Хязгааргүй том өмчийн функцууд. Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцууд. Хязгааргүй жижиг функцууд

Хязгааргүй жижиг ба том тоонуудын тооцоо

Хязгааргүй жижиг тооцоо- үүсмэл үр дүнг хязгааргүй жижиг утгуудын хязгааргүй нийлбэр гэж үздэг хязгааргүй жижиг утгуудаар хийсэн тооцоолол. Хязгааргүй жижиг тооллын тооцоо нь орчин үеийн дээд математикийн үндэс болсон дифференциал ба интеграл тооцооллын ерөнхий ойлголт юм. Хязгааргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь хязгаарын тухай ойлголттой нягт холбоотой.

Хязгааргүй жижиг

Дараалал а nдуудсан хязгааргүй жижиг, хэрэв . Жишээлбэл, тоонуудын дараалал нь хязгааргүй бага байдаг.

Функцийг дууддаг цэгийн ойролцоо хязгааргүй жижиг x 0 бол .

Функцийг дууддаг хязгааргүй жижиг, хэрэв эсвэл .

Мөн хязгааргүй жижиг функц нь функц ба түүний хязгаарын ялгаа, өөрөөр хэлбэл хэрэв , дараа нь е(x) − а = α( x) , .

хязгааргүй том

Доорх бүх томъёонд тэгш байдлын баруун талд байгаа хязгааргүй байдал нь тодорхой тэмдгийг ("нэмэх" эсвэл "хасах") илэрхийлдэг. Энэ нь жишээлбэл, функц юм xнүгэл x, хоёр талдаа хязгааргүй, -ийн хувьд хязгааргүй том биш.

Дараалал а nдуудсан хязгааргүй том, хэрэв .

Функцийг дууддаг цэгийн ойролцоо хязгааргүй том x 0 бол .

Функцийг дууддаг хязгааргүйд хязгааргүй том, хэрэв эсвэл .

Хязгааргүй ба хязгааргүй жижиг тоонуудын шинж чанарууд

Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт

Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийг хэрхэн харьцуулах вэ?
Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа нь тодорхойгүй байдлыг үүсгэдэг.

Тодорхойлолт

Ижил утгын хувьд бид хязгааргүй бага байна гэж бодъё α( x) ба β( x) (эсвэл тодорхойлолтод чухал биш, хязгааргүй жижиг дараалал).

Ийм хязгаарыг тооцоолохын тулд L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглах нь тохиромжтой.

Харьцуулах жишээ

Ашиглаж байна О-гарсан үр дүнгийн тэмдэглэгээг дараах хэлбэрээр бичиж болно x 5 = о(x 3). AT Энэ тохиолдолдбүртгэл үнэн 2x 2 + 6x = О(x) болон x = О(2x 2 + 6x).

Тэнцүү хэмжигдэхүүнүүд

Тодорхойлолт

Хэрэв бол α ба β хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийг дуудна тэнцүү ().
Мэдээжийн хэрэг, эквивалент хэмжигдэхүүн нь ижил жижиг дарааллын хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн онцгой тохиолдол юм.

-ийн хувьд дараах эквивалент харьцаа (гайхалтай хязгаар гэж нэрлэгддэг үр дагавар) байна.

Теорем

Хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний (харьцаа) хязгаар нь тэдгээрийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) эквивалент утгаар сольсон тохиолдолд өөрчлөгдөхгүй..

Энэ теорем нь хязгаарыг олоход практик ач холбогдолтой (жишээг үзнэ үү).

Хэрэглээний жишээ

Солих сбиn 2x эквивалент утга 2 x, бид авдаг

Түүхэн тойм

"Хязгааргүй жижиг" гэсэн ойлголтыг эрт дээр үед хуваагдашгүй атомын тухай ойлголттой холбон ярьж байсан ч сонгодог математикт орж ирээгүй. Дахин хэлэхэд энэ нь 16-р зуунд "хуваагдах боломжгүй арга" гарч ирснээр дахин сэргэсэн - судалж буй дүрсийг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах.

