იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა. ამ ფორმულის გამოყენების მტკიცებულება და მაგალითები. პირველი, მეორე და მესამე რიგის წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები.

პირველი რიგის წარმოებული

მოდით, ფუნქცია მინიშნებული იყოს განტოლების გამოყენებით
(1) .
და მოდით, ამ განტოლებას, გარკვეული მნიშვნელობისთვის, ჰქონდეს უნიკალური გამოსავალი.
.
დაე, ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი ფუნქცია წერტილში და
(2) .

შემდეგ, ამ მნიშვნელობაზე, არის წარმოებული, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:

მტკიცებულება
.
ამის დასამტკიცებლად განიხილეთ ფუნქცია, როგორც ცვლადის კომპლექსური ფუნქცია:
(3) :
.
გამოვიყენოთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი და ვიპოვოთ წარმოებული ცვლადის მიმართ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან.
(4) ;
.

ვინაიდან მუდმივის წარმოებული არის ნული და, მაშინ

ფორმულა დადასტურებულია.

უმაღლესი რიგის წარმოებულები
(4) .
მოდით გადავწეროთ განტოლება (4) სხვადასხვა აღნიშვნების გამოყენებით:
;
.
ამავე დროს, და არის ცვლადის რთული ფუნქციები:
(1) .

დამოკიდებულება განისაზღვრება განტოლებით (1):
ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს ცვლადის მიმართ (4 განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან).
;
.
რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

.
პროდუქტის წარმოებული ფორმულის მიხედვით:


.

წარმოებული ჯამის ფორმულის გამოყენებით:
(5) .
ვინაიდან (4) განტოლების მარჯვენა მხარის წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ

წარმოებულის აქ ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ მეორე რიგის წარმოებულის მნიშვნელობას იმპლიციტური ფორმით.
.
განტოლების (5) დიფერენცირებისას ანალოგიურად მივიღებთ განტოლებას, რომელიც შეიცავს მესამე რიგის წარმოებულს:

აქ პირველი და მეორე რიგის წარმოებულების ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ მესამე რიგის წარმოებულის მნიშვნელობას.

დიფერენციაციის გაგრძელებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიგის წარმოებული.

მაგალითები

მაგალითი 1
იპოვეთ ფუნქციის პირველი რიგის წარმოებული, რომელიც ირიბად მოცემულია განტოლებით: .

(P1)

გამოსავალი ფორმულით 2
(2) .

ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს ფორმულის გამოყენებით (2):
.
მოდით გადავიტანოთ ყველა ცვლადი მარცხენა მხარეს ისე, რომ განტოლება მიიღოს ფორმა.

აქედან.
;
;
;
.

წარმოებულს ვპოულობთ , მუდმივით.
;
;
;
.

წარმოებულს ვპოულობთ ცვლადის მიმართ, ცვლადის მუდმივის გათვალისწინებით.
.

ფორმულის გამოყენებით (2) ვხვდებით:
.
გაამრავლეთ მრიცხველი და მნიშვნელი:
.

მეორე გზა გამოსავალი

ეს მაგალითი მეორე გზით გადავჭრათ. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს საწყისი განტოლების (A1) მარცხენა და მარჯვენა მხარის ცვლადის მიმართ.

ჩვენ მივმართავთ:
.
ჩვენ ვიყენებთ წარმოებული წილადის ფორმულას:
;
.
ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას:
.
განვასხვავოთ საწყისი განტოლება (A1).
იპოვეთ ფუნქციის პირველი რიგის წარმოებული, რომელიც ირიბად მოცემულია განტოლებით: ;
;
.
ვამრავლებთ და ვაჯგუფებთ ტერმინებს.
;
.

ჩავანაცვლოთ (განტოლებიდან (A1)):
.
გამრავლება:
.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული განტოლების გამოყენებით:
(A2.1) .

ჩვენ განვასხვავებთ თავდაპირველ განტოლებას ცვლადის მიმართ, იმის გათვალისწინებით, რომ ის არის ფუნქცია:
;
.
ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.
.

მოდით განვასხვავოთ საწყისი განტოლება (A2.1):
;
.
საწყისი განტოლებიდან (A2.1) გამომდინარეობს, რომ .
.
ჩავანაცვლოთ:
;
გახსენით ფრჩხილები და დააჯგუფეთ წევრები: .
(A2.2)
ჩვენ ვპოულობთ პირველი რიგის წარმოებულს: .

