წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა დაგვიანებით. ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა (კონკრეტული მაგალითი). ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა
სისტემები წრფივი განტოლებები, რომლისთვისაც ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია ეწოდება ერთგვაროვანი :
ნებისმიერი ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან ყოველთვის ასე იყო ნულოვანი (ტრივიალური ) ხსნარი. ჩნდება კითხვა, რა პირობებში ექნება ერთგვაროვან სისტემას არატრივიალური გადაწყვეტა.
თეორემა 5.2.ჰომოგენურ სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ძირითადი მატრიცის რანგია ნაკლები რაოდენობამისი უცნობები.
შედეგი. კვადრატულ ჰომოგენურ სისტემას აქვს არატრივიალური ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი.
მაგალითი 5.6.განსაზღვრეთ l პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებზეც სისტემას აქვს არატრივიალური ამონახსნები და იპოვეთ ეს ამონახსნები:
გამოსავალი. ამ სისტემას ექნება არატრივიალური გადაწყვეტა, როდესაც მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:
ამრიგად, სისტემა არატრივიალურია, როდესაც l=3 ან l=2. l=3-ისთვის, სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი არის 1. შემდეგ, დავტოვოთ მხოლოდ ერთი განტოლება და ვივარაუდოთ, რომ წ=ადა ზ=ბ, ვიღებთ x=b-a, ე.ი.
l=2-ისთვის, სისტემის მთავარი მატრიცის რანგია 2. შემდეგ საფუძვლად ვირჩევთ მინორს:
ჩვენ ვიღებთ გამარტივებულ სისტემას
აქედან ვხვდებით ამას x=z/4, y=z/2. სჯეროდა ზ=4ა, ვიღებთ
ერთგვაროვანი სისტემის ყველა ხსნარის სიმრავლეს აქვს ძალიან მნიშვნელოვანი ხაზოვანი თვისება : თუ X სვეტები 1 და X 2 - ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარები AX = 0, მაშინ მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაციაა X 1 + ბ X 2 ასევე იქნება ამ სისტემის გამოსავალი. მართლაც, მას შემდეგ AX 1 = 0 და AX 2 = 0 , ეს ა(ა X 1 + ბ X 2) = ა AX 1 + ბ AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. სწორედ ამ თვისების გამოა, რომ თუ წრფივ სისტემას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი, მაშინ იქნება ამ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ხაზოვანი დამოუკიდებელი სვეტები ე 1 , ე 2 , ე კ, რომლებიც ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარებია, ე.წ გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა, თუ ამ სისტემის ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს ამ სვეტების წრფივი კომბინაციით:
თუ ერთგვაროვან სისტემას აქვს ნცვლადები და სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის რ, ეს კ = ნ-რ.
მაგალითი 5.7.იპოვეთ ამონახსნების ძირითადი სისტემა შემდეგი წრფივი განტოლებების სისტემისთვის:
გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი:
ამგვარად, ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე ქმნის განზომილების წრფივ ქვესივრცეს ნ-რ= 5 - 2 = 3. ავირჩიოთ მინორი, როგორც საფუძველი
შემდეგ დატოვეთ მხოლოდ ძირითადი განტოლებები (დანარჩენი იქნება ხაზოვანი კომბინაციაამ განტოლებიდან) და ძირითად ცვლადებს (დარჩენილ, ე.წ. თავისუფალ ცვლადებს გადავიტანთ მარჯვნივ), ვიღებთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:
სჯეროდა x 3 = ა, x 4 = ბ, x 5 = გ, ვპოულობთ
სჯეროდა ა= 1, b = c= 0, ვიღებთ პირველ საბაზისო ამოხსნას; სჯეროდა ბ= 1, a = c= 0, ვიღებთ მეორე საბაზისო ამოხსნას; სჯეროდა გ= 1, a = b= 0, ვიღებთ მესამე საბაზისო გადაწყვეტას. შედეგად, გადაწყვეტილებების ნორმალური ფუნდამენტური სისტემა მიიღებს ფორმას
ფუნდამენტური სისტემის გამოყენებით, ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც
X = aE 1 + იყოს 2 + ც.ე 3. ა
მოდით აღვნიშნოთ წრფივი განტოლებათა არაჰომოგენური სისტემის ამონახსნების ზოგიერთი თვისება AX=Bდა მათი ურთიერთობა განტოლებათა შესაბამის ერთგვაროვან სისტემასთან AX = 0.
