თეორემები უდიდეს და უმცირეს ნატურალურ რიცხვებზე. ნატურალური რიცხვის სიმრავლე-თეორიული მნიშვნელობა, ნული და მიმართება „ნაკლები“. კითხვების ნიმუში მათემატიკური ანალიზის შესახებ

ნატურალური რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც გამოიყენება ობიექტების დათვლაში. ის წარმოიშვა ადამიანის პრაქტიკული მოთხოვნილებებიდან. ნატურალური რიცხვის ცნების შემუშავება შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ეტაპად: 1. ძველმა ადამიანებმა სიმრავლეების შესადარებლად დაადგინეს შესაბამისობები: მაგალითად, იგივეა, რაც ხელზე თითი. მინუსი - შედარებული კომპლექტები ერთდროულად უნდა ჩანდეს. 2. ბევრი - შუამავალი, მაგალითად, ქვები, ჭურვები, ჩხირები. რიცხვის კონცეფცია ჯერ არ არის დასრულებული. და რიცხვები მიბმულია კონკრეტულ ნივთებთან. 3. რიცხვის გარეგნობა (ნომრის აღნიშვნა რიცხვების სახით). არითმეტიკის წარმოშობა. არითმეტიკა, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველი აღმოსავლეთის ქვეყნებში - ჩინეთში, ინდოეთში, ეგვიპტეში და შემდგომი განვითარება საბერძნეთში. ტერმინი „ბუნებრივი რიცხვი“ პირველად რომაელმა მეცნიერმა ბოეტიუსმა გამოიყენა. დათვლა აუცილებელია ნაკრების რაოდენობის დასადგენად. მოდით გავყოთ ყველა რაოდენობრივი სიმრავლე ეკვივალენტურ კლასებად, მაგალითად, ერთ ეკვივალენტურ კლასად. მოიცავს სამკუთხედების ბევრ წვეროს, კვადრატის გვერდებს, ბევრ ასოს სიტყვა სამყაროში. თუ ჩვენ გავაგრძელებთ ამ პროცესს, მაშინ იმის გამო, რომ ეკვივალენტურობასთან მიმართებაში ყველაფერი თანაბრად ძლიერი მიმართებაა. სასრულ სიმრავლეები დაყოფილი იქნება კლასებად. რომ. თეორიულად, კარდინალური ნატურალური რიცხვის მრავლობითი მნიშვნელობა არის თანაბარი სიმძლავრის სასრულ სიმრავლეთა კლასის ზოგადი თვისება. თითოეულ კლასს აქვს თავისი რაოდენობრივი რიცხვი. ნული მოთავსებულია ცარიელი ნაკრების შესაბამისად.

რიცხვები A და B ტოლია, თუ ისინი განისაზღვრება თანაბარი კარდინალურობის სიმრავლით.

ეს მეთოდი გამოიყენება დაწყებით კლასებში.

ამოცანებზე მუშაობის მეთოდები, რომლებიც ავლენს არითმეტიკული მოქმედებების სპეციფიკურ მნიშვნელობას.

მათემატიკის კურსებში არითმეტიკული ამოცანები მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს. მათემატიკის გაკვეთილებზე დროის თითქმის ნახევარი ამოცანების გადაჭრას ეთმობა. ეს აიხსნება მათი დიდი საგანმანათლებლო და საგანმანათლებლო როლით, რომელსაც ისინი თამაშობენ ბავშვების სწავლებაში. არითმეტიკული ამოცანების ამოხსნა ხელს უწყობს არითმეტიკული მოქმედებების ძირითადი მნიშვნელობის გამოვლენას, მათ დაზუსტებას და კონკრეტულ ცხოვრებისეულ სიტუაციასთან დაკავშირებას. პრობლემები ხელს უწყობს მათემატიკური ცნებების, ურთიერთობებისა და შაბლონების ათვისებას. პრობლემების გადაჭრისას ბავშვებს უვითარდებათ ნებაყოფლობითი ყურადღება, დაკვირვება, ლოგიკური აზროვნება, მეტყველება და ინტელექტი. პრობლემების გადაჭრა ხელს უწყობს ისეთი შემეცნებითი პროცესების განვითარებას, როგორიცაა ანალიზი, სინთეზი, შედარება, განზოგადება.

არითმეტიკული ამოცანების ამოხსნის პროცესში მოსწავლეები სწავლობენ თავიანთი აქტივობების დაგეგმვასა და კონტროლს, ტექნიკის დაუფლებას, თვითკონტროლს (პრობლემის შემოწმება, პრობლემების შეფასება და ა. პრობლემა. პრობლემის გადაჭრის როლი დიდია ბავშვების ცხოვრებისა და მომავლისთვის მომზადებაში შრომითი საქმიანობა. სიუჟეტის ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეები სწავლობენ საგნებსა და სიდიდეებს შორის ურთიერთობის „მათემატიკის ენაზე“ თარგმნას. არითმეტიკული ამოცანები იყენებს ციფრულ მასალას, რომელიც ასახავს ქვეყნის წარმატებას სხვადასხვა ინდუსტრიებიეროვნული ეკონომიკა, კულტურა, მეცნიერება და ა.შ. ეს ხელს უწყობს სტუდენტების ჰორიზონტის გაფართოებას, მათ გამდიდრებას ახალი ცოდნით გარემომცველი რეალობის შესახებ. მოსწავლეები ეუფლებიან არითმეტიკული ამოცანების დიდი სირთულეებით ამოხსნის უნარს.

ბავშვების პრობლემების არასწორი გადაწყვეტის მიზეზები, პირველ რიგში, მათი აზროვნების თავისებურებებში მდგომარეობს. პრობლემების გადაჭრის სწავლის პროცესში, უნდა მოერიდოთ ტრენინგს გარკვეული ტიპის პრობლემების გადაჭრაში, უნდა ასწავლოთ პრობლემების გადაჭრის შეგნებული მიდგომა, ასწავლოთ როგორ იმოქმედოთ პრობლემაში აღწერილი ცხოვრებისეულ სიტუაციაში, ასწავლოთ ამოცანის შეგნებული შერჩევა; მონაცემები, მოქმედებების შეგნებული არჩევანი. ნებისმიერ არითმეტიკულ პრობლემაზე მუშაობის პროცესში შეიძლება გამოიყოს შემდეგი ეტაპები:

1. დავალების შინაარსზე მუშაობა.

2. პრობლემის გადაჭრის პოვნა.

3. პრობლემის გადაჭრა.

4. პასუხის ფორმულირება.

5. პრობლემის გადაჭრის შემოწმება.

6. მოგვარებულ პრობლემაზე შემდგომი მუშაობა.

დიდი ყურადღება უნდა მიექცეს დავალების შინაარსზე მუშაობას, ე.ი. პრობლემაში ასახული სიტუაციის გააზრებაზე, მონაცემებსა და საჭიროებს შორის კავშირის დადგენა. დავალების შინაარსის ათვისებაზე მუშაობის თანმიმდევრობა;

ა) გაუგებარი სიტყვებისა თუ გამოთქმების ანალიზი;

ბ) მასწავლებლისა და მოსწავლეების მიერ პრობლემის ტექსტის კითხვა;

გ) პრობლემის პირობების აღრიცხვა;

დ) დავალების გამეორება კითხვებით.

მოსწავლეებს უნდა ასწავლონ პრობლემის ტექსტის გამომხატველად წაკითხვა. უნდა გვახსოვდეს, რომ ბავშვებს კონკრეტულად უნდა ასწავლონ გამომსახველობითი კითხვა, ისინი დამოუკიდებლად ვერ კითხულობენ პრობლემას, ვერ აყენებენ ლოგიკურ სტრესს და ა.შ.

საგნების, შაბლონებისა და ნახატების დახმარებით დავალების შინაარსის დაზუსტებასთან ერთად, სკოლებში მასწავლებლების პრაქტიკაში ფართოდ გავრცელდა დავალების შინაარსის ჩაწერის შემდეგი ფორმები:

1. ჩაწერის შემოკლებული ფორმა, რომელშიც ამოცანის ტექსტიდან იწერება რიცხვითი მონაცემები და მხოლოდ ის სიტყვები და გამოთქმები, რომლებიც აუცილებელია პრობლემის ლოგიკური მნიშვნელობის გასაგებად.

2. ჩაწერის შემოკლებული სტრუქტურული ფორმა, რომელშიც ამოცანის ყოველი ლოგიკური ნაწილი იწერება ახალ სტრიქონზე.

3. ჩაწერის სქემატური ფორმა.

4. ჩაწერის გრაფიკული ფორმა.

ვინაიდან ბავშვებში კონტროლის ფუნქცია დასუსტებულია, პრობლემის გადაჭრის შემოწმებას არა მხოლოდ საგანმანათლებლო, არამედ საგანმანათლებლო მნიშვნელობაც აქვს. დაბალ კლასებში აუცილებელია:

1. შეამოწმეთ სიტყვიერად ჩამოყალიბებული ამოცანები ობიექტებზე მოქმედებების შესრულებით.

2. შეამოწმეთ პასუხის რეალობა.

3. შეამოწმეთ პასუხის შესაბამისობა დავალების პირობებთან და კითხვასთან. პრობლემის გადაჭრის შემოწმება მისი გადაჭრის სხვა მეთოდებით შესაძლებელია მე-4 კლასიდან.

პრობლემის გადაჭრის სისწორის გასაკონტროლებლად ასევე გამოიყენება დაპროგრამებული ტრენინგის ზოგიერთი ელემენტი. ეს ელემენტი ძალიან სასარგებლოა იმით, რომ სტუდენტი დაუყოვნებლივ იღებს განმტკიცებას მისი ქმედებების სისწორისთვის ან, პირიქით, შეცდომისთვის. თუ გადაწყვეტილება არასწორია, ის ეძებს ახალ გადაწყვეტილებებს.

