არ დაითვალოთ მთელი რიცხვები. უმცირესი საერთო ჯერადი და უდიდესი საერთო გამყოფი. გაყოფის კრიტერიუმები და დაჯგუფების მეთოდები (2020). დადებითი მთელი რიცხვები და უარყოფითი რიცხვები

ამ სტატიაში განვსაზღვრავთ მთელი რიცხვების სიმრავლეს, განვიხილავთ რომელ მთელ რიცხვებს ჰქვია დადებითი და რომელი უარყოფითი. ჩვენ ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება მთელი რიცხვები გარკვეული რაოდენობით ცვლილებების აღსაწერად. დავიწყოთ მთელი რიცხვების განმარტებითა და მაგალითებით.

მთელი რიცხვები. განმარტება, მაგალითები

პირველ რიგში, გავიხსენოთ ნატურალური რიცხვები ℕ. თავად სახელი ვარაუდობს, რომ ეს არის რიცხვები, რომლებიც ბუნებრივად გამოიყენებოდა დასათვლელად უხსოვარი დროიდან. იმისათვის, რომ დავფაროთ მთელი რიცხვების ცნება, უნდა გავაფართოვოთ ნატურალური რიცხვების განმარტება.

განმარტება 1. მთელი რიცხვები

მთელი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, მათი საპირისპიროები და რიცხვი ნული.

მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო ℤ.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე ℕ არის ℤ მთელი რიცხვების ქვესიმრავლე. ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვიარის მთელი რიცხვი, მაგრამ ყველა მთელი რიცხვი არ არის ნატურალური რიცხვი.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი რიცხვი 1, 2, 3 არის მთელი რიცხვი. . , რიცხვი 0, ასევე რიცხვები - 1, - 2, - 3, . .

ამის შესაბამისად მოვიყვანთ მაგალითებს. რიცხვები 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 მთელი რიცხვებია.

მოდით, კოორდინატთა ხაზი ჰორიზონტალურად იყოს დახატული და მარჯვნივ მიმართული. მოდით შევხედოთ მას, რათა ვიზუალურად წარმოვადგინოთ მთელი რიცხვების მდებარეობა ხაზზე.

კოორდინატთა წრფეზე საწყისი შეესაბამება რიცხვს 0, ხოლო წერტილები, რომლებიც მდებარეობს ნულის ორივე მხარეს, შეესაბამება დადებით და უარყოფით მთელ რიცხვებს. თითოეული წერტილი შეესაბამება ერთ მთელ რიცხვს.

თქვენ შეგიძლიათ მიაღწიოთ წრფის ნებისმიერ წერტილს, რომლის კოორდინატი არის მთელი რიცხვი საწყისიდან გარკვეული რაოდენობის ერთეულების სეგმენტების გამოყოფით.

დადებითი და უარყოფითი მთელი რიცხვები

ყველა რიცხვიდან ლოგიკურია განასხვავოთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვები. მოდით მივცეთ მათი განმარტებები.

განმარტება 2: დადებითი მთელი რიცხვები

დადებითი მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები პლუს ნიშნით.

მაგალითად, რიცხვი 7 არის მთელი რიცხვი პლუს ნიშნით, ანუ დადებითი მთელი რიცხვი. კოორდინატთა ხაზზე, ეს რიცხვი დევს საცნობარო წერტილის მარჯვნივ, რომელიც მიღებულია რიცხვად 0. დადებითი მთელი რიცხვების სხვა მაგალითები: 12, 502, 42, 33, 100500.

განმარტება 3: უარყოფითი მთელი რიცხვები

უარყოფითი მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები მინუს ნიშნით.

უარყოფითი მთელი რიცხვების მაგალითები: - 528, - 2568, - 1.