(A2.3)
;
;
;
.
მეორე რიგის წარმოებულის საპოვნელად განვასხვავებთ განტოლებას (A2.2).
.
გამრავლება:

;
.
მოდით შევცვალოთ გამოხატულება პირველი რიგის წარმოებულით (A2.3):

აქედან ვპოულობთ მეორე რიგის წარმოებულს.

მაგალითი 3
იპოვეთ ფუნქციის მესამე რიგის წარმოებული განტოლების გამოყენებით: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
ჩვენ განვასხვავებთ თავდაპირველ განტოლებას ცვლადის მიმართ, იმ ვარაუდით, რომ ის არის ფუნქცია . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
განვასხვავოთ განტოლება (A3.2) ცვლადის მიმართ. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
განვასხვავოთ განტოლება (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

განტოლებიდან (A3.2), (A3.3) და (A3.4) ვპოულობთ წარმოებულების მნიშვნელობებს .
იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული.

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული ამ სტატიაში ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ტიპურ ამოცანას, რომლებიც ხშირად გვხვდებატესტები მიერუმაღლესი მათემატიკა . მასალის წარმატებით ათვისების მიზნით, თქვენ უნდა შეძლოთ წარმოებულების პოვნა მინიმუმ საშუალო დონეზე. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ წარმოებულების პოვნა პრაქტიკულად ნულიდან ორ ძირითად გაკვეთილზე დართული ფუნქციის წარმოებული

. თუ თქვენი დიფერენცირების უნარები ნორმალურია, მაშინ მოდით წავიდეთ.

იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ან, მოკლედ, იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული. რა არის იმპლიციტური ფუნქცია? ჯერ გავიხსენოთ ერთი ცვლადის ფუნქციის განმარტება:ერთი ცვლადი ფუნქცია

არის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას. ცვლადი ეწოდებადამოუკიდებელი ცვლადი ან.
არგუმენტი ცვლადი ეწოდებადამოუკიდებელი ცვლადი დამოკიდებული ცვლადი .

ფუნქცია აქამდე ჩვენ გადავხედეთ განსაზღვრულ ფუნქციებსგამოკვეთილი

ფორმა. რას ნიშნავს ეს? მოდით ჩავატაროთ დებრიფინგი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

განიხილეთ ფუნქცია ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ გვყავს მარტოხელა "მოთამაშე", ხოლო მარჯვნივ -. ანუ ფუნქცია აშკარადგამოხატული დამოუკიდებელი ცვლადის საშუალებით.

მოდით შევხედოთ სხვა ფუნქციას:

ეს არის სადაც ცვლადები აირია. მეტიც შეუძლებელია ნებისმიერი საშუალებითგამოხატეთ "Y" მხოლოდ "X"-ით. რა არის ეს მეთოდები? ტერმინების ნაწილიდან ნაწილზე გადატანა ნიშნის ცვლილებით, ფრჩხილებიდან გადატანა, პროპორციის წესის მიხედვით ფაქტორების გადაყრა და ა.შ. გადაწერეთ ტოლობა და შეეცადეთ გამოხატოთ „y“ ცალსახად: . შეგიძლიათ საათობით გადაატრიალოთ და გადაატრიალოთ განტოლება, მაგრამ წარმატებას ვერ მიაღწევთ.

ნება მომეცით გაგაცნოთ: – მაგალითი იმპლიციტური ფუნქცია.

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ იმპლიციტური ფუნქცია არსებობს(თუმცა, არა ყოველთვის), მას აქვს გრაფიკი (ისევე, როგორც "ნორმალური" ფუნქცია). იმპლიციტური ფუნქცია ზუსტად იგივეა არსებობსპირველი წარმოებული, მეორე წარმოებული და ა.შ. როგორც ამბობენ, სექსუალური უმცირესობების ყველა უფლება დაცულია.

და ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად. არც ისე რთულია! ყველა დიფერენციაციის წესი, წარმოებულების ცხრილი ელემენტარული ფუნქციებიძალაში რჩება. განსხვავება ერთ თავისებურ მომენტშია, რომელსაც ახლავე განვიხილავთ.