სკოლაში მასწავლებელი ხშირად ვერ იქნება დარწმუნებული, რომ პრობლემის გადაწყვეტა ყველა მოსწავლეს ესმის. აქედან გამომდინარე, ძალიან სასარგებლოა ამ პრობლემის გადაჭრის კონსოლიდაციაზე მუშაობა. პრობლემის გადაჭრის კონსოლიდაციის სამუშაოები შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა გზით.

1. წამოიჭრება ძირითადი კითხვები პრობლემის შინაარსთან დაკავშირებით.

2. შემოთავაზებულია პრობლემის გადაჭრის მთელი პროცესის მოხსენება ქმედებების არჩევის დასაბუთებით.

3. ჩნდება კითხვები ცალკეულ ქმედებებზე ან საკითხებზე. მოსწავლეებისთვის მნიშვნელოვანია არა მსგავსი ამოცანების რაოდენობა, არამედ საგნის სიტუაციის გააზრება მონაცემებთან მიმართებაში. ამ მიზანს ემსახურება მოგვარებულ პრობლემაზე შემდგომი მუშაობა, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს მნიშვნელოვან ტექნიკად, რომელიც ავითარებს ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის უნარებს. ამოცანების საგნობრივი შინაარსის უკეთ გააზრებას, მონაცემებსა და საჭიროებს შორის ურთიერთობას ხელს უწყობს ამოცანების გადაჭრა ზედმეტი ან დაკარგული რიცხვითი მონაცემებით, დაწერილი არა ციფრებით, არამედ სიტყვებით. დაკვირვებები აჩვენებს, რომ საუკეთესო მასწავლებლები ფართოდ იყენებენ თავად სტუდენტების მიერ ამოცანების შედგენას, როგორც პრობლემის გადაჭრის სწავლების ერთ-ერთ მეთოდს.

პრობლემების შედგენა ეხმარება ბავშვებს უკეთ გააცნობიერონ დავალების სასიცოცხლო და პრაქტიკული მნიშვნელობა, უკეთ გაიგონ მისი სტრუქტურა, ასევე განასხვავონ სხვადასხვა სახის პრობლემები და გაიგონ მათი გადაჭრის მეთოდები. პრობლემების მომზადება გადაწყვეტის პარალელურად მიმდინარეობს მზა დავალებები. გამოცდილება და დაკვირვება აჩვენებს, რომ პრობლემების ნაწილობრივი შედგენა მოსწავლეებისთვის ყველაზე მარტივია. მოსწავლეები უნდა წაახალისონ, შეადგინონ პრობლემები სხვადასხვა ნაკვეთებით. ეს ხელს უწყობს მათი წარმოსახვის, გამომგონებლობისა და ინიციატივის განვითარებას. ძალიან სასარგებლოა, როდესაც პრობლემების შედგენისას მოსწავლეები იყენებენ მასალებს, რომლებსაც „მოიპოვებენ“ ექსკურსიების დროს, საცნობარო წიგნებიდან, გაზეთებიდან, ჟურნალებიდან და ა.შ. საშუალო სკოლის მოსწავლეებს უნდა ასწავლონ გარკვეულ გათვლებთან დაკავშირებული ბიზნეს დოკუმენტების შევსება და დაწერა. მაგალითად, დაწერეთ მინდობილობა, შეავსეთ ფორმა ფულის გადარიცხვისთვის და ა.შ. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ტექნიკა შეიძლება ფართოდ იქნას გამოყენებული ყველა სახის პრობლემის გადაჭრაში.

მარტივი არითმეტიკული ამოცანა არის პრობლემა, რომლის გადაჭრა შესაძლებელია ერთი არითმეტიკული მოქმედებით. მარტივი ამოცანები უაღრესად მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მოსწავლეებისთვის მათემატიკის სწავლებაში. ეს არის მარტივი ამოცანები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის ძირითადი მნიშვნელობის გამოვლენას და არითმეტიკული მოქმედებების დაზუსტებას, გარკვეული მათემატიკური ცნებების ჩამოყალიბებას. მარტივი ამოცანებია განუყოფელი ნაწილირთული პრობლემები და, შესაბამისად, მათი გადაჭრის უნარის გამომუშავებით მასწავლებელი ამზადებს მოსწავლეებს რთული პრობლემების გადასაჭრელად.

ყოველ სასწავლო წელს მოსწავლეები ეცნობიან ახალი ტიპის მარტივ პრობლემებს. მათი თანდათანობითი დანერგვა აიხსნება მათემატიკური ცნებების სირთულის განსხვავებული ხარისხით, იმ არითმეტიკული მოქმედებების შესწავლის ადგილით, რომელთა სპეციფიკურ მნიშვნელობას ავლენენ ისინი. ამ ტიპის ამოცანების არჩევისას, მასწავლებლის სპეციფიკა და შინაარსი არანაკლებ ყურადღებას იმსახურებს. და ბოლოს, მასწავლებელი ასწავლის, თუ როგორ უნდა დააკონკრეტოთ პრობლემის შინაარსი, გამოავლინოს კავშირი მონაცემებსა და მოძიებულს შორის მოკლე აღნიშვნის სხვადასხვა ფორმის გამოყენებით.

საუკეთესო მასწავლებლების გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ არითმეტიკული ამოცანების გადასაჭრელად მომზადება გამდიდრებით და განვითარებით უნდა დაიწყოს პრაქტიკული გამოცდილებასტუდენტები, მათი ორიენტაცია გარემომცველ რეალობაში. სტუდენტები უნდა მიიყვანონ იქამდე ცხოვრებისეული სიტუაცია, რომელშიც უნდა დათვალოთ, ამოხსნათ არითმეტიკული ამოცანები და შეიტანოთ ცვლილებები. უფრო მეტიც, ეს სიტუაციები თავიდანვე ხელოვნურად არ უნდა შეიქმნას მოსწავლეთა ყურადღება მხოლოდ მათზე მიიპყრო და მიმართული იყოს. მასწავლებელი ახორციელებს ჭურჭლის შიგთავსის ობიექტური ნაკრების ელემენტების რაოდენობის ცვლილებაზე დაკვირვებას და ა.შ., რაც ხელს უწყობს მოსწავლეთა წარმოდგენების ჩამოყალიბებას რაოდენობაზე და მათ გაცნობას გარკვეული ტერმინოლოგიით, რაც შემდგომში შეგვხვდება სიტყვიერ ფორმულირებაში. პრობლემების: გახდა, ყველაფერი დარჩა, აიღეს, გაიზარდა, შემცირდა და ა.შ. აუცილებელია მოსწავლეთა სათამაშო და პრაქტიკული აქტივობების ორგანიზება ისე, რომ როგორც ამ აქტივობის უშუალო მონაწილეებმა, ასევე დაკვირვებამ, თავად მოსწავლეებმა გამოიტანონ დასკვნა თითოეულ ცალკეულ შემთხვევაში; გაიზარდა ან შემცირდა ნაკრების ელემენტების რაოდენობა და რა ოპერაცია და სიტყვიერი გამოთქმა შეესაბამება ამ ზრდას ან შემცირებას. მოსამზადებელი სამუშაოების ეს ეტაპი ემთხვევა პირველ ათ რიცხვზე მუშაობის დაწყებას და არითმეტიკული მოქმედებების გაცნობას, ობიექტური სიმრავლეებით მოქმედებების მაგალითების ამოხსნას და შედგენას.

სანამ არითმეტიკული ამოცანების ამოხსნის სწავლებას დაიწყებს, მასწავლებელმა მკაფიოდ უნდა წარმოიდგინოს, რა ცოდნა, უნარები და უნარები სჭირდებათ მოსწავლეებს. პრობლემის გადასაჭრელად მოსწავლეებმა უნდა ამოხსნან არითმეტიკული მაგალითები, მოუსმინონ და შემდეგ წაიკითხონ პრობლემა, გაიმეორონ პრობლემა კითხვა-კითხვით, მოკლე ჩანაწერიდან, მეხსიერებიდან, ამოიცნონ ამოცანის კომპონენტები, ამოხსნან პრობლემა და შეამოწმონ მისი სისწორე. პირველ კლასში მოსწავლეები სწავლობენ ამოცანების ამოხსნას ჯამისა და ნაშთის მოძიებაში. ეს ამოცანები პირველად შემოდის პირველი ათი ნომრის სწავლებისას. იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნის, ტოლ ნაწილებად დაყოფის ან შინაარსის მიხედვით ამოცანების ამოხსნის სწავლისას, უნდა დაეყრდნოთ მოსწავლეების გაგებას გამრავლებისა და გაყოფის არითმეტიკული მოქმედებების არსის შესახებ. სხვადასხვა შედარების პრობლემის გადაჭრამდე მოსწავლეებმა უნდა მისცენ ცნება ერთი სიმრავლის ობიექტების, ორი საგნობრივი სიმრავლის, სიდიდეების, რიცხვების შედარების, მათ შორის თანასწორობისა და უტოლობის ურთიერთობის დადგენის ცნებას. რთული ან რთული არითმეტიკული ამოცანა არის პრობლემა, რომლის გადაჭრა შესაძლებელია ორი ან მეტი არითმეტიკული მოქმედების გამოყენებით. რთული არითმეტიკული ამოცანების ამოხსნის მახასიათებლების ფსიქოლოგიური კვლევა აჩვენებს, რომ ბავშვები არ ცნობენ ნაცნობ მარტივ ამოცანებს ახალი რთული ამოცანის კონტექსტში. მოსამზადებელი სამუშაოებირთული ამოცანების გადასაჭრელად უნდა იყოს სავარჯიშოებისა და ტექნიკის სისტემა, რომელიც მიზანმიმართულად მიიყვანს მოსწავლეებს რთული ამოცანების ამოხსნის ათვისებამდე. მასწავლებელს შეუძლია გადავიდეს რთული ამოცანების ამოხსნაზე, როცა დარწმუნდება, რომ მოსწავლეებმა აითვისეს მარტივი ამოცანების ამოხსნის ხერხები, რომლებიც ჩართული იქნება შედგენილ ამოცანაში და თავად შეუძლიათ შექმნან გარკვეული ტიპის მარტივი პრობლემა. რთული ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეებმა ან უნდა დაუსვან კითხვები მონაცემებს, ან შეარჩიონ მონაცემები კითხვაზე პასუხის გასაცემად. ამიტომ მოსამზადებელ პერიოდში ე.ი. მთელი პირველი წლის განმავლობაში და სწავლის მეორე წლის დასაწყისში სტუდენტებს უნდა შესთავაზონ დავალებები:

1. შეარჩიეთ კითხვები მზა პირობისთვის.

