რიცხვების სერია არის მიმდევრობა, რომელიც განიხილება სხვა თანმიმდევრობასთან ერთად (მას ასევე უწოდებენ ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობას). მსგავსი ცნებები გამოიყენება მათემატიკური და კომპლექსური ანალიზის დროს.

თანხა რიცხვების სერიაადვილად გამოითვლება Excel-ში ROW.SUM ფუნქციის გამოყენებით. მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ მუშაობს იგი ამ ფუნქციასდა შემდეგ ჩვენ ავაშენებთ ფუნქციების გრაფიკს. მოდით ვისწავლოთ, როგორ გამოვიყენოთ რიცხვების სერია პრაქტიკაში კაპიტალის ზრდის გაანგარიშებისას. მაგრამ პირველი, პატარა თეორია.

რიცხვების სერიის ჯამი

რიცხვების სერია შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვებთან მიახლოების სისტემად. მის დასანიშნად გამოიყენეთ ფორმულა:

აქ არის რიცხვების საწყისი თანმიმდევრობა სერიაში და შეჯამების წესი:

• ∑ - ჯამის მათემატიკური ნიშანი;
• a i - ზოგადი არგუმენტი;
• i არის ცვლადი, ყოველი მომდევნო არგუმენტის შეცვლის წესი;
• ∞ არის უსასრულობის ნიშანი, „ლიმიტი“, რომლითაც ხდება შეჯამება.

ჩანაწერი ნიშნავს: შეჯამებულია ნატურალური რიცხვები 1-დან "პლუს უსასრულობამდე". ვინაიდან i = 1, ჯამის გამოთვლა იწყება ერთიდან. თუ აქ სხვა რიცხვი იყო (მაგალითად, 2, 3), მაშინ მისგან დავიწყებდით შეჯამებას (2, 3-დან).

i ცვლადის შესაბამისად, სერია შეიძლება დაიწეროს გაფართოებულად:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... („პლუს უსასრულობამდე“).

რიცხვთა რიგის ჯამის განმარტება მოცემულია „ნაწილობრივი ჯამების“ მეშვეობით. მათემატიკაში ისინი აღნიშნავენ Sn. მოდით დავწეროთ ჩვენი რიცხვების სერია ნაწილობრივი ჯამების სახით:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

რიცხვთა რიგის ჯამი არის S n ნაწილობრივი ჯამების ზღვარი. თუ ზღვარი სასრულია, ჩვენ ვსაუბრობთ "კონვერგენტულ" სერიაზე. უსასრულო - "განსხვავებული" შესახებ.

ჯერ ვიპოვოთ რიცხვების სერიების ჯამი:

ახლა მოდით ავაშენოთ სერიის წევრების მნიშვნელობების ცხრილი Excel-ში:

ჩვენ ვიღებთ ზოგად პირველ არგუმენტს ფორმულიდან: i=3.

ჩვენ ვიპოვით i-ის ყველა შემდეგ მნიშვნელობას ფორმულის გამოყენებით: =B4+$B$1. მოათავსეთ კურსორი B5 უჯრედის ქვედა მარჯვენა კუთხეში და გაამრავლეთ ფორმულა.

მოდი ვიპოვოთ ღირებულებები. გაააქტიურეთ უჯრედი C4 და შეიყვანეთ ფორმულა: =SUM(2*B4+1). დააკოპირეთ უჯრედი C4 მითითებულ დიაპაზონში.

არგუმენტების ჯამის მნიშვნელობა მიიღება ფუნქციის გამოყენებით: =SUM(C4:C11). ცხელი კლავიშების კომბინაცია ALT+“+” (პლუს კლავიატურაზე).

ROW.SUM ფუნქცია Excel-ში

Excel-ში რიცხვების სერიის ჯამის საპოვნელად გამოიყენეთ მათემატიკური ფუნქცია SERIES.SUM. პროგრამა იყენებს შემდეგ ფორმულას:

ფუნქციის არგუმენტები:

• x – ცვლადი მნიშვნელობა;
• n – ხარისხი პირველი არგუმენტისთვის;
• m არის საფეხური, რომლითაც ხარისხი იზრდება ყოველი მომდევნო ტერმინისთვის;
• a არის x-ის შესაბამისი ხარისხების კოეფიციენტები.

