დახრილობა 2. სწორი ხაზის განტოლება ფერდობთან. ნახეთ, რა არის „სწორი კუთხე“ სხვა ლექსიკონებში

მოდით იმ სიბრტყეზე, სადაც არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, სწორი ხაზი ლგადის M 0 წერტილში მიმართულების ვექტორის პარალელურად ა (სურ. 96).

თუ სწორი ლკვეთს O ღერძს X(N წერტილში), შემდეგ სწორი ხაზის კუთხით ლ O ღერძით Xგავიგებთ α კუთხეს, რომლითაც აუცილებელია O ღერძის შემობრუნება X N წერტილის გარშემო საათის ისრის ბრუნვის საწინააღმდეგო მიმართულებით, ისე, რომ O ღერძი Xსწორ ხაზს დაემთხვა ლ. (ეს ეხება 180°-ზე ნაკლებ კუთხეს.)

ამ კუთხეს ე.წ დახრილობის კუთხე პირდაპირი. თუ სწორი ლ O ღერძის პარალელურად X, მაშინ დახრის კუთხე მიჩნეულია ნულზე (სურ. 97).

სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ეწოდება სწორი ხაზის ფერდობზე და ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოთი კ:

tan α = კ. (1)

თუ α = 0, მაშინ კ= 0; ეს ნიშნავს, რომ ხაზი O ღერძის პარალელურია Xდა მისი დახრილობა ნულის ტოლია.

თუ α = 90°, მაშინ კ= tan α აზრი არ აქვს: ეს ნიშნავს, რომ სწორი ხაზი O ღერძის პერპენდიკულარულია X(ანუ O ღერძის პარალელურად ზე), არ აქვს დახრილობა.

ხაზის დახრილობა შეიძლება გამოითვალოს, თუ ცნობილია ამ ხაზის ნებისმიერი ორი წერტილის კოორდინატები. მიეცით ორი წერტილი წრფეზე: M 1 ( x 1 ; ზე 1) და M 2 ( x 2 ; ზე 2) და მოდით, მაგალითად, 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , ზე 2 > ზე 1 (სურ. 98).

შემდეგ საიდან მართკუთხა სამკუთხედი M 1 PM 2 ვპოულობთ

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

ანალოგიურად დადასტურებულია, რომ ფორმულა (2) ასევე მართალია 90°-ის შემთხვევაში< α < 180°.

ფორმულა (2) უაზრო ხდება თუ x 2 - x 1 = 0, ანუ თუ სწორია ლ O ღერძის პარალელურად ზე. ასეთი სწორი ხაზებისთვის არ არის დახრილობის კოეფიციენტი.

დავალება 1.განსაზღვრეთ წერტილებში გამავალი პრიმის კუთხური კოეფიციენტი

M 1 (3; -5) და M 2 (5; -7).

M 1 და M 2 წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით ფორმულაში (2), მივიღებთ

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) ან კ = -1

დავალება 2.განსაზღვრეთ M 1 (3; 5) და M 2 (3; -2) წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის დახრილობა.

იმიტომ რომ x 2 - x 1 = 0, მაშინ ტოლობა (2) კარგავს თავის მნიშვნელობას. ამ სწორი ხაზისთვის დახრილობა არ არის. სწორი ხაზი M 1 M 2 არის O ღერძის პარალელურად ზე.

დავალება 3.განსაზღვრეთ საწყისზე გამავალი ხაზის დახრილობა და M 1 წერტილი (3; -5)

ამ შემთხვევაში, წერტილი M 2 ემთხვევა წარმოშობას. ფორმულის (2) გამოყენებით ვიღებთ

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

შევქმნათ სწორი ხაზის განტოლება კუთხის კოეფიციენტით კ, წერტილის გავლით

M 1 ( x 1 ; ზე 1). ფორმულის (2) მიხედვით, სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი გამოვლენილია მისი ორი წერტილის კოორდინატებიდან. ჩვენს შემთხვევაში მოცემულია M 1 წერტილი და მეორე პუნქტად შეგვიძლია ავიღოთ ნებისმიერი წერტილი M( X; ზე) სასურველი სწორი ხაზი.