2. კითხვის საფუძველზე ამოცანის შედგენა, გამოტოვებული რიცხვითი მონაცემების არჩევით.

მარტივი და რთული ამოცანების შედგენით მოსწავლეები ეტაპობრივად ისწავლიან მარტივი ამოცანების ამოცნობას რთული ამოცანების შედგენის სავარჯიშოებს, რომლებიც უკვე გამოუცდიათ მათ ამოხსნაში. ეს ხელს შეუწყობს მარტივი ამოცანების ტიპების უკეთ ათვისებას, რთულ პრობლემაში მათი ამოცნობის უნარს და დაეხმარება მოსწავლეებს უფრო შეგნებულად გააანალიზონ პრობლემები. რთული ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეებს უნდა ასწავლონ პრობლემაზე მუშაობის ზოგადი ხერხები; პრობლემის შინაარსის ანალიზის უნარი, ხაზგასმით აღვნიშნოთ ცნობილი მონაცემები, რა არის მოძიებული (ანუ დაადგინოთ რა უნდა ვისწავლოთ პრობლემაში), განსაზღვროთ რა მონაცემები აკლია კითხვაზე პასუხის გასაცემად. მთავარი კითხვაპრობლემაში. სკოლის პრაქტიკაში გაამართლა ბარათებთან მუშაობის მეთოდი, დავალებები, რომლებშიც დასახულია დავალებაზე მუშაობის თანმიმდევრობა. პრობლემების გადაჭრისას მისი გადაწყვეტის ფორმალიზება იწერება კითხვებით ან ყოველი ქმედება იწერება და ახსნილია. ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის განზოგადებული მეთოდის შემუშავება უზრუნველყოფილია სხვადასხვა ტიპის, ნაკვეთების პრობლემების განმეორებით გადაჭრით, თავად სტუდენტების მიერ შედგენილი მზა ამოცანების გადაჭრით, ამ ტიპის პრობლემების შედარებით ადრე გადაჭრილ პრობლემებთან და ა.

1. ახსენით გამოთვლითი მეთოდი 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3 შემთხვევებისთვის - ყველა გამოთვლის მეთოდი ასეული კონცენტრაციიდან.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d=2d=20

3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54

4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36

5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18

6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45

გაანგარიშების ყველა მეთოდი ზეპირია და შესრულებულია ციფრებით შეკრებისა და გამოკლების საფუძველზე.

თეორემები "ყველაზე დიდი" და "პატარა" მთელი რიცხვების შესახებ

თეორემა 4 („ყველაზე პატარა“ მთელი რიცხვის შესახებ). ქვემოდან შემოსაზღვრული მთელი რიცხვების ყოველი არა ცარიელი სიმრავლე შეიცავს უმცირეს რიცხვს. (აქ, როგორც საქმეში ნატურალური რიცხვები, სიტყვა „ქვესიმრავლის“ ნაცვლად გამოყენებულია სიტყვა „კომპლექტი“ E

მტკიცებულება. მოდით O A C Z და A იყოს შემოსაზღვრული ქვემოთ, ე.ი. 36? ზვა? ა (ბ< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

მოდით ახლა b A.

შემდეგ უა ე აფ< а) и, значит, Уа А(а - Ь >შესახებ).

ჩამოვაყალიბოთ M სიმრავლე a - b ფორმის ყველა რიცხვიდან, სადაც a გადის A სიმრავლეს, ე.ი. M = (c [c = a - b, a E A)

ცხადია, M სიმრავლე ცარიელი არ არის, რადგან A 74 0

როგორც ზემოთ აღინიშნა, M C N. შესაბამისად, ნატურალური რიცხვების თეორემით (54, ჩ.III) M სიმრავლეში არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი m მაშინ m = a1 - b ზოგიერთი რიცხვისთვის? A და რადგან m ყველაზე პატარაა M-ში, მაშინ უა? ა(ტ< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

თეორემა 5 („ყველაზე დიდი“ მთელი რიცხვის შესახებ). მთელი რიცხვების ყოველი არა ცარიელი, შეზღუდული სიმრავლე შეიცავს უდიდეს რიცხვს.

მტკიცებულება. მოდით O 74 A C Z და A შემოიფარგლოს ზემოდან b რიცხვით, ე.ი. ? ზვა ე ა(ა< Ь). Тогда -а >b ყველა რიცხვისთვის a? ა.

შესაბამისად, M სიმრავლე (r = -a, a? A) ცარიელი არ არის და ქვემოთ შემოიფარგლება რიცხვით (-6). აქედან გამომდინარე, წინა თეორემის მიხედვით, უმცირესი რიცხვი გვხვდება M სიმრავლეში, ე.ი. ტუზი? MUs? მ (ს< с).

ეს ნიშნავს ვაჰ? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >ა)

ჰ. მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის სხვადასხვა ფორმები მთელი რიცხვებისთვის. გაყოფის თეორემა ნაშთით

თეორემა 1 (მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის პირველი ფორმა). ვთქვათ P(c) არის ერთადგილიანი პრედიკატი, რომელიც განსაზღვრულია Z სიმრავლეზე, 4. მაშინ თუ რომელიმე რიცხვისთვის a Z წინადადება P(o) და თვითნებური მთელი რიცხვისთვის K > a P(K)-დან მოყვება P(K -4- 1), მაშინ წინადადება P(r) მოქმედებს ყველასთვის. მთელი რიცხვები, t რიცხვები c > a (ანუ შემდეგი პრედიკატის გამოთვლის ფორმულა ჭეშმარიტია Z სიმრავლეზე:

Р(а) მშვილდი > + 1)) Ус > аР(с)

ნებისმიერი ფიქსირებული მთელი რიცხვისთვის a

მტკიცებულება. ყველაფერი რაც ნათქვამია თეორემის პირობებში იყოს ჭეშმარიტი წინადადებისთვის P (c), ე.ი.

1) P(a) - ჭეშმარიტი;

2) UK Shch k + ასევე მართალია.

საპირისპიროდან. დავუშვათ, რომ არსებობს ასეთი რიცხვი

b > a, რომ RF) მცდარია. ცხადია, b a, რადგან P(a) მართალია. ჩამოვაყალიბოთ სიმრავლე M = (z ? > a, P(z) არის მცდარი).

მაშინ კომპლექტი M 0, ვინაიდან b? M და M- შემოიფარგლება ქვემოდან a რიცხვით. შესაბამისად, უმცირესი მთელი რიცხვის თეორემით (თეორემა 4, 2), არის უმცირესი მთელი რიცხვი c M სიმრავლეში. აქედან გამომდინარე c > a, რაც, თავის მხრივ, გულისხმობს c - 1 > a.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ P(c-1) მართალია. თუ c-1 = a, მაშინ P (c-1) ჭეშმარიტია პირობის მიხედვით.

მოდით c- 1 > a. მაშინ ვარაუდი, რომ P(c- 1) მცდარია, გულისხმობს 1-ის კუთვნილებას? M, რაც არ შეიძლება მოხდეს, რადგან რიცხვი c ყველაზე პატარაა M სიმრავლეში.

ამრიგად, c - 1 > a და P(c - 1) მართალია.

მაშასადამე, ამ თეორემის პირობების მიხედვით, წინადადება P((c- 1) + 1) მართალია, ე.ი. R(s) - მართალია. ეს ეწინააღმდეგება c რიცხვის არჩევანს, ვინაიდან c? M თეორემა დადასტურებულია.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს თეორემა აზოგადებს პეანოს აქსიომების დასკვნა 1-ს.

თეორემა 2 (მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის მეორე ფორმა მთელი რიცხვებისთვის). ვთქვათ P(c) არის რაღაც ერთადგილიანი პრედიკატი, რომელიც განისაზღვრება მთელი რიცხვების Z სიმრავლეზე. მაშინ, თუ წინადადება P(c) მოქმედებს K მთელი რიცხვისთვის და თვითნებური მთელი რიცხვისთვის s K წინადადების მართებულობიდან P(c) ყველა მთელი რიცხვისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს K უტოლობას.< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.

ამ თეორემის მტკიცებულება დიდწილად იმეორებს მსგავსი თეორემის დადასტურებას ნატურალური რიცხვებისთვის (თეორემა 1, 55, თავი III).

თეორემა 3 (მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის მესამე ფორმა). მოდით P(c) იყოს ერთადგილიანი პრედიკატი, რომელიც განსაზღვრულია მთელი რიცხვების Z სიმრავლეზე. მაშინ თუ P(c) ჭეშმარიტია ნატურალური რიცხვების სიმრავლის M უსასრულო ქვესიმრავლის ყველა რიცხვისთვის და თვითნებური მთელი რიცხვისთვის a, P(a)-ის ჭეშმარიტება გულისხმობს P(a - 1-ის ჭეშმარიტებას), მაშინ წინადადება P(c) მოქმედებს ყველა მთელი რიცხვისთვის.

მტკიცებულება ნატურალური რიცხვების შესაბამისი თეორემის დამტკიცების მსგავსია.

გთავაზობთ, როგორც საინტერესო სავარჯიშოს.

