უწყვეტი ფუნქციების სივრცე კვადრატული მეტრიკით. მანძილი (მეტრული). მეტრული სივრცე. სიმრავლეების თეორია მეტრულ სივრცეებში

1. იზოლირებული წერტილების სივრცე.

თვითნებური ნაკრები და

2. მანძილით რეალური რიცხვების სიმრავლე ქმნის მეტრულ სივრცეს.

3. ნამდვილ რიცხვთა c მოწესრიგებული ჯგუფების სიმრავლეს განზომილებიანი არითმეტიკული ევკლიდური სივრცე ეწოდება.

მტკიცებულება.

იმისათვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ სივრცე მეტრულია, აუცილებელია აქსიომების დაკმაყოფილების შემოწმება.

დაე , , .

, , …, , ე.ი.

A3. მოდით შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა სამკუთხედის აქსიომა. დავწეროთ აქსიომა სახით:

ვივარაუდოთ , რომ მივიღებთ და .

ამ უთანასწორობის დასამტკიცებლად გამოიყენება კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობა.

მართლა,

შესაბამისად, სამკუთხედის აქსიომა დაკმაყოფილებულია და მოცემული მეტრიკით განსახილველი სიმრავლე არის მეტრული სივრცე.

ქ.ე.დ.

4. ნამდვილ რიცხვთა მოწესრიგებული ჯგუფების სიმრავლე . ეს მეტრული სივრცე აღინიშნება .

5. ნამდვილ რიცხვთა დალაგებული ჯგუფების სიმრავლე . ეს მეტრული სივრცე აღინიშნება .

მაგალითები 3, 4 და 5 გვიჩვენებს, რომ ერთი და იგივე პუნქტების მარაგი შეიძლება განზომილდეს სხვადასხვა გზით.

6. ყველა უწყვეტი რეალური ფუნქციების სიმრავლე, რომელიც განსაზღვრულია მანძილის მქონე სეგმენტზე. ეს მეტრული სივრცე აღინიშნება როგორც წერტილების სიმრავლე თავად სივრცეში: . კერძოდ, ნაცვლად წერენ.

7. Through აღნიშნავს მეტრულ სივრცეს, რომლის წერტილები არის რეალური რიცხვების ყველა შესაძლო მიმდევრობა, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას და მეტრიკა განისაზღვრება ფორმულით.

მტკიცებულება.

ვინაიდან, ყველასთვის აზრი აქვს. იმათ. სერია იყრის თავს თუ და.

ვნახოთ, რა აკმაყოფილებს აქსიომებს.

აქსიომები 1, 2 აშკარაა. სამკუთხედის აქსიომა მიიღებს ფორმას:

ყველა სერია კონვერგენტულია.

უთანასწორობა მართალია ნებისმიერისთვის (იხ. მაგალითი 3). როდესაც მივიღებთ უტოლობას .

ქ.ე.დ.

8. განვიხილოთ ყველა ფუნქციის სიმრავლე, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე და . ასეთ მეტრულ სივრცეს აღნიშნავენ და უწოდებენ სივრცეს უწყვეტი ფუნქციებიკვადრატული მეტრიკით.

9. განვიხილოთ ნამდვილი რიცხვების ყველა შემოსაზღვრული მიმდევრობის სიმრავლე. განვსაზღვროთ. ეს მეტრული სივრცე აღინიშნება .

10. მანძილის მქონე რეალური რიცხვების მოწესრიგებული ჯგუფების სიმრავლე, სადაც არის ნებისმიერი ფიქსირებული რიცხვი, არის მეტრული სივრცე, რომელიც აღინიშნება .

ამ მაგალითში განხილული მეტრიკა გადაიქცევა ევკლიდეს მეტრიკაში (იხ. მაგალითი 3) და მაგალითი 4-ის მეტრიკაში. შეიძლება აჩვენოს, რომ მეტრიკა (იხ. მაგალითი 5) არის შემზღუდველი შემთხვევა.

11. განვიხილოთ რეალური რიცხვების ყველა შესაძლო მიმდევრობა, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, სადაც არის გარკვეული ფიქსირებული რიცხვი და მანძილი განისაზღვრება ფორმულით. ჩვენ გვაქვს მეტრული სივრცე.

12. მოდით იყოს ყველა უსასრულო მიმდევრობის სიმრავლე - რთული რიცხვები. განვსაზღვროთ. ჩვენ გვაქვს მეტრული სივრცე.

განმარტება: მოდით იყოს მეტრული სივრცე და იყოს ნებისმიერი ქვესიმრავლე . შემდეგ იგივე ფუნქციით, რომლისთვისაც ახლა არის განსაზღვრული, არის მეტრიკული სივრცე ე.წ ქვესივრცესივრცე.

ძირითადი ცნებები

მეტრული სივრცე ავღნიშნოთ .

განმარტება: მიმდევრობას, რომელიც ეკუთვნის მეტრულ სივრცეს, ეწოდება ფუნდამენტური, თუ თითოეულს შეესაბამება ისეთი რიცხვი, რომ უტოლობა .

განმარტება: მიმდევრობას, რომელიც ეკუთვნის მეტრულ სივრცეს, ეწოდება კონვერგენტული, თუ არსებობს ისეთი, რომ თითოეული შეესაბამება რიცხვს ისეთი, რომ უტოლობა ყველასთვის იყოს. მაშინ მას ეძახიან ლიმიტითანმიმდევრობები.

თეორემა: თუ თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი, მაშინ ის უნიკალურია.

მტკიცებულება.

მართლაც, თუ და, მაშინ. მას შემდეგ, რაც და , შემდეგ , ე.ი. .

თეორემა დადასტურდა.

განმარტება: სრული მეტრული სივრცეარის მეტრული სივრცე, რომელშიც ყოველი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა იყრის თავს.

თეორემა: მეტრიკა, როგორც ორი არგუმენტის ფუნქცია, არის უწყვეტი ფუნქცია, ე.ი. თუ და, მაშინ.

მტკიცებულება:

დაე , , , .

სამკუთხედის უტოლობის მიხედვით:

(1)-დან ვიღებთ:

(2)-დან ვიღებთ:

რადგან,

აღვნიშნოთ.

IN მეტრულ სივრცეშიშეიძლება განიხილოს სხვადასხვა სიმრავლეები, წერტილების სამეზობლოები, ზღვრული წერტილები და კლასიკური ანალიზის სხვა ცნებები.

განმარტება: ქვეშ შემოგარენიწერტილები ნიშნავს კომპლექტს, რომელიც შეიცავს რადიუსის ღია ბურთულას, რომლის ცენტრია წერტილში, ე.ი.

განმარტება: წერტილი ე.წ ლიმიტის წერტილისიმრავლისთვის, თუ წერტილის რომელიმე სამეზობლო შეიცავს მინიმუმ ერთ წერტილს, განსხვავებული.

განმარტება: წერტილი ე.წ შიდა წერტილიკომპლექტი, თუ იგი შედის მის ზოგიერთ სამეზობლოში.

განმარტება: კომპლექტი ე.წ გახსნა, თუ იგი შედგება მხოლოდ შიდა წერტილებისგან. კომპლექტი ე.წ დახურულითავისთავად თუ შეიცავს მის ყველა ზღვრულ წერტილს.

მეტრული სივრცე დახურულია.

ქვესივრცეები არ შეიძლება იყოს დახურული ქვეჯგუფები.

თუ დავუმატებთ მის ყველა ზღვრულ წერტილს, მივიღებთ დახურვას.

განმარტება: მეტრულ სივრცეში მოთავსებულ კომპლექტს ეწოდება დახურული, თუ იგი ემთხვევა მის დახურვას: .

დახურული ნაკრები არის ყველაზე პატარა დახურული ნაკრები, რომელიც შეიცავს .

განმარტება: დაე . კომპლექტი ე.წ მჭიდროწელს, თუ. კომპლექტი ე.წ მკვრივი ყველგან, თუ . კომპლექტი ე.წ არსად მკვრივი, თუ როგორიც არ უნდა იყოს ბურთი, არის კიდევ ერთი ბურთი თავისუფალი ნაკრების წერტილებიდან.

განმარტება: სივრცეს უწოდებენ განცალკევებულს, თუ იგი შეიცავს ყველგან მკვრივ თვლადი სიმრავლეს.

IN მათემატიკური ანალიზიმნიშვნელოვან როლს ასრულებს რიცხვითი წრფის სისრულის თვისება, ანუ ის ფაქტი, რომ რეალური რიცხვების ყოველი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს (კოშის კონვერგენციის კრიტერიუმი).

რიცხვითი ხაზი ემსახურება როგორც სრული მეტრიკული სივრცის მაგალითს.

იზოლირებული წერტილების სივრცეები, , , , , , არის სრული მეტრიკული სივრცეები.

სივრცე არა სრული.

ანალიზი ფართოდ იყენებს ე.წ ლემა წყობილ სეგმენტებზე :

მოდით იყოს წყობილი სეგმენტების სისტემა. შემდეგ სეგმენტისთვის გვაქვს.

ეს ნიშნავს, რომ ნაკრებიდან ყველა სეგმენტს აქვს საერთო წერტილი.

მეტრულ სივრცეების თეორიაში მსგავს როლს ასრულებს თეორემა ჩაშენებულ ბურთებზე.

თეორემა: იმისთვის, რომ მეტრული სივრცე იყოს სრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მასში ერთმანეთში ჩადგმული ბურთულების ყველა თანმიმდევრობა, რომლის რადიუსებს აქვს არა ცარიელი კვეთა.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა:

მოდით იყოს სრული მეტრული სივრცე და იყოს ერთმანეთში ჩადგმული დახურული ბურთების თანმიმდევრობა.

მოდით იყოს რადიუსი და a იყოს ბურთის ცენტრი.

ცენტრების თანმიმდევრობა ფუნდამენტურია, რადგან ზე და ზე. მას შემდეგ - სრული, მაშინ. დავსვათ მაშინ. მართლაც, ბურთი შეიცავს მიმდევრობის ყველა წერტილს, ქულების შესაძლო გამონაკლისის გარდა. ამრიგად, წერტილი არის შეხების წერტილი (ზღვრული წერტილი) თითოეული ბურთისთვის. მაგრამ რადგან არის დახურული ნაკრები, მაშინ .

ადეკვატურობა:

დაე იყოს ფუნდამენტური თანმიმდევრობა. მოდით დავამტკიცოთ, რომ მას აქვს საზღვარი. ფუნდამენტურობის გამო, ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ წერტილი მიმდევრობით ისეთი, რომ ყველასთვის . ავიღოთ წერტილი, რომ იყოს რადიუსის დახურული ბურთის ცენტრი. , ჩადგმული ერთმანეთში და ბურთი - რადიუსის რაღაც დახურული ბურთი შეიცავს გარკვეულ წერტილს დასრულების მიხედვით

ინგლისური:ვიკიპედია საიტს უფრო უსაფრთხოს ხდის. თქვენ იყენებთ ძველ ვებ ბრაუზერს, რომელიც მომავალში ვერ დაუკავშირდება ვიკიპედიას. გთხოვთ, განაახლოთ თქვენი მოწყობილობა ან დაუკავშირდეთ თქვენს IT ადმინისტრატორს.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

ესპანური:ვიკიპედია ეს არის ის ადგილი, სადაც ის არის. გამოყენებულია ის, რაც გამოიყენება და ნავიგაცია ვებ-გვერდზე, რომელიც არ არის შემუშავებული ვიკიპედიაში და მომავალში. Actualice su dispositivo o დაუკავშირდით ადმინისტრატორს ინფორმაციას. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ფრანგული:ვიკიპედია bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipedia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. დამატებითი ინფორმაცია და ტექნიკები და ინგლისური ხელმისაწვდომია.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

გერმანული: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator ან. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

იტალიური: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. დარჩით ბრაუზერის ვებ-გვერდზე და არ შეინახოთ ვიკიპედია მომავალში. ფავორიტი, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo aministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico ინგლისურად.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

სვენსკა:ვიკიპედია გორ სიდან mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i Framtiden. განახლებულია IT-ადმინისტრატორის კონტაქტი. Det finns en längre och mer Teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ჩვენ ვხსნით TLS პროტოკოლის დაუცველი ვერსიების მხარდაჭერას, კონკრეტულად TLSv1.0 და TLSv1.1, რომლებსაც თქვენი ბრაუზერის პროგრამული უზრუნველყოფა ეყრდნობა ჩვენს საიტებთან დასაკავშირებლად. ეს ჩვეულებრივ გამოწვეულია მოძველებული ბრაუზერების ან ძველი Android სმარტფონებით. ან ეს შეიძლება იყოს კორპორატიული ან პირადი "ვებ უსაფრთხოების" პროგრამული უზრუნველყოფის ჩარევა, რომელიც რეალურად ამცირებს კავშირის უსაფრთხოებას.