არაჰომოგენური სისტემის ზოგადი გადაწყვეტაუდრის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ჯამს AX = 0 და არაჰომოგენური სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამონახსნის. მართლაც, დაე ი 0 არის არაჰომოგენური სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამოხსნა, ე.ი. AY 0 = ბ, და ი- ჰეტეროგენული სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა, ე.ი. AY=B. ერთი ტოლობის გამოკლებით მეორეს მივიღებთ
ა(Y-Y 0) = 0, ე.ი. Y-Y 0 არის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა AX=0. აქედან გამომდინარე, Y-Y 0 = X, ან Y=Y 0 + X. ქ.ე.დ.
დაე, არაჰომოგენურ სისტემას ჰქონდეს ფორმა AX = B 1 + ბ 2 . მაშინ ასეთი სისტემის ზოგადი ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს როგორც X = X 1 + X 2 , სადაც AX 1 = ბ 1 და AX 2 = ბ 2. ეს თვისება გამოხატავს ზოგადად ნებისმიერი წრფივი სისტემის უნივერსალურ თვისებას (ალგებრული, დიფერენციალური, ფუნქციონალური და ა.შ.). ფიზიკაში ამ თვისებას ე.წ სუპერპოზიციის პრინციპიელექტრო და რადიო ინჟინერიაში - სუპერპოზიციის პრინციპი. მაგალითად, ხაზოვანის თეორიაში ელექტრული სქემებიდენი ნებისმიერ წრეში შეიძლება მივიღოთ, როგორც ენერგიის თითოეული წყაროს მიერ გამოწვეული დენების ალგებრული ჯამი.
წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემები- აქვს ფორმა ∑a k i x i = 0. სადაც m > n ან m წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან rangA = rangB. მას აშკარად აქვს ამონახსნი, რომელიც შედგება ნულებისაგან, რომელსაც ე.წ ტრივიალური.მომსახურების მიზანი. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია SLAE-ის არა ტრივიალური და ფუნდამენტური გადაწყვეტის მოსაძებნად. მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში (იხ. გადაწყვეტის მაგალითი).
ინსტრუქციები. აირჩიეთ მატრიცის განზომილება:
წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების თვისებები
იმისათვის რომ სისტემას ჰქონდეს არა ტრივიალური გადაწყვეტილებები, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი მატრიცის რანგი ნაკლები იყოს უცნობის რაოდენობაზე.თეორემა. სისტემას m=n შემთხვევაში აქვს არატრივიალური ამონახსნი თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.
თეორემა. სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ასევე არის ამ სისტემის გამოსავალი.
განმარტება. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემის ამონახსნების სიმრავლე ეწოდება გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა, თუ ეს ნაკრები შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნებისაგან და სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი არის ამ ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.
თეორემა. თუ სისტემის მატრიცის r წოდება ნაკლებია n უცნობის რიცხვზე, მაშინ არსებობს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა, რომელიც შედგება (n-r) ამონახსნებისაგან.
წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ალგორითმი
- მატრიცის რანგის პოვნა.
- ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორს. გამოვყოფთ დამოკიდებულ (ძირითად) და თავისუფალ უცნობებს.
- ჩვენ გადავხაზავთ სისტემის იმ განტოლებებს, რომელთა კოეფიციენტები არ შედის საბაზისო მინორში, რადგან ისინი სხვების შედეგებია (თეორემის მიხედვით ბაზის მინორზე).
- თავისუფალი უცნობის შემცველი განტოლებების ტერმინები გადავიტანოთ მარჯვენა მხარეს. შედეგად ვიღებთ r განტოლებათა სისტემას r უცნობიებით, მოცემულის ტოლფასი, რომლის განმსაზღვრელი არ არის ნული.
- ჩვენ ვხსნით მიღებულ სისტემას უცნობის აღმოფხვრით. ჩვენ ვპოულობთ დამოკიდებულ ცვლადებს თავისუფალი ცვლადების გამომხატველ კავშირებს.
- თუ მატრიცის რანგი არ არის ცვლადების რაოდენობის ტოლი, მაშინ ვპოულობთ ფუნდამენტური გადაწყვეტასისტემები.
- შემთხვევაში rang = n გვაქვს ტრივიალური ამოხსნა.
მაგალითი. იპოვეთ ვექტორთა სისტემის საფუძვლები (a 1, a 2,...,a m), დაალაგეთ და გამოთქვით ვექტორები ფუძის მიხედვით. თუ 1 =(0,0,1,-1), და 2 =(1,1,2,0) და 3 =(1,1,1,1) და 4 =(3,2,1 ,4) და 5 =(2,1,0,3).
მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის მთავარი მატრიცა:
გავამრავლოთ მე-3 სტრიქონი (-3-ზე). დავუმატოთ მე-4 სტრიქონი მე-3-ს:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
გავამრავლოთ მე-4 სტრიქონი (-2-ზე). გავამრავლოთ მე-5 სტრიქონი (3-ზე). დავუმატოთ მე-5 სტრიქონი მე-4-ს:
დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:
მოდი ვიპოვოთ მატრიცის რანგი.