Хязгааргүй жижиг тооцооллын алгебрчлал 17-р зуунд болсон. Тэдгээрийг ямар ч төгсгөлтэй (тэг биш) утгаас бага боловч тэгтэй тэнцүү биш тоон утгууд гэж тодорхойлж эхэлсэн. Шинжилгээний урлаг нь хязгааргүй жижиг тоо (дифференциал) агуулсан харилцааг зохиож, дараа нь түүнийг нэгтгэх явдал байв.

Хуучин сургуулийн математикчид энэ үзэл баримтлалд хамрагдсан хязгааргүй жижигхатуу шүүмжлэл. Мишель Ролле шинэ тооцоо бол " гайхалтай алдаануудын багц»; Вольтер энэхүү тооцоолол нь оршин тогтнох нь нотлогдох боломжгүй зүйлсийг тооцоолох, нарийн хэмжих урлаг юм гэж хор хөнөөлтэй онцолсон. Гюйгенс хүртэл дээд эрэмбийн дифференциалын утгыг ойлгоогүй гэдгээ хүлээн зөвшөөрсөн.

Хувь заяаны инээдэм болгон зууны дунд үеийн стандарт бус шинжилгээний дүр төрхийг авч үзэх боломжтой бөгөөд энэ нь анхны үзэл бодол - бодит хязгаарлагдмал тоо баримт нь нийцэж, дүн шинжилгээ хийх үндэс болгон авч болохыг нотолсон юм.

бас үзнэ үү

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Infinitesimal" гэж юу болохыг хараарай.

Хязгааргүй ЖИЖИГ- зарим процесс дахь хувьсагч, хэрэв энэ процесст энэ нь тэг рүү хязгааргүй ойртдог (тэмдэглэдэг) ... Их Политехник нэвтэрхий толь бичиг

хязгааргүй жижиг- ■ Үл мэдэгдэх зүйл боловч гомеопатитай холбоотой... Нийтлэг үнэний толь бичиг

Чиг үүрэг y=f(x)дуудсан хязгааргүй жижигцагт x→aэсвэл хэзээ x→∞ хэрэв эсвэл , i.e. Өгөгдсөн цэг дэх хязгаар нь тэг байх функцийг хязгааргүй жижиг функц гэнэ.

Жишээ.

1. Үйл ажиллагаа f(x)=(x-1) 2 нь хязгааргүй жижиг x→1, оноос хойш (Зураг харна уу).

2. Үйл ажиллагаа f(x)=тг xүед хязгааргүй жижиг байна x→0.

3. f(x)= бүртгэл(1+ x) -д хязгааргүй жижиг байна x→0.

4. f(x) = 1/xүед хязгааргүй жижиг байна x→∞.

Дараах чухал харилцааг тогтооцгооё.

Теорем.Хэрэв функц бол y=f(x)хаягаар төлөөлөх боломжтой x→aтогтмол тооны нийлбэр байдлаар бмөн хязгааргүй жижиг α(x): f(x)=b+ α(x)дараа нь.

Харин эсрэгээр, хэрэв , тэгвэл f(x)=b+α(x), хаана a(x)үед хязгааргүй жижиг байна x→a.

Баталгаа.

1. Батламжийн эхний хэсгийг баталъя. Тэгш эрхээс f(x)=b+α(x)ёстой |f(x) – b|=| α|. Гэхдээ түүнээс хойш a(x)нь хязгааргүй жижиг бол дурын ε-ийн хувьд δ, цэгийн хөрш байна. а,бүгдэд нь xүүнээс, үнэт зүйлс a(x)харилцааг хангана |α(x)|< ε. Дараа нь |f(x) – b|< ε. Мөн энэ нь гэсэн үг юм.

2. Хэрэв ε байвал >0 бүгдэд нь X from some δ нь тухайн цэгийн хөрш юм абайх болно |f(x) – b|< ε. Гэхдээ хэрэв бид тэмдэглэвэл f(x) – b= α, дараа нь |α(x)|< ε гэсэн үг а- хязгааргүй жижиг.

Хязгааргүй жижиг функцүүдийн үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Теорем 1.Хоёр, гурав, ерөнхийдөө дурын төгсгөлтэй тооны хязгааргүй жижиг тоонуудын алгебрийн нийлбэр нь хязгааргүй жижиг функц юм.

