Натурал тоо, бүхэл тоо, рационал, иррационал, алгебр, трансцендентал. Трансцендент тоо. Трансцендент тоог тодорхойлсон ишлэл

Илья Щуров

Математикч Илья Щуров аравтын бутархай, Пи тооны хэтрэлт ба иррационалийн тухай.

Анхны хот, агуу эзэнт гүрнийг байгуулахад "нэг" хэрхэн тусалсан бэ? Та хүн төрөлхтний гайхалтай оюун ухаанд хэрхэн урам зориг өгсөн бэ? Мөнгө бий болоход тэр ямар үүрэг гүйцэтгэсэн бэ? Хэрхэн "нэг" тэгтэй нэгдэж захирч байсан орчин үеийн ертөнц? Нэгжийн түүх нь Европын соёл иргэншлийн түүхтэй салшгүй холбоотой. Терри Жонс бидний анхны дугаарын гайхалтай түүхийг нэгтгэхийн тулд инээдмийн аялалд явж байна. Энэхүү программ дахь компьютерийн графикийг ашигласнаар уг нэгж нь янз бүрийн хэлбэрээр хэрэгждэг. Нэгжийн түүх нь орчин үеийн тоо хаанаас ирсэн, тэгийг зохион бүтээсэн нь биднийг өнөөдөр Ром тоо хэрэглэхээс хэрхэн аварсан болохыг тодорхой харуулж байна.

Жак Сесиано

Диофантусын талаар бид бага мэддэг. Тэр Александрид амьдардаг байсан гэж би бодож байна. 4-р зуунаас өмнө Грекийн математикч нарын хэн нь ч түүнийг дурдаагүй тул 3-р зууны дунд үед амьдарч байсан байх. Диофантын хамгийн чухал бүтээл болох "Арифметик" (Ἀριθμητικά) нь 13 "ном" (βιβλία), өөрөөр хэлбэл бүлгүүдийн эхэнд бичигдсэн байдаг. Өнөөдөр бид эдгээрийн 10-ыг бий, тухайлбал: Грек хэл дээрх 6, дундад зууны үеийн араб орчуулгад 4 нь Грекийн номнуудын дунд байдаг: Грек хэлээр I-III, Араб хэлээр IV-VII, VIII-X Грек хэлээр. Диофантийн "Арифметик" нь үндсэндээ 260 орчим асуудлын цуглуулга бөгөөд үнэнийг хэлэхэд онол байхгүй; зөвхөн байдаг ерөнхий зааварномын оршил хэсэгт, шаардлагатай үед зарим асуудалд хувийн тайлбар. "Арифметик" аль хэдийн алгебрийн зохиолын шинж чанартай байдаг. Анхны Diophantus ашигладаг өөр өөр шинж тэмдэгүл мэдэгдэх болон түүний эрх мэдлийг илэрхийлэх, мөн зарим тооцоо; Дундад зууны үеийн бүх алгебрийн бэлгэдлийн нэгэн адил түүний бэлгэдэл нь математик үгсээс гаралтай. Дараа нь Диофант асуудлыг алгебрийн аргаар хэрхэн шийдвэрлэхийг тайлбарлав. Гэхдээ Диофантусын асуудлууд нь ердийн утгаараа алгебрийн шинж чанартай байдаггүй, учир нь бараг бүгдээрээ тодорхойгүй тэгшитгэл эсвэл ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Георгий Шабат

Хичээлийн хөтөлбөр: Түүх. Эхний тооцоо. Тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулах асуудал. π-ийн хязгааргүй цуваа, бүтээгдэхүүн болон бусад илэрхийллүүд. Конвергенц ба түүний чанар. π агуулсан илэрхийллүүд. π-д хурдан ойртож буй дараалал. Орчин үеийн аргуудπ-ийн тооцоо, компьютер ашиглах. π болон бусад зарим тоонуудын иррационал ба хэтийн байдлын тухай. Хичээлийг ойлгохын тулд өмнөх мэдлэг шаардагдахгүй.