ფუნქციის მუშაობისთვის მნიშვნელოვანი პირობები:

• საჭიროა ყველა არგუმენტი (ანუ ყველა უნდა იყოს შევსებული);
• ყველა არგუმენტი არის NUMERIC მნიშვნელობები;
• კოეფიციენტების ვექტორს აქვს ფიქსირებული სიგრძე ("უსასრულობის" ზღვარი არ იმუშავებს);
• "კოეფიციენტების" რაოდენობა = არგუმენტების რაოდენობა.

Excel-ში სერიების ჯამის გამოთვლა

იგივე SERIES.SUM ფუნქცია მუშაობს დენის სერიებთან (ფუნქციური სერიის ერთ-ერთი ვარიანტი). რიცხვებისგან განსხვავებით, მათი არგუმენტები ფუნქციებია.

ფუნქციონალური სერიები ხშირად გამოიყენება ფინანსურ და ეკონომიკურ სფეროში. შეიძლება ითქვას, რომ ეს მათი განაცხადის სფეროა.

მაგალითად, მათ შეიტანეს გარკვეული თანხა (ა) ბანკში გარკვეული პერიოდის განმავლობაში (n). ჩვენ გვაქვს წლიური გადასახადი x პროცენტი. პირველი პერიოდის ბოლოს დარიცხული თანხის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

S 1 = a (1 + x).

მეორე და შემდგომი პერიოდის ბოლოს გამონათქვამების ფორმა ასეთია:

S 2 = a (1 + x) 2;

S 3 = a (1 + x) 2 და ა.შ.

ჯამის საპოვნელად:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

ნაწილობრივი ჯამები Excel-ში შეგიძლიათ იხილოთ BS() ფუნქციის გამოყენებით.

სავარჯიშო ამოცანის საწყისი პარამეტრები:

სტანდარტული მათემატიკური ფუნქციის გამოყენებით ვპოულობთ დაგროვილ რაოდენობას ტერმინის ბოლოს. ამისათვის D2 უჯრედში ვიყენებთ ფორმულას: =B2*DEGREE(1+B3;4)

ახლა D3 უჯრედში ჩვენ მოვაგვარებთ იგივე პრობლემას ჩაშენებული Excel ფუნქციის გამოყენებით: =BS(B3;B1;;-B2)

შედეგები იგივეა, რაც უნდა იყოს.

1. როგორ შეავსოთ BS() ფუნქციის არგუმენტები: "წინადადება" -საპროცენტო განაკვეთი
2. , რომლის მიხედვითაც რეგისტრირებულია ანაბარი. ვინაიდან პროცენტული ფორმატი მითითებულია B3 უჯრედში, ჩვენ უბრალოდ დავაზუსტეთ ამ უჯრედის ბმული არგუმენტის ველში. რიცხვი რომ იყოს მითითებული, მაშინ დაიწერება მისი მეასედი (20/100).
3. "Nper" არის პროცენტის გადახდის პერიოდების რაოდენობა. ჩვენს მაგალითში - 4 წელი.
4. "პლტ" - პერიოდული გადახდები. ჩვენს შემთხვევაში არ არსებობს. ამიტომ არ ვავსებთ არგუმენტის ველს.

"Ps" - "ამჟამინდელი ღირებულება", ანაბრის ოდენობა. ვინაიდან ამ ფულს ცოტა ხნით ვშორდებით, პარამეტრს აღვნიშნავთ "-" ნიშნით.

Excel-ს აქვს სხვა ჩაშენებული ფუნქციები სხვადასხვა პარამეტრების მოსაძებნად. როგორც წესი, ეს არის ფუნქციები სამუშაოდ საინვესტიციო პროექტები, ფასიანი ქაღალდებიდა ამორტიზაციის გადახდა.

