სტოქასტური ემპირიული დამოკიდებულება

შემთხვევით ცვლადებს შორის დამოკიდებულებას სტოქასტური დამოკიდებულება ეწოდება. ის გამოიხატება ერთ-ერთი მათგანის (დამოკიდებული ცვლადის) განაწილების კანონის ცვლილებაში, როდესაც იცვლება სხვები (არგუმენტები).

გრაფიკულად სტოქასტური ემპირიული დამოკიდებულება, კოორდინატთა სისტემაში დამოკიდებული ცვლადი - არგუმენტები, არის შემთხვევით განლაგებული წერტილების ნაკრები, რომელიც ასახავს დამოკიდებული ცვლადის ქცევის ზოგად ტენდენციას არგუმენტების ცვლილებისას.

სტოქასტურ ემპირიულ დამოკიდებულებას ერთ არგუმენტზე ეწოდება წყვილის დამოკიდებულება, თუ არსებობს ერთზე მეტი არგუმენტი, მას უწოდებენ მრავალგანზომილებიან დამოკიდებულებას. ორთქლის ოთახის მაგალითი ხაზოვანი დამოკიდებულებანაჩვენებია ნახ. 1.()

ბრინჯი. 1.

ჩვეულებრივი ფუნქციონალური დამოკიდებულებისგან განსხვავებით, რომელშიც არგუმენტის (ან რამდენიმე არგუმენტის) მნიშვნელობის ცვლილებები შეესაბამება დეტერმინისტული დამოკიდებული ცვლადის ცვლილებას, სტოქასტური დამოკიდებულების დროს ხდება ცვლილება შემთხვევითი დამოკიდებული ცვლადის სტატისტიკურ განაწილებაში, კერძოდ. , მათემატიკური მოლოდინი.

მათემატიკური მოდელირების (დაახლოების) ამოცანა

სტოქასტური დამოკიდებულების კონსტრუქციას სხვაგვარად უწოდებენ მათემატიკური მოდელირება(დაახლოება) ანუ მიახლოება და შედგება მისი მათემატიკური გამოხატვის (ფორმულის) პოვნაში.

მათემატიკურ მოდელად განიხილება ემპირიულად დადგენილი ფორმულა (ფუნქცია), რომელიც ასახავს არა ყოველთვის ცნობილ, მაგრამ ობიექტურად არსებულ ჭეშმარიტ ურთიერთობას და შეესაბამება ობიექტებს, ფენომენებს ან მათ თვისებებს შორის ძირითად, სტაბილურ, განმეორებით ურთიერთობას.

საგნების სტაბილური ურთიერთობა და მათი ნამდვილი დამოკიდებულება. მოდელირებულია თუ არა, ის არსებობს ობიექტურად, აქვს მათემატიკური გამოხატულება და განიხილება როგორც კანონი ან მისი შედეგი.

თუ ცნობილია მისგან შესაბამისი კანონი ან შედეგი, მაშინ ბუნებრივია მათი მიჩნევა სასურველ ანალიტიკურ დამოკიდებულებად. მაგალითად, მიმდინარე სიძლიერის ემპირიული დამოკიდებულება მეძაბვის წრეში უდა დატვირთვის წინააღმდეგობა როჰმის კანონიდან გამომდინარეობს:

სამწუხაროდ, ცვლადების ჭეშმარიტი დამოკიდებულება შემთხვევების დიდ უმრავლესობაში აპრიორი უცნობია, ამიტომ საჭიროა მისი გამოვლენა ზოგადი მოსაზრებებისა და თეორიული ცნებების საფუძველზე, ანუ განსახილველი ნიმუშის მათემატიკური მოდელის აგება. მხედველობაში მიიღება, რომ მოცემული ცვლადები და მათი ნამატები შემთხვევითი რყევების ფონზე აისახება მათემატიკური თვისებებისასურველი ჭეშმარიტი დამოკიდებულება (ტანგენტების, ექსტრემის, ფესვების, ასიმპტოტების ქცევა და ა.შ.)

მიახლოებითი ფუნქცია, რომელიც ამა თუ იმ გზით არის შერჩეული, არბილებს (საშუალოდ) შემთხვევით რყევებს დამოკიდებული ცვლადის საწყის ემპირიულ მნიშვნელობებში და, რითაც თრგუნავს შემთხვევით კომპონენტს, არის მიახლოება ჩვეულებრივ კომპონენტთან და, შესაბამისად, სასურველი ჭეშმარიტი დამოკიდებულება.

ემპირიული დამოკიდებულების მათემატიკურ მოდელს აქვს თეორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობა:

· საშუალებას გაძლევთ დაადგინოთ ექსპერიმენტული მონაცემების ადეკვატურობა ამა თუ იმ ცნობილ კანონთან და გამოავლინოთ ახალი შაბლონები;

· წყვეტს დამოკიდებული ცვლადისთვის ინტერპოლაციის პრობლემას არგუმენტების მნიშვნელობების მოცემულ ინტერვალში და პროგნოზის (ექსტრაპოლაციის) ინტერვალის გარეთ.

