ფორმის გამოხატვა დაურეკა ვექტორების წრფივი კომბინაცია A 1 , A 2 ,...,A nშანსებით λ 1, λ 2 ,...,λ n.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს რიცხვების არანულოვანი ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n, რომელზედაც ხაზოვანი კომბინაციავექტორები λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლიაანუ განტოლებათა სისტემა: აქვს არანულოვანი გამოსავალი.
ნომრების ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n ნულოვანია, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც λ 1, λ 2 ,...,λ n განსხვავდება ნულიდან.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივი დამოუკიდებელითუ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლია მხოლოდ რიცხვების ნულოვანი ნაკრებისთვის λ 1, λ 2 ,...,λ n ანუ განტოლებათა სისტემა: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θაქვს უნიკალური ნულოვანი გადაწყვეტა.

მაგალითი 29.1

შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული

გამოსავალი:

1. ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას:

2. ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით. სისტემის ჟორდანანოს გარდაქმნები მოცემულია ცხრილში 29.1. გაანგარიშებისას სისტემის მარჯვენა მხარეები არ იწერება, რადგან ისინი ნულის ტოლია და არ იცვლება იორდანიის გარდაქმნების დროს.

3. ცხრილის ბოლო სამი რიგიდან ჩამოწერეთ გადაწყვეტილი სისტემა, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალისისტემა:

4. ვიღებთ ზოგადი გადაწყვეტასისტემები:

5. თქვენი შეხედულებისამებრ დააყენეთ უფასო ცვლადის მნიშვნელობა x 3 =1, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ არანულოვან ამონახსნებს X=(-3,2,1).

პასუხი: ამგვარად, რიცხვების არანულოვანი სიმრავლისთვის (-3,2,1) ვექტორთა წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი ვექტორის -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. აქედან გამომდინარე, ვექტორული სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორული სისტემების თვისებები

ქონება (1)
თუ ვექტორთა სისტემა სწორხაზოვნად არის დამოკიდებული, მაშინ ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოვდება სხვების მიხედვით და, პირიქით, თუ სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოვდება სხვების მიხედვით, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (2)
თუ ვექტორების რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (3)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ქონება (4)
ვექტორთა ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (5)
m-განზომილებიანი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, თუ ვექტორების რაოდენობა n აღემატება მათ განზომილებას (n>m).

ვექტორული სისტემის საფუძველი

ვექტორული სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n ასეთ ქვესისტემას B 1 , B 2 ,...,B r ეწოდება(თითოეული ვექტორი B 1,B 2,...,B r არის ერთ-ერთი ვექტორი A 1, A 2,..., A n), რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა;
2. ნებისმიერი ვექტორია ჯ სისტემა A 1 , A 2 ,..., A n წრფივად გამოიხატება B 1 , B 2 ,..., B r ვექტორების მეშვეობით

რ— საფუძველში შემავალი ვექტორების რაოდენობა.

თეორემა 29.1 ვექტორთა სისტემის ერთეულის საფუძველზე.

თუ m განზომილებიანი ვექტორების სისტემა შეიცავს m სხვადასხვა ერთეულ ვექტორებს E 1 E 2 ,..., E m , მაშინ ისინი ქმნიან სისტემის საფუძველს.

ვექტორთა სისტემის საფუძვლის პოვნის ალგორითმი

A 1 ,A 2 ,...,A n ვექტორების სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

• შექმენით ვექტორთა სისტემის შესაბამისი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• მოიტანეთ ეს სისტემა

მოდით იყოს ვექტორების კრებული განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცეში .

განმარტება 2.1.ვექტორების ნაკრები დაურეკა წრფივი დამოუკიდებელივექტორთა სისტემა, თუ თანასწორობა ფორმისაა

შესრულებულია მხოლოდ რიცხვითი პარამეტრების ნულოვანი მნიშვნელობებით .

თუ თანასწორობა (2.1) შეიძლება დაკმაყოფილდეს იმ პირობით, რომ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, მაშინ ვექტორთა ასეთი სისტემა ეწოდება წრფივად დამოკიდებული .

მაგალითი 2.1.შეამოწმეთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობა

გამოსავალი.შევქმნათ ფორმის ტოლობა (2.1)

ამ გამოხატვის მარცხენა მხარე შეიძლება გახდეს ნული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია , რაც ნიშნავს, რომ სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 2.1.იქნება ვექტორები? ხაზოვანი დამოუკიდებელი?

გამოსავალი.ადვილია იმის შემოწმება, რომ თანასწორობა შეესაბამება მნიშვნელობებს , . ეს ნიშნავს, რომ ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

თეორემა 2.1. თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ამ სისტემიდან ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სისტემის დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია (ან სუპერპოზიცია).

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული. შემდეგ, განსაზღვრებით, არის რიცხვების ნაკრები , რომელთა შორის სულ მცირე ერთი რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან და ტოლობა (2.1) მოქმედებს:

ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ არანულოვანი კოეფიციენტი არის, ანუ . შემდეგ ბოლო ტოლობა შეიძლება დაიყოს და შემდეგ გამოვხატოთ ვექტორად:

.

ამრიგად, ვექტორი წარმოდგენილია ვექტორების სუპერპოზიციის სახით . თეორემა 1 დადასტურებულია.

შედეგი. თუ არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების ერთობლიობა, მაშინ ამ სიმრავლიდან არც ერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოიხატოს სხვების მიხედვით.

თეორემა 2.2. თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ნულოვან ვექტორს, მაშინ ასეთი სისტემა აუცილებლად იქნება წრფივი დამოკიდებული.

მტკიცებულება. დაე, ვექტორი იყოს ნულოვანი ვექტორი, ანუ .

შემდეგ ვირჩევთ მუდმივებს ( ) შემდეგნაირად:

, .

ამ შემთხვევაში თანასწორობა (2.1) დაკმაყოფილებულია. პირველი წევრი მარცხნივ უდრის ნულს იმის გამო, რომ არის ნულოვანი ვექტორი. დარჩენილი წევრები ნულოვანი ხდება ნულოვანი მუდმივებზე გამრავლებისას ( ). ამრიგად,

ზე , რაც ნიშნავს ვექტორებს წრფივად დამოკიდებული. თეორემა 2.2 დადასტურებულია.

შემდეგი კითხვა, რომელსაც უნდა ვუპასუხოთ, არის რა უდიდესი რიცხვივექტორებს შეუძლიათ შექმნან ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემავ ნ- განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე. 2.1 პუნქტში, ბუნებრივი საფუძველი (1.4) განიხილებოდა:

დადგინდა, რომ განზომილებიანი სივრცის თვითნებური ვექტორი არის ბუნებრივი საფუძვლის ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ანუ თვითნებური ვექტორი. გამოიხატება ბუნებრივ საფუძველზე, როგორც

, (2.2)

სად არის ვექტორის კოორდინატები, რომლებიც ზოგიერთი რიცხვია. მერე თანასწორობა

შესაძლებელია მხოლოდ და, შესაბამისად, ვექტორებისთვის ბუნებრივი საფუძველი ქმნის ხაზობრივად დამოუკიდებელ სისტემას. თუ ამ სისტემას დავუმატებთ თვითნებურ ვექტორს , მაშინ, თეორემა 1-ის დასკვნის საფუძველზე, სისტემა დამოკიდებული იქნება, რადგან ვექტორი გამოიხატება ვექტორებით ფორმულის მიხედვით (2.2).