რიცხვითი რიგის ჯამის ფუნქციების გამოსახვა

მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ასახავს კაპიტალის ზრდას. ამისათვის ჩვენ უნდა ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც არის აგებული სერიის ჯამი. მაგალითად, ავიღოთ იგივე მონაცემები დეპოზიტზე:

პირველი ხაზი აჩვენებს დაგროვილ თანხას ერთი წლის შემდეგ. მეორეში - ორში. და ასე შემდეგ.

მოდით შევქმნათ კიდევ ერთი სვეტი, რომელშიც ასახავს მოგებას:

როგორც გვეგონა - ფორმულების ზოლში.

მიღებული მონაცემების საფუძველზე ავაშენებთ ფუნქციების გრაფიკს.

მოდით ავირჩიოთ 2 დიაპაზონი: A5:A9 და C5:C9. გადადით "ჩასმა" ჩანართზე - ინსტრუმენტი "დიაგრამები". აირჩიეთ პირველი სქემა:

მოდით, პრობლემა კიდევ უფრო „გამოყენებით“ გავხადოთ. მაგალითში გამოვიყენეთ რთული პროცენტი. ისინი ერიცხება წინა პერიოდში დარიცხულ თანხას.

მოდით შევადაროთ მარტივი ინტერესი. მარტივი ინტერესის ფორმულა Excel-ში: =$B$2*(1+A6*B6)

მოდით მივიღოთ მიღებული მნიშვნელობები "კაპიტალის ზრდის" სქემაში.

რა დასკვნებს გამოიტანს ინვესტორი, გასაგებია.

ფუნქციონალური სერიის ნაწილობრივი ჯამის მათემატიკური ფორმულა (მარტივი პროცენტით): S n = a (1 + x*n), სადაც a არის დეპოზიტის საწყისი თანხა, x არის პროცენტი, n არის პერიოდი.

მოცემულია R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… რიცხვების თანმიმდევრობა. გამოთქმა R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… ეწოდება გაუთავებელი რიგი, ან უბრალოდ ახლოსდა რიცხვები R 1, R 2, R 3,… - ნომრის წევრები. აქ იგულისხმება ის, რომ სერიის ჯამის დაგროვება იწყება მისი პირველი წევრებით. ჯამი S n = ეწოდება ნაწილობრივი თანხა რიგი: n=1-სთვის – პირველი ნაწილობრივი ჯამი, n=2-სთვის – მეორე ნაწილობრივი ჯამი და ა.შ.

დაურეკა კონვერგენტული სერიათუ მისი ნაწილალების თანმიმდევრობა თანხებს აქვს ლიმიტი და განსხვავებული- წინააღმდეგ შემთხვევაში. სერიების ჯამის კონცეფცია შეიძლება გაფართოვდეს და შემდეგ ზოგიერთ განსხვავებულ სერიას ასევე ექნება ჯამები. ზუსტად გაფართოებული გაგება თანხები რიგიგამოყენებული იქნება ალგორითმების შემუშავებისას პრობლემის შემდეგი ფორმულირებით: ჯამის დაგროვება უნდა განხორციელდეს მანამ, სანამ სერიის შემდეგი წევრი აბსოლუტური სიდიდით არ აღემატება მოცემულ ე მნიშვნელობას.

ზოგად შემთხვევაში, სერიის ყველა წევრი ან მისი ნაწილი შეიძლება განისაზღვროს გამონათქვამებით, რომლებიც დამოკიდებულია სერიის წევრისა და ცვლადების რაოდენობაზე. მაგალითად,

შემდეგ ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა შემცირდეს გამოთვლების რაოდენობა - გამოთვალეთ სერიის შემდეგი წევრის მნიშვნელობა მიხედვით სერიის ტერმინის ზოგადი ფორმულა(მოცულ მაგალითში იგი წარმოდგენილია გამოსახულებით ჯამის ნიშნის ქვეშ), განმეორებადი ფორმულის გამოყენებით (მისი გამომავალი მოცემულია ქვემოთ) ან განმეორებადი ფორმულების გამოყენებით მხოლოდ სერიის წევრის გამოხატვის ნაწილებისთვის (იხ. ქვემოთ).

