მოსკოვის ენერგეტიკის ინსტიტუტი

(ტექნიკური უნივერსიტეტი)

ლაბორატორიის ანგარიში

თამაშის თეორიაში

"პროგრამა ოპტიმალური სტრატეგიების მოსაძებნად დაწყვილებული ნულოვანი ჯამის თამაშისთვის, რომელიც მოცემულია მატრიცის სახით"

დაასრულეს სტუდენტები

ჯგუფი A5-01

აშრაპოვ დალერი

აშრაპოვა ოლგა

თამაშის თეორიის ძირითადი ცნებები

თამაშის თეორია შექმნილია გადასაჭრელად კონფლიქტური სიტუაციები , ე.ი. სიტუაციები, როდესაც ეჯახება ორი ან მეტი მხარის ინტერესები, რომლებიც ატარებენ სხვადასხვა მიზნებს.

თუ მხარეთა მიზნები პირდაპირ საპირისპიროა, მაშინ ისინი საუბრობენ ანტაგონისტური კონფლიქტი .

თამაში კონფლიქტური სიტუაციის გამარტივებულ ფორმალიზებულ მოდელს უწოდებენ.

თამაშის ერთი თამაში თავიდან ბოლომდე ეწოდება წვეულება . თამაშის შედეგი არის გადახდა (ან მოგება ).

პარტია შედგება მოძრაობს , ე.ი. მოთამაშეთა არჩევანი შესაძლო ალტერნატივების გარკვეული ნაკრებიდან.

მოძრაობები შეიძლება იყოს პირადიდა შემთხვევითი.პირადი ნაბიჯი , განსხვავებით შემთხვევითი , გულისხმობს მოთამაშის შეგნებულ არჩევანს რაიმე ვარიანტის შესახებ.

თამაშები, რომლებშიც არის მინიმუმ ერთი პირადი ნაბიჯი, ეწოდება სტრატეგიული .

თამაშები, რომლებშიც ყველა მოძრაობა შემთხვევითია, ეწოდება აზარტული თამაშები .

პირადი ნაბიჯის გადადგმისას ისინი ასევე საუბრობენ სტრატეგიები მოთამაშე, ე.ი. წესების ან წესების ნაკრების შესახებ, რომელიც განსაზღვრავს მოთამაშის არჩევანს. ამასთან, სტრატეგია უნდა იყოს ყოვლისმომცველი, ე.ი. არჩევანი უნდა განისაზღვროს თამაშის დროს ნებისმიერი შესაძლო სიტუაციისთვის.

თამაშის თეორიის პრობლემა– მოთამაშეებისთვის ოპტიმალური სტრატეგიების მოძიება, ე.ი. სტრატეგიები, რომლებიც უზრუნველყოფენ მათ მაქსიმალურ მოგებას ან მინიმალურ ზარალს.

თამაშის თეორიული მოდელების კლასიფიკაცია

თამაში ნპირებს ჩვეულებრივ აღნიშნავენ, როგორც სად
- i-th მოთამაშის სტრატეგიების ნაკრები,
- გადახდა თამაშისთვის.

ამ აღნიშვნის შესაბამისად, შეიძლება შემოთავაზებული იყოს თამაშის თეორიული მოდელების შემდეგი კლასიფიკაცია:

დისკრეტული (მრავალჯერადი სტრატეგია დისკრეტული)

ფინალი

დაუსრულებელი

უწყვეტი (მრავალჯერადი სტრატეგია უწყვეტი)

დაუსრულებელი

ნპირები (
)

კოალიცია (კოოპერატივი)

არაკოალიციური (არაკოოპერატიული)

2 ადამიანი (წყვილი)

ანტაგონისტური (ნულოვანი ჯამის თამაშები)

(მხარეთა ინტერესები საპირისპიროა, ანუ ერთი მოთამაშის წაგება უდრის მეორის მოგებას)

არაანტაგონისტური

სრული ინფორმაციით (თუ მოთამაშემ, რომელიც პერსონალურ სვლას აკეთებს, იცის თამაშის მთელი ფონი, ანუ მოწინააღმდეგის ყველა სვლა)

არასრული ინფორმაციით

ნულოვანი თანხით (მთლიანი გადახდა უდრის ნულს)

არანულოვანი ჯამი

ერთჯერადი (ლატარიები)

მრავალ პასს

დაწყვილებული ნულოვანი ჯამის თამაშის მატრიცული წარმოდგენა

ამ გაკვეთილში ჩვენ განვიხილავთ ორი ადამიანის ანტაგონისტური თამაშები მატრიცის სახით მოცემული. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიცით პირველი მოთამაშის (მოთამაშის) მრავალი სტრატეგია ა){ ა მე }, მე = 1,…, მდა სხვადასხვა სტრატეგია მეორე მოთამაშისთვის (მოთამაშე ბ){ ბ ჯ }, ჯ = 1,..., ნდა ასევე მოცემულია მატრიცა ა = || ა იჯ || პირველი მოთამაშის მოგება. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ ანტაგონისტურ თამაშზე, ვარაუდობენ, რომ პირველი მოთამაშის მოგება უდრის მეორის წაგებას. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მატრიცის ელემენტი ა იჯ- პირველი მოთამაშის მოგება, როდესაც ის ირჩევს სტრატეგიას ა მედა მეორე მოთამაშის პასუხი მასზე სტრატეგიით ბ ჯ. ჩვენ აღვნიშნავთ ისეთ თამაშს, როგორც
, სად მ - მოთამაშის სტრატეგიების რაოდენობა A,ნ - მოთამაშის სტრატეგიების რაოდენობა IN.ზოგადად, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ცხრილით:

მაგალითი 1

როგორც მარტივი მაგალითი, განვიხილოთ თამაში, რომელშიც თამაში შედგება ორი სვლისგან.

1-ლი ნაბიჯი: მოთამაშე აირჩევს ერთ-ერთ რიცხვს (1 ან 2) ოპონენტის არჩევანის შესახებ შეტყობინების გარეშე.

მე-2 ნაბიჯი: მოთამაშე INირჩევს ერთ-ერთ რიცხვს (3 ან 4).

ქვედა ხაზი: მოთამაშეთა არჩევანი ადა INჩამოყაროს. თუ ჯამი ლუწია, მაშინ INუხდის თავის ღირებულებას მოთამაშეს ათუ კენტი - პირიქით, ათანხას უხდის მოთამაშეს IN.

ეს თამაში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით
შემდეგნაირად:

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს თამაში ანტაგონისტურია, გარდა ამისა, არის არასრული ინფორმაციით, რადგან მოთამაშეს IN,პირადი ნაბიჯის გადადგმისას უცნობია, რა არჩევანი გააკეთა მოთამაშემ ა.

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, თამაშის თეორიის ამოცანაა მოძებნოს მოთამაშეთა ოპტიმალური სტრატეგიები, ე.ი. სტრატეგიები, რომლებიც უზრუნველყოფენ მათ მაქსიმალურ მოგებას ან მინიმალურ ზარალს. ამ პროცესს ე.წ თამაშის გადაწყვეტა .

თამაშის მატრიცული ფორმით გადაჭრისას, თქვენ უნდა შეამოწმოთ თამაში არსებობისთვის უნაგირის წერტილი . ამისათვის შეყვანილია ორი მნიშვნელობა:

– თამაშის ფასის დაბალი შეფასება და

- თამაშის ფასის ზედა შეფასება.

პირველი მოთამაშე, დიდი ალბათობით, აირჩევს სტრატეგიას, რომელშიც მიიღებს მაქსიმალურ მოგებას მეორე მოთამაშის ყველა შესაძლო პასუხს შორის, ხოლო მეორე მოთამაშე, პირიქით, აირჩევს ისეთს, რომელიც მინიმუმამდე დააყენებს საკუთარ ზარალს, ე.ი. პირველის შესაძლო მოგება.

ამის დამტკიცება შეიძლება α ≤ ვ ≤ β , სად ვ–თამაშის ფასი , ანუ პირველი მოთამაშის სავარაუდო მოგება.

თუ ურთიერთობა გრძელდება α = β = ვ, მერე ამას ამბობენ თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი
, და შეიძლება გადაწყდეს წმინდა სტრატეგიებით . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს რამდენიმე სტრატეგია
, აძლევს მოთამაშეს ავ.

მაგალითი 2

მოდით დავუბრუნდეთ თამაშს, რომელიც განვიხილეთ მაგალით 1-ში და შევამოწმოთ უნაგირის წერტილის არსებობა.

ამ თამაშისთვის
= -5,
= 4,
მაშასადამე, მას არ აქვს უნაგირის წერტილი.

კიდევ ერთხელ გავამახვილოთ ყურადღება იმაზე, რომ ეს თამაში არის თამაში არასრული ინფორმაციით. IN ამ შემთხვევაშიმხოლოდ მოთამაშეს შემიძლია ვურჩიო ააირჩიე სტრატეგია , იმიტომ ამ შემთხვევაში, მას შეუძლია მიიღოს ყველაზე დიდი მოგება, თუმცა მოთამაშის არჩევანის მიხედვით INსტრატეგიები .