თუმცა, მიუხედავად რაოდენობების დამოკიდებულების მათემატიკური ფორმულის პოვნის დიდი თეორიული ინტერესისა, პრაქტიკაში ხშირად საკმარისია მხოლოდ იმის დადგენა, არის თუ არა მათ შორის კავშირი და რა არის მისი სიძლიერე.

კორელაციის ანალიზის ამოცანა

ცვალებად რაოდენობას შორის ურთიერთობის შესწავლის მეთოდი არის კორელაციური ანალიზი.

კორელაციის ანალიზის ძირითადი კონცეფცია, რომელიც აღწერს ცვლადებს შორის ურთიერთობას, არის კორელაცია (ინგლისურიდან კორელაცია - კოორდინაცია, კავშირი, ურთიერთობა, ურთიერთობა, ურთიერთდამოკიდებულება).

კორელაციური ანალიზი გამოიყენება სტოქასტური დამოკიდებულების გამოსავლენად და მისი სიძლიერის (მნიშვნელობის) შესაფასებლად კორელაციის კოეფიციენტებისა და კორელაციის კოეფიციენტის სიდიდის მიხედვით.

თუ ცვლადებს შორის აღმოჩენილია კავშირი, მაშინ ამბობენ, რომ კორელაცია არსებობს ან რომ ცვლადები კორელაციაშია.

კავშირის (კორელაციის კოეფიციენტი, კორელაციის კოეფიციენტი) მოდულის სიახლოვის ინდიკატორები მერყეობს 0-დან (კავშირის არარსებობის შემთხვევაში) 1-მდე (სტოქასტური დამოკიდებულების გადაგვარების შემთხვევაში ფუნქციურზე).

სტოქასტური ურთიერთობა ითვლება მნიშვნელოვან (რეალურ), თუ კორელაციის კოეფიციენტის (კორელაციის თანაფარდობის) აბსოლუტური შეფასება მნიშვნელოვანია, ანუ 2-3-ით მეტია კოეფიციენტის შეფასების სტანდარტულ გადახრაზე.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება მოიძებნოს კავშირი ფენომენებს შორის, რომლებიც არ არიან აშკარა მიზეზ-შედეგობრივ კავშირში.

მაგალითად, ზოგიერთ სოფლად, გამოვლინდა პირდაპირი სტოქასტური კავშირი მობუდარი ღეროების რაოდენობასა და დაბადებულ ბავშვებს შორის. ღეროების საგაზაფხულო რიცხვი შესაძლებელს ხდის იმის პროგნოზირებას, თუ რამდენი შვილი დაიბადება წელს, მაგრამ დამოკიდებულება, რა თქმა უნდა, არ ადასტურებს ცნობილ რწმენას და აიხსნება პარალელური პროცესებით:

· ბავშვების დაბადებას, როგორც წესი, წინ უსწრებს დაარსებასთან ერთად ახალი ოჯახების ჩამოყალიბება და დაარსება სოფლის სახლებიდა მეურნეობები;

· ბუდეების შესაძლებლობების გაფართოება იზიდავს ფრინველებს და ზრდის მათ რაოდენობას.

მახასიათებლებს შორის ასეთ კორელაციას ცრუ (წარმოსახვითი) კორელაცია ეწოდება, თუმცა მას შეიძლება ჰქონდეს პრაქტიკული მნიშვნელობა.

მახასიათებლებს შორის დამოკიდებულების გათვალისწინებით, მოდით, პირველ რიგში გამოვყოთ დამოკიდებულება ფაქტორების ცვლილებებსა და შედეგიან მახასიათებლებს შორის, როდესაც ფაქტორული მახასიათებლის ძალიან სპეციფიკური მნიშვნელობა შეესაბამება ეფექტური მახასიათებლის ბევრ შესაძლო მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორე ცვლადის გარკვეულ (პირობით) განაწილებას. ამ დამოკიდებულებას ე.წ სტოქასტური.სტოქასტური დამოკიდებულების კონცეფციის გაჩენა განპირობებულია იმით, რომ დამოკიდებულ ცვლადზე გავლენას ახდენს მთელი რიგი უკონტროლო ან გაუთვალისწინებელი ფაქტორები, აგრეთვე ის ფაქტი, რომ ცვლადების მნიშვნელობების ცვლილებას აუცილებლად თან ახლავს შემთხვევითი შეცდომები. სტოქასტური ურთიერთობის მაგალითია სასოფლო-სამეურნეო კულტურების მოსავლიანობის დამოკიდებულება იგამოყენებული სასუქების მასიდან X.მოსავლიანობას ზუსტად ვერ ვიწინასწარმეტყველებთ, ვინაიდან მასზე გავლენას ახდენს მრავალი ფაქტორი (ნალექი, ნიადაგის შემადგენლობა და ა.შ.). თუმცა, აშკარაა, რომ სასუქების მასის ცვლილებასთან ერთად მოსავლიანობაც შეიცვლება.

სტატისტიკაში შესწავლილია მახასიათებლების დაკვირვებული მნიშვნელობები, ამიტომ ჩვეულებრივ უწოდებენ სტოქასტურ დამოკიდებულებას სტატისტიკური დამოკიდებულება.