სერიის წევრის გამოთვლის განმეორებადი ფორმულის წარმოშობა

დავუშვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების სერია R 1, R 2, R 3, ..., თანმიმდევრულად გამოთვალოთ ისინი ფორმულების გამოყენებით

,
, …,

ამ შემთხვევაში გამოთვლების შესამცირებლად მოსახერხებელია გამოყენება განმეორებადი ფორმულაკეთილი
, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ R N-ის მნიშვნელობა N>1-ისთვის, იცოდეთ R N-1 სერიის წინა წევრის მნიშვნელობა, სადაც
- გამოხატულება, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნეს N-1-ის (3.1) ფორმულის გამოხატვის თანაფარდობის გამარტივების შემდეგ N-1-ის გამოსახულებასთან:

ამრიგად, განმეორებითი ფორმულა იღებს ფორმას
.

სერიის ტერმინის ზოგადი ფორმულის (3.1) და განმეორებითი ფორმულის (3.2) შედარებიდან ირკვევა, რომ განმეორებადი ფორმულა მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. მოდით გამოვიყენოთ ის N=2, 3 და 4-ისთვის, ეს რომ ვიცით
:

სერიის წევრის მნიშვნელობის გამოთვლის მეთოდები

სერიის წევრის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, მისი ტიპის მიხედვით, შეიძლება სასურველი იყოს გამოიყენოს ან ზოგადი ფორმულა სერიის წევრისთვის, ან განმეორებადი ფორმულა, ან სერიის წევრის მნიშვნელობის გამოთვლის შერეული მეთოდი, როდესაც განმეორებითი ფორმულები გამოიყენება სერიის წევრის ერთი ან მეტი ნაწილისთვის და შემდეგ მათი მნიშვნელობები იცვლება სერიის წევრის ზოგად ფორმულაში. მაგალითად, - სერიისთვის უფრო ადვილია სერიის წევრის მნიშვნელობის გამოთვლა
მისი ზოგადი ფორმულის მიხედვით
(შეადარეთ
- განმეორებითი ფორმულა); - ზედიზედ
უმჯობესია გამოიყენოთ რეციდივის ფორმულა
; - სერიისთვის უნდა იქნას გამოყენებული შერეული მეთოდი, გამოითვალოს A N =X 3N განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით
, N=2, 3,… ერთად A 1 =1 და B N =N! - ასევე განმეორებითი ფორმულის მიხედვით
, N=2, 3,… B 1 =1 და შემდეგ – სერიის წევრი
- ზოგადი ფორმულის მიხედვით, რომელიც მიიღებს ფორმას
.

დავალების შესრულების მაგალითი 3.2.1

გამოთვალეთ ε სიზუსტით 0 o  X  45 o

განმეორების ფორმულის გამოყენებით სერიის ტერმინის გამოსათვლელად:

,

cos X ფუნქციის ზუსტი მნიშვნელობა,

სავარაუდო მნიშვნელობის აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.

პროგრამა Project1;

($APPTYPE CONSOLE)

K=Pi/180; //გრადუსებიდან რადიანებზე გადაყვანის კოეფიციენტი

Eps: გაფართოებული =1E-8;

X: გაფართოებული =15;

R, S, Y, D: გაფართოებული;

($IFNDEF DBG) //ოპერატორები არ გამოიყენება გამართვისთვის

Write ("შეიყვანეთ საჭირო სიზუსტე: ");

Write("შეიყვანეთ კუთხის მნიშვნელობა გრადუსებში: ");

D:=Sqr(K*X); //X-ის გადაქცევა რადიანად და კვადრატად

//ცვლადებისთვის საწყისი მნიშვნელობების მინიჭება

//ციკლი სერიის პირობების გამოსათვლელად და მათი ჯამის დაგროვებისთვის.

//შეასრულეთ მანამ, სანამ სერიის შემდეგი წევრის მოდული მეტია Eps-ზე.

