт хуваах шаардлагатай гэсэн үг юм x=1. Дараа нь эхний мужид y нь 0-ээс 1 болж өөрчлөгдөнө x= yшулуун шугамаас x= y/2 шулуун шугам руу x. Хоёр дахь мужид y нь 1-ээс 2 болж өөрчлөгддөг ба x= yшулуун шугамаас x- шулуун шугамаас

.

=1. Үүний үр дүнд бид авдаг

б

) Цагаан будаа. 1.7 ДИнтеграцийн домайныг байгуулцгаая x, мөн дотоодод – дагуу y(1.7-р зургийг үз). Гадаад интеграл дахь интеграцчлалыг дагуу гүйцэтгэнэ x. Энэ тохиолдолд өөрчлөх үед y– хувьсагчийн 1-ээс 1 өөрчлөлт yдээрээс нь тойрог ба шулуун шугам гэсэн хоёр шугамаар хязгаарлагдах болно. Сегмент дээр [–1;0] y-аас ялгаатай
=0 хүртэл yдээрээс нь тойрог ба шулуун шугам гэсэн хоёр шугамаар хязгаарлагдах болно. Сегмент дээр [–1;0] y; сегмент дэх хувьсагч y=1–x=0 хүртэл

.

. Тиймээс, y, мөн дотоодод – дагуу xОдоо интегралыг гадаад интегралд заасны дагуу хийцгээе y. Энэ тохиолдолд x 0-ээс 1 хүртэл өөрчлөгдөх ба хувьсагч
– тойргийн нумнаас x=1–yшулуун шугам руу

.

Интеграцийн дарааллыг зөв сонгох нь ямар чухал болохыг эдгээр жишээнүүд харуулж байна.

Жишээ 1.4.Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

A)
;
.

Р

б)

шийдвэр . A)Цагаан будаа. 1.8 xИнтеграцийн домайныг байгуулъя. зориулсан сегмент дээр yхувьсагч yшулуун шугамаас ялгаатай y= x. =0 шулуун шугам руу

.

Үр дүн нь дараах интеграцийн бүс юм (1.8-р зургийг үз). Баригдсан зураг дээр үндэслэн бид интеграцийн хязгаарыг тогтоовЦагаан будаа. 1.8 yИнтеграцийн домайныг байгуулъя. зориулсан сегмент дээр xхувьсагч x=yб)
парабол руу x=y; сегмент дээр - шулуун шугамаас x= шулуун шугам руу

.