სტატისტიკურ პოპულაციაში მახასიათებლის მრავალფეროვნების ძირითადი კრიტერიუმებია: ლიმიტი, ამპლიტუდა, სტანდარტული გადახრა, რხევის კოეფიციენტი და ვარიაციის კოეფიციენტი. წინა გაკვეთილზე განიხილეს, რომ საშუალო მნიშვნელობები იძლევა მხოლოდ საერთო შესწავლილი მახასიათებლის განზოგადებულ მახასიათებელს და არ ითვალისწინებს მისი ცალკეული ვარიანტების მნიშვნელობებს: მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები, საშუალოზე ზემოთ, ქვემოთ. საშუალო და ა.შ.

მაგალითი. ორი განსხვავებული რიცხვითი თანმიმდევრობის საშუალო მნიშვნელობები: -100; -20; 100; 20 და 0.1; -0,2; 0.1 აბსოლუტურად იდენტური და ტოლიაშესახებ.თუმცა, ამ შედარებითი საშუალო თანმიმდევრობის მონაცემების გაფანტვის დიაპაზონი ძალიან განსხვავებულია.

მახასიათებლის მრავალფეროვნების ჩამოთვლილი კრიტერიუმების დადგენა, უპირველეს ყოვლისა, ხორციელდება სტატისტიკური პოპულაციის ცალკეულ ელემენტებში მისი მნიშვნელობის გათვალისწინებით.

ნიშან-თვისების ვარიაციის გაზომვის ინდიკატორებია აბსოლუტურიდა ნათესავი. ვარიაციის აბსოლუტურ მაჩვენებლებს მიეკუთვნება: ვარიაციის დიაპაზონი, ლიმიტი, სტანდარტული გადახრა, დისპერსია. ცვალებადობის კოეფიციენტი და რხევის კოეფიციენტი ეხება ცვალებადობის შედარებით ზომებს.

ლიმიტი (ლიმი) -ეს არის კრიტერიუმი, რომელიც განისაზღვრება ვარიაციის სერიაში ვარიანტის უკიდურესი მნიშვნელობებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს კრიტერიუმი შემოიფარგლება ატრიბუტის მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებით:

ამპლიტუდა (ამ)ან ვარიაციების დიაპაზონი -ეს არის განსხვავება ექსტრემალურ ვარიანტებს შორის. ამ კრიტერიუმის გაანგარიშება ხორციელდება მისი მინიმალური მნიშვნელობის გამოკლებით ატრიბუტის მაქსიმალური მნიშვნელობიდან, რაც საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ ვარიანტის გაფანტვის ხარისხი:

ლიმიტისა და ამპლიტუდის, როგორც ცვალებადობის კრიტერიუმების მინუსი არის ის, რომ ისინი მთლიანად დამოკიდებულია ვარიაციის სერიაში მახასიათებლის უკიდურეს მნიშვნელობებზე. ამ შემთხვევაში, რიგში ატრიბუტების მნიშვნელობების რყევები არ არის გათვალისწინებული.

სტატისტიკურ პოპულაციაში ნიშან-თვისების მრავალფეროვნების ყველაზე სრული აღწერა მოცემულია იმით სტანდარტული გადახრა(სიგმა), რომელიც არის ოფციონის გადახრის ზოგადი საზომი მისი საშუალო მნიშვნელობიდან. სტანდარტულ გადახრას ხშირად უწოდებენ სტანდარტული გადახრა.

სტანდარტული გადახრა ეფუძნება თითოეული ვარიანტის შედარებას მოცემული პოპულაციის საშუალო არითმეტიკასთან. ვინაიდან მთლიანობაში ყოველთვის იქნება მასზე ნაკლები და მეტი ვარიანტები, "" ნიშნით გადახრების ჯამი გაუქმდება "" ნიშნით გადახრების ჯამით, ე.ი. ყველა გადახრის ჯამი არის ნული. განსხვავებების ნიშნების გავლენის თავიდან აცილების მიზნით აღებულია გადახრები საშუალო არითმეტიკული კვადრატიდან, ე.ი. . კვადრატული გადახრების ჯამი არ უდრის ნულს. კოეფიციენტის მისაღებად, რომელსაც შეუძლია ცვალებადობის გაზომვა, აიღეთ კვადრატების ჯამის საშუალო - ეს მნიშვნელობა ე.წ. განსხვავებები:

არსებითად, დისპერსია არის მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების გადახრების საშუალო კვადრატი მისი საშუალო მნიშვნელობიდან. დისპერსია – სტანდარტული გადახრის კვადრატი.