ხოლო Abs(R)>Eps აკეთებს

თუ ნ<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, "R=", R:14:11, "S=", S:14:11);

//გამომავალი გამოთვლის შედეგები:

WriteLn(N:14" = მიღწეული ნაბიჯების რაოდენობა",

"განსაზღვრული სიზუსტე");

WriteLn(S:14:11," = ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = ფუნქციის ზუსტი მნიშვნელობა");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = აბსოლუტური შეცდომა");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = შედარებითი შეცდომა");

ტერმინთა სიმრავლის შეჯამების პრობლემა წყდება სერიების თეორიაში.

სად u 1, u 2, u 3 …., u n...-უსასრულო რიცხვთა მიმდევრობის წევრები ეწოდება რიცხვების სერია.

ნომრები u 1, u 2, u 3 …., uნ... დაუძახა ნომრის წევრები, ა u n არის სერიის საერთო ტერმინი.

სერიების პირველი წევრების სასრული რიცხვის n ჯამს სერიის n-ე ნაწილობრივი ჯამი ეწოდება.

S n = u 1 + u 2 +… + u n,

იმათ. S 1 = u 1; S 2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ uნ

სერია ითვლება კონვერგენტურად, თუ არსებობს S n-ის ნაწილობრივი ჯამის სასრული ზღვარი ნ, ანუ

ნომერი სსერიის ჯამი ეწოდება.

წინააღმდეგ შემთხვევაში:

შემდეგ სერიას უწოდებენ დივერგენტს.

საცნობარო სერია.

1. გეომეტრიული სერია (გეომეტრიული პროგრესია)

მაგალითი.

2. ჰარმონიული სერია.

3. განზოგადებული ჰარმონიული სერია.

მაგალითი.

.

დადებითი სერიების კონვერგენციის ნიშნები

თეორემა 1. კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი.

ამ ფუნქციის გამოყენებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ სერიის განსხვავება.

მაგალითი.

საკმარისი ნიშნები

თეორემა 1. ტესტი სერიების შედარებისთვის.

მიეცით ორი დადებითი ნიშნის სერია:

უფრო მეტიც, თუ სერია (2) იყრის თავს, მაშინ სერია (1) ასევე იყრის თავს.

თუ სერია (1) განსხვავდება, მაშინ სერია (2) ასევე განსხვავდება.

მაგალითი.გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის:

მოდით შევადაროთ ეს სერია გეომეტრიულ სერიებს:

ამიტომ, შედარებისთვის, საჭირო სერიები ერთმანეთს ემთხვევა.

თეორემა 2. დ’ალმბერის ტესტი.

მაგალითი.გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის:

დ'ალმბერის ტესტის მიხედვით, სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

თეორემა 3. რადიკალური კოშის ტესტი.

3) დაახლოების საკითხი ღია რჩება.

მაგალითი:შეისწავლეთ რიცხვების სერია კონვერგენციისთვის:

გამოსავალი:

მაშასადამე, სერია კოშის კონვერგენტულია.

თეორემა 4. კოშის ინტეგრალური ტესტი.

მიეცით სერიის წევრები

დადებითია და არ იზრდება, ანუ არის უწყვეტი არამზარდი ფუნქციის მნიშვნელობები ვ(x) ზე x= 1, 2, …, ნ.

მაშინ სერიების კონვერტაციისთვის აუცილებელია და საკმარისია არასწორი ინტეგრალი გადაიზარდოს:

მაგალითი.

გამოსავალი:

შესაბამისად, სერია განსხვავდება, რადგან არასწორი ინტეგრალი განსხვავდება.

ალტერნატიული სერია. ალტერნატიული სერიის აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენციის კონცეფცია.

სერიას ე.წ მონაცვლეობის ნიშანი, თუ მისი რომელიმე წევრი შეიძლება იყოს დადებითიც და უარყოფითიც.

განვიხილოთ ალტერნატიული სერია:

თეორემა 1. ლაიბნიცის ტესტი (საკმარისი ტესტი).