მაგალითი 3

მოდით შევიტანოთ გარკვეული ცვლილებები თამაშის წესებში მაგალითი 1-დან. ჩვენ მოთამაშეს მივცემთ INმოთამაშის შერჩევის ინფორმაცია ა.მაშინ აქვს INგამოჩნდება ორი დამატებითი სტრატეგია:

- სტრატეგია, რომელიც სასარგებლოა ა.თუ არჩევანი A - 1,რომ INირჩევს 3 თუ არჩევანი A - 2,რომ INირჩევს 4;

- სტრატეგია, რომელიც არ არის მომგებიანი ა.თუ არჩევანი A - 1,რომ INირჩევს 4 თუ არჩევანი A - 2,რომ INირჩევს 3.

ეს თამაში არის სრული ინფორმაციით.

ამ შემთხვევაში
= -5,
= -5,
მაშასადამე, თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი
. ეს უნაგირის წერტილი შეესაბამება ოპტიმალური სტრატეგიების ორ წყვილს:
და
. თამაშის ფასი ვ= -5. აშკარაა, რომ ამისთვის აასეთი თამაში წამგებიანია.

მაგალითები 2 და 3 არის შემდეგი თეორემის კარგი ილუსტრაცია, რომელიც დადასტურებულია თამაშის თეორიაში:

თეორემა 1

ყველა დაწყვილებული ანტაგონისტური თამაში სრული ინფორმაციით შეიძლება გადაწყდეს სუფთა სტრატეგიებით.

რომ. თეორემა 1 ამბობს, რომ ნებისმიერ ორმოთამაშიან თამაშს სრული ინფორმაციით აქვს უნაგირების წერტილი და არის წყვილი სუფთა სტრატეგია.
, აძლევს მოთამაშეს ამდგრადი მოგება, რომელიც უდრის თამაშის ფასს ვ.

უნაგირის წერტილის არარსებობის შემთხვევაში ე.წ შერეული სტრატეგიები :, სად გვ მე დაქ ჯ– სტრატეგიების არჩევის ალბათობა ა მე და ბ ჯპირველ და მეორე მოთამაშეებს შესაბამისად. თამაშის გამოსავალი ამ შემთხვევაში არის შერეული სტრატეგიების წყვილი
, თამაშის ფასის მათემატიკური მოლოდინის მაქსიმიზაციას.

შემდეგი თეორემა აზოგადებს თეორემა 1-ს არასრული ინფორმაციის მქონე თამაშის შემთხვევაში:

თეორემა 2

ნებისმიერ დაწყვილებულ ანტაგონისტურ თამაშს აქვს მინიმუმ ერთი ოპტიმალური გადაწყვეტა, ანუ შერეული სტრატეგიების წყვილი ზოგად შემთხვევაში.
, აძლევს მოთამაშეს ამდგრადი მოგება, რომელიც უდრის თამაშის ფასს ვ, და α ≤ ვ ≤ β .

განსაკუთრებულ შემთხვევაში, უნაგირის წერტილით თამაშისთვის, შერეული სტრატეგიების ამონახსნი ჰგავს ვექტორთა წყვილს, რომლებშიც ერთი ელემენტი უდრის ერთს, დანარჩენი კი ნულის ტოლია.

მატრიცული თამაშების ამოხსნის მიდგომა შეიძლება განზოგადდეს ნულოვანი ჯამის თამაშების შემთხვევაში, რომელშიც მოთამაშეთა ანაზღაურება მითითებულია, როგორც უწყვეტი ფუნქცია (უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაში).

ეს თამაში წარმოდგენილია როგორც ორმოთამაშიანი თამაში, რომელშიც მოთამაშე 1 ირჩევს რიცხვს Xბევრისგან X,მოთამაშე 2 ირჩევს y რიცხვს 7 ნაკრებიდან და ამის შემდეგ მოთამაშეები 1 და 2 იღებენ მოგებას შესაბამისად U(x,შ) და -U(x, y).მოთამაშის მიერ გარკვეული ნომრის არჩევა ნიშნავს ამ რიცხვის შესაბამისი მისი წმინდა სტრატეგიის გამოყენებას.

მატრიცული თამაშების ანალოგიით, შეიძლება ეწოდოს თამაშის წმინდა დაბალი ფასი v (=მაქსიმალური მინ U (x, y),და თამაშის წმინდა უმაღლესი ფასი -v 2 =

მინ მაქს U (x, y).შემდეგ, ანალოგიით, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ თუ ზოგიერთისთვის

ზე *

ან გაუთავებელი ანტაგონისტური სიდიდის თამაში ვდა v 2არსებობენ და ერთმანეთის ტოლები არიან („ე.ი =v 2 =v),მაშინ ასეთ თამაშს აქვს გამოსავალი სუფთა სტრატეგიებში, ე.ი. მოთამაშე 1-ის ოპტიმალური სტრატეგია არის ნომრის არჩევა x°ე X,და მოთამაშე 2 - ნომრები y 0 e 7, რისთვისაც შჩხ ( y 0) -ვ.

ამ შემთხვევაში ვეწოდება თამაშის წმინდა ფასი და (x°, y 0) არის უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაშის უნაგირის წერტილი.

სიდიდის მატრიცული თამაშებისთვის v xდა v 2ყოველთვის არსებობენ, მაგრამ უსასრულო ანტაგონისტურ თამაშებში ისინი შეიძლება არ არსებობდნენ, ე.ი. დაუსრულებელი ნულოვანი ჯამის თამაში ყოველთვის არ არის ამოსახსნელი.

უსასრულო ანტაგონისტური თამაშის სახით რეალური სიტუაციის ფორმალიზებისას ჩვეულებრივ ირჩევა ერთი სტრატეგიული ინტერვალი - ერთი ინტერვალი, საიდანაც მოთამაშეებს შეუძლიათ არჩევანის გაკეთება. (X -ნომერი (სტრატეგია) არჩეული მოთამაშის მიერ 1; -

ნომერი (სტრატეგია) არჩეული მოთამაშის მიერ 2). ტექნიკურად, ეს ამარტივებს გამოსავალს, რადგან მარტივი ტრანსფორმაციის საშუალებით ნებისმიერი ინტერვალი შეიძლება გარდაიქმნას ერთეულ ინტერვალში და პირიქით. ამ თამაშს ე.წ ანტაგონისტური თამაში ერთეულ მოედანზე.

მაგალითად, ვთქვათ, რომ მოთამაშე 1 ირჩევს ნომერს Xბევრისგან X=, მოთამაშე 2 ირჩევს რიცხვს y ნაკრებიდან Y=. ამის შემდეგ მოთამაშე 2 იხდის მოთამაშე 1 თანხას შx, y) -2x 2 -y 2.ვინაიდან მე-2 მოთამაშე ცდილობს მინიმუმამდე დაიყვანოს მოთამაშე 1-ის გადახდა, ის განსაზღვრავს მინ. 2x 2 - y 2) = 2x 2- 1, ე.ი. ამ შემთხვევაში = 1. მოთამაშე 1 ცდილობს გააკეთოს mtag

მოახდინე შენი გადახდის სიმულაცია, ამიტომ განსაზღვრავს მაქსიმ მინ შჩხ, y)1 =

xGX y მაგ

- მაქს (2x2 - 1) = 2- 1 = 1, რომელიც მიიღწევა როცა X = 1.

ამრიგად, თამაშის დაბალი წმინდა ფასი v x - 1. ზედა სუფთა

თამაშის ფასიv 2 =წთ - წთ (2 - y 2) = 2 - 1 = 1, ე.ი. ამაში

> მაგჰეჰ შენ ეი

თამაში v l =v 2 =l.ამიტომ თამაშის წმინდა ფასი ვ= 1 და უნაგირის წერტილი (x° = 1; y° = 1).

ახლა ვივარაუდოთ, რომ Chi Y-ღია ინტერვალებით, ე.ი. მოთამაშე 1 ირჩევს xeA"=(0; 1), მოთამაშე 2 ირჩევს ue 7= (0; 1). ამ შემთხვევაში, აირჩევს X,საკმარისად ახლოს 1-თან, მოთამაშე 1 დარწმუნებული იქნება, რომ მიიღებს ანაზღაურებას არანაკლებ "=1-თან" მიახლოებული რიცხვისა; y-ის არჩევით 1-თან ახლოს, მოთამაშე 2 არ დაუშვებს მოთამაშის 1-ის ანაზღაურებას მნიშვნელოვნად გადააჭარბოს თამაშის წმინდა ღირებულებას v= 1.