ვარიაცია არის განზომილებიანი სიდიდე (დასახელებული). ასე რომ, თუ რიცხვების სერიის ვარიანტები გამოიხატება მეტრებში, მაშინ დისპერსია იძლევა კვადრატულ მეტრს; თუ ვარიანტები გამოიხატება კილოგრამებში, მაშინ განსხვავება იძლევა ამ ზომის კვადრატს (კგ 2) და ა.შ.

სტანდარტული გადახრა- დისპერსიის კვადრატული ფესვი:

იმ შემთხვევაში, თუ მოსახლეობის ელემენტების რაოდენობა, მაშინ წილადის მნიშვნელში დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის გაანგარიშებისას ნაცვლადუნდა დააყენოს.

სტანდარტული გადახრის გაანგარიშება შეიძლება დაიყოს ექვს ეტაპად, რომელიც უნდა განხორციელდეს გარკვეული თანმიმდევრობით:

სტანდარტული გადახრის გამოყენება:

ა) ვარიაციული სერიების ცვალებადობის შესაფასებლად და საშუალო არითმეტიკულის ტიპურობის (წარმომადგენლობითობის) შედარებითი შეფასებისთვის. ეს აუცილებელია დიფერენციალური დიაგნოზის დროს სიმპტომების სტაბილურობის განსაზღვრისას.

ბ) ვარიაციის სერიის რეკონსტრუქცია, ე.ი. მისი სიხშირის პასუხის აღდგენა ეფუძნება სამი სიგმას წესი. ინტერვალში (М±3σ) სერიის ყველა ვარიანტის 99.7% მდებარეობს ინტერვალში (М±2σ) - 95.5% და დიაპაზონში (М±1σ) - 68.3% რიგის ვარიანტი(ნახ. 1).

გ) ამომხტარი ვარიანტების იდენტიფიცირება

დ) ნორმისა და პათოლოგიის პარამეტრების დადგენა სიგმა შეფასების გამოყენებით

ე) ვარიაციის კოეფიციენტის გამოთვლა

ვ) საშუალო არითმეტიკული ცდომილების გამოთვლა.

ნებისმიერი მოსახლეობის დასახასიათებლად, რომელსაც აქვსნორმალური განაწილების ტიპი , საკმარისია ვიცოდეთ ორი პარამეტრი: საშუალო არითმეტიკული და სტანდარტული გადახრა.

სურათი 1. სამი სიგმის წესი

მაგალითი.

პედიატრიაში სტანდარტული გადახრა გამოიყენება ბავშვების ფიზიკური განვითარების შესაფასებლად კონკრეტული ბავშვის მონაცემების შესაბამის სტანდარტულ ინდიკატორებთან შედარების გზით. სტანდარტად აღებულია ჯანმრთელი ბავშვების ფიზიკური განვითარების საშუალო არითმეტიკული მაჩვენებელი. ინდიკატორების შედარება სტანდარტებთან ხორციელდება სპეციალური ცხრილების გამოყენებით, რომლებშიც მოცემულია სტანდარტები მათ შესაბამის სიგმა სკალებთან ერთად. ითვლება, რომ თუ ბავშვის ფიზიკური განვითარების მაჩვენებელი სტანდარტის ფარგლებშია (საშუალო არითმეტიკული) ±σ, მაშინ ფიზიკური განვითარებაბავშვი (ამ ინდიკატორის მიხედვით) შეესაბამება ნორმას. თუ ინდიკატორი ±2σ სტანდარტის ფარგლებშია, მაშინ არის ნორმიდან უმნიშვნელო გადახრა. თუ მაჩვენებელი სცილდება ამ საზღვრებს, მაშინ ბავშვის ფიზიკური განვითარება მკვეთრად განსხვავდება ნორმისგან (პათოლოგია შესაძლებელია).