რიცხვი 0 ჰყოფს დადებით და უარყოფით მთელ რიცხვებს და თავისთავად არც დადებითია და არც უარყოფითი.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც არის დადებითი მთელი რიცხვის საპირისპირო, განსაზღვრებით, უარყოფითი რიცხვია. პირიქითაც მართალია. ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვის ინვერსია არის დადებითი მთელი რიცხვი.

შესაძლებელია უარყოფითი და დადებითი მთელი რიცხვების განმარტებების სხვა ფორმულირების მიცემა მათი ნულთან შედარების გამოყენებით.

განმარტება 4. დადებითი მთელი რიცხვები

დადებითი მთელი რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც მეტია ნულზე.

განმარტება 5: უარყოფითი მთელი რიცხვები

უარყოფითი მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ნულზე ნაკლებია.

შესაბამისად, დადებითი რიცხვები დევს საწყისის მარჯვნივ კოორდინატთა წრფეზე, ხოლო უარყოფითი რიცხვები ნულის მარცხნივ.

ადრე ვთქვით, რომ ნატურალური რიცხვები არის მთელი რიცხვების ქვესიმრავლე. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი. ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედგება დადებითი მთელი რიცხვებისგან. თავის მხრივ, უარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე არის ნატურალურის საპირისპირო რიცხვების სიმრავლე.

მნიშვნელოვანი!

ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს შეიძლება ეწოდოს მთელი რიცხვი, მაგრამ ნებისმიერ მთელ რიცხვს არ შეიძლება ეწოდოს ნატურალური რიცხვი. კითხვაზე პასუხის გაცემისას არის თუ არა უარყოფითი რიცხვები ნატურალური რიცხვები, თამამად უნდა ვთქვათ - არა, ისინი არ არიან.

არადადებითი და არაუარყოფითი მთელი რიცხვები

მოდით მივცეთ რამდენიმე განმარტება.

განმარტება 6. არაუარყოფითი მთელი რიცხვები

არაუარყოფითი მთელი რიცხვები არის დადებითი რიცხვები და რიცხვი ნული.

განმარტება 7. არაპოზიტიური მთელი რიცხვები

არადადებითი რიცხვები არის უარყოფითი რიცხვები და რიცხვი ნული.

როგორც ხედავთ, რიცხვი ნული არც დადებითია და არც უარყოფითი.

არაუარყოფითი მთელი რიცხვების მაგალითები: 52, 128, 0.

არაპოზიტიური მთელი რიცხვების მაგალითები: - 52, - 128, 0.

არაუარყოფითი რიცხვია ნულის ტოლი ან მეტი რიცხვი. შესაბამისად, არაპოზიტიური მთელი რიცხვი არის ნულზე ნაკლები ან ტოლი რიცხვი.

მოკლედ გამოიყენება ტერმინები „არაპოზიტიური რიცხვი“ და „არაუარყოფითი რიცხვი“. მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ თქვათ, რომ რიცხვი a არის მთელი რიცხვი, რომელიც მეტია ან ტოლია ნულზე, შეგიძლიათ თქვათ: a არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი.

რიცხვების გამოყენება რაოდენობებში ცვლილებების აღსაწერად

რისთვის გამოიყენება მთელი რიცხვები? უპირველეს ყოვლისა, მათი დახმარებით მოსახერხებელია ნებისმიერი ობიექტის რაოდენობის ცვლილებების აღწერა და დადგენა. მოვიყვანოთ მაგალითი.

მოდით, გარკვეული რაოდენობის ამწეები ინახებოდეს საწყობში. თუ საწყობში კიდევ 500 ამწე მიიტანეს, მათი რაოდენობა გაიზრდება. რიცხვი 500 ზუსტად გამოხატავს ნაწილების რაოდენობის ცვლილებას (მატებას). თუ საწყობიდან 200 ნაწილს იღებენ, მაშინ ეს რიცხვი ასევე ახასიათებს ამწეების რაოდენობის ცვლილებას. ამჯერად ქვევით.