დიახ, და მე გეტყვით სასიხარულო ამბავს - ქვემოთ განხილული დავალებები შესრულებულია საკმაოდ მკაცრი და მკაფიო ალგორითმის მიხედვით, ქვის გარეშე, სამი ბილიკის წინ.

მაგალითი 1

1) პირველ ეტაპზე ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხებს:

2) ვიყენებთ წარმოებულის წრფივობის წესებს (გაკვეთილის პირველი ორი წესი როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტილებების მაგალითები):

3) პირდაპირი დიფერენციაცია.
როგორ განვასხვავოთ სრულიად ნათელია. რა უნდა გააკეთოს იქ, სადაც არის "თამაშები" პარალიზის ქვეშ?

- უბრალოდ სამარცხვინოდ, ფუნქციის წარმოებული უდრის მის წარმოებულს: .

როგორ განვასხვავოთ
აქ გვაქვს რთული ფუნქცია. რატომ? როგორც ჩანს, სინუსის ქვეშ არის მხოლოდ ერთი ასო "Y". მაგრამ ფაქტია, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი ასო "y" - თავისთავად არის ფუნქცია(განმარტება იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისში). ამრიგად, სინუსი არის გარეგანი ფუნქცია და არის შიდა ფუნქცია. ჩვენ ვიყენებთ წესს რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის :

პროდუქტს ჩვეული წესით ვარჩევთ :

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ - ასევე რთული ფუნქციაა, ნებისმიერი "თამაში ზარებითა და სასტვენებით" რთული ფუნქციაა:

თავად გამოსავალი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:


თუ არის ფრჩხილები, გააფართოვეთ ისინი:

4) მარცხენა მხარეს ვაგროვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს "Y"-ს უბრალო სიმბოლოთი. დანარჩენი ყველაფერი მარჯვენა მხარეს გადაიტანეთ:

5) მარცხენა მხარეს ვიღებთ წარმოებულს ფრჩხილებიდან:

6) და პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ამ ფრჩხილებს ჩავყრით მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

წარმოებული იქნა ნაპოვნი. მზადაა.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ფუნქციის გადაწერა შეიძლება იმპლიციტურად. მაგალითად, ფუნქცია შეიძლება გადაწეროთ ასე: . და განასხვავეთ იგი ახლახან განხილული ალგორითმის გამოყენებით. სინამდვილეში, ფრაზები „იმპლიციტური ფუნქცია“ და „იმპლიციტური ფუნქცია“ განსხვავდება ერთი სემანტიკური ნიუანსით. ფრაზა "იმპლიციტურად მითითებული ფუნქცია" უფრო ზოგადი და სწორია, - ეს ფუნქცია მითითებულია იმპლიციტურად, მაგრამ აქ შეგიძლიათ გამოხატოთ "თამაში" და წარმოადგინოთ ფუნქცია აშკარად. სიტყვები "იმპლიციტური ფუნქცია" უფრო ხშირად ნიშნავს "კლასიკურ" იმპლიციტურ ფუნქციას, როდესაც "თამაშის" გამოხატვა შეუძლებელია.

ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ „იმპლიციტულ განტოლებას“ შეუძლია ერთდროულად განსაზღვროს ორი ან კიდევ მეტი ფუნქცია, მაგალითად, წრის განტოლება ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციებს, რომლებიც განსაზღვრავენ ნახევარწრილებს, მაგრამ, ამ სტატიის ფარგლებში, ჩვენ არ განვასხვავებთ ტერმინებსა და ნიუანსებს შორის, ეს იყო მხოლოდ ინფორმაცია ზოგადი განვითარებისთვის.

მეორე გამოსავალი

ყურადღება!თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ მეორე მეთოდს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იცით, როგორ იპოვოთ დამაჯერებლად ნაწილობრივი წარმოებულები. დამწყებთათვის სწავლა მათემატიკური ანალიზიდა ჩაიდანი გთხოვთ არ წაიკითხოთ და გამოტოვოთ ეს წერტილითორემ შენი თავი სრული არეულობა იქნება.

ვიპოვოთ იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული მეორე მეთოდის გამოყენებით.

ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარცხენა მხარეს:

და განიხილეთ ორი ცვლადის ფუნქცია:

შემდეგ ჩვენი წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით
მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

ამრიგად:

მეორე გამოსავალი საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ შემოწმება. მაგრამ მათთვის მიზანშეწონილი არ არის დავალების საბოლოო ვერსიის დაწერა, რადგან ნაწილობრივი წარმოებულები მოგვიანებით აითვისება და სტუდენტმა, რომელიც სწავლობს თემას „ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული“ ჯერ არ უნდა იცოდეს ნაწილობრივი წარმოებულები.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

იპოვნეთ იმპლიციურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

დაამატეთ შტრიხები ორივე ნაწილს:

ჩვენ ვიყენებთ წრფივობის წესებს:

წარმოებულების პოვნა:

ყველა ფრჩხილის გახსნა:

ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, დანარჩენს მარჯვენა მხარეს:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 3

იპოვნეთ იმპლიციურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

არც ისე იშვიათია წილადების წარმოქმნა დიფერენცირების შემდეგ. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა მოიცილოთ ფრაქციები. მოდით შევხედოთ კიდევ ორ მაგალითს.

მაგალითი 4

იპოვნეთ იმპლიციურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ და ვიყენებთ წრფივობის წესს:

დიფერენცირება რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით და კოეფიციენტთა დიფერენცირების წესი :

ფრჩხილების გაფართოება:

ახლა ჩვენ უნდა მოვიშოროთ წილადი. ეს შეიძლება გაკეთდეს მოგვიანებით, მაგრამ უფრო რაციონალურია ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ. წილადის მნიშვნელი შეიცავს . გაამრავლე ზე . დეტალურად, ასე გამოიყურება:

ზოგჯერ დიფერენცირების შემდეგ ჩნდება 2-3 ფრაქცია. მაგალითად, სხვა წილადი რომ გვქონდეს, მაშინ ოპერაცია უნდა განმეორდეს - გამრავლება თითოეული ნაწილის ყოველი ტერმინი on

მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან გამოვყავით:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 5

იპოვნეთ იმპლიციურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. ერთადერთი ისაა, რომ სანამ წილადს მოიშორებ, ჯერ თავად წილადის სამსართულიანი სტრუქტურის მოშორება დაგჭირდება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული

ნუ ხაზს ვუსვამთ, ამ აბზაცში ყველაფერი ასევე საკმაოდ მარტივია. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ზოგადი ფორმულა, მაგრამ გასაგებად, მაშინვე დავწერ კონკრეტული მაგალითი. პარამეტრულ ფორმაში ფუნქცია მოცემულია ორი განტოლებით: . ხშირად განტოლებები იწერება არა ხვეული ფრჩხილების ქვეშ, არამედ თანმიმდევრულად: , .

ცვლადს პარამეტრი ეწოდებადა შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები "მინუს უსასრულობიდან" "პლუს უსასრულობამდე". განვიხილოთ, მაგალითად, მნიშვნელობა და ჩაანაცვლეთ იგი ორივე განტოლებაში: . ან ადამიანური თვალსაზრისით: „თუ x უდრის ოთხს, მაშინ y უდრის ერთს“. თქვენ შეგიძლიათ მონიშნოთ წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე და ეს წერტილი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას. ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი "te" პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. რაც შეეხება "რეგულარულ" ფუნქციას, ამერიკელი ინდიელებისთვის პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ყველა უფლება ასევე დაცულია: შეგიძლიათ შექმნათ გრაფიკი, იპოვოთ წარმოებულები და ა.შ. სხვათა შორის, თუ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკის დახატვა გჭირდებათ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩემი პროგრამა.

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია ფუნქციის ცალსახად წარმოდგენა. გამოვხატოთ პარამეტრი: – პირველი განტოლებიდან და ჩავანაცვლოთ მეორე განტოლებით: . შედეგი არის ჩვეულებრივი კუბური ფუნქცია.

უფრო "მძიმე" შემთხვევებში, ეს ხრიკი არ მუშაობს. მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან არსებობს პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულა:

ჩვენ ვპოულობთ "თამაშის" წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ყველა დიფერენციაციის წესი და წარმოებულების ცხრილი მოქმედებს, ბუნებრივია, ასოსთვის, ამდენად, წარმოებულების მოძიების პროცესში სიახლე არ არის. უბრალოდ გონებრივად შეცვალეთ ცხრილის ყველა "X" ასო "ტე".