Баталгаа. Хоёр нөхцлийн нотолгоо өгье. Болъё f(x)=α(x)+β(x), хаана болон . Дурын дурын жижиг ε-ийн хувьд бид үүнийг батлах хэрэгтэй > 0 тэнд δ> 0, үүний төлөө xтэгш бус байдлыг хангаж байна |x – a|<δ , гүйцэтгэсэн |f(x)|< ε.

Тиймээс бид дурын ε тоог засдаг > 0. Учир нь теоремын таамаглалын дагуу. α(x)нь хязгааргүй жижиг функц бол δ 1 байна > 0, аль нь |x – a|< δ 1 бидэнд байна |α(x)|< ε / 2. Үүний нэгэн адил, оноос хойш β(x)хязгааргүй жижиг бол ийм δ 2 байна > 0, аль нь |x – a|< δ 2 бидэнд байна | β(x)|< ε / 2.

Авцгаая δ=мин(δ1 , δ2 } .Дараа нь тухайн цэгийн ойр орчимд арадиус δ тэгш бус байдал бүрийг хангана |α(x)|< ε / 2 ба | β(x)|< ε / 2. Тиймээс энэ хороололд байх болно

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

тэдгээр. |f(x)|< нотлох ёстой байсан ε.

Теорем 2.Хязгааргүй жижиг функцийн бүтээгдэхүүн a(x)хязгаарлагдмал функцэд зориулагдсан f(x)цагт x→a(эсвэл хэзээ x→∞) нь хязгааргүй жижиг функц юм.

Баталгаа. Функцээс хойш f(x)хязгаарлагдмал, дараа нь тоо байна Мбүх үнэт зүйлсийн хувьд xцэгийн зарим хөршөөс a|f(x)|≤M.Үүнээс гадна, оноос хойш a(x)нь хязгааргүй жижиг функц юм x→a, дараа нь дурын ε-ийн хувьд > 0 цэгийн хөрш байдаг а, үүнд тэгш бус байдал |α(x)|< ε /М. Дараа нь эдгээр жижиг хороололд бид байдаг | αf|< ε /М= ε. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм af- хязгааргүй жижиг. Хэргийн хувьд x→∞нотлох баримт нь ижил төстэй байдлаар хийгддэг.

Батлагдсан теоремоос дараах байдалтай байна.

Үр дагавар 1.Хэрэв ба бол .

Үр дагавар 2.Хэрэв c= const, дараа нь .

Теорем 3.Хязгааргүй жижиг функцийн харьцаа α(x)функц бүрт f(x), хязгаар нь тэг биш бол хязгааргүй жижиг функц юм.

Баталгаа. Let . Дараа нь 1 /f(x)хязгаарлагдмал функц байдаг. Тиймээс бутархай нь хязгааргүй жижиг функц ба хязгаарлагдмал функцийн үржвэр юм, i.e. функц нь хязгааргүй жижиг юм.

Тодорхойлолт:Функцийг дууддаг хязгааргүй жижигүед, хэрэв .

"" гэсэн тэмдэглэгээнд бид үүнийг таамаглах болно x0эцсийн утга болгон авч болно: x0= Const, мөн хязгааргүй: x0= ∞.

Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд:

1) Функцийн хувьд хязгааргүй бага тооны хязгаартай тооны алгебрийн нийлбэр нь функцийн хувьд хязгааргүй бага байна.

2) Функцийн хувьд хязгааргүй жижиг тооны төгсгөлтэй тооны үржвэр нь функцийн хувьд хязгааргүй бага байна.

3) Хязгаарлагдмал функц ба хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр нь хязгааргүй жижиг функц юм.

4) Хязгаар нь тэгээс өөр функцэд хязгааргүй жижиг функцийг хуваах коэффициент нь функц дээр хязгааргүй бага байна.

Жишээ: Чиг үүрэг y = 2 + xүед хязгааргүй жижиг байна, учир нь .

Тодорхойлолт:Функцийг дууддаг хязгааргүй томүед, хэрэв .

Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд:

1) Функцийн хувьд хязгааргүй ихийн нийлбэр нь функцийн хувьд хязгааргүй их байна.

2) Хязгаар нь тэгээс өөр функцийн хувьд хязгааргүй их хэмжээний үржвэр нь функцийн хувьд хязгааргүй том байна.

3) Хязгааргүй том функц ба хязгаарлагдмал функцийн нийлбэр нь хязгааргүй том функц юм.