აბსოლუტურ მნიშვნელობებში გამოხატული ვარიაციის ინდიკატორების გარდა, სტატისტიკური კვლევა იყენებს ფარდობით მნიშვნელობებში გამოხატულ ვარიაციულ ინდიკატორებს. რხევის კოეფიციენტი -ეს არის ვარიაციის დიაპაზონის თანაფარდობა თვისების საშუალო მნიშვნელობასთან. ვარიაციის კოეფიციენტი -ეს არის სტანდარტული გადახრის თანაფარდობა მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობასთან. როგორც წესი, ეს მნიშვნელობები გამოხატულია პროცენტულად.

ფარდობითი ვარიაციული ინდიკატორების გამოთვლის ფორმულები:

ზემოაღნიშნული ფორმულებიდან ირკვევა, რომ რაც უფრო დიდია კოეფიციენტი ვ რაც უფრო ახლოს არის ნულთან, მით უფრო მცირეა ცვალებადობა მახასიათებლის მნიშვნელობებში. მით უფრო ვ, მით უფრო ცვალებადია ნიშანი.

სტატისტიკურ პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად გამოიყენება ცვალებადობის კოეფიციენტი. იგი გამოიყენება არა მხოლოდ ვარიაციის შედარებითი შეფასებისთვის, არამედ მოსახლეობის ჰომოგენურობის დასახასიათებლად. პოპულაცია ჰომოგენურად ითვლება, თუ ვარიაციის კოეფიციენტი არ აღემატება 33%-ს (ნორმასთან ახლოს განაწილებისთვის). არითმეტიკულად, σ-ისა და საშუალო არითმეტიკული თანაფარდობა ანეიტრალებს ამ მახასიათებლების აბსოლუტური მნიშვნელობის გავლენას და პროცენტული თანაფარდობა ცვალებადობის კოეფიციენტს უგანზომილებიან (უსახელო) მნიშვნელობად აქცევს.

ცვალებადობის კოეფიციენტის შედეგად მიღებული მნიშვნელობა შეფასებულია ნიშან-თვისების მრავალფეროვნების ხარისხის სავარაუდო გრადაციების მიხედვით:

სუსტი - 10% -მდე

საშუალო - 10 - 20%

ძლიერი - 20% -ზე მეტი

ცვალებადობის კოეფიციენტის გამოყენება მიზანშეწონილია იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია ზომითა და განზომილებით განსხვავებული მახასიათებლების შედარება.

განსხვავება ცვალებადობის კოეფიციენტსა და სხვა სკატერის კრიტერიუმებს შორის აშკარად ჩანს მაგალითი.

ცხრილი 1

სამრეწველო საწარმოს მუშაკთა შემადგენლობა

მაგალითში მოცემული სტატისტიკური მახასიათებლების საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ დასკვნა საწარმოს თანამშრომელთა ასაკობრივი შემადგენლობისა და განათლების დონის შედარებით ჰომოგენურობის შესახებ, გამოკითხული კონტინგენტის დაბალი პროფესიული სტაბილურობის გათვალისწინებით. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ სოციალური ტენდენციების სტანდარტული გადახრის მიხედვით შეფასების მცდელობა გამოიწვევს მცდარ დასკვნას, ხოლო ბუღალტრული აღრიცხვის მახასიათებლების „სამუშაო გამოცდილება“ და „ასაკი“ სააღრიცხვო ინდიკატორ „განათლებასთან“ შედარების მცდელობა ზოგადად იქნება. არასწორია ამ მახასიათებლების ჰეტეროგენურობის გამო.

