თეორემა წარმოებულის მქონე ფუნქციის უწყვეტობის შესახებ. ფუნქციის დიფერენციალურობა. ფუნქციის დიფერენციალი დიფერენცირებადი ფუნქციის უწყვეტობა ფუნქციის დიფერენციალური ცნება დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

პრობლემა მოძრავი წერტილის სიჩქარის შესახებ

მოდით იყოს მართკუთხა მოძრაობის კანონი მატერიალური წერტილი. მოდით აღვნიშნოთ დროის წერტილის მიერ გავლილი ბილიკით და დროში გავლილი ბილიკით. შემდეგ დროთა განმავლობაში წერტილი გაივლის გზას, რომელიც ტოლია: . თანაფარდობა ეწოდება წერტილის საშუალო სიჩქარეს დროის მანძილზე. რაც ნაკლებია, ე.ი. რაც უფრო მოკლეა დროის ინტერვალი დან მდე, მით უკეთესი საშუალო სიჩქარე ახასიათებს წერტილის მოძრაობას დროის მომენტში. აქედან გამომდინარე, ბუნებრივია სიჩქარის კონცეფციის შემოღება მომენტში, განსაზღვრავს მას, როგორც საშუალო სიჩქარის ზღვარს იმ პერიოდისთვის, სანამ:

რაოდენობას ეწოდება წერტილის მყისიერი სიჩქარე მოცემულ მომენტში.

მოცემული მრუდის ტანგენტის პრობლემა

სიბრტყეზე უწყვეტი მრუდი იყოს მოცემული განტოლებით. საჭიროა მოცემული მრუდის არავერტიკალური ტანგენტის დახატვა წერტილში . ვინაიდან ტანგენციის წერტილი მოცემულია, პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა ტანგენსის დახრილობის პოვნა. გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ სად არის ტანგენსის დახრილობის კუთხე ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ (იხ. სურათი). წერტილების მეშვეობით და დავხატოთ სეკანტი, სადაც არის ღერძის დადებითი მიმართულების სეკანტის მიერ წარმოქმნილი კუთხე. ნახატიდან ირკვევა , რომ სად . მოცემული მრუდის ტანგენტის დახრილობა წერტილში შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი განმარტების საფუძველზე.

წერტილში მრუდის ტანგენსი არის სეკანტის შემზღუდველი პოზიცია, როდესაც წერტილი მიდრეკილია წერტილისკენ . აქედან გამომდინარეობს .

წარმოებულის განმარტება

ზემოთ განხილული ამოცანების გადასაჭრელად საჭირო მათემატიკური ოპერაცია იგივეა. მოდით განვმარტოთ ამ ოპერაციის ანალიტიკური არსი, აბსტრაქტით კონკრეტული კითხვებიდან, რამაც გამოიწვია იგი.

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს რაღაც ინტერვალზე. ავიღოთ მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან. მოდით დავამატოთ ნამატი (დადებითი ან უარყოფითი). ეს ახალი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ახალ ფუნქციის მნიშვნელობას , სად .

დავამყაროთ ურთიერთობა , ეს არის ფუნქცია .

ფუნქციის წარმოებული ცვლადთან მიმართებაში ამ ეტაპზე არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი იმ არგუმენტის ზრდასთან, რამაც გამოიწვია იგი, როდესაც თვითნებურად:

კომენტარი. ითვლება, რომ ფუნქციის წარმოებული არსებობს იმ შემთხვევაში, თუ ფორმულის მარჯვენა მხარეს ლიმიტი არსებობს და არის სასრული და არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ მიისწრაფვის ცვლადის ზრდა 0-მდე (მარცხნიდან ან მარჯვნიდან). .

ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცესს მისი დიფერენციაცია ეწოდება.

გარკვეული ფუნქციების წარმოებულების მოძიება განსაზღვრებით

ა) მუდმივის წარმოებული.

მოდით, სად არის მუდმივი, რადგან ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ყველასთვის ერთნაირია, მაშინ მისი ზრდა არის ნული და, შესაბამისად,

.

ასე რომ, მუდმივის წარმოებული ტოლია ნულის, ე.ი. .

ბ) ფუნქციის წარმოებული.

მოდით შევქმნათ ფუნქციის ზრდა:

.

წარმოებულის პოვნისას გამოვიყენეთ ფუნქციების ნამრავლის ზღვრის თვისება, პირველი შესამჩნევი ზღვარი და ფუნქციის უწყვეტობა.

ამრიგად, .

კავშირი ფუნქციის დიფერენციალურობასა და მის უწყვეტობას შორის

ფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული წერტილი, ამბობენ, რომ დიფერენცირებადია ამ წერტილში. ფუნქციას, რომელსაც აქვს წარმოებული გარკვეული ინტერვალის ყველა წერტილში, ამ ინტერვალზე დიფერენცირებადი ეწოდება.

თეორემა.თუ ფუნქცია არის დიფერენცირებადი წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია ამ წერტილში.

მტკიცებულება. მოდით არგუმენტს მივცეთ თვითნებური ზრდა. შემდეგ ფუნქცია მიიღებს ზრდას. მოდით ჩავწეროთ ტოლობა და გადავიდეთ ზღვრამდე მარცხენა და მარჯვენა მხარეს:

ვინაიდან უწყვეტი ფუნქციისთვის არგუმენტში უსასრულოდ მცირე ზრდა შეესაბამება ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდას, თეორემა შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად.

კომენტარი. საპირისპირო განცხადება არ მოქმედებს, ე.ი. ფუნქციის უწყვეტობისგან ერთ წერტილში, ზოგადად რომ ვთქვათ, დიფერენციალურობა ამ ეტაპზე არ მოჰყვება. მაგალითად, ფუნქცია უწყვეტია ყველასთვის, მაგრამ ის არ არის დიფერენცირებადი წერტილში. ნამდვილად:

ლიმიტი არის უსასრულო, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი წერტილში.

წარმოებულების ცხრილი ელემენტარული ფუნქციები

კომენტარი. მოდით გავიხსენოთ ფუნქციების დიფერენცირებისას გამოყენებული ძალებისა და ფესვების თვისებები:

მოვიყვანოთ წარმოებულების პოვნის მაგალითები.

1) .

2)

რთული ფუნქციის წარმოებული

დაე . მაშინ ფუნქცია იქნება კომპლექსური ფუნქცია x.

თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში xდა ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში u, მაშინ ის ასევე დიფერენცირებადია წერტილში x, და

.

1.

მაშინ ვვარაუდობთ. აქედან გამომდინარე

საკმარისი უნარით, შუალედური ცვლადი uარ დაწეროთ, შედით მასში მხოლოდ გონებრივად.

2.

დიფერენციალური

მოდით დავხატოთ ტანგენსი უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკზე წერტილში მ.ტ., აღნიშნავს ჯმისი დახრილობის კუთხე ღერძის დადებითი მიმართულებით ოჰ.მას შემდეგ, რაც სამკუთხედიდან MEFამას მოჰყვება

შემოვიღოთ აღნიშვნა

.

ამ გამოთქმას ე.წ დიფერენციალურიფუნქციები ასე რომ

შეამჩნია, რომ ე.ი. რომ დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის მის ზრდას, ვიღებთ

ამრიგად, ფუნქციის დიფერენციალი უდრის მისი წარმოებულისა და დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალის (ან ნამატის) ნამრავლს.

ბოლო ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ე.ი. ფუნქციის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციის დიფერენციალურობის შეფარდებას არგუმენტის დიფერენციალთან.

ფუნქციის დიფერენციალი დიგეომეტრიულად წარმოადგენს ტანგენტის ორდინატის ნამატს, რომელიც შეესაბამება D არგუმენტის ზრდას X.

ნახაზიდან ირკვევა, რომ საკმარისად მცირე დ Xაბსოლუტური მნიშვნელობით შეგვიძლია ავიღოთ ფუნქციის ნამატის დაახლოებით ტოლი მისი დიფერენციალის, ე.ი.

.

განვიხილოთ რთული ფუნქცია, სადაც და არის დიფერენცირებადი u, და – მიერ X. რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესის მიხედვით

გავამრავლოთ ეს თანასწორობა dx:

ვინაიდან (დიფერენციალის განმარტებით), მაშინ

ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენციალს აქვს იგივე ფორმა, თუ ცვლადი uარ იყო შუალედური არგუმენტი, არამედ დამოუკიდებელი ცვლადი.

დიფერენციალის ეს თვისება ე.წ უცვლელობა(უცვლელობა) დიფერენციალური ფორმები.

მაგალითი. .

დიფერენციაციის ყველა წესი შეიძლება დაიწეროს დიფერენციალებისთვის.

დაე - დიფერენცირებადი წერტილში X. მერე

დავამტკიცოთ მეორე წესი.

წარმოებული იმპლიციტური ფუნქცია

მიეცით ფორმის განტოლება, რომელიც აკავშირებს ცვლადებს და ,. თუ მისი ცალსახად გამოხატვა შეუძლებელია ,-ის მეშვეობით (გადაწყვეტილია )-სთან შედარებით, მაშინ ასეთი ფუნქცია ეწოდება ირიბად მოცემული. ასეთი ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ უნდა განასხვავოთ განტოლების ორივე მხარე . მიღებული ახალი განტოლებიდან იპოვეთ.

მაგალითი. .

ჩვენ განვასხვავებთ განტოლების ორივე მხარეს .-ის მიმართ, გვახსოვდეს, რომ არსებობს ფუნქცია

ლექცია 4. ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული და დიფერენციალი

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია x = x 0, მაშინ ის უწყვეტია ამ ეტაპზე.

ამრიგად, ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული უწყვეტობის წერტილებში. საპირისპირო დასკვნა არასწორია, ე.ი. იქიდან, რომ რაღაც მომენტში x = x 0 ფუნქცია წ = ვ(x) არის უწყვეტი, ეს არ ნიშნავს რომ ის ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია. მაგალითად, ფუნქცია წ = |x| უწყვეტი ყველასთვის x (–< X < ), но в точке x= 0-ს არ აქვს წარმოებული. ამ ეტაპზე არ არის ტანგენსი გრაფიკზე. არსებობს მარჯვენა და მარცხენა ტანგენსი, მაგრამ ისინი ერთმანეთს არ ემთხვევა.

21 წესების მოძიება წარმოება თანხები

წესი 1.თუ y = f(x) და y = g(x) ფუნქციებს აქვთ წარმოებული x წერტილში, მაშინ მათ ჯამს ასევე აქვს წარმოებული x წერტილში და ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს:
(f(x) + 8(x))" =f (x)+ (x).
პრაქტიკაში ეს წესი უფრო მოკლედ არის ჩამოყალიბებული: ჯამის წარმოებული უდრის მისი წარმოებულების ჯამს.
მაგალითად,
წესი 2.თუ ფუნქციას y = f(x) აქვს წარმოებული x წერტილში, მაშინ ფუნქციას y = kf(x) ასევე აქვს წარმოებული x წერტილში და:

პრაქტიკაში ეს წესი უფრო მოკლედ არის ჩამოყალიბებული: მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. მაგალითად,

წესი 3.თუ y=f(x) და y =g(x) ფუნქციებს აქვთ წარმოებული x წერტილში, მაშინ მათ ნამრავლს ასევე აქვს წარმოებული x წერტილში და:

პრაქტიკაში ეს წესი ფორმულირებულია შემდეგნაირად: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის ორი წევრის ჯამს. პირველი წევრი არის პირველი ფუნქციისა და მეორე ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლი, ხოლო მეორე წევრი არის პირველი ფუნქციისა და მეორე ფუნქციის წარმოებული.
მაგალითად:
წესი 4.თუ y = f(x) და y=g(x) ფუნქციებს აქვთ წარმოებული, მაშინ კოეფიციენტს აქვს წარმოებული x წერტილში და:

რთული წარმოებულების ცხრილი

22 განსხვავებები. ფუნქციონალური წერტილში

ფუნქცია წ=ვ(x) ნათქვამია, რომ დიფერენცირებადია იმ წერტილში x 0, თუ მისი ნამატია Δ წ(x 0,Δ x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

Δ წ(x 0,Δ x)=აΔ x+ო(Δ x).

მთავარი ხაზოვანი ნაწილი აΔ xმატება Δ წეწოდება ამ ფუნქციის დიფერენციალური წერტილი x 0, რაც შეესაბამება Δ ნამატს x, და აღინიშნება სიმბოლოთი დი(x 0,Δ x).

ფუნქციის მიზნით წ=ვ(x) იყო დიფერენცირებადი იმ წერტილში x 0, აუცილებელია და საკმარისია წარმოებულის არსებობისთვის ვ′( x 0), და თანასწორობა მართალია ა=ვ′( x 0).

დიფერენციალური გამოთქმას აქვს ფორმა

დი(x 0,dx)=ვ′( x 0)dx,

სად dx=Δ x.

23 პროდ. კომპლექსი ფუნქცია

რთული ფუნქციის წარმოებული. პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

დაე წ - რთული ფუნქცია x, ე.ი. წ = ვ(u), u = გ(x), ან

თუ გ(x) და ვ(u) – მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები, შესაბამისად, წერტილებში xდა u = გ(x), მაშინ კომპლექსური ფუნქცია ასევე დიფერენცირებადია წერტილში x და ნაპოვნია ფორმულით

პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებული.

24 პროდუქცია და განსხვავებები. უმაღლესი შეკვეთა

ახლა მოდით, th რიგის წარმოებული განისაზღვროს წერტილის გარკვეულ მიმდებარედ და იყოს დიფერენცირებადი. მერე

თუ ფუნქციას აქვს ნაწილობრივი წარმოებული ერთ-ერთ ცვლადთან მიმართებაში რომელიმე D დომენში, მაშინ აღნიშნულ წარმოებულს, რომელიც თავად არის ფუნქცია, შეიძლება ჰქონდეს ნაწილობრივი წარმოებულები იმავე ან რომელიმე სხვა ცვლადთან მიმართებაში რაღაც მომენტში. ორიგინალური ფუნქციისთვის, ეს წარმოებულები იქნება მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები (ან მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები).

მეორე ან უფრო მაღალი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულს სხვადასხვა ცვლადის მიმართ აღებული ეწოდება შერეული ნაწილობრივი წარმოებული. მაგალითად,

შეკვეთის დიფერენციალი ნ, სად n > 1, ფუნქციის რაღაც მომენტში ეწოდება დიფერენციალი რიგითი დიფერენციალის ამ წერტილში (n - 1), ანუ

ფუნქციისთვის, რომელიც დამოკიდებულია ერთ ცვლადზე, მეორე და მესამე დიფერენციალი ასე გამოიყურება:

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ ზოგადი ხედიდიფერენციალური ნფუნქციიდან მერვე შეკვეთა:

25 ფერმას, როლის, ლანგრაჟის თეორემები

ვ ფერმას თეორემა:დაე, ფუნქცია განისაზღვროს და მიაღწიოს მაქსიმუმს და ყველაზე დაბალი ღირებულება (მდა მ) ზოგიერთში. თუ არის წარმოებული ში, მაშინ ის აუცილებლად 0-ის ტოლია.

მტკიცებულება: არსებობს. არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა:

1) , => , => .

2) , => , => .

1) და 2)-დან გამომდინარეობს, რომ

ვ როლის თეორემა (წარმოებულის ფესვების შესახებ):ფუნქცია იყოს უწყვეტი ჩართული და დიფერენცირებადი და მიიღოს იგივე მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში: . მაშინ არის მინიმუმ ერთი წერტილი დან, წარმოებული, რომელზედაც .

v დადასტურება: უწყვეტი მიღწევები ჩართულია მდა მ. მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

2) უმაღლესი ღირებულებამიიღწევა ინტერვალში ფერმას თეორემით.

ვ ლანგრეჟის თეორემა (საბოლოო ნამატების შესახებ):ფუნქცია იყოს უწყვეტი ჩართული და დიფერენცირებადი. მაშინ არის ერთი მაინც, რომლისთვისაც მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: .

დადასტურება: შემოვიტანოთ ფუნქცია . (უწყვეტი on და დიფერენცირებადი on).

ფუნქცია აკმაყოფილებს როლის თეორემას, რომლისთვისაც: , , , .

· ფუნქცია გამოძახებულია მკაცრად იზრდებათუ

· ფუნქცია გამოძახებულია მცირდებათუ

· ფუნქცია გამოძახებულია მკაცრად მცირდებათუ

განმარტება: ფუნქციის წარმოებული წერტილი არის ის ზღვარი, რომლითაც არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან მისი ზრდის შეფარდება მიდრეკილია, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის:

ანუ, თუ განსაზღვრულია, მაშინ

თეორემა 1:

ფუნქციის გრაფიკს აქვს არავერტიკალური ტანგენსი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემულ წერტილში არის ამ ფუნქციის წარმოებულის სასრული მნიშვნელობა.

მტკიცებულება:

იყოს მნიშვნელობა f'() - სასრული, მაშინ

იყოს არავერტიკალური ტანგენსი => არის სასრული.

სეკანტი მიდრეკილია ტანგენტისკენ.

თეორემა დადასტურდა.

ბილეთი 2 წარმოებულის მქონე ფუნქციის უწყვეტობა.

ფუნქცია f (x), რომელიც განსაზღვრულია a წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში, ამ წერტილში უწყვეტი ეწოდება if

თეორემა: (წარმოებულის არსებობის აუცილებელი პირობა)

თუ ფუნქცია წერტილში სასრულია, ის არ არის უწყვეტი წერტილში.

მტკიცებულება:

მაშასადამე, ის ერთ წერტილში უწყვეტია.

თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი : საპირისპირო დებულება არ არის ჭეშმარიტი, თუ ფუნქცია არის უწყვეტი წერტილში, მაშინ არ გამომდინარეობს, რომ მას აქვს წარმოებული ამ წერტილში.

განცხადება : თუ ფუნქციას აქვს მარჯვენა და მარცხენა წარმოებულები წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ.

ბილეთი 3

ჯამის, ნამრავლის, კოეფიციენტის წარმოებული.

შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული.

დიფერენცირებადი ფუნქციის განმარტება. საჭირო და საკმარისი მდგომარეობადიფერენცირებადობა.

ფუნქციას ჰქონდეს წარმოებული წერტილი (სასრული): .

შემდეგ, საკმარისად მცირეებისთვის, შეგვიძლია დავწეროთ ის ჯამის სახით და გარკვეული ფუნქციის სახით, რომელსაც აღვნიშნავთ, რომელიც ნულისკენ მიდრეკილია:

და ნამატი წერტილში შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ან (1) ,

ბოლოს და ბოლოს, გამოთქმა გაგებულია, როგორც ფუნქცია ისეთი, რომ მისი თანაფარდობა ნულისკენ მიისწრაფვის.

ახსნა:

განმარტება .

ფუნქცია ითვლება დიფერენცირებად წერტილში, თუ მისი ზრდა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: (2),

სადაც A არ არის დამოკიდებული, მაგრამ ზოგადად დამოკიდებულია.

თეორემა 1:

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი წერტილში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მას ჰქონდეს სასრული წარმოებული ამ წერტილში.

მტკიცებულება:

მდგომარეობის საკმარისობა ზემოთ დადასტურდა: სასრულ წარმოებულის არსებობიდან მოჰყვა (1) სახით წარმოდგენის შესაძლებლობა, სადაც შეგვიძლია ჩავსვათ.

აუცილებლობის პირობა . დაე, ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი წერტილში. შემდეგ (2-დან), თუ ვივარაუდებთ, ვიღებთ.

მარჯვენა მხარის ზღვარი არსებობს და უდრის A:.

ეს ნიშნავს, რომ არსებობს წარმოებული. თეორემა დადასტურდა.

ბილეთი 6 ფუნქციის დიფერენციალი, მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა.

თუ ფუნქცია ვაქვს წარმოებული f'(x ო ) წერტილში x ო, მაშინ არის ზღვარი, სადაც Δ f=f(x ო + Δ x)-f(x ო ) ,, ან სად A=f'(x ო ) .

განმარტება:

ფუნქცია ვდიფერენცირებადი წერტილში x ო, თუ მისი ზრდა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სად აΔ x=df. (*)

დიფერენციალი არის ფუნქციის ზრდის მთავარი წრფივი ნაწილი.

თუ არსებობს სასრულ წარმოებული f'(x ო ) წერტილში x ო, შემდეგ ფუნქცია f(x)ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია.

პირიქითაც მართალია: თუ ფუნქცია ვდიფერენცირებადი წერტილში x ო, ე.ი. მისი ნამატი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით (*), მაშინ მას აქვს წარმოებული წერტილი x ო, ტოლია ა:

დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა:

ადა ბ- გრაფიკის წერტილები f(x)მნიშვნელობების შესაბამისი x ოდა (x ო + Δ x)დამოუკიდებელი ცვლადი. ქულების ორდინატები ადა ბშესაბამისად თანაბარი f(x ო ) და f(x ო + Δ x). ფუნქციის ზრდა Δ f=f(x ო + Δ x)-f(x ო ) წერტილში x ოსეგმენტის სიგრძის ტოლი BDდა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჯამის Δ f=BD=DC+CB, სად DC=tgαΔ x=f΄(x ო ) Δ xდა α არის კუთხე წერტილში ტანგენტს შორის აგრაფიკისა და ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ x. აქედან ირკვევა, რომ DCარსებობს დიფერენციალური ფუნქცია ვწერტილში x ო :

DC=df=f΄(x ო ) Δ x.

ამავდროულად მეორე წევრის წილი C.B.მატება Δ ვღირებულების ანგარიში. ეს მნიშვნელობა, მთლიანობაში Δ x, შესაძლოა მთავარ ტერმინზე დიდიც კი, მაგრამ ეს უფრო მაღალი რიგის უსასრულოდ მცირეა, ვიდრე Δ x, როდესაც Δ x→0.

თეორემა:თუ ფუნქცია წ = ვ(x) რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია x = x 0, მაშინ ის უწყვეტია ამ ეტაპზე.

ამრიგად, ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული უწყვეტობის წერტილებში. საპირისპირო დასკვნა არასწორია, ე.ი. იქიდან, რომ რაღაც მომენტში x = x 0 ფუნქცია წ = ვ(x) არის უწყვეტი, ეს არ ნიშნავს რომ ის ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია. მაგალითად, ფუნქცია წ = |x| უწყვეტი ყველასთვის x (–Ґ< X < Ґ), но в точке x= 0-ს არ აქვს წარმოებული. ამ ეტაპზე არ არის ტანგენსი გრაფიკზე. არსებობს მარჯვენა და მარცხენა ტანგენსი, მაგრამ ისინი ერთმანეთს არ ემთხვევა.

რთული ფუნქციის წარმოებული

თეორემა:დაე, ფუნქციას, განსაზღვრულ და უწყვეტს სამეზობლოში, ჰქონდეს წარმოებული წერტილში. ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია სამეზობლოში სადაც , და აქვს წარმოებული წერტილში . მაშინ კომპლექსურ ფუნქციას აქვს წარმოებული წერტილი და

.

სად და - ბ.მ.ფ. მერე

და , სად ბ.მ.ფ. წერტილში.

28. ორი ფუნქციის ჯამის, ნამრავლისა და კოეფიციენტის წარმოებული.

ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) წარმოებული

ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული გამოიხატება შემდეგი თეორემით.

ჯამის წარმოებული (განსხვავება)ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას):

დიფერენცირებადი ფუნქციების სასრული ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია ტერმინთა წარმოებულების იმავე ალგებრული ჯამის. მაგალითად,

ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული.

დაე u(x) და u(x) - დიფერენცირებადი ფუნქციები. შემდეგ ფუნქციების პროდუქტი u(x)v(x) ასევე დიფერენცირებადი და

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული არ არის ამ ფუნქციების წარმოებულების ნამრავლის ტოლი.

კოეფიციენტური ფუნქციების წარმოებული.

დაე u(x) და u(x) - დიფერენცირებადი ფუნქციები. მაშინ თუ v(x) ≠ 0 , მაშინ ამ ფუნქციების კოეფიციენტის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით

29. შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული.

თეორემა (შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული)

ეს იყოს უწყვეტი, მკაცრად მონოტონური (მზარდი ან კლებადი) ფუნქცია სეგმენტზე და აქვს წარმოებული წერტილი. მაშინ შებრუნებულ ფუნქციას აქვს წარმოებული წერტილი და

.

DOC.

= .

თეორემა. (პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული)დაუშვით ფუნქცია x = φ(t) აქვს შებრუნებული ფუნქცია t = Ф(x). თუ ფუნქციები x=φ(t) ,y = ψ(t) დიფერენცირებადი და φ"(t) ≠ 0 , მაშინ

მტკიცებულება

ფუნქციიდან გამომდინარე x = φ(t) აქვს შებრუნებული ფუნქცია, მაშინ ფორმალურად y შეიძლება გამოიხატოს მეშვეობით x : y = ψ(Ф (x)) . ფუნქციიდან გამომდინარე x = φ(t) დიფერენცირებადია, შემდეგ მიხედვით თეორემა 5, ფუნქცია t = Ф(x) ასევე დიფერენცირებადია.

დიფერენცირების წესების გამოყენებით ვიღებთ ჩტდ

მსგავსი ფორმულა შეიძლება მივიღოთ მეორე წარმოებულზე y"" x :

ბოლოს მივიღებთ

30. უმაღლესი ორდერების წარმოებულები. ლაიბნიცის ფორმულა.

თუ f განისაზღვრება ინტერვალზე (a,b)®R, dif-ma წერტილი xО(a,b) მაშინ ახალი ფუნქცია f გამოჩნდება (a,b) ’ :(a,b)®R, რომლის მნიშვნელობა x=f წერტილში ’ (x). ფუნქცია f ’ თავად შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული (ვ ’ )’ : (a,b)®R-ზე მას უწოდებენ f-ის მეორე წარმოებულს თავდაპირველი ფუნქციის მიმართ და აღინიშნება f-ით. ” (x), d 2 f(x)/dx 2 ან f ” xx(x), f ” x2 (x); ODA. თუ n-1 რიგის წარმოებული f (n -1) (x) განისაზღვრება f-დან, მაშინ n რიგის წარმოებული განისაზღვრება f (n) (x)=(f n -1))'(x ). მისთვის მიღებული აღნიშვნაა f (n) (x)=d n f(x)/dx n – ლაიბნიცის ფაკულტეტი, f (0) (x):=f(x).

31. ფუნქციის დიფერენციალურობის ცნება და პირველი დიფერენციალი. დიფერენცირებისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

1.დიფერენციალური ფუნქცია y = f(x) არის მთავარი წრფივი D x ნამატის D y ნაწილის მიმართ, წარმოებულის ნამრავლისა და დამოუკიდებელი ცვლადის ნამატის ტოლი.

dy = f"(x) დ x.

გაითვალისწინეთ, რომ დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის ამ ცვლადის ნამატს dx = D x. ამიტომ, დიფერენციალური ფორმულა ჩვეულებრივ იწერება შემდეგი ფორმით:

dy = f"(x)dx.

2. დიფერენცირებადობა.ფუნქციას ეწოდება დიფერენცირებადი x წერტილში, თუ მისი ზრდა ∆y ამ წერტილში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, სადაც A არ არის დამოკიდებული ∆x, α და α( ∆x ) - უსასრულოდ მცირე ფუნქცია∆x-თან შედარებით ∆x→0-ზე.

32. წარმოებულისა და დიფერენციალურის გეომეტრიული მნიშვნელობა. გრაფიკის ტანგენტი და ნორმალური.

ვთქვათ f განისაზღვროს (a,b)-ზე და უწყვეტი x 0 О(a,b) წერტილში, მოდით y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxО(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 ) თუ $ კონ. ლიმიტი lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 მაშინ იწოდება წრფე y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2).

(ირიბი) f-ის გრაფიკზე ტანგენსი (x 0 ,y 0);

2 ) თუ $ არის უსასრულო ლიმიტი

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, მაშინ წრფე x=x 0 არის ვერტიკალური ტანგენსი გრაფიკზე წერტილში (x 0,y 0);

x=x 0 (2)-ზე – ზღვრული პოზიცია (1) ე.ი. სეკანტის M 0 M ზღვრული პოზიცია

Dx®0 არის tangent y=f(x) x 0 წერტილში, რადგან lim D x ® 0 k(Dx)=lim D x ® 0 Dy/Dx=f ’ (x 0) შემდეგ განტოლება

ტანგენტს აქვს ფორმა y=f ’ (x 0)(x-x 0)+ y 0, სადაც y 0 =f(x 0) (3). 3-დან მივიღებთ, რომ წარმოებული წერტილი x 0 =tga, a არის კუთხე ტანგენტსა და Ox ღერძს შორის, პირველი წევრი არის f. ’ (x 0) (x-x 0) = ვ ’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 არის დიფერენციალური dy წერტილი x 0 Þ y-y 0 =dy ე.ი. ფუნქციის დიფერენციალი უდრის გრაფიკის შესაბამის წერტილში ტანგენსის ორდინატის ნამატს.

3 ) თუ lim D x ® 0 Dy/Dx=¥, მაშინ ტანგენსი არის სწორი ხაზი x=x 0 და x 0 წერტილში არის უსასრულო. წარმოებული შეიძლება არსებობდეს ან არ არსებობდეს.

33. პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა. უმაღლესი რიგის დიფერენციები, მათი ფორმის შეუცვლელობა ზოგად შემთხვევაში.

უმაღლესი რიგის დიფერენციაციები . დიფერენციალი y=f(x) ფუნქციის პირველი რიგის დიფერენციალიდან dy=f’(x)dx (განიხილება მხოლოდ როგორც f-i ცვლადი x ე.ი. x (dx) არგუმენტის ზრდა ჩაითვლება მუდმივად, იმ პირობით, რომ x ცვლადის განმეორებითი ზრდა ემთხვევა საწყისს) მეორე დიფერენციალი ეწოდება d 2 f(x):d(df(x))= d(f'(x)dx )=d(f'(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 აქედან გამომდინარე f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; ODA. n-ე რიგის დიფერენციალს n=1,2... ეწოდება დიფერენციალი n-1 რიგის დიფერენციალიდან, იმ პირობით, რომ დიფერენციალში აიღეთ dx-ის იგივე ნამატები, x-ისგან დამოუკიდებელი. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) არ არის რთული იმის დანახვა, რომ d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x)=d n f(x)/dx n.

პირველზე მაღალი რიგის დიფერენციალური ფორმის შეუცვლელობა

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x არ არის დამოუკიდებელი ცვლადი, არამედ სხვა ცვლადის ფუნქცია

ახლა ფორმულის მარჯვენა მხარეს (3) ცვლადიდან uარა მხოლოდ ფუნქციაა დამოკიდებული ვ(x), არამედ დიფერენციალურიც dx. აქედან გამომდინარე

(2) და (4) ფორმულების შედარებისას, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ მეორე (და უფრო მაღალი რიგის) დიფერენციალებს არ აქვთ ფორმის უცვლელობა.

34. ფუნქციის უკიდურესობა. წინაპირობებიექსტრემუმი (ფერმას თეორემა).

ექსტრემალური წერტილები

ექსტრემალური- მაქსიმუმან მინიმალურიფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილი, სადაც მიღწეულია ექსტრემუმი ეწოდება ექსტრემალური წერტილი. შესაბამისად, თუ მინიმუმამდე მიღწეულია, ექსტრემალური წერტილი ეწოდება მინიმალური ქულადა თუ მაქსიმალურია მაქსიმალური ქულა. IN მათემატიკური ანალიზიასევე ხაზი გაუსვით კონცეფციას ადგილობრივი ექსტრემი (შესაბამისად მინიმალური ან მაქსიმალური).

წერტილი x 0 ეწოდება ფუნქციის მკაცრი ლოკალური მაქსიმუმის (მინიმუმის) წერტილს ვ (x), თუ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის საკმარისად მცირე δ - წერტილის სამეზობლოდან Xმოქმედებს 0 უტოლობა

ვ (x) < ვ (x 0) (ვ (x) > ვ (x 0))

ზე X ≠ x 0 .
ლოკალური მაქსიმუმი და ლოკალური მინიმალური გაერთიანებულია საერთო სახელით extremum. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ექსტრემის ცნება ლოკალურია იმ გაგებით, რომ უთანასწორობა ვ (x) < ვ (x 0) (ვ (x) > ვ (x 0)) შეიძლება არ იყოს ყველა მნიშვნელობისთვის Xფუნქციის განსაზღვრის სფეროში, მაგრამ უნდა შესრულდეს მხოლოდ წერტილის გარკვეულ მიმდებარე ტერიტორიაზე x 0 .

ფუნქციას y=f(x) ეწოდება დიფერენცირებადი რაღაც წერტილში x 0, თუ მას აქვს გარკვეული წარმოებული ამ წერტილში, ე.ი. თუ ურთიერთობის ზღვარი არსებობს და სასრულია.

თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია გარკვეული სეგმენტის თითოეულ წერტილში [a; b] ან ინტერვალი (a; b), მაშინ ვამბობთ, რომ ის დიფერენცირებადია [a; b] ან, შესაბამისად, ინტერვალში (a; b).

მოქმედებს შემდეგი თეორემა, რომელიც ადგენს კავშირს დიფერენცირებად და უწყვეტ ფუნქციებს შორის.

თეორემა. თუ ფუნქცია y=f(x) დიფერენცირებადია x 0 წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია ამ წერტილში.

ამრიგად, ფუნქციის დიფერენციალურობიდან გამომდინარეობს მისი უწყვეტობა.

მტკიცებულება. თუ, მაშინ

სადაც b არის უსასრულო სიდიდე, ე.ი. სიდიდე, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ, როდესაც Dx>0. მაგრამ მერე

Dy=f "(x 0) Dx+bDx=> Dy>0 Dx>0-ზე, ანუ f(x) - f(x 0)>0 x>x 0-ზე,

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია f(x) უწყვეტია x 0 წერტილში. ქ.ე.დ.

ამრიგად, ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული უწყვეტობის წერტილებში. საპირისპირო განცხადება არ შეესაბამება სიმართლეს: არსებობს უწყვეტი ფუნქციები, რომლებიც ზოგიერთ წერტილში არ არის დიფერენცირებადი (ანუ არ აქვთ წარმოებული ამ წერტილებში).

მოდით შევხედოთ ფიგურაში a, b, c წერტილებს.

a წერტილში Dx>0-ისთვის, თანაფარდობას არ აქვს ლიმიტი (რადგან ცალმხრივი ლიმიტები განსხვავებულია Dx>0-0 და Dx>0+0-ისთვის). გრაფიკის A წერტილში არ არის კონკრეტული ტანგენსი, მაგრამ არის ორი განსხვავებული ცალმხრივი ტანგენსი კუთხის კოეფიციენტები 1-მდე და 2-მდე. ამ ტიპის წერტილს კუთხის წერტილი ეწოდება.

b წერტილში Dx>0-ისთვის, თანაფარდობა არის მუდმივი ნიშნის და უსასრულოდ დიდი. ფუნქციას აქვს უსასრულო წარმოებული. ამ დროს გრაფიკს აქვს ვერტიკალური ტანგენსი. წერტილის ტიპი - „შებრუნების წერტილი“ ვერტიკალური ტანგენტით.

c წერტილში ცალმხრივი წარმოებულები არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობით სხვადასხვა ნიშნები. ამ ეტაპზე გრაფიკს აქვს ორი შერწყმული ვერტიკალური ტანგენსი. ტიპი - "დაბრუნების წერტილი" ვერტიკალური ტანგენტით - განსაკუთრებული შემთხვევაკუთხის წერტილი.

1. განვიხილოთ ფუნქცია y=|x|. ეს ფუნქცია უწყვეტია წერტილში

მოდით ვაჩვენოთ, რომ მას ამ ეტაპზე წარმოებული არ აქვს.

f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx|. ამიტომ, Дy = f(Дx) - f(0) = |Дx|

მაგრამ შემდეგ Dx-ზე< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

და როდესაც Dx > 0

ამრიგად, მარჯვენა და მარცხნივ Dx> 0-ის შეფარდებას აქვს სხვადასხვა ზღვარი, რაც ნიშნავს, რომ შეფარდებას არ აქვს ლიმიტი, ე.ი. y=|x| ფუნქციის წარმოებული არ არსებობს x=0 წერტილში. გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ x = 0 წერტილში ამ „მრუდს“ არ აქვს კონკრეტული ტანგენსი (ამ ეტაპზე არის ორი).

2. ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე. მოდით გავარკვიოთ აქვს თუ არა ამ ფუნქციას წარმოებული x=0-ზე.

შესაბამისად, განსახილველი ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი x= 0 წერტილში. მრუდის ტანგენსი ამ წერტილში ქმნის კუთხეს p/2 აბსცისის ღერძთან, ე.ი. ემთხვევა Oy ღერძს.