თუ წერტილი M დევს სწორ ხაზზე, რომელიც გადის M 1 წერტილზე და აქვს კუთხური კოეფიციენტი კ, მაშინ (2) ფორმულის ძალით გვაქვს

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

თუ წერტილი M არ დევს წრფეზე, მაშინ ტოლობა (3) არ მოქმედებს. შესაბამისად, ტოლობა (3) არის წრფის განტოლება, რომელიც გადის M 1 წერტილში ( x 1 ; ზე 1) დახრილობით კ; ეს განტოლება ჩვეულებრივ იწერება როგორც

წ- წ 1 = კ(x - x 1). (4)

თუ სწორი ხაზი კვეთს O ღერძს ზერაღაც მომენტში (0; ბ), შემდეგ განტოლება (4) იღებს ფორმას

ზე - ბ = კ (X- 0),

წ = kx + b. (5)

ეს განტოლება ე.წ სწორი ხაზის განტოლება k დახრილობით და საწყისი ორდინატით b.

დავალება 4.იპოვეთ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე √3 x + 3ზე - 7 = 0.

მოდით შევამციროთ ეს განტოლება ფორმამდე

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

აქედან გამომდინარე, კ= tan α = - 1 / √ 3, საიდანაც α = 150°

დავალება 5.დაწერეთ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის P(3; -4) წერტილზე კუთხური კოეფიციენტით. კ = 2 / 5

ჩანაცვლება კ = 2 / 5 , x 1 = 3, წ 1 = - 4 განტოლებაში (4), მივიღებთ

ზე - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) ან 2 X - 5ზე - 26 = 0.

დავალება 6.დაწერეთ განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც გადის Q (-3; 4) წერტილსა და O ღერძის დადებითი მიმართულების კომპონენტს. Xკუთხე 30°.

თუ α = 30°, მაშინ კ= რუჯი 30° = √ 3/3 . მნიშვნელობების (4) განტოლებაში ჩანაცვლება x 1 , წ 1 და კ, ვიღებთ

ზე -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) ან √3 x-3წ + 12 + 3√3 = 0.

IN დეკარტის კოორდინატებიყოველი ხაზი განისაზღვრება პირველი ხარისხის განტოლებით და, პირიქით, პირველი ხარისხის ყველა განტოლება განსაზღვრავს წრფეს.

ფორმის განტოლება

ეწოდება წრფის ზოგადი განტოლება.

ნახატზე დადგენილ კუთხეს ეწოდება სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox-ის ღერძზე. სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტს Ox ღერძზე ეწოდება სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი; ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო k:

განტოლებას ეწოდება დახრილობის მქონე წრფის განტოლება; k არის კუთხოვანი კოეფიციენტი, b არის სეგმენტის მნიშვნელობა, რომელიც მოწყვეტილია Oy ღერძზე სწორი ხაზით, დათვლა საწყისიდან.

თუ სწორი ხაზი მოცემულია ზოგადი განტოლებით

,

მაშინ მისი კუთხური კოეფიციენტი განისაზღვრება ფორმულით

განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წერტილში (, ) და აქვს კუთხური კოეფიციენტი k.

თუ სწორი ხაზი გადის წერტილებს (, ), (, ), მაშინ მისი დახრილობა განისაზღვრება ფორმულით

განტოლება

არის წრფის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში (, ) და (, ).

თუ ცნობილია ორი სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტები, მაშინ ამ სწორ ხაზებს შორის ერთ-ერთი კუთხე განისაზღვრება ფორმულით.

.

ორი სწორი ხაზის პარალელურობის ნიშანია მათი კუთხური კოეფიციენტების თანასწორობა:.

ორი სწორი ხაზის პერპენდიკულარულობის ნიშანი არის თანაფარდობა, ან.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პერპენდიკულარული ხაზების კუთხური კოეფიციენტები შებრუნებულია აბსოლუტური მნიშვნელობით და საპირისპირო ნიშნით.