თქვენ უნდა განაახლოთ თქვენი ბრაუზერი ან სხვაგვარად მოაგვაროთ ეს პრობლემა ჩვენს საიტებზე წვდომისთვის. ეს შეტყობინება დარჩება 2020 წლის 1 იანვრამდე. ამ თარიღის შემდეგ თქვენი ბრაუზერი ვერ შეძლებს ჩვენს სერვერებთან კავშირის დამყარებას.

მოდული 2.

ლექცია 17. რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია

ნაწილი 17.1. n-განზომილებიანი სივრცე

1. მრავალგანზომილებიანი სივრცეები

2. მანძილის ცნება (მეტრიკა). მეტრული სივრცე

3. კლასტერული ანალიზის პრინციპები

ნაწილი 17.2 მრავალჯერადი ცვლადის ფუნქცია

1. რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია

2. ნაწილობრივი წარმოებულები

3. ორმაგი ინტეგრალი

4. პოლარული კოორდინატები და ეილერ-პუასონის ინტეგრალი

პროგრამის დებულებები

ლექციაზე განიხილება საკითხები, რომლებიც დაკავშირებულია ორზე მეტი განზომილების სივრცეებთან: მანძილის ცნების დანერგვა, მანძილის გამოყენება კლასტერულ ანალიზში, რამდენიმე (ჩვენს შემთხვევაში, ორი) ცვლადის ფუნქცია, მისი დახასიათება ნაწილობრივი წარმოებულების გამოყენებით, ასევე. როგორც ფართობისა და მოცულობის გამოთვლები. ორი ცვლადის ფუნქციების ცნებები და ორმაგი ინტეგრალიისინი დაგვჭირდება ალბათობის თეორიაში შემთხვევითი ვექტორების შესწავლისას. სალექციო მასალა სრულდება ეილერ-პუასონის ინტეგრალის გაანგარიშებით - ერთ-ერთი მთავარი ალბათობის თეორიაში ( განუსაზღვრელი ინტეგრალიგაუსის ფუნქციიდან კლასიფიცირებულია, როგორც არაინტეგრადი, ხოლო ინტეგრაციის ლიმიტების არსებობის შემთხვევაში, ასეთი ინტეგრალების გამოთვლა მოითხოვს არააშკარა მეთოდების გამოყენებას, რომელთაგან ერთი მოცემულია აქ).

სალექციო მასალის შესწავლამდე გაიმეორეთ ფუნქციის, წარმოებულის და ინტეგრალის განმარტება.

ლიტერატურა

B.P. Demidovich, V.A. Kudryavtsev „მოკლე კურსი უმაღლესი მათემატიკა» თავი XX (§1, 2.3,10), თავი XXIV (§1, 2,3,4,7)

კითხვები თვითკონტროლისთვის

1. რა სივრცეს ეწოდება n-განზომილებიანი?

2. რა პირობებს უნდა აკმაყოფილებდეს მანძილი?

3. რომელ სივრცეს ეწოდება მეტრიკა?

4. რისთვის გამოიყენება კლასტერული ანალიზი?

5. როგორია 2 ცვლადის ფუნქციის გრაფიკი? რა არის დონის ხაზები?

6. რა არის ნაწილობრივი წარმოებული?

7. მიეცით ორმაგი ინტეგრალის განმარტება. როგორ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად?

8. იპოვეთ მანძილი A(1,2,3) და B(5,1,0) წერტილებს შორის (სხვადასხვა მანძილის გამოყენებით)

9. იპოვეთ ფუნქციის დონის ხაზები

z = x + y.

10. იპოვეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები

11. იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

12. გამოთვალეთ

ნაწილი 17.1. მრავალგანზომილებიანი სივრცის კონცეფცია

განმარტება 17.1.1. n-განზომილებიანი სივრცე.

თუ R2 დამაგრებულია თვითმფრინავზე მართკუთხა სისტემაკოორდინატები, მაშინ სიბრტყის წერტილებსა და რიცხვთა ყველა შესაძლო წყვილს შორის (x, y) (x და y არის წერტილების კოორდინატები) არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა. თუ მსგავსი კოორდინატთა სისტემა მოცემულია სივრცეში, მაშინ ასევე არსებობს ერთი-ერთზე შესაბამისობა სივრცის წერტილებსა და მათ კოორდინატებს შორის - ყველა შესაძლო სამეული (x, y, z).

მანძილი (მეტრული). მეტრული სივრცე

განმარტება 17.1.2

მეტრული სივრცე ( მ ,დ) არის M წერტილების სიმრავლე, რომლის კვადრატზე (ანუ M-დან ნებისმიერი წყვილი წერტილისთვის) მოცემულია მანძილის ფუნქცია (მეტრიკა). იგი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ნებისმიერი პუნქტისთვის x, წ, ზსაწყისი მეს ფუნქცია უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:

ეს აქსიომები ასახავს მანძილის ინტუიციურ კონცეფციას. მაგალითად, მანძილი უნდა იყოს არაუარყოფითი და მანძილი xრომ წიგივე, რაც დან წრომ x. სამკუთხედის უთანასწორობა ნიშნავს იმას, რომ დან წასვლა xრომ ზშეიძლება იყოს უფრო მოკლე, ან მინიმუმ არა უმეტეს პირველ გასეირნებაზე xრომ წ, და შემდეგ დან წრომ ზ.

ჩვენთვის ყველაზე ნაცნობი არის ევკლიდური მანძილი. თუმცა, ეს შორს არის მისი დაყენების ერთადერთი გზა. მაგალითად, შემდეგი მანძილი დააკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ აქსიომებს: d(x,y) = 1, თუ x ≠ yდა d(x,y) = 0, თუ x = y.

სივრცის სპეციფიკური საჭიროებიდან ან თვისებებიდან გამომდინარე, შეიძლება განიხილებოდეს სხვადასხვა მეტრიკა.

მოდით შევხედოთ მანძილების რამდენიმე მაგალითს:

განმარტებები 17.1.3.

ევკლიდეს მანძილი.როგორც ჩანს, ეს არის დისტანციის ყველაზე გავრცელებული ტიპი. ეს არის უბრალოდ გეომეტრიული მანძილი მრავალგანზომილებიან სივრცეში და გამოითვლება შემდეგნაირად:

d(x,y) = ( i (x i - y i) 2 ) 1/2

გაითვალისწინეთ, რომ ევკლიდეს მანძილი (და მისი კვადრატი) გამოითვლება ორიგინალური მონაცემებით და არა სტანდარტიზებული მონაცემებით. ეს არის მისი გამოთვლის ჩვეულებრივი გზა, რომელსაც აქვს გარკვეული უპირატესობები (მაგალითად, ორ ობიექტს შორის მანძილი არ იცვლება ანალიზში ახალი ობიექტის შეყვანისას, რომელიც შეიძლება იყოს გამოკვეთილი). თუმცა, დისტანციებზე შეიძლება დიდი გავლენა იქონიოს განსხვავებამ ღერძებს შორის, საიდანაც გამოითვლება მანძილი. მაგალითად, თუ ერთ-ერთი ღერძი იზომება სანტიმეტრებში და შემდეგ გადააქცევთ მას მილიმეტრებში (მნიშვნელობების 10-ით გამრავლება), მაშინ კოორდინატებიდან გამოთვლილი საბოლოო ევკლიდური მანძილი (ან ევკლიდური მანძილის კვადრატი) მნიშვნელოვნად შეიცვლება. და, შედეგად, კლასტერული ანალიზის შედეგები შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს წინადან.

კვადრატული ევკლიდური მანძილი.სტანდარტული ევკლიდური მანძილი არის კვადრატი, რათა უფრო დიდი წონა მიეცეს ობიექტებს, რომლებიც ერთმანეთისგან შორს არიან. ეს მანძილი გამოითვლება შემდეგნაირად (ეს ასევე ეხება წინა პუნქტის გაზომვის ერთეულების გავლენის შესახებ შენიშვნას):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

ქალაქის ბლოკის მანძილი (მანჰეტენის მანძილი).ეს მანძილი უბრალოდ არის კოორდინატებზე განსხვავებების საშუალო მაჩვენებელი. უმეტეს შემთხვევაში, ეს მანძილის საზომი იძლევა იგივე შედეგებს, როგორც ჩვეულებრივი ევკლიდური მანძილი. თუმცა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ამ საზომისთვის ინდივიდუალური დიდი განსხვავებების (განსხვავებების) გავლენა მცირდება (რადგან ისინი არ არის კვადრატი). მანჰეტენის მანძილი გამოითვლება ფორმულით:

d(x,y) = i |x i - y i |

ჩებიშევის მანძილი.ეს მანძილი შეიძლება იყოს სასარგებლო, როდესაც ადამიანს სურს ორი ობიექტის "განსხვავებულად" განსაზღვრა, თუ ისინი განსხვავდებიან რომელიმე კოორდინატში (ნებისმიერ განზომილებაში). ჩებიშევის მანძილი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

d(x,y) = max |x i - y i |

(მაქსი ნიშნავს მაქსიმუმს - განსხვავება მოდულების ყველა მნიშვნელობიდან ყველაზე დიდი)

სიმძლავრის მანძილი.ზოგჯერ ადამიანს სურს თანდათან გაიზარდოს ან შეამციროს წონა, რომელიც დაკავშირებულია განზომილებთან, რომლისთვისაც შესაბამისი ობიექტები ძალიან განსხვავდება. ამის მიღწევა შესაძლებელია გამოყენებით დენის მანძილი. სიმძლავრის მანძილი გამოითვლება ფორმულით:

d(x,y) = (i |x i - y i | p) 1/r

სად რდა p-მომხმარებლის განსაზღვრული პარამეტრები. რამდენიმე მაგალითის გაანგარიშებამ შეიძლება აჩვენოს, თუ როგორ "მუშაობს" ეს ზომა. პარამეტრი გვპასუხისმგებელია ინდივიდუალური კოორდინატების, პარამეტრის გასწვრივ განსხვავებების თანდათანობით აწონვაზე რპასუხისმგებელია ობიექტებს შორის დიდი მანძილების თანდათანობით აწონვაზე. თუ ორივე პარამეტრია რდა გვ, უდრის ორს, მაშინ ეს მანძილი ემთხვევა ევკლიდეს მანძილს.