თამაშის ფასთან სიახლოვის ხარისხი შეიძლება ახასიათებდეს რიცხვით?>0. ამიტომ, აღწერილ თამაშში შეგვიძლია ვისაუბროთ სუფთა სტრატეგიების ოპტიმალურობაზე x°= 1, 0 = 1, შესაბამისად, მოთამაშეები 1 და 2 თვითნებურ რიცხვამდე?>0. წერტილი (X", y E), სადაც x ე e X, y (. eY, უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაში ეწოდება z-ბალანსის წერტილი (s.-saddle point), თუ რომელიმე სტრატეგიისთვის xTiger 1, ue Tiger 2 უტოლობა მოქმედებს შჩხ,უ.) - ? Ш x r , у (.) U(x t ., у) + ?. ამ შემთხვევაში, სტრატეგიები x k.და შენ. ეძახიან ოპტიმალური სტრატეგიებით. ეს სტრატეგიები ოპტიმალურია? იმ გაგებით, რომ თუ ოპტიმალური სტრატეგიიდან გადახრა ვერ მოუტანს მოთამაშეს რაიმე სარგებელს, მაშინ მისმა გადახრამ c-ოპტიმალური სტრატეგიიდან შეიძლება გაზარდოს მისი ანაზღაურება არაუმეტეს ე.

თუ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი (c-saddle point), ე.ი. გადაწყვეტილებები სუფთა სტრატეგიებში, მაშინ ოპტიმალური სტრატეგიები შეიძლება მოიძებნოს შერეულ სტრატეგიებს შორის, რომლებიც გამოიყენება როგორც სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით მოთამაშეთა ალბათობის განაწილების ფუნქციები.

დაე F(x)არის 1-ლი მოთამაშის მიერ სუფთა სტრატეგიების გამოყენების ალბათობის განაწილების ფუნქცია. თუ რიცხვი E არის 1 მოთამაშის სუფთა სტრატეგია, მაშინ F(x) = P(q სადაც P(q -X)- ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით არჩეული სუფთა სტრატეგია E არ აღემატება X.ანალოგიურად განიხილება სუფთა სტრატეგიების გამოყენების ალბათობის განაწილების ფუნქცია. მოთამაშე 2: Q(y) = P(g.

ფუნქციები F(x)და Q(y)ეძახიან შერეული სტრატეგიებიშესაბამისად მოთამაშეები 1 და 2. თუ Fx)და Q(y)დიფერენცირებადია, მაშინ მათი წარმოებულები არსებობს, შესაბამისად აღინიშნება f(x)და q(y)(განაწილების სიმკვრივის ფუნქციები).

ზოგადად, განაწილების ფუნქციის დიფერენციალი dF(x) გამოხატავს ალბათობას, რომ სტრატეგია თან,შუაშია x E, ანალოგიურად მე-2 მოთამაშისთვის: dQ(y)ნიშნავს იმის ალბათობას, რომ მისი სტრატეგია p არის ინტერვალში y g| y+dy.მაშინ მოთამაშის 1-ის გადახდა იქნება Shx, y) dF(x),და მოთამაშე 2-ის გადახდა არის Shx, y) dQ(y).

მოთამაშე 1-ის საშუალო ანაზღაურება იმის გათვალისწინებით, რომ მოთამაშე 2 იყენებს თავის სუფთა სტრატეგიას y,შეიძლება მიღებულ იქნეს ყველა შესაძლო ღირებულების გადახდების ინტეგრირებით X,იმათ. ერთეულის ინტერვალზე:

მოთამაშე 1-ის საშუალო ანაზღაურება, იმ პირობით, რომ ორივე მოთამაშე იყენებს შერეულ სტრატეგიებს F(x)და Q(y),თანაბარი იქნება

მატრიცული თამაშების ანალოგიით განისაზღვრება მოთამაშეთა ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და თამაშის ფასი: თუ შერეული სტრატეგიების წყვილია. F*(x) და Q*(y)შესაბამისად, მოთამაშეებისთვის 1 და 2 ოპტიმალურია, შემდეგ კი ნებისმიერი შერეული სტრატეგიისთვის F(x)და Q(y)შემდეგი ურთიერთობები მოქმედებს:

თუ მოთამაშე 1 გადაუხვევს თავის სტრატეგიას F*(x),მაშინ მისი საშუალო ანაზღაურება არ შეიძლება გაიზარდოს, მაგრამ შეიძლება შემცირდეს მე-2 მოთამაშის რაციონალური მოქმედებების გამო. თუ მოთამაშე 2 უკან დახევს თავის შერეულ სტრატეგიას Q*(y),მაშინ მოთამაშე 1-ის საშუალო ანაზღაურება შეიძლება გაიზარდოს, მაგრამ არ შემცირდეს, მოთამაშის 1-ის უფრო გონივრული ქმედებების გამო. საშუალო ანაზღაურება E(F*, Q*),მიღებული მოთამაშე 1-ის მიერ, როდესაც მოთამაშეები მიმართავენ ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიებს, შეესაბამება თამაშის ფასს.

შემდეგ შერეულ სტრატეგიებში ამოხსნილი უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაშის სართული ფასი შეიძლება განისაზღვროს როგორც v x= შემოწმება

წთ ე(FQ),და თამაშის ყველაზე მაღალი ფასი მსგავსია v 2 =მინ მაქს E(F, Q).

Q Q ვ

თუ ასეთი შერეული სტრატეგიები არსებობს F* (x)და Q*(y) შესაბამისად 1 და 2 მოთამაშეებისთვის, რომლებისთვისაც თამაშის ქვედა და ზედა ფასები ემთხვევა, მაშინ F*(x)და Q*(y)ბუნებრივია, რომ შესაბამისი მოთამაშეების ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები ა v=v x = v 2- თამაშის ფასად.

მატრიცული თამაშებისგან განსხვავებით, უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაში არ არსებობს ყველა ფუნქციისთვის შშშ, უჰ).მაგრამ დადასტურებულია თეორემა, რომ ყოველი უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაში უწყვეტი ანაზღაურების ფუნქციით შშ, აჰ)ერთეულ კვადრატზე აქვს გამოსავალი (მოთამაშეებს აქვთ ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები), თუმცა არ არსებობს უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაშების გადაჭრის ზოგადი მეთოდები, მათ შორის უწყვეტი თამაშები. თუმცა, ანტაგონისტური უსასრულო თამაშები ამოზნექილი და ჩაზნექილი უწყვეტი ანაზღაურების ფუნქციებით (მათ შესაბამისად უწოდებენ ამოზნექილიდა ჩაზნექილი თამაშები).

მოდით განვიხილოთ თამაშების გადაწყვეტა ამოზნექილი ანაზღაურების ფუნქციით. ჩაზნექილი ანაზღაურების ფუნქციის მქონე თამაშების ამოხსნა სიმეტრიულია.

ამოზნექილიფუნქცია/ცვლადი Xინტერვალზე ( ა; ბ)არის ფუნქცია, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა

სად Xxდა x 2 -ნებისმიერი ორი წერტილი ინტერვალიდან (a; ბ);

X.1, A.2 > 0 და +X.2= 1.

თუ / სთ * 0 D 2 * 0, მკაცრი უტოლობა ყოველთვის მოქმედებს

მაშინ ფუნქცია/იძახება მკაცრად ამოზნექილიზე (ა; ბ).

გეომეტრიულად ამოზნექილი ფუნქცია ასახავს რკალს, რომლის გრაფიკი მდებარეობს მის ქვეშ მყოფი აკორდის ქვემოთ. ანალიტიკურად, ორჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციის ამოზნექილობა შეესაბამება მისი მეორე წარმოებულის არაუარყოფითობას (და მკაცრი ამოზნექის შემთხვევაში, პოზიტიურობას).

ჩაზნექილი ფუნქციებისთვის თვისებები საპირისპიროა მათთვის უტოლობა /(/4X1 +A.2X2) > კფ(xi) +)-თუ(x 2) (> მკაცრი ჩაზნექით) და მეორე წარმოებული / "(x)

დადასტურებულია, რომ უწყვეტი და მკაცრად ამოზნექილი ფუნქცია დახურულ ინტერვალზე იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას ინტერვალის მხოლოდ ერთ წერტილში. თუ შჩხ,შ) - უწყვეტი ფუნქციამოთამაშე 1-ის ანაზღაურება ერთეულ მოედანზე და მკაცრადამოზნექილი გასწვრივ ზენებისმიერი x-ისთვის, მაშინ არსებობს უნიკალური ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია y=y° e მე-2 მოთამაშისთვის თამაშის ფასი განისაზღვრება ფორმულით

და მნიშვნელობა y 0განისაზღვრება, როგორც შემდეგი განტოლების ამონახსნი:

თუ ფუნქცია შჩხ, y) არ არის მკაცრად ამოზნექილი y-ში, მაშინ მე-2 მოთამაშეს არ ექნება ერთადერთი ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია.

სიმეტრიული თვისება ასევე ეხება მკაცრად ჩაზნექილ ფუნქციებს. თუ ფუნქცია შჩხ, y) არის უწყვეტი ორივე არგუმენტში და მკაცრად ჩაზნექილი x-ში ნებისმიერი y-ისთვის, მაშინ მოთამაშე 1-ს აქვს უნიკალური ოპტიმალური სტრატეგია.