4. წრფის ზოგადი განტოლება

განტოლება

Ah+Bu+C=0

(სად A, B, Cშეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი მნიშვნელობა, რამდენადაც კოეფიციენტები A, Bარ იყო ორივე ნული ერთდროულად) წარმოადგენს სწორი ხაზი. ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ტიპის განტოლებით. ამიტომაც ეძახიან ხაზის ზოგადი განტოლება.

თუ აX, მაშინ ის წარმოადგენს სწორ ხაზს, OX ღერძის პარალელურად.

თუ IN=0, ანუ განტოლება არ შეიცავს ზე, მაშინ ის წარმოადგენს სწორ ხაზს, OY ღერძის პარალელურად.

კოღლა INარ არის ნულის ტოლი, მაშინ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება შეიძლება იყოს გადაწყვეტა ორდინატთან შედარებითზე , შემდეგ ის გარდაიქმნება ფორმაში

(სად a=-A/B; b=-C/B).

ანალოგიურად, როცა აარანულოვანი ზოგადი განტოლებასწორი ხაზი შეიძლება გადაწყდეს შედარებით X.

თუ თან=0, ანუ წრფის ზოგადი განტოლება არ შეიცავს თავისუფალ წევრს, მაშინ იგი წარმოადგენს საწყისზე გამავალ წრფეს.

5. მოცემულ წერტილში მოცემული დახრილობით გამავალი სწორი წრფის განტოლება

მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება ა(x 1 , წ 1) მოცემული მიმართულებით, განსაზღვრული ფერდობზე კ,

წ - წ 1 = კ(x - x 1). (1)

ეს განტოლება განსაზღვრავს ხაზების ფანქარს, რომელიც გადის წერტილს ა(x 1 , წ 1), რომელსაც სხივის ცენტრს უწოდებენ.

6. ორ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება.

. ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება: ა(x 1 , წ 1) და ბ(x 2 , წ 2), დაწერილი ასე:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი განისაზღვრება ფორმულით

7. წრფის განტოლება მონაკვეთებში

თუ წრფის ზოგად განტოლებაში, მაშინ (1)-ზე გაყოფით მივიღებთ წრფის განტოლებას სეგმენტებად

სად,. სწორი ხაზი კვეთს ღერძს წერტილში, ღერძი წერტილში.

8. ფორმულა: კუთხე სიბრტყეზე სწორ ხაზებს შორის

უ მიზანი α ორ სწორ ხაზს შორის, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით: y=k 1 x+b 1 (პირველი ხაზი) ​​და y=k 2 x+b 2 (მეორე სწორი ხაზი), შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით (კუთხე იზომება 1-ლი სწორი ხაზიდან მე-2-მდე საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ):

9. ორი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია სიბრტყეზე.

მოდით ახლა ორივე განტოლებებისწორი ხაზები იწერება ზოგადი ფორმით.

თეორემა. დაე

- გენერალი განტოლებებიორი სწორი ხაზი კოორდინაცია Oxy თვითმფრინავი. მერე

1) თუ, მაშინ სწორიდა ემთხვევა;

2) თუ , მაშინ სწორი და

პარალელურად;

3) თუ, მაშინ სწორიიკვეთება.

მტკიცებულება. მდგომარეობა ნორმალურის კოლინარობის ტოლფასია ვექტორებიპირდაპირი მონაცემები:

ამიტომ, თუ, მაშინ სწორიიკვეთება.

თუ , შემდეგ , , და განტოლება პირდაპირიიღებს ფორმას:

ან , ე.ი. სწორიმატჩი. გაითვალისწინეთ, რომ პროპორციულობის კოეფიციენტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ზოგადის ყველა კოეფიციენტი განტოლებებიიქნება ნულის ტოლი, რაც შეუძლებელია.

თუ სწორიარ ემთხვევა და არ იკვეთება, მაშინ საქმე რჩება, ე.ი. სწორიპარალელურად.

თეორემა დადასტურდა.