ჩვენ ვპოულობთ "x-ის წარმოებულს te ცვლადის მიმართ":

ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი წარმოებულების ჩანაცვლება ჩვენს ფორმულაში:

მზადაა. წარმოებული, ისევე როგორც ფუნქცია, ასევე დამოკიდებულია პარამეტრზე.

რაც შეეხება აღნიშვნას, იმის ნაცვლად, რომ ჩაწერო იგი ფორმულაში, შეიძლება უბრალოდ დაწერო აბსკრიპტის გარეშე, რადგან ეს არის "რეგულარული" წარმოებული "X-ის მიმართ". მაგრამ ლიტერატურაში ყოველთვის არის ვარიანტი, ამიტომ სტანდარტს არ გადავუხვევ.

მაგალითი 6

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

IN ამ შემთხვევაში:

ამრიგად:

პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის განსაკუთრებული თვისებაა ის ფაქტი, რომ ყოველ ნაბიჯზე მომგებიანია შედეგის მაქსიმალურად გამარტივება. ასე რომ, განხილულ მაგალითში, როდესაც ვიპოვე, გავხსენი ფრჩხილები ძირის ქვეშ (თუმცა შეიძლება ეს არ გამეკეთებინა). დიდი შანსია, რომ ფორმულაში ჩანაცვლებისას ბევრი რამ კარგად შემცირდეს. თუმცა, რა თქმა უნდა, არის მაგალითები მოუხერხებელი პასუხებით.

მაგალითი 7

იპოვეთ პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

სტატიაში უმარტივესი ტიპიური პრობლემები წარმოებულებთანჩვენ გადავხედეთ მაგალითებს, რომლებშიც გვჭირდებოდა ფუნქციის მეორე წარმოებულის პოვნა. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე წარმოებული და ის გვხვდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: . სავსებით აშკარაა, რომ მეორე წარმოებულის საპოვნელად ჯერ პირველი წარმოებული უნდა იპოვო.

მაგალითი 8

იპოვეთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულები

პირველი, მოდით ვიპოვოთ პირველი წარმოებული.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

ამ შემთხვევაში:

ფუნქცია Z= f(x; y) ეწოდება იმპლიციტურს, თუ იგი მოცემულია განტოლებით F(x,y,z)=0 გადაუჭრელი Z-ის მიმართ. მოდი ვიპოვოთ Z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები მოცემული იმპლიციტურად. ამისათვის, F(x;y) ფუნქციის ჩანაცვლებით განტოლებაში Z-ის ნაცვლად, მივიღებთ იდენტობას F(x,y, f(x,y))=0. ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები იდენტურად ნულის ტოლია x და y მიმართ ასევე ნულის ტოლია.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (განიხილება მუდმივი)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (x განიხილება მუდმივი)

სად
და

მაგალითი: იპოვეთ განტოლებით მოცემული Z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
.

აქ F(x,y,z)=
;
;
;
. ზემოთ მოცემული ფორმულების მიხედვით გვაქვს:

და

1. მიმართულების წარმოებული

მოდით ორი ცვლადის ფუნქცია Z= f(x; y) მოცემული იყოს M წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში (x,y). განვიხილოთ ერთეული ვექტორით განსაზღვრული მიმართულება
, სად
(იხილეთ სურათი).

სწორ ხაზზე, რომელიც ამ მიმართულებით გადის M წერტილის გავლით, ვიღებთ M 1 წერტილს (
) ისე, რომ სიგრძე
სეგმენტიMM 1 უდრის
. f(M) ფუნქციის ზრდა განისაზღვრება მიმართებით, სადაც
დაკავშირებული ურთიერთობებით. თანაფარდობის ლიმიტი ზე
დაერქმევა ფუნქციის წარმოებულს
წერტილში
მიმართულებით და იყოს დანიშნული .

=

თუ ფუნქცია Z დიფერენცირებადია წერტილში
, მაშინ მისი ზრდა ამ ეტაპზე ურთიერთობების გათვალისწინებით
შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით.