თუ საწყობიდან არაფერია ამოღებული და არაფერია მიწოდებული, მაშინ რიცხვი 0 მიუთითებს, რომ ნაწილების რაოდენობა უცვლელი რჩება.

მთელი რიცხვების გამოყენების აშკარა მოხერხებულობა, ნატურალური რიცხვებისგან განსხვავებით, არის ის, რომ მათი ნიშანი ნათლად მიუთითებს მნიშვნელობის ცვლილების მიმართულებაზე (გადიდება ან შემცირება).

ტემპერატურის შემცირება 30 გრადუსით შეიძლება ხასიათდებოდეს უარყოფითი მთელი რიცხვით - 30, ხოლო 2 გრადუსით მატება - დადებითი მთელი რიცხვით 2.

მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი მთელი რიცხვების გამოყენებით. ამჯერად წარმოვიდგინოთ, რომ ვიღაცას 5 მონეტა უნდა მივცეთ. მაშინ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გვაქვს - 5 მონეტა. ნომერი 5 აღწერს ვალის ზომას, ხოლო მინუს ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენ უნდა გავცეთ მონეტები.

თუ ჩვენ გვმართებს 2 მონეტა ერთს და 3 მეორეს, მაშინ მთლიანი დავალიანება (5 მონეტა) შეიძლება გამოითვალოს უარყოფითი რიცხვების დამატების წესით:

2 + (- 3) = - 5

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ნატურალური რიცხვები ის რიცხვებია, რომლებითაც ყველაფერი დაიწყო. დღეს კი ეს არის პირველი რიცხვები, რომლებსაც ადამიანი ხვდება ცხოვრებაში, როდესაც ბავშვობაში სწავლობს თითებზე დათვლას ან ჯოხების დათვლას.

განმარტება: ნატურალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება ობიექტების დასათვლელად (1, 2, 3, 4, 5, ...) [რიცხვი 0 არ არის ბუნებრივი. მას აქვს საკუთარი ცალკე ისტორია მათემატიკის ისტორიაში და გაჩნდა გაცილებით გვიან, ვიდრე ნატურალური რიცხვები.]

ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე (1, 2, 3, 4, 5, ...) აღინიშნება ასო N-ით.

მთელი რიცხვები

თვლა რომ ვისწავლეთ, შემდეგი რასაც ვაკეთებთ არის რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება. ჩვეულებრივ, პირველ რიგში ისწავლება შეკრება და გამოკლება (დათვლის ჯოხების გამოყენებით).

გარდა ამისა, ყველაფერი ნათელია: ნებისმიერი ორი ნატურალური რიცხვის მიმატებით, შედეგი ყოველთვის იქნება იგივე ნატურალური რიცხვი. მაგრამ გამოკლებისას აღმოვაჩენთ, რომ ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვაკლოთ უფრო დიდი პატარას ისე, რომ შედეგი იყოს ნატურალური რიცხვი. (3 − 5 = რა?) სწორედ აქ ჩნდება უარყოფითი რიცხვების იდეა. (უარყოფითი რიცხვები აღარ არის ნატურალური რიცხვები)