ეს მაგალითი აჩვენებს, რომ ში ნ-განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე არსებობს ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორებისგან შემდგარი სისტემები. და თუ ამ სისტემას ერთ ვექტორს მაინც დავუმატებთ, მივიღებთ წრფივად დამოკიდებული ვექტორების სისტემას. დავამტკიცოთ, რომ თუ ვექტორების რაოდენობა აღემატება სივრცის განზომილებას, მაშინ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებული.

თეორემა 2.3.განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცეში არ არსებობს სისტემა, რომელიც შედგება მეტი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები.

მტკიცებულება. განვიხილოთ თვითნებური განზომილებიანი ვექტორები:

………………………

დაე . შევქმნათ ვექტორების წრფივი კომბინაცია (2.3) და გავუტოლოთ ნულს:

ვექტორული თანასწორობა (2.4) კოორდინატებისთვის სკალარული ტოლობების ტოლია ვექტორები :

(2.5)

ეს თანასწორობა ქმნის სისტემას ერთგვაროვანი განტოლებებიუცნობ ადამიანებთან ერთად . ვინაიდან უცნობის რიცხვი მეტია განტოლებათა რაოდენობაზე ( ), მაშინ 1-ლი ნაწილის 9.3 თეორემის დასკვნის საფუძველზე, ერთგვაროვან სისტემას (2.5) აქვს არანულოვანი ამონახსნები. შესაბამისად, თანასწორობა (2.4) მოქმედებს ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის , რომელთა შორის ყველა არ არის ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორთა სისტემა (2.3) წრფივად არის დამოკიდებული. თეორემა 2.3 დადასტურებულია.

შედეგი. განზომილებიანი სივრცეში არის სისტემები, რომლებიც შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორებისგან და ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ვექტორებზე მეტს, იქნება წრფივად დამოკიდებული.

განმარტება 2.2.წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა ეწოდება სივრცის საფუძველი, თუ სივრცეში რომელიმე ვექტორი შეიძლება გამოისახოს ამ წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორების წრფივი კომბინაციით.

2.3. ხაზოვანი ვექტორული ტრანსფორმაცია

განვიხილოთ ორი ვექტორი და -განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე.

განმარტება 3.1.თუ ყოველი ვექტორი თუ ერთი და იგივე სივრცის ვექტორი ასოცირდება, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოცემულია განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცის გარკვეული ტრანსფორმაცია.

ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ტრანსფორმაციას. ჩვენ ვექტორს სურათს დავარქმევთ. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ თანასწორობა

. (3.1)

განმარტება 3.2.ტრანსფორმაციას (3.1) დაერქმევა წრფივი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ თვისებებს:

, (3.2)

, (3.3)

სადაც არის თვითნებური სკალარი (რიცხვი).

მოდით განვსაზღვროთ ტრანსფორმაცია (3.1) კოორდინატთა სახით. მოდით ვექტორების კოორდინატები და დამოკიდებულებით შებოჭილი

(3.4)

ფორმულები (3.4) განსაზღვრავს ტრანსფორმაციას (3.1) კოორდინატულ ფორმაში. შანსები ( ) თანასწორობის სისტემები (3.4) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით

ეწოდება ტრანსფორმაციის მატრიცა (3.1).

შემოვიღოთ სვეტის ვექტორები

,

რომლის ელემენტებია ვექტორების კოორდინატები და შესაბამისად, ასე და . ჩვენ ამიერიდან სვეტის ვექტორებს დავარქმევთ ვექტორებს.

შემდეგ ტრანსფორმაცია (3.4) შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით

. (3.5)

ტრანსფორმაცია (3.5) წრფივია მატრიცებზე არითმეტიკული მოქმედებების თვისებების გამო.

განვიხილოთ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია, რომლის გამოსახულება არის ნულოვანი ვექტორი. მატრიცის სახით ეს ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება

, (3.6)

ხოლო კოორდინატთა სახით – წარმოადგენენ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემას

(3.7)

განმარტება 3.3.წრფივ ტრანსფორმაციას ეწოდება არადეგენერატი, თუ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, ე.ი. . თუ დეტერმინანტი გაქრება, მაშინ ტრანსფორმაცია გადაგვარებული იქნება .

ცნობილია, რომ სისტემას (3.7) აქვს ტრივიალური (აშკარა) ამონახსნი - ნული. ეს გამოსავალი უნიკალურია, თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნული.

სისტემის არანულოვანი გადაწყვეტილებები (3.7) შეიძლება გამოჩნდეს, თუ წრფივი ტრანსფორმაცია გადაგვარებულია, ანუ თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

განმარტება 3.4. ტრანსფორმაციის რანგი (3.5) არის ტრანსფორმაციის მატრიცის რანგი.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგივე რიცხვი უდრის მატრიცის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების რაოდენობას.

მოდით მივმართოთ წრფივი ტრანსფორმაციის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას (3.5).

მაგალითი 3.1.მოდით იყოს მოცემული წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცა , სად ავიღოთ თვითნებური ვექტორი , სად და იპოვნეთ მისი სურათი:
შემდეგ ვექტორი
.

თუ , მაშინ ვექტორი შეიცვლება სიგრძესაც და მიმართულსაც. ნახ.1-ში .

თუ , შემდეგ მივიღებთ სურათს

,

ანუ ვექტორი
ან , რაც იმას ნიშნავს, რომ ის მხოლოდ სიგრძეს შეიცვლის, მაგრამ მიმართულებას არ შეცვლის (სურ. 2).

მაგალითი 3.2.დაე , . მოდი ვიპოვოთ სურათი:

,

ანუ
, ან .

ვექტორი გარდაქმნის შედეგად მან შეცვალა მიმართულება საპირისპიროდ, ხოლო ვექტორის სიგრძე შენარჩუნდა (სურ. 3).

მაგალითი 3.3.განვიხილოთ მატრიცა ხაზოვანი ტრანსფორმაცია. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ამ შემთხვევაში ვექტორის გამოსახულება მთლიანად ემთხვევა თავად ვექტორს (სურ. 4). მართლაც,

.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორების წრფივი ტრანსფორმაცია ცვლის თავდაპირველ ვექტორს სიგრძითაც და მიმართულებითაც. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში არის მატრიცები, რომლებიც გარდაქმნიან ვექტორს მხოლოდ მიმართულებით (მაგალითი 3.2) ან მხოლოდ სიგრძით (მაგალითი 3.1, შემთხვევა. ).

უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა ვექტორი, რომელიც ერთსა და იმავე ხაზზე დევს, ქმნის წრფივად დამოკიდებული ვექტორების სისტემას.

დავუბრუნდეთ წრფივ ტრანსფორმაციას (3.5)

და განიხილეთ ვექტორების კოლექცია , რომლის გამოსახულება არის ნულოვანი ვექტორი, ასე რომ .

განმარტება 3.5. ვექტორთა ერთობლიობა, რომელიც წარმოადგენს განტოლების ამოხსნას , ქმნის -განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცის ქვესივრცეს და ე.წ ხაზოვანი ტრანსფორმაციის ბირთვი.

განმარტება 3.6. ხაზოვანი ტრანსფორმაციის დეფექტი ამ ტრანსფორმაციის ბირთვის განზომილება ეწოდება, ანუ, უდიდესი რიცხვიგანტოლების დამაკმაყოფილებელი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები .

ვინაიდან მატრიცის წოდებას ვგულისხმობთ წრფივი ტრანსფორმაციის რანგით, შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი განცხადება მატრიცის დეფექტთან დაკავშირებით: ხარვეზი სხვაობის ტოლი , სად არის მატრიცის განზომილება და არის მისი რანგი.

თუ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცის (3.5) რანგს ვეძებთ გაუსის მეთოდით, მაშინ რანგი ემთხვევა არანულოვანი ელემენტების რაოდენობას უკვე გარდაქმნილი მატრიცის მთავარ დიაგონალზე, ხოლო დეფექტი განისაზღვრება ნულის რიცხვით. რიგები.

თუ წრფივი ტრანსფორმაცია არადეგენერატია, ე.ი , მაშინ მისი დეფექტი ხდება ნული, ვინაიდან ბირთვი ერთადერთი ნულოვანი ვექტორია.

თუ წრფივი ტრანსფორმაცია გადაგვარებულია და , მაშინ სისტემას (3.6) აქვს სხვა ამონახსნები გარდა ნულოვანი ერთის და ხარვეზი ამ შემთხვევაში უკვე განსხვავდება ნულისაგან.

განსაკუთრებით საინტერესოა გარდაქმნები, რომლებიც სიგრძის შეცვლისას არ ცვლიან ვექტორის მიმართულებას. უფრო ზუსტად, ისინი ტოვებენ ვექტორს თავდაპირველი ვექტორის შემცველ ხაზზე, იმ პირობით, რომ ხაზი გადის საწყისზე. ასეთი გარდაქმნები განხილული იქნება მომდევნო პუნქტში 2.4.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა.
ვექტორების საფუძველი. აფინური კოორდინატთა სისტემა

აუდიტორიაში არის ურიკა შოკოლადებით და დღეს ყველა სტუმარი მიიღებს ტკბილ წყვილს - ანალიტიკურ გეომეტრიას ხაზოვანი ალგებრით. ეს სტატია მოიცავს ორ განყოფილებას ერთდროულად. უმაღლესი მათემატიკადა ჩვენ ვნახავთ, როგორ ერწყმიან ისინი ერთ შეფუთვას. დაისვენე, მიირთვით ტვიქსი! ...ჯანდაბა, რა სისულელეა. თუმცა, კარგი, გოლს არ გავიტან, საბოლოო ჯამში, სწავლისადმი დადებითი დამოკიდებულება უნდა გქონდეს.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება, ხაზოვანი ვექტორული დამოუკიდებლობა, ვექტორების საფუძველიდა სხვა ტერმინებს აქვთ არა მხოლოდ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, არამედ, უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული მნიშვნელობა. თავად „ვექტორის“ ცნება წრფივი ალგებრის თვალსაზრისით ყოველთვის არ არის ის „ჩვეულებრივი“ ვექტორი, რომლის გამოსახვაც შეგვიძლია სიბრტყეზე ან სივრცეში. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მტკიცებულება, შეეცადეთ დახატოთ ხუთგანზომილებიანი სივრცის ვექტორი . ან ამინდის ვექტორი, რომელიც ახლახან მივედი Gismeteo-ზე: ტემპერატურა და ატმოსფერული წნევა, შესაბამისად. მაგალითი, რა თქმა უნდა, არასწორია ვექტორული სივრცის თვისებების თვალსაზრისით, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ კრძალავს ამ პარამეტრების ვექტორად ფორმალიზებას. შემოდგომის სუნთქვა...

არა, არ ვაპირებ მოგწყინოთ თეორიით, წრფივი ვექტორული სივრცეებით, ამოცანაა გაგებაგანმარტებები და თეორემები. ახალი ტერმინები (წრფივი დამოკიდებულება, დამოუკიდებლობა, წრფივი კომბინაცია, საფუძველი და ა.შ.) ვრცელდება ყველა ვექტორზე ალგებრული თვალსაზრისით, მაგრამ მოყვანილი იქნება გეომეტრიული მაგალითები. ამრიგად, ყველაფერი მარტივი, ხელმისაწვდომი და გასაგებია. გარდა ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანებისა, ჩვენ ასევე განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ ალგებრის ამოცანებს. მასალის ათვისებისთვის სასურველია გაეცნოთ გაკვეთილებს ვექტორები დუმებისთვისდა როგორ გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი?

სიბრტყის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.
სიბრტყის საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

მოდით განვიხილოთ თქვენი კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყე (მხოლოდ მაგიდა, საწოლის მაგიდა, იატაკი, ჭერი, რაც მოგწონთ). დავალება შედგება შემდეგი მოქმედებებისგან:

1) აირჩიეთ თვითმფრინავის საფუძველი. უხეშად რომ ვთქვათ, მაგიდას აქვს სიგრძე და სიგანე, ამიტომ ინტუიციურია, რომ ორი ვექტორი იქნება საჭირო საფუძვლის ასაგებად. ერთი ვექტორი აშკარად არ არის საკმარისი, სამი ვექტორი ძალიან ბევრია.

2) შერჩეული საფუძველზე დააყენეთ კოორდინატთა სისტემა(კოორდინატთა ბადე) მაგიდაზე ყველა ობიექტს კოორდინატების მინიჭება.

არ გაგიკვირდეთ, თავიდან ახსნა-განმარტებები თითებზე იქნება. უფრო მეტიც, შენზე. გთხოვთ განათავსოთ მარცხენა საჩვენებელი თითიმაგიდის კიდეზე ისე, რომ მონიტორს უყურებს. ეს იქნება ვექტორი. ახლა მოათავსეთ მარჯვენა პატარა თითიმაგიდის კიდეზე იგივენაირად - ისე რომ მონიტორის ეკრანზე იყოს მიმართული. ეს იქნება ვექტორი. გაიღიმე, მშვენივრად გამოიყურები! რა შეგვიძლია ვთქვათ ვექტორებზე? მონაცემთა ვექტორები კოლინარული, რაც ნიშნავს ხაზოვანიგამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით:
, კარგად, ან პირიქით: , სად არის რაიმე რიცხვი ნულისაგან განსხვავებული.

ამ მოქმედების სურათი შეგიძლიათ ნახოთ კლასში. ვექტორები დუმებისთვის, სადაც ავხსენი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი.

თქვენი თითები საფუძველს დააყენებს კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყეს? აშკარად არა. კოლინარული ვექტორები მოძრაობენ წინ და უკან გასწვრივ მარტომიმართულება და თვითმფრინავს აქვს სიგრძე და სიგანე.

ასეთ ვექტორებს ე.წ წრფივად დამოკიდებული.

მითითება: სიტყვები „წრფივი“, „წრფივი“ აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ ქ მათემატიკური განტოლებები, გამონათქვამები არ შეიცავს კვადრატებს, კუბებს, სხვა ძალებს, ლოგარითმებს, სინუსებს და ა.შ. არსებობს მხოლოდ წრფივი (1-ლი ხარისხის) გამონათქვამები და დამოკიდებულებები.

ორი სიბრტყის ვექტორი წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია.

გადააჯვარედინეთ თითები მაგიდაზე ისე, რომ მათ შორის იყოს 0 ან 180 გრადუსის გარდა სხვა კუთხე. ორი სიბრტყის ვექტორიხაზოვანი არადამოკიდებულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი არ არიან კოლინარული. ასე რომ, საფუძველი მიიღება. არ არის საჭირო უხერხულობა, რომ საფუძველი აღმოჩნდა "დახრილი" სხვადასხვა სიგრძის არაპერპენდიკულარული ვექტორებით. ძალიან მალე დავინახავთ, რომ მისი კონსტრუქციისთვის არა მხოლოდ 90 გრადუსიანი კუთხეა შესაფერისი და არა მხოლოდ თანაბარი სიგრძის ერთეული ვექტორები.