ძირითადი ფუნქციური სივრცეები

ლექცია 5

ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ოპერაცია არის ზღვარზე გადასვლა. ეს ოპერაცია ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ მანძილი ერთი წერტილიდან მეორემდე განისაზღვრება რიცხვითი ხაზით. ანალიზის მრავალი ფუნდამენტური ფაქტი არ არის დაკავშირებული რეალური რიცხვების ალგებრულ ბუნებასთან (ანუ იმ ფაქტთან, რომ ისინი ქმნიან ველს), არამედ ეყრდნობა მხოლოდ მანძილის კონცეფციას. რეალური რიცხვების იდეის განზოგადება, როგორც კომპლექტი, რომელშიც შედის ელემენტებს შორის მანძილი, მივდივართ მეტრულ სივრცის კონცეფციამდე - თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

განმარტება.

მეტრული სივრცე არის წყვილი (X, ρ), რომელიც შედგება გარკვეული ნაკრებისგან (სივრცისგან) Xელემენტები (წერტილები) და მანძილი, ანუ ერთმნიშვნელოვანი, არაუარყოფითი, რეალური ფუნქცია ρ(x,y), განსაზღვრულია ნებისმიერისთვის xდა წსაწყისი Xდა ექვემდებარება შემდეგ აქსიომებს;

1. ρ(x,y) ≥ 0ყველასთვის x,y,

2. ρ(x,y) = 0მაშინ და მხოლოდ მაშინ x=y,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(სიმეტრიის აქსიომა),

4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(სამკუთხედის აქსიომა).

თავად მეტრული სივრცე, ანუ წყვილი (X, ρ), ჩვეულებრივ აღვნიშნავთ ერთი ასოთი R = (X, ρ).

იმ შემთხვევებში, როდესაც გაუგებრობები გამორიცხულია, ჩვენ ხშირად აღვნიშნავთ მეტრულ სივრცეს იგივე სიმბოლოთი, როგორც თავად „ქულების მარაგი“. X.

მოდით მოვიყვანოთ მეტრიკული სივრცეების მაგალითები. ზოგიერთი ეს სივრცე ძალიან მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ანალიზში.

1. თვითნებური ნაკრების ელემენტების დაყენება

ჩვენ ვიღებთ, ცხადია, მეტრულ სივრცეს. მას შეიძლება ეწოდოს იზოლირებული წერტილების სივრცე.

2. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე მანძილით

ქმნის მეტრულ სივრცეს R 1.

3. შეკვეთილი ჯგუფების ნაკრები ნრეალური რიცხვები x = (x 1, ..., x n)მანძილით

დაურეკა ნ- განზომილებიანი არითმეტიკული ევკლიდური სივრცე Rn. 1) - 3) აქსიომების მართებულობა Rnაშკარა. მოდით ვაჩვენოთ ეს Rnსამკუთხედის აქსიომაც კმაყოფილია.

დაე x = (x 1,…, x n), y = (y 1,…, y n),

z = (z 1,…, z n);

მაშინ სამკუთხედის აქსიომა იწერება როგორც

ვივარაუდოთ, რომ მივიღებთ , და უტოლობა (2) იღებს ფორმას

მაგრამ ეს უთანასწორობა მაშინვე მომდინარეობს კარგად ცნობილი კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობიდან

მართლაც, ამ უთანასწორობის გამო გვაქვს

ამრიგად, უტოლობა (3) და შესაბამისად (2) დადასტურებულია.

4. განვიხილოთ შეკვეთილი ჯგუფების იგივე ნაკრები ნრეალური რიცხვები x = (x 1,…, x n)მაგრამ ჩვენ განვსაზღვრავთ მასში მანძილს ფორმულით

აქსიომების მართებულობა აშკარაა.

დავალება.დაამტკიცეთ აქსიომა 4.

მოდით აღვნიშნოთ ეს მეტრიკული სივრცე სიმბოლოთი.

5. ისევ აიღეთ იგივე ნაკრები, როგორც მე-3 და მე-4 მაგალითებში და დაადგინეთ მანძილი მის ელემენტებს შორის ფორმულით

1) - 3) აქსიომების მართებულობა აშკარაა.

დავალება.დაამტკიცეთ აქსიომა 4.

ეს სივრცე, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ, არანაკლებ მოსახერხებელია ანალიზის ბევრ კითხვაში, ვიდრე ევკლიდეს სივრცე Rn.

ბოლო სამი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ზოგჯერ მართლაც მნიშვნელოვანია განსხვავებული აღნიშვნები თავად მეტრიკული სივრცისთვის და მისი წერტილების სიმრავლისთვის, რადგან წერტილების ერთი და იგივე მარაგი შეიძლება მეტრიზირებული იყოს სხვადასხვა გზით.

6. ბევრი Cსეგმენტზე განსაზღვრული ყველა უწყვეტი რეალური ფუნქცია , მანძილით

ასევე ქმნის მეტრულ სივრცეს. აქსიომები 1) - 3) მოწმდება უშუალოდ.

დავალება.დაამტკიცეთ აქსიომა 4.

ეს სივრცე ძალიან მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ანალიზში. იგივე სიმბოლოთი აღვნიშნავთ C, რომელიც თავად ამ სივრცის წერტილთა ნაკრებია. იმის მაგივრად Cჩვენ უბრალოდ დავწერთ თან.

7. აღვნიშნოთ ლ 2მეტრულ სივრცეში, რომლის წერტილები ყველა შესაძლო მიმდევრობითაა x=(x 1,...,x n,...)რეალური რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას,

და მანძილი განისაზღვრება ფორმულით

ელემენტარული უტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია ρ(x,y)აზრი აქვს ყველას თანხვედრას თუ

ახლა ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია (8) აკმაყოფილებს მეტრული სივრცის აქსიომებს. აქსიომები 1) - 3) აშკარაა და სამკუთხედის აქსიომა აქ იღებს ფორმას

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, აქ დაწერილი სამი სერიიდან თითოეული იყრის თავს. მეორე მხრივ, ყოველ ჯერზე ნუთანასწორობა მართალია

(იხ. მაგალითი 4). გავლის აქ ლიმიტი at n®∞ვიღებთ (8), ე.ი. სამკუთხედის უტოლობა in ლ 2.

8. განვიხილოთ, როგორც მე-6 მაგალითში, ყველა ფუნქციის სიმრავლე უწყვეტი ინტერვალზე , მაგრამ მოდი განვსაზღვროთ მანძილი სხვაგვარად, კერძოდ, დავაყენოთ

ჩვენ აღვნიშნავთ ასეთ მეტრულ სივრცეს C 2და ვუწოდოთ მას კვადრატული მეტრიკის მქონე უწყვეტი ფუნქციების სივრცე. აქ მეტრიკული სივრცის ყველა აქსიომა აშკარაა და სამკუთხედის აქსიომა პირდაპირ გამომდინარეობს კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობის ინტეგრალური ფორმიდან.

9. განვიხილოთ ყველა შეზღუდული მიმდევრობის x = (x 1 , ..., x n , ...) ნამდვილი რიცხვების სიმრავლე.

ვიღებთ მეტრულ სივრცეს, რომელსაც აღვნიშნავთ მ. აქსიომების მართებულობა აშკარაა.

10. შეკვეთილი ჯგუფების ნაკრები ნრეალური რიცხვები მანძილით

სად რ- ნებისმიერი ფიქსირებული ნომერი ≥ 1 , არის მეტრული სივრცე, რომელსაც აღვნიშნავთ .

მოდით შევამოწმოთ აქსიომა 4.

დაე x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

დავუშვათ, მაშინ უტოლობა

სამართლიანობა, რომელიც ჩვენ უნდა დავამყაროთ, მიიღებს ფორმას

ეს არის ე.წ მინკოვსკის უთანასწორობა. ზე p= 1მინკოვსკის უტოლობა აშკარაა (ჯამის მოდული არ აღემატება მოდულების ჯამს), ამიტომ ვივარაუდებთ, რომ p > 1.

უტოლობის დადასტურება (13) თან p>1ე.წ. ჰოლდერის უთანასწორობაზე დაყრდნობით

სად არის ნომრები p > 1და q > 1პირობით შებოჭილი

გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობა (14) ერთგვაროვანია. ეს ნიშნავს, რომ თუ ის დაკმაყოფილებულია ნებისმიერი ორი ვექტორისთვის a = (a 1,…, a n),და b = (b 1,…, b n),მაშინ ის ასევე ეხება ვექტორებს λaდა μb, სად λ და μ - თვითნებური ნომრები. ამიტომ საკმარისია უთანასწორობის (14) დამტკიცება იმ შემთხვევისთვის, როცა

ასე რომ, დაკმაყოფილდეს პირობა (16); დავამტკიცოთ ეს

განიხილეთ თვითმფრინავში (ξ,η) განტოლებით განსაზღვრული მრუდი η = ξ p -1 (ξ>0), ან, რაც იგივეა, განტოლებით ξ p -1 (η >0)(ნახ. 1). ნახაზიდან ირკვევა, რომ დადებითი მნიშვნელობების ნებისმიერი არჩევანისთვის ადა ბნება S 1 + S 2 > აბ. გამოვთვალოთ ფართობი S 1და S 2:

ამრიგად, რიცხვითი უტოლობა მართალია

აქ ჩანაცვლება ა on |ა კ |და ბ on |ბ კ |და შეჯამება მიერ კ 1-დან ნ, ვიღებთ (15) და (16) გათვალისწინებით,

დადასტურებულია უტოლობა (17) და, შესაბამისად, ზოგადი უტოლობა (14).

ზე p = 2ჰოლდერის უტოლობა (14) იქცევა კოში-ბუნიაკოვსკის უტოლობად (4).

ახლა გადავიდეთ მინკოვსკის უთანასწორობის მტკიცებულებაზე. ამისათვის გაითვალისწინეთ ვინაობა

ჩანაცვლება წერილობით პირადობაში ა on კდა ბ on ბ კდა შეჯამება მიერ კსაწყისი 1 რომ ნვიღებთ

ახლა გამოვიყენებთ ჰოლდერის უტოლობას თითოეულ ორ ჯამს მარჯვნივ და იმის გათვალისწინებით, რომ (p - 1)q = გვ, ვიღებთ x(t) , ვიღებთ

ამრიგად, დადასტურდა ფორმულა (18), რომელიც განსაზღვრავს მანძილს ლ გვნამდვილად აზრი აქვს ვინმეს. ამავე დროს, უტოლობა (19) აჩვენებს, რომ ქ ლ გვსამკუთხედის აქსიომა დაკმაყოფილებულია. დანარჩენი აქსიომები აშკარაა.

შემდეგი ტექნიკა გთავაზობთ შემდგომი მაგალითების შეუზღუდავ რაოდენობას. დაე R = (X, ρ)- მეტრულ სივრცეს და მ- ნებისმიერი ქვეჯგუფი X. მერე მიგივე ფუნქციით ρ(x,y), რომლისთვისაც ახლა განვიხილავთ განსაზღვრულს xდა ზესაწყისი მ, ასევე არის მეტრული სივრცე; მას სივრცის ქვესივრცე ეწოდება რ.

რა არის მეტრიკა? რისთვის გამოიყენება? ფიზიკური ველია?

ჩვენს დროში მეტრიკა მყარად არის დაკავშირებული გრავიტაციის თეორიასთან, ჰილბერტისა და აინშტაინის ნაშრომების წყალობით გროსმანთან ერთად. თუმცა, ის მათემატიკაში დიდი ხნით ადრე იყო შემოღებული. თუ არ ვცდები, პირველთა შორის, ვინც ეს ასე თუ ისე აშკარად გამოიყენა, იყვნენ რიმანი და გაუსი. ჯერ შევეცდებით გავიგოთ მისი როლი გეომეტრიაში და მხოლოდ ამის შემდეგ ვნახოთ, როგორ იქცა მეტრიკა GTR-ის, ფარდობითობის ზოგადი თეორიის მთავარ სტრუქტურად.