უარყოფითი რიცხვების გაჩენის ეტაპზე (და ისინი უფრო გვიან გამოჩნდნენ, ვიდრე წილადები)იყვნენ მათი ოპონენტებიც, რომლებიც მათ სისულელედ თვლიდნენ. (თითებზე შეიძლება სამი ობიექტის ჩვენება, ათი, ანალოგიით წარმოდგენა ათასი ობიექტი. და რა არის „მინუს სამი ჩანთა“? - იმ დროს რიცხვები უკვე გამოიყენებოდა დამოუკიდებლად, კონკრეტულისგან იზოლირებულად. ობიექტები, რომელთა რაოდენობასაც ისინი აღნიშნავენ, ჯერ კიდევ ადამიანთა გონებაში ბევრად უფრო ახლოს იყო ამ კონკრეტულ საგნებთან, ვიდრე დღეს.) მაგრამ, წინააღმდეგობების მსგავსად, უარყოფითი რიცხვების სასარგებლოდ მთავარი არგუმენტი პრაქტიკიდან მომდინარეობდა: უარყოფითმა რიცხვებმა შესაძლებელი გახადა მოხერხებულად. ვალების დათვლა. 3 − 5 = −2 - მე მქონდა 3 მონეტა, დავხარჯე 5. ეს ნიშნავს, რომ არამარტო მონეტები გამიმთავრდა, არამედ ვიღაცას 2 მონეტა ვალიც მქონდა. თუ ერთს დავაბრუნებ, დავალიანება შეიცვლება −2+1=−1, მაგრამ ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უარყოფითი რიცხვით.

შედეგად, უარყოფითი რიცხვები გამოჩნდა მათემატიკაში და ახლა გვაქვს ნატურალური რიცხვების უსასრულო რაოდენობა (1, 2, 3, 4, ...) და არის მათი საპირისპირო რიცხვების იგივე რაოდენობა (−1, −2, −). 3, −4, ...). დავუმატოთ მათ კიდევ 0 და ყველა ამ რიცხვის სიმრავლეს ვუწოდებთ მთელ რიცხვებს.

განმარტება: ნატურალური რიცხვები, მათი საპირისპიროები და ნული ქმნიან მთელი რიცხვების სიმრავლეს. იგი აღინიშნება ასო Z-ით.

ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს ერთმანეთს ან დაემატოს მთელი რიცხვის შესაქმნელად.

მთელი რიცხვების დამატების იდეა უკვე გულისხმობს გამრავლების შესაძლებლობას, როგორც უბრალოდ უფრო მეტს სწრაფი გზადამატების შესრულება. თუ გვაქვს 7 ტომარა თითო 6 კილოგრამიანი, შეგვიძლია დავამატოთ 6+6+6+6+6+6+6 (ამჟამად შვიდჯერ დავუმატოთ 6), ან უბრალოდ გვახსოვდეს, რომ ასეთი ოპერაცია ყოველთვის გამოიწვევს 42. ისევე როგორც ექვსი შვიდეულის დამატება, 7+7+7+7+7+7 ასევე ყოველთვის იძლევა 42-ს.

დამატების ოპერაციის შედეგები გარკვეულინომრები საკუთარ თავთან გარკვეულიიწერება 2-დან 9-მდე ყველა წყვილი რიცხვისთვის და დგება გამრავლების ცხრილი. 9-ზე მეტი მთელი რიცხვების გასამრავლებლად გამოიგონეს სვეტის გამრავლების წესი. (რაც ასევე ეხება ათობითი წილადებს და რომელიც განხილული იქნება ერთ-ერთ შემდეგ სტატიაში.) ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვის ერთმანეთზე გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება მთელი რიცხვი.

რაციონალური რიცხვები

ახლა გაყოფა. ისევე, როგორც გამოკლება არის შეკრების შებრუნებული ოპერაცია, ჩვენ მივდივართ გაყოფის იდეამდე, როგორც გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია.

როდესაც გვქონდა 7 ტომარა 6 კილოგრამიანი, გამრავლების გამოყენებით ადვილად გამოვთვალეთ, რომ ტომრების შიგთავსის საერთო წონა იყო 42 კილოგრამი. წარმოვიდგინოთ, რომ ყველა ჩანთის მთლიანი შიგთავსი ჩავასხათ ერთ საერთო გროვაში, რომლის წონაა 42 კილოგრამი. შემდეგ მათ გადაიფიქრეს და სურდათ შიგთავსის 7 ტომარაში გადანაწილება. რამდენი კილოგრამი მოხვდება ერთ ტომარაში, თუ მას თანაბრად გადავანაწილებთ? - ცხადია, 6.