4) Функцийн хувьд хязгааргүй ихийг төгсгөлтэй хязгаартай функцэд хуваах коэффициент нь функцийн хувьд хязгааргүй их байна.

Жишээ: Чиг үүрэг y= -ийн хувьд хязгааргүй том, учир нь .

Теорем.Хязгааргүй бага ба хязгааргүй их хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал. Хэрэв функц нь үед хязгааргүй жижиг бол функц нь -д хязгааргүй том байна. Үүний эсрэгээр, функц нь -д хязгааргүй том бол функц нь -д хязгааргүй жижиг байна.

Хоёр хязгааргүй жижиг тооны харьцааг ихэвчлэн тэмдгээр, хоёр нь хязгааргүй том - тэмдгээр тэмдэглэдэг. Тодорхой бус илэрхийлэлд багтсан тодорхой функцүүдийн төрлөөс хамааран тэдгээрийн хязгаар нь байж болно, үгүй ​​ч байж болно, тодорхой тоотой тэнцүү эсвэл хязгааргүй байж болно гэсэн утгаараа энэ хоёр харилцаа нь тодорхойгүй юм.

Тодорхойгүй хэлбэр ба тодорхойгүйгээс гадна дараах илэрхийллүүд байна.

Ижил тэмдгийн хязгааргүй томуудын ялгаа;

Хязгааргүй жижиг тоог хязгааргүй томоор үржүүлэх;

Экспоненциал чадлын функц, суурь нь 1, заагч нь - to;

Суурь нь хязгааргүй жижиг, экспоненциал нь хязгааргүй том байх экспоненциал-чадлын функц;

Суурь болон илтгэгч нь хязгааргүй жижиг экспоненциал функц;

Суурь нь хязгааргүй том, илтгэгч нь хязгааргүй жижиг экспоненциал функц.

Харгалзах төрлийн тодорхойгүй байдал үүссэн гэж ярьдаг. Хязгаарын тооцоог эдгээр тохиолдолд дууддаг тодорхойгүй байдлын ил тод байдал. Тодорхой бус байдлыг тодруулахын тулд хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг тодорхой бус байдлыг агуулаагүй хэлбэрт шилжүүлнэ.

Хязгаарыг тооцоолохдоо хязгаарын шинж чанарууд, мөн хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанаруудыг ашигладаг.

Төрөл бүрийн хязгаарын тооцооны жишээг авч үзье.

1) . 2) .

4) , учир нь хязгаарлагдмал функцээр хязгаарлагдмал жижиг функцийн үржвэр хязгааргүй жижиг.

5) . 6) .

7) = =

. Энэ тохиолдолд олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгаж, нийтлэг хүчин зүйлээр багасгах замаар шийдэгдсэн төрөл тодорхойгүй байсан.

= .

Энэ тохиолдолд төрөл тодорхойгүй байсан бөгөөд үүнийг тоологч ба хуваагчийг илэрхийллээр үржүүлж, томъёог ашиглан, дараа нь бутархайг (+1) бууруулах замаар шийдсэн.

9)
. Энэ жишээнд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг гишүүнээр хуваах замаар төрлийн тодорхойгүй байдал илэрсэн.

Сонирхолтой хязгаарууд

Эхний гайхалтай хязгаар : .

Баталгаа.Нэгж тойргийг авч үзье (Зураг 3).

Зураг 3. нэгж тойрог

Болъё Xтөв өнцгийн радиан хэмжүүр юм MOA(), тэгвэл О.А = Р= 1, MK= нүгэл x, AT=тг x. Гурвалжны талбайг харьцуулах ОМА, OTAболон салбарууд ОМА, бид авах:

,

.

Сүүлчийн тэгш бус байдлыг нүгэлд хуваа x, бид авах:

.

Учир нь , дараа нь өмчөөр 5) хязгаарын

Хаанаас болон at-ийн харилцан хамаарал нь нотлогдох ёстой байсан.

Сэтгэгдэл:Хэрэв функц нь хязгааргүй жижиг бол, i.e. , дараа нь эхний гайхалтай хязгаар нь дараах хэлбэртэй байна:

.

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглан хязгаарын тооцооллын жишээг авч үзье.

Энэ хязгаарыг тооцоолохдоо тригонометрийн томъёог ашигласан: .