შედეგიანი Y მახასიათებლის მნიშვნელობებსა და X ფაქტორის მახასიათებლის მნიშვნელობებს შორის სტატისტიკური ურთიერთობის გაურკვევლობის გამო, საინტერესოა X-ზე საშუალოდ დამოკიდებულების სქემა, ე.ი. პირობითი მათემატიკური მოლოდინით გამოხატული ნიმუში M(Y/X = x)(გამოითვლება ფაქტორის მახასიათებლის ფიქსირებული მნიშვნელობით X = x). ამ სახის დამოკიდებულებებს უწოდებენ რეგრესიადა ფუნქცია ср(х) = M(Y/X = x) - რეგრესიის ფუნქცია Y on Xან პროგნოზი Yავტორი X(აღნიშვნა y x= f(l)). ამავე დროს, ეფექტური ნიშანი იასევე მოუწოდა რეაგირების ფუნქციაან ახსნილი, გამომავალი, შედეგიანი, ენდოგენური ცვლადი და ფაქტორის ნიშანი X - რეგრესორიან განმარტებითი, შეყვანის, პროგნოზირებადი, პროგნოზირებადი, ეგზოგენური ცვლადი.

4.7 ნაწილში დადასტურდა, რომ პირობითი მათემატიკური მოლოდინი M(Y/X) =ср(х) იძლევა Y-ის საუკეთესო პროგნოზს X-დან ფუძე-საშუალო-კვადრატის მნიშვნელობით, ე.ი. M(Y- f(x)) 2 M(Y-g(x)) 2, სადაც g(x) -ნებისმიერი სხვა UPOH პროგნოზი.

ამრიგად, რეგრესია არის ცალმხრივი სტატისტიკური ურთიერთობა, რომელიც ადგენს შესაბამისობას მახასიათებლებს შორის. ფენომენის აღწერის ფაქტორების მახასიათებლების რაოდენობის მიხედვით, არსებობს ორთქლის ოთახიდა მრავალჯერადირეგრესია. მაგალითად, წყვილთა რეგრესია არის რეგრესია წარმოების ხარჯებს (ფაქტორული მახასიათებელი X) და საწარმოს მიერ წარმოებული პროდუქციის მოცულობას შორის (შედეგობრივი მახასიათებელი Y). მრავალჯერადი რეგრესია არის რეგრესია შრომის პროდუქტიულობას (შედეგობრივი მახასიათებელი Y) და წარმოების პროცესების მექანიზაციის დონეს, სამუშაო საათებს, მასალის ინტენსივობასა და მუშაკთა კვალიფიკაციას შორის (ფაქტორების მახასიათებლები X t, X 2, X 3, X 4).

ისინი გამოირჩევიან ფორმის მიხედვით ხაზოვანიდა არაწრფივირეგრესია, ე.ი. წრფივი და არაწრფივი ფუნქციებით გამოხატული რეგრესიები.

მაგალითად, f(X) = ოჰ + კომერსანტი -დაწყვილებული წრფივი რეგრესია; f(X) = aX 2 + + bx + თან -კვადრატული რეგრესია; f(X 1? X 2,..., X გვ) = p 0 4- fi(X(+ p 2 X 2 + ... + p„X w - მრავალჯერადი წრფივი რეგრესია.

სტატისტიკური დამოკიდებულების იდენტიფიცირების პრობლემას ორი მხარე აქვს: დადგენის კავშირის სიმჭიდროვე (სიძლიერე).და განმარტება კომუნიკაციის ფორმები.

ეძღვნება კომუნიკაციის სიახლოვის (სიძლიერის) დამყარებას კორელაციის ანალიზი, რომლის მიზანია ხელმისაწვდომი სტატისტიკური მონაცემების საფუძველზე მიიღონ პასუხები შემდეგ ძირითად კითხვებზე:

• როგორ ავირჩიოთ შესაფერისი სტატისტიკური კავშირის მრიცხველი (კორელაციის კოეფიციენტი, კორელაციის კოეფიციენტი, რანგის კორელაციის კოეფიციენტი და ა.შ.);
• როგორ შევამოწმოთ ჰიპოთეზა, რომ ურთიერთობის მრიცხველის შედეგად მიღებული რიცხვითი მნიშვნელობა ნამდვილად მიუთითებს სტატისტიკური ურთიერთობის არსებობაზე.

განსაზღვრავს კომუნიკაციის ფორმას რეგრესიული ანალიზი.ამ შემთხვევაში, რეგრესიული ანალიზის მიზანია არსებული სტატისტიკური მონაცემების საფუძველზე შემდეგი პრობლემების გადაჭრა:

• რეგრესიის ფუნქციის ტიპის არჩევა (მოდელის შერჩევა);
• შერჩეული რეგრესიის ფუნქციის უცნობი პარამეტრების მოძიება;
• რეგრესიის ფუნქციის ხარისხის ანალიზი და ემპირიულ მონაცემებთან განტოლების ადეკვატურობის შემოწმება;
• შედეგიანი მახასიათებლის უცნობი მნიშვნელობების პროგნოზირება ფაქტორების მახასიათებლების მოცემულ მნიშვნელობებზე დაყრდნობით.

ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ რეგრესიის ცნება კორელაციის ცნების მსგავსია, ვინაიდან ორივე შემთხვევაში საუბარია სტატისტიკურ დამოკიდებულებაზე შესწავლილ მახასიათებლებს შორის. თუმცა, სინამდვილეში მათ შორის მნიშვნელოვანი განსხვავებებია. რეგრესია გულისხმობს მიზეზობრივ კავშირს, როდესაც ეფექტიანი მახასიათებლის პირობითი საშუალო მნიშვნელობის ცვლილება ხდება ფაქტორების მახასიათებლების ცვლილების გამო. კორელაცია არაფერს ამბობს მახასიათებლებს შორის მიზეზობრივი კავშირის შესახებ, ე.ი. თუ არსებობს კორელაცია შორის Xდა Y, მაშინ ეს ფაქტი არ ნიშნავს მნიშვნელობების ცვლილებას Xგანსაზღვრეთ Y-ის პირობითი საშუალო მნიშვნელობის ცვლილება. კორელაცია უბრალოდ აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ ერთი მნიშვნელობის ცვლილებები, საშუალოდ, კორელირებს მეორეში ცვლილებებთან.

ალბათობის თეორია ხშირად აღიქმება, როგორც მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება "ალბათობების გამოთვლას".

და მთელი ეს გაანგარიშება რეალურად მოდის მარტივ ფორმულამდე:

« ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა უდრის მასში შემავალი ელემენტარული მოვლენების ალბათობების ჯამს" პრაქტიკაში, ეს ფორმულა იმეორებს ბავშვობიდან ჩვენთვის ნაცნობ "შელოცვას":

« საგნის მასა უდრის მისი შემადგენელი ნაწილების მასების ჯამს».

აქ განვიხილავთ არც თუ ისე ტრივიალურ ფაქტებს ალბათობის თეორიიდან. ჩვენ ვისაუბრებთ, პირველ რიგში, იმაზე დამოკიდებულიდა დამოუკიდებელიმოვლენები.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ მათემატიკის სხვადასხვა დარგში ერთსა და იმავე ტერმინებს შეიძლება ჰქონდეს სრულიად განსხვავებული მნიშვნელობა.

მაგალითად, როცა ამბობენ, რომ წრის ფართობი სდამოკიდებულია მის რადიუსზე რ, მაშინ, რა თქმა უნდა, ვგულისხმობთ ფუნქციურ დამოკიდებულებას

დამოკიდებულების და დამოუკიდებლობის ცნებებს ალბათობის თეორიაში სულ სხვა მნიშვნელობა აქვს.

დავიწყოთ ამ ცნებების გაცნობა მარტივი მაგალითით.

წარმოიდგინეთ, რომ ამ ოთახში კამათლის სროლის ექსპერიმენტს ატარებთ და თქვენი კოლეგაც გვერდით ოთახში აგდებს მონეტას. დავუშვათ, თქვენ გაინტერესებთ მოვლენა A - თქვენი კოლეგა იღებს "ორს" და მოვლენა B - თქვენი კოლეგა იღებს "კუდს". საღი აზრიმოთხოვნა: ეს მოვლენები დამოუკიდებელია!

მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ ჯერ არ შემოგვიღია დამოუკიდებლობის/დამოუკიდებლობის ცნება, ინტუიციურად ნათელია, რომ დამოუკიდებლობის ნებისმიერი გონივრული განმარტება ისე უნდა იყოს შემუშავებული, რომ ეს მოვლენები განისაზღვროს, როგორც დამოუკიდებელი.

ახლა გადავიდეთ სხვა ექსპერიმენტზე. იყრება კამათელი, მოვლენა A არის ორი და მოვლენა B არის კენტი რაოდენობა. ვივარაუდოთ, რომ ძვალი სიმეტრიულია, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ P(A) = 1/6. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ გეუბნებიან: „ექსპერიმენტის შედეგად მოხდა B მოვლენა, დაეცა კენტი რაოდენობის ქულები“. რა შეგვიძლია ახლა ვთქვათ A მოვლენის ალბათობაზე? გასაგებია, რომ ახლა ეს ალბათობა ნული გახდა.

ჩვენთვის ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ის შეიცვალა.

პირველ მაგალითს რომ დავუბრუნდეთ, შეგვიძლია ვთქვათ ინფორმაციაის ფაქტი, რომ მოვლენა B მოხდა გვერდით ოთახში, არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს იდეებზე A მოვლენის ალბათობის შესახებ. ეს ალბათობა არ შეიცვლებაიქიდან, რომ რაღაც გაიგეთ B მოვლენის შესახებ.

მივდივართ ბუნებრივ და უაღრესად მნიშვნელოვან დასკვნამდე -

თუ ინფორმაცია მოვლენის შესახებ IN მომხდარი ცვლის მოვლენის ალბათობასა , შემდეგ მოვლენებია და IN დამოკიდებულად უნდა ჩაითვალოს და თუ არ იცვლება, მაშინ დამოუკიდებელი.

ამ მოსაზრებებს უნდა მიეცეს მათემატიკური ფორმა, მოვლენების დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა უნდა განისაზღვროს ფორმულების გამოყენებით.

ჩვენ გამოვალთ შემდეგი თეზისიდან: ”თუ A და B არის დამოკიდებული მოვლენები, მაშინ A მოვლენა შეიცავს ინფორმაციას B მოვლენის შესახებ, ხოლო B მოვლენა შეიცავს ინფორმაციას A მოვლენის შესახებ”. როგორ შეგიძლიათ გაარკვიოთ შეიცავს თუ არა? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა თეორია ინფორმაცია.