რა მოხდება, თუ გვინდა 42 კილოგრამი 6 ტომარაში გავანაწილოთ? აქ ვიფიქრებთ, რომ იგივე სულ 42 კილოგრამი შეიძლება მივიღოთ, თუ 7 კილოგრამიან 6 ტომარას გროვაში ჩავასხამთ. და ეს ნიშნავს, რომ 42 კილოგრამის 6 ტომარაში თანაბრად დაყოფისას, ერთ ტომარაში 7 კილოგრამს ვიღებთ.

რა მოხდება, თუ 42 კილოგრამს თანაბრად ყოფ 3 ტომარაში? და აქაც ვიწყებთ რიცხვის არჩევას, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მისცემს 42-ს. „ტაბულური“ მნიშვნელობებისთვის, როგორც 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 შემთხვევაში, ვასრულებთ გაყოფას. ოპერაცია უბრალოდ გამრავლების ცხრილის გახსენებით. უფრო რთული შემთხვევებისთვის გამოიყენება სვეტის გაყოფა, რომელიც განხილული იქნება ერთ-ერთ შემდეგ სტატიაში. 3-ისა და 42-ის შემთხვევაში, შეგიძლიათ „აირჩიოთ“ და გახსოვდეთ, რომ 3 · 14 = 42. ეს ნიშნავს 42:3 = 14. თითოეული ჩანთა შეიცავს 14 კილოგრამს.

ახლა ვცადოთ 42 კილოგრამი თანაბრად გავყოთ 5 ტომარაში. 42:5 =?
ჩვენ ვამჩნევთ, რომ 5 · 8 = 40 (რამდენიმე) და 5 · 9 = 45 (ბევრი). ანუ 5 ტომრიდან 42 კილოგრამს არ მივიღებთ, არც 8 კილოგრამს ტომარაში და არც 9 კილოგრამს. ამასთან, ცხადია, რომ რეალურად არაფერი გვიშლის ხელს რაიმე რაოდენობის (მაგ. მარცვლეულის) 5 თანაბარ ნაწილად დაყოფაში.

მთელი რიცხვების ერთმანეთზე გაყოფის ოპერაცია სულაც არ იწვევს მთელ რიცხვს. ასე მივედით წილადების ცნებამდე. 42:5 = 42/5 = 8 მთელი 2/5 (თუ დათვლილია ჩვეულებრივ წილადებში) ან 42:5 = 8,4 (თუ დათვლილია ათობითი წილადებში).

საერთო და ათობითი წილადები

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი m/n (m არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი) უბრალოდ სპეციალური ფორმაა მ რიცხვის n რიცხვზე გაყოფის შედეგის ჩაწერისთვის. (m ეწოდება წილადის მრიცხველს, n არის მნიშვნელი) მაგალითად, რიცხვი 25 5-ზე გაყოფის შედეგი შეიძლება ჩაიწეროს როგორც ჩვეულებრივი წილადი 25/5. მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი, რადგან 25-ის 5-ზე გაყოფის შედეგი შეიძლება უბრალოდ ჩაიწეროს როგორც მთელი რიცხვი 5. (და 25/5 = 5). მაგრამ 25 რიცხვის 3-ზე გაყოფის შედეგი აღარ შეიძლება იყოს მთელი რიცხვის სახით, ამიტომ აქ ჩნდება წილადის გამოყენების აუცილებლობა, 25:3 = 25/3. (შეგიძლიათ განასხვავოთ მთელი ნაწილი 25/3 = 8 მთელი 1/3. ჩვეულებრივი წილადები და მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებით უფრო დეტალურად იქნება განხილული შემდეგ სტატიებში.)