გაითვალისწინეთ, რომ პრაქტიკაში, მათემატიკური ინდუქციის მესამე ფორმა სხვებთან შედარებით ნაკლებად გავრცელებულია. ეს აიხსნება იმით, რომ მის გამოსაყენებლად საჭიროა ვიცოდეთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლის უსასრულო M ქვესიმრავლე, რომელიც განხილულია თეორემაში. ასეთი ნაკრების პოვნა შეიძლება რთული ამოცანა იყოს.

მაგრამ მესამე ფორმის უპირატესობა სხვებთან შედარებით არის ის, რომ მისი დახმარებით წინადადება P(c) შეიძლება დადასტურდეს ყველა მთელი რიცხვისთვის.

ქვემოთ გთავაზობთ საინტერესო მაგალითიმესამე ფორმის განაცხადი“. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით მივცეთ ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

განმარტება. a მთელი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის წესით განსაზღვრული რიცხვი

0, თუ a O a, თუ a > O

და, თუ ა< 0.

ამრიგად, თუ არის 0, მაშინ? ნ.

მკითხველს ვიწვევთ, როგორც სავარჯიშო, დაამტკიცოს აბსოლუტური მნიშვნელობის შემდეგი თვისებები:

თეორემა (ნაშთით გაყოფის შესახებ). ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის a და b, სადაც b 0, არსებობს და, უფრო მეტიც, რიცხვების მხოლოდ ერთი წყვილი q U m ისეთი, რომ a r: bq + T L D.

მტკიცებულება.

1. წყვილის არსებობა (q, m).

მოდით a, b? Z და 0. ვაჩვენოთ, რომ არსებობს q რიცხვების წყვილი და აკმაყოფილებს პირობებს

ჩვენ ვახორციელებთ მტკიცებულებას ინდუქციით მესამე ფორმით რიცხვზე a ფიქსირებული რიცხვისთვის b.

M = (mlm= n lbl,n? N).

აშკარაა, რომ M C არის f: N M, განსაზღვრული წესით f(n) = nlbl ნებისმიერი n-სთვის? N, არის ბიექცია. ეს ნიშნავს, რომ M N, ე.ი. M- უსასრულოდ.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ თვითნებური რიცხვისთვის a? თეორემის M (და b- ფიქსირებული) დებულება q და m რიცხვების წყვილის არსებობის შესახებ მართალია.

მართლაც, მოდით a (- M. მაშინ pf! ზოგიერთი n? N.

თუ b > 0, მაშინ a = n + O. ახლა ვაყენებთ q = n და m O, მივიღებთ საჭირო წყვილს q და m თუ b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

ახლა გავაკეთოთ ინდუქციური ვარაუდი. დავუშვათ, რომ თვითნებური მთელი რიცხვისთვის c (და თვითნებური ფიქსირებული b 0) თეორემის დებულება მართალია, ე.ი. არის რიცხვების წყვილი (q, m) ისეთი, რომ

დავამტკიცოთ, რომ ეს ასევე მართალია რიცხვისთვის (1-ით). c = bq -4- ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ bq + (t - 1). (1)

შეიძლება იყოს შემთხვევები.

1) m > 0. შემდეგ 7" - 1 > 0. ამ შემთხვევაში, - m - 1-ის დაყენებით, ვიღებთ c - 1 - bq + Tl, სადაც წყვილი (q, 7"1,) აშკარად აკმაყოფილებს პირობას.

0. შემდეგ c - 1 bq1 + 711 , სადაც q1

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად დავამტკიცოთ, რომ 0< < Д.

ამრიგად, განცხადება ასევე მართალია წყვილი რიცხვისთვის

თეორემის პირველი ნაწილი დადასტურებულია.

პ. q წყვილის უნიკალურობა და ა.შ.

დავუშვათ, რომ a და b 0 რიცხვებისთვის არის ორი წყვილი რიცხვი (q, m) და (q1, შემდეგ, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს (*)

დავამტკიცოთ, რომ ისინი ერთმანეთს ემთხვევა. ასე რომ მოდით

და bq1 L O< Д.

ეს ნიშნავს, რომ b(q1 -q) m- 7 1 1. ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ

თუ ახლა ვივარაუდებთ, რომ q ql, მაშინ q - q1 0, საიდანაც lq - q1l 1. ამ უტოლობების ვამრავლით ვამრავლით რიცხვით lbl, მივიღებთ φ! - q11 D. (3)

ამავე დროს, უტოლობებიდან 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

სავარჯიშოები:

1. შეავსეთ მე-2 და მე-3 თეორემების მტკიცებულებები 5 1-დან.

2. დაამტკიცეთ დასკვნა 2 თეორემიდან 3, 1.

3. დაამტკიცეთ, რომ ქვესიმრავლე H C Z, რომელიც შედგება ფორმის ყველა რიცხვისგან< п + 1, 1 >(n? N), დახურულია შეკრებისა და გამრავლების ქვეშ.

4. მოდით, H ნიშნავდეს იგივე სიმრავლეს, რაც მე-3 სავარჯიშოში. დაამტკიცეთ, რომ გამოსახვა ј : M აკმაყოფილებს პირობებს:

1) ј - ბიექცია;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) და j(nm) = ј(n) j(m) ნებისმიერი რიცხვისთვის n, m (ანუ ј ახორციელებს ალგებრების იზომორფიზმს (N). , 4 და (H, + ,).

5. დაასრულეთ 2-დან 1-ლი თეორემას დადასტურება.

6. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის a, b, c მოქმედებს შემდეგი მნიშვნელობა:

7. დაამტკიცეთ მეორე და მესამე თეორემა ზ.

8. დაამტკიცეთ, რომ მთელი რიცხვების Z რგოლი არ შეიცავს ნულოვან გამყოფებს.

ლიტერატურა

1. Bourbaki N. სიმრავლეების თეორია. მ.: მირი, 1965 წ.

2. ვინოგრადოვი I. M. რიცხვების თეორიის საფუძვლები. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. არითმეტიკის საფუძვლები. მ.: უჭპედგიზი, 1963 წ.

4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. ჯგუფის თეორიის საფუძვლები.

მ.: ნაუკა, 1972 წ.

5. კოსტრიკინი A.I. შესავალი ალგებრაში. მ.: ნაუკა, 1994 წ.

ბ. Kulikov L. Ya. ალგებრა და რიცხვების თეორია. მ.: უმაღლესი. სკოლა, 1979 წ.

7. კუროშ ა.გ. უმაღლესი ალგებრის კურსი. მ.: ნაუკა, 1971 წ.

8. Lyubetsky V. A. სასკოლო მათემატიკის ძირითადი ცნებები. მ.: განათლება, 1987 წ.

9. ლიაპინი ევროკავშირი. და სხვა სავარჯიშოები ჯგუფის თეორიაზე. მ.: ნაუკა, 1967 წ.

10. მალცევი ა.ი. ალგებრული სისტემები. მ.: ნაუკა, 1970 წ.

11. MenDelson E. შესავალი მათემატიკური ლოგიკაში. მ.: ნაუკა, 1971 წ.

12. ნეჩაევი V.I. მ.: განათლება, 1975 წ.

13. ნოვიკოვი პ.ს. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები. მ.. მეცნიერება, 1973 წ.

14. პეტროვა ვ.ტ. ლექციები ალგებრასა და გეომეტრიაზე.: 2 საათზე.

CHL. მ.: ვლადოსი, 1999 წ.

15. სასკოლო მათემატიკის კურსის თანამედროვე საფუძვლები ავტ. პოლკოვნიკი: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. მ.: განათლება, 1980 წ.

16. Skornyakov L. A. ალგებრის ელემენტები. მ.: ნაუკა, 1980 წ.

17. სტომ რ.რ. ნაკრები, ლოგიკა, აქსიომატური თეორიები. მ. განმანათლებლობა, 1968 წ.

18. Stolyar A. A. ლოგიკური შესავალი მათემატიკაში. მინსკი: ყველაზე მაღალი. სკოლა, 1971 წ.

19. ფილიპოვი V.P. ალგებრა და რიცხვების თეორია. ვოლგოგრადი: VGPI, 1975 წ.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. სიმრავლეების თეორიის საფუძვლები. მ.: მირი, 1966 წ.

21. Fuchs L. ნაწილობრივ მოწესრიგებული სისტემები. მ.: მირი, 1965 წ.

საგანმანათლებლო პუბლიკაცია გამოცემა

ვლადიმერ კონსტანტინოვიჩ კარტაშოვი

მათემატიკის შესავალი კურსი

სახელმძღვანელო

სარედაქციო მომზადება O. I. Molokanova-ს მიერ ორიგინალური განლაგება მოამზადა A. P. Boshchenko-მ

„PR 020048 20/12/96 წ

ხელმოწერილია გამოსაქვეყნებლად 1999 წლის 28 აგვისტოს. ფორმატი 60x84/16. საოფისე ბეჭდვა ბუმი. ტიპი. მ 2. უელ. ღუმელი ლ. 8.2. აკადემიური რედ. ლ. 8.3. ტირაჟი 500 ეგზემპლარი. შეკვეთა 2

გამომცემლობა "პერმენა"

ნატურალური რიგის N სეგმენტი არის ნატურალური რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც არ აღემატება a ნატურალურ რიცხვს, ანუ N = (x|x N და x a).

მაგალითად, N არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც არ აღემატება 7-ს, ე.ი. N =(1,2,3,4,5,6,7).

მოდით აღვნიშნოთ ბუნებრივი რიგის სეგმენტების ორი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება:
1) ნებისმიერი N სეგმენტი შეიცავს ერთს. ეს თვისება გამომდინარეობს ბუნებრივი სერიის სეგმენტის განმარტებიდან.
2) თუ რიცხვი x შეიცავს N და x a ინტერვალში, მაშინ რიცხვი x+1 მათთან უშუალოდ ასევე შეიცავს N-ში.