Оксфордын их сургуулийн эрдэмтэд газрын үнэ цэнэ байхгүйг илтгэх 0 тоог хамгийн эртний мэдэгдэж байсан (101-ийн тоо шиг) Энэтхэгийн Бахшали гар бичмэлийн текст гэж үзэх ёстой гэж мэдэгджээ.

Василий Писпанен

Хүүхэд байхдаа "хамгийн том тоог нэрлэх" тоглоомыг хэн тоглоогүй вэ? Таны оюун ухаанд сая сая, их наяд болон бусад "-он"-ыг төсөөлөхөд хэцүү байгаа ч бид математикийн "мастодон" - Грахамын тоог ойлгохыг хичээх болно.

Виктор Клепцын

Бодит тоог рационал тоонуудын дагуу хүссэн хэмжээгээр ойртуулж болно. Ийм ойролцоо тооцоолол нь нарийн төвөгтэй байдалтай харьцуулахад хэр сайн байж болох вэ? Жишээлбэл, x at тооны аравтын тэмдэглэгээг эвдэх замаар k-р цифраравтын бутархайн дараа бид 1/10^k дарааллын алдаатай x≈a/10^k ойролцоо утгыг авна. Мөн ерөнхийдөө, ойролцоогоор бутархайн q хуваагчийг тогтоосноор бид 1/q дарааллын алдаатай ойролцоо утгыг үнэн зөв гаргаж чадна. Илүү сайн хийх боломжтой юу? Танил π≈22/7 нь 1/1000-ийн дарааллын алдааг өгдөг - өөрөөр хэлбэл төсөөлж байснаас хамаагүй дээр юм. Яагаад? π ийм ойролцоо утгатай байгаа нь бид азтай юу? Аливаа иррационал тооны хувьд 1/q^2-оос илүү ойртох p/q тооны хязгааргүй олон тооны бутархай байдаг нь харагдаж байна. Дирихлетийн теорем үүнийг хэлж байгаа бөгөөд бид бага зэрэг уламжлалт бус нотолгоогоор хичээлээ эхлүүлэх болно.

1980 онд Гиннесийн амжилтын ном Гарднерын мэдэгдлийг давтаж, олон нийтийн сонирхлыг улам бүр нэмэгдүүлсэн. Грахамын тоо нь googol, googolplex гэх мэт бусад алдартай том тоонуудаас хэд дахин их, тэр ч байтугай Skewes тоо, Мозерын тооноос ч олон дахин их юм. Үнэн хэрэгтээ бүхэл бүтэн ажиглаж болох ертөнц нь Грахамын тооны энгийн аравтын бутархай тэмдэглэгээг багтаахад хэтэрхий жижиг юм.

Дмитрий Аносов

Лекцийг физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор, профессор, Оросын ШУА-ийн академич Дмитрий Викторович Аносов уншиж байна. Зуны сургууль"Орчин үеийн математик", Дубна. 2002 оны 7-р сарын 16-18

Энэ асуултанд үнэн зөв хариулах боломжгүй, учир нь тооны цувралдээд хязгаар байхгүй. Тиймээс аль ч тоонд нэгийг нэмэхэд л илүү их тоо гарах болно. Хэдийгээр тоонууд нь өөрөө хязгааргүй боловч ихэнх нь жижиг тооноос бүтсэн нэрэнд сэтгэл ханамжтай байдаг тул олон тооны зохих нэр байдаггүй. Хүн төрөлхтөн өөрийн нэрээр нэрлэсэн тоонуудын эцсийн багцад зарим нь байх ёстой нь тодорхой байна хамгийн их тоо. Гэхдээ үүнийг юу гэж нэрлэдэг вэ, энэ нь юутай тэнцэх вэ? Үүнийг олж мэдэхийг хичээцгээе, мөн тэр үед математикчид хэрхэн том тоонуудыг гаргаж ирснийг олж мэдье.