სისტემა ამ მატრიცის კოეფიციენტებით არის ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური და აქვს ფორმა:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
უცნობების აღმოფხვრის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ არატრივიალურ გადაწყვეტას:
ჩვენ მივიღეთ ურთიერთობები, რომლებიც გამოხატავს დამოკიდებული ცვლადებს x 1 , x 2 , x 3 თავისუფალი ცვლადების x 4 , ანუ ვიპოვეთ ზოგადი ამოხსნა:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
წრფივი განტოლება ეწოდება ერთგვაროვანითუ მისი თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, ხოლო სხვა შემთხვევაში არაერთგვაროვანი. სისტემას, რომელიც შედგება ერთგვაროვანი განტოლებისგან, ეწოდება ერთგვაროვანი და აქვს ზოგადი ფორმა:
აშკარაა, რომ ყველა ერთგვაროვანი სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) ამონახსნი. ამიტომ, წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემებთან მიმართებაში, ხშირად უნდა მოძებნოთ პასუხი კითხვაზე არანულოვანი ამონახსნების არსებობის შესახებ. ამ კითხვაზე პასუხი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი თეორემის სახით.
თეორემა . წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი რიგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე. .
მტკიცებულება: დავუშვათ, რომ სისტემას, რომლის რანგი ტოლია, აქვს არანულოვანი ამონახსნი. ცხადია, არ აღემატება. იმ შემთხვევაში, თუ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ვინაიდან ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი ამონახსნი, მაშინ ნულოვანი ამონახსნი იქნება ეს უნიკალური ამონახსნი. ამრიგად, არანულოვანი გადაწყვეტილებები შესაძლებელია მხოლოდ .
დასკვნა 1 : განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას, რომელშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობის რაოდენობაზე ნაკლებია, ყოველთვის აქვს არანულოვანი ამონახსნი.
მტკიცებულება: თუ განტოლებათა სისტემას აქვს , მაშინ სისტემის რანგი არ აღემატება განტოლებების რაოდენობას, ე.ი. . ამრიგად, პირობა დაკმაყოფილებულია და, შესაბამისად, სისტემას აქვს არანულოვანი გამოსავალი.
დასკვნა 2 : უცნობებთან განტოლებათა ერთგვაროვან სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.
მტკიცებულება: დავუშვათ, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას, რომლის მატრიცას განმსაზღვრელი აქვს, აქვს არანულოვანი ამონახსნი. შემდეგ, დადასტურებული თეორემის მიხედვით, და ეს ნიშნავს, რომ მატრიცა არის სინგულარული, ე.ი. .
კრონეკერ-კაპელის თეორემა: SNL თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლია ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის. ur სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც.წრფივი ალგებრული განტოლებათა ჰომოგენური სისტემა.
m წრფივი განტოლებათა სისტემას n ცვლადით ეწოდება წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა, თუ ყველა თავისუფალი წევრი უდრის 0-ს. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან მას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ნულოვანი გამოსავალი. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი კოეფიციენტების მატრიცის რანგი ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია, ე.ი. წოდებისთვის A (n. ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია
Lin სისტემის გადაწყვეტილებები. ერთგვაროვანი. ur-ii ასევე გამოსავალია ამ სისტემისთვის.
წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების სისტემას e1, e2,...,еk ეწოდება ფუნდამენტური, თუ სისტემის თითოეული ამონახსნები არის ამონახსნების წრფივი კომბინაცია. თეორემა: თუ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემის ცვლადების კოეფიციენტების მატრიცის რანგი ნაკლებია n ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის ამონახსნების ყველა ფუნდამენტური სისტემა შედგება n-r გადაწყვეტილებები. აქედან გამომდინარე, ხაზოვანი სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა. ერთდღიანი ur-th-ს აქვს ფორმა: c1e1+c2e2+...+skek, სადაც e1, e2,..., ek არის ამონახსნების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა, c1, c2,...,ck არის თვითნებური რიცხვები და k=n-r. m წრფივი განტოლებათა სისტემის n ცვლადის ზოგადი ამონახსნი უდრის ჯამს
სისტემის ზოგადი გადაწყვეტის შესაბამისი სისტემა ერთგვაროვანია. წრფივი განტოლებები და ამ სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამოხსნა.