ორივე ნაწილის გაყოფა

და ლიმიტზე გადასვლა ზე
ვიღებთ ფორმულას Z= f(x; y) ფუნქციის წარმოებულის მიმართულებით:

1. გრადიენტი

განვიხილოთ სამი ცვლადის ფუნქცია
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია
.

ამ ფუნქციის გრადიენტი
M წერტილში არის ვექტორი, რომლის კოორდინატები შესაბამისად ტოლია ნაწილობრივი წარმოებულების
ამ ეტაპზე. გრადიენტის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო
.
=
.

.გრადიენტი მიუთითებს მოცემულ წერტილში ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებაზე.

ვინაიდან ერთეული ვექტორი აქვს კოორდინატები (
), შემდეგ სამი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევის მიმართულების წარმოებული იწერება სახით, ე.ი. აქვს ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულა და
. მოდით გადავიწეროთ ბოლო ფორმულა შემდეგნაირად:

, სად - კუთხე ვექტორს შორის და
. მას შემდეგ, რაც
, მაშინ აქედან გამომდინარეობს, რომ მიმართულებით ფუნქციის წარმოებული იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას at =0, ე.ი. როდესაც ვექტორების მიმართულება და
მატჩი. ამავე დროს
ანუ, ფაქტობრივად, ფუნქციის გრადიენტი ახასიათებს ამ ფუნქციის გაზრდის მაქსიმალური სიჩქარის მიმართულებას და სიდიდეს წერტილში.

1. ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმი

ორი ცვლადის ფუნქციის max, min, extremum ცნებები მსგავსია ერთი ცვლადის ფუნქციის შესაბამისი ცნებებისა. დაე, ფუნქცია Z= f(x; y) განისაზღვროს რომელიმე D დომენში და ა.შ.
ეკუთვნის ამ ტერიტორიას. წერტილი M
ეწოდება Z= f(x; y) ფუნქციის max წერტილი, თუ არსებობს წერტილის ასეთი δ-მეზობლობა.
, რომ ამ სამეზობლოდან თითოეული წერტილისთვის არის უთანასწორობა
. წერტილი min განისაზღვრება ანალოგიურად, შეიცვლება მხოლოდ უტოლობის ნიშანი
. max(min) წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას ეწოდება მაქსიმუმი (მინიმუმი). ფუნქციის მაქსიმუმს და მინიმუმს ექსტრემას უწოდებენ.

1. აუცილებელი და საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის

თეორემა:(აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის). თუ წერტილში მ
დიფერენცირებად ფუნქციას Z= f(x; y) აქვს უკიდურესი, მაშინ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ამ ეტაპზე ნულის ტოლია:
,
.

მტკიცებულება:ერთ-ერთი x ან y ცვლადის დაფიქსირების შემდეგ, ჩვენ გარდაქმნით Z = f(x; y) ერთი ცვლადის ფუნქციად, რომლის ექსტრემისთვის უნდა დაკმაყოფილდეს ზემოაღნიშნული პირობები. გეომეტრიული თანასწორობები
და
ნიშნავს, რომ Z= f(x; y) ფუნქციის უკიდურეს წერტილში ზედაპირის ტანგენსი, რომელიც წარმოადგენს f(x,y)=Z ფუნქციას, არის OXY სიბრტყის პარალელურად, რადგან ტანგენტის სიბრტყის განტოლებაა Z = Z 0. წერტილი, სადაც Z = f (x; y) ფუნქციის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ე.ი.
,
, ეწოდება ფუნქციის სტაციონარული წერტილი. ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ექსტრემუმი იმ წერტილებში, სადაც მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს. მაგალითადZ=|-
| აქვს max O(0,0) წერტილში, მაგრამ არ აქვს წარმოებულები ამ ეტაპზე.

სტაციონარული წერტილები და წერტილები, რომლებზეც მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული წერტილები.კრიტიკულ წერტილებში ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ექსტრემუმი. ნაწილობრივი წარმოებულების ტოლობა ნულთან არის აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის. მაგალითად, როდესაც Z=xy, წერტილი O(0,0) კრიტიკულია. თუმცა Z=xy ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი. (რადგან I და III კვარტალებში Z>0, ხოლო II და IV კვარტალებში – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

თეორემა: (საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის). დაუშვით სტაციონარულ წერტილში
ხოლო გარკვეულ მიდამოებში f(x; y) ფუნქციას აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მე-2 რიგის ჩათვლით. მოდით გამოვთვალოთ წერტილი
ღირებულებები
,
და
. აღვნიშნოთ

იმ შემთხვევაში
, ექსტრემალური წერტილში
შეიძლება იყოს ან არ იყოს. მეტი კვლევაა საჭირო.