Трансцендент тоо

алийг нь ч хангаагүй тоо (бодит эсвэл зохиомол). алгебрийн тэгшитгэл(Алгебрийн тэгшитгэлийг үзнэ үү) бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Тиймээс тооны тоо нь алгебрийн тооноос ялгаатай (Алгебрийн тоог үзнэ үү). Т.ч-ийн оршин тогтнолыг анх Ж.Лиувилл (1844) тогтоожээ. Лиувиллийн эхлэлийн цэг нь түүний теорем байсан бөгөөд түүний дагуу өгөгдсөн иррационал алгебрийн тоонд өгөгдсөн хуваарьтай рационал бутархайг ойртуулах дараалал нь дур зоргоороо өндөр байж болохгүй. Тухайлбал, хэрэв алгебрийн тоо Аградусын бууруулж болохгүй алгебрийн тэгшитгэлийг хангана nбүхэл тооны коэффициенттэй бол ямар ч рационал тооны хувьд c зөвхөн хамаарна α ). Иймд хэрэв өгөгдсөн иррационал α тооны хувьд өгөгдсөн тэгш бус байдлыг хангахгүй хязгааргүй оновчтой ойролцоолсон багцыг зааж өгч болно. -тайТэгээд n(бүх ойролцоо тооцоололд адилхан), тэгвэл α Ийм тооны жишээ нь T. h.

T. тоо оршин байдгийн өөр нэг нотолгоог Г.Кантор (1874) өгсөн бөгөөд бүх алгебрийн тооны олонлогийг тоолох боломжтой (өөрөөр хэлбэл бүх алгебрийн тоодугаарлаж болно; Олонлогийн онолыг үзнэ үү), харин бүх бодит тоонуудын олонлог тоолж баршгүй.

Үүнээс үзэхэд тооны багц нь тоолж баршгүй бөгөөд цаашлаад эдгээр тоо нь бүх тооны багцын дийлэнх хэсгийг бүрдүүлдэг. T. ch-ийн онолын хамгийн чухал үүрэг бол T. chаналитик функцууд

, аргументийн алгебрийн утгуудын тодорхой арифметик болон аналитик шинж чанарыг эзэмшдэг. Энэ төрлийн асуудлууд нь орчин үеийн математикийн хамгийн хэцүү асуудлуудын нэг юм. 1873 онд C. Hermite Nepero тоо гэдгийг нотолсон 1882 онд Германы математикч Ф.Линдеманн илүү ерөнхий үр дүнг олж авсан: хэрэв α нь алгебрийн тоо юм болα - T. h. Lipdemann-ийн үр дүнг Германы математикч К. Сигель (1930) ихээхэн ерөнхийлсөн бөгөөд жишээлбэл, аргументийн алгебрийн утгуудын хувьд цилиндр функцүүдийн утгыг давж гарахыг нотолсон. 1900 онд Парист болсон математикийн их хурал дээр Д.Хилберт математикийн шийдэгдээгүй 23 асуудлын дотроос дараахь зүйлийг онцлон тэмдэглэв: трансцендент тоо юм. α β , Хаана α Тэгээд β - алгебрийн тоо, ба β - иррационал тоо, ялангуяа e π трансцендентал тоо (хэлбэрийн тоонуудыг давах асуудал) α β Анх Л. Эйлер, 1744) хувийн хэлбэрээр найруулсан. Энэ асуудлын бүрэн шийдлийг (нааштай утгаараа) зөвхөн 1934 онд A. O. Gelfond u олж авсан. Гельфондын нээлтээс харахад натурал тооны бүх аравтын логарифмууд (өөрөөр хэлбэл "хүснэгтийн логарифм") бүхэл тоонууд байдаг бөгөөд тооны онолын аргуудыг бүхэл тоон дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Лит.:Гелфонд А.О., Трансцендентал ба алгебрийн тоо, М., 1952 он.

Том Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдээс "Трансцендент тоо" гэж юу болохыг харна уу.

Бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангахгүй тоо. Трансцендент тоонууд нь: тоо??3.14159...; нэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тооны аравтын логарифм, дараа нь тэг; тоо e=2.71828... болон бусад... Том Нэвтэрхий толь бичиг

- (лат. transcendere-ээс давж гарах, давах) энэ бол бодит эсвэл нийлмэл тоо, энэ нь алгебрийн бус, өөрөөр хэлбэл бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс болж чадахгүй тоо. Агуулга 1 Properties 2 ... ... Википедиа

Бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангахгүй тоо. Трансцендент тоонууд нь: π тоо = 3.14159...; нэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тооны аравтын логарифм, дараа нь тэг; тоо e = 2.71828... гэх мэт... Нэвтэрхий толь бичиг

Ямар ч алгебрыг хангахгүй тоо. бүхэл тоон коэффициент бүхий тэгшитгэл. Үүнд: тоо PI = 3.14159...; нэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тооны аравтын логарифм, дараа нь тэг; тоо e = 2.71828... гэх мэт... Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс биш тоо. Ийм тоонуудын тодорхойлолтын талбар нь бодит, комплекс, радитик тоонуудын тэг юм. Бодит хэсгүүдийн оршин тогтнол, тодорхой бүтцийг Ж.Лиувилл нотолсон... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Алгебрийн бус тэгшитгэл. Ихэвчлэн эдгээр нь экспоненциал, логарифм, тригонометр, урвуу тригонометрийн функцуудыг агуулсан тэгшитгэлүүд юм, жишээлбэл: Илүү хатуу тодорхойлолт нь: Трансцендент тэгшитгэл нь тэгшитгэл юм ... Wikipedia

Ойролцоогоор 2.718-тай тэнцэх тоо нь математикт ихэвчлэн олддог ба байгалийн шинжлэх ухаан. Жишээлбэл, цацраг идэвхт бодис t хугацааны дараа задрахад тухайн бодисын анхны хэмжээнээс e kt-тэй тэнцэх хэсэг үлдэнэ, k нь тоо,... ... Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг

E нь математикийн тогтмол, натурал логарифмын суурь, иррационал ба трансцендентал тоо юм. Заримдаа e тоог Эйлерийн тоо (эхний төрлийн Эйлерийн тоо гэж нэрлэгдэхгүй) эсвэл Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг. Латин жижиг “e” үсгээр тэмдэглэсэн.... ... Википедиа

E нь математикийн тогтмол, натурал логарифмын суурь, иррационал ба трансцендентал тоо юм. Заримдаа e тоог Эйлерийн тоо (эхний төрлийн Эйлерийн тоо гэж нэрлэгдэхгүй) эсвэл Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг. Латин жижиг “e” үсгээр тэмдэглэсэн.... ... Википедиа

"Трансцендентал" гэдэг үг нь ихэвчлэн трансцендентал бясалгал, янз бүрийн эзотерикизмтэй холбоотой байдаг. Гэхдээ үүнийг зөв ашиглахын тулд ядаж "трансцендент" гэсэн нэр томъёоноос ялгаж, Кант болон бусад философичдын бүтээлд гүйцэтгэсэн үүргийг санаж байх хэрэгтэй.

Энэ ойлголт нь Латин трансценденсээс гаралтай - "давж гарах", "давж гарах", "цаашид". Ерөнхийдөө энэ нь эмпирик мэдлэгт үндсэндээ хүрдэггүй эсвэл туршлага дээр үндэслээгүй зүйлийг илэрхийлдэг. Энэ нэр томьёоны урьдчилсан нөхцөл нь Неоплатонизмын гүн ухаанд үүссэн - хөдөлгөөнийг үндэслэгч Плотин Нэгэн гэсэн сургаалыг бүтээсэн - бүх сайн анхны зарчмыг бодлын хүчин чармайлтаар эсвэл мэдрэхүйн тусламжтайгаар таних боломжгүй юм. туршлага. "Нэг бол оршихуй биш, харин түүний эцэг эх юм" гэж философич тайлбарлав.