თამაშის ფასი განისაზღვრება ფორმულით

და 1 მოთამაშის წმინდა ოპტიმალური სტრატეგია x 0 განისაზღვრება განტოლებიდან

ამოზნექილი ან ჩაზნექილი ანაზღაურების ფუნქციებით უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაშების ამ თვისებებზე დაყრდნობით, ზოგადი სქემაასეთი თამაშების ამონახსნები ერთეულ კვადრატზე (x e, y e). ჩვენ წარმოგიდგენთ ამ სქემას მხოლოდ ამოზნექილი თამაშებისთვის, რადგან ჩაზნექილი თამაშებისთვის ის სიმეტრიულია.

1. შეამოწმეთ ფუნქცია შჩხ, y) y-ში ამოზნექილობისთვის (მეორე ნაწილობრივი წარმოებული უნდა იყოს 0-ზე მეტი ან ტოლი).

2. დამოკიდებულებიდან განსაზღვრეთ y 0 v-მინ მაქს შშ, აჰ)როგორც მნიშვნელობა

y,რომლის დროსაც მიიღწევა მინიმუმი.

3. იპოვეთ განტოლების ამონახსნი v = U(x, y 0) და შექმენით მისი ამონახსნები წყვილი Xდა x 2,რისთვისაც

4. პარამეტრის პოვნა აგანტოლებიდან

პარამეტრი აგანსაზღვრავს 1-ლი მოთამაშის ოპტიმალურ სტრატეგიას და აქვს მისი სუფთა სტრატეგიის არჩევის ალბათობის მნიშვნელობა x x.მნიშვნელობა 1 - a აქვს იმის მნიშვნელობა, რომ მოთამაშე 1 აირჩევს თავის სუფთა სტრატეგიას x 2.

მოდით გამოვიყენოთ მაგალითი ამ სქემის გამოყენების დემონსტრირებისთვის ამ ტიპის თამაშის გადასაჭრელად. მოდით, ანაზღაურებადი ფუნქცია უსასრულო ნულოვანი ჯამის თამაშში მოცემული იყოს ერთეულ კვადრატზე და იყოს ტოლი შჩხ, ი) = =(x - y) 2 = x 2 - 2 xy ch-y 2.

1. ეს ფუნქცია უწყვეტია Xდა y,და ამიტომ ამ თამაშს აქვს გამოსავალი. ფუნქცია შშ, აჰ)მკაცრად ამოზნექილი გასწვრივ y,რადგან

ამრიგად, მე-2 მოთამაშეს აქვს ერთადერთი სუფთა ოპტიმალური სტრატეგია 0.

2. გვაქვს ვ= min max (x - y) 2. მაქსიმუმის დასადგენად (x 2 - 2xy Ch-y 2)

მოდით, თანმიმდევრულად ვიპოვოთ გადახდის ფუნქციის პირველი და მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები x-ის მიმართ:

ასე რომ ფუნქცია უაქვს მინიმალური ნებისმიერი y x=y. ეს ნიშნავს, რომ როგორც xy - იზრდება და მისი მაქსიმუმი უნდა იყოს მიღწეული ერთ-ერთში უკიდურესი წერტილები x=0 ან x= 1. განსაზღვრეთ ფუნქციის მნიშვნელობები უამ წერტილებში:

შემდეგ შეამოწმეთ (x - y) 2 = max (y 2; 1 - 2y + y 2). "შინაგანის" შედარება

მაქსიმუმი ხვეული ფრჩხილებში, ამის დანახვა ადვილია 2-ზე > 1 - - 2წ+წ 2,თუ y >*/ 2 და y 2 1 - 2 წ+წ 2,თუ y "/ 2. ეს უფრო ნათლად არის წარმოდგენილი გრაფიკით (ნახ. 2.5).

ბრინჯი. 2.5. გადახდის ფუნქციის შიდა მაქსიმუმები U(x, y) = (x- ზე) 2

ამიტომ, გამოხატულება (x - შ) 2აღწევს მაქსიმუმს x=0-ზე თუ y > 7 2 და ზე x= 1 თუ U 2-ში:

აქედან გამომდინარე, v=წთ (წთ y 2; წთ (1 - y) 2). თითოეული

დილის მინიმუმები მიღწეულია y=*/ 2 და იღებს მნიშვნელობას Y 4. ამრიგად, თამაშის ფასი r = Y 4 და 2 მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგია:

3. განტოლებიდან განსაზღვრეთ მოთამაშის 1-ლის ოპტიმალური სტრატეგია U(x, y 0)= v,იმათ. ამ თამაშისთვის (x - Y 2) 2 = Y 4. ამ განტოლების ამონახსნი არის X| =0, x 2 = 1.

მათთვის პირობები შესრულებულია

4. განვსაზღვროთ პარამეტრი a, ე.ი. მოთამაშის 1-ის ალბათობა თავისი სუფთა სტრატეგიის გამოყენებით X] = 0. შევქმნათ განტოლება a-1 + (1 - a) (-1) = 0, საიდანაც a = Y 2. ამრიგად, პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგია არის მისი სუფთა 0 და 1 სტრატეგიების არჩევა ალბათობით 1 / 2 თითოეული. პრობლემა მოგვარებულია.

სისტემური მიდგომის ფარგლებში განხილული გადაწყვეტილების მიღების პრობლემა შეიცავს სამ ძირითად კომპონენტს: განასხვავებს სისტემას, საკონტროლო ქვესისტემას და გარემოს. ახლა ჩვენ გადავდივართ გადაწყვეტილების მიღების პრობლემების შესწავლაზე, რომლებშიც სისტემაზე გავლენას ახდენს არა ერთი, არამედ რამდენიმე საკონტროლო ქვესისტემა, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი მიზნები და მოქმედების შესაძლებლობები. გადაწყვეტილების მიღების ამ მიდგომას თამაშის თეორიული ეწოდება და მათემატიკური მოდელებიშესაბამისი ურთიერთქმედება ეწოდება თამაშები. საკონტროლო ქვესისტემების მიზნებში განსხვავებულობის, აგრეთვე მათ შორის ინფორმაციის გაცვლის შესაძლებლობის გარკვეული შეზღუდვების გამო, ეს ურთიერთქმედებები კონფლიქტური ხასიათისაა. ამიტომ, ყველა თამაში არის კონფლიქტის მათემატიკური მოდელი. შემოვიფარგლებით იმ შემთხვევით, როდესაც არსებობს ორი საკონტროლო ქვესისტემა. თუ სისტემების მიზნები საპირისპიროა, კონფლიქტს ეწოდება ანტაგონისტური, ხოლო ასეთი კონფლიქტის მათემატიკური მოდელი ეწოდება. ანტაგონისტური თამაში..

თამაში-თეორიულ ტერმინოლოგიაში 1 საკონტროლო ქვესისტემა ე.წ მოთამაშე 1მე-2 საკონტროლო ქვესისტემა - მოთამაშე 2, კომპლექტი

მათი ალტერნატიული ქმედებები ე.წ სტრატეგიების ნაკრებიამ მოთამაშეებს. დაე X- ბევრი სტრატეგია მოთამაშისთვის 1, ი- ბევრი სტრატეგია

მოთამაშე 2. სისტემის მდგომარეობა ცალსახად განისაზღვრება 1 და 2 ქვესისტემების მიერ კონტროლის მოქმედებების არჩევით, ანუ სტრატეგიების არჩევით.

x∈Xდა წ∈ი. დაე ფ(x,წ) - სარგებლიანობის შეფასება ამ სახელმწიფოს 1 მოთამაშისთვის

სისტემა, რომელშიც ის შედის, როდესაც მოთამაშე ირჩევს 1 სტრატეგიას Xდა

მოთამაშე 2 სტრატეგია ზე. ნომერი ფ(x,წ) ეწოდება გამარჯვებამოთამაშე 1 სიტუაციაში ( x,წ), და ფუნქცია ფ- მოთამაშის 1-ის ანაზღაურების ფუნქცია. მოთამაშის მოგება

1 არის ერთდროულად მე-2 მოთამაშის დაკარგვა, ანუ ღირებულება, რომლის გაზრდასაც პირველი მოთამაშე ცდილობს, ხოლო მეორე - შემცირებას. ეს არის ის

კონფლიქტის ანტაგონისტური ხასიათის გამოვლინება: მოთამაშეთა ინტერესები სრულიად საპირისპიროა (რასაც ერთი იგებს, მეორე კარგავს).

ანტაგონისტური თამაში ბუნებრივად განისაზღვრება სისტემის მიერ G=(X, Y, F).