.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглан хязгаарын тооцооллын жишээг авч үзье.

2) .

3) . Төрөл бүрийн тодорхой бус байдал бий. Дараа нь орлуулалт хийцгээе; цагт.

Хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтыг өгсөн болно. Хязгааргүй алслагдсан цэгүүдийн хөршүүдийн тухай ойлголтыг авч үздэг. Дарааллын хязгаарын бүх нийтийн тодорхойлолтыг өгсөн бөгөөд энэ нь төгсгөлтэй болон хязгааргүй хязгаарт хамаарна. Хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтыг хэрэглэх жишээг авч үзнэ.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Дарааллын хязгаарыг тодорхойлох

Тодорхойлолт

Дараалал (βn) хязгааргүй дараалал гэж нэрлэдэг, хэрвээ дурын олон тооны M-ийн хувьд ийм байдаг натурал тооБүх эерэг бүхэл тоонуудын хувьд n > N M тэгш бус байдал байхаар M-ээс хамаарч N M байна
|β n | >М.
Энэ тохиолдолд бичнэ үү
.
Эсвэл цагт.
Тэд энэ нь хязгааргүй хандлагатай гэж хэлдэг, эсвэл хязгааргүйд нийлдэг.

Хэрэв , N тооноос эхлэн 0 , дараа нь
( нэмэх хязгаарт нийлдэг).
Хэрэв бол
( хасах хязгааргүйд нийлдэг).

Бид эдгээр тодорхойлолтыг оршин тогтнох, түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан бичдэг.
(1) .
(2) .
(3) .

(2) ба (3) хязгаартай дараалал нь хязгааргүй том дарааллын (1) онцгой тохиолдол юм. Эдгээр тодорхойлолтоос харахад дарааллын хязгаар нь нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй бол энэ нь мөн адил хязгааргүйтэй тэнцүү байна:
.
Урвуу нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм. Дарааллын гишүүд ээлжлэн тэмдэгтүүдтэй байж болно. Энэ тохиолдолд хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү боловч тодорхой тэмдэггүй байж болно.

Хэрэв тодорхой шинж чанар нь хязгаартай тэнцүү хязгаартай дурын дараалалд тохирч байвал хязгаар нь нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй дараалалд ижил шинж чанар хамаарна гэдгийг анхаарна уу.

Тооцооллын олон сурах бичигт хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтод M тоог эерэг гэж заасан байдаг: M. > 0 . Гэсэн хэдий ч энэ шаардлага нь илүүц юм. Хэрэв үүнийг цуцалсан бол зөрчилдөөн гарахгүй. Зөвхөн жижиг эсвэл сөрөг үнэ цэнэ нь бидний сонирхлыг татдаггүй. Бид M-ийн дур зоргоороо том эерэг утгуудын дарааллын зан үйлийг сонирхож байна. Иймд шаардлага гарвал М-г доороос ямар ч өгөгдсөн a тоогоор хязгаарлаж болно, өөрөөр хэлбэл M > a гэж үзье.

Бид ε - төгсгөлийн цэгийн хөршийг тодорхойлохдоо ε шаардлага тавина > 0 чухал юм. Сөрөг утгын хувьд тэгш бус байдал нь огтхон ч байж чадахгүй.

Хязгааргүй цэгүүдийн хөршүүд

Хязгаарлагдмал хязгаарыг авч үзэхдээ бид цэгийн ойр орчмын тухай ойлголтыг оруулсан. Төгсгөлийн цэгийн хөрш нь энэ цэгийг агуулсан нээлттэй интервал гэдгийг санаарай. Мөн бид хязгааргүй дэх цэгүүдийн хөршийн тухай ойлголтыг танилцуулж болно.

M нь дурын тоо байг.
"Хязгааргүй" цэгийн хөрш, , олонлог гэж нэрлэдэг.
"нэмэх хязгааргүй" цэгийн хөрш, , олонлог гэж нэрлэдэг.
"Хязгааргүйг хасах" цэгийн хөрш, , олонлог гэж нэрлэдэг.

Хатуухан хэлэхэд "хязгааргүй" цэгийн хөрш нь олонлог юм
(4) ,
хаана М 1 болон М 2 дурын эерэг тоонууд. Бид эхний тодорхойлолтыг ашиглах болно, учир нь энэ нь илүү хялбар байдаг. Хэдийгээр (4) тодорхойлолтыг ашиглах үед доор дурдсан бүх зүйл үнэн болно.