7. ხაზოვანი სივრცეები. ქვესივრცეები. საფუძველი, განზომილება. ხაზოვანი გარსი. წრფივი სივრცე ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ მასში არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა და ვექტორების უფრო დიდი რაოდენობის ნებისმიერი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ნომერზე იწოდება განზომილება (განზომილებების რაოდენობა)წრფივი სივრცე და აღინიშნება . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სივრცის განზომილება არის ამ სივრცის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა. თუ ასეთი რიცხვი არსებობს, მაშინ სივრცეს სასრულ-განზომილებიანი ეწოდება. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის n სივრცეში არის სისტემა, რომელიც შედგება წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორებისგან, მაშინ ასეთ სივრცეს უსასრულო-განზომილებიანი ეწოდება (იწერება: ). შემდგომში, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, განიხილება სასრული განზომილებიანი სივრცეები.
n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი არის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მოწესრიგებული კოლექცია ( საბაზისო ვექტორები).
თეორემა 8.1 ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლის თვალსაზრისით. თუ ეს არის n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
და, მით უმეტეს, ერთადერთი გზით, ე.ი. კოეფიციენტები განისაზღვრება ცალსახად.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლად და უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.
მართლაც, სივრცის განზომილება არის . ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია (ეს არის საფუძველი). საფუძველში რაიმე ვექტორის დამატების შემდეგ ვიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას (რადგან ეს სისტემა შედგება n-განზომილებიანი სივრცის ვექტორებისგან). 7 წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორის თვისების გამოყენებით ვიღებთ თეორემის დასკვნას.
განვიხილოთ ერთგვაროვანი სისტემა m წრფივი განტოლებები n ცვლადით:
(15)
ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებათა სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან მას ყოველთვის აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) ამონახსნი (0,0,…,0).
თუ სისტემაში (15) m=n და , მაშინ სისტემას აქვს მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი, რომელიც გამომდინარეობს კრამერის თეორემიდან და ფორმულებიდან.
თეორემა 1. ჰომოგენურ სისტემას (15) აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მატრიცის რანგი ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე, ე.ი. . რ(ა)< ნ.
მტკიცებულება. სისტემის არატრივიალური ამოხსნის არსებობა (15) უდრის სისტემის მატრიცის სვეტების წრფივ დამოკიდებულებას (ანუ არის რიცხვები x 1, x 2,..., x n, ყველა ნულის ტოლი არ არის, ისეთი, რომ თანასწორობები (15) მართალია).
ძირითადი მცირე თეორემის მიხედვით, მატრიცის სვეტები წრფივად არის დამოკიდებული როცა ამ მატრიცის ყველა სვეტი არ არის ძირითადი, ე.ი. როდესაც მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი ნაკლებია მისი სვეტების n რიცხვზე. და ა.შ.
შედეგი. კვადრატულ ერთგვაროვან სისტემას აქვს არატრივიალური ამონახსნები როცა |A|=0.
თეორემა 2. თუ სვეტები x (1), x (2),..., x (s) არის ამონახსნები ერთგვაროვანი სისტემის AX = 0, მაშინ მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ასევე არის ამ სისტემის ამოხსნა.
მტკიცებულება. განვიხილოთ გადაწყვეტილებების ნებისმიერი კომბინაცია:
შემდეგ AX=A()===0. და ა.შ.
დასკვნა 1.თუ ერთგვაროვან სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტა, მაშინ მას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.
რომ. აუცილებელია ვიპოვოთ სისტემის x (1), x (2),..., x (s) ამონახსნები Ax = 0, ისე რომ ამ სისტემის ნებისმიერი სხვა ამონახსნები წარმოდგენილი იყოს მათი წრფივი კომბინაციის სახით და უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.
განმარტება. Aх=0 სისტემის x (1), x (2),…, x (k) სისტემა k=n-r (n არის უცნობი უცნობის რაოდენობა სისტემაში, r=rg A) წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემაამ სისტემას.
თეორემა 3. მიეცით ერთგვაროვანი სისტემა Ах=0 n უცნობით და r=rg A შემდეგ არის ამ სისტემის k=n-r ამონახსნები x (1), x (2),…, x (k) ა გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა.