თუ ალტერნატიული რიგის ნიშანი

პირობები მცირდება აბსოლუტური მნიშვნელობით, ანუ

შემდეგ სერია იყრის თავს და მისი ჯამი არ აღემატება პირველ წევრს, ანუ ს ≤ .

მაგალითი.

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ ლაიბნიცის ტესტი:

.

მაშასადამე, სერია ლაიბნიცის კონვერგენტულია.

თეორემა 2. საკმარისი კრიტერიუმი ალტერნატიული რიგის დაახლოებისთვის.

თუ ალტერნატიული სერიისთვის მისი ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებით შედგენილი სერია იყრის თავს, მაშინ ეს ალტერნატიული სერია იყრის თავს.

მაგალითი:შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის:

გამოსავალი:

ორიგინალური სერიის ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობების თანხვედრა, როგორც განზოგადებული ჰარმონიული სერია.

აქედან გამომდინარე, ორიგინალური სერია იყრის თავს.

ეს ფუნქცია საკმარისია, მაგრამ არა აუცილებელი, ანუ არის ალტერნატიული სერიები, რომლებიც ერთმანეთს ემთხვევა, თუმცა აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან შემდგარი სერიები განსხვავდება.

განმარტება 1. აბსოლუტურად კონვერგენტული,თუ მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებით შედგენილი სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

განმარტება 2.ალტერნატიული სერია ეწოდება პირობითად კონვერგენტული,თუ სერია თავისთავად იყრის თავს, მაგრამ მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებით შედგენილი სერია განსხვავდება.

მათ შორის განსხვავება იმაში მდგომარეობს, რომ აბსოლუტურად კონვერგენტული სერიები იყრის თავს იმის გამო, რომ მისი ტერმინები სწრაფად მცირდება, ხოლო პირობითად კონვერგენტული სერია იყრის თავს იმის გამო, რომ დადებითი და უარყოფითი ტერმინები ანადგურებენ ერთმანეთს.

მაგალითი.

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ ლაიბნიცის ტესტი:

მაშასადამე, სერია ლაიბნიცის კონვერგენტულია. მაგრამ სერია, რომელიც შედგება მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან, განსხვავდება ჰარმონიულის მსგავსად.

ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური სერია პირობითად იყრის თავს.

სერიების ჯამი

ვებგვერდისაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ონლაინ სერიის ჯამირიცხვების თანმიმდევრობა. გარდა ონლაინ რიცხვების თანმიმდევრობის სერიის ჯამის პოვნისა, სერვერი შედის ონლაინიპოვის სერიის ნაწილობრივი ჯამი. ეს სასარგებლოა ანალიტიკური გამოთვლებისთვის, როდესაც ონლაინ სერიის ჯამიუნდა იყოს წარმოდგენილი და ნაპოვნი მიმდევრობის ზღვრის ამოხსნის სახით სერიის ნაწილობრივი ჯამები. სხვა საიტებთან შედარებით, ვებგვერდიაქვს უდაო უპირატესობა, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ონლაინ სერიის ჯამიარა მხოლოდ რიცხვითი, არამედ ფუნქციური დიაპაზონი, რაც საშუალებას მოგვცემს განვსაზღვროთ ორიგინალის კონვერგენციის არეალი რიგიყველაზე ცნობილი მეთოდების გამოყენებით. თეორიის მიხედვით რიგები, რიცხვითი მიმდევრობის დაახლოების აუცილებელი პირობაა, რომ საერთო წევრის ზღვარი ნულის ტოლია რიცხვების სერიაროგორც ცვლადი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. თუმცა ეს პირობა არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ რიცხვების სერიის კონვერგენცია ონლაინ.. რათა დადგინდეს სერიის კონვერგენცია ონლაინნაპოვნია კონვერგენციის ან განსხვავების სხვადასხვა საკმარისი ნიშნები რიგი. მათგან ყველაზე ცნობილი და ხშირად გამოყენებულია დ'ალმბერის, კოშის, რაბეს ნიშნები, შედარება. რიცხვების სერია, ისევე როგორც კონვერგენციის განუყოფელი ნიშანი რიცხვების სერია. მათ შორის განსაკუთრებული ადგილი რიცხვების სერიაიკავებენ მათ, რომლებშიც ტერმინების ნიშნები მკაცრად ალტერნატიულია და აბსოლუტური მნიშვნელობები რიცხვების სერიამონოტონურად მცირდება. თურმე ასეთი რიცხვების სერიასერიის ონლაინ კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი ამავე დროს საკმარისია, ანუ ზოგადი ტერმინის ზღვრის ტოლობა ნულამდე რიცხვების სერიაროგორც ცვლადი მიდრეკილია უსასრულობისკენ. არსებობს მრავალი განსხვავებული საიტი, რომელიც გთავაზობთ სერვერებიგამოთვლა ონლაინ სერიის ჯამები, ასევე ფუნქციების გაფართოება რიგიონლაინ რაღაც მომენტში ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდან. თუ ფუნქციას გავაფართოვებთ სერია ონლაინარ არის განსაკუთრებით რთული ამ სერვერებზე, შემდეგ გაანგარიშება ფუნქციური სერიების ჯამი ონლაინ, რომლის თითოეული წევრი, განსხვავებით რიცხვითი რიგი, არ არის რიცხვი, არამედ ფუნქცია, თითქმის შეუძლებელი ჩანს საჭირო ტექნიკური რესურსების არარსებობის გამო. ამისთვის www.siteასეთი პრობლემა არ არის.