ინფორმაციის თეორიიდან ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ ერთი ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ ურთიერთინფორმაციის რაოდენობა I(A, B) A და B მოვლენებისთვის.

ჩვენ არ გამოვთვლით ინფორმაციის რაოდენობას სხვადასხვა მოვლენისთვის და არ განვიხილავთ ამ ფორმულას დეტალურად.

ჩვენთვის მნიშვნელოვანია, რომ თუ

მაშინ A და B მოვლენებს შორის ურთიერთინფორმაციის რაოდენობა ნულის ტოლია - მოვლენები A და B დამოუკიდებელი. თუ

მაშინ ურთიერთინფორმაციის რაოდენობა არის მოვლენები A და B დამოკიდებული.

ინფორმაციის ცნებისადმი მიმართვა აქ დამხმარე ხასიათს ატარებს და, როგორც გვეჩვენება, საშუალებას გვაძლევს უფრო ხელშესახები გავხადოთ მოვლენათა დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის ცნებები.

ალბათობის თეორიაში მოვლენების დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა უფრო ფორმალურად არის აღწერილი.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გვჭირდება კონცეფცია პირობითი ალბათობა.

A მოვლენის პირობით ალბათობას, იმ პირობით, რომ B მოვლენა მოხდა (P(B) ≠0), ეწოდება მნიშვნელობა P(A|B), გამოითვლება ფორმულით.

.

მოვლენების დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის გაგებისადმი ჩვენი მიდგომის სულისკვეთებით, შეიძლება ველოდოთ, რომ პირობით ალბათობას ექნება შემდეგი თვისება: თუ მოვლენებს A და B დამოუკიდებელი , ეს

ეს ნიშნავს, რომ ინფორმაცია იმის შესახებ, რომ მოვლენა B მოხდა, არ ახდენს გავლენას A მოვლენის ალბათობაზე.

ასეა საქმე!