დღეს არის საკმაოდ დეტალური და მკაფიო განმარტება მეტრულ სივრცეებში, საკმაოდ ზოგადი ხედი:

მეტრული სივრცე („მეტრიკით აღჭურვილი“) მათემატიკაში არის სივრცე, რომელშიც მისი ნებისმიერი ორი მოწესრიგებული წერტილისთვის (ანუ ერთ მათგანს ეძახიან პირველს, ხოლო მეორეს - მეორეს), რეალური რიცხვია. განსაზღვრულია ისე, რომ ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც წერტილები ემთხვევა და "სამკუთხედის" უტოლობა დაკმაყოფილებულია - ნებისმიერი სამი წერტილისთვის (x,y,z) ეს რიცხვი ნებისმიერი წყვილისთვის (x,y) არის ამ რიცხვების ჯამის ტოლი ან ნაკლები დანარჩენი ორი წყვილისთვის (x,z) და (y,z). განმარტებიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ ეს რიცხვი არაუარყოფითია და არ იცვლება (მეტრიკა სიმეტრიულია), როდესაც იცვლება წყვილში წერტილების რიგი.

ჩვეულებისამებრ, როგორც კი რაღაც განისაზღვრება, ეს განმარტება ფართოვდება და სახელწოდება სხვა, მსგავს სივრცეებზე ვრცელდება. ასე რომ, აქ არის. მაგალითად, მკაცრად ფორმალურად არ იქნება მეტრული ზემოთ მოცემული განმარტების მიხედვით, რადგან მათში "მეტრული" რიცხვი, ინტერვალი, შეიძლება იყოს ნული ორი განსხვავებული წერტილისთვის და მისი კვადრატი ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი რეალური რიცხვი.. თუმცა, ისინი თითქმის თავიდანვე შედიან მეტრულ სივრცეების ოჯახში, უბრალოდ განმარტებაში შესაბამისი მოთხოვნის მოხსნა, განმარტების გაფართოება.

გარდა ამისა, მეტრიკა ასევე შეიძლება განისაზღვროს არა სივრცის ყველა წერტილისთვის, არამედ მხოლოდ უსასრულოდ ახლო წერტილებისთვის (ადგილობრივად). ასეთ სივრცეებს ​​რიმანიანს უწოდებენ და ყოველდღიურ ცხოვრებაში მეტრულსაც. უფრო მეტიც, სწორედ რიმანისეულმა სივრცეებმა გახადა მეტრიკა ასე ცნობილი და მიიპყრო როგორც მათემატიკოსების, ისე ფიზიკოსების ყურადღება და ნაცნობი ბევრი ადამიანისთვისაც კი, ვისაც მცირე კავშირი აქვს ამ მეცნიერებებთან..

საბოლოო ჯამში, აქ განვიხილავთ მეტრიკას კონკრეტულად რიმანის სივრცეებთან მიმართებაში, ე.ი. ადგილობრივი გაგებით. და კიდევ ლოკალურად სიგნალად განუსაზღვრელი.

ფორმალური მათემატიკური განმარტება და მისი გაფართოებები მეტრიკის ცნების გაგებისა და გარკვევის შედეგია. ვნახოთ, საიდან გაჩნდა ეს კონცეფცია და რა თვისებებით რეალური სამყაროიგი თავდაპირველად იყო დაკავშირებული.

მთელი გეომეტრია წარმოიშვა იმ ცნებებიდან, რომლებიც თავდაპირველად ფორმალური იყო ევკლიდეს მიერ. ასეა მეტრიკა. ევკლიდეს გეომეტრიაში (სიმარტივისა და სიცხადისთვის ვისაუბრებთ ორგანზომილებიან გეომეტრიაზე და შესაბამისად სიბრტყის გეომეტრიაზე) არსებობს ორ წერტილს შორის მანძილის ცნება. ძალიან ხშირად, ახლაც კი, მეტრიკას დისტანციას უწოდებენ. რადგან ევკლიდეს სიბრტყისთვის მანძილი არის მეტრიკა, ხოლო მეტრიკა არის მანძილი. და ზუსტად ასე იყო კონცეპტუალირებული თავიდანვე. თუმცა, როგორც შევეცდები ვაჩვენო, რომ თანამედროვე კონცეფციაეს ეხება მეტრიკას მხოლოდ ძალიან შეზღუდული გაგებით, მრავალი დათქმითა და პირობებით.

მანძილი ევკლიდეს სიბრტყეზე (ქაღალდის ფურცელზე) ძალიან მარტივი და აშკარა რამ ჩანს. მართლაც, სახაზავის გამოყენებით შეგიძლიათ დახაზოთ სწორი ხაზი ნებისმიერ ორ წერტილს შორის და გაზომოთ მისი სიგრძე. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება მანძილი. მესამე წერტილის აღებით შეგიძლიათ დახაზოთ სამკუთხედი და დარწმუნდეთ, რომ ეს მანძილი (სიბრტყის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის) ზუსტად აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ განმარტებას. სინამდვილეში, განმარტება დაკოპირდა ერთი-ერთზე სიბრტყეზე ევკლიდური მანძილის თვისებებიდან. და სიტყვა "მეტრიკა" თავდაპირველად ასოცირდება თვითმფრინავის გაზომვასთან (მეტრის გამოყენებით), "მეტრიზაციასთან".

რატომ იყო საჭირო მანძილების გაზომვა, თვითმფრინავის სწორედ ამ მეტრიზაციის განხორციელება? აბა, რატომ ზომავენ დისტანციებს? რეალური ცხოვრებაალბათ ყველას თავისი იდეა აქვს. და გეომეტრიაში მათ ნამდვილად დაიწყეს ამაზე ფიქრი, როდესაც შემოიტანეს კოორდინატები, რათა აღეწერათ თვითმფრინავის თითოეული წერტილი ცალკე და ცალსახად სხვებისგან. სიბრტყეზე კოორდინატთა სისტემა აშკარად უფრო რთული იქნება, ვიდრე უბრალოდ მანძილი ორ წერტილს შორის. აქ არის საწყისი, და კოორდინატთა ღერძები და მანძილები (როგორ შეგვიძლია მათ გარეშე?) საწყისი წერტილიდან ღერძის პროგნოზებამდე. როგორც ჩანს, გასაგებია, რატომ არის საჭირო კოორდინატთა სისტემა - ეს არის ერთმანეთის მიმართ პერპენდიკულარული ხაზების უწყვეტი ბადე (თუ კოორდინატები დეკარტიულია), რომელიც მთლიანად ავსებს სიბრტყეს და, შესაბამისად, პრობლემის გადაჭრამასზე ნებისმიერი წერტილის მისამართები.

გამოდის, რომ მეტრიკა არის მანძილი და კოორდინატები არის მანძილი. არის განსხვავება? შეყვანილია კოორდინატები. რატომ მაშინ მეტრიკა? არის განსხვავება და ძალიან მნიშვნელოვანი. კოორდინატთა სისტემების არჩევანი გარკვეულ თავისუფლებას გულისხმობს. IN დეკარტის სისტემებიცულებად ვიყენებთ სწორ ხაზებს. მაგრამ ჩვენ ასევე შეგვიძლია გამოვიყენოთ მოსახვევები? შეუძლია. და ყველა სახის გრეხილიც. შეგვიძლია გავზომოთ მანძილი ასეთი ხაზებით? რა თქმა უნდა. მანძილის გაზომვა, სიგრძე ხაზის გასწვრივ არ არის დაკავშირებული იმასთან, თუ რა სახის ხაზია. მოსახვევ ბილიკს ასევე აქვს სიგრძე და მასზე შეიძლება განთავსდეს მილის ბოძები. მაგრამ ევკლიდეს სივრცეში მეტრიკა არ არის თვითნებური მანძილი. ეს არის ორი წერტილის დამაკავშირებელი სწორი ხაზის სიგრძე. პირდაპირი. რა არის ეს? რომელი ხაზია სწორი და რომელი მრუდი? სასკოლო კურსებში სწორი ხაზები აქსიომაა. ჩვენ მათ ვხედავთ და მივიღებთ იდეას. მაგრამ ზოგადად გეომეტრიაში, სწორი ხაზები (თვითონ ეს არის სახელი, ეტიკეტი, მეტი არაფერი!) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ორი წერტილის დამაკავშირებელ ყველა შესაძლო ხაზს შორის. კერძოდ, როგორც უმოკლეს, რომელსაც აქვს ყველაზე მოკლე სიგრძე. (ზოგიერთ შემთხვევაში, ზოგიერთი მათემატიკური სივრცისთვის, პირიქით, ყველაზე გრძელი, რომელსაც აქვს უდიდესი სიგრძე.) როგორც ჩანს, ჩვენ გავიგეთ განსხვავება მეტრულ და თვითნებურ მანძილს შორის ორ წერტილს შორის. ასე არ არის. არასწორი გზა ავიღეთ. დიახ, ეს ასეა, სწორი ხაზები ყველაზე მოკლეა ევკლიდეს სივრცეში. მაგრამ მეტრიკა არ არის მხოლოდ უმოკლესი გზის სიგრძე. არა. ეს მისი მეორეხარისხოვანი საკუთრებაა. ევკლიდეს სივრცეში მეტრიკა არ არის მხოლოდ მანძილი ორ წერტილს შორის. მეტრიკა, პირველ რიგში, პითაგორას თეორემის გამოსახულებაა. თეორემა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მანძილი ორ წერტილს შორის, თუ იცით მათი კოორდინატები და ორი სხვა მანძილი. უფრო მეტიც, ის გამოითვლება ძალიან კონკრეტულად, როგორც კოორდინატთა მანძილების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი. ევკლიდეს მეტრიკა არ არის კოორდინატთა მანძილების წრფივი ფორმა, არამედ კვადრატული!მხოლოდ ევკლიდეს სიბრტყის სპეციფიკური თვისებები ხდის ასე მარტივს მეტრიკის კავშირს უმოკლეს ბილიკებთან დამაკავშირებელ წერტილებთან. დისტანციები ყოველთვის არის გადაადგილების ხაზოვანი ფუნქციები ბილიკზე. მეტრიკა არის ამ გადაადგილების კვადრატული ფუნქცია. და აქ არის ფუნდამენტური განსხვავება მეტრულ და ინტუიციურად გააზრებულ მანძილს შორის, როგორც წერტილიდან გადაადგილების წრფივი ფუნქცია. უფრო მეტიც, ჩვენთვის ზოგადად მანძილი პირდაპირ არის დაკავშირებული თავად გადაადგილებასთან.

რატომ, რატომ არის დედამიწაზე კვადრატული გადაადგილების ფუნქცია ასე მნიშვნელოვანი? და აქვს თუ არა მას უფლება ეწოდოს მანძილი ყველა გაგებითეს სიტყვა? თუ ეს მხოლოდ ევკლიდური სივრცის საკმაოდ სპეციფიკური თვისებაა (კარგად, ან ევკლიდესთან ახლოს მდებარე სივრცეების ზოგიერთი ოჯახი)?