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმალურად ნულოვანი ჯამის თამაში დაყენებულია პრაქტიკულად ისევე, როგორც გადაწყვეტილების მიღების ამოცანა გაურკვევლობის პირობებში - თუ

კონტროლის მე-2 ქვესისტემის იდენტიფიცირება გარემოსთან. არსებითი განსხვავება საკონტროლო ქვესისტემასა და გარემოს შორის არის ის

პირველის ქცევა მიზანმიმართულია. თუ რეალური კონფლიქტის მათემატიკური მოდელის შედგენისას გვაქვს მიზეზი (ან განზრახვა) გარემო მტრად მივიჩნიოთ, რომლის მიზანია მოყვანა

ჩვენთვის მაქსიმალური ზიანი, მაშინ ასეთი ვითარება შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ანტაგონისტური თამაშის სახით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნულოვანი ჯამის თამაში შეიძლება განიმარტოს, როგორც ZPR-ის უკიდურესი შემთხვევა გაურკვევლობის პირობებში,

ახასიათებს გარემოს, როგორც მოწინააღმდეგე მიზნის მქონე მოპყრობას. ამასთან, უნდა შევზღუდოთ ჰიპოთეზების ტიპები გარემოს ქცევის შესახებ.

ყველაზე გამართლებული აქ არის უკიდურესი სიფრთხილის ჰიპოთეზა, როდესაც გადაწყვეტილების მიღებისას ჩვენთვის ყველაზე უარესის იმედი გვაქვს. შესაძლო ვარიანტიგარემოსდაცვითი ქმედებები.

განმარტება.თუ Xდა იარის სასრული, მაშინ ანტაგონისტურ თამაშს ეწოდება მატრიცული თამაში. მატრიცულ თამაშში შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ X={1,…,ნ},

ი={1,…,მ) და დააყენე aij=F(მე, ჯ). ამრიგად, მატრიცის თამაში მთლიანად განისაზღვრება მატრიცით A=(აიჯ), ი=1,…,ნ, ჯ=1,…,მ.

მაგალითი 3.1. ორი თითის თამაში.

ორი ადამიანი ერთდროულად აჩვენებს ერთ ან ორ თითს და უწოდებს ნომერს 1 ან 2, რაც, სპიკერის აზრით, ნიშნავს ნომერს.

სხვებისთვის ნაჩვენები თითები. თითების ჩვენების და ნომრების დასახელების შემდეგ, მოგება ნაწილდება შემდეგი წესების მიხედვით:

თუ ორივემ გამოიცნო ან ორივემ ვერ გამოიცნო, რამდენი თითი აჩვენა მოწინააღმდეგემ, ყველას მოგება ნულის ტოლია; თუ მხოლოდ ერთმა გამოიცნო სწორად, მაშინ მოწინააღმდეგე გამომცნობს უხდის თანხას პროპორციულად საერთო რაოდენობანაჩვენებია

ეს არის ნულოვანი ჯამის მატრიცის თამაში. თითოეულ მოთამაშეს აქვს ოთხი სტრატეგია: 1- აჩვენე 1 თითი და გამოიძახე 1, 2- აჩვენე 1 თითის და ზარი 2, 3-

აჩვენე 2 თითი და დარეკე 1, 4 - აჩვენე 2 თითი და გამოიძახე 2. შემდეგ ანაზღაურების მატრიცა A=(aij), i= 1,…, 4, j= 1,…, 4 განისაზღვრება შემდეგნაირად:

a12= 2, a21 = – 2, a13=a42=–3, a24=a31= 3, a34 = – 4, a43= 4,aij= 0 სხვა შემთხვევებში.

მაგალითი 3.2. დისკრეტული დუელის ტიპის თამაში.

დუელის ტიპის პრობლემები აღწერს, მაგალითად, ორ მოთამაშეს შორის ჩხუბს,

თითოეულ მათგანს სურს შეასრულოს ერთჯერადი მოქმედება (საქონლის პარტია ბაზარზე გაშვება, აუქციონზე შესყიდვის განაცხადი) და ამისთვის ირჩევს დროს. სთხოვეთ მოთამაშეებს გადაადგილდნენ ერთმანეთისკენ ნნაბიჯები. ყოველი გადადგმული ნაბიჯის შემდეგ, მოთამაშეს შეუძლია აირჩიოს ესროლოს თუ არა მტერს. თითოეულ ადამიანს შეუძლია მხოლოდ ერთი გასროლა. ითვლება, რომ მტრის დარტყმის ალბათობა, თუ წინ წახვალთ კ n =5 აქვს ფორმა

როგორც თამაშის თეორიის ძირითადი დაშვება, ვარაუდობენ, რომ თითოეული მოთამაშე ცდილობს უზრუნველყოს საკუთარი თავის მაქსიმალური მოგება პარტნიორის ნებისმიერი ქმედებით. დავუშვათ, რომ არსებობს სასრული ნულოვანი ჯამი თამაში პირველი მოთამაშის ანაზღაურების მატრიცით და, შესაბამისად, მეორე მოთამაშის ანაზღაურების მატრიცით. დაე, მოთამაშე 1-ს სჯეროდეს, რომ ნებისმიერი სტრატეგია, რომელიც აირჩევს, მოთამაშე 2 აირჩევს სტრატეგიას, რომელიც მაქსიმალურად გაზრდის მის ანაზღაურებას და ამით ამცირებს მოთამაშის 1-ის ანაზღაურებას.

ასე რომ, მოთამაშე 1 ირჩევს მე

მოთამაშე 2 ასევე ცდილობს უზრუნველყოს ყველაზე მეტი მოგება (ან, ექვივალენტურად, ყველაზე მცირე ზარალი) მოწინააღმდეგის არჩეული სტრატეგიის მიუხედავად. მისი ოპტიმალური სტრატეგია იქნება სვეტი H 0ყველაზე დაბალი მაქსიმალური გადახდით. ასე რომ, მოთამაშე 2 აირჩევს ჯსტრატეგია, რომელიც პრობლემის გადაწყვეტაა

შედეგად, თუ მოთამაშე 1 მიჰყვება არჩეულ სტრატეგიას (ე.წ მაქსიმალური სტრატეგია ), მისი ანაზღაურება ნებისმიერ შემთხვევაში იქნება მაქსიმალურ მნიშვნელობაზე ნაკლები (ე.წ "თამაშის ქვედა ფასი" ), ე.ი.

შესაბამისად, თუ მოთამაშე 2 იცავს თავის მინიმქს სტრატეგიას, მაშინ მისი დანაკარგი არ იქნება მაქსიმალურ მნიშვნელობაზე მეტი (ე.წ. "თამაშის უმაღლესი ფასი" ), ე.ი.

იმ შემთხვევაში, როდესაც თამაშის ზედა ფასი უდრის ქვედას, ე.ი. = ორივე მოთამაშე იღებს გარანტირებულ გადახდებს და ღირებულებას h ij *დაურეკა თამაშის ფასად .

მატრიცის ელემენტი h ijსტრატეგიების შესაბამისი ანაზღაურების მატრიცა ეწოდება მატრიცის უნაგირის წერტილი ნ.

თუ ანტაგონისტური თამაშის ღირებულებაა 0, თამაში ეწოდება სამართლიანი .

განვიხილოთ თამაში, რომელშიც მოთამაშე 1-ს აქვს ორი სტრატეგია, ხოლო მოთამაშე 2-ს აქვს სამი. მოთამაშის 1-ის ანაზღაურებადი მატრიცა ასე გამოიყურება:

კომენტარი . ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ ნულოვანი ჯამის თამაშის მაგალითს, მე-2 მოთამაშის ანაზღაურებადი მატრიცა იქნება N 2 = -H 1.

მოთამაშე 1 ითვლის, რომ თუ აირჩევს პირველ სტრატეგიას (ანუ მატრიცის პირველ რიგში H 1), შემდეგ მოწინააღმდეგე აირჩევს თავის მეორე სტრატეგიას (ანუ მეორე სვეტს) ისე, რომ ანაზღაურება ტოლი იყოს 1 . თუ ის აირჩევს მეორე სტრატეგიას, მაშინ მოწინააღმდეგეს შეუძლია აირჩიოს პირველი სტრატეგია, ამიტომ ანაზღაურება იქნება ტოლი -1.

მიღებული მნიშვნელობების გაანალიზების შემდეგ: მოთამაშე 1 ადგენს თავის პირველ სტრატეგიას, რომელიც უზრუნველყოფს მაქსიმალურ გარანტირებულ მოგებას 1-ის ტოლი.

ანალოგიურად, მოთამაშე 2 განიხილავს თავის ყველაზე ცუდ ვარიანტებს, როდესაც მოწინააღმდეგე ირჩევს პირველ ან მეორე სტრატეგიას, ან როდესაც მოწინააღმდეგე ირჩევს მეორე სტრატეგიას, როდესაც მოთამაშე 2 ირჩევს მესამე სვეტს. ეს პარამეტრები შეესაბამება 2, 1 და 6 სვეტების მაქსიმალურ მნიშვნელობებს.