მტკიცებულება. ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ A მატრიცის საბაზისო მინორი მდებარეობს ზედა მარცხენა კუთხეში. შემდეგ, საბაზისო მცირე თეორემით, A მატრიცის დარჩენილი რიგები არის საბაზისო რიგების წრფივი კომბინაციები. ეს ნიშნავს, რომ თუ მნიშვნელობები x 1, x 2,…, x n აკმაყოფილებს პირველ r განტოლებებს, ე.ი. საბაზისო მინორის რიგების შესაბამისი განტოლებები), მაშინ ისინი ასევე აკმაყოფილებენ სხვა განტოლებებს. შესაბამისად, სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ (r+1)-დან დაწყებული ყველა განტოლებას გავუქმებთ. ჩვენ ვიღებთ სისტემას:
მოდით გადავიტანოთ თავისუფალი უცნობი x r +1 , x r +2 ,…, x n მარჯვენა მხარეს და დავტოვოთ ძირითადი x 1 , x 2 ,…, x r მარცხნივ:
(16)
იმიტომ რომ ამ შემთხვევაში ყველა b i =0, შემდეგ ფორმულების ნაცვლად
c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), ვიღებთ:
c j =-(c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)
თუ თავისუფალ უცნობებს x r +1 , x r +2 ,…, x n დავაყენებთ თვითნებურ მნიშვნელობებს, მაშინ ძირითად უცნობებთან მიმართებაში მივიღებთ კვადრატულ SLAE-ს არაინგულარული მატრიცით, რომლისთვისაც არსებობს უნიკალური ამონახსნები. ამრიგად, ერთგვაროვანი SLAE-ის ნებისმიერი ამონახსნი ცალსახად განისაზღვრება თავისუფალი უცნობის მნიშვნელობებით x r +1, x r +2,…, x n. განვიხილოთ თავისუფალი უცნობის მნიშვნელობების შემდეგი k=n-r სერია:
1, =0, ….,=0,
1, =0, ….,=0, (17)
………………………………………………
1, =0, ….,=0,
(სერიების ნომერი მითითებულია ფრჩხილებში ზემოწერით, ხოლო მნიშვნელობების სერია იწერება სვეტების სახით. თითოეულ სერიაში =1, თუ i=j და =0, თუ ij.
უფასო უცნობების მნიშვნელობების i-ე სერია ცალსახად შეესაბამება ,,...,ძირითადი უცნობების მნიშვნელობებს. თავისუფალი და ძირითადი უცნობის მნიშვნელობები ერთად იძლევა გადაწყვეტილებებს სისტემას (17).
ვაჩვენოთ, რომ სვეტები e i =,i=1,2,…,k (18)
ქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას.
იმიტომ რომ ეს სვეტები აგებულებით არის ამონახსნები ერთგვაროვანი სისტემის Ax=0 და მათი რიცხვი k-ის ტოლია, შემდეგ რჩება ამონახსნების წრფივი დამოუკიდებლობის დამტკიცება (16). მოდით იყოს გადაწყვეტილებების წრფივი კომბინაცია ე 1 , ე 2 ,…, ე კ(x (1) , x (2) ,…, x (k)), ნულოვანი სვეტის ტოლია:
1 ე 1 + 2 ე 2 +…+ კ ე კ ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ კ X(k) = 0)
მაშინ ამ ტოლობის მარცხენა მხარე არის სვეტი, რომლის კომპონენტები r+1,r+2,…,n უდრის ნულს. მაგრამ (r+1)-ე კომპონენტი უდრის 1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . ანალოგიურად, (r+2)th კომპონენტი უდრის 2 ,…, kth კომპონენტი უდრის k. ამიტომ 1 = 2 = …= k =0, რაც ნიშნავს ამონახსნების წრფივ დამოუკიდებლობას ე 1 , ე 2 ,…, ე კ ( x (1), x (2) ,…, x (k)).
ამონახსნების აგებულ ფუნდამენტურ სისტემას (18) ე.წ ნორმალური. ფორმულის მიხედვით (13), მას აქვს შემდეგი ფორმა:
(20)
დასკვნა 2. დაე ე 1 , ე 2 ,…, ე კ- ერთგვაროვანი სისტემის ხსნარების ნორმალური ფუნდამენტური სისტემა, მაშინ ყველა ამონახსნის სიმრავლე შეიძლება აღწერილი იყოს ფორმულით:
x=c 1 ე 1 +s 2 ე 2 +…+с კ ე კ (21)
სადაც с 1,с 2,…,с k – მიიღეთ თვითნებური მნიშვნელობები.
მტკიცებულება. თეორემა 2-ით, სვეტი (19) არის ამონახსნი ერთგვაროვანი სისტემისთვის Ax=0. რჩება იმის დასამტკიცებლად, რომ ამ სისტემის ნებისმიერი გამოსავალი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით (17). განიხილეთ სვეტი X=y r +1 ე 1 +…+y n ე კ. ეს სვეტი ემთხვევა y სვეტს ელემენტებში r+1,...,n რიცხვებით და არის ამონახსნი (16). ამიტომ სვეტები Xდა ზეემთხვევა, რადგან სისტემის გადაწყვეტილებები (16) განისაზღვრება ცალსახად მისი თავისუფალი უცნობის მნიშვნელობების სიმრავლით x r +1,…,x n და სვეტები. ზედა Xეს კომპლექტები იგივეა. აქედან გამომდინარე, ზე=X= y r +1 ე 1 +…+y n ე კ, ე.ი. გამოსავალი ზეარის სვეტების წრფივი კომბინაცია ე 1 ,…,y ნორმალური FSR. და ა.შ.
დადასტურებული განცხადება მართალია არა მხოლოდ ნორმალური FSR-სთვის, არამედ ერთგვაროვანი SLAE-ის თვითნებური FSR-სთვისაც.