გადავდგათ პატარა ნაბიჯი გვერდზე და უფრო დეტალურად ვისაუბროთ საზომი ერთეულების თვისებებზე. ვკითხოთ საკუთარ თავს: როგორი უნდა იყვნენ მმართველები, რათა შეძლონ ფურცელზე კოორდინატთა ბადის დახატვა? მყარი, მკაცრი და უცვლელი, თქვენ ამბობთ. და რატომ "მმართველები"? ერთი საკმარისია! მართალია, თუ მისი სურვილისამებრ შეიძლება შემოტრიალდეს ქაღალდის სიბრტყეში და გადაადგილება მის გასწვრივ. შენიშნე "თუ"? დიახ, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა გამოვიყენოთ ასეთი სახაზავი თვითმფრინავთან მიმართებაში. მმართველი თავისთავად არის, თვითმფრინავი თავისთავად, მაგრამ თვითმფრინავი გვაძლევს საშუალებას, ჩვენი მმართველი საკუთარ თავს „მიამაგროს“. რაც შეეხება სფერულ ზედაპირს? როგორც არ უნდა წაისვათ, ყველაფერი ზედაპირის მიღმა იშლება. მე უბრალოდ მინდა მისი მოღუნვა, უარი თქვას მის სიმტკიცეზე და სიმტკიცეზე. მოდით დავტოვოთ ეს აზრი ახლა. მეტი რა გვინდა ხაზისგან? სიხისტე და სიმტკიცე რეალურად სხვა რამეს გულისხმობს, ჩვენთვის ბევრად უფრო მნიშვნელოვანს გაზომვების მიღებისას - არჩეული სახაზავის უცვლელობის გარანტია. ჩვენ გვინდა გავზომოთ იგივე მასშტაბით. რატომ არის ეს საჭირო? როგორ რატომ?! რომ შეძლოთ გაზომვის შედეგების შედარება სიბრტყეში ყველგან. როგორც არ უნდა მოვატრიალოთ სახაზავი, როგორ გადავცვალოთ, მისი ზოგიერთი თვისება, სიგრძე გარანტირებული უნდა იყოს უცვლელი. სიგრძე არის მანძილი ორ წერტილს შორის (სწორ ხაზზე) სახაზავზე. ძალიან ჰგავს მეტრულს. მაგრამ მეტრიკა არის შემოტანილი (ან არსებობს) სიბრტყეში, სიბრტყის წერტილებისთვის და რა შუაშია მას მმართველი? და მიუხედავად იმისა, რომ მეტრიკა არის ზუსტად აბსტრაქტული მმართველის მუდმივი სიგრძის გამოსახულება, რომელიც მიღწეულია მის ლოგიკურ დასასრულამდე, ამოღებული ყველაზე გარე მმართველიდან და მინიჭებული სიბრტყის თითოეულ წერტილზე..

მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენი მმართველები ყოველთვის გარე ობიექტები არიან იმ დისტანციებზე, რომლებსაც ისინი ზომავენ სიბრტყეზე, ჩვენ ასევე ვფიქრობთ მათ, როგორც სიბრტყის შიდა სასწორებს. შესაბამისად, საუბარია როგორც გარე, ისე შინაგანი მმართველების ზოგად საკუთრებაზე. და ეს თვისება არის ორი ძირითადიდან ერთ-ერთი - სიდიდე, რაც მასშტაბს აქცევს საზომ ერთეულად (მასშტაბის მეორე თვისება არის მიმართულება). ევკლიდური სივრცისთვის ეს თვისება, როგორც ჩანს, დამოუკიდებელია მმართველის მიმართულებისა და მისი პოზიციისგან (სივრცის წერტილიდან). ამ დამოუკიდებლობის გამოხატვის ორი გზა არსებობს. პირველი მეთოდი, საგნების პასიური ხედვა, საუბრობს რაოდენობის უცვლელობაზე, მის ერთგვაროვნებაზე დასაშვები კოორდინატების თვითნებური არჩევანის პირობებში. მეორე მეთოდი, აქტიური მზერა, საუბრობს უცვლელობაზე ტრანსლაციისა და ბრუნვის დროს, წერტილიდან წერტილამდე აშკარა გადასვლის შედეგად. ეს მეთოდები არ არის ერთმანეთის ექვივალენტური. პირველი უბრალოდ ფორმალიზებაა იმ განცხადების შესახებ, რომ რაოდენობა, რომელიც არსებობს მოცემულ ადგილას (წერტილში) არის იგივე, განურჩევლად თვალსაზრისისა. მეორე ასევე ამბობს, რომ სხვადასხვა წერტილში რაოდენობების მნიშვნელობები იგივეა. ცხადია, ეს ბევრად უფრო ძლიერი განცხადებაა.

მოდით ვისაუბროთ ახლა მასშტაბის მნიშვნელობის უცვლელობაზე კოორდინატების თვითნებური არჩევანისთვის. უი! როგორ არის ეს? წერტილებისთვის კოორდინატების მინიჭებისთვის, თქვენ უკვე გჭირდებათ სასწორები. იმათ. სწორედ ეს ხაზი. რა არის სხვა კოორდინატები? სხვა ხაზები? სინამდვილეში, ეს არის ზუსტად ის, რაც არის! მაგრამ! ის ფაქტი, რომ ევკლიდეს სიბრტყეში ჩვენ შეგვიძლია მოვატრიალოთ ჩვენი მმართველი იმ წერტილში, როგორც ჩვენ გვინდა, ქმნის იერს, რომ კოორდინატები შეიძლება შეიცვალოს მმართველის შეცვლის გარეშე.ეს ილუზიაა, მაგრამ ისეთი სასიამოვნო ილუზია! როგორ მიჩვეულები ვართ! ჩვენ ყოველთვის ვამბობთ - მობრუნებული კოორდინატთა სისტემა. და ეს ილუზია ემყარება ევკლიდეს სიბრტყეში მასშტაბის გარკვეულ პოსტულირებული თვისებას - მისი „სიგრძის“ უცვლელობას თვითნებური ბრუნვისას წერტილში, ე.ი. მასშტაბის მეორე თვისების, მიმართულების თვითნებური ცვლილებით. და ეს თვისება ხდება ევკლიდეს სიბრტყის ნებისმიერ წერტილში. მასშტაბს ყველგან აქვს "სიგრძე", რომელიც არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა ღერძების მიმართულებების ლოკალურ არჩევანზე. ეს არის ევკლიდური სივრცის პოსტულატი. და როგორ განვსაზღვროთ ეს სიგრძე? კოორდინატთა სისტემაში, რომელშიც შერჩეული მასშტაბი არის გაზომვის ერთეული ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ, ჩვენ განვსაზღვრავთ მას ძალიან მარტივად - ეს არის იგივე ერთეული. და კოორდინატულ სისტემაში (მართკუთხა), რომელშიც შერჩეული მასშტაბი არცერთ ღერძს არ ემთხვევა? პითაგორას თეორემის გამოყენება. თეორემები თეორემებია, მაგრამ აქ არის პატარა მოტყუება. სინამდვილეში, ამ თეორემამ უნდა შეცვალოს ევკლიდეს მიერ ჩამოყალიბებული ზოგიერთი აქსიომა. ის მათ ექვივალენტურია. და გეომეტრიის შემდგომი განზოგადებით (მაგალითად, თვითნებური ზედაპირებისთვის), ისინი ეყრდნობიან ზუსტად მასშტაბის სიგრძის გამოთვლის მეთოდს. სინამდვილეში, ეს მეთოდი აქსიომების კატეგორიაში გადადის.

ახლა გავიმეოროთ რაღაც, რაც გეომეტრიის საფუძველშია, რაც საშუალებას გვაძლევს მივცეთ კოორდინატები სიბრტყის წერტილებს.

საუბარია საზომ ერთეულზე, სასწორზე. მასშტაბი არსებობს ნებისმიერ წერტილში. მას აქვს სიდიდე - "სიგრძე" და მიმართულება. სიგრძე უცვლელია (არ იცვლება), როდესაც მიმართულება იცვლება წერტილში. ევკლიდეს სივრცეში მართკუთხა კოორდინატებში, წერტილიდან თვითნებურად მიმართული შკალის სიგრძის კვადრატი უდრის ღერძზე მისი პროექციის კვადრატების ჯამს. ამ გეომეტრიულ სიდიდეს ვექტორსაც უწოდებენ. ასე რომ, მასშტაბი არის ვექტორი. და ვექტორის "სიგრძეს" ნორმასაც უწოდებენ. ჯარიმა. მაგრამ სად არის მეტრიკა აქ? ა მეტრიკაამ მიდგომით არსებობს ნებისმიერი ვექტორისთვის ნორმის მინიჭების გზა ყველა წერტილში, ამ ნორმის გამოთვლის მეთოდი ამ ვექტორის თვითნებური პოზიციისთვის იმ ვექტორებთან მიმართებაში, რომლებიც ქმნიან ფუძეს, მითითების წერტილს(ისინი, რომლებიც განსაზღვრავენ კოორდინატთა ღერძების მიმართულებებს მოცემული წერტილიდან და აქვთ განსაზღვრებით ერთეული ნორმა, ანუ საზომი ერთეულები). ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ ეს მეთოდი განისაზღვროს სივრცის თითოეული წერტილისთვის (სიბრტყეში ამ შემთხვევაში). ამრიგად, ის ამ სივრცისა და მისი შიდა ვექტორების საკუთრებაა და არა სივრცის გარე ობიექტების.

მაპატიეთ, მაგრამ უკვე თავიდანვე მივეცით მეტრიკული სივრცეების განმარტება. რატომ ახალი განმარტება? და ეთანხმება თუ არა ძველს? მაგრამ რატომ. აქ ჩვენ მივუთითეთ, თუ როგორ არის ზუსტად დაყენებული და განსაზღვრული ეს რეალური რიცხვი. კერძოდ, წერტილებს შორის მანძილი უდრის „სიგრძის“, ამ წერტილების დამაკავშირებელი ვექტორის ნორმას (ევკლიდეს სივრცეში). ის, რომ ვექტორს აქვს გარკვეული ნორმა, მასზე არსებული თვალსაზრისისაგან დამოუკიდებელი (საცნობარო წერტილის არჩევანი) არის ვექტორის განმარტება. ყველაზე მნიშვნელოვანი პირობა, რომელიც ქმნის სივრცის მეტრულს, არის მოთხოვნა, რომ მოცემული ნორმის მქონე ვექტორები არსებობდნენ სივრცის ყველა წერტილში ყველა მიმართულებით. და ეს განმარტება საკმაოდ შეესაბამება დასაწყისში მოცემულს. შესაძლებელია თუ არა მეტრიკის განსაზღვრა გარკვეულ სივრცეზე სხვაგვარად? პრინციპში, ეს შესაძლებელია. და კიდევ მრავალი თვალსაზრისით. მხოლოდ ეს იქნება სივრცეების სრულიად განსხვავებული კლასები, რომლებიც არ მოიცავს ევკლიდეს სივრცეს თუნდაც განსაკუთრებულ შემთხვევას.

რატომ არის ევკლიდეს სივრცე ჩვენთვის განსაკუთრებული? აბა, როგორია? ერთი შეხედვით, სწორედ ეს თვისებები აქვს იმ სივრცეს, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ. დიახ, უფრო მჭიდრო შემოწმების შემდეგ, ასე არ არის. მაგრამ არის განსხვავება „არც ასე“ და „არც ასე“ შორის?! მიუხედავად იმისა, რომ სიტყვების ნაკრები იგივეა. ასე რომ, ჩვენი სივრცე-დრო, თუ არა ევკლიდური, მაშინ გარკვეულ პირობებში შეიძლება ძალიან ახლოს იყოს მასთან. შესაბამისად, ჩვენ უნდა ავირჩიოთ სივრცეთა ოჯახიდან, რომლებშიც არსებობს ევკლიდური სივრცე. სწორედ ამას ვაკეთებთ. მაგრამ მაინც, რა არის განსაკუთრებული ევკლიდეს სივრცეში, რომელიც გამოიხატება მისი მეტრიკის გარკვეულ თვისებებში? საკმაოდ ბევრი თვისებაა, მათი უმეტესობა ზემოთ უკვე აღინიშნა. შევეცდები საკმაოდ კომპაქტურად ჩამოვაყალიბო ეს ფუნქცია. ევკლიდური სივრცე ისეთია, რომ შესაძლებელია სკალების არჩევა (ანუ კოორდინატების შეყვანა) ისე, რომ იგი მთლიანად შეივსოს მართკუთხა კოორდინატთა ბადით. შესაძლოა, ეს არის მაშინ, როდესაც მეტრიკა სივრცის თითოეულ წერტილში იგივეა. არსებითად, ეს ნიშნავს, რომ ამისათვის საჭირო სასწორები არსებობს სივრცის ყველა წერტილში და ისინი ყველა იდენტურია ერთის. მთელი სივრცისთვის საკმარისია ერთი სახაზავი, რომელიც შეიძლება გადავიდეს ნებისმიერ წერტილში (აქტიური გაგებით) მისი სიდიდისა და მიმართულების შეცვლის გარეშე.