ნებისმიერითვითმფრინავის ვექტორი ერთადერთი გზაგაფართოებულია საფუძვლის მიხედვით:
, სადაც არის რეალური რიცხვები. ნომრებს ეძახიან ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე.

იმასაც ამბობენ ვექტორიწარმოდგენილი როგორც ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები. ანუ გამოთქმა ე.წ ვექტორის დაშლასაფუძველზეან ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი იშლება სიბრტყის ორთონორმალური საფუძვლის გასწვრივ, ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგი წარმოდგენილია ვექტორების წრფივი გაერთიანების სახით.

ჩამოვაყალიბოთ საფუძვლის განსაზღვრაფორმალურად: თვითმფრინავის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არასწორხაზოვანი) ვექტორების წყვილი, , ხოლო ნებისმიერისიბრტყის ვექტორი არის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

განმარტების არსებითი პუნქტია ვექტორების აღების ფაქტი გარკვეული თანმიმდევრობით. ბაზები - ეს ორი სრულიად განსხვავებული საფუძველია! როგორც ამბობენ, მარცხენა ხელის პატარა თითს მარჯვენა ხელის პატარა თითის ნაცვლად ვერ ჩაანაცვლებ.

ჩვენ გავარკვიეთ საფუძველი, მაგრამ საკმარისი არ არის კოორდინატთა ბადის დაყენება და კოორდინატების მინიჭება კომპიუტერის მაგიდის თითოეულ ელემენტზე. რატომ არ არის საკმარისი? ვექტორები თავისუფალია და ტრიალებს მთელ სიბრტყეში. მაშ, როგორ მიანიჭოთ კოორდინატები მაგიდაზე იმ პატარა ბინძურ ლაქებს, რომლებიც შემორჩა ველური შაბათ-კვირას? საჭიროა ამოსავალი წერტილი. და ასეთი ღირსშესანიშნაობა ყველასთვის ნაცნობი წერტილია - კოორდინატების წარმოშობა. მოდით გავიგოთ კოორდინატთა სისტემა:

დავიწყებ "სკოლის" სისტემით. უკვე შესავალ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისმე ხაზგასმით აღვნიშნე რამდენიმე განსხვავება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემასა და ორთონორმალურ საფუძველს შორის. აი სტანდარტული სურათი:

როცა საუბრობენ იმაზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ ყველაზე ხშირად ისინი გულისხმობენ საწყისს, კოორდინატულ ღერძებს და მასშტაბებს ღერძების გასწვრივ. სცადეთ საძიებო სისტემაში აკრიფოთ „მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა“ და ნახავთ, რომ მრავალი წყარო გეტყვით მე-5-6 კლასიდან ნაცნობი კოორდინატთა ღერძებისა და სიბრტყეზე წერტილების გამოსახატავად.

მეორე მხრივ, როგორც ჩანს მართკუთხა სისტემაკოორდინატები შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ორთონორმალური საფუძველზე. და ეს თითქმის მართალია. ფორმულირება ასეთია:

წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება დეკარტის მართკუთხა სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა . ანუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა აუცილებლადგანისაზღვრება ერთი წერტილით და ორი ერთეული ორთოგონალური ვექტორებით. სწორედ ამიტომ ხედავთ ნახატს, რომელიც ზემოთ დავწერე - გეომეტრიულ ამოცანებში ხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) არის დახატული ვექტორები და კოორდინატთა ღერძებიც.

ვფიქრობ, ყველას ესმის, რომ წერტილის (წარმოშობის) და ორთონორმალური საფუძვლის გამოყენება ნებისმიერი წერტილი თვითმფრინავზე და ნებისმიერი ვექტორი თვითმფრინავშიკოორდინატები შეიძლება დაინიშნოს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, „თვითმფრინავზე ყველაფერი შეიძლება დაინომროს“.

საჭიროა თუ არა კოორდინატთა ვექტორები იყოს ერთეული? არა, მათ შეიძლება ჰქონდეთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძე. განვიხილოთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძის წერტილი და ორი ორთოგონალური ვექტორი:

ასეთ საფუძველს ე.წ ორთოგონალური. ვექტორებთან კოორდინატების წარმოშობა განისაზღვრება კოორდინატთა ბადით და სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს, ნებისმიერ ვექტორს აქვს თავისი კოორდინატები მოცემულ საფუძველზე. მაგალითად, ან. აშკარა უხერხულობა არის კოორდინატთა ვექტორები ზოგადად შემთხვევაშიაქვთ განსხვავებული სიგრძე, გარდა ერთიანობისა. თუ სიგრძეები უდრის ერთიანობას, მაშინ მიიღება ჩვეულებრივი ორთონორმალური საფუძველი.

! შენიშვნა : ორთოგონალურ საფუძველში, ისევე როგორც ქვემოთ სიბრტყისა და სივრცის აფინურ ფუძეებში, განიხილება ერთეულები ღერძების გასწვრივ. პირობითი. მაგალითად, ერთი ერთეული x-ღერძის გასწვრივ შეიცავს 4 სმ-ს, ერთი ერთეული ორდინატთა ღერძის გასწვრივ შეიცავს 2 სმ-ს.

და მეორე კითხვა, რომელზეც რეალურად უკვე გაცემულია პასუხი, არის თუ არა კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის 90 გრადუსის ტოლი? არა! როგორც განმარტება ამბობს, საბაზისო ვექტორები უნდა იყოს მხოლოდ არაკოლინარული. შესაბამისად, კუთხე შეიძლება იყოს ნებისმიერი, გარდა 0 და 180 გრადუსისა.

თვითმფრინავის წერტილი ე.წ წარმოშობა, და არაკოლინარულივექტორები, , კომპლექტი აფინური სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა :

ზოგჯერ ასეთ კოორდინატულ სისტემას უწოდებენ ირიბისისტემა. როგორც მაგალითები, ნახაზი აჩვენებს წერტილებს და ვექტორებს:

როგორც გესმით, აფინური კოორდინატთა სისტემა კიდევ უფრო ნაკლებად მოსახერხებელია ვექტორებისა და სეგმენტების სიგრძის ფორმულები, რომლებიც გაკვეთილის მეორე ნაწილში განვიხილეთ, მასში არ მუშაობს; ვექტორები დუმებისთვის, ბევრი გემრიელი ფორმულა დაკავშირებული ვექტორების სკალარული პროდუქტი. მაგრამ ვექტორების დამატებისა და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესები, ამ მხრივ სეგმენტის გაყოფის ფორმულები, ისევე როგორც სხვა სახის პრობლემები, რომლებსაც მალე განვიხილავთ, მოქმედებს.

და დასკვნა არის ის, რომ აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევაა დეკარტის მართკუთხა სისტემა. ამიტომ ყველაზე ხშირად გიწევს მისი ნახვა, ჩემო ძვირფასო. ...თუმცა, ამ ცხოვრებაში ყველაფერი ფარდობითია - არის ბევრი სიტუაცია, როდესაც ირიბი კუთხე (ან სხვა, მაგალითად, პოლარული) კოორდინატთა სისტემა. და ჰუმანოიდებს შეიძლება მოსწონდეთ ასეთი სისტემები =)

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე. ამ გაკვეთილის ყველა პრობლემა მოქმედებს როგორც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის, ასევე ზოგადი აფინური შემთხვევისთვის. აქ არაფერია რთული;

როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყის ვექტორების კოლინარულობა?