A სიმრავლეს სასრული ეწოდება, თუ ის უდრის ბუნებრივი რიგის N სეგმენტს. მაგალითად, სამკუთხედის წვეროების A სიმრავლე, ასოების B სიმრავლე სიტყვაში "მსოფლიო" არის სასრული სიმრავლეები, რადგან ისინი უდრის სეგმენტს N = (1,2,3), ე.ი. ა~ბ~ ნ.
თუ არა ცარიელი სასრულ A სიმრავლე N სეგმენტის ტოლია, მაშინ ნატურალურ რიცხვს a ეწოდება A სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა და იწერება n(A) = a. მაგალითად, თუ A არის სამკუთხედის წვეროების სიმრავლე, მაშინ n(A) = 3.

ყოველი არა ცარიელი სასრული სიმრავლე ექვივალენტურია ბუნებრივი სერიის ერთი და მხოლოდ ერთი სეგმენტის, ანუ, ყოველი სასრული სიმრავლე A შეიძლება ასოცირებული იყოს ცალსახად განსაზღვრულ რიცხვთან a, ისე, რომ A სიმრავლე იყოს ერთი-ერთზე გამოსახული სეგმენტზე. ნ.

არაცარიელი სასრული სიმრავლის A ელემენტებსა და ბუნებრივი რიგის სეგმენტს შორის ერთ-ერთ შესაბამისობის დადგენას ეწოდება A სიმრავლის ელემენტების დათვლა. ვინაიდან მხოლოდ ერთი ნატურალური რიცხვი შეესაბამება ნებისმიერ არაცარიელ სასრულ სიმრავლეს, სასრულ სიმრავლეთა მთელი ნაკრები დაყოფილია თანაბარი სიმძლავრის სიმრავლეების კლასებად. ერთი კლასი შეიცავს ყველა ერთელემენტიან სიმრავლეს, მეორე - ორ ელემენტიან კომპლექტს და ა.შ. და ეს რიცხვი შეიძლება ჩაითვალოს თანაბარი სიმძლავრის სასრულ სიმრავლეთა კლასის ზოგად თვისებად. ამრიგად, სიმრავლე-თეორიული თვალსაზრისით, ნატურალური რიცხვი არის თანაბარი კარდინალურობის სასრულ სიმრავლეთა კლასის ზოგადი თვისება.

რიცხვ 0-ს ასევე აქვს სიმრავლე-თეორიული ინტერპრეტაცია - იგი ცარიელ სიმრავლეს შეესაბამება: n() = 0.

ასე რომ, ნატურალური რიცხვი a, როგორც რაოდენობის მახასიათებელი, შეიძლება ჩაითვალოს ორი პოზიციიდან:

1) როგორც ელემენტების რაოდენობა A სიმრავლეში, მიღებული დათვლით;
2) როგორც თანაბარი სიმძლავრის სასრულ სიმრავლეთა კლასის ზოგადი თვისება.

დამყარებული კავშირი სასრულ სიმრავლეებსა და ნატურალურ რიცხვებს შორის საშუალებას გვაძლევს მივცეთ სიმრავლე-თეორიული ინტერპრეტაცია „ნაკლები ვიდრე“ მიმართებაში.

თუ a = n(A), b = n(B), მაშინ რიცხვი a ნაკლებია b რიცხვზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A სიმრავლე უდრის B სიმრავლის საკუთარ ქვესიმრავლეს, ე.ი. A~B, სადაც B B, B B, B (ნახ. 1). ან როცა N ბუნებრივი რიგის სეგმენტი არის N სეგმენტის სათანადო ქვესიმრავლე, ე.ი. N N.

რიცხვები a და b ტოლია, თუ ისინი განისაზღვრება ტოლი სიმრავლებით: a = k A~B, სადაც n(A) = a, n (B) = k. მაგალითად, 2 = 2, რადგან n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.

ნატურალური რიცხვებისთვის „ნაკლები“ ​​მიმართების თვისებები ასევე იღებს სიმრავლე-თეორიულ ინტერპრეტაციას: ამ მიმართების გარდამავლობა და ანტისიმეტრიულობა დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ მიმართება „იყოს ქვესიმრავლე“ არის გარდამავალი და ანტისიმეტრიული.

მოდით ვაჩვენოთ ნატურალური რიცხვებისთვის „ნაკლები“ ​​მიმართების სიმრავლე-თეორიული ინტერპრეტაციის გამოყენებით, რომ 2
ავიღოთ A სიმრავლე, რომელიც შეიცავს 2 ელემენტს და B სიმრავლე, რომელიც შეიცავს 5 ელემენტს, ე.ი. n(A) = 2, n(B) = 5. მაგალითად, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). B სიმრავლიდან შეგვიძლია ავირჩიოთ B ქვესიმრავლე, რომელიც უდრის A სიმრავლეს: მაგალითად, B = (c, d) და A~B. „ნაკლები“ ​​კოეფიციენტის განმარტებით, 2
ამ უთანასწორობის მართებულობა ასევე გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნ
ეს უტოლობა შეიძლება ჩაითვალოს სურათზე 2. მოდით 2 იყოს წრეების რაოდენობა, ხოლო 5 იყოს კვადრატების რაოდენობა. თუ წრეებს დავსვამთ კვადრატებზე, დავინახავთ, რომ ზოგიერთი კვადრატი რჩება დაუფარავი.

ეს ნიშნავს, რომ წრეების რაოდენობა კვადრატების რაოდენობაზე ნაკლებია, ე.ი. 2
უტოლობის სიმრავლე-თეორიული მნიშვნელობა 0

ტარდება მათემატიკის საწყის კურსში რიცხვების შედარება სხვადასხვა გზით– ის ეფუძნება ყველა იმ მიდგომას, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ „ნაკლების“ მიმართების ინტერპრეტაციაში.

მოგეხსენებათ, ნატურალური რიცხვების სიმრავლის დალაგება შესაძლებელია "ნაკლები ვიდრე" მიმართებით. მაგრამ აქსიომური თეორიის აგების წესები მოითხოვს, რომ ეს მიმართება იყოს არა მხოლოდ განსაზღვრული, არამედ ამ თეორიაში უკვე განსაზღვრული ცნებების საფუძველზე. ეს შეიძლება გაკეთდეს მიმატების გზით "ნაკლები" მიმართების განსაზღვრით.

განმარტება. რიცხვი a ნაკლებია რიცხვზე b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ბ.

ამ პირობებში იმასაც ამბობენ, რომ რიცხვი ბმეტი ადა დაწერე ბ > ა.

თეორემა 12.ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ადა ბერთი და მხოლოდ ერთი სამი ურთიერთობა აქვს: a = b, a > b, ა < ბ.

ჩვენ გამოვტოვებთ ამ თეორემის დადასტურებას.. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ

a¹ b,ან ა< b, ან a > b,იმათ. მიმართებას „ნაკლები“ ​​აქვს კავშირის თვისება.

თეორემა 13.თუ ა< b და ბ< с. რომ ა< с.

მტკიცებულება. ეს თეორემა გამოხატავს "ნაკლებად" მიმართების გარდამავალ თვისებას.

იმიტომ რომ ა< b და ბ< с. მაშინ მიმართების „ნაკლები“ ​​განმარტებით არის ნატურალური რიცხვები რომმერე რა b = a + k და c = b + I.მაგრამ შემდეგ c = (a + k)+ / და მიმატების ასოციაციური თვისებიდან გამომდინარე ვიღებთ: c = a + (k +/). მას შემდეგ, რაც k + I -ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ, "ნაკლების" განმარტების მიხედვით, ა< с.

თეორემა 14. თუ ა< b, ეს არ არის მართალი ბ< а. მტკიცებულება. ეს თეორემა გამოხატავს თვისებას ანტისიმეტრია"ნაკლები" ურთიერთობა.

ჯერ დავამტკიცოთ, რომ არც ერთი ნატურალური რიცხვისთვის აარა შენ -!>! ■ )მისი დამოკიდებულება ა< ა.დავუშვათ პირიქით, ე.ი. რა ა< а ხდება. შემდეგ, "ნაკლები" მიმართების განმარტებით, არის ნატურალური რიცხვი თან,რა ა+ თან= A,და ეს ეწინააღმდეგება მე-6 თეორემას.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ თუ ა< ბ, მაშინ ეს არ არის მართალი ბ < ა.დავუშვათ პირიქით, ე.ი. რა თუ ა< b , ეს ბ< а გაშვებულია. მაგრამ ამ თანასწორობიდან მე-12 თეორემა გვაქვს ა< а, რაც შეუძლებელია.

ვინაიდან ჩვენ მიერ განსაზღვრული „ნაკლები“ ​​მიმართება არის ანტისიმეტრიული და გარდამავალი და აქვს კავშირის თვისება, ეს არის წრფივი რიგის მიმართება და ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. ხაზობრივად მოწესრიგებული ნაკრები.

„ნაკლები“-ს და მისი თვისებების განმარტებიდან შეგვიძლია გამოვიტანოთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ცნობილი თვისებები.

თეორემა 15.ყველა ნატურალური რიცხვიდან ერთი ყველაზე პატარა რიცხვია, ე.ი. მე< а для любого натурального числа a¹1.

მტკიცებულება. დაე A -ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი. მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა: a = 1 და a¹ 1. თუ a = 1, მაშინ არის ნატურალური რიცხვი ბ,მოჰყვა a: a = b " = b + I = 1 + ბ,ე.ი. „ნაკლები“ ​​მიმართების განმარტებით, 1< ა.მაშასადამე, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი უდრის 1-ს ან 1-ზე მეტი. ან, ერთი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი.

მიმართება „ნაკლები ვიდრე“ დაკავშირებულია რიცხვების შეკრებასთან და გამრავლებასთან მონოტონურობის თვისებებით.

თეორემა 16.

a = b => a + c = b + c და a c = b c;

ა< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c და ac > bc.

მტკიცებულება. 1) ამ განცხადების მართებულობა გამომდინარეობს შეკრებისა და გამრავლების უნიკალურობიდან.