თუ მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, მაშინ

დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის A და B გვაქვს

და

ფუნდამენტური იდეა, რომლის წინაშეც დგას სოციალურ-ეკონომიკური პროცესებისა და ფენომენების მკვლევარი, არის ეკონომიკურ ცვლადებს შორის ურთიერთობის ბუნების გაგება. ბაზარზე წარმოქმნილ გარკვეულ პროდუქტზე მოთხოვნა განიხილება ფასის ფუნქციად, აქტივებზე ანაზღაურება დამოკიდებულია საინვესტიციო რისკის ხარისხზე, სამომხმარებლო ხარჯები შეიძლება იყოს შემოსავლის ფუნქცია.
სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების სტატისტიკური ანალიზისა და პროგნოზირების პროცესში აუცილებელია რაოდენობრივად აღწეროთ ყველაზე მნიშვნელოვანი მიმართებები. ფენომენებისა და პროცესების არსის და ბუნების საიმედოდ ასახვისთვის, უნდა განისაზღვროს მიზეზ-შედეგობრივი კავშირები. მიზეზობრიობას ახასიათებს მიზეზისა და შედეგის დროითი თანმიმდევრობა: მიზეზი ყოველთვის წინ უსწრებს შედეგს. თუმცა, სწორი გაგებისთვის, უნდა გამოირიცხოს მოვლენების დამთხვევები, რომლებსაც არ აქვთ მიზეზობრივი კავშირი.
ბევრი სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენი შედეგს ერთდროულად და კუმულაციურად იძლევა აქტიური მიზეზები. ასეთ შემთხვევებში ძირითადი მიზეზები განცალკევებულია მეორადი, უმნიშვნელოსგან.
არსებობს ორი სახის ფენომენი დამოკიდებულებები: ფუნქციონალური,ან მკაცრად დეტერმინისტული და სტატისტიკური, ან სტოქასტურადგანმსაზღვრელი. ზე ფუნქციური დამოკიდებულებათითოეული მნიშვნელობა არა დამოკიდებულიცვლადი x ცალსახად შეესაბამება ძალიან კონკრეტულ მნიშვნელობას დამოკიდებულიცვლადი y. ეს დამოკიდებულებაშეიძლება აღწერილი იყოს, როგორც y = f(x) თანასწორობა. ასეთი მაგალითი დამოკიდებულებებიშეიძლება არსებობდეს მექანიკის კანონები, რომლებიც მოქმედებს მოსახლეობის თითოეული ცალკეული ერთეულისთვის შემთხვევითი გადახრების გარეშე.
სტატისტიკური, ან სტოქასტური დამოკიდებულება, ვლინდება მხოლოდ მასობრივ მოვლენებში, თან დიდი რაოდენობამოსახლეობის ერთეულები. ზე სტოქასტურიარ არსებობს დამოკიდებულებები მოცემულ მნიშვნელობებზე დამოკიდებულიცვლად x-ს შეუძლია მიუთითოს y-ის მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლებიც შემთხვევით მიმოფანტულია ინტერვალში. თითოეული ფიქსირებული არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობების გარკვეულ სტატისტიკურ განაწილებას. ეს განპირობებულია იმით, რომ დამოკიდებულიცვლადზე, გარდა შერჩეული x ცვლადისა, ასევე გავლენას ახდენს სხვა უკონტროლო ან გაუთვალისწინებელი ფაქტორები და ასევე ის ფაქტი, რომ გაზომვის შეცდომები ზედმეტად არის გადანაწილებული. (2, გვ. 12). ვინაიდან ღირებულებები დამოკიდებულიცვლადები ექვემდებარება შემთხვევით გაფანტვას, მათი პროგნოზირება შეუძლებელია საკმარისი სიზუსტით, მაგრამ მხოლოდ მითითებულია გარკვეული ალბათობით. გარეგნული ღირებულებები დამოკიდებულიცვლადები არის შემთხვევითი ცვლადის რეალიზაცია.
ცალმხრივი სტოქასტური დამოკიდებულებაერთი შემთხვევითი ცვლადი მეორისგან ან რამდენიმე სხვა შემთხვევითი ცვლადი განიხილება როგორც რეგრესია. ფუნქცია, რომელიც გამოხატავს ცალმხრივს სტოქასტური დამოკიდებულება,რეგრესიის ფუნქციას ან უბრალოდ რეგრესიას უწოდებენ.
შორის არის განსხვავება ფუნქციური დამოკიდებულებადა რეგრესია. გარდა ამისა, ცვლადი x at ფუნქციური დამოკიდებულება^=f(x) მთლიანად განსაზღვრავს ფუნქციის მნიშვნელობას^, ფუნქცია ინვერსიულია, ე.ი. არსებობს შებრუნებული ფუნქცია x = f(y). რეგრესიის ფუნქციას არ აქვს ეს თვისება. მხოლოდ უკიდურეს შემთხვევაში, როცა სტოქასტური დამოკიდებულებაშედის ფუნქციური დამოკიდებულება,თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ ერთი რეგრესიული განტოლებიდან მეორეზე.
რეგრესიული განტოლების ტიპის ფორმალიზაცია არაადეკვატურია ეკონომიკაში გაზომვებთან და გარკვეული ფორმების ანალიზთან დაკავშირებული მიზნებისთვის. დამოკიდებულებებიცვლადებს შორის. ასეთი პრობლემების გადაწყვეტა ეკონომიკურ ურთიერთობებში დანერგვის შედეგად ხდება შესაძლებელი სტოქასტურიწევრი:
სწავლისას დამოკიდებულებებიგასათვალისწინებელია, რომ რეგრესიის ფუნქცია მხოლოდ ფორმალურად ადგენს შესაბამისობას ცვლადებს შორის, მაშინ როცა ისინი შეიძლება არ იყვნენ მიზეზ-შედეგობრივ კავშირში. ამ შემთხვევაში, ცრუ რეგრესია შეიძლება წარმოიშვას ცვლადების ვარიაციებში შემთხვევითი დამთხვევების გამო, რომლებსაც არ აქვთ მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა. აქედან გამომდინარე, სავალდებულო ნაბიჯი რეგრესიის განტოლების არჩევამდე არის თვისებრივი ანალიზი დამოკიდებულებებიშორის არა დამოკიდებულიცვლადი x და დამოკიდებულიცვლადი y, წინასწარი ჰიპოთეზების საფუძველზე.

დაე, საჭირო გახდეს დამოკიდებულების შესწავლა და ორივე სიდიდე იზომება იმავე ექსპერიმენტებში. ამისათვის ტარდება ექსპერიმენტების სერია სხვადასხვა მნიშვნელობაცდილობს სხვა ექსპერიმენტული პირობების უცვლელად შენარჩუნებას.

თითოეული სიდიდის გაზომვა შეიცავს შემთხვევით შეცდომებს (აქ არ განვიხილავთ სისტემურ შეცდომებს); ამიტომ, ეს მნიშვნელობები შემთხვევითია.

შემთხვევითი ცვლადების ბუნებრივ ურთიერთობას სტოქასტური ეწოდება. განვიხილავთ ორ პრობლემას:

ა) დაადგინეთ არის თუ არა (გარკვეული ალბათობით) დამოკიდებულება ან მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული;

ბ) თუ არსებობს დამოკიდებულება, აღწერეთ რაოდენობრივად.

პირველ ამოცანას ეწოდება დისპერსიის ანალიზი და თუ განიხილება მრავალი ცვლადის ფუნქცია, მაშინ ვარიაციის მრავალვარიანტული ანალიზი. მეორე ამოცანას ეწოდება რეგრესიული ანალიზი. თუ შემთხვევითი შეცდომები დიდია, მაშინ მათ შეუძლიათ შენიღბოს სასურველი დამოკიდებულება და შეიძლება არ იყოს ადვილი მისი ამოცნობა.

ამრიგად, საკმარისია შემთხვევითი ცვლადის გათვალისწინება, რაც დამოკიდებულია პარამეტრზე. ამ მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი დამოკიდებულია იმაზე, რომ ეს დამოკიდებულება სასურველია და მას რეგრესიის კანონი ეწოდება.