ტიპიური რამ. იმისათვის, რომ ორი სიბრტყე ვექტორი იყო კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციულიარსებითად, ეს არის აშკარა ურთიერთობის კოორდინატი კოორდინატის დეტალები.

მაგალითი 1

ა) შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორები წრფივი .
ბ) ვექტორები ქმნიან საფუძველს? ?

გამოსავალი:
ა) გავარკვიოთ არის თუ არა ვექტორებისთვის პროპორციულობის კოეფიციენტი, ისეთი, რომ ტოლობები დაკმაყოფილდეს:

მე აუცილებლად გეტყვით ამ წესის გამოყენების "ფოპიშ" ვერსიაზე, რომელიც საკმაოდ კარგად მუშაობს პრაქტიკაში. იდეა არის დაუყოვნებლივ შეადგინოთ პროპორცია და ნახოთ სწორია თუ არა:

შევადგინოთ პროპორცია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების შეფარდებით:

შევამოკლოთ:
, შესაბამისად, შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია, შესაბამისად

ურთიერთობა შეიძლება საპირისპირო იყოს, ეს არის ექვივალენტური ვარიანტი:

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ კოლინარული ვექტორები ერთმანეთის მეშვეობით წრფივად არის გამოხატული. IN ამ შემთხვევაშიარის თანასწორობა . მათი ვალიდობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ვექტორებით ელემენტარული ოპერაციებით:

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). ჩვენ განვიხილავთ ვექტორებს კოლინარობისთვის . მოდით შევქმნათ სისტემა:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , მეორე განტოლებიდან გამომდინარეობს რომ , რაც ნიშნავს სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

გადაწყვეტის გამარტივებული ვერსია ასე გამოიყურება:

ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებიდან შევადგინოთ პროპორცია :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

როგორც წესი, ეს ვარიანტი არ არის უარყოფილი რეცენზენტების მიერ, მაგრამ პრობლემა ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი კოორდინატი ნულის ტოლია. მოსწონს ეს: . ან ასე: . ან ასე: . როგორ ვიმუშაოთ აქ პროპორციით? (ნამდვილად, ნულზე ვერ გაყოფთ). სწორედ ამ მიზეზით მე ვუწოდე გამარტივებულ გადაწყვეტას "ფოპიშ".

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

პატარა შემოქმედებითი მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 2

პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა ვექტორები იქნება ისინი კოლინარული?

ნიმუშის ხსნარში პარამეტრი გვხვდება პროპორციით.

არსებობს ელეგანტური ალგებრული გზა, რათა შევამოწმოთ ვექტორები კოლინარულობაზე, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ და დავამატოთ იგი მეხუთე პუნქტად.

ორი ვექტორისთვის სიბრტყეები ექვივალენტურია შემდეგი განცხადებები :

2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის კოლინარული;

+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისაგან შემდგარი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი.

შესაბამისად, შემდეგი საპირისპირო განცხადებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივია დამოკიდებული;
2) ვექტორები არ ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არის კოლინარული;
4) ვექტორები შეიძლება წრფივად გამოისახოს ერთმანეთის მეშვეობით;
+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

ამის იმედი ნამდვილად მაქვს მომენტშითქვენ უკვე გესმით ყველა ტერმინი და განცხადება, რომელსაც წააწყდებით.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ახალ, მეხუთე პუნქტს: ორი სიბრტყის ვექტორი კოლინარულია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:. ამ ფუნქციის გამოსაყენებლად, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ განმსაზღვრელი.

გადავწყვიტოთმაგალითი 1 მეორე გზით:

ა) გამოვთვალოთ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები კოლინარულია.

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

ეს გამოიყურება ბევრად უფრო კომპაქტური და ლამაზი, ვიდრე პროპორციების მქონე ხსნარი.

განხილული მასალის დახმარებით შესაძლებელია ვექტორების არა მხოლოდ კოლინარობის დადგენა, არამედ სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის დამტკიცება. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა კონკრეტული გეომეტრიული ფორმების შესახებ.

მაგალითი 3

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

მტკიცებულება: არ არის საჭირო პრობლემაში ნახატის აგება, რადგან გამოსავალი იქნება წმინდა ანალიტიკური. გავიხსენოთ პარალელოგრამის განმარტება:
პარალელოგრამი ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში პარალელურია, ეწოდება.

ამრიგად, აუცილებელია დაამტკიცოს:
1) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და;
2) მოპირდაპირე მხარეთა პარალელიზმი და.

ჩვენ ვამტკიცებთ:

1) იპოვნეთ ვექტორები:

2) იპოვნეთ ვექტორები:

შედეგი არის იგივე ვექტორი („სკოლის მიხედვით“ – თანაბარი ვექტორები). კოლინარულობა საკმაოდ აშკარაა, მაგრამ უმჯობესია გადაწყვეტილების ფორმალიზება მკაფიოდ, შეთანხმებით. გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები არის კოლინარული და .

დასკვნა: ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია წყვილებში, რაც ნიშნავს, რომ იგი პარალელოგრამია განსაზღვრებით. ქ.ე.დ.

მეტი კარგი და განსხვავებული ფიგურები:

მაგალითი 4

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი ტრაპეციაა.

მტკიცებულების უფრო მკაცრი ფორმულირებისთვის, რა თქმა უნდა, უკეთესია, მივიღოთ ტრაპეციის განმარტება, მაგრამ საკმარისია უბრალოდ გავიხსენოთ, როგორ გამოიყურება იგი.

ეს არის ამოცანა, რომელიც თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ დამოუკიდებლად. სრული გადაწყვეტა გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი დროა ნელა გადავიდეთ თვითმფრინავიდან კოსმოსში:

როგორ განვსაზღვროთ სივრცის ვექტორების კოლინარულობა?

წესი ძალიან ჰგავს. იმისთვის, რომ ორი სივრცის ვექტორი თანასწორხაზოვანი იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციული..

მაგალითი 5

გაარკვიეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:

ა) ;
ბ)
V)

გამოსავალი:
ა) შევამოწმოთ არის თუ არა პროპორციულობის კოეფიციენტი ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებისთვის:

სისტემას არ აქვს ამონახსნი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

"გამარტივებული" ფორმალიზდება პროპორციის შემოწმებით. ამ შემთხვევაში:
- შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

პასუხი:ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ-გ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტები. სცადეთ ეს ორი გზით.

არსებობს მესამე რიგის განმსაზღვრელი სივრცითი ვექტორების შემოწმების მეთოდი ვექტორთა ნამრავლი.

სიბრტყის შემთხვევის მსგავსად, განხილული ხელსაწყოები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცითი სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის შესასწავლად.

მოგესალმებით მეორე განყოფილებაში:

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა სამგანზომილებიან სივრცეში.
სივრცითი საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

ბევრი ნიმუში, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ თვითმფრინავში, ასევე მოქმედებს სივრცეში. შევეცადე თეორიული შენიშვნები მინიმუმამდე დამეყვანა, რადგან ინფორმაციის ლომის წილი უკვე დაღეჭილია. თუმცა, გირჩევთ, ყურადღებით წაიკითხოთ შესავალი ნაწილი, რადგან გამოჩნდება ახალი ტერმინები და ცნებები.