"Трансцендент" гэсэн нэр томъёо нь Иммануэль Кантын гүн ухаанд хамгийн бүрэн илчлэгдсэн бөгөөд энэ нь ухамсараас үл хамааран оршин тогтнож, бидний мэдрэхүйд үйлчилдэг зүйлсийг тодорхойлоход хэрэглэгддэг бөгөөд практик болон онолын хувьд үндсэндээ үл мэдэгдэх хэвээр үлддэг. Трансцендентийн эсрэг тал нь: энэ нь салшгүй байдал, объектын аливаа чанарын дотоод холболт, эсвэл тухайн объектыг таних чадварыг илэрхийлдэг. хувийн туршлага. Жишээлбэл, хэрэв бид Орчлон ертөнцийг ямар нэгэн өндөр төлөвлөгөөний дагуу бүтээсэн гэж үзвэл төлөвлөгөө нь өөрөө бидний хувьд трансцендент юм - бид зөвхөн энэ тухай таамаглал дэвшүүлж чадна. Гэхдээ энэ төлөвлөгөө бодит байдал дээр байгаа бол түүний үр дагавар нь бидний хувьд зайлшгүй байх болно физикийн хуулиудмөн бид өөрсдийгөө олох нөхцөл байдал. Тиймээс зарим теологийн үзэл баримтлалд Бурхан трансцендент бөгөөд түүний бүтээсэн оршихуйгаас гадуур байдаг.

Зарим зүйл нь априори мэдлэгт хүртээмжтэй хэвээр байна: жишээлбэл, орон зай ба цаг хугацаа, Бурханы санаа, сайн сайхан ба гоо үзэсгэлэн, логик категориуд. Өөрөөр хэлбэл, трансцендент объектууд нь бидний оюун санаанд "анхдагч байдлаар урьдчилан тохируулагдсан" байдаг

Трансцендентийн тухай ойлголт математикт ч байдаг: трансцендент тоо нь алгебр ашиглан тооцоолох эсвэл алгебрийн аргаар илэрхийлэх боломжгүй (өөрөөр хэлбэл тэгтэй ижил биш бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс байж болохгүй) тоо юм. Үүнд жишээлбэл, π ба e тоонууд орно.

"Трансцендент"-тэй ойролцоо боловч утгаараа өөр ойлголт бол "трансцендент" юм. Эхэндээ энэ нь зүгээр л хийсвэр сэтгэцийн категориудын талбарыг илэрхийлдэг байсан бөгөөд хожим нь Кант үүнийг боловсруулж, өөрийн урхинд автсан: зөвхөн эмпирик өгөгдөл дээр философийн системийг бий болгох боломжгүй болсон бөгөөд тэрээр ямар ч зүйлийг хүлээн зөвшөөрөөгүй. эмпирикээс бусад туршлагын бусад эх сурвалжууд. Эндээс гарахын тулд философич зарим зүйл нь априори мэдлэгт хүртээмжтэй байдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой: жишээлбэл, орон зай ба цаг хугацаа, Бурханы санаа, сайн сайхан ба гоо үзэсгэлэн, логик категориуд. Өөрөөр хэлбэл, трансцендент объектууд нь бидний оюун санаанд "анхдагч байдлаар урьдчилан суулгасан" байдаг бөгөөд тэдгээрийн талаарх мэдээлэл нь дангаараа байдаг бөгөөд бидний туршлагаас үл хамаарна.

Өөр нэг холбоотой ойлголт байдаг - трансцендент. Өргөн утгаар нь авч үзвэл, хоёр өөр газар нутгийн хилийн шилжилт, ялангуяа энэ ертөнцийн хүрээнээс нөгөө ертөнцийн хүрээ рүү шилжих, трансцендентал гэсэн утгатай. Энгийн байхын тулд шинжлэх ухааны зөгнөлт зохиолоос жишээ авъя: зэрэгцээ ертөнцУчир нь жирийн хүн- трансцендент үзэгдэл. Гэхдээ баатар өөрийгөө энэ параллель ертөнцөд олох эсвэл ямар нэгэн байдлаар үүнийг мэдрэх чадвартай бол энэ нь трансцендент юм. Эсвэл экзистенциал философийн илүү төвөгтэй жишээ: Жан-Пол Сартр хүн аливаа боломжит хувийн туршлагаас давж гардаг тул трансцендент гэж үздэг байсан: бид өөрсдийгөө болон эргэн тойрныхоо ертөнцийг өөр өөр өнцгөөс судалж чадна, гэхдээ бид хэзээ ч бүрэн мэдэхэд ойртохгүй. өөрсдөө. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн хүн давах чадвартай байдаг: тэр аливаа зүйлийг даван туулж, түүнд ямар нэгэн утга учрыг өгдөг. Трансцендент бол шашны чухал элемент юм: энэ нь хүнийг материаллаг мөн чанараасаа ангижруулж, цаашлаад ямар нэгэн зүйлд хүрэхэд тусалдаг.