ჩვეულებრივი წილადების კარგი ის არის, რომ იმისათვის, რომ წარმოვადგინოთ ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვის გაყოფის შედეგი, როგორც ასეთი წილადი, თქვენ უბრალოდ უნდა დაწეროთ დივიდენდი წილადის მრიცხველში, ხოლო გამყოფი მნიშვნელში. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეამცირეთ წილადი და/ან მონიშნეთ მთელი ნაწილი (ეს მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებით დეტალურად იქნება განხილული შემდეგ სტატიებში). პრობლემა ის არის, რომ ჩვეულებრივი წილადებით არითმეტიკული მოქმედებების (შეკრება, გამოკლება) შესრულება აღარ არის ისეთი მოსახერხებელი, როგორც მთელი რიცხვებით.

ჩაწერის მოხერხებულობისთვის (ერთ სტრიქონში) და გამოთვლების მოხერხებულობისთვის (სვეტში გამოთვლების შესაძლებლობით, როგორც ჩვეულებრივი მთელი რიცხვებისთვის), ჩვეულებრივი წილადების გარდა, გამოიგონეს ათობითი წილადებიც. ათობითი წილადი არის სპეციალურად დაწერილი ჩვეულებრივი წილადი, რომლის მნიშვნელი არის 10, 100, 1000 და ა.შ. მაგალითად, საერთო წილადი 7/10 იგივეა რაც ათობითი წილადი 0.7. (8/100 = 0,08; 2 მთელი 3/10 = 2,3; 7 მთელი 1/1000 = 7, 001). ცალკე სტატია დაეთმობა ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევას და პირიქით. მოქმედებები ათობითი წილადებით - სხვა სტატიები.

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს საერთო წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით. (5=5/1; −765=−765/1).

განმარტება: ყველა რიცხვს, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, რაციონალური რიცხვები ეწოდება. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო Q-ით.

ნებისმიერი ორი მთელი რიცხვის ერთმანეთზე გაყოფისას (გარდა 0-ზე გაყოფისა), შედეგი ყოველთვის იქნება რაციონალური რიცხვი. ჩვეულებრივი წილადებისთვის არსებობს შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ შესაბამისი ოპერაცია ნებისმიერი ორი წილადით და შედეგად მიიღოთ რაციონალური რიცხვი (წილადი ან მთელი რიცხვი).

რაციონალური რიცხვების სიმრავლე პირველია ჩვენს მიერ განხილული სიმრავლეებიდან, რომელშიც შეგიძლიათ დაამატოთ, გამოკლოთ, გაამრავლოთ და გაყოთ (გარდა 0-ზე გაყოფისა), არასოდეს გასცდეთ ამ სიმრავლის საზღვრებს (ანუ ყოველთვის მიიღოთ რაციონალური რიცხვი შედეგად).

როგორც ჩანს, სხვა რიცხვები არ არსებობს, ყველა რიცხვი რაციონალურია. მაგრამ ეს არც მართალია.

რეალური რიცხვები

არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად m/n (სადაც m არის მთელი რიცხვი, n არის ნატურალური რიცხვი).

რა არის ეს რიცხვები? ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ექსპონენტაციის ოპერაციას. მაგალითად, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5 =125. ისევე, როგორც გამრავლება არის ჩაწერისა და შეკრების გამოთვლის უფრო მოსახერხებელი ფორმა, ასევე სიძლიერე არის ერთი და იგივე რიცხვის გამრავლების თავისთავად გარკვეული რაოდენობის ჯერ ჩაწერის ფორმა.