ახლა, კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყის ნაცვლად, ჩვენ ვიკვლევთ სამგანზომილებიან სივრცეს. პირველი, მოდით შევქმნათ მისი საფუძველი. ვიღაც ახლა სახლშია, ვიღაც გარეთ, მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ჩვენ ვერ გავექცევით სამ განზომილებას: სიგანეს, სიგრძეს და სიმაღლეს. ამიტომ, საფუძვლის ასაგებად, საჭიროა სამი სივრცითი ვექტორი. ერთი-ორი ვექტორი საკმარისი არ არის, მეოთხე ზედმეტია.

და ისევ ვთბებით ჩვენს თითებზე. გთხოვთ ასწიეთ ხელი მაღლა და გაშალეთ სხვადასხვა მიმართულებით ცერა თითი, საჩვენებელი და შუა თითი. ეს იქნება ვექტორები, ისინი სხვადასხვა მიმართულებით იყურებიან, აქვთ სხვადასხვა სიგრძისდა აქვთ სხვადასხვა კუთხე მათ შორის. გილოცავთ, სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი მზად არის! სხვათა შორის, არ არის საჭირო ამის დემონსტრირება მასწავლებლებისთვის, რაც არ უნდა ძნელად ატრიალოთ თითები, მაგრამ არ არის გაქცევა განმარტებებისგან =)

შემდეგი, დავსვათ მნიშვნელოვანი კითხვა: ნებისმიერი სამი ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს?? გთხოვთ, მტკიცედ დააჭიროთ სამი თითი კომპიუტერის მაგიდის ზედა ნაწილზე. რა მოხდა? სამი ვექტორი განლაგებულია ერთ სიბრტყეში და, უხეშად რომ ვთქვათ, დავკარგეთ ერთ-ერთი განზომილება - სიმაღლე. ასეთი ვექტორებია თანაპლენარულიდა, სრულიად აშკარაა, რომ სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი არ არის შექმნილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანაპლენარული ვექტორები არ უნდა იწვნენ ერთ სიბრტყეში, ისინი შეიძლება იყვნენ პარალელურ სიბრტყეში (უბრალოდ არ გააკეთოთ ეს თქვენი თითებით, მხოლოდ სალვადორ დალიმ გააკეთა ეს =)).

განმარტება: ვექტორებს უწოდებენ თანაპლენარული, თუ არის სიბრტყე, რომლის პარალელურია. ლოგიკურია აქ დავამატოთ, რომ თუ ასეთი სიბრტყე არ არსებობს, მაშინ ვექტორები არ იქნება თანაპლენარული.

სამი თანაპლენარული ვექტორი ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ წრფივად გამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით. სიმარტივისთვის, კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ, რომ ისინი ერთ სიბრტყეში არიან. ჯერ ერთი, ვექტორები არ არის მხოლოდ თანაპლენარული, ისინი ასევე შეიძლება იყვნენ კოლინარული, შემდეგ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება გამოისახოს ნებისმიერი ვექტორის საშუალებით. მეორე შემთხვევაში, თუ, მაგალითად, ვექტორები არ არის კოლინარული, მაშინ მესამე ვექტორი გამოიხატება მათ მეშვეობით უნიკალური გზით: (და რატომ არის ადვილი მისახვედრი წინა ნაწილის მასალებიდან).

პირიქითაც მართალია: სამი არათანაბარი ვექტორი ყოველთვის წრფივად დამოუკიდებელია, ანუ ისინი არანაირად არ არიან გამოხატული ერთმანეთის მეშვეობით. და, ცხადია, მხოლოდ ასეთ ვექტორებს შეუძლიათ შექმნან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

განმარტება: სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არათანაბარწონიანი) ვექტორების სამმაგი, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობითდა სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ერთადერთი გზაიშლება მოცემულ საფუძველზე, სადაც არის ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში

შეგახსენებთ, რომ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია სახით ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

კოორდინატთა სისტემის ცნება შემოღებულია ზუსტად ისე, როგორც სიბრტყის შემთხვევაში საკმარისია ერთი წერტილი და ნებისმიერი სამი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი;

წარმოშობა, და არათანაბარივექტორები, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობით, კომპლექტი სამგანზომილებიანი სივრცის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

რა თქმა უნდა, კოორდინატთა ბადე არის „დახრილი“ და მოუხერხებელი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, აგებული კოორდინატთა სისტემა საშუალებას გვაძლევს აუცილებლადგანსაზღვრეთ ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატები და სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. თვითმფრინავის მსგავსად, ზოგიერთი ფორმულა, რომელიც უკვე აღვნიშნე, არ იმუშავებს სივრცის აფინურ კოორდინატულ სისტემაში.

აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე ნაცნობი და მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევა, როგორც ყველა მიხვდება, არის მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა:

წერტილი სივრცეში ე.წ წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება კარტეზიული მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა . ნაცნობი სურათი:

სანამ პრაქტიკულ ამოცანებზე გადავიდოდეთ, კვლავ მოვახდინოთ ინფორმაციის სისტემატიზაცია:

სამი სივრცის ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია;
2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის თანაპლენარული;
4) ვექტორები არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს ერთმანეთის მეშვეობით;
5) განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან, განსხვავდება ნულისაგან.

ვფიქრობ, საპირისპირო განცხადებები გასაგებია.

სივრცის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა ტრადიციულად მოწმდება დეტერმინანტის გამოყენებით (პუნქტი 5). დარჩენილი პრაქტიკული ამოცანებიექნება გამოხატული ალგებრული ხასიათი. დროა ჩამოკიდოთ გეომეტრიის ჯოხი და ატაროთ ხაზოვანი ალგებრის ბეისბოლის ჯოხი:

სივრცის სამი ვექტორითანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია: .

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო მცირე ტექნიკურ ნიუანსზე: ვექტორების კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ სვეტებში, არამედ რიგებშიც (განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება აქედან - იხილეთ განმსაზღვრელთა თვისებები). მაგრამ ეს ბევრად უკეთესია სვეტებში, რადგან უფრო მომგებიანია ზოგიერთი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად.

იმ მკითხველს, ვისაც ცოტათი დაავიწყდა დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები, ან, შესაძლოა, საერთოდ არ ესმით მათ, ვურჩევ ჩემს ერთ-ერთ უძველეს გაკვეთილს: როგორ გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი?

მაგალითი 6

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი ვექტორები სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს:

გამოსავალი: ფაქტობრივად, მთელი ამონახსნი დგება დეტერმინანტის გამოთვლაზე.

ა) გამოვთვალოთ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი ვლინდება პირველ სტრიქონში):

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (არა თანაპლენარული) და ქმნიან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს.

უპასუხე: ეს ვექტორები ქმნიან საფუძველს

ბ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ასევე არსებობს შემოქმედებითი დავალებები:

მაგალითი 7

პარამეტრის რა მნიშვნელობისას იქნება ვექტორები თანაპლენარული?

გამოსავალი: ვექტორები თანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი ნულის ტოლია:

არსებითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება განმსაზღვრელი. ჩვენ ნულებივით ვეშვებით ჟერბოებზე - უმჯობესია განმსაზღვრელი გავხსნათ მეორე ხაზში და დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ მინუსები:

ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ გამარტივებებს და ვამცირებთ საკითხს უმარტივესამდე წრფივი განტოლება:

უპასუხე: ზე

ამის შემოწმება ადვილია, თქვენ უნდა შეცვალოთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განმსაზღვრელში და დარწმუნდეთ, რომ , ისევ გახსნა.