ან მოკლედ - იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული. რა არის იმპლიციტური ფუნქცია? ვინაიდან ჩემი გაკვეთილები პრაქტიკულია, ვცდილობ თავი ავარიდო განმარტებებს და თეორემებს, მაგრამ აქ ამის გაკეთება მიზანშეწონილი იქნებოდა. მაინც რა არის ფუნქცია?

ერთი ცვლადის ფუნქცია არის წესი, რომელიც აცხადებს, რომ დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობისთვის არის ფუნქციის ერთი და მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა.

არის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას. ცვლადი ეწოდებადამოუკიდებელი ცვლადი ან.
ცვლადი ეწოდება ცვლადი ეწოდებადამოუკიდებელი ცვლადი დამოკიდებული ცვლადი.

უხეშად რომ ვთქვათ, ასო "Y" ამ შემთხვევაში არის ფუნქცია.

ფუნქცია აქამდე ჩვენ გადავხედეთ განსაზღვრულ ფუნქციებსგამოკვეთილი

ფორმა. რას ნიშნავს ეს? მოდით ჩავატაროთ დებრიფინგი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ გვაქვს მარტოხელა "თამაში" (ფუნქცია), ხოლო მარჯვნივ - ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ გვყავს მარტოხელა "მოთამაშე", ხოლო მარჯვნივ -. ანუ ფუნქცია აშკარადგამოხატული დამოუკიდებელი ცვლადის საშუალებით.

მოდით შევხედოთ სხვა ფუნქციას:

ეს არის სადაც ცვლადები აირია. მეტიც შეუძლებელია ნებისმიერი საშუალებითგამოხატეთ "Y" მხოლოდ "X"-ით. რა არის ეს მეთოდები? ტერმინების ნაწილიდან ნაწილზე გადატანა ნიშნის ცვლილებით, ფრჩხილებიდან გადატანა, პროპორციის წესის მიხედვით ფაქტორების გადაყრა და ა.შ. გადაწერეთ ტოლობა და შეეცადეთ გამოხატოთ „y“ ცალსახად: . შეგიძლიათ საათობით გადაატრიალოთ და გადაატრიალოთ განტოლება, მაგრამ წარმატებას ვერ მიაღწევთ.

ნება მომეცით გაგაცნოთ: - მაგალითი იმპლიციტური ფუნქცია.

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ იმპლიციტური ფუნქცია არსებობს(თუმცა, არა ყოველთვის), მას აქვს გრაფიკი (ისევე, როგორც "ნორმალური" ფუნქცია). იმპლიციტური ფუნქცია ზუსტად იგივეა არსებობსპირველი წარმოებული, მეორე წარმოებული და ა.შ. როგორც ამბობენ, სექსუალური უმცირესობების ყველა უფლება დაცულია.

და ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად. არც ისე რთულია! ძალაში რჩება დიფერენციაციის ყველა წესი და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. განსხვავება ერთ თავისებურ მომენტშია, რომელსაც ახლავე განვიხილავთ.

დიახ, და მე გეტყვით სასიხარულო ამბავს - ქვემოთ განხილული დავალებები შესრულებულია საკმაოდ მკაცრი და მკაფიო ალგორითმის მიხედვით, ქვის გარეშე, სამი ბილიკის წინ.

მაგალითი 1

1) პირველ ეტაპზე ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხებს:

2) ვიყენებთ წარმოებულის წრფივობის წესებს (გაკვეთილის პირველი ორი წესი როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტილებების მაგალითები):

3) პირდაპირი დიფერენციაცია.
როგორ განვასხვავოთ სრულიად ნათელია. რა უნდა გააკეთოს იქ, სადაც არის "თამაშები" პარალიზის ქვეშ?

უბრალოდ სამარცხვინოდ ფუნქციის წარმოებული უდრის მის წარმოებულს: .