Философоос трансцендентал байдлын тухай ойлголт сэтгэл зүйд шилжсэн: Швейцарийн сэтгэл судлаач Карл Юнг "трансцендент функц" гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн - энэ бол ухамсартай ба ухамсаргүй байдлыг нэгтгэдэг функц юм. Ялангуяа психоаналист трансцендент функцийг гүйцэтгэж чаддаг - тэр өвчтөнд ухамсаргүй байдлын дүр төрхийг (жишээлбэл, зүүд) шинжлэхэд тусалдаг бөгөөд тэдгээрийг оюун санааны ухамсарт үйл явцтай холбоход тусалдаг.

Яаж ярих вэ

Буруу "Би трансцендентал бясалгалын ангид бүртгүүлсэн." Энэ нь зөв - "трансцендент".

"Би ариун сүмд орохдоо трансценденталь зүйлтэй нэгдэх мэдрэмжийг мэдэрдэг."

"Урлаг нь материаллаг ертөнцөөс танил зүйлсийг даван туулж, тэдгээрийг илүү өндөр утгаар дүүргэдэг."

Трансцендент тоо- алгебрийн бус нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл рационал коэффициент бүхий тэгээс өөр олон гишүүнтийн үндэс биш.

Трансцендент тооны оршин тогтнолыг анх 1844 онд Ж.Лиувилл тогтоосон; Тэрээр мөн ийм тооны анхны жишээг бүтээжээ. Лиувилл алебраик тоог оновчтой тоогоор "хэтэрхий сайн" ойртуулах боломжгүйг ажигласан. Тухайлбал, Лиувиллийн теорем нь хэрвээ алгебрийн тоо нь рационал коэффициенттэй зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндэс юм бол дурын рационал тооны хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ гэж заасан байдаг.

тогтмол нь зөвхөн хамаарна. Энэ мэдэгдлээс дараахь зүйл гарч байна хангалттай нотлох баримттрансцендент: хэрэв тоо нь аливаа тогтмолын хувьд тэгш бус байдлыг хангадаг оновчтой тооны хязгааргүй олонлогтой байвал

Энэ нь трансцендент юм. Дараа нь ийм тоонуудыг Лиувиллийн тоо гэж нэрлэдэг байв. Ийм тооны жишээ бол

Трансцендент тоо оршин байдгийн өөр нэг нотолгоог Г.Кантор 1874 онд өөрийн бүтээсэн олонлогийн онолын үндсэн дээр олж авчээ. Кантор алгебрийн тооны олонлогийг тоолж болдог, бодит тооны олонлог нь тоологдох боломжгүй гэдгийг нотолсон нь трансцендент тооны олонлогийг тоолж болохгүй гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч, Лиувиллийн нотолгооноос ялгаатай нь эдгээр аргументууд нь дор хаяж нэг ийм тооны жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Лиувиллийн ажил нь трансцендентал тооны онолын бүхэл бүтэн хэсгийг бий болгосон - алгебрийн тоог рационал буюу ерөнхийдөө алгебрийн тоогоор ойртуулах онол. Лиувиллийн теоремыг олон математикчдын бүтээлд бэхжүүлж, ерөнхийд нь тусгасан байдаг. Энэ нь трансцендент тоонуудын шинэ жишээг бүтээх боломжийг олгосон. Ийнхүү К.Малер хэрэв бүх натурал тоонуудын хувьд бүхэл тоо сөрөг бус утгыг авдаг тогтмол бус олон гишүүнт юм бол радикс тооллын системд бичигдсэн тоо нь аль ч натурал тооны хувьд трансцендентал, гэхдээ байна гэдгийг харуулсан. Лиувиллийн дугаар биш. Жишээ нь, ба-тай бид дараах гоёмсог үр дүнг авдаг: тоо

трансцендент, гэхдээ Лиувилийн тоо биш.