დასასრულს განვიხილავთ კიდევ ერთ ტიპურ პრობლემას, რომელიც უფრო ალგებრული ხასიათისაა და ტრადიციულად შედის ხაზოვანი ალგებრის კურსში. ეს იმდენად გავრცელებულია, რომ იმსახურებს საკუთარ თემას:

დაამტკიცეთ, რომ 3 ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს
და იპოვეთ მე-4 ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

მაგალითი 8

მოცემულია ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს სამგანზომილებიან სივრცეში და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში.

გამოსავალი: ჯერ საქმეს მივუდგეთ. პირობით, მოცემულია ოთხი ვექტორი და, როგორც ხედავთ, მათ უკვე აქვთ კოორდინატები გარკვეულ საფუძველზე. რა არის ეს საფუძველი, ჩვენთვის არ არის საინტერესო. და საინტერესოა შემდეგი: სამ ვექტორს შეუძლია შექმნას ახალი საფუძველი. და პირველი ეტაპი მთლიანად ემთხვევა მე-6 მაგალითის ამოხსნას, აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა ვექტორები ჭეშმარიტად დამოუკიდებელი:

გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს ქმნის.

! მნიშვნელოვანი : ვექტორული კოორდინატები აუცილებლადჩაწერეთ სვეტებადგანმსაზღვრელი, არა სიმებიანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნება დაბნეულობა შემდგომი გადაწყვეტის ალგორითმში.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება

სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას, როგორც წესი, საქმე უწევთ არა ერთ ვექტორთან, არამედ იმავე განზომილების ვექტორების გარკვეულ კომპლექტს. ასეთ აგრეგატებს ე.წ ვექტორთა სისტემადა აღვნიშნავთ

განმარტება.ვექტორთა წრფივი კომბინაციაფორმის ვექტორი ეწოდება

სად არის რეალური რიცხვები. ვექტორზე ასევე ნათქვამია, რომ ხაზოვანი გამოხატულია ვექტორებით ან დაიშალა ამ ვექტორებში.

მაგალითად, მიეცეს სამი ვექტორი: , , . მათი წრფივი კომბინაცია 2, 3 და 4 კოეფიციენტებთან, შესაბამისად, არის ვექტორი

განმარტება.ვექტორთა სისტემის ყველა შესაძლო წრფივი კომბინაციის ერთობლიობას ამ სისტემის წრფივი დიაპაზონი ეწოდება.

განმარტება.არანულოვანი ვექტორების სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებული, თუ არის რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი, ისეთი, რომ მოცემული სისტემის წრფივი კომბინაცია მითითებულ რიცხვებთან ტოლია ნულოვანი ვექტორის:

თუ ვექტორთა მოცემული სისტემის ბოლო ტოლობა შესაძლებელია მხოლოდ , მაშინ ვექტორთა ამ სისტემას ე.წ. წრფივი დამოუკიდებელი.

მაგალითად, ორი ვექტორის სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია; ორი ვექტორიანი სისტემა და წრფივია დამოკიდებული, ვინაიდან .

ვექტორთა სისტემა (19) იყოს წრფივად დამოკიდებული. მოდით ავირჩიოთ ტერმინი ჯამიდან (20), რომელშიც არის კოეფიციენტი და გამოვხატოთ იგი დარჩენილი ტერმინებით:

როგორც ამ თანასწორობიდან ჩანს, წრფივად დამოკიდებული სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი (19) აღმოჩნდა გამოხატული ამ სისტემის სხვა ვექტორებით (ან გაფართოებულია მისი დარჩენილი ვექტორების მიხედვით).

წრფივად დამოკიდებული ვექტორული სისტემის თვისებები

1. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი არანულოვანი ვექტორისგან, წრფივად დამოუკიდებელია.

2. სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული.

3. სისტემა, რომელიც შეიცავს ერთზე მეტ ვექტორს, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მის ვექტორებს შორის არის მინიმუმ ერთი ვექტორი, რომელიც წრფივად არის გამოხატული სხვების მიხედვით.

გეომეტრიული მნიშვნელობაწრფივი დამოკიდებულება სიბრტყეზე ორგანზომილებიანი ვექტორების შემთხვევაში: როდესაც ერთი ვექტორი გამოიხატება მეორის მეშვეობით, გვაქვს, ე.ი. ეს ვექტორები არის კოლინარული, ანუ იგივე, განლაგებულია პარალელურ ხაზებზე.

IN სივრცითი საქმესამი ვექტორის წრფივი დამოკიდებულება, ისინი პარალელურები არიან ერთი სიბრტყის, ე.ი. თანაპლენარული. საკმარისია ამ ვექტორების სიგრძის „გასწორება“ შესაბამისი ფაქტორებით ისე, რომ ერთი მათგანი გახდეს დანარჩენი ორის ჯამი ან მათი მეშვეობით იყოს გამოხატული.

თეორემა.სივრცეში, ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ვექტორებს, წრფივია დამოკიდებული.

მაგალითი.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორები წრფივად დამოკიდებული.

გამოსავალი. გავაკეთოთ ვექტორული ტოლობა. სვეტის ვექტორული ფორმით წერა, მივიღებთ

ამგვარად, პრობლემა სისტემის გადაწყვეტაზე დაყვანილ იქნა

მოდით გადავჭრათ სისტემა გაუსის მეთოდით:

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებათა სისტემას:

რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, რომელთა შორის აუცილებლად არის ერთი არა ნულოვანი, შესაბამისად, ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის ცნებები ძალიან მნიშვნელოვანია ვექტორული ალგებრის შესწავლისას, რადგან მათზეა დაფუძნებული სივრცის განზომილებისა და საფუძვლის ცნებები. ამ სტატიაში მივცემთ განმარტებებს, განვიხილავთ წრფივი დამოკიდებულების და დამოუკიდებლობის თვისებებს, მივიღებთ ალგორითმს ხაზოვანი დამოკიდებულების ვექტორების სისტემის შესასწავლად და დეტალურად გავაანალიზებთ მაგალითების ამონახსნებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების და წრფივი დამოუკიდებლობის განსაზღვრა.

განვიხილოთ p n-განზომილებიანი ვექტორების სიმრავლე, აღვნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად. მოდით გავაკეთოთ ამ ვექტორებისა და თვითნებური რიცხვების წრფივი კომბინაცია (რეალური ან რთული): . n-განზომილებიან ვექტორებზე მოქმედებების განსაზღვრებიდან, აგრეთვე ვექტორების დამატებისა და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ოპერაციების თვისებებზე დაყრდნობით, შეიძლება ითქვას, რომ დაწერილი წრფივი კომბინაცია წარმოადგენს რაღაც n-განზომილებიან ვექტორს, ე.ი. .

ასე მივუახლოვდით ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების განმარტებას.

განმარტება.

თუ წრფივ კომბინაციას შეუძლია ნულოვანი ვექტორის წარმოდგენა, მაშინ როდესაც რიცხვებს შორისაა არის მინიმუმ ერთი არა-ნულოვანი, მაშინ ეწოდება ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

განმარტება.

თუ წრფივი კომბინაცია არის ნულოვანი ვექტორი მხოლოდ მაშინ, როდესაც ყველა რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ ეწოდება ვექტორთა სისტემა წრფივი დამოუკიდებელი.

წრფივი დამოკიდებულების და დამოუკიდებლობის თვისებები.

ამ განმარტებებზე დაყრდნობით ვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების და წრფივი დამოუკიდებლობის თვისებები.