როგორ განვასხვავოთ

აქ გვაქვს რთული ფუნქცია. რატომ? როგორც ჩანს, სინუსის ქვეშ არის მხოლოდ ერთი ასო "Y". მაგრამ ფაქტია, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი ასო "y" - თავისთავად არის ფუნქცია(განმარტება იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისში). ამრიგად, სინუსი არის გარეგანი ფუნქცია და არის შიდა ფუნქცია. რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს ვიყენებთ:

ჩვენ განვასხვავებთ პროდუქტს ჩვეულებრივი წესის მიხედვით:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ - ასევე რთული ფუნქციაა, ნებისმიერი "თამაში ზარებითა და სასტვენებით" რთული ფუნქციაა:

თავად გამოსავალი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

თუ არის ფრჩხილები, გააფართოვეთ ისინი:

4) მარცხენა მხარეს ვაგროვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს "Y"-ს უბრალო სიმბოლოთი. დანარჩენი ყველაფერი მარჯვენა მხარეს გადაიტანეთ:

5) მარცხენა მხარეს ვიღებთ წარმოებულს ფრჩხილებიდან:

6) და პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ამ ფრჩხილებს ჩავყრით მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

წარმოებული იქნა ნაპოვნი. მზადაა.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ფუნქციის გადაწერა შეიძლება იმპლიციტურად. მაგალითად, ფუნქცია შეიძლება გადაიწეროს ასე: . და განასხვავეთ იგი ახლახან განხილული ალგორითმის გამოყენებით. სინამდვილეში, ფრაზები „იმპლიციტური ფუნქცია“ და „იმპლიციტური ფუნქცია“ განსხვავდება ერთი სემანტიკური ნიუანსით. ფრაზა "ფუნქცია მითითებული იმპლიციტური ფორმით" უფრო ზოგადი და სწორია - ეს ფუნქცია მითითებულია იმპლიციტური ფორმით, მაგრამ აქ შეგიძლიათ გამოხატოთ "თამაში" და წარმოადგინოთ ფუნქცია ცალსახად. ფრაზა "იმპლიციტური ფუნქცია" ეხება "კლასიკურ" იმპლიციტურ ფუნქციას, როდესაც "თამაში" ვერ გამოხატულია.

მეორე გამოსავალი

ყურადღება!თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ მეორე მეთოდს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იცით, როგორ მოძებნოთ ნაწილობრივი წარმოებულები. დამწყებთათვის და მათემატიკური ანალიზის შესწავლის დამწყებთათვის, გთხოვთ, არ წაიკითხოთ და გამოტოვოთ ეს პუნქტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენი თავი სრული არეულობა იქნება.

ვიპოვოთ იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული მეორე მეთოდის გამოყენებით.

ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარცხენა მხარეს:

და განიხილეთ ორი ცვლადის ფუნქცია:

შემდეგ ჩვენი წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით

მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

ამრიგად:

მეორე გამოსავალი საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ შემოწმება. მაგრამ მათთვის მიზანშეწონილი არ არის დავალების საბოლოო ვერსიის დაწერა, რადგან ნაწილობრივი წარმოებულები მოგვიანებით აითვისება და სტუდენტმა, რომელიც სწავლობს თემას „ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული“ ჯერ არ უნდა იცოდეს ნაწილობრივი წარმოებულები.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

იპოვნეთ იმპლიციურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

დაამატეთ შტრიხები ორივე ნაწილს:

ჩვენ ვიყენებთ წრფივობის წესებს:

წარმოებულების პოვნა:

ყველა ფრჩხილის გახსნა:

ჩვენ ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, დანარჩენი - მარჯვნივ:

მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან გამოვყავით:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 3

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

არცთუ იშვიათია წილადების წარმოქმნა დიფერენცირების შემდეგ. ასეთ შემთხვევებში თქვენ უნდა მოიცილოთ ფრაქციები. მოდით შევხედოთ კიდევ ორ მაგალითს: თითოეული ნაწილის თითოეული ტერმინი

მაგალითი 5

იპოვნეთ იმპლიციურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ერთადერთი ისაა, რომ სანამ წილადს მოიშორებ, ჯერ თავად წილადის სამსართულიანი სტრუქტურის მოშორება დაგჭირდება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.