ზემოთ მე დავსვი კითხვა, რატომ არის მეტრიკა გადაადგილების კვადრატული ფუნქცია. ჯერჯერობით უპასუხოდ რჩება. ჩვენ აუცილებლად მივალთ კიდევ ერთხელ. ახლა გააკეთე შენიშვნა მომავლისთვის - მეტრიკა სივრცეების ოჯახში, რომელიც ჩვენ გვჭირდება, არის რაოდენობის უცვლელი კოორდინატთა გარდაქმნების პირობებში. ჩვენ აქამდე ვისაუბრეთ დეკარტის კოორდინატებზე, მაგრამ აქვე ხაზგასმით აღვნიშნავ, რომ ეს ასეა ნებისმიერ კოორდინატთა გარდაქმნაზე, რომელიც დასაშვებია მოცემული სივრცის მოცემულ წერტილში. სიდიდეს, რომელიც უცვლელია (არ იცვლება) კოორდინატთა გარდაქმნების დროს, გეომეტრიაში კიდევ ერთი განსაკუთრებული სახელი აქვს - სკალარი. შეხედე რამდენი სახელია ერთი და იგივეს - მუდმივი, უცვლელი, სკალარული...იქნებ სხვა რამეა, მაშინვე არ მოსდის აზრად. ეს მეტყველებს თავად კონცეფციის მნიშვნელობაზე. ასე რომ, მეტრიკა არის სკალარული გარკვეული გაგებით. რა თქმა უნდა, არსებობს სხვა სკალარები გეომეტრიაში.

რატომ "გარკვეული გაგებით"? რადგან მეტრიკის ცნება მოიცავს ორ წერტილს და არა ერთს! და ვექტორი დაკავშირებულია (განსაზღვრული) მხოლოდ ერთი წერტილით. გამოდის, რომ შეცდომაში შეგიყვანე? არა, უბრალოდ არ მითქვამს ყველაფერი, რაც უნდა ითქვას. მაგრამ უნდა ითქვას, რომ მეტრიკა არის არა თვითნებური ვექტორის, არამედ მხოლოდ უსასრულო მცირე გადაადგილების ვექტორის ნორმა მოცემული წერტილიდან თვითნებური მიმართულებით. როდესაც ეს ნორმა არ არის დამოკიდებული წერტილიდან გადაადგილების მიმართულებაზე, მაშინ მისი სკალარული მნიშვნელობა შეიძლება ჩაითვალოს მხოლოდ ამ ერთი წერტილის თვისებად. ამასთან, ის კვლავ რჩება ნებისმიერი სხვა ვექტორის ნორმის გამოთვლის წესად. მოსწონს ეს.

რაღაც არ ჯდება... ნორმები განსხვავებულია სხვადასხვა ვექტორისთვის! და მეტრიკა არის სკალარული, მნიშვნელობა იგივეა. წინააღმდეგობა!

არანაირი წინააღმდეგობა არ არის. გარკვევით ვთქვი - გაანგარიშების წესი. ყველა ვექტორისთვის. და თავად კონკრეტული მნიშვნელობა, რომელსაც ასევე უწოდებენ მეტრულს, გამოითვლება ამ წესის მიხედვით მხოლოდ ერთი ვექტორისთვის, გადაადგილებისთვის. ჩვენი ენა მიჩვეულია თავისუფლებებს, გამოტოვებებს, შემოკლებებს... ასე რომ, ჩვენ მიჩვეულები ვართ, როგორც სკალარი, ასევე მისი გამოთვლის წესს მეტრიკა ვუწოდოთ. სინამდვილეში, ეს თითქმის იგივეა. თითქმის, მაგრამ არა მთლად. ჯერ კიდევ მნიშვნელოვანია დავინახოთ განსხვავება წესსა და მისი დახმარებით მიღებულ შედეგს შორის. რა არის უფრო მნიშვნელოვანი - წესი თუ შედეგი? უცნაურად საკმარისია, ამ შემთხვევაში, წესი... ამიტომ, გეომეტრიასა და ფიზიკაში ბევრად უფრო ხშირად, როცა მეტრიკაზე საუბრობენ, წესს გულისხმობენ. მხოლოდ ძალიან ჯიუტი მათემატიკოსები ურჩევნიათ მკაცრად ისაუბრონ შედეგზე. და ამის მიზეზები არსებობს, მაგრამ უფრო მეტი მათ შესახებ სხვაგან.

აქვე მინდა აღვნიშნო, რომ პრეზენტაციის უფრო ჩვეული ფორმით, როდესაც ცნებები იღება საფუძვლად ვექტორული სივრცეები, მეტრიკა შემოღებულია, როგორც ყველა საფუძვლისა და საცნობარო ვექტორის სკალარული წყვილთა ნამრავლი. ამ შემთხვევაში ვექტორების სკალარული ნამრავლი წინასწარ უნდა განისაზღვროს. და იმ გზაზე, რომელსაც აქ გავყევი, ეს არის მეტრული ტენზორის არსებობა სივრცეში, რომელიც საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ და განვსაზღვროთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი. აქ მეტრიკა არის პირველადი, მისი არსებობა საშუალებას გვაძლევს წარმოვიდგინოთ სკალარული პროდუქტი, როგორც ორი განსხვავებული ვექტორის დამაკავშირებელი ერთგვარი ინვარიანტული. თუ სკალარი გამოითვლება მეტრიკის გამოყენებით იმავე ვექტორისთვის, მაშინ ეს უბრალოდ მისი ნორმაა. თუ ეს სკალარი გამოითვლება ორი განსხვავებული ვექტორისთვის, მაშინ ეს არის მათი წერტილოვანი ნამრავლი. თუ ეს ასევე უსასრულო ვექტორის ნორმაა, მაშინ სავსებით მისაღებია მას უბრალოდ მეტრიკა ვუწოდოთ მოცემულ წერტილში.

და რა შეგვიძლია ვთქვათ მეტრულზე, როგორც წესი? აქ მოგვიწევს ფორმულების გამოყენება. კოორდინატები ღერძის რიცხვის გასწვრივ აღვნიშნოთ x i-დ. და გადაადგილება მოცემული წერტილიდან მეზობელზე dx i. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კოორდინატები არ არის ვექტორი! და გადაადგილება მხოლოდ ვექტორია! ასეთ ნოტაციაში, მეტრიკული „მანძილი“ მოცემულ წერტილსა და მეზობელს შორის, პითაგორას თეორემის მიხედვით, გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით.

ds 2 = g ik dx i dx k

აქ მარცხნივ არის მეტრულ „მანძილის“ კვადრატი წერტილებს შორის, „კოორდინატი“ (ანუ თითოეული ინდივიდუალური კოორდინატთა ხაზის გასწვრივ) მანძილი, რომელთა შორისაც მითითებულია გადაადგილების ვექტორი dx i. მარჯვნივ არის ჯამი გადაადგილების ვექტორის კომპონენტების ყველა წყვილი ნამრავლის დამთხვევის ინდექსებზე შესაბამისი კოეფიციენტებით. და მათი ცხრილი, კოეფიციენტების მატრიცა g ik, რომელიც ადგენს გამოთვლის წესს მეტრულ სტანდარტს, ეწოდება მეტრულ ტენსორს. და სწორედ ამ ტენსორს უწოდებენ უმეტეს შემთხვევაში მეტრულს. ტერმინი "" აქ ძალიან მნიშვნელოვანია. და ეს ნიშნავს, რომ სხვა კოორდინატულ სისტემაში, ზემოთ დაწერილი ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ცხრილი შეიცავს სხვა (ზოგად შემთხვევაში) კოეფიციენტებს, რომლებიც გამოითვლება მკაცრად განსაზღვრული გზით ამ და კოორდინირებული კონვერტაციის კოეფიციენტებით. ევკლიდური სივრცე ხასიათდება იმით, რომ დეკარტის კოორდინატებში ამ ტენზორის ფორმა უკიდურესად მარტივია და ერთნაირია ნებისმიერ დეკარტის კოორდინატებში. მატრიცა g ik შეიცავს მხოლოდ ერთს დიაგონალზე (i=k-სთვის), ხოლო დარჩენილი რიცხვები არის ნულები. თუ არაკარტეზიული კოორდინატები გამოიყენება ევკლიდეს სივრცეში, მაშინ მატრიცა მათში არც ისე მარტივად გამოიყურება.

ასე რომ, ჩვენ დავწერეთ წესი, რომელიც განსაზღვრავს მეტრულ „მანძილს“ ორ წერტილს შორის ევკლიდეს სივრცეში. ეს წესი დაწერილია ორი თვითნებურად ახლო წერტილისთვის. ევკლიდეს სივრცეში, ე.ი. მასში, რომელშიც მეტრული ტენსორი შეიძლება იყოს დიაგონალური ერთეულებთან დიაგონალზე ზოგიერთ კოორდინატულ სისტემაში თითოეულ წერტილში, არ არსებობს ფუნდამენტური განსხვავება სასრულ და უსასრულოდ მცირე გადაადგილების ვექტორებს შორის. მაგრამ ჩვენ უფრო მეტად გვაინტერესებს რიმანის სივრცეები (როგორიცაა ბურთის ზედაპირი, მაგალითად), სადაც ეს განსხვავება მნიშვნელოვანია. ასე რომ, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მეტრული ტენსორი ზოგადად არ არის დიაგონალური და იცვლება სივრცეში წერტილიდან წერტილამდე გადაადგილებისას. მაგრამ მისი გამოყენების შედეგი, ds 2, რჩება თითოეულ წერტილში დამოუკიდებლად გადაადგილების მიმართულებისა და თავად წერტილის არჩევისგან. ეს არის ძალიან მკაცრი პირობა (ნაკლებად მკაცრი, ვიდრე ევკლიდეს პირობა) და სწორედ მაშინ, როდესაც ეს სრულდება, სივრცეს რიმანის უწოდებენ.