ფიგურა გვიჩვენებს სწორი ხაზის დახრილობის კუთხეს და მიუთითებს ფერდობის მნიშვნელობაზე სხვადასხვა ვარიანტებისწორი ხაზის მდებარეობა შედარებით მართკუთხა სისტემაკოორდინატები

Ox-ის ღერძის მიმართ დახრილობის ცნობილი კუთხით სწორი ხაზის დახრილობის პოვნა არ წარმოადგენს რაიმე სირთულეს. ამისათვის საკმარისია გავიხსენოთ კუთხოვანი კოეფიციენტის განმარტება და გამოვთვალოთ დახრილობის კუთხის ტანგენსი.

მაგალითი.

იპოვეთ სწორი ხაზის დახრილობა, თუ მისი დახრილობის კუთხე აბსცისის ღერძზე ტოლია.

გამოსავალი.

პირობის მიხედვით. შემდეგ, სწორი ხაზის დახრილობის განსაზღვრით, ჩვენ ვიანგარიშებთ .

პასუხი:

სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის პოვნა x ღერძზე ცნობილი დახრილობით ცოტა უფრო რთულია. აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფერდობის ნიშანი. როდესაც სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე მწვავეა და გვხვდება როგორც . როდესაც სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე ბლაგვია და შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით .

მაგალითი.

განსაზღვრეთ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე აბსცისის ღერძის მიმართ, თუ მისი დახრილობა უდრის 3-ს.

გამოსავალი.

ვინაიდან პირობითად კუთხოვანი კოეფიციენტი დადებითია, სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox ღერძზე მწვავეა. ჩვენ ვიანგარიშებთ მას ფორმულის გამოყენებით.

პასუხი:

მაგალითი.

სწორი ხაზის დახრილობა არის . განსაზღვრეთ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox-ის ღერძზე.

გამოსავალი.

აღვნიშნოთ k არის სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი, - ამ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით. იმიტომ რომ , შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას შემდეგი ფორმის წრფის დახრის კუთხის საპოვნელად . ჩვენ ვანაცვლებთ მასში მოცემულ მონაცემებს: .

პასუხი:

სწორი ხაზის განტოლება კუთხოვანი კოეფიციენტით.

სწორი ხაზის განტოლება დახრილობასთანაქვს ფორმა, სადაც k არის წრფის დახრილობა, b არის რეალური რიცხვი. სწორი ხაზის განტოლება კუთხოვანი კოეფიციენტით შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი სწორი ხაზის დასადგენად, არა ღერძის პარალელურად Oy (ორდინატთა ღერძის პარალელურად სწორი ხაზისთვის, დახრილობა არ არის განსაზღვრული).

მოდით შევხედოთ ფრაზის მნიშვნელობას: ”სწორი ხაზი სიბრტყეზე ფიქსირებულ კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია განტოლებით ”ფორმის კუთხური კოეფიციენტით”. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება კმაყოფილდება წრფის რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება სიბრტყის სხვა წერტილების კოორდინატებით. ამრიგად, თუ წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი ტოლობა, მაშინ სწორი ხაზი გადის ამ წერტილში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, წერტილი არ დევს ხაზზე.

მაგალითი.

სწორი ხაზი მოცემულია დახრილობის განტოლებით. წერტილებიც ამ ხაზს ეკუთვნის?

გამოსავალი.

მოდით შევცვალოთ წერტილის კოორდინატები სწორი ხაზის თავდაპირველ განტოლებაში დახრილობით: . ჩვენ მივიღეთ სწორი ტოლობა, ამიტომ წერტილი M 1 დევს წრფეზე.

წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებისას ვიღებთ არასწორ ტოლობას: . ამრიგად, წერტილი M 2 არ დევს ხაზზე.

პასუხი:

წერტილი M 1 ეკუთვნის ხაზს, M 2 არა.

უნდა აღინიშნოს, რომ კუთხური კოეფიციენტის მქონე სწორი ხაზის განტოლებით განსაზღვრული სწორი წრფე გადის წერტილში, ვინაიდან მისი კოორდინატების განტოლებაში ჩანაცვლებისას მივიღებთ სწორ ტოლობას: .

ამრიგად, სწორი ხაზის განტოლება კუთხოვანი კოეფიციენტით განსაზღვრავს სიბრტყეზე სწორ ხაზს, რომელიც გადის წერტილს და ქმნის კუთხეს x-ღერძის დადებითი მიმართულებით და .