დისპერსიის ანალიზი. მოდით, განვახორციელოთ გაზომვების მცირე სერია თითოეული მნიშვნელობისთვის და განვსაზღვროთ. განვიხილოთ ამ მონაცემების დამუშავების ორი გზა, რაც საშუალებას მოგვცემს გამოვიკვლიოთ არის თუ არა z-ის მნიშვნელოვანი (ანუ მიღებული ნდობის ალბათობით) დამოკიდებულება.

პირველ მეთოდში, ერთი გაზომვის შერჩევის სტანდარტები გამოითვლება თითოეული სერიისთვის ცალკე და გაზომვების მთელი ნაკრებისთვის:

სად არის გაზომვების საერთო რაოდენობა და

არის საშუალო მნიშვნელობები, შესაბამისად, თითოეული სერიისთვის და გაზომვების მთელი ნაკრებისთვის.

მოდით შევადაროთ გაზომვების სიმრავლის დისპერსიას ცალკეული სერიების ვარიაციები. თუ აღმოჩნდება, რომ არჩეულ ნდობის დონეზე შესაძლებელია ყველა i-ის გამოთვლა, მაშინ არსებობს z-ის დამოკიდებულება.

თუ არ არის საიმედო ჭარბი, მაშინ დამოკიდებულების გამოვლენა შეუძლებელია (ექსპერიმენტის სიზუსტისა და მიღებული დამუშავების მეთოდის გათვალისწინებით).

ვარიაციები შედარებულია ფიშერის ტესტის გამოყენებით (30). ვინაიდან სტანდარტი s განისაზღვრება N გაზომვების საერთო რაოდენობით, რომელიც ჩვეულებრივ საკმაოდ დიდია, შეგიძლიათ თითქმის ყოველთვის გამოიყენოთ ცხრილი 25-ში მოცემული ფიშერის კოეფიციენტები.

ანალიზის მეორე მეთოდი არის სხვადასხვა მნიშვნელობების საშუალო მაჩვენებლების ერთმანეთთან შედარება. მნიშვნელობები შემთხვევითი და დამოუკიდებელია და მათი შერჩევის სტანდარტები ტოლია

აქედან გამომდინარე, ისინი შედარებულია მე-3 პუნქტში აღწერილი დამოუკიდებელი გაზომვების სქემის მიხედვით. თუ განსხვავებები მნიშვნელოვანია, ანუ აღემატება ნდობის ინტერვალს, მაშინ დადგენილია დამოკიდებულების ფაქტი; თუ განსხვავება 2-ს შორის უმნიშვნელოა, მაშინ დამოკიდებულების გამოვლენა შეუძლებელია.

მრავალვარიანტულ ანალიზს აქვს გარკვეული მახასიათებლები. მიზანშეწონილია გაზომოთ მნიშვნელობა მართკუთხა ბადის კვანძებში, რათა უფრო მოსახერხებელი იყოს ერთ არგუმენტზე დამოკიდებულების შესწავლა, მეორე არგუმენტის დაფიქსირება. მრავალგანზომილებიანი ბადის თითოეულ კვანძზე გაზომვების სერიის განხორციელება ძალიან შრომატევადია. საკმარისია გაზომვების სერიების ჩატარება ქსელის რამდენიმე წერტილში ერთი გაზომვის დისპერსიის შესაფასებლად; სხვა კვანძებში ჩვენ შეგვიძლია შემოვიფარგლოთ ერთი გაზომვით. დისპერსიის ანალიზი ტარდება პირველი მეთოდის მიხედვით.

შენიშვნა 1. თუ გაზომვები ბევრია, მაშინ ორივე მეთოდით ცალკეულმა გაზომვებმა ან სერიამ შეიძლება შესამჩნევი ალბათობით საკმაოდ მკვეთრად გადაუხვიოს მათემატიკური მოლოდინს. ეს გასათვალისწინებელია 1-თან საკმარისად მიახლოებული ნდობის ალბათობის არჩევისას (როგორც გაკეთდა დასაშვები შემთხვევითი შეცდომების უხეში შეცდომის გამიჯვნის ლიმიტების დაყენებისას).

რეგრესიული ანალიზი. დისპერსიის ანალიზმა მიუთითოს, რომ z-ის დამოკიდებულება არის. როგორ გავზომოთ ის?

ამისათვის ჩვენ ვაახლოებთ სასურველ დამოკიდებულებას გარკვეული ფუნქციით, ჩვენ ვპოულობთ პარამეტრების ოპტიმალურ მნიშვნელობებს მეთოდის გამოყენებით უმცირესი კვადრატებიპრობლემის გადაჭრა

სადაც არის საზომი წონები, შერჩეული მოცემულ წერტილში გაზომვის შეცდომის კვადრატის შებრუნებული პროპორციით (ე.ი.). ეს პრობლემა გაანალიზებულია II თავში, § 2. აქ მხოლოდ იმ მახასიათებლებზე ვისაუბრებთ, რომლებიც გამოწვეულია დიდი შემთხვევითი შეცდომების არსებობით.