X=გ 1 X 1 + გ 2 X 2 +…+s ნ - რ X ნ - რ - ზოგადი გამოსავალიწრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემები
სადაც X 1, X 2,…, X n - r – ამონახსნების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა,
c 1 ,c 2 ,…,c n - r არის თვითნებური რიცხვები.
მაგალითი. (გვ. 78)
დავამყაროთ კავშირი არაჰომოგენური SLAE-ის ამონახსნებს შორის 
(1) და შესაბამისი ერთგვაროვანი SLAE 
(15)
თეორემა 4. არაჰომოგენური სისტემის (1) და შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის (15) ნებისმიერი ამოხსნის ჯამი არის ამონახსნი სისტემის (1).
მტკიცებულება. თუ c 1 ,…,c n არის ამონახსნი სისტემის (1), და d 1 ,…,d n არის ამონახსნი სისტემის (15), მაშინ უცნობი რიცხვების c ჩანაცვლება ნებისმიერი (მაგალითად, i-th) განტოლებით. სისტემა (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , მივიღებთ:
B i +0=b i h.t.d.
თეორემა 5. განსხვავება არაჰომოგენური სისტემის ორ თვითნებურ ხსნარს შორის (1) არის ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნა (15).
მტკიცებულება. თუ c 1 ,…,c n და c 1 ,…,c n არის სისტემის ამონახსნები (1), მაშინ უცნობი რიცხვების c ჩანაცვლება სისტემის ნებისმიერ (მაგალითად, i-th) განტოლებაში. ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , მივიღებთ:
B i -b i =0 p.t.d.
დადასტურებული თეორემებიდან გამომდინარეობს, რომ m წრფივი ჰომოგენური განტოლებების სისტემის ზოგადი ამონახსნები n ცვლადით უდრის შესაბამისი ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებების სისტემის ზოგადი ამონახსნის ჯამს და კონკრეტული ამონახსნის თვითნებურ რაოდენობას. ეს სისტემა (15).
X ნეოდ. =X სულ ერთი +X ხშირი ერთზე მეტჯერ (22)
როგორც არაჰომოგენური სისტემის კონკრეტული ამონახსნი, ბუნებრივია მივიღოთ ხსნარი, რომელიც მიიღება, თუ ფორმულებში c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) დააყენეთ ყველა რიცხვი c r +1 ,…,c n ნულის ტოლი, ე.ი.
X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)
ამ კონკრეტული გადაწყვეტის დამატება ზოგად გადაწყვეტაზე X=გ 1 X 1 + გ 2 X 2 +…+s ნ - რ X ნ - რშესაბამის ერთგვაროვან სისტემას ვიღებთ:
X ნეოდ. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C ნ - რ X ნ - რ (24)
განვიხილოთ ორი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით:
რომელშიც ერთ-ერთი მაინც კოეფიციენტი a ij 0.
ამოსახსნელად ვხსნით x 2-ს, გავამრავლებთ პირველ განტოლებას 22-ზე, ხოლო მეორეს (-a 12-ზე) და ვუმატებთ მათ: აღმოვფხვრეთ x 1 პირველი განტოლების (-a 21-ზე) გამრავლებით, ხოლო მეორეს 11-ზე. და დაამატეთ ისინი: 
გამონათქვამი ფრჩხილებში არის განმსაზღვრელი
დანიშნულმა 
,
, მაშინ სისტემა მიიღებს ფორმას:, ანუ, თუ, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა:,.
თუ Δ=0 და (ან), მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია, რადგან შემცირდა ფორმამდე თუ Δ = Δ 1 = Δ 2 = 0, მაშინ სისტემა გაურკვეველია, რადგან ფორმამდე დაყვანილი
სისტემა მწრფივი განტოლებები გ ნუწოდებდნენ უცნობებს ხაზოვანი ერთგვაროვანი სისტემაგანტოლებები, თუ ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია. ასეთი სისტემა ასე გამოიყურება:
სად და იჯ (მე = 1, 2, …, მ; ჯ = 1, 2, …, ნ) - მოცემული რიცხვები; x i- უცნობი.
წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან რ(A) = რ(). მას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ნული ( ტრივიალური) ხსნარი (0; 0; …; 0).
განვიხილოთ, რა პირობებში აქვთ ერთგვაროვან სისტემებს არანულოვანი ამონახსნები.
თეორემა 1.წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მთავარი მატრიცის რანგია რნაკლები უცნობი ნ, ე.ი. რ < ნ.