მაგალითად, მოდით გამოვსახოთ სწორი ხაზი, რომელიც განისაზღვრება სწორი ხაზის განტოლებით ფორმის კუთხური კოეფიციენტით. ეს ხაზი გადის წერტილს და აქვს დახრილობა რადიანები (60 გრადუსი) Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით. მისი დახრილობა უდრის.

მოცემულ წერტილში გამავალი დახრილობის სწორი ხაზის განტოლება.

ახლა ჩვენ გადავჭრით ძალიან მნიშვნელოვან პრობლემას: მივიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას მოცემული დახრილობით k და წერტილის გავლით.

ვინაიდან ხაზი გადის წერტილში, თანასწორობა მართალია . ჩვენ არ ვიცით ნომერი b. მის მოსაშორებლად ბოლო ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს სწორი ხაზის განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს გამოვაკლებთ დახრილობის კოეფიციენტით. ამ შემთხვევაში ვიღებთ . ეს თანასწორობაა სწორი ხაზის განტოლება მოცემული დახრილობით k, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში.

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი.

დაწერეთ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება, ამ წრფის დახრილობა არის -2.

გამოსავალი.

იმ მდგომარეობიდან რაც გვაქვს . მაშინ სწორი ხაზის განტოლება კუთხური კოეფიციენტით მიიღებს ფორმას.

პასუხი:

მაგალითი.

დაწერეთ სწორი წრფის განტოლება, თუ ცნობილია, რომ ის გადის წერტილში და დახრილობის კუთხე Ox-ის ღერძის დადებითი მიმართულებით უდრის.

გამოსავალი.

ჯერ გამოვთვალოთ წრფის დახრილობა, რომლის განტოლებას ვეძებთ (ეს პრობლემა ამ სტატიის წინა პუნქტში გადავჭრით). განსაზღვრებით . ახლა ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, რომ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება კუთხის კოეფიციენტით:

პასუხი:

მაგალითი.

დაწერეთ კუთხური კოეფიციენტის მქონე წრფის განტოლება, რომელიც გადის წრფის პარალელურ წერტილში.

გამოსავალი.

ცხადია, პარალელური წრფეების დახრილობის კუთხეები Ox-ის ღერძზე ემთხვევა (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია წრფეთა პარალელიზმი), შესაბამისად, პარალელური წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლია. მაშინ სწორი ხაზის დახრილობა, რომლის განტოლებაც უნდა მივიღოთ, უდრის 2-ს, ვინაიდან სწორი ხაზის დახრილობა უდრის 2-ს. ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ სწორი ხაზის საჭირო განტოლება დახრილობით:

პასუხი:

კუთხის კოეფიციენტის მქონე წრფის განტოლებიდან გადასვლა წრფის სხვა ტიპის განტოლებაზე და პირიქით.

მიუხედავად ყველა ნაცნობობისა, სწორი ხაზის განტოლება კუთხოვანი კოეფიციენტით ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი გამოსაყენებლად პრობლემების გადაჭრისას. ზოგიერთ შემთხვევაში, პრობლემების გადაჭრა უფრო ადვილია, როდესაც წრფის განტოლება წარმოდგენილია სხვა ფორმით. მაგალითად, სწორი ხაზის განტოლება კუთხური კოეფიციენტით არ გაძლევთ საშუალებას დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები ან სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები. ამიტომ, თქვენ უნდა ისწავლოთ კუთხის კოეფიციენტის მქონე სწორი ხაზის განტოლებიდან ამ სწორი ხაზის სხვა ტიპის განტოლებაზე გადასვლა.

სწორი ხაზის განტოლებიდან კუთხოვანი კოეფიციენტით მარტივია სწორი ხაზის კანონიკური განტოლების მიღება ფორმის სიბრტყეზე. . ამისთვის b ტერმინს განტოლების მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, შემდეგ მიღებული ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ k დახრილობაზე: . ეს მოქმედებები მიგვიყვანს სწორი ხაზის განტოლებიდან კუთხური კოეფიციენტით კანონიკური განტოლებაპირდაპირი.

