ექსტრემის აუცილებელი და საკმარისი ნიშანი. ფუნქციის უკიდურესობა. ექსტრემის აუცილებელი ნიშანი. ექსტრემის საკმარისი ნიშანი პირველი და მეორე წარმოებულების გამოყენებით. საკმარისი პირობები ფუნქციის გაზრდისა და შემცირებისთვის

ფუნქციის ქცევის შესახებ ძალიან მნიშვნელოვან ინფორმაციას გვაწვდის მზარდი და კლებადი ინტერვალებით. მათი პოვნა ფუნქციის შესწავლისა და გრაფიკის შედგენის პროცესის ნაწილია. გარდა ამისა, ექსტრემალურ წერტილებს, რომლებშიც ხდება ცვლილება გაზრდიდან კლებამდე ან კლებიდან გაზრდისკენ, განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას გარკვეულ ინტერვალზე.

ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ საჭირო განმარტებებს, ჩამოვაყალიბებთ საკმარისი მტკიცებულებაფუნქციის გაზრდა-დაკლება ინტერვალზე და საკმარისი პირობები ექსტრემის არსებობისთვის, ჩვენ მთელ ამ თეორიას გამოვიყენებთ მაგალითებისა და პრობლემების გადასაჭრელად.

გვერდის ნავიგაცია.

ფუნქციის გაზრდა და შემცირება ინტერვალზე.

მზარდი ფუნქციის განმარტება.

ფუნქცია y=f(x) იზრდება X ინტერვალზე, თუ რომელიმე და უთანასწორობა მოქმედებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო დიდ ფუნქციის მნიშვნელობას.

კლებადი ფუნქციის განმარტება.

ფუნქცია y=f(x) მცირდება X ინტერვალზე, თუ რომელიმე და უთანასწორობა მოქმედებს . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

შენიშვნა: თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მზარდი ან კლებადი ინტერვალის ბოლოებში (a;b), ანუ x=a და x=b, მაშინ ეს წერტილები შედის მზარდ ან კლებად ინტერვალში. ეს არ ეწინააღმდეგება X ინტერვალზე მზარდი და კლებადი ფუნქციის განმარტებებს.

მაგალითად, ძირითადი თვისებებიდან ელემენტარული ფუნქციებიჩვენ ვიცით, რომ y=sinx არის განსაზღვრული და უწყვეტი არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის. მაშასადამე, სინუსური ფუნქციის გაზრდიდან ინტერვალზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის იზრდება ინტერვალზე.

ექსტრემალური წერტილები, ფუნქციის ექსტრემა.

წერტილი ე.წ მაქსიმალური ქულაფუნქცია y=f(x) თუ უტოლობა მართალია ყველა x-სთვის მის სამეზობლოში. ფუნქციის მნიშვნელობა მაქსიმალურ წერტილში ეწოდება ფუნქციის მაქსიმუმიდა აღნიშნეთ .

წერტილი ე.წ მინიმალური ქულაფუნქცია y=f(x) თუ უტოლობა მართალია ყველა x-სთვის მის სამეზობლოში. მინიმალურ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობა ეწოდება მინიმალური ფუნქციადა აღნიშნეთ .

წერტილის მეზობლობა გაგებულია, როგორც ინტერვალი , სადაც არის საკმარისად მცირე დადებითი რიცხვი.

მინიმალური და მაქსიმალური ქულა ეწოდება ექსტრემალური წერტილებიდა ეწოდება ექსტრემალური წერტილების შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობებს ფუნქციის უკიდურესი.

არ აურიოთ ფუნქციის უკიდურესობა უდიდეს და ყველაზე დაბალი ღირებულებაფუნქციები.

პირველ სურათზე უმაღლესი ღირებულებასეგმენტზე ფუნქცია მიიღწევა მაქსიმალურ წერტილში და უდრის ფუნქციის მაქსიმუმს, ხოლო მეორე ფიგურაში - ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა x=b წერტილში, რომელიც არ არის მაქსიმალური წერტილი.

საკმარისი პირობები ფუნქციების გაზრდისა და შემცირებისთვის.

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირებისთვის საკმარისი პირობების (ნიშნების) საფუძველზე გვხვდება ფუნქციის მატებისა და შემცირების ინტერვალები.

აქ მოცემულია ფუნქციების გაზრდისა და შემცირების ნიშნების ფორმულირებები ინტერვალით:

• თუ y=f(x) ფუნქციის წარმოებული დადებითია X ინტერვალიდან რომელიმე x-ზე, მაშინ ფუნქცია იზრდება X-ით;
• თუ y=f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია X ინტერვალიდან რომელიმე x-ზე, მაშინ ფუნქცია მცირდება X-ზე.

ამრიგად, ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად აუცილებელია:

განვიხილოთ ალგორითმის ასახსნელად გაზრდისა და კლების ფუნქციების ინტერვალების პოვნის მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ გაზრდისა და კლების ფუნქციის ინტერვალები.

გამოსავალი.

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნა. ჩვენს მაგალითში, მნიშვნელში გამოსახულება არ უნდა იყოს ნულამდე, შესაბამისად, .