□
1). მოდით, წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი. ვინაიდან წოდება არ შეიძლება აღემატებოდეს მატრიცის ზომას, მაშინ, ცხადია, რ ≤ ნ. დაე რ = ნ. შემდეგ ერთი მცირე ზომის n nგანსხვავდება ნულიდან. ამრიგად, წრფივი განტოლებების შესაბამის სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები: 
. ეს ნიშნავს, რომ ტრივიალურის გარდა სხვა გადაწყვეტილებები არ არსებობს. ასე რომ, თუ არსებობს არა ტრივიალური გამოსავალი, მაშინ რ < ნ.
2). დაე რ < ნ. მაშინ ჰომოგენური სისტემა, თანმიმდევრული, გაურკვეველია. ეს ნიშნავს, რომ მას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ე.ი. აქვს არანულოვანი გადაწყვეტილებები. ■
განვიხილოთ ერთგვაროვანი სისტემა ნწრფივი განტოლებები გ ნუცნობი:
(2)
თეორემა 2.ჰომოგენური სისტემა ნწრფივი განტოლებები გ ნუცნობებს (2) აქვს არანულოვანი ამონახსნები, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია: = 0.
□ თუ სისტემას (2) აქვს არანულოვანი ამონახსნი, მაშინ = 0. რადგან როდესაც სისტემას აქვს მხოლოდ ერთი ნულოვანი ამონახსნი. თუ = 0, მაშინ წოდება რსისტემის მთავარი მატრიცა ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, ე.ი. რ < ნ. და, შესაბამისად, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ე.ი. აქვს არანულოვანი გადაწყვეტილებები. ■
ავღნიშნოთ სისტემის ამონახსნი (1) X 1 = კ 1 , X 2 = კ 2 , …, x n = k nროგორც სიმებიანი 
.
წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის ამონახსნებს აქვთ შემდეგი თვისებები:
1.
თუ ხაზი არის ამონახსნი სისტემის (1), მაშინ ხაზი არის ამონახსნი სისტემის (1).
2.
თუ ხაზები 
და არის სისტემის (1), შემდეგ ნებისმიერი მნიშვნელობის ამონახსნები თან 1 და თან 2 მათი წრფივი კომბინაცია ასევე არის სისტემის ამოხსნა (1).
ამ თვისებების მართებულობის შემოწმება შესაძლებელია სისტემის განტოლებებში მათი უშუალო ჩანაცვლებით.
ჩამოყალიბებული თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ასევე არის ამ სისტემის ამონახსნი.
ხაზოვანი დამოუკიდებელი ამონახსნების სისტემა ე 1 , ე 2 , …, ე რდაურეკა ფუნდამენტური, თუ (1) სისტემის თითოეული ამონახსნი არის ამ ამონახსნების წრფივი კომბინაცია ე 1 , ე 2 , …, ე რ.
თეორემა 3.თუ წოდება რწრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის ცვლადების კოეფიციენტების მატრიცები (1) ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე ნ, მაშინ (1) სისტემის ამონახსნების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა შედგება n–rგადაწყვეტილებები.
ამიტომაც ზოგადი გადაწყვეტაწრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემას (1) აქვს ფორმა:
სად ე 1 , ე 2 , …, ე რ– სისტემის გადაწყვეტილებების ნებისმიერი ფუნდამენტური სისტემა (9), თან 1 , თან 2 , …, ერთად გვ- თვითნებური ნომრები, რ = n–r.
თეორემა 4.სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა მწრფივი განტოლებები გ ნუცნობი უდრის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების შესაბამისი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ჯამს (1) და ამ სისტემის თვითნებური კონკრეტული ამონახსნის (1).
მაგალითი.გადაჭრით სისტემა
გამოსავალი.ამ სისტემისთვის მ = ნ= 3. განმსაზღვრელი
თეორემა 2-ით, სისტემას აქვს მხოლოდ ტრივიალური გამოსავალი: x = წ = ზ = 0.
მაგალითი. 1) იპოვნეთ სისტემის ზოგადი და კონკრეტული გადაწყვეტილებები
2) იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.
გამოსავალი. 1) ამ სისტემისთვის მ = ნ= 3. განმსაზღვრელი
თეორემა 2-ით, სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნები.
ვინაიდან სისტემაში მხოლოდ ერთი დამოუკიდებელი განტოლებაა
x + წ – 4ზ = 0,
მაშინ მისგან გამოვხატავთ x =4ზ- წ. საიდან ვიღებთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობას: (4 ზ- წ, წ, ზ) – ეს არის სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.
ზე ზ= 1, წ= -1, ვიღებთ ერთ კონკრეტულ ამოხსნას: (5, -1, 1). აყენებს ზ= 3, წ= 2, ვიღებთ მეორე კონკრეტულ ამოხსნას: (10, 2, 3) და ა.შ.