Одоо бид төгсгөлтэй болон хязгааргүй хязгаарт хамаарах дарааллын хязгаарын нэгдсэн тодорхойлолтыг өгч чадна.

Дарааллын хязгаарын бүх нийтийн тодорхойлолт.
Хэрэв энэ цэгийн аль ч орчимд тоо бүхий дарааллын бүх элементүүд энэ тойрогт хамаарах тийм натурал N тоо байвал a цэг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) нь дарааллын хязгаар юм.

Тиймээс хэрэв хязгаар байгаа бол а цэгийн хөршөөс гадна дарааллын зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүд эсвэл хоосон олонлог байж болно. Энэ нөхцөл шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Энэ өмчийн баталгаа нь хязгаарлагдмал хязгаартай яг адилхан юм.

Нийлмэл дарааллын хөршийн шинж чанар
А цэг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) дарааллын хязгаар байхын тулд энэ цэгийн аль ч орчмын гадна дарааллын хязгаарлагдмал тооны гишүүд эсвэл хоосон олонлог байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Баталгаа.

Түүнчлэн, ε - хязгааргүй алслагдсан цэгүүдийн хөршүүдийн тухай ойлголтыг заримдаа нэвтрүүлдэг.
Төгсгөлийн а цэгийн ε - хөрш олонлог гэдгийг санаарай.
Ингээд танилцуулъя дараах тэмдэглэгээ. a цэгийн ε - хөршийг илэрхийлье. Дараа нь эцсийн цэгийн хувьд,
.
Хязгааргүй цэгийн хувьд:
;
;
.
ε - хөршүүдийн ойлголтыг ашиглан дарааллын хязгаарын өөр нэг нийтлэг тодорхойлолтыг өгч болно.

a цэг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) нь хэрэв байгаа бол дарааллын хязгаар юм эерэг тоо ε > 0 бүх n > N ε тоонуудын хувьд x n гишүүд нь a цэгийн ε хөршид хамаарах тул ε-ээс хамаарсан N ε натурал тоо байдаг:
.

Оршихуй ба түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Хязгааргүй том дарааллын жишээ

Жишээ 1

.

.
Бид хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтыг бичнэ.
(1) .
Манай тохиолдолд
.

Бид тоонуудыг танилцуулж, тэдгээрийг тэгш бус байдалтай холбоно.
.
Тэгш бус байдлын шинж чанарын дагуу , хэрэв ба , тэгвэл
.
Энэ тэгш бус байдал ямар ч n-д биелэхийг анхаарна уу. Тиймээс та дараах байдлаар сонгож болно.
үед;
цагт.

Тиймээс хэн ч тэгш бус байдлыг хангах натурал тоог олж чадна. Дараа нь бүгдэд нь
.
гэсэн үг. Энэ нь дараалал нь хязгааргүй том юм.

Жишээ 2

Хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг харуул
.

(2) .
Өгөгдсөн дарааллын нийтлэг нэр томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Тоонуудыг оруулаад:
.
.

Дараа нь хэн ч тэгш бус байдлыг хангадаг натурал тоог олох боломжтой бөгөөд ингэснээр бүгдэд нь,
.
гэсэн үг.

.

Жишээ 3

Хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг харуул
.

Хасах хязгаартай тэнцүү дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
(3) .
Өгөгдсөн дарааллын нийтлэг нэр томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Тоонуудыг оруулаад:
.
Энэ нь хэрэв ба, дараа нь гэдгийг харуулж байна
.

Учир нь хэн ч тэгш бус байдлыг хангах натурал тоог олох боломжтой
.

N гэж өгөгдсөн бол та дараах тэгш бус байдлыг хангасан дурын натурал тоог авч болно.
.

Жишээ 4

Хязгааргүй том дарааллын тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг харуул
.

Дарааллын нийтлэг гишүүнийг бичье.
.
Хязгааргүй нэмэхтэй тэнцүү дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
(2) .

n нь натурал тоо тул n = 1, 2, 3, ... , дараа нь
;
;
.