მაგალითი.

მიეცით სწორი ხაზის განტოლება კუთხის კოეფიციენტით კანონიკურ ფორმამდე.

გამოსავალი.

შევასრულოთ საჭირო გარდაქმნები: .

პასუხი:

მაგალითი.

სწორი ხაზი მოცემულია სწორი ხაზის განტოლებით კუთხოვანი კოეფიციენტით. არის თუ არა ვექტორი ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი?

გამოსავალი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად გადავიდეთ სწორი ხაზის განტოლებიდან კუთხის კოეფიციენტით ამ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაზე: . ვიცით, რომ x და y ცვლადების კოეფიციენტები წრფის ზოგად განტოლებაში არის ამ წრფის ნორმალური ვექტორის შესაბამისი კოორდინატები, ანუ წრფის ნორმალური ვექტორი. . აშკარაა, რომ ვექტორი ვექტორთან არის კოლინარული, ვინაიდან მიმართება მოქმედებს (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია). ამრიგად, თავდაპირველი ვექტორი ასევე ნორმალური ხაზის ვექტორია და, შესაბამისად, არის ნორმალური ვექტორი და ორიგინალური ხაზი.

პასუხი:

დიახ, ეს არის.

ახლა კი ჩვენ მოვაგვარებთ შებრუნებულ ამოცანას - სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების კუთხის კოეფიციენტის მქონე სწორი ხაზის განტოლებამდე შემცირების პრობლემას.

ფორმის ზოგადი სწორხაზოვანი განტოლებიდან , რომელშიც ძალიან ადვილია დახრის კოეფიციენტით განტოლებაზე გადასვლა. ამისათვის თქვენ უნდა ამოხსნათ წრფის ზოგადი განტოლება y-ის მიმართ. ამ შემთხვევაში ვიღებთ. შედეგად მიღებული ტოლობა არის სწორი ხაზის განტოლება, რომლის კუთხური კოეფიციენტი ტოლია .

წინა თავში ნაჩვენები იყო, რომ თვითმფრინავზე გარკვეული კოორდინატთა სისტემის არჩევით შეგვიძლია გეომეტრიული თვისებები, რომელიც ახასიათებს განსახილველი წრფის წერტილებს, ანალიტიკურად გამოიხატება მიმდინარე კოორდინატებს შორის განტოლებით. ამრიგად, მივიღებთ წრფის განტოლებას. ეს თავი განიხილავს სწორი ხაზების განტოლებებს.

სწორი ხაზის განტოლების შესაქმნელად დეკარტის კოორდინატებში, თქვენ უნდა როგორმე დააყენოთ პირობები, რომლებიც განსაზღვრავს მის პოზიციას კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში.

პირველ რიგში, ჩვენ გავაცნობთ წრფის კუთხური კოეფიციენტის კონცეფციას, რომელიც არის სიბრტყეზე წრფის პოზიციის დამახასიათებელი ერთ-ერთი სიდიდე.

სწორი ხაზის დახრილობის კუთხეს Ox ღერძზე ვუწოდოთ კუთხე, რომლითაც საჭიროა Ox ღერძის შემობრუნება ისე, რომ იგი დაემთხვეს მოცემულ წრფეს (ან აღმოჩნდეს მის პარალელურად). როგორც ყოველთვის, ჩვენ განვიხილავთ კუთხეს ნიშნის გათვალისწინებით (ნიშანი განისაზღვრება ბრუნის მიმართულებით: საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ან საათის ისრის მიმართულებით). ვინაიდან Ox-ის ღერძის დამატებითი ბრუნვა 180°-იანი კუთხით კვლავ გაათანაბრებს მას სწორ ხაზთან, სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე არ შეიძლება ცალსახად შეირჩეს (ტერმინამდე, რომელიც არის ჯერადი). .

ამ კუთხის ტანგენსი განისაზღვრება ცალსახად (რადგან კუთხის შეცვლა არ ცვლის მის ტანგენტს).

სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტს Ox ღერძზე ეწოდება სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი.