თუ ვექტორთა წრფივად დამოკიდებულ სისტემას დაემატება რამდენიმე ვექტორი, მიღებული სისტემა წრფივად დამოკიდებული იქნება.

მტკიცებულება.

ვინაიდან ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, ტოლობა შესაძლებელია, თუ რიცხვებიდან არის მინიმუმ ერთი არანულოვანი რიცხვი. . დაე .

მოდით დავუმატოთ s მეტი ვექტორი ვექტორების თავდაპირველ სისტემას და ჩვენ ვიღებთ სისტემას. ვინაიდან და , მაშინ ამ სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია არის ფორმის

წარმოადგენს ნულოვანი ვექტორს და. შესაბამისად, ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

თუ რამდენიმე ვექტორი გამოირიცხება ვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემიდან, მაშინ მიღებული სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი იქნება.

მტკიცებულება.

დავუშვათ, რომ მიღებული სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ვექტორთა ამ სისტემაში ყველა უგულებელყოფილი ვექტორის დამატებით, ვიღებთ ვექტორთა თავდაპირველ სისტემას. პირობით, ის წრფივად დამოუკიდებელია, მაგრამ წრფივი დამოკიდებულების წინა თვისების გამო, წრფივად დამოკიდებული უნდა იყოს. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით, ამიტომ ჩვენი ვარაუდი არასწორია.

თუ ვექტორთა სისტემას აქვს მინიმუმ ერთი ნულოვანი ვექტორი, მაშინ ასეთი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მტკიცებულება.

ვექტორთა ამ სისტემაში ვექტორი იყოს ნული. დავუშვათ, რომ ვექტორთა თავდაპირველი სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. მაშინ ვექტორული თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როცა . თუმცა, თუ ავიღებთ რომელიმე, ნულისაგან განსხვავებულს, მაშინ ტოლობა მაინც ჭეშმარიტი იქნება, ვინაიდან . შესაბამისად, ჩვენი ვარაუდი არასწორია და ვექტორთა თავდაპირველი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც წრფივად არის გამოხატული სხვების მიხედვით. თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ვერცერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოიხატოს სხვების მიხედვით.

მტკიცებულება.

პირველი, მოდით დავამტკიცოთ პირველი განცხადება.

დაე, ვექტორთა სისტემა იყოს წრფივად დამოკიდებული, მაშინ არის მინიმუმ ერთი არა ნულოვანი რიცხვი და ტოლობა ჭეშმარიტია. ეს თანასწორობა შეიძლება გადაწყდეს , რადგან ამ შემთხვევაში გვაქვს

შესაბამისად, ვექტორი წრფივად გამოიხატება სისტემის დარჩენილი ვექტორების მეშვეობით, რისი დამტკიცებაც სჭირდებოდა.

ახლა დავამტკიცოთ მეორე განცხადება.

ვინაიდან ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ .

დავუშვათ, რომ სისტემის ზოგიერთი ვექტორი წრფივად არის გამოხატული სხვების მიხედვით. ეს ვექტორი იყოს , მაშინ . ეს თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს, რადგან მის მარცხენა მხარეს არის სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ხოლო ვექტორის წინ კოეფიციენტი განსხვავდება ნულისაგან, რაც მიუთითებს ვექტორთა თავდაპირველი სისტემის წრფივ დამოკიდებულებაზე. ასე რომ, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში, რაც ნიშნავს, რომ ქონება დადასტურებულია.

ბოლო ორი თვისებიდან გამომდინარეობს მნიშვნელოვანი განცხადება:
თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს ვექტორებს და სადაც არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ ის წრფივად არის დამოკიდებული.

წრფივი დამოკიდებულების ვექტორთა სისტემის შესწავლა.

დავსვათ პრობლემა: ჩვენ უნდა დავადგინოთ ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება ან წრფივი დამოუკიდებლობა.

ლოგიკური კითხვაა: "როგორ გადავჭრათ?"

რაღაც სასარგებლო პრაქტიკული თვალსაზრისით შეიძლება ვისწავლოთ ზემოთ განხილული ვექტორების სისტემის ხაზოვანი დამოკიდებულებისა და დამოუკიდებლობის განმარტებებიდან და თვისებებიდან. ეს განმარტებები და თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება შემდეგი შემთხვევები:

რა უნდა გააკეთოს სხვა შემთხვევებში, რომლებიც უმრავლესობაა?

მოდით გავარკვიოთ ეს.

გავიხსენოთ მატრიცის რანგის შესახებ თეორემის ფორმულირება, რომელიც წარმოვადგინეთ სტატიაში.

თეორემა.

დაე r – მატრიცის A რიგით p n-ით, . მოდით M იყოს A მატრიცის საბაზისო მინორი. A მატრიცის ყველა მწკრივი (ყველა სვეტი), რომლებიც არ მონაწილეობენ M საბაზისო მინორის ფორმირებაში, წრფივად არის გამოხატული მატრიცის მწკრივების (სვეტების) მეშვეობით, რომლებიც წარმოქმნის საბაზისო მინორ M-ს.

ახლა ავხსნათ კავშირი მატრიცის რანგის თეორემასა და ხაზოვანი დამოკიდებულების ვექტორების სისტემის შესწავლას შორის.

შევადგინოთ მატრიცა A, რომლის რიგები იქნება შესწავლილი სისტემის ვექტორები:

რას ნიშნავს ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობა?

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის მეოთხე თვისებიდან ვიცით, რომ სისტემის არცერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოიხატოს სხვების მიხედვით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, A მატრიცის არცერთი მწკრივი არ იქნება წრფივად გამოხატული სხვა რიგების მიხედვით, შესაბამისად, ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობა იქნება რანგის(A)=p პირობის ექვივალენტური.

რას ნიშნავს ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება?

ყველაფერი ძალიან მარტივია: A მატრიცის მინიმუმ ერთი მწკრივი წრფივად იქნება გამოხატული სხვების მიხედვით, შესაბამისად, ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება იქნება რანგის (A) პირობის ექვივალენტური.

.

ასე რომ, ხაზოვანი დამოკიდებულების ვექტორების სისტემის შესწავლის პრობლემა მცირდება ამ სისტემის ვექტორებისგან შემდგარი მატრიცის რანგის პოვნის პრობლემამდე.

უნდა აღინიშნოს, რომ p>n-ისთვის ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული იქნება.

კომენტარი: A მატრიცის შედგენისას, სისტემის ვექტორები შეიძლება მივიღოთ არა რიგებად, არამედ სვეტებად.

წრფივი დამოკიდებულების ვექტორთა სისტემის შესწავლის ალგორითმი.

მოდით შევხედოთ ალგორითმს მაგალითების გამოყენებით.

ხაზოვანი დამოკიდებულების ვექტორების სისტემის შესწავლის მაგალითები.

მაგალითი.

მოცემულია ვექტორთა სისტემა. გამოიკვლიეთ იგი ხაზოვანი დამოკიდებულებისთვის.

გამოსავალი.

ვინაიდან c ვექტორი ნულის ტოლია, ვექტორების თავდაპირველი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული მესამე თვისების გამო.

პასუხი:

ვექტორული სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

მაგალითი.

შეისწავლეთ ვექტორთა სისტემა წრფივი დამოკიდებულებისათვის.

გამოსავალი.

არ არის ძნელი შესამჩნევი, რომ c ვექტორის კოორდინატები უდრის ვექტორის შესაბამის კოორდინატებს გამრავლებული 3-ზე, ანუ . მაშასადამე, ვექტორთა თავდაპირველი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.