ალბათ შეგიმჩნევიათ, რომ ხშირად ბრჭყალებში ვსვამ სიტყვებს „სიგრძე“ და მანძილი“. ამიტომ ვაკეთებ ამას. სიბრტყისა და სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის შემთხვევაში, მეტრიკული „მანძილი“ და „სიგრძე“, როგორც ჩანს, ზუსტად იგივეა, რაც ჩვეულებრივი მანძილები, რომლებიც გაზომილია მმართველებით. უფრო მეტიც, ეს ცნებები დაინერგა გაზომვის შედეგებთან მუშაობის ფორმალიზებისთვის. რატომ მაშინ "როგორც ჩანს, ემთხვევა"? სასაცილოა, მაგრამ ეს ზუსტად ის შემთხვევაა, როცა მათემატიკოსებმა ჭუჭყიან (არ სჭირდებოდათ) წყალთან ერთად ბავშვი აბანოდან გამოაგდეს. არა, მათ რაღაც დატოვეს, მაგრამ რაც დარჩა, აღარ იყო ბავშვი (დისტანცია). ამის დანახვა ადვილია თუნდაც ევკლიდეს სიბრტყის მაგალითის გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რომ მეტრული „მანძილი“ არ არის დამოკიდებული დეკარტის (და არა მხოლოდ) კოორდინატების არჩევანზე, ვთქვათ, ფურცელზე. მოდით ზოგიერთ კოორდინატში ეს მანძილი ორ წერტილს შორის კოორდინატთა ღერძზე იყოს 10-ის ტოლი. შესაძლებელია თუ არა სხვა კოორდინატების მითითება, რომლებშიც იმავე წერტილებს შორის მანძილი 1-ის ტოლი იქნება? პრობლემა არ არის. უბრალოდ აკრიფეთ როგორც ერთეული იმავე ღერძების გასწვრივ ახალი ერთეული, რომელიც უდრის 10 წინას. შეიცვალა თუ არა ევკლიდური სივრცე ამის გამო? რაშია საქმე? მაგრამ ფაქტია, რომ როცა რაღაცას ვზომავთ, რიცხვის ცოდნა საკმარისი არ არის. ჩვენ ასევე უნდა ვიცოდეთ რა ერთეულები იქნა გამოყენებული ამ რიცხვის მისაღებად. მათემატიკა დღეს ყველასთვის ნაცნობი ფორმით ამით არ არის დაინტერესებული. ის მხოლოდ ციფრებს ეხება. საზომი ერთეულების არჩევანი გაკეთდა მათემატიკის გამოყენებამდე და აღარ უნდა შეიცვალოს!მაგრამ ჩვენი მანძილი და სიგრძე სასწორების მითითების გარეშე არაფერს გვეუბნება! მათემატიკა არ აინტერესებს. რაც შეეხება მეტრულ „დისტანციას“, მისი ფორმალური გამოყენება გულგრილია მასშტაბის არჩევის მიმართ. მეტრიც კი, ფატომიც კი. მხოლოდ ციფრებს აქვს მნიშვნელობა. ამიტომაც დავდე ბრჭყალები. იცი რომელი? გვერდითი ეფექტიაქვს ასეთი მიდგომა რიმანის სივრცეების მათემატიკაში? აი რა არის. აზრი არ აქვს მასშტაბის ცვლილების განხილვას წერტილიდან წერტილამდე. მხოლოდ მისი მიმართულების ცვლილება. და ეს იმისდა მიუხედავად, რომ ამგვარ გეომეტრიაში კოორდინატთა გარდაქმნების გამოყენებით მასშტაბების შეცვლა საკმაოდ ჩვეულებრივი რამ არის. შესაძლებელია თუ არა გეომეტრიაში მთლიანობაში მასშტაბების თვისებების თანმიმდევრული გათვალისწინება?შეუძლია. მხოლოდ ამისათვის თქვენ მოგიწევთ მრავალი კონვენციის წაშლა და ისწავლოთ ნივთებს მათი სახელის დარქმევა.ერთ-ერთი პირველი ნაბიჯი იქნება იმის გაცნობიერება, რომ არცერთი მეტრიკა არ არის არსებითად მანძილი და არ შეიძლება იყოს. მას, რა თქმა უნდა, აქვს ფიზიკური მნიშვნელობადა ამაში ძალიან მნიშვნელოვანი. მაგრამ განსხვავებული.

ფიზიკაში მეტრიკის როლზე ყურადღება მიიპყრო ფარდობითობის თეორიების მოსვლასთან ერთად - ჯერ სპეციალური, შემდეგ ზოგადი, რომელშიც მეტრიკა გახდა თეორიის ცენტრალური სტრუქტურა. ფარდობითობის სპეციალური თეორია ჩამოყალიბდა იმის საფუძველზე, რომ სამგანზომილებიანი მანძილი არ არის სკალარული ინერციული ფიზიკური საცნობარო სისტემების სიმრავლის თვალსაზრისით, რომლებიც მოძრაობენ ერთმანეთთან შედარებით ერთნაირად და სწორხაზოვნად. კიდევ ერთი რაოდენობა აღმოჩნდა სკალარი, ინვარიანტული, რომელსაც ეწოდა ინტერვალი. ინტერვალი მოვლენებს შორის. და მისი მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ დროის ინტერვალი ამ მოვლენებს შორის. უფრო მეტიც, აღმოჩნდა, რომ მეტრიკის გამოთვლის წესი (და ინტერვალი მაშინვე დაიწყო განხილვა, როგორც მეტრიკა ერთიან სივრცე-დროში, მოვლენათა სივრცეში) განსხვავდება ჩვეულებრივი ევკლიდურისგან. სამგანზომილებიანი სივრცე. მსგავსი, მაგრამ ცოტა განსხვავებული. წარმოდგენილია ოთხი განზომილების შესაბამისი მეტრული სივრცე ჰერმან მინკოვსკი, დაიწყო გამოძახება. სწორედ მინკოვსკის ნაშრომმა მიიპყრო ფიზიკოსების, მათ შორის აინშტაინის, ყურადღება მეტრიკის, როგორც ფიზიკური სიდიდის, და არა მხოლოდ მათემატიკური ცნების მნიშვნელობაზე.

ფარდობითობის ზოგადი თეორია ასევე ითვალისწინებდა ერთმანეთთან შედარებით აჩქარებულ ფიზიკურ საცნობარო სისტემებს. და ამრიგად, მან შეძლო გრავიტაციული ფენომენების აღწერა ახალ დონეზე ნიუტონის თეორიასთან მიმართებაში. მან შეძლო ამის მიღწევა ფიზიკურ ველს კონკრეტულად მეტრიკას - მნიშვნელობასაც და წესსაც, მეტრულ ტენსორს. ამავე დროს, ის იყენებს რიმანის სივრცის მათემატიკურ კონსტრუქციას, როგორც სივრცე-დროის გამოსახულებას. ჩვენ ძალიან შორს არ წავალთ ამ თეორიის დეტალებში. სხვა საკითხებთან ერთად, ეს თეორია ამბობს, რომ სამყაროს (სივრცე-დრო), რომელშიც არის მასიური სხეულები, ანუ სხეულები, რომლებიც იზიდავენ ერთმანეთს, აქვს მეტრიკა, რომელიც განსხვავდება ჩვენთვის სასიამოვნო ევკლიდეს მეტრიკისგან. ქვემოთ მოყვანილი ყველა განცხადება ექვივალენტურია:

ფიზიკური განცხადება. მასის მქონე წერტილოვანი სხეულები იზიდავენ ერთმანეთს.

სივრცე-დროში, რომელშიც არის მასიური სხეულები, შეუძლებელია ყველგან ხისტი მართკუთხა ბადის შემოღება. არ არსებობს საზომი ხელსაწყოები, რომლებიც ამის საშუალებას იძლევა. ყოველთვის, რაც არ უნდა მცირე იყოს, მიღებული ბადის „უჯრედები“ იქნება მრუდი ოთხკუთხედები.

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მასშტაბი იგივე მნიშვნელობით (ნორმა) მთელი სივრცე-დროისთვის. ნებისმიერი ასეთი მასშტაბი შეიძლება გადავიდეს მისი წერტილიდან ნებისმიერ სხვა წერტილში და შევადაროთ იქ უკვე არსებულს. მაგრამ! მაშინაც კი, თუ გადაადგილება უსასრულოდ მცირეა, შედარებული მასშტაბების მიმართულებები ზოგადად არ ემთხვევა. რაც უფრო ძლიერია, მით უფრო ახლოს არის სასწორი მასის მქონე სხეულთან და მით უფრო დიდია ეს იგივე მასა. მხოლოდ იქ, სადაც მასები არ არის (თუმცა, აქ არის თქვენთვის შეკითხვა - რაც შეეხება თავად სასწორებს?) მიმართულებები დაემთხვევა.

სივრცე-დროის რეგიონში, რომელიც შეიცავს მასიურ სხეულებს, არ არსებობს ისეთი კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც მეტრული ტენსორი თითოეულ წერტილში წარმოდგენილია მატრიცით, რომელიც ყველგან ნულის ტოლია, გარდა დიაგონალისა, რომელზეც ისინი მდებარეობს.

განსხვავება მეტრულსა და ევკლიდეს შორის არის გრავიტაციული ველის (გრავიტაციული ველის) არსებობის გამოვლინება. უფრო მეტიც, მეტრული ტენზორის ველი არის გრავიტაციული ველი.

კიდევ ბევრი მსგავსი განცხადების მოყვანა შეიძლება, მაგრამ ახლა მინდა ბოლოზე გავამახვილო თქვენი ყურადღება. გამრუდება. ეს არის ის, რაც ჩვენ ჯერ არ გვისაუბრია. რა კავშირი აქვს მას მეტრიკასთან? ზოგადად - არცერთი! უფრო ზოგადი ცნებაა, ვიდრე მეტრიკა. რა გაგებით?

რიმანის სივრცეების ოჯახი, რომელიც ასევე მოიცავს ევკლიდეს სივრცეებს, თავისთავად უფრო ზოგადი ოჯახის ნაწილია. ეს სივრცეები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ გულისხმობს ისეთი რაოდენობის არსებობას, როგორიცაა მეტრიკა მისი თითოეული წყვილი წერტილისთვის. მაგრამ მათი აუცილებელი თვისება არის ერთმანეთთან დაკავშირებული ორი სხვა სტრუქტურის არსებობა - აფინური კავშირი და გამრუდება. და მხოლოდ მრუდის (ან კავშირის) გარკვეულ პირობებში არსებობს მეტრიკა ასეთ სივრცეებში. მაშინ ამ სივრცეებს ​​რიმანის უწოდებენ. რიმანის ნებისმიერ სივრცეს აქვს კავშირი და გამრუდება. მაგრამ არა პირიქით.

მაგრამ ასევე არ შეიძლება ითქვას, რომ მეტრიკა მეორეხარისხოვანია კავშირის ან გამრუდების მიმართ. არა. მეტრიკის არსებობა არის კავშირის გარკვეული თვისებების და, შესაბამისად, გამრუდების განცხადება. ფარდობითობის ფარდობითობის სტანდარტულ ინტერპრეტაციაში მეტრიკა განიხილება, როგორც უფრო მნიშვნელოვანი სტრუქტურა, რომელიც ქმნის თეორიის ფორმას. და აფინური კავშირი და გამრუდება მეორეხარისხოვანი აღმოჩნდება, მეტრიკიდან გამომდინარე. ეს ინტერპრეტაცია ჩამოაყალიბა აინშტაინმა იმ დროს, როდესაც მათემატიკას ჯერ კიდევ არ ჰქონდა განვითარებული საკმარისად მოწინავე და თანმიმდევრული გაგება სტრუქტურების მნიშვნელობის იერარქიის შესახებ, რომლებიც განსაზღვრავენ ევკლიდესამდე მიმავალი სივრცეების ოჯახის თვისებებს. GTR აპარატის შექმნის შემდეგ, უპირველეს ყოვლისა, Weyl-ისა და Schouten-ის (არა მხოლოდ მათი, რა თქმა უნდა) ნამუშევრებით, განვითარდა აფინური კავშირის სივრცეების მათემატიკა. სინამდვილეში, ეს ნამუშევარი სტიმული იყო ფარდობითობის ზოგადი თეორიის გაჩენით. როგორც ხედავთ, ზოგად ფარდობითობაში სტრუქტურების მნიშვნელობის კანონიკური ინტერპრეტაცია არ ემთხვევა მათემატიკის ამჟამინდელ შეხედულებას მათ ურთიერთობაზე. ეს კანონიკური ინტერპრეტაცია სხვა არაფერია, თუ არა გარკვეული მათემატიკური სტრუქტურების იდენტიფიცირება ფიზიკურ ველებთან. მათთვის ფიზიკური მნიშვნელობის მინიჭება.