ამ მაქსიმუმების მინიმალური მნიშვნელობების მიღებით, მოთამაშე 2 ადგენს თავის მეორე სტრატეგიას, რომელშიც მისი წაგება მინიმალურია და უდრის:

შესაბამისად, ამ თამაშში არის სტრატეგიების ერთობლივი არჩევანი. ე

ამიტომ, ამ თამაშში მიზანშეწონილია ველოდოთ, რომ მოწინააღმდეგეები დაიცავენ მათ არჩეულ სტრატეგიებს. მატრიცული ანტაგონისტური თამაში, რომლისთვისაც - ეწოდება სრულიად განსაზღვრულ თამაშს, ან თამაშს, რომელსაც აქვს გამოსავალი სუფთა სტრატეგიებში.

თუმცა, ყველა მატრიცის ანტაგონისტური თამაში არ არის კარგად განსაზღვრული.

თამაშებს, რომლებშიც არსებობს მკაცრი უთანასწორობა, ეწოდება არასრულად განსაზღვრულ თამაშებს (ან თამაშებს, რომლებსაც არ აქვთ გამოსავალი წმინდა სტრატეგიებში).

მოდით შევხედოთ ამ თამაშის მაგალითს:

ამ თამაშისთვის.

შედეგად, თუ მოთამაშეები დაიცავენ ზემოთ შემოთავაზებულ წესებს, მაშინ მოთამაშე 1 აირჩევს სტრატეგიას 1 და მოელის, რომ მოთამაშე 2 აირჩევს სტრატეგიას 2, სადაც წაგება არის -2, ხოლო მოთამაშე 2 აირჩევს სტრატეგიას 3 და მოელის, რომ მოთამაშე 1 აირჩევს სტრატეგიას. 2 ანაზღაურებით 4-ის ტოლი.

თუმცა, თუ მოთამაშე 2 აირჩევს თავის მესამე სტრატეგიას, მაშინ მოთამაშე 1 უკეთესი იქნება მეორე სტრატეგიის არჩევით, ვიდრე პირველი სტრატეგიით. ანალოგიურად, თუ მოთამაშე 1 ირჩევს პირველ სტრატეგიას, მოთამაშე 2 ჯობია აირჩიოს მეორე სტრატეგია, ვიდრე მესამე. როგორც ჩანს, ეშმაკური ტიპის თამაშებში, გადაწყვეტის პრინციპი სუფთა სტრატეგიებში უვარგისი აღმოჩნდება.

აღწერილ სიტუაციაში მოთამაშეებისთვის მნიშვნელოვანი ხდება, რომ მტერმა ვერ გამოიცნობს რა სტრატეგიას გამოიყენებს. ამ გეგმის განსახორციელებლად მოთამაშეებმა უნდა გამოიყენონ ე.წ. შერეული სტრატეგია.

არსებითად, მოთამაშის შერეული სტრატეგია არის სუფთა სტრატეგიის შემთხვევითი შერჩევის სქემა. მათემატიკურად, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ალბათობის განაწილება მოცემული მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების კომპლექტზე. შედეგად, ვექტორი, სადაც შეესაბამება მოთამაშის 1-ის სტრატეგიის გამოყენების ალბათობას და აზუსტებს ამ მოთამაშის შერეულ სტრატეგიას. მოთამაშის 2-ის შერეული სტრატეგია ასევე განისაზღვრება .

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მოთამაშეების მიერ მათი შერეული სტრატეგიების გამოყენება დამოუკიდებელია, ასე რომ, ალბათობა, რომლითაც მოთამაშე 1 ირჩევს ამ სტრატეგიას და მოთამაშე 2 ირჩევს, უდრის . ამ შემთხვევაში გადახდა. შეჯამებით და, ჩვენ ვპოულობთ მოთამაშის 1-ის მოგების მათემატიკურ მოლოდინს:

ან მატრიცული აღნიშვნა

შერეული სტრატეგიების კომპლექტზე, მოთამაშე 1, რომელიც ცდილობს გარანტირებული მოგებიდან ყველაზე დიდის მიღწევას, ირჩევს ალბათობების ვექტორს ისე, რომ მიიღოს მოსალოდნელი მოგების მინიმალური მნიშვნელობების მაქსიმუმი, ე.ი. ის წყვეტს პრობლემას:

.

ანალოგიურად, მე-2 მოთამაშის მიზანია მიაღწიოს მისი დანაკარგების მინიმალური მაქსიმალური მნიშვნელობების, ე.ი. ის წყვეტს პრობლემას

.

თამაშის თეორიის ფუნდამენტური შედეგია ეგრეთ წოდებული მინიმაქსის თეორემა, რომელიც აცხადებს, რომ მოთამაშის 1 და მოთამაშის ფორმულირებულ ამოცანებს ყოველთვის აქვთ გამოსავალი ნებისმიერი ანაზღაურების მატრიცისთვის და გარდა ამისა, .

რაც შეეხება კარგად განსაზღვრულ თამაშებს, მოთამაშის 1-ის სტრატეგია ე.წ მაქსიმინის სტრატეგია , მოთამაშის 2-ის სტრატეგია - მინიმალური სტრატეგია, ღირებულება - თამაშის ფასად ; იმ შემთხვევაში, როდესაც თამაშს სამართლიანი ეწოდება.

მინიმალური თეორემის აშკარა შედეგია მიმართება:

.

რაც ნიშნავს, რომ მოთამაშე 1-ის არც ერთი სტრატეგია არ მისცემს მას საშუალებას მოიგოს თამაშის ფასზე მეტი თანხა, თუ მოთამაშე 2 გამოიყენებს თავის მინიმქს სტრატეგიას, და მე-2 მოთამაშის არც ერთი სტრატეგია არ მისცემს მას საშუალებას დაკარგოს თამაშის ფასზე ნაკლები თანხა. თუ მოთამაშე 1 იყენებს თავის მაქსიმალურ სტრატეგიას.

ეს ასევე ეხება სუფთა სტრატეგიებს, როგორც შერეული სტრატეგიების განსაკუთრებული შემთხვევა. (რადგან სუფთა სტრატეგია არის 1-ლი ალბათობით გამოყენებული სტრატეგია): ნებისმიერი სუფთა სტრატეგიის გამოყენება, თუ მოწინააღმდეგე იყენებს თავის ოპტიმალურ სტრატეგიას, არ გაძლევთ საშუალებას მოიგოთ მეტი (ნაკლები წააგოთ) ვიდრე თამაშის ღირებულება.

ეს ფაქტი ხშირად გამოიყენება ანტაგონისტური მატრიცის თამაშების გადაჭრის სპეციფიკური ალგორითმების შემუშავებისთვის.

ოპტიმალური სტრატეგიების გამოთვლა ბევრად უფრო რთული ხდება სტრატეგიების რაოდენობის მატებასთან ერთად. ოპტიმალური სტრატეგიების მოსაძებნად შეიძლება რამდენიმე მიდგომის გამოყენება.

თამაშის განზომილების შესამცირებლად გამოიყენება მწკრივისა და სვეტის დომინირება. ჩვეულებრივ ამბობენ, რომ მატრიცის მე-6 მწკრივი დომინირებს მე-3 მწკრივზე (ე.ი. ერთი სუფთა მწკრივი დომინირებს მეორეზე) თუ ყველასთვის, სულ მცირე, ერთს.

ანალოგიურად, მე-ე სვეტი დომინირებს მე-6 სვეტზე, თუ ყველასთვის, ერთი მაინც.

ამ განმარტების აზრი იმაში მდგომარეობს, რომ დომინანტური სტრატეგია არასოდეს არის უარესი და ზოგიერთ შემთხვევაში უკეთესიც კი, ვიდრე დომინირებულ სტრატეგია. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანი დასკვნა არის ის, რომ მოთამაშეს არ სჭირდება დომინირებული სტრატეგიის გამოყენება. ეს საშუალებას იძლევა პრაქტიკაში გაუქმდეს ყველა დომინირებული მწკრივი და სვეტი, რაც შეამცირებს მატრიცის ზომას (გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას გადაწყვეტის ძიებისას სუფთა სტრატეგიებში).

მაგალითი. განვიხილოთ თამაში შემდეგი მატრიცით:

მეორე მწკრივის აღმოფხვრის შედეგად მიიღება მატრიცა: ამ ამოჭრილ მატრიცაში მესამე სვეტში დომინირებს მეორე, ხოლო მეორე სვეტის გამოტოვება იძლევა: .

შედეგად, თუ გამოსავალი მოიძებნება მიღებული თამაშისთვის, მაშინ ის ადვილად შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორიგინალური თამაშის გადასაჭრელად, უბრალოდ ნულოვანი ალბათობების მინიჭებით გამორიცხულ სტრიქონებსა და სვეტებზე.