მაგრამ ახლა მოდით შევხედოთ ძალამდე ამაღლების საპირისპირო ოპერაციას - ფესვის ამოღებას. 16-ის კვადრატული ფესვი არის რიცხვი, რომელიც კვადრატში იძლევა 16-ს, ანუ რიცხვს 4-ს. 9-ის კვადრატული ფესვი არის 3. მაგრამ, მაგალითად, 5-ის ან 2-ის კვადრატული ფესვი ვერ იქნება წარმოდგენილი. რაციონალური რიცხვი. (ამ განცხადების მტკიცებულება, ირაციონალური რიცხვების სხვა მაგალითები და მათი ისტორია შეგიძლიათ ნახოთ, მაგალითად, ვიკიპედიაში)

GIA-ში მე-9 კლასში არის დავალება დადგინდეს რიცხვი, რომელიც შეიცავს მის აღნიშვნას ფესვს რაციონალურია თუ ირაციონალური. ამოცანაა შევეცადოთ გადაიყვანოთ ეს რიცხვი ფორმაში, რომელიც არ შეიცავს ფესვს (ფესვების თვისებების გამოყენებით). თუ ფესვს ვერ მოიშორებთ, მაშინ რიცხვი ირაციონალურია.

ირაციონალური რიცხვის კიდევ ერთი მაგალითია რიცხვი π, რომელიც ყველასთვის ნაცნობია გეომეტრიიდან და ტრიგონომეტრიიდან.

განმარტება: რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს ერთად ნამდვილ (ან ნამდვილ) რიცხვებს უწოდებენ. ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე აღინიშნება ასო R-ით.

რეალურ რიცხვებში, რაციონალური რიცხვებისგან განსხვავებით, შეგვიძლია გამოვხატოთ მანძილი წრფის ან სიბრტყის ნებისმიერ ორ წერტილს შორის.
თუ თქვენ დახაზავთ სწორ ხაზს და აირჩიეთ მასზე ორი თვითნებური წერტილი ან აირჩიეთ სიბრტყეზე ორი თვითნებური წერტილი, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ამ წერტილებს შორის ზუსტი მანძილი არ შეიძლება იყოს რაციონალური რიცხვის სახით. (მაგალითად: ჰიპოტენუზა მართკუთხა სამკუთხედი 1 და 1 ფეხებით, პითაგორას თეორემის მიხედვით, უდრის ფესვს ორი - ანუ ირაციონალური რიცხვი. ეს ასევე მოიცავს ნოუთბუქის უჯრედის დიაგონალის ზუსტ სიგრძეს (ნებისმიერი სრულყოფილი კვადრატის დიაგონალის სიგრძე მთელი გვერდებით).
ხოლო ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში ნებისმიერი მანძილი წრფეზე, სიბრტყეში ან სივრცეში შეიძლება გამოისახოს შესაბამისი რეალური რიცხვით.

მთელი რიცხვები -ეს ნატურალური რიცხვები, ასევე მათი საპირისპირო რიცხვები და ნული.

მთელი რიცხვები— ნატურალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება ნ, რომელიც მიიღება მიმატებით ნ 0 და უარყოფითი რიცხვები, როგორიცაა − ნ. მთელი რიცხვების სიმრავლე აღნიშნავს ზ.

ჯამი , განსხვავებადა მუშაობამთელი რიცხვებიდან კვლავ მიეცით მთელი რიცხვები, ე.ი. მთელი რიცხვები ქმნიან რგოლს შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციების მიმართ.

რიცხვების წრფეზე მთელი რიცხვები:

რამდენი მთელი რიცხვია? რამდენი მთელი რიცხვია? არ არსებობს უდიდესი და უმცირესი მთელი რიცხვი. ეს სერია უსასრულოა. უდიდესი და უმცირესი მთელი რიცხვი არ არსებობს.

ნატურალურ რიცხვებსაც უწოდებენ დადებითი მთელი რიცხვები, ე.ი. ფრაზა "ბუნებრივი რიცხვი" და "პოზიტიური მთელი რიცხვი" იგივეა.

არც ერთი წილადები ან ათწილადებიარ არის მთელი რიცხვები. მაგრამ არის წილადები მთელი რიცხვებით.

მთელი რიცხვების მაგალითები: -8, 111, 0, 1285642, -20051 და ასე შემდეგ.