ფარდობითობის ზოგად თეორიაში არსებობს სივრცე-დროის აღწერის ორი გეგმა. პირველი მათგანი არის თავად სივრცე-დრო, როგორც მოვლენათა სივრცე. მოვლენები, რომლებიც განუწყვეტლივ ავსებენ სივრცე-დროის ნებისმიერ რეგიონს, ხასიათდება ოთხი კოორდინატის გამოყენებით. მაშასადამე, კოორდინატთა სისტემები ვარაუდობენ შეყვანად. თეორიის სახელი სწორედ ამაზე ამახვილებს ყურადღებას - ბუნების კანონები, რომლებიც ხდება ასეთ სივრცე-დროში, იდენტურად უნდა იყოს ჩამოყალიბებული ნებისმიერი დასაშვები კოორდინატთა სისტემის მიმართ. ამ მოთხოვნას ფარდობითობის ზოგადი პრინციპი ეწოდება. გაითვალისწინეთ, რომ თეორიის ეს გეგმა ჯერ არაფერს ამბობს სივრცე-დროში მეტრიკის არსებობის ან არარსებობის შესახებ, მაგრამ უკვე იძლევა მასში აფინური კავშირის არსებობის საფუძველს (მრუდებასთან და სხვა წარმოებულ მათემატიკურ სტრუქტურებთან ერთად). ბუნებრივია, უკვე ამ დონეზე ჩნდება თეორიის მათემატიკურ ობიექტებს ფიზიკური მნიშვნელობის მინიჭების აუცილებლობა. აი ის არის. სივრცე-დროის წერტილი ასახავს მოვლენას, რომელიც ხასიათდება ერთის მხრივ პოზიციით და დროის მომენტით, მეორეს მხრივ ოთხი კოორდინატით. რამე უცნაურია? ერთი და იგივე არ არიან? მაგრამ არა. ფარდობითობის ზოგად თეორიაში ეს არ არის იგივე. ყველაზე ზოგადი ფორმის კოორდინატები, თეორიულად დასაშვები, არ შეიძლება განიმარტოს, როგორც დროის პოზიციები და მომენტები. ეს შესაძლებლობა არის პოსტულირებული მხოლოდ კოორდინატების ძალიან შეზღუდული ჯგუფისთვის - ლოკალურად ინერციული, რომელიც არსებობს მხოლოდ თითოეული წერტილის სიახლოვეს, მაგრამ არა მთელ რეგიონში, რომელიც დაფარულია ზოგადი კოორდინატთა სისტემით. ეს არის თეორიის კიდევ ერთი პოსტულატი. ეს არის ასეთი ჰიბრიდი. აღვნიშნავ, რომ სწორედ აქ ჩნდება ზოგადი ფარდობითობის მრავალი პრობლემა, მაგრამ ახლა მათ არ შევეხები.

თეორიის მეორე გეგმად შეიძლება ჩაითვალოს მისი პოსტულატების ის ნაწილი, რომელიც ითვალისწინებს სივრცე-დროში არსებულ ფიზიკურ მოვლენას - გრავიტაციას, მასიური სხეულების ურთიერთმიზიდვას. ამტკიცებენ, რომ ეს ფიზიკური ფენომენი შეიძლება, გარკვეულ პირობებში, განადგურდეს შესაფერისი საცნობარო ჩარჩოს მარტივი არჩევანით, კერძოდ, ლოკალური ინერციული. ყველა სხეულს, რომელსაც აქვს იგივე აჩქარება (თავისუფალი ვარდნა) შორეული მასიური სხეულის გრავიტაციული ველის მცირე რეგიონში ყოფნის გამო, ეს ველი არ არის დაკვირვებადი გარკვეულ საცნობარო ჩარჩოში. ფორმალურად, პოსტულატები აქ მთავრდება, მაგრამ სინამდვილეში თეორიის მთავარი განტოლება, რომელიც ითვალისწინებს მეტრიკას, ასევე ეხება პოსტულატებს, როგორც მათემატიკურ და ფიზიკურ განცხადებას. მიუხედავად იმისა, რომ მე არ ვაპირებ დეტალებს განტოლების შესახებ (განტოლებათა სისტემა, ნამდვილად), მაინც სასარგებლოა, რომ ის თქვენს წინაშე გქონდეთ:

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

აქ მარცხნივ არის ეგრეთ წოდებული რიჩის ტენსორი, სრული გამრუდების ტენზორის გარკვეული კონვოლუცია (შემადგენელი კომპონენტების კომბინაცია). მას სამართლიანად ასევე შეიძლება ეწოდოს გამრუდება. მარჯვნივ არის ენერგეტიკული იმპულსის ტენზორის კონსტრუქცია (წმინდა ფიზიკური სიდიდე ზოგად ფარდობითობაში, სინგულარული მასიური სხეულებისთვის და გარე სივრცე-დროისთვის, რომელიც ამ თეორიაში უბრალოდ ენერგიის იმპულსის მატარებელია) და მეტრიკა, რომელიც ვარაუდობენ არსებობას. უფრო მეტიც, ეს მეტრიკა, როგორც მეტრული ტენზორის მიერ წარმოებული სკალარული რაოდენობა, იგივეა რეგიონის ყველა წერტილისთვის. ასევე არსებობს განზომილებიანი მუდმივა c, რომელიც პროპორციულია გრავიტაციული მუდმივისა. ამ განტოლებიდან ირკვევა, რომ მთლიანობაში, მრუდი შედარებულია ენერგეტიკულ იმპულსთან და მეტრულთან. ფიზიკური მნიშვნელობა ენიჭება მეტრიკას ზოგად ფარდობითობაში ამ განტოლებების ამოხსნის მიღების შემდეგ. ვინაიდან ამ ამონახსნში მეტრიკული კოეფიციენტები წრფივად არის დაკავშირებული გრავიტაციული ველის პოტენციალთან (მისი მეშვეობით გამოთვლილი), ამ ველის პოტენციალების მნიშვნელობა ენიჭება მეტრულ ტენზორს. ამ მიდგომით, გამრუდებას მსგავსი მნიშვნელობა უნდა ჰქონდეს. და აფინური კავშირი განიმარტება, როგორც ველის სიძლიერე. ეს ინტერპრეტაცია არასწორია, მისი სიცრუე ასოცირდება ზემოაღნიშნულ პარადოქსთან კოორდინატების ინტერპრეტაციაში. ბუნებრივია, ეს არ რჩება შეუმჩნეველი თეორიისთვის და ვლინდება მთელ რიგ ცნობილ პრობლემებში (გრავიტაციული ველის ენერგიის არალოკალიზაცია, სინგულარების ინტერპრეტაცია), რომლებიც უბრალოდ არ წარმოიქმნება გეომეტრიული სიდიდეების სწორი ფიზიკური მიცემისას. მნიშვნელობა. ეს ყველაფერი უფრო დეტალურად არის განხილული წიგნში "".

თუმცა, ზოგად ფარდობითობაშიც კი, მეტრიკას გარდაუვალია, მასზე ხელოვნურად დაწესებული მნიშვნელობის გარდა, სხვა ფიზიკური მნიშვნელობაც აქვს. გავიხსენოთ რა ახასიათებს მეტრიკას ევკლიდეს სივრცის შემთხვევაში? სივრცე-დროში გაზომვისთვის ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი რამ არის ამ სივრცეში ხისტი მართკუთხა კოორდინატთა ბადის შემოღების შესაძლებლობა, რომელიც ერთნაირად ავსებს მთელ ტერიტორიას. ამ ბადეს ფიზიკაში ინერციული საცნობარო ჩარჩო ეწოდება. ასეთი საცნობარო სისტემა (კოორდინატთა სისტემა) შეესაბამება მეტრულ ტენზორის ერთ და მხოლოდ ერთ სტანდარტულ ფორმას. საცნობარო სისტემებში, რომლებიც თვითნებურად მოძრაობენ ინერციულთან შედარებით, მეტრული ტენზორის ფორმა განსხვავდება სტანდარტულისაგან. ფიზიკური თვალსაზრისით, „საცნობარო ბადის“ როლი საკმაოდ გამჭვირვალეა. თუ თქვენ გაქვთ ხისტი საცნობარო ორგანო, რომლის თითოეული წერტილი აღჭურვილია ერთი და იგივე საათით, რომელიც დროში არსებობს, მაშინ ის უბრალოდ ახორციელებს ასეთ ბადეს. ცარიელი სივრცისთვის, ჩვენ უბრალოდ ვიგონებთ მითითების ასეთ სხეულს, ვაძლევთ მას (სივრცეს) ზუსტად იგივე მეტრიკას. ამ გაგებით, მეტრული ტენსორი, რომელიც განსხვავდება სტანდარტული ევკლიდურისგან, ამბობს, რომ საცნობარო სისტემა (კოორდინატები) აგებულია არახისტი სხეულის გამოყენებით და, შესაძლოა, საათიც განსხვავებულად მუშაობს მის წერტილებში. რას ვგულისხმობ ამაში? და რა მეტრული ტენსორი არის ჩვენთვის საცნობარო სისტემის ზოგიერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისების მათემატიკური გამოსახულება. ის თვისებები, რომლებიც აბსოლიტურად ახასიათებს თავად საცნობარო სისტემის სტრუქტურას, საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ რამდენად „კარგია“ იგი, რამდენად განსხვავდება ის იდეალურისგან - ინერციული ჩარჩოსგან. ასე რომ, GTR იყენებს მეტრულ ტენსორს ზუსტად ასეთ გამოსახულებად. როგორ საზომი ხელსაწყოების გამოსახულება, რომელიც განაწილებულია საცნობარო ზონაში, რომელიც შესაძლოა ცვლის მის ორიენტაციას წერტილიდან წერტილამდე, მაგრამ ყველგან აქვს იგივე ნორმა, საერთო ყველა საცნობარო ვექტორისთვის.. მეტრიკა, რომელიც განიხილება როგორც სკალარი, არის ეს ნორმა, მასშტაბის სიდიდე. მეტრიკა, როგორც ტენზორი, საშუალებას გვაძლევს განვიხილოთ თვითნებური ფარდობითი მოძრაობა ერთმანეთთან მიმართებაში ყველა მასშტაბიდან, რომლებიც ქმნიან მითითების სხეულს. ფარდობითობის ზოგადი თეორია კი აღწერს სიტუაციას, როდესაც სივრცე-დროში შესაძლებელია იყოს ასეთი მიმართვის ორგანო, რეალური თუ წარმოსახვითი.

მეტრიკის ეს შეხედულება, რა თქმა უნდა, სწორია. უფრო მეტიც, ის ასევე პროდუქტიულია, რადგან ის დაუყოვნებლივ ამახვილებს ყურადღებას GTR-ში დარჩენილ ხელშეკრულებებზე. მართლაც, ჩვენ მივეცით საშუალება გამოვიყენოთ საცნობარო ჩარჩოები, რომლებშიც სხვადასხვა წერტილში სასწორები შეიძლება განსხვავებულად იყოს ორიენტირებული (ოთხგანზომილებიანი სამყაროში ორიენტაცია ასევე მოიცავს მოძრაობას). ჩვენ მაინც მოვითხოვთ, რომ მასშტაბის ზოგიერთი აბსოლუტური მახასიათებელი, მისი ნორმა (ინტერვალი) იგივე დარჩეს. შესაბამისად, ზოგადი ფარდობითობის განცხადება, რომ მან გაითვალისწინა ყველა შესაძლო საცნობარო სისტემა, გადაჭარბებულია. ეს არც ისე ზოგადია, ფარდობითობა ამ თეორიაში.

© გავრიუსევი ვ.გ.
საიტზე გამოქვეყნებული მასალების გამოყენება შესაძლებელია ციტირების წესების დაცვით.