მატრიცის გამარტივების კიდევ ერთი მეთოდი ემყარება თვისებას, რომლის მიხედვითაც ანაზღაურების მატრიცის აფინური ტრანსფორმაცია (ანუ მატრიცის ყველა ელემენტის ტრანსფორმაცია წესის მიხედვით, სადაც) არ ცვლის თამაშის ამოხსნას; გარდა ამისა, კონვერტირებული თამაშის ფასის მიღება შესაძლებელია ორიგინალური თამაშის ფასიდან იგივე წესით: . ეს ნიშნავს, რომ თამაშის ამოცანისთვის, პრინციპში, არ აქვს მნიშვნელობა, რა ერთეულებით ფასდება მოგება (რუბლით ან დოლარებით) გარკვეული ფიქსირებული თანხის დამატება (გამოკლება) თითოეული მოთამაშის მოგებას (წაგებას) შეცვლის იგივე თანხა თამაშის გადაწყვეტის შეცვლის გარეშე.

ეს თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანაზღაურების მატრიცის გასამარტივებლად და გასაგებად (გამოიყენება მატრიცებზე ოპერაციების ანალოგიით - მატრიცის გამრავლება მუდმივ რიცხვზე, რიგების დამატება და გამოკლება, გარდა ამისა, ეს თვისება იძლევა ნებისმიერი მატრიცის ნულოვანი ჯამის თამაშის გაკეთების საშუალებას. სამართლიანი, ამისათვის აუცილებელია ფასების თამაშების გამოთვლა ანაზღაურების მატრიცის ყველა ელემენტიდან).

გარდა ამისა, მისი გამოყენება შესაძლებელია გრაფიკული მეთოდითამაშის გადასაჭრელად (და ზოგადად თამაშები ან ).

მაგალითად, ანაზღაურების მატრიცა ასე გამოიყურება: .

მიეცით მოთამაშე 1-მა აირჩიოს თავისი პირველი სტრატეგია ალბათობით, ხოლო მეორე - ალბათობით. თუ მოთამაშე 2 აირჩევს თავის პირველ სტრატეგიას, მაშინ (მატრიცის პირველი სვეტიდან) მოლოდინი 1 მოთამაშისთვის იქნება. თუ მოთამაშე 2 ირჩევს თავის მეორე სტრატეგიას, მაშინ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისად: .

თითოეული ეს განტოლება გრაფიკულად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სწორი ხაზის სეგმენტით გრაფიკის არეში კოორდინატებით და .

შესავალი

რეალური კონფლიქტური სიტუაციები იწვევს სხვადასხვა სახისთამაშები. თამაშები განსხვავდება რამდენიმე გზით: მათში მონაწილე მოთამაშეების რაოდენობით, შესაძლო მოთამაშეების რაოდენობით, შესაძლო სტრატეგიების რაოდენობით, მოთამაშეებს შორის ურთიერთობის ბუნებით, მოგების ბუნებით, ტიპის მიხედვით. მოგების ფუნქციები, სვლების რაოდენობა, მოთამაშეთა ინფორმაციის მიწოდების ხასიათი და ა.შ. დ. მოდით განვიხილოთ თამაშების ტიპები მათი დაყოფის მიხედვით:

· სტრატეგიების რაოდენობის მიხედვით თამაშები იყოფა საბოლოო(თითოეულ მოთამაშეს აქვს შესაძლო სტრატეგიების სასრული რაოდენობა) და გაუთავებელი(სადაც ერთ-ერთ მოთამაშეს მაინც აქვს უსასრულო რაოდენობის შესაძლო სტრატეგია).

· მოგების ხასიათის მიხედვით, თამაშები ნულოვანი ჯამი(მოთამაშეთა ჯამური კაპიტალი არ იცვლება, მაგრამ გადანაწილდება მოთამაშეებს შორის მიღებული შედეგების მიხედვით) და თამაშები არანულოვანი ჯამი.

· ფუნქციების ტიპის მიხედვით, თამაშის მოგება იყოფა მატრიცა (არის სასრული ორმოთამაშიანი ნულოვანი ჯამის თამაში, რომელშიც მოცემულია მოთამაშის ანაზღაურება ამატრიცის სახით (მატრიცის მწკრივი შეესაბამება მოთამაშის გამოყენებული სტრატეგიის რაოდენობას IN, სვეტი – მოთამაშის გამოყენებული სტრატეგიის რაოდენობა IN; მატრიცის მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე არის მოთამაშის ანაზღაურება აგამოყენებული სტრატეგიების შესაბამისი.

მატრიცული თამაშებისთვის დადასტურებულია, რომ რომელიმე მათგანს აქვს გამოსავალი და მისი ადვილად პოვნა შესაძლებელია თამაშის ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემამდე გადაყვანით). ბიმატრიცათამაში (ეს არის სასრული თამაში ორი მოთამაშისგან არანულოვანი ჯამით, რომელშიც თითოეული მოთამაშის ანაზღაურება მოცემულია მატრიცებით ცალკე შესაბამისი მოთამაშისთვის (თითოეულ მატრიცაში მწკრივი შეესაბამება მოთამაშის სტრატეგიას ა, სვეტი – მოთამაშის სტრატეგიები IN, პირველ მატრიცაში მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე არის მოთამაშის ანაზღაურება ა, მეორე მატრიცაში – მოთამაშის მოგება IN.

მოთამაშის ოპტიმალური ქცევის თეორია ასევე შემუშავებულია ბიმატრიქსული თამაშებისთვის, მაგრამ ასეთი თამაშების ამოხსნა უფრო რთულია, ვიდრე ჩვეულებრივი მატრიცული თამაშები. უწყვეტითამაშები ( უწყვეტიითვლება თამაში, რომელშიც თითოეული მოთამაშის ანაზღაურებადი ფუნქცია უწყვეტია სტრატეგიებიდან გამომდინარე. დადასტურებულია, რომ ამ კლასის თამაშებს აქვთ გადაწყვეტილებები, მაგრამ მათი პოვნის პრაქტიკულად მისაღები მეთოდები არ არის შემუშავებული) და ა.შ.

ასევე შესაძლებელია სხვა მიდგომები გაყოფის თამაშებისადმი. ახლა პირდაპირ დავუბრუნდეთ კვლევის თემას, კერძოდ თამაშის თეორიას. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ეს კონცეფცია.

თამაშის თეორია - მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს მიღების ფორმალურ მოდელებს ოპტიმალური გადაწყვეტილებებიკონფლიქტის პირობებში. ამ შემთხვევაში, კონფლიქტი გაგებულია, როგორც ფენომენი, რომელშიც მონაწილეობენ სხვადასხვა მხარეები, დაჯილდოვებულნი არიან სხვადასხვა ინტერესებითა და შესაძლებლობებით, აირჩიონ მათთვის ხელმისაწვდომი მოქმედებები ამ ინტერესების შესაბამისად, კონფლიქტის პირობებში, მტრის სურვილი, დამალოს თავისი მომავალი ქმედებები გაურკვევლობამდე აწევა. პირიქით, გადაწყვეტილების მიღებისას გაურკვევლობა (მაგალითად, არასაკმარისი მონაცემების საფუძველზე) შეიძლება განიმარტოს, როგორც კონფლიქტი გადაწყვეტილების მიმღებ სუბიექტსა და ბუნებას შორის. ამიტომ თამაშის თეორია ასევე განიხილება, როგორც გაურკვევლობის პირობებში ოპტიმალური გადაწყვეტილებების მიღების თეორია. ეს საშუალებას გაძლევთ სისტემატიზაცია მოახდინოთ ზოგიერთი მნიშვნელოვანი ასპექტებიგადაწყვეტილების მიღება ტექნოლოგიაში, სოფლის მეურნეობაში, მედიცინასა და სოციოლოგიაში და სხვა მეცნიერებებში. კონფლიქტში ჩართულ მხარეებს სამოქმედო კოალიციებს უწოდებენ; მათთვის ხელმისაწვდომი მოქმედებები - მათი სტრატეგიებით; კონფლიქტის შესაძლო შედეგები - სიტუაციები.

თეორიის მიზანია:

1) ოპტიმალური ქცევა თამაშში.

2) ოპტიმალური ქცევის თვისებების შესწავლა

3) პირობების დადგენა, რომლებშიც მისი გამოყენება აზრიანია (არსებობის, უნიკალურობის კითხვები და დინამიური თამაშებისთვის, ნომინალური თანმიმდევრულობის საკითხები).

4) ოპტიმალური ქცევის პოვნის რიცხვითი მეთოდების აგება.

თამაშების თეორია, რომელიც შექმნილია ეკონომიკური და სოციალური წარმოშობის პრობლემების მათემატიკური გადაწყვეტისთვის, ზოგადად არ შეიძლება დაიყვანოს კლასიკურ მათემატიკურ თეორიებზე, რომლებიც შექმნილია ფიზიკური და ტექნიკური პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, კლასიკური მათემატიკური მეთოდების ფართო სპექტრი ფართოდ გამოიყენება თამაშების თეორიის სხვადასხვა სპეციფიკურ საკითხებში.