განათლების ფედერალური სააგენტო

სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

უმაღლესი პროფესიული განათლება

"მათი" - რუსეთის სახელმწიფო ტექნოლოგიური უნივერსიტეტის სახელობის კ.ე. ციოლკოვსკი

"სისტემური მოდელირებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების" დეპარტამენტი

ნომრების სერია

სახელმძღვანელო პრაქტიკული სავარჯიშოებისთვის

დისციპლინაში "უმაღლესი მათემატიკა"

შედგენილია: ეგოროვა იუ.ბ.

მამონოვი ი.მ.

კორნიენკო ლ.ი.

მოსკოვი 2005 შესავალი

გაიდლაინები განკუთვნილია No14 ფაკულტეტის სრულ განაკვეთზე და საღამოს სტუდენტებისთვის, სპეციალობები 071000, 130200, 220200.

1. ძირითადი ცნებები

დაე u 1 , u 2 , u 3 , …, u ნ, ... არის უსასრულო რიცხვითი მიმდევრობა. გამოხატულება
დაურეკა უსასრულო რიცხვების სერია, ნომრები u 1 , u 2 , u 3 , …, u ნ- სერიის წევრები;
სერიის საერთო ტერმინს უწოდებენ. სერია ხშირად იწერება შემოკლებული (ჩაკეცილი) ფორმით:

პირველის ჯამი ნრიცხვითი სერიის წევრები აღინიშნება და დარეკე ნ სერიის ნაწილობრივი ჯამი:

სერიას ე.წ კონვერგენტული, თუ ის ნ- ნაწილობრივი თანხა შეუზღუდავი ზრდით ნმიდრეკილია საბოლოო ზღვრამდე, ე.ი. თუ
ნომერი დაურეკა სერიის ჯამი.

თუ ნ-სერიის ნაწილობრივი ჯამი at
არ არის მიდრეკილი სასრულ ზღვრამდე, მაშინ სერია ეწოდება განსხვავებული.

მაგალითი 1.იპოვეთ სერიის ჯამი
.

გამოსავალი.გვაქვს
. იმიტომ რომ:

,

აქედან გამომდინარე,

იმიტომ რომ
, მაშინ რიგი იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის
.

2. ძირითადი თეორემები რიცხვთა რიგის შესახებ

თეორემა 1.თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა
შემდეგ სერია იყრის თავს მიღებული სერიიდან პირველის გადაგდებით
წევრები (ამ ბოლო რიგს ე.წ
- თავდაპირველი სერიის მე-ე დარჩენილი ნაწილი). და პირიქით, კონვერგენციიდან
სერიის მე-1 ნაწილი გულისხმობს ამ სერიის კონვერგენციას.