კუთხოვანი კოეფიციენტი ახასიათებს სწორი ხაზის მიმართულებას (აქ არ განვასხვავებთ სწორი ხაზის ორ ერთმანეთის საპირისპირო მიმართულებას). თუ წრფის დახრილობა ნულის ტოლია, მაშინ წრფე პარალელურია x-ღერძის. დადებითი კუთხური კოეფიციენტით სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox ღერძის მიმართ იქნება მწვავე (აქ განვიხილავთ დახრილობის კუთხის უმცირეს დადებით მნიშვნელობას) (სურ. 39); უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია კუთხოვანი კოეფიციენტი, მით მეტია მისი დახრის კუთხე Ox ღერძის მიმართ. თუ კუთხური კოეფიციენტი უარყოფითია, მაშინ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე Ox-ის ღერძზე ბლაგვი იქნება (სურ. 40). გაითვალისწინეთ, რომ Ox ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს არ აქვს კუთხის კოეფიციენტი (კუთხის ტანგენსი არ არსებობს).

ტანგენტის წარმოებულის პოვნასთან დაკავშირებული პრობლემები შედის მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში და იქ ყოველწლიურად გვხვდება. ამავე დროს, სტატისტიკა ბოლო წლებშიგვიჩვენებს, რომ მსგავსი ამოცანები გარკვეულ სირთულეებს უქმნის კურსდამთავრებულებს. ამიტომ, თუ სტუდენტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების შემდეგ ელოდება ღირსეული ქულების მიღებას, მაშინ მან აუცილებლად უნდა ისწავლოს როგორ გაუმკლავდეს პრობლემებს განყოფილებიდან „ტანგენსის კუთხის კოეფიციენტი, როგორც წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში“. მომზადებული შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალის სპეციალისტების მიერ. მათი ამოხსნის ალგორითმის გაგების შემდეგ, სტუდენტი შეძლებს წარმატებით გადალახოს სასერტიფიკაციო ტესტი.

მაჩვენებლები

გადაწყვეტის დაწყება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პრობლემებიამ თემაზე აუცილებელია გავიხსენოთ ძირითადი განმარტება: ფუნქციის წარმოებული წერტილში ტოლია ამ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობისა. ეს არის რა გეომეტრიული მნიშვნელობაწარმოებული.

არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი განმარტება, რომელიც უნდა განახლდეს. ასე ჟღერს: კუთხის კოეფიციენტი უდრის აბსცისის ღერძზე ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენტს.

სხვა რა მნიშვნელოვანი პუნქტებიღირს აღნიშვნა ამ თემაში? ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში წარმოებულის პოვნასთან დაკავშირებით ამოცანების გადაჭრისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხე შეიძლება იყოს 90 გრადუსზე ნაკლები, 90 გრადუსზე მეტი ან ნულის ტოლი.

როგორ მოვემზადოთ გამოცდისთვის?

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე დავალებები თემაზე „ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი, როგორც წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში“ საკმაოდ მარტივად მოგეცემათ, გამოიყენეთ ინფორმაცია ამ განყოფილებაში შკოლკოვოს საგანმანათლებლო პორტალზე, როდესაც ემზადება საბოლოო გამოცდისთვის. აქ ნახავთ ჩვენი სპეციალისტების მიერ შეგროვებულ და ნათლად წარმოდგენილ აუცილებელ თეორიულ მასალას და ასევე შეძლებთ სავარჯიშოების შესრულებას.

თითოეული ამოცანისთვის, მაგალითად, ამოცანები თემაზე „ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი, როგორც დახრილობის კუთხის ტანგენსი“, ჩვენ დავწერეთ სწორი პასუხი და ამოხსნის ალგორითმი. ამავდროულად, სტუდენტებს შეუძლიათ შეასრულონ სხვადასხვა სირთულის სავარჯიშოები ონლაინ. საჭიროების შემთხვევაში, ამოცანის შენახვა შესაძლებელია განყოფილებაში „რჩეულები“, რათა მოგვიანებით განიხილოთ მისი გადაწყვეტა მასწავლებელთან.