გარდა ამისა, თამაშის თეორია შინაგანად არის დაკავშირებული მთელ რიგ მათემატიკურ დისციპლინებთან. თამაშის თეორიაში, ალბათობის თეორიის ცნებები გამოიყენება სისტემატურად და არსებითად. თამაშების თეორიის ენაზე მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემების უმეტესობის ფორმულირებაა შესაძლებელი და რადგან თამაშის თეორია დაკავშირებულია გადაწყვეტილების თეორიასთან, იგი არსებითად ითვლება. კომპონენტიოპერაციების კვლევის მათემატიკური აპარატი.

თამაშის მათემატიკური კონცეფცია უჩვეულოდ ფართოა. იგი მოიცავს ე.წ. დეტალებში შესვლის გარეშე, თამაში ზოგადი მონახაზიშეიძლება განისაზღვროს, როგორც სიტუაცია, როდესაც ერთი ან მეტი ინდივიდი ("მოთამაშე") ერთობლივად აკონტროლებს ცვლადების გარკვეულ ჯგუფს და თითოეულმა მოთამაშემ უნდა გაითვალისწინოს მთელი ჯგუფის ქმედებები გადაწყვეტილების მიღებისას. „გადახდა“, რომელიც ეკისრება თითოეულ მოთამაშეს, განისაზღვრება არა მხოლოდ მისი საკუთარი, არამედ ჯგუფის სხვა წევრების ქმედებებით. ზოგიერთი „სვლა“ (ინდივიდუალური მოქმედებები) თამაშის დროს შეიძლება იყოს შემთხვევითი. ნათელი ილუსტრაცია არის ცნობილი პოკერის თამაში: კარტების საწყისი გარიგება შემთხვევითი ნაბიჯია. ფსონების და კონტრფსონების თანმიმდევრობა, რომელიც წინ უძღვის ტრიუკების საბოლოო შედარებას, ყალიბდება თამაშში დარჩენილი სვლებით.

თამაშის მათემატიკური თეორია დაიწყო სპორტის, კარტის და სხვა თამაშების ანალიზით. ისინი ამბობენ, რომ თამაშის თეორიის აღმომჩენი, მე-20 საუკუნის გამოჩენილი ამერიკელი მათემატიკოსი. ჯონ ფონ ნეუმანს თავისი თეორიის იდეები პოკერის თამაშის ყურებისას გაუჩნდა. სწორედ აქედან მოდის სახელწოდება "თამაშის თეორია".

დავიწყოთ ამ თემის შესწავლა თამაშის თეორიის განვითარების რეტროსპექტული ანალიზი.განვიხილოთ თამაშების თეორიის საკითხის ისტორია და განვითარება. როგორც წესი, "ოჯახის ხე" წარმოდგენილია როგორც ხე გრაფიკის თეორიის გაგებით, რომელშიც განშტოება ხდება რომელიმე ერთი "ფესვიდან". თამაშის თეორიის მემკვიდრეობა არის ჯ. ფონ ნეუმანის და ო. მორგენშტერნის წიგნი. ამრიგად, თამაშების თეორიის, როგორც მათემატიკური დისციპლინის განვითარების ისტორიული კურსი ბუნებრივად იყოფა სამ ეტაპად:

პირველი ეტაპი- J. von Neumann-ისა და O. Morgenstern-ის მონოგრაფიის გამოცემამდე. მას შეიძლება ეწოდოს "პრემონოგრაფიული". ამ ეტაპზე თამაში კვლავ მოქმედებს როგორც კონკრეტული შეჯიბრი, რომელიც აღწერილია მისი წესებით შინაარსიანი ტერმინებით. მხოლოდ მის დასასრულს ავითარებს ჯ. ფონ ნეუმანს თამაშის იდეა, როგორც აბსტრაქტული კონფლიქტის ზოგადი მოდელი. ამ ეტაპის შედეგი იყო არაერთი კონკრეტული მათემატიკური შედეგის და მომავლის თამაშის თეორიის ინდივიდუალური პრინციპების დაგროვებაც.

მეორე ეტაპიარის თავად ჯ.ფონ ნეუმანის მონოგრაფია და

ო. მორგენშტერნი „თამაშის თეორია და ეკონომიკური ქცევა“ (1944), რომელიც აერთიანებდა ადრე მიღებული (თუმცა, თანამედროვე მათემატიკური სტანდარტებით, საკმაოდ ცოტა) შედეგების უმეტესობას. მან პირველმა წარმოადგინა თამაშების მათემატიკური მიდგომა (როგორც ამ სიტყვის კონკრეტული, ისე აბსტრაქტული გაგებით) სისტემატური თეორიის სახით.

ბოლოს და ბოლოს მესამე ეტაპითამაშის თეორია შესასწავლ ობიექტებთან მიდგომით ნაკლებად განსხვავდება მათემატიკის სხვა დარგებისგან და დიდწილად ვითარდება მათთვის საერთო კანონების მიხედვით. ამავდროულად, რა თქმა უნდა, მისი პრაქტიკული გამოყენების სპეციფიკა, როგორც რეალური, ასევე შესაძლო, მნიშვნელოვან გავლენას ახდენს თამაშის თეორიაში მიმართულებების ფორმირებაზე.

თუმცა, თამაშის მათემატიკური თეორიაც კი არ ძალუძს გარკვეული კონფლიქტების შედეგის სრულად პროგნოზირებას. როგორც ჩანს, შესაძლებელია თამაშის (კონფლიქტის) შედეგის გაურკვევლობის სამი ძირითადი მიზეზის დადგენა.

უპირველეს ყოვლისა, ეს არის თამაშები, რომლებშიც არის რეალური შესაძლებლობა შეისწავლოს სათამაშო ქცევის ყველა ან სულ მცირე უმეტესი ვარიანტი, რომელთაგან ერთ-ერთი ყველაზე ჭეშმარიტია, რაც მოგებამდე მიგვიყვანს. გაურკვევლობა გამოწვეულია ვარიანტების მნიშვნელოვანი რაოდენობით, ამიტომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი აბსოლუტურად ყველა ვარიანტის შესწავლა (მაგალითად, იაპონური თამაში GO, რუსული და საერთაშორისო ქვები, ბრიტანული რევერსი).

მეორეც, ფაქტორების შემთხვევითი გავლენა თამაშზე არაპროგნოზირებადია მოთამაშეების მიერ. ამ ფაქტორებს აქვთ გადამწყვეტი გავლენა თამაშის შედეგზე და მხოლოდ მცირე ზომით შეიძლება იყოს კონტროლირებადი და განსაზღვრული მოთამაშეების მიერ. თამაშის საბოლოო შედეგი განისაზღვრება მხოლოდ მცირე, უკიდურესად უმნიშვნელო ზომით, თავად მოთამაშეების ქმედებებით. თამაშებს, რომელთა შედეგიც გაურკვეველია შემთხვევითი მიზეზების გამო, აზარტული თამაშები ეწოდება. თამაშის შედეგი ყოველთვის სავარაუდოა ან ვარაუდი (რულეტკა, კამათელი, სროლა).

მესამე, გაურკვევლობა გამოწვეულია ინფორმაციის ნაკლებობით, თუ რა სტრატეგიას მისდევს მოწინააღმდეგე. მოწინააღმდეგის ქცევის მოთამაშეების იგნორირება ფუნდამენტურია და განისაზღვრება თავად თამაშის წესებით. ასეთ თამაშებს სტრატეგიულ თამაშებს უწოდებენ.

თამაშის თეორია არის ოპერაციების კვლევის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი განყოფილება და წარმოადგენს თეორიული საფუძვლებიმათემატიკური მოდელები საბაზრო ურთიერთობების კონფლიქტურ სიტუაციებში ოპტიმალური გადაწყვეტილებების მისაღებად, რომლებსაც აქვთ კონკურენტული ბრძოლის ხასიათი, რომელშიც ერთი დაპირისპირებული მხარე მეორეზე იმარჯვებს მეორის წაგების ხარჯზე. ამ ვითარებასთან ერთად ოპერაციების კვლევის მეცნიერების ფარგლებში, რომელიც ითვალისწინებს მათემატიკური აღწერაგანხილულია გადაწყვეტილების მიღების სხვადასხვა ამოცანების ფორმულირება, რისკისა და გაურკვევლობის სიტუაციები. გაურკვევლობის პირობებში პირობების ალბათობა უცნობია და მათ შესახებ დამატებითი სტატისტიკური ინფორმაციის მოპოვება არ არსებობს. პრობლემის გადაჭრის გარემომცველ გარემოს, რომელიც ვლინდება გარკვეულ პირობებში, ეწოდება „ბუნება“, ხოლო შესაბამის მათემატიკურ მოდელებს – „თამაშები ბუნებასთან“ ან „თამაშის სტატისტიკური თეორია“. თამაშის თეორიის მთავარი მიზანია რეკომენდაციების შემუშავება კონფლიქტში მოთამაშეთა დამაკმაყოფილებელი ქცევისთვის, ანუ თითოეული მათგანისთვის „ოპტიმალური სტრატეგიის“ იდენტიფიცირება.