1873 онд C. Hermite өөр санаануудыг ашиглан Неперийн тооны (натурал логарифмын суурь) давж гарахыг баталжээ.

Эрмитийн санааг хөгжүүлсний дараа Ф.Линдеман 1882 онд тооноос давж гарахыг нотолсон бөгөөд ингэснээр тойргийг квадрат болгох эртний асуудалд цэг тавьжээ: луужин ба захирагч ашиглан ижил хэмжээтэй дөрвөлжин барих боломжгүй (өөрөөр хэлбэл ижил талбайтай) өгөгдсөн тойрог руу. Ерөнхийдөө, Линдеманн аливаа алгебрийн тооны хувьд тоо нь трансцендент гэдгийг харуулсан. Эквивалент томъёолол: ба-аас бусад алгебрийн тооны хувьд түүний натурал логарифм нь трансцендент тоо юм.

1900 онд Парист болсон математикчдын их хурал дээр Д.Хилберт математикийн шийдэгдээгүй 23 асуудлын дотроос Л.Эйлерийн тодорхой хэлбэрээр томъёолсон дараах зүйлийг онцлон тэмдэглэжээ.

Болъё Тэгээд алгебрийн тоонууд ба трансцендентал? Ялангуяа тоонууд трансцендент мөн үү? Тэгээд?

Энэ асуудлыг Эйлерийн анхны томъёололтой ойролцоо хэлбэрээр дараах хэлбэрээр дахин хэлж болно.

Болъё Тэгээд -аас бусад алгебрийн тоонууд ба үүнээс гадна тэдгээрийн натурал логарифмын харьцаа үндэслэлгүй. Тоо байх болов уу трансцендентал?

Асуудлын анхны хэсэгчилсэн шийдлийг 1929 онд А.О.Гелфонд олж авсан бөгөөд тэрээр ялангуяа тооноос давж гарахыг нотолсон юм. 1930 онд Р.О.Кузьмин Гельфондын аргыг боловсронгуй болгож, тэр дундаа тооноос давж гарах чадварыг баталж чадсан. Эйлер-Гильбертийн асуудлын бүрэн шийдлийг (баталгаатай утгаараа) 1934 онд А.О.Гельфонд, Т.Шнайдер нар бие даан гаргаж авсан.

А.Бэйкер 1966 онд Линдеман, Гельфонд-Шнайдер нарын теоремуудыг ерөнхийд нь гаргаж, ялангуяа дурын хязгаарлагдмал тооны хэлбэрийн үржвэр болон байгалийн хязгаарлалтын дагуу алгебрийн тоонуудын үржвэрийг давж гарахыг нотолсон.

1996 онд Ю.В. Нестеренко Эйзенштейний цувралын утгуудын алгебрийн бие даасан байдлыг нотолсон, ялангуяа тоонууд ба. Энэ нь алгебрийн коэффициент бүхий 0-ээс ялгаатай рационал функц бүхий аль ч тооны хэлбэрийг давах гэсэн үг юм. Жишээлбэл, цувралын нийлбэр нь трансцендент байх болно

1929-1930 онд К.Махлер хэд хэдэн бүтээлдээ тодорхой төрлийн функциональ тэгшитгэлийг хангадаг аналитик функцүүдийн утгуудын утгыг давж гарахыг нотлох шинэ аргыг санал болгосон (хожим нь ийм функцийг Малер функц гэж нэрлэдэг).

Трансцендент тооны онолын аргууд нь математикийн бусад салбаруудад, ялангуяа диофантийн тэгшитгэлийн онолд хэрэглэгдэх болсон.