თეორემა 2.თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა
და მისი ჯამი არის რიცხვი , შემდეგ სერია იყრის თავს
ხოლო ბოლო მწკრივის ჯამი უდრის
.

თეორემა 3.თუ სერიები ერთმანეთს ემთხვევა

რომელსაც აქვს S და Q ჯამები, შესაბამისად, მაშინ სერია იყრის თავს და ბოლო სერიის ჯამი უდრის
.

თეორემა 4 (სერიის კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი). თუ რიგი
იყრის, მაშინ
, ე.ი. ზე
კონვერგენტული რიგის საერთო წევრის ზღვარი არის ნული.

დასკვნა 1.თუ
, შემდეგ სერია განსხვავდება.

დასკვნა 2.თუ
, მაშინ შეუძლებელია სერიის კონვერგენციის ან დივერგენციის დადგენა აუცილებელი კონვერგენციის კრიტერიუმის გამოყენებით. სერია შეიძლება იყოს კონვერგენტული ან განსხვავებული.

მაგალითი 2.გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია:

გამოსავალი.სერიის საერთო ტერმინის პოვნა
. იმიტომ რომ:

იმათ.
, შემდეგ სერიები განსხვავდება (კონვერგენციის აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული).

3. სერიების დაახლოების ნიშნები დადებითი ტერმინებით

3.1. შედარების ნიშნები

შედარების კრიტერიუმები ეფუძნება მოცემული სერიის კონვერგენციის შედარებას იმ სერიებთან, რომელთა დაახლოება ან განსხვავება ცნობილია. შედარებისთვის გამოიყენება ქვემოთ ჩამოთვლილი სერიები.

მწკრივი
შედგება ნებისმიერი კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინებისგან, არის კონვერგენტული და აქვს ჯამი

მწკრივი
მზარდი გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინებისგან შედგება, განსხვავებულია.

მწკრივი
განსხვავებულია.

მწკრივი
დირიხლეს სერიას უწოდებენ. >1-ისთვის დირიხლეს რიგი იყრის თავს, -სთვის<1- расходится.

როცა =1 მწკრივი
ჰარმონიული ეწოდება. ჰარმონიული სერია განსხვავდება.

თეორემა. შედარების პირველი ნიშანი.მიეცით ორი სერია დადებითი პირობებით:

(2)

უფრო მეტიც, (1) სერიის თითოეული წევრი არ აღემატება (2) სერიის შესაბამის წევრს, ე.ი.
(ნ= 1, 2, 3, ...). მაშინ თუ სერია (2) იყრის თავს, მაშინ სერია (1) ასევე იყრის თავს; თუ სერია (1) განსხვავდება, მაშინ სერია (2) ასევე განსხვავდება.

კომენტარი.ეს კრიტერიუმი ძალაში რჩება, თუ უთანასწორობაა
ყველასთვის არ მუშაობს , მაგრამ მხოლოდ გარკვეული რიცხვიდან დაწყებული ნ= ნ, ე.ი. ყველასთვის ნ ნ.

მაგალითი 3.გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი.მოცემული სერიის წევრები სერიის შესაბამის წევრებზე ნაკლებია
შედგება უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინებისგან. ვინაიდან ეს სერია იყრის თავს, მოცემული სერიაც იყრის თავს.

თეორემა. შედარების მეორე ნიშანი (შედარების ნიშნის შემზღუდველი ფორმა).თუ არსებობს სასრული და არანულოვანი ზღვარი
, შემდეგ ორივე მწკრივი და თანხვედრა ან განსხვავებები ერთდროულად.

მაგალითი 4.გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი.მოდით შევადაროთ სერია ჰარმონიულ სერიას
მოდით ვიპოვოთ სერიის საერთო ტერმინების თანაფარდობის ზღვარი:

ვინაიდან ჰარმონიული სერია განსხვავდება, მოცემული სერიაც განსხვავდება.