2) ბ ზოგადი გადაწყვეტილება (4ზ- წ, წ, ზ) ცვლადები წდა ზუფასოა და ცვლადი X- მათზეა დამოკიდებული. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემის მოსაძებნად, ჩვენ ვაძლევთ უფასო ცვლადი მნიშვნელობები: თავიდან წ = 1, ზ= 0, მაშინ წ = 0, ზ= 1. ვიღებთ ნაწილობრივ ამონახსნებს (-1, 1, 0), (4, 0, 1), რომლებიც ქმნიან ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.
ილუსტრაციები:
ბრინჯი. 1 წრფივი განტოლებათა სისტემების კლასიფიკაცია
ბრინჯი. 2 წრფივი განტოლებათა სისტემების შესწავლა
პრეზენტაციები:
· ამოხსნის SLAE_matrix მეთოდი
· ამოხსნა SLAE_Cramer მეთოდი
· ამოხსნა SLAE_Gauss მეთოდი
· გადაწყვეტის პაკეტები მათემატიკური ამოცანები Mathematica, MathCad: წრფივი განტოლებათა სისტემების ანალიტიკური და რიცხვითი ამონახსნების ძიება
უსაფრთხოების კითხვები:
1. განსაზღვრეთ წრფივი განტოლება
2. რა ტიპის სისტემას ჰგავს? მწრფივი განტოლებები ნუცნობი?
3. რას ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა?
4. რომელ სისტემებს უწოდებენ ეკვივალენტს?
5. რომელ სისტემას ეწოდება შეუთავსებელი?
6. რა სისტემას ჰქვია სახსარი?
7. რომელ სისტემას ეწოდება განსაზღვრული?
8. რომელ სისტემას ეწოდება განუსაზღვრელი
9. ჩამოთვალეთ წრფივი განტოლებათა სისტემების ელემენტარული გარდაქმნები
10. ჩამოთვალეთ მატრიცების ელემენტარული გარდაქმნები
11. ჩამოაყალიბეთ თეორემა წრფივი განტოლებათა სისტემაში ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენების შესახებ
12. რა სისტემების ამოხსნა შეიძლება მატრიცული მეთოდით?
13. რა სისტემების ამოხსნა შეიძლება კრამერის მეთოდით?
14. რა სისტემების ამოხსნაა შესაძლებელი გაუსის მეთოდით?
15. ჩამოთვალეთ 3 შესაძლო შემთხვევა, რომელიც წარმოიქმნება გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას.
16. აღწერეთ წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მატრიცული მეთოდი
17. აღწერეთ კრამერის მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის
18. აღწერეთ გაუსის მეთოდი წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის
19. რა სისტემების გამოყენებით შეიძლება გადაჭრა ინვერსიული მატრიცა?
20. ჩამოთვალეთ 3 შესაძლო შემთხვევა, რომლებიც წარმოიქმნება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას კრამერის მეთოდით
ლიტერატურა:
1. უმაღლესი მათემატიკაეკონომისტებისთვის: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის / ნ.შ. კრემერი, ბ.ა. პუტკო, ი.მ. ტრიშინი, M.N. Friedman. რედ. ნ.შ. კრემერი. – M.: UNITY, 2005. – 471გვ.
2. ზოგადი კურსიუმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის: სახელმძღვანელო. / რედ. ვ.ი. ერმაკოვა. –მ.: INFRA-M, 2006. – 655გვ.
3. უმაღლეს მათემატიკაში ამოცანების კრებული ეკონომისტებისთვის: სახელმძღვანელო/ რედაქტირებულია V.I. ერმაკოვა. M.: INFRA-M, 2006. – 574 გვ.
4. Gmurman V. E. გზამკვლევი პრობლემების გადაჭრის ალბათობის თეორიასა და მაგმატურ სტატისტიკაში. - მ.: უმაღლესი სკოლა, 2005. – 400გვ.
5. გმურმანი. V.E ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა. - მ.: უმაღლესი სკოლა, 2005 წ.
6. დანკო P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. უმაღლესი მათემატიკა სავარჯიშოებსა და ამოცანებში. ნაწილი 1, 2. – M.: Onyx 21st საუკუნე: მშვიდობა და განათლება, 2005. – 304 გვ. ნაწილი 1; – 416 გვ. ნაწილი 2.
7. მათემატიკა ეკონომიკაში: სახელმძღვანელო: 2 ნაწილად / ა.ს. სოლოდოვნიკოვი, ვ.ა. ბაბაიცევი, ა.ვ. ბრაილოვი, ი.გ. შანდარა. – მ.: ფინანსები და სტატისტიკა, 2006 წ.
8. შიპაჩოვი ვ.ს. უმაღლესი მათემატიკა: სახელმძღვანელო სტუდენტებისთვის. უნივერსიტეტები - მ.: უმაღლესი სკოლა, 2007. - 479გვ.
დაკავშირებული ინფორმაცია.