Бид тоонууд ба M-ийг танилцуулж, тэдгээрийг тэгш бус байдлаар холбоно.
.
Энэ нь хэрэв ба, дараа нь гэдгийг харуулж байна
.

Тиймээс ямар ч M тооны хувьд тэгш бус байдлыг хангах натурал тоог олж болно. Дараа нь бүгдэд нь
.
гэсэн үг.

Лавлагаа:
Л.Д. Кудрявцев. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 2003 он.
CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.

Мөн үзнэ үү:

Хязгааргүй жижиг функцууд

%%f(x)%% функцийг дуудна хязгааргүй жижиг(b.m.) for %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, хэрэв аргумент үүнд чиглэх үед функцын хязгаар тэгтэй тэнцүү бол.

b.m-ийн тухай ойлголт. функц нь аргумент дахь өөрчлөлтийн заалттай салшгүй холбоотой. Бид b.m-ийн тухай ярьж болно. %%a \to a + 0%%, %%a \to a - 0%% функцууд. Ихэвчлэн b.m. функцуудыг Грек цагаан толгойн %%\альфа, \бета, \гамма, \ldots%% эхний үсгээр тэмдэглэнэ.

Жишээ

1. %%f(x) = x%% функц нь b.m. %%x \to 0%%, учир нь түүний %%a = 0%% дахь хязгаар нь тэг байна. Хоёр талт хязгаар ба нэг талт хязгаар хоорондын холболтын тухай теоремын дагуу энэ функц нь b.m. аль аль нь %%x \to +0%% болон %%x \to -0%%.
2. %%f(x) = 1/(x^2)%% функц - b.m. %%x \to \to \infty%% (мөн %%x \to +\infty%% болон %%x \to -\infty%%).

Хэчнээн жижиг байсан ч тэгээс өөр тогтмол тоо үнэмлэхүй үнэ цэнэ, b.m биш юм. функц. Тогтмол тоонуудын хувьд %%f(x) \equiv 0%% функц нь тэг хязгаартай тул цорын ганц үл хамаарах зүйл нь тэг юм.

Теорем

%%f(x)%% функц нь өргөтгөсөн тоон мөрийн %%a \in \overline(\mathbb(R))%% цэг дээр зөвхөн %%b%% гэсэн тоотой тэнцүү төгсгөлийн хязгаартай байна. хэрэв энэ функц нь энэ тооны %%b%% ба b.m-ийн нийлбэртэй тэнцүү бол. %%\alpha(x)%% функцууд нь %%x \toa%%, эсвэл $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R) ) \Зүүн баруун сум \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\альфа(x) = 0)\баруун). $$

Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд

Хязгаарт шилжих дүрмийн дагуу %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%-д дараах мэдэгдлүүд хийгдэнэ.

1. Эцсийн тооны нийлбэр b.m. %%x \to a%% функцууд нь f.m. %%x \to a%%.
2. Ямар ч тооны b.m-ийн бүтээгдэхүүн. %%x \to a%% функцууд нь f.m. %%x \to a%%.

b.m-ийн бүтээгдэхүүн. %%x \to a%% дахь функцууд ба а цэгийн зарим цоорсон хөрш %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% хязгаарлагдсан функц нь b.m. %%x \to a%% функцтэй.

Тогтмол функцийн үржвэр ба б.м гэдэг нь тодорхой байна. at %%x \to a%% there b.m. %%x \to a%% дээр функц.

Эквивалент хязгааргүй жижиг функцууд

%%x \to a%% -д зориулагдсан %%\альфа(x), \бета(x)%% гэсэн хязгааргүй жижиг функцуудыг нэрлэдэг. тэнцүүмөн %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% if гэж бичнэ

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x)) )(\альфа(х))) = 1. $$

b.m-ийг солих тухай теорем. тэнцүү функцууд

%%\альфа(х), \альфа_1(х), \бета(х), \бета_1(х)%% b.m байг. %%x \to a%%, болон %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, дараа нь $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ хязгаарууд_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Үүнтэй тэнцэх b.m. функцууд.