ლაპარაკი მარტივი ენით, მთელი რიცხვებია (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - მთელი რიცხვების თანმიმდევრობა. ანუ მათ, ვისი წილადი ნაწილი (()) ნულის ტოლია. მათ არ აქვთ წილი.

ნატურალური რიცხვები დადებითი მთელი რიცხვებია. მთელი რიცხვები, მაგალითები: (1,2,3,4...+ ∞).

ოპერაციები მთელ რიცხვებზე.

1. მთელი რიცხვების ჯამი.

ერთი და იგივე ნიშნით ორი მთელი რიცხვის დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მოდულებიეს რიცხვები და თანხის წინ დასვით საბოლოო ნიშანი.

მაგალითი:

(+2) + (+5) = +7.

2. მთელი რიცხვების გამოკლება.

ორი მთელი რიცხვის დასამატებლად სხვადასხვა ნიშნები, საჭიროა უფრო დიდი რიცხვის მოდულს გამოვაკლოთ უფრო მცირე რიცხვის მოდული და პასუხის წინ დავაყენოთ უფრო დიდი მოდული რიცხვის ნიშანი.

მაგალითი:

(-2) + (+5) = +3.

3. მთელი რიცხვების გამრავლება.

ორი მთელი რიცხვის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და ნამრავლის წინ დააყენოთ პლუს ნიშანი (+), თუ თავდაპირველი რიცხვები ერთი და იგივე ნიშნის იყო და მინუს ნიშანი (-), თუ ისინი განსხვავებულია.

მაგალითი:

(+2) ∙ (-3) = -6.

როდესაც რამდენიმე რიცხვი მრავლდება, ნამრავლის ნიშანი იქნება დადებითი, თუ არადადებითი ფაქტორების რაოდენობა ლუწია, და უარყოფითი, თუ არადადებითი ფაქტორების რაოდენობა კენტია.

მაგალითი:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 არადადებითი ფაქტორი).

4. მთელი რიცხვების დაყოფა.

მთელი რიცხვების გასაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ ერთის მოდული მეორის მოდულზე და შედეგის წინ დააყენოთ "+" ნიშანი, თუ რიცხვების ნიშნები ერთნაირია და მინუს ნიშანი, თუ ისინი განსხვავებულია.

მაგალითი:

(-12) : (+6) = -2.

მთელი რიცხვების თვისებები.

Z არ არის დახურული 2 მთელი რიცხვის გაყოფით ( მაგალითად 1/2). ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი გვიჩვენებს შეკრების და გამრავლების ძირითად თვისებებს ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის ა, ბდა გ.

საკუთრება	დამატება	გამრავლება
იზოლაცია	ა + ბ- მთლიანი	ა × ბ- მთლიანი
ასოციაციურობა	ა + (ბ + გ) = (ა + ბ) + გ	ა × ( ბ × გ) = (ა × ბ) × გ
კომუტატიურობა	ა + ბ = ბ + ა	ა × ბ = ბ × ა
არსებობა ნეიტრალური ელემენტი	ა + 0 = ა	ა × 1 = ა
არსებობა საპირისპირო ელემენტი	ა + (−ა) = 0	ა ≠ ± 1 ⇒ 1/აარ არის მთელი რიცხვი
განაწილება გამრავლების ნათესავი დამატება	ა × ( ბ + გ) = (ა × ბ) + (ა × გ)

ცხრილიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ზარის კომუტაციური რგოლი შეკრებითა და გამრავლებით ერთიანობით.

სტანდარტული გაყოფა არ არსებობს მთელი რიცხვების სიმრავლეზე, მაგრამ არსებობს ე.წ გაყოფა ნაშთით: ყველა მთელი რიცხვისთვის ადა ბ, b≠0, არის მთელი რიცხვების ერთი ნაკრები ქდა რ, რა a = bq + rდა 0≤r<|b| , სად |ბ|— რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული). ბ. აქ ა- გამყოფი, ბ- გამყოფი, ქ- პირადი, რ- დარჩენილი.