მოდით გადავიდეთ ფუნქციის წარმოებულის პოვნაზე:

საკმარისი კრიტერიუმის საფუძველზე ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას განმარტების დომენზე. გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდის განზოგადება. მრიცხველის ერთადერთი რეალური ფესვი არის x = 2, ხოლო მნიშვნელი მიდის ნულზე x=0-ზე. ეს წერტილები ყოფს განსაზღვრების დომენს ინტერვალებად, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს. მოდი აღვნიშნოთ ეს წერტილები რიცხვთა წრფეზე. ჩვენ პირობითად აღვნიშნავთ პლიუსებით და მინუსებით იმ ინტერვალებს, რომლებშიც წარმოებული არის დადებითი ან უარყოფითი. ქვემოთ მოცემული ისრები სქემატურად აჩვენებს ფუნქციის ზრდას ან შემცირებას შესაბამის ინტერვალზე.

ამრიგად, და .

წერტილში x=2 ფუნქცია არის განსაზღვრული და უწყვეტი, ამიტომ მას უნდა დაემატოს როგორც მზარდი, ისე კლებადი ინტერვალები. x=0 წერტილში ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ამ წერტილს საჭირო ინტერვალებში არ შევიტანთ.

წარმოგიდგენთ ფუნქციის გრაფიკს მასთან მიღებული შედეგების შესადარებლად.

პასუხი:

ფუნქცია იზრდება , მცირდება ინტერვალზე (0;2] .

ფუნქციის ექსტრემუმის საკმარისი პირობები.

ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმუმის საპოვნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ექსტრემის სამი ნიშანიდან რომელიმე, რა თქმა უნდა, თუ ფუნქცია აკმაყოფილებს მათ პირობებს. ყველაზე გავრცელებული და მოსახერხებელი პირველი მათგანია.

პირველი საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის.

y=f(x) ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი წერტილის -მეზობლად და უწყვეტი თავად წერტილში.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

ექსტრემალური წერტილების პოვნის ალგორითმი ფუნქციის უკიდურესობის პირველი ნიშნის საფუძველზე.

• ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს.
• ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს განმარტების დომენზე.
• ჩვენ განვსაზღვრავთ მრიცხველის ნულებს, წარმოებულის მნიშვნელის ნულებს და განსაზღვრების სფეროს წერტილებს, რომლებშიც წარმოებული არ არსებობს (ყველა ჩამოთვლილი წერტილი ე.წ. შესაძლო ექსტრემის წერტილები, ამ წერტილების გავლით, წარმოებულს შეუძლია უბრალოდ შეცვალოს თავისი ნიშანი).
• ეს წერტილები ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს ინტერვალებად, რომლებშიც წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს. ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალზე (მაგალითად, ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობის გამოთვლით კონკრეტული ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში).
• ჩვენ ვირჩევთ წერტილებს, რომლებზეც ფუნქცია უწყვეტია და, რომლის გავლითაც, წარმოებული ცვლის ნიშანს - ეს არის უკიდურესი წერტილები.

ძალიან ბევრი სიტყვაა, მოდით გადავხედოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილებისა და ექსტრემების პოვნის რამდენიმე მაგალითს ფუნქციის ექსტრემისთვის პირველი საკმარისი პირობის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

გამოსავალი.

ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი სიმრავლე x=2-ის გარდა.

წარმოებულის პოვნა:

მრიცხველის ნულები არის წერტილები x=-1 და x=5, მნიშვნელი ხვდება ნულზე x=2-ზე. მონიშნეთ ეს წერტილები რიცხვის ღერძზე

წარმოებულის ნიშნებს განვსაზღვრავთ ამის გასაკეთებლად, წარმოებულის მნიშვნელობას გამოვთვლით ყოველი ინტერვალის წერტილებში, მაგალითად, x=-2, x=0, x=3 და; x=6.

მაშასადამე, ინტერვალზე წარმოებული დადებითია (სურათზე ჩვენ ამ ინტერვალზე ვსვამთ პლუს ნიშანს). ანალოგიურად

მაშასადამე, მეორე ინტერვალის ზემოთ ვაყენებთ მინუსს, მესამეზე მინუსს და მეოთხეზე პლიუსს.

რჩება ისეთი წერტილების შერჩევა, რომლებშიც ფუნქცია უწყვეტია და მისი წარმოებული ცვლის ნიშანს. ეს არის ექსტრემალური წერტილები.

წერტილში x=-1 ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსამდე, შესაბამისად, ექსტრემის პირველი ნიშნის მიხედვით, x=-1 არის მაქსიმალური წერტილი, ფუნქციის მაქსიმუმი მას შეესაბამება. .

წერტილში x=5 ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, შესაბამისად, x=-1 არის მინიმალური წერტილი, ფუნქციის მინიმუმი მას შეესაბამება. .

გრაფიკული ილუსტრაცია.

პასუხი:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ: ექსტრემის პირველი საკმარისი კრიტერიუმი არ მოითხოვს ფუნქციის დიფერენცირებას თავად წერტილში.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და ექსტრემები .

გამოსავალი.

ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები. თავად ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

წერტილში x=0 წარმოებული არ არსებობს, რადგან ცალმხრივი ზღვრების მნიშვნელობები არ ემთხვევა, როცა არგუმენტი ნულისკენ მიისწრაფვის:

ამავდროულად, საწყისი ფუნქცია უწყვეტია x