%%\alpha(x)%% b.m гэж үзье. %%x дээр функц \to a%%, дараа нь

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Жишээ

$$ \begin(массив)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to) 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(массив) $$

Хязгааргүй том функцууд

%%f(x)%% функцийг дуудна хязгааргүй том(б.б.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%% хувьд, хэрэв аргумент ингэх хандлагатай тул функц нь хязгааргүй хязгаартай бол.

b.m гэх мэт. b.b гэсэн ойлголтыг гүйцэтгэдэг. функц нь аргумент дахь өөрчлөлтийн заалттай салшгүй холбоотой. Бид b.b-ийн тухай ярьж болно. %%x \to a + 0%% болон %%x \to a - 0%% хооронд ажилладаг. "Хязгааргүй том" гэсэн нэр томъёо нь функцийн үнэмлэхүй утгыг илэрхийлдэггүй, харин авч үзсэн цэгийн ойролцоох түүний өөрчлөлтийн шинж чанарыг илэрхийлдэг. Ямар ч тогтмол тоо хэдийгээр үнэмлэхүй утгаараа их байсан ч хязгааргүй их байдаггүй.

Жишээ

1. %%f(x) = 1/x%% функц - b.b. %%x \to 0%% хүртэл.
2. %%f(x) = x%% функц - b.b. at %%x \to \infty%%.

Хэрэв тодорхойлолтуудын нөхцөл $$ \begin(массив)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(массив) $$

дараа нь тэд ярьдаг эерэгэсвэл сөрөгб.б. %%a%% функц дээр.

Жишээ

%%1/(x^2)%% функц нь эерэг b.b. %%x \to 0%% хүртэл.

Б.б. мөн b.m. функцууд

Хэрэв %%f(x)%% бол b.b. хэрэв %%x \to a%% функц бол %%1/f(x)%% нь b.m.

%%x \to a%%. Хэрэв %%\альфа(х)%% бол b.m. %%x \to a%% нь %%a%% цэгийн зарим цоорсон орчмын тэгээс ялгаатай функц бол %%1/\альфа(х)%% нь b.b. %%x \to a%%.

Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд

b.b-ийн хэд хэдэн шинж чанарыг танилцуулъя. функцууд. Эдгээр шинж чанарууд нь b.b-ийн тодорхойлолтоос шууд хамаарна. Төгсгөл хязгаартай функц ба шинж чанарууд, түүнчлэн b.b хоорондын холболтын теоремоос. мөн b.m. функцууд.

1. Хязгаарлагдмал тооны үржвэр b.b. %%x \to a%% функцууд нь b.b. %%x \to a%% дээр функц. Үнэхээр %%f_k(x) бол k = \overline(1, n)%% нь b.b. %%x \to a%%, дараа нь %%a%% %%f_k(x) цэгийн цоорсон зарим хэсэгт \ne 0%% функцууд ба холболтын теоремоор b.b. мөн b.m.функцууд %%1/f_k(x)%% - b.m. %%x \to a%% дээр функц. %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% нь %%x \to a%%, %%\displaystyle\prod^(-д зориулагдсан b.m функц юм. n )_(k = 1)f_k(x)%% — б.б. %%x \to a%% дээр функц.
2. b.b-ийн бүтээгдэхүүн. %%x \to a%% дахь функцууд ба %%a%% цэгийн зарим цоорсон хөршийн абсолют утга нь эерэг тогтмолоос их байх функц нь b.b. %%x \to a%% дээр функц. Тодруулбал, b.b-ийн бүтээгдэхүүн. %%x \to a%% дахь функцууд ба %%a%% цэгт тэгээс өөр хязгаартай функц b.b болно. %%x \to a%% дээр функц.

%%a%% ба b.b цэгийн зарим цоорсон хөршөөр хязгаарлагдсан функцийн нийлбэр. %%x \to a%% дахь функцууд нь b.b. %%x \to a%% дээр функц.

Жишээлбэл, %%x - \sin x%% ба %%x + \cos x%% функцууд нь b.b. at %%x \to \infty%%.

3. Хоёрын нийлбэр b.b. %%x \to a%% дахь функцууд тодорхойгүй байна. Нэр томъёоны тэмдэгээс хамааран ийм нийлбэрийн өөрчлөлтийн шинж чанар нь маш өөр байж болно.

   Жишээ

   %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b функцууд байг. %%x \to \infty%% дээр ажилладаг. Дараа нь:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. функц %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - б.м. функц %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% нь %%x \to \infty%% хооронд хязгааргүй.