ტიპი შეირჩევა ან თეორიული მოსაზრებებიდან დამოკიდებულების ბუნების შესახებ, ან ფორმალურად, გრაფიკის შედარებით ცნობილი ფუნქციების გრაფიკებთან. თუ ფორმულა შერჩეულია თეორიული მოსაზრებებიდან და სწორად (თეორიული თვალსაზრისით) გადმოსცემს ასიმპტოტიკას, მაშინ, როგორც წესი, ის საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ ექსპერიმენტული მონაცემების ნაკრების კარგად დაახლოება, არამედ აღმოჩენილი დამოკიდებულების ექსტრაპოლაცია მნიშვნელობების სხვა დიაპაზონებზე. ოფიციალურად შერჩეულ ფუნქციას შეუძლია დამაკმაყოფილებლად აღწეროს ექსპერიმენტი, მაგრამ იშვიათად არის შესაფერისი ექსტრაპოლაციისთვის.

ამოცანის (34) ამოხსნა ყველაზე ადვილია, თუ ის ალგებრული მრავალწევრია, თუმცა, ფუნქციის ასეთი ფორმალური არჩევანი იშვიათად აღმოჩნდება დამაკმაყოფილებელი. როგორც წესი, კარგი ფორმულები არაწრფივად არის დამოკიდებული პარამეტრებზე (ტრანსცენდენტური რეგრესია). ყველაზე მოსახერხებელია ტრანსცენდენტული რეგრესიის აგება ცვლადების ისეთი ნიველირებადი ჩანაცვლების არჩევით, რომ დამოკიდებულება თითქმის წრფივი იყოს (იხ. თავი II, § 1, პუნქტი 8). მაშინ ადვილია მისი მიახლოება ალგებრული მრავალწევრით: .

ცვლადების ნიველირებადი ცვლილებაა მოძიებული თეორიული მოსაზრებების გამოყენებით და ასიმპტოტიკის გათვალისწინებით, შემდგომში ვივარაუდებთ, რომ ასეთი ცვლილება უკვე განხორციელდა.

შენიშვნა 2. ახალ ცვლადებზე გადასვლისას უმცირესი კვადრატების მეთოდის ამოცანა (34) ფორმას იღებს.

სადაც ახალი წონები დაკავშირებულია თავდაპირველ მიმართებასთან

ამიტომ, იმ შემთხვევაშიც კი, თუ თავდაპირველ ფორმულირებაში (34) ყველა გაზომვას ჰქონდა ერთი და იგივე სიზუსტე, ნიველირებადი ცვლადების წონა არ იქნება იგივე.

კორელაციური ანალიზი. აუცილებელია შეამოწმოთ, იყო თუ არა ცვლადების ჩანაცვლება ნამდვილად ნიველირებადი, ანუ არის თუ არა დამოკიდებულება წრფივთან ახლოს. ეს შეიძლება გაკეთდეს წყვილის კორელაციის კოეფიციენტის გაანგარიშებით

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ურთიერთობა ყოველთვის კმაყოფილია

თუ დამოკიდებულება მკაცრად წრფივია (და არ შეიცავს შემთხვევით შეცდომებს), მაშინ ან დამოკიდებულია სწორი ხაზის დახრილობის ნიშანზე. რაც უფრო მცირეა, მით უფრო ნაკლებად ემსგავსება დამოკიდებულება ხაზოვანს. ამიტომ, თუ , და N გაზომვების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაშინ ნიველირებადი ცვლადები არჩეულია დამაკმაყოფილებლად.

კორელაციის კოეფიციენტებზე დაფუძნებული დამოკიდებულების ბუნების შესახებ ასეთ დასკვნებს კორელაციური ანალიზი ეწოდება.

კორელაციური ანალიზი არ საჭიროებს გაზომვების სერიას თითოეულ წერტილში. საკმარისია თითოეულ წერტილში ერთი გაზომვა, მაგრამ შემდეგ შესწავლილ მრუდზე მეტი ქულის აღება, რაც ხშირად ფიზიკურ ექსპერიმენტებში კეთდება.

შენიშვნა 3. არსებობს სიახლოვის კრიტერიუმები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ მიუთითოთ არის თუ არა დამოკიდებულება პრაქტიკულად წრფივი. ჩვენ არ ვჩერდებით მათზე, რადგან მიახლოებითი მრავალწევრის ხარისხის არჩევანი განიხილება ქვემოთ.

შენიშვნა 4. თანაფარდობა მიუთითებს წრფივი დამოკიდებულების არარსებობაზე, მაგრამ არ ნიშნავს რაიმე დამოკიდებულების არარსებობას. ასე რომ, თუ სეგმენტზე - მაშინ

ოპტიმალური ხარისხის მრავალწევრი a. მოდით ჩავანაცვლოთ ხარისხის მიახლოებითი მრავალწევრი ამოცანში (35):

შემდეგ ოპტიმალური პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს სისტემას წრფივი განტოლებები (2.43):

და მათი პოვნა არ არის რთული. მაგრამ როგორ ავირჩიოთ მრავალწევრის ხარისხი?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ცვლადებს და გამოვთვალოთ მიახლოების ფორმულის ვარიაცია ნაპოვნი კოეფიციენტებით. ამ დისპერსიის მიუკერძოებელი შეფასებაა

ცხადია, მრავალწევრის ხარისხის მატებასთან ერთად დისპერსია (40) შემცირდება: რაც უფრო მეტი კოეფიციენტია აღებული, მით უფრო ზუსტად იქნება შესაძლებელი ექსპერიმენტული წერტილების მიახლოება.