2) თუ ა< b, მაშინ არის ასეთი ნატურალური რიცხვი კ,რა ა + k = b.
მერე ბ+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (გ+ მდე)= (ა + გ) + კ.თანასწორობა ბ+ c = (a + c) + kნიშნავს იმას a + c< b + თან.

იგივენაირად დასტურდება რომ ა< b =>აწ< bс.

3) მტკიცებულება მსგავსია.

თეორემა 17(თეორემა 16-ის საპირისპირო).

1) ა+ c = b + cან ac ~ ძვ.Þ a = b

2) a + c< Ь + с ან აწ< ძვ.წÞ ა< Ь:

3) a + c > b+ ან ac > ძვ.წÞ a > b.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითად აწ< bс უნდა ა< b დავუშვათ პირიქით, ე.ი. რომ თეორემის დასკვნა არ მოქმედებს. მაშინ ასე არ შეიძლება a = b.მას შემდეგ თანასწორობა დაკმაყოფილდებოდა ac = bс(თეორემა 16); ეს არ შეიძლება იყოს ა> ბ,რადგან მაშინ იქნებოდა ac > bс(თეორემა!6). ამიტომ, მე-12 თეორემის მიხედვით, ა< b.

მე-16 და მე-17 თეორემებიდან შეგვიძლია გამოვიტანოთ უტოლობების ტერმინებით შეკრებისა და გამრავლების ცნობილი წესები. ჩვენ მათ გარეთ ვტოვებთ.

თეორემა 18. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ადა ბ; არის ნატურალური რიცხვი n ისეთი, რომ p b> a.

მტკიცებულება. ვინმესთვის აარის ასეთი რიცხვი ნ, რა n > a.ამისათვის საკმარისია მიიღოს n = a + 1. უტოლობების გამრავლება ვადით ნ> ადა ბ> 1, მივიღებთ პბ > ა.

„ნაკლები“ ​​მიმართების განხილული თვისებებიდან გამომდინარეობს ნატურალური რიცხვების სიმრავლის მნიშვნელოვანი ნიშნები, რომლებსაც წარმოგიდგენთ მტკიცებულების გარეშე.

1. არა რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის აასეთი ბუნებრივი რიცხვი არ არსებობს გვ,რა ა< п < а + 1. ეს თვისება ე.წ ქონება
დისკრეტულობანატურალური რიცხვებისა და რიცხვების სიმრავლეები ადა a + 1 ჰქვია მეზობელი.

2. ნატურალური რიცხვების ნებისმიერი არა ცარიელი ქვესიმრავლე შეიცავს
ყველაზე პატარა რიცხვი.

3. თუ მ- ნატურალური რიცხვების სიმრავლის არა ცარიელი ქვესიმრავლე
და არის ასეთი რიცხვი ბ,რომ ყველა x რიცხვისთვის მარ არის შესრულებული
თანასწორობა x< ბ,შემდეგ უხვად მყველაზე დიდი რიცხვია.

მოდით, მაგალითით ავხსნათ 2 და 3 თვისებები. დაე მ- ორნიშნა რიცხვების ნაკრები. იმიტომ რომ მარის ნატურალური რიცხვების ქვესიმრავლე და ამ სიმრავლის ყველა რიცხვისთვის x უტოლობა< 100, то в множестве მარის უდიდესი რიცხვი 99. მოცემულ სიმრავლეში შემავალი უმცირესი რიცხვი M, -ნომერი 10.

ამრიგად, „ნაკლები“ ​​მიმართებამ შესაძლებელი გახადა ნატურალური რიცხვების სიმრავლის თვისებების მნიშვნელოვანი რაოდენობის გათვალისწინება (და ზოგიერთ შემთხვევაში დამტკიცება). კერძოდ, ის არის წრფივი მოწესრიგებული, დისკრეტული და აქვს უმცირესი რიცხვი 1.

დაწყებითი სკოლის მოსწავლეები სწავლის დასაწყისშივე ეცნობიან ნატურალური რიცხვების „ნაკლები“ ​​(„მეტი“) მიმართებას. და ხშირად, მის სიმრავლე-თეორიულ ინტერპრეტაციასთან ერთად, ჩვენ მიერ ჩარჩოში მოცემული განმარტება ირიბად გამოიყენება აქსიომური თეორია. მაგალითად, მოსწავლეებს შეუძლიათ ახსნან, რომ 9 > 7, რადგან 9 არის 7+2. ასევე ხშირია შეკრებისა და გამრავლების ერთფეროვნების თვისებების ნაგულისხმევი გამოყენება. მაგალითად, ბავშვები განმარტავენ, რომ „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

სავარჯიშოები

1, რატომ არ შეიძლება ნატურალური რიცხვების სიმრავლის დალაგება „მყისიერად მიყოლა“ მიმართებით?

განსაზღვრეთ დამოკიდებულება a > bდა დაამტკიცეთ, რომ ის გარდამავალი და ანტისიმეტრიულია.

3. დაამტკიცეთ, რომ თუ ა, ბ, გარის ბუნებრივი რიცხვები, მაშინ:

ა) ა< b Þ ас < bс;

ბ) ა+ თან< b + сÞ> ა< Ь.

4. რა თეორემები შეიძლება შეკრებისა და გამრავლების ერთფეროვნებაზე
გამოყენება უმცროსი სკოლის მოსწავლეების მიერ დავალების „შედარება გამოთვლების გარეშე“ შესრულებისას:

ა) 27 + 8 ... 27 + 18;

ბ) 27- 8 ... 27 -18.

5. ნატურალური რიცხვების სიმრავლის რა თვისებებს იყენებენ დაწყებითი სკოლის მოსწავლეები შემდეგი ამოცანების შესრულებისას:

ა) ჩაწერეთ რიცხვები, რომლებიც 65-ზე მეტია და 75-ზე ნაკლები.

ბ) დაასახელეთ წინა და მომდევნო რიცხვები 300 რიცხვთან მიმართებაში (800,609,999).

გ) დაასახელეთ ყველაზე პატარა და უდიდესი სამნიშნა რიცხვი.

გამოკლება

ნატურალური რიცხვების თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში გამოკლება ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც შეკრების შებრუნებული მოქმედება.

განმარტება. a და b ნატურალური რიცხვების გამოკლება არის ოპერაცია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას: a - b = c თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ b + c = a.

ნომერი ა - ბეწოდება ა და რიცხვებს შორის სხვაობა ბ,ნომერი ა– მინუენდი, ნომერი ბ-გამოიქვითება.

თეორემა 19.ნატურალური რიცხვების სხვაობა ა- ბარსებობს თუ და მხოლოდ მაშინ ბ< а.

მტკიცებულება. დაე სხვაობა ა- ბარსებობს. შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, არის ნატურალური რიცხვი თან,რა b + c = a,რაც იმას ნიშნავს, რომ ბ< а.

თუ ბ< а, მაშინ, „ნაკლები ვიდრე“ მიმართების განსაზღვრებით არის ნატურალური რიცხვი c ისეთი, რომ b + c = a.შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, c = a - b,იმათ. განსხვავება ა - ბარსებობს.

თეორემა 20. თუ ნატურალური რიცხვების სხვაობა ადა ბარსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ არსებობს ორი სხვადასხვა მნიშვნელობარიცხვების განსხვავებები ადა ბ;: ა – ბ= s1და ა - ბ= s₂, და s1 1 s2 .შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, გვაქვს: a = b + c1,და a = b + c2: .აქედან გამომდინარეობს ბ+ c 1 = b + c2 :და მე-17 თეორემაზე დაყრდნობით ჩვენ დავასკვნით, с1 = с2..ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით ვარაუდთან, რაც ნიშნავს, რომ ის მცდარია, მაგრამ ეს თეორემა სწორია.

ნატურალური რიცხვების განსხვავების განსაზღვრისა და მისი არსებობის პირობების საფუძველზე შესაძლებელია დაადასტუროს რიცხვის ჯამიდან და ჯამის გამოკლების ცნობილი წესები.

თეორემა 21. დაე ა. ბდა თან- ნატურალური რიცხვები.

ა) თუ a > c, შემდეგ (a + b) - c = (a - c) + b.

ბ) თუ ბ > გ. შემდეგ (a + b) - c - a + (b - c).

გ) თუ a > c და b > c.მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა.
მტკიცებულება. ა) რიცხვთა სხვაობის შემთხვევაში ადა გარსებობს იმიტომ a > s.მოდით აღვნიშნოთ x: a - c = x.სადაც a = c + x. თუ (ა+ ბ) - c = y.შემდეგ, განსხვავების განმარტებით, ა+ ბ = თან+ ზე. მოდით ჩავანაცვლოთ ამ თანასწორობით აგამოხატულება c + x:(c + x) + b = c + y.მოდით გამოვიყენოთ მიმატების ასოციაციურობის თვისება: c + (x + b) = გ+ ზე. მოდით გარდავქმნათ ეს თანასწორობა მიმატების ერთფეროვნების თვისებიდან გამომდინარე და მივიღოთ:

x + b = u..ამ ტოლობაში x ჩანაცვლება გამოსახულებით ა - გ,გვექნება (A -გ) + b = y.ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ a > c, შემდეგ (a + b) - c = (a - c) + b

მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად ბ) შემთხვევაში.

დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს დასამახსოვრებლად მოსახერხებელი წესის სახით: იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ რიცხვი ჯამს, საკმარისია ეს რიცხვი გამოვაკლოთ ჯამის ერთ წევრს და მივიღოთ კიდევ ერთი წევრი შედეგს.

თეორემა 22.დაე a, b და c -ნატურალური რიცხვები. თუ a > b+ s, მაშინ ა- (ბ + გ) = (ა - ბ) - გან a - (b + c) = (a - c) - b.

ამ თეორიის მტკიცებულება 21-ე თეორემის დამტკიცების მსგავსია.

თეორემა 22 შეიძლება ჩამოყალიბდეს წესით: იმისათვის, რომ რიცხვებს გამოვაკლოთ რიცხვების ჯამი, საკმარისია ამ რიცხვს გამოვაკლოთ თითოეული წევრი სათითაოდ.

IN დაწყებითი განათლებამათემატიკური განმარტება გამოკლების როგორც შებრუნებული შეკრების ზოგადი ხედიროგორც წესი, არ არის მოცემული, მაგრამ ის მუდმივად გამოიყენება, დაწყებული მოქმედებების შესრულებით ერთნიშნა რიცხვებზე. მოსწავლეებმა ნათლად უნდა გაიგონ, რომ გამოკლება დაკავშირებულია შეკრებასთან და გამოიყენონ ეს ურთიერთობა გამოთვლებში. 40-ს, მაგალითად, 16-ის გამოკლებით, მოსწავლეები ასე მსჯელობენ: „16 რიცხვის გამოკლება 40-ს ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას, რომელიც 16 რიცხვს დაემატება 40; ეს რიცხვი იქნება 24, ვინაიდან 24 + 16 = 40. ასე რომ. 40 - 16 = 24."

მათემატიკის საბაზისო კურსში რიცხვის ჯამიდან და რიცხვიდან ჯამის გამოკლების წესები არის თეორიული საფუძველისხვადასხვა გაანგარიშების მეთოდები. მაგალითად, გამოთქმის (40 + 16) - 10 მნიშვნელობის პოვნა შესაძლებელია არა მხოლოდ ფრჩხილებში ჩასმული ჯამის გამოთვლით და შემდეგ 10 რიცხვის გამოკლებით, არამედ ამ გზითაც;

ა) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

ბ) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

სავარჯიშოები

1. მართალია თუ არა, რომ ყოველი ნატურალური რიცხვი მიიღება უშუალო მომდევნოდან ერთის გამოკლებით?

2. რა არის განსაკუთრებული თეორემა 19-ის ლოგიკურ სტრუქტურაში? შეიძლება თუ არა მისი ჩამოყალიბება სიტყვებით „აუცილებელი და საკმარისი“?

3. დაამტკიცეთ, რომ:

ა) თუ ბ > გ,რომ (a + b) - c = a + (b - c);

ბ) თუ a > b + c, ეს ა - (ბ+ გ) = (ა - ბ) - გ.

4. შესაძლებელია თუ არა გამოთვლების განხორციელების გარეშე ვთქვათ რომელ გამონათქვამებს ექნება თანაბარი მნიშვნელობები:

ა) (50 + 16)- 14; დ) 50 + (16 -14 ),

ბ) (50 - 14) + 16; ე) 50 - (16 - 14);
გ) (50 - 14) - 16, ვ) (50 + 14) - 16.

ა) 50 - (16 + 14); დ) (50 - 14) + 16;

ბ) (50 - 16) + 14; ე) (50 - 14) - 16;

გ) (50 - 16) - 14; ე) 50 - 16-14.

5. გამოკლების რა თვისებებია თეორიული საფუძველი მათემატიკის საწყის კურსში შესწავლილი შემდეგი გამოთვლითი ტექნიკისთვის:

12 - 2-3 12 -5 = 7

ბ) 16-7 = 16-6 - P;

გ) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

დ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. აღწერეთ შესაძლო გზებიფორმის გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლა. ა - ბ- თანდა კონკრეტული მაგალითებით აჩვენეთ ისინი.

7. დაამტკიცეთ, რომ როცა ბ< а და ნებისმიერი ბუნებრივი c თანასწორობა მართალია (a – b) c = ac - bc.

შენიშვნა: მტკიცებულება ემყარება მე-4 აქსიომას.

8. გამოთქმის მნიშვნელობის განსაზღვრა წერილობითი გამოთვლების შესრულების გარეშე. დაასაბუთეთ თქვენი პასუხები.

ა) 7865 × 6 – 7865 ×5: ბ) 957 × 11 – 957; გ) 12 × 36 – 7 × 36.

განყოფილება

ნატურალური რიცხვების თეორიის აქსიომატურ კონსტრუქციაში გაყოფა ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია.

განმარტება. a და b ნატურალური რიცხვების გაყოფა არის ოპერაცია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას: a: b = c თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თურომ როდესაც ბ× c = a.

ნომერი ა:ბდაურეკა კერძონომრები ადა ბ,ნომერი აიყოფა, რიცხვი ბ- გამყოფი.

მოგეხსენებათ, ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე გაყოფა ყოველთვის არ არსებობს და არ არსებობს ისეთი მოსახერხებელი ნიშანი, რომლითაც არსებობს სხვაობა. არსებობს მხოლოდ აუცილებელი პირობაკერძოს არსებობა.

თეორემა 23.იმისათვის, რომ არსებობდეს ორი ნატურალური რიცხვის კოეფიციენტი ადა ბ, აუცილებელია რომ ბ< а.

მტკიცებულება. მოდით ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ადა ბარსებობს, ე.ი. არის ბუნებრივი რიცხვი c ისეთი, რომ ძვ = ა.ვინაიდან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის 1 უტოლობაა 1 £ თან,შემდეგ, მისი ორივე ნაწილის გამრავლება ნატურალურ რიცხვზე ბ, ვიღებთ ბ£ ძვ.წ.მაგრამ bc = a,აქედან გამომდინარე, ბ£ ა.

თეორემა 24.თუ ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ადა ბარსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

ამ თეორემის მტკიცებულება ნატურალური რიცხვების განსხვავების უნიკალურობის შესახებ თეორემის დამტკიცების მსგავსია.

ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტის განსაზღვრის და მისი არსებობის პირობების საფუძველზე შესაძლებელია ჯამის (განსხვავების, ნამრავლის) რიცხვზე გაყოფის ცნობილი წესების დასაბუთება.

თეორემა 25.თუ ნომრები ადა ბიყოფა რიცხვზე თან,შემდეგ მათი ჯამი a + bგაყოფილი c-ზე და ჯამის გაყოფით მიღებული კოეფიციენტი ა+ ბთითო რიცხვზე თან,გაყოფით მიღებული კოეფიციენტების ჯამის ტოლია ა on თანდა ბ on თან, ე.ი. (a + b):c = a:c + b:თან.

მტკიცებულება. ნომრიდან გამომდინარე აიყოფა თან,მაშინ არის ნატურალური რიცხვი x = ა;ეს არის a = cx.ანალოგიურად, არსებობს ასეთი ბუნებრივი რიცხვი y = b:თან,რა

ბ= სუ.მაგრამ შემდეგ a + b = cx+ cy = - c(x + y).ეს იმას ნიშნავს, რომ a + bიყოფა c-ზე, ხოლო კოეფიციენტი მიღებული ჯამის გაყოფით ა+ ბ c რიცხვით, x +-ის ტოლი y,იმათ. ცული + ბ: გ.

დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს ჯამის რიცხვზე გაყოფის წესით: იმისთვის, რომ ჯამი გავყოთ რიცხვზე, საკმარისია თითოეული წევრი გავყოთ ამ რიცხვზე და მივიღოთ მიღებული შედეგები.

თეორემა 26.თუ ნატურალური რიცხვები ადა ბიყოფა რიცხვზე თანდა a > b,მაშინ განსხვავება ა - ბიყოფა c-ზე, ხოლო სხვაობის c რიცხვზე გაყოფით მიღებული კოეფიციენტი უდრის გაყოფით მიღებულ კოეფიციენტთა სხვაობას. ა on თანდა ბ c-ზე, ე.ი. (a - b):c = a:c - b:c.

ამ თეორემის მტკიცებულება წინა თეორემის მტკიცებულების მსგავსია.

ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს სხვაობის რიცხვზე გაყოფის წესით: ამისთვისიმისთვის, რომ სხვაობა გავყოთ რიცხვზე, საკმარისია ამ რიცხვზე გავყოთ მინუენდი და სუბტრაჰენდი და გამოვაკლოთ მეორე პირველ კოეფიციენტს.

თეორემა 27.თუ ნატურალური რიცხვია აიყოფა ნატურალურ რიცხვზე c, შემდეგ ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვზე ბმუშაობა აბიყოფა ს. ამ შემთხვევაში პროდუქტის გაყოფით მიღებული კოეფიციენტი აბნომერზე s , გაყოფით მიღებული კოეფიციენტის ნამრავლის ტოლია ა on თან,და ნომრები b: (a × b): c - (a:c) × b.

მტკიცებულება. იმიტომ რომ აიყოფა თან,მაშინ არის ნატურალური რიცხვი x ისეთი რომ ა: გ= x, სად a = cx.ტოლობის ორივე მხარის გამრავლება ბ,ვიღებთ ab = (cx)b.ვინაიდან გამრავლება ასოციაციურია, მაშინ (cx) b = c(x b).აქედან (a b):c = x b= (a:c) ბ.თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს ნამრავლის რიცხვზე გაყოფის წესით: იმისათვის, რომ ნამრავლი გავყოთ რიცხვზე, საკმარისია ერთ-ერთი ფაქტორი გავყოთ ამ რიცხვზე და მიღებული შედეგი გავამრავლოთ მეორე ფაქტორზე.

დაწყებითი მათემატიკის სწავლებაში გაყოფის, როგორც გამრავლების შებრუნებული მოქმედების განმარტება, როგორც წესი, ზოგადი ტერმინებით არ არის მოცემული, მაგრამ ის მუდმივად გამოიყენება, გაყოფის გაცნობის პირველი გაკვეთილებიდან დაწყებული. მოსწავლეებმა ნათლად უნდა გაიგონ, რომ გაყოფა დაკავშირებულია გამრავლებასთან და გამოიყენონ ეს კავშირი გამოთვლების კეთებისას. მაგალითად, 48-ის 16-ზე გაყოფისას მოსწავლეები ასე მსჯელობენ: „48-ის 16-ზე გაყოფა ნიშნავს ისეთი რიცხვის პოვნას, რომელიც 16-ზე გამრავლებისას მივიღებთ 48-ს; ასეთი რიცხვი იქნება 3, ვინაიდან 16×3 = 48. ამიტომ, 48: 16 = 3.

სავარჯიშოები

1. დაამტკიცეთ, რომ:

ა) თუ ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ა და ბარსებობს, მაშინ ის უნიკალურია;

ბ) თუ რიცხვები ა და ბიყოფა თანდა a > b,რომ (ა - ბ): გ = ა: გ - ბ: გ.
2. შესაძლებელია თუ არა იმის თქმა, რომ ყველა ეს თანასწორობა მართალია:
ა) 48:(2×4) = 48:2:4; ბ) 56:(2×7) = 56:7:2;

გ) 850:170 =850:10:17.

რა წესი აზოგადებს ამ შემთხვევებს? ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ.

3. გაყოფის რა თვისებებია თეორიული საფუძველი
სკოლის მოსწავლეებისთვის შეთავაზებული შემდეგი ამოცანების შესრულება დაწყებითი კლასები:

შესაძლებელია თუ არა, დაყოფის შესრულების გარეშე, იმის თქმა, რომელ გამონათქვამებს ექნება იგივე მნიშვნელობა:

ა) (40+ 8):2; გ) 48:3; ე) (20+ 28):2;

ბ) (30 + 16):3; ზ)(21+27):3; ვ) 48:2;

მართალია თუ არა თანასწორობა:

ა) 48:6:2 = 48:(6:2); ბ) 96:4:2 = 96:(4-2);

გ) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. აღწერეთ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლის შესაძლო გზები
ტიპი:

ა) (ა+ ბ): გ;ბ) ა:ბ: თან; V) ( a × ბ): თან .

შემოთავაზებული მეთოდების ილუსტრირება კონკრეტული მაგალითებით.

5. რაციონალურად იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა; მათი
დაასაბუთეთ თქვენი ქმედებები:

ა) (7 × 63):7; გ) (15 × 18):(5× 6);

ბ) (3 × 4× 5): 15; დ) (12 × 21): 14.

6. დაასაბუთეთ ორნიშნა რიცხვზე გაყოფის შემდეგი მეთოდები:

ა) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

ბ) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

გ) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

დ) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.

7. კუთხით გაყოფის გარეშე იპოვე ყველაზე რაციონალური
თანაბრად; დაასაბუთეთ არჩეული მეთოდი:

ა) 495:15; გ) 455:7; ე) 275:55;

6) 425:85; დ) 225:9; ე) 455:65.

ლექცია 34. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლის თვისებები

1. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლის თვისებები.

2. რიცხვების ბუნებრივი რიგისა და სასრულ სიმრავლის ელემენტების მთვლელის სეგმენტის ცნება. რიგითი და კარდინალური ნატურალური რიცხვები.

სპეციალობის სახელმწიფო გამოცდისთვის

1. ხაზოვანი (ვექტორული) სივრცე ველზე. მაგალითები. ქვესივრცეები, უმარტივესი თვისებები. ხაზოვანი დამოკიდებულებადა ვექტორული დამოუკიდებლობა.

2. ვექტორული სივრცის საფუძველი და განზომილება. ვექტორული სისტემის საკოორდინატო მატრიცა. ერთი საფუძვლიდან მეორეზე გადასვლა. ვექტორული სივრცეების იზომორფიზმი.

3. ველის ალგებრული ჩაკეტვა რთული რიცხვები.

4. მთელი რიცხვების ბეჭედი. მთელი რიცხვების დალაგება. თეორემები "ყველაზე დიდი" და "პატარა" მთელი რიცხვების შესახებ.

5. ჯგუფი, ჯგუფების მაგალითები. ჯგუფების უმარტივესი თვისებები. ქვეჯგუფები. ჯგუფების ჰომორფიზმი და იზომორფიზმი.

6. მთელი რიცხვების გაყოფის ძირითადი თვისებები. მარტივი რიცხვები. ნაკრების უსასრულობა მარტივი რიცხვები. კანონიკური გაფართოება კომპოზიტური ნომერიდა მისი უნიკალურობა.

7. კრონეკერ-კაპელის თეორემა (სისტემის თავსებადობის კრიტერიუმი წრფივი განტოლებები).

8. შედარების ძირითადი თვისებები. მოდულის გამოკლების სრული და შემცირებული სისტემები. მოდულის ნარჩენების კლასის ბეჭედი. ეილერის და ფერმას თეორემები.

9. შედარების თეორიის გამოყენება გაყოფის კრიტერიუმების წარმოშობაზე. წილადის ათწილადად გადაქცევა და მისი პერიოდის ხანგრძლივობის დადგენა.

10. მრავალწევრის წარმოსახვითი ფესვების კონიუგაცია ნამდვილ კოეფიციენტებთან. შეუქცევადი მრავალწევრები რეალური რიცხვების ველზე.

11. წრფივი შედარება ერთ ცვლადთან (ხსნადობის კრიტერიუმი, ამოხსნის მეთოდები).

12. წრფივი განტოლებათა ეკვივალენტური სისტემები. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი.

13. ბეჭედი. ბეჭდების მაგალითები. ბეჭდების უმარტივესი თვისებები. ქვერგოლი. რგოლების ჰომორფიზმი და იზომორფიზმი. ველი. ველების მაგალითები. უმარტივესი თვისებები. რაციონალური რიცხვების ველის მინიმალურობა.

14. ნატურალური რიცხვები (ნატურალური რიცხვების აქსიომატური თეორიის საფუძვლები). თეორემები „ყველაზე დიდი“ და „უმცირესი“ ნატურალური რიცხვების შესახებ.

15. პოლინომები ველზე. თეორემა ნაშთით გაყოფის შესახებ. ორი მრავალწევრის უდიდესი საერთო გამყოფი, მისი თვისებები და პოვნის მეთოდები.

16. ორობითი ურთიერთობები. ეკვივალენტურობის მიმართება. ეკვივალენტობის კლასები, ფაქტორების ნაკრები.

17. მათემატიკური ინდუქცია ნატურალური და მთელი რიცხვებისთვის.

18. შედარებით მარტივი რიცხვების თვისებები. მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი, მისი თვისებები და პოვნის მეთოდები.

19. კომპლექსური რიცხვების ველი, რიცხვითი ველები. რთული რიცხვის გეომეტრიული გამოსახულება და ტრიგონომეტრიული ფორმა.

20. თეორემა ნაშთით გაყოფაზე მთელი რიცხვებისთვის. მთელი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, მისი თვისებები და პოვნის მეთოდები.

21. ვექტორული სივრცის წრფივი ოპერატორები. წრფივი ოპერატორის ბირთვი და გამოსახულება. წრფივი ოპერატორების ალგებრა ვექტორულ სივრცეში. წრფივი ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.

22. სიბრტყის აფინური გარდაქმნები, მათი თვისებები და დაზუსტების მეთოდები. სიბრტყისა და მისი ქვეჯგუფების აფინური გარდაქმნების ჯგუფი.

23. მრავალკუთხედები. მრავალკუთხედის ფართობი. არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა.

24. მრავალკუთხედების თანაბარი ზომა და თანაბარი შემადგენლობა.

25. ლობაჩევსკის გეომეტრია. ლობაჩევსკის გეომეტრიის აქსიომების სისტემის თანმიმდევრულობა.

26. პარალელიზმის ცნება ლობაჩევსკის გეომეტრიაში. ხაზების შედარებითი პოზიცია ლობაჩევსკის თვითმფრინავზე.

27. მოძრაობის ფორმულები. თვითმფრინავის მოძრაობების კლასიფიკაცია. აპლიკაციები პრობლემის გადასაჭრელად.

28. ორი სიბრტყის, სწორი ხაზის და სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია სივრცეში (ანალიტიკურ წარმოდგენაში).

29. პროექციული გარდაქმნები. არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა. პროექციული გარდაქმნების ფორმულები.

30. ვექტორების სკალარული, ვექტორული და შერეული ნაწარმოებები, მათი გამოყენება ამოცანის ამოხსნაში.

31. სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ვეილის აქსიომური სისტემა და მისი შინაარსის თანმიმდევრულობა.

32. სიბრტყის მოძრაობები და მათი თვისებები. თვითმფრინავის მოძრაობათა ჯგუფი. არსებობის თეორემა და მოძრაობის უნიკალურობა.

33. პროექციული სიბრტყე და მისი მოდელები. პროექციული გარდაქმნები, მათი თვისებები. პროექციული გარდაქმნების ჯგუფი.

34. სიბრტყის მსგავსების გარდაქმნები, მათი თვისებები. სიბრტყის მსგავსების გარდაქმნების ჯგუფი და მისი ქვეჯგუფები.

35. გლუვი ზედაპირები. ზედაპირის პირველი კვადრატული ფორმა და მისი გამოყენება.

36. პარალელური დიზაინი და მისი თვისებები. ბრტყელი და სივრცითი ფიგურების გამოსახულება პარალელურ პროექციაში.

37. გლუვი ხაზები. სივრცითი მრუდის გამრუდება და მისი გამოთვლა.

38. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, როგორც კონუსური მონაკვეთები. კანონიკური განტოლებები.

39. ელიფსის, ჰიპერბოლისა და პარაბოლის რეჟისორული თვისება. პოლარული განტოლებები.

40. წრფეზე ოთხი წერტილის ორმაგი შეფარდება, მისი თვისებები და გამოთვლა. წერტილთა წყვილის ჰარმონიული გამოყოფა. სრული ოთხკუთხედი და მისი თვისებები. განაცხადი სამშენებლო პრობლემების გადასაჭრელად.

41. პასკალისა და ბრიანშონის თეორემები. პოლუსები და პოლარები.

კითხვების ნიმუში მათემატიკური ანალიზის შესახებ