გარდა შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა რომელიც. ადგენს ალბათობის განაწილების ცენტრის პოზიციას. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების რაოდენობრივი მახასიათებელია შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია;

დისპერსიას აღვნიშნავთ D [x]-ით ან .

სიტყვა დისპერსია ნიშნავს დისპერსიას. დისპერსია არის დისპერსიის რიცხვითი მახასიათებელი, შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების გავრცელება მის მათემატიკური მოლოდინის მიმართ.

განმარტება 1. შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია არის მათემატიკური მოლოდინი შემთხვევითი ცვლადის სხვაობის კვადრატისა და მის მათემატიკურ მოლოდინს შორის (ანუ შესაბამისი ცენტრირებული შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი):

დისპერსიას აქვს შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის განზომილება. ზოგჯერ დისპერსიის დასახასიათებლად უფრო მოსახერხებელია სიდიდის გამოყენება, რომლის განზომილება ემთხვევა შემთხვევითი ცვლადის განზომილებას. ეს მნიშვნელობა არის სტანდარტული გადახრა.

განმარტება 2. შემთხვევითი ცვლადის ფესვის საშუალო კვადრატული გადახრა არის მისი ვარიაციის კვადრატული ფესვი:

ან გაფართოებული ფორმით

ასევე აღინიშნება სტანდარტული გადახრა

შენიშვნა 1. დისპერსიის გამოთვლისას ფორმულა (1) შეიძლება მოხერხებულად გარდაიქმნას შემდეგნაირად:

ანუ, დისპერსია უდრის სხვაობას შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა და შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატს შორის.

მაგალითი 1. ერთი გასროლა ხდება ობიექტზე. დარტყმის ალბათობა. განსაზღვრეთ მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა.

გამოსავალი. დარტყმის რიცხვების მნიშვნელობების ცხრილის აგება

აქედან გამომდინარე,

დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის ცნების მნიშვნელობის წარმოსაჩენად, როგორც შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის მახასიათებლებს, განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 2. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია შემდეგი განაწილების კანონით (იხ. ცხრილი და სურ. 413):

მაგალითი 3. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია შემდეგი განაწილების კანონით (იხ. ცხრილი და სურ. 414):

განსაზღვრეთ: 1) მათემატიკური მოლოდინი, 2) დისპერსია, 3) სტანდარტული გადახრა.

პირველ მაგალითში შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია, გაფანტვა ნაკლებია მეორე მაგალითში შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიაზე (იხ. სურ. 414 და 415). ამ მნიშვნელობების ვარიაციები არის 0.6 და 2.4, შესაბამისად.

მაგალითი 4; შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია შემდეგი განაწილების კანონით (იხ. ცხრილი და სურ. 415):

განსაზღვრეთ: 1) მათემატიკური მოლოდინი, 2) დისპერსია, 3) სტანდარტული გადახრა.

განმარტება

სტანდარტული გადახრა ( ინგლისური სტანდარტული გადახრა, SD) არის ინდიკატორი, რომელიც გამოიყენება ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში, რათა შეფასდეს შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის ხარისხი მის მათემატიკურ მოლოდინთან მიმართებაში. ინვესტიციისას, ფასიანი ქაღალდის ან პორტფელის შემოსავლის სტანდარტული გადახრა გამოიყენება რისკის საზომის შესაფასებლად. რაც უფრო მაღალია ანაზღაურების დისპერსიის ხარისხი ფასიანი ქაღალდებიმოსალოდნელ ანაზღაურებასთან შედარებით (დაბრუნების მათემატიკური მოლოდინი), მით უფრო მაღალია საინვესტიციო რისკი და პირიქით.

სტანდარტული გადახრა ჩვეულებრივ აღინიშნება ბერძნული ასო σ (სიგმა), ხოლო სტანდარტული გადახრა ლათინური ასო S-ით ან როგორც Std(X), სადაც X არის შემთხვევითი ცვლადი.

ფორმულა

ნამდვილი სტანდარტული გადახრა

თუ ცნობილია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ზუსტი განაწილება, კერძოდ, მისი მნიშვნელობა ცნობილია თითოეული შედეგისთვის და შეიძლება შეფასდეს თითოეული შედეგის ალბათობა, მაშინ სტანდარტული გადახრის გამოთვლის ფორმულა ასე გამოიყურება.

სადაც X i არის X შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა i-ე შედეგისთვის; M(X) X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი; p i – i-ის შედეგის ალბათობა; N - შესაძლო შედეგების რაოდენობა.

ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

მოსახლეობის სტანდარტული გადახრა

პრაქტიკაში, შემთხვევითი ცვლადის ზუსტი განაწილების ნაცვლად, ჩვეულებრივ ხელმისაწვდომია მხოლოდ მონაცემთა ნიმუში. ამ შემთხვევაში, გამოითვლება სტანდარტული გადახრის სავარაუდო მნიშვნელობა, რომელსაც ამ შემთხვევაში ეწოდება სტანდარტული გადახრა (S). თუ შეფასება ეფუძნება მონაცემთა მთლიან პოპულაციას, შემდეგი ფორმულა უნდა იქნას გამოყენებული.

სადაც X i არის X შემთხვევითი ცვლადის i-ე მნიშვნელობა; X – საერთო მოსახლეობის საშუალო არითმეტიკული; N არის საერთო პოპულაციის მოცულობა.

სტანდარტული გადახრის ნიმუში

თუ გამოყენებულია არა მონაცემების მთელი პოპულაცია, არამედ მისგან ნიმუში, მაშინ სტანდარტული გადახრის გამოთვლის ფორმულა ეფუძნება დისპერსიის მიუკერძოებელ შეფასებას.

სადაც X i არის X შემთხვევითი ცვლადის i-ე მნიშვნელობა; X – ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული; N - ნიმუშის ზომა.

გაანგარიშების მაგალითები

მაგალითი 1

პორტფელის მენეჯერმა უნდა შეაფასოს ორი A და B კომპანიის აქციებში ინვესტირების რისკები. ამავდროულად განიხილავს მოვლენების განვითარების 5 სცენარს, რომელთა შესახებ ინფორმაცია მოცემულია ცხრილში.

ვინაიდან ჩვენ ვიცით ანაზღაურების ზუსტი განაწილება თითოეული აქციისთვის, შეგვიძლია გამოვთვალოთ უკუგების ნამდვილი სტანდარტული გადახრა თითოეული აქციისთვის.

ნაბიჯი 1.მოდით გამოვთვალოთ მომგებიანობის მათემატიკური მოლოდინი თითოეული აქციისთვის.

M(A) = -5%×0.02+6%×0.25+15%×0.40+24%×0.30+34%×0.03 = 15.62%

M(B) = -18%×0.02+2%×0.25+16%×0.40+27%×0.30+36%×0.03 = 22.14%

ნაბიჯი 2.მიღებული მონაცემები ჩავანაცვლოთ პირველ ფორმულაში.

როგორც ვხედავთ, A-ს კომპანიის აქციები ხასიათდება რისკის უფრო დაბალი დონით, ვინაიდან მათ აქვთ შემოსავლის უფრო დაბალი სტანდარტული გადახრა. ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ მათი მოსალოდნელი შემოსავალი უფრო დაბალია, ვიდრე კომპანია B-ის აქციები.

მაგალითი 2

ანალიტიკოსს აქვს მონაცემები ბოლო 5 წლის განმავლობაში ორი ფასიანი ქაღალდის მომგებიანობის შესახებ, რომლებიც წარმოდგენილია ცხრილში.

ვინაიდან შემოსავლების ზუსტი განაწილება უცნობია და ანალიტიკოსს აქვს მხოლოდ ნიმუში მონაცემთა პოპულაციისგან, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ნიმუშის სტანდარტული გადახრა მიუკერძოებელი დისპერსიის საფუძველზე.

ნაბიჯი 1.მოდით გამოვთვალოთ მოსალოდნელი შემოსავალი თითოეული ფასიანი ქაღალდისთვის, როგორც ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული.

X A = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

X B = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

ნაბიჯი 2.მოდით გამოვთვალოთ ანაზღაურების სტანდარტული გადახრა თითოეული ფასიანი ქაღალდისთვის, მონაცემთა ზოგადი პოპულაციის ნიმუშის ფორმულის გამოყენებით.

აღსანიშნავია, რომ ორივე ფასიან ქაღალდს აქვს თანაბარი მოსალოდნელი შემოსავალი 5%. ამავდროულად, B ფასიანი ქაღალდის ანაზღაურების სტანდარტული გადახრა უფრო დაბალია, რაც სხვა თანაბარ პირობებში მას უფრო მიმზიდველ საინვესტიციო ობიექტად აქცევს რისკის მომგებიანობის უკეთესი პროფილის გამო.

სტანდარტული გადახრა Excel-ში

Excel უზრუნველყოფს ორ ფუნქციას ნიმუშისა და პოპულაციის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად.

შერჩევისთვის გამოიყენეთ "STDEV.V" ფუნქცია:

1. უჯრედების დიაპაზონში B1:F1
2. აირჩიეთ გამომავალი უჯრედი B2.
3. fx , ამომხტარ ფანჯარაში " ფუნქციის ჩასმა» აირჩიეთ კატეგორია « სრული ანბანური სია"და აირჩიეთ ფუნქცია" STDEV.V».
4. მინდორში" ნომერი 1» აირჩიეთ უჯრედების დიაპაზონი B1:F1, ველი" ნომერი 2OK».

ზოგადი პოპულაციისთვის, ფუნქცია "STDEV.G" გამოიყენება:

1. უჯრედების დიაპაზონში B1:F1შეყვანილია X შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები.
2. აირჩიეთ გამომავალი უჯრედი B2.
3. ბრძანების სტრიქონზე დააწკაპუნეთ fx , ამომხტარ ფანჯარაში " ფუნქციის ჩასმა» აირჩიეთ კატეგორია « სრული ანბანური სია"და აირჩიეთ ფუნქცია" STDEV.G».
4. მინდორში" ნომერი 1» აირჩიეთ უჯრედების დიაპაზონი B1:F1, ველი" ნომერი 2"დატოვეთ ცარიელი და დააჭირეთ ღილაკს " OK».

ინტერპრეტაცია

ინვესტიციისას, შემოსავლების სტანდარტული გადახრა გამოიყენება არასტაბილურობის საზომად. რაც უფრო მაღალია მისი ღირებულება, მით უფრო მაღალია ამ აქტივში ინვესტირებასთან დაკავშირებული რისკი და პირიქით. ყველა სხვა თანაბარ პირობებში, უპირატესობა უნდა მიენიჭოს აქტივს, რომლისთვისაც ეს მაჩვენებელი მინიმალურია.

დისპერსიის კვადრატულ ფესვს ეწოდება სტანდარტული გადახრა საშუალოდან, რომელიც გამოითვლება შემდეგნაირად:

სტანდარტული გადახრის ფორმულის ელემენტარული ალგებრული ტრანსფორმაცია მას შემდეგ ფორმამდე მიჰყავს:

ეს ფორმულა ხშირად უფრო მოსახერხებელია გამოთვლის პრაქტიკაში.

სტანდარტული გადახრა, ისევე როგორც საშუალო წრფივი გადახრა, გვიჩვენებს, თუ რამდენად განსხვავდება მახასიათებლის საშუალო სპეციფიკური მნიშვნელობები მათი საშუალო მნიშვნელობიდან. სტანდარტული გადახრა ყოველთვის აღემატება საშუალო ხაზოვან გადახრას. მათ შორის არის შემდეგი კავშირი:

ამ თანაფარდობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცნობილი ინდიკატორები უცნობის დასადგენად, მაგალითად, მაგრამ (ი გამოთვალეთ a და პირიქით. სტანდარტული გადახრა ზომავს მახასიათებლის ცვალებადობის აბსოლუტურ ზომას და გამოიხატება გაზომვის იმავე ერთეულებში, როგორც მახასიათებლის მნიშვნელობები (რუბლი, ტონა, წლები და ა.შ.). ეს არის ცვალებადობის აბსოლუტური საზომი.

ამისთვის ალტერნატიული ნიშნები, მაგალითად ყოფნა ან არყოფნა უმაღლესი განათლებადაზღვევის, დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის ფორმულები შემდეგია:

ვაჩვენოთ სტანდარტული გადახრის გამოთვლა დისკრეტული სერიის მონაცემების მიხედვით, რომელიც ახასიათებს სტუდენტთა განაწილებას ერთ-ერთ უნივერსიტეტის ფაკულტეტზე ასაკის მიხედვით (ცხრილი 6.2).

ცხრილი 6.2.

დამხმარე გამოთვლების შედეგები მოცემულია ცხრილის 2-5 სვეტებში. 6.2.

მოსწავლის საშუალო ასაკი, წლები, განისაზღვრება საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით (სვეტი 2):

მოსწავლის ინდივიდუალური ასაკის კვადრატული გადახრები საშუალოდან მოცემულია 3-4 სვეტებში, ხოლო კვადრატული გადახრების პროდუქტები და შესაბამისი სიხშირეები მოცემულია მე-5 სვეტში.

ჩვენ ვპოულობთ მოსწავლეთა ასაკის, წლების განსხვავებას ფორმულის გამოყენებით (6.2):

მაშინ o = l/3.43 1.85 *oda, ე.ი. მოსწავლის ასაკის თითოეული კონკრეტული მნიშვნელობა საშუალოდან 1,85 წლით არის გადახრილი.

ვარიაციის კოეფიციენტი

ჩემი თავისებურად აბსოლუტური მნიშვნელობასტანდარტული გადახრა დამოკიდებულია არა მხოლოდ მახასიათებლის ცვალებადობის ხარისხზე, არამედ ვარიანტების აბსოლუტურ დონეებზე და საშუალოზე. აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია ვარიაციის სერიების სტანდარტული გადახრების პირდაპირი შედარება სხვადასხვა საშუალო დონეებთან. იმისათვის, რომ შეძლოთ ასეთი შედარება, თქვენ უნდა იპოვოთ საშუალო გადახრის (წრფივი ან კვადრატული) წილი საშუალო არითმეტიკაში, გამოხატული პროცენტულად, ე.ი. გამოთვალეთ ვარიაციის შედარებითი ზომები.

ცვალებადობის ხაზოვანი კოეფიციენტი გამოითვლება ფორმულით

ვარიაციის კოეფიციენტი განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

ცვალებადობის კოეფიციენტებში აღმოიფხვრება არა მხოლოდ შესწავლილი მახასიათებლის საზომი სხვადასხვა ერთეულებთან დაკავშირებული შეუდარებლობა, არამედ შეუდარებლობა, რომელიც წარმოიქმნება არითმეტიკული საშუალებების მნიშვნელობის სხვაობის გამო. გარდა ამისა, ვარიაციის ინდიკატორები ახასიათებს მოსახლეობის ჰომოგენურობას. მოსახლეობა ითვლება ერთგვაროვანად, თუ ცვალებადობის კოეფიციენტი არ აღემატება 33%-ს.

ცხრილის მიხედვით. 6.2 და ზემოთ მიღებული გაანგარიშების შედეგებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ ცვალებადობის კოეფიციენტს, %, ფორმულის მიხედვით (6.3):

თუ ვარიაციის კოეფიციენტი აღემატება 33%-ს, მაშინ ეს მიუთითებს შესწავლილი პოპულაციის ჰეტეროგენულობაზე. ჩვენს შემთხვევაში მიღებული სიდიდე მიუთითებს იმაზე, რომ ასაკის მიხედვით მოსწავლეთა პოპულაცია შემადგენლობით ერთგვაროვანია. ამრიგად, ვარიაციის ინდიკატორების განზოგადების მნიშვნელოვანი ფუნქციაა საშუალოების სანდოობის შეფასება. რაც უფრო ნაკლები c1, a2 და V, რაც უფრო ერთგვაროვანია მიღებული ფენომენების ნაკრები და მით უფრო სანდოა მიღებული საშუალო. მათემატიკური სტატისტიკით გათვალისწინებული „სამი სიგმის წესის“ მიხედვით, ნორმალურად განაწილებულ ან მათთან ახლოს სერიებში არითმეტიკული საშუალოდან ±3-ზე მეტი გადახრები 1000 შემთხვევიდან 997-ში ხდება. X და, შეგიძლიათ მიიღოთ ზოგადი საწყისი იდეა ვარიაციების სერიის შესახებ. თუ, მაგალითად, საშუალო ხელფასებიკომპანიაში თანამშრომელი იყო 25,000 რუბლი, ხოლო a უდრის 100 რუბლს, მაშინ, ალბათობასთან ახლოს, შეიძლება ითქვას, რომ კომპანიის თანამშრომლების ხელფასი მერყეობს (25,000 ± 3 x 100) ფარგლებში, ე.ი. 24,700-დან 25,300 რუბლამდე.

ამ სტატიის მიზანია აჩვენოსმათემატიკური ფორმულების მსგავსად, რომლებიც შეიძლება შეგხვდეთ წიგნებსა და სტატიებში, იშლება ელემენტარული ფუნქციები Excel-ში.

ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ფორმულებს სტანდარტული გადახრა და განსხვავება და გამოთვალეთ ისინი Excel-ში.

სანამ გადავიდეთ სტანდარტული გადახრის გამოთვლაზე და ფორმულის ანალიზზე, მიზანშეწონილია გაიგოთ ძირითადი სტატისტიკური მაჩვენებლები და აღნიშვნა.

პროგნოზირების მოდელების ფორმულების გათვალისწინებით, ჩვენ შევხვდებით შემდეგ ინდიკატორებს:

მაგალითად, გვაქვს დროის სერია - გაყიდვები კვირაში ერთეულებში.

ამ დროის სერიისთვის i=1, n=10, ,

განვიხილოთ საშუალო მნიშვნელობის ფორმულა:

ჩვენი დროის სერიებისთვის ჩვენ განვსაზღვრავთ საშუალო მნიშვნელობას

ასევე, ტენდენციების იდენტიფიცირებისთვის, საშუალო მნიშვნელობის გარდა, ასევე საინტერესოა, რამდენად მიმოფანტულია დაკვირვებები საშუალოსთან შედარებით. სტანდარტული გადახრა გვიჩვენებს, თუ რამდენად განსხვავდება დაკვირვებები საშუალოდან.

ნიმუშისთვის სტანდარტული გადახრის გამოთვლის ფორმულა შემდეგია:

მოდით დავყოთ ფორმულა მის შემადგენელ ნაწილებად და გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა Excel-ში ჩვენი დროის სერიების მაგალითის გამოყენებით.

1. გამოთვალეთ ამის საშუალო მნიშვნელობა Excel ფორმულის გამოყენებით = AVERAGE(B11:K11)

2. განსაზღვრეთ სერიის თითოეული მნიშვნელობის გადახრა საშუალოსთან მიმართებაში

პირველი კვირისთვის = 6-10=-4

მეორე კვირა = 10-10=0

მესამედებისთვის = 7-1=-3 და ა.შ.

3. სერიის თითოეული მნიშვნელობისთვის ჩვენ განვსაზღვრავთ სერიების მნიშვნელობების გადახრის კვადრატულ განსხვავებას საშუალოსთან შედარებით.

პირველი კვირისთვის = (-4)^2=16

მეორე კვირა = 0^2=0

მესამედებისთვის = (-3)^2=9 და ა.შ.

4. გამოთვალეთ მნიშვნელობების კვადრატული გადახრების ჯამი საშუალოსთან მიმართებაში ფორმულის გამოყენებით =SUM(დიაპაზონის მითითება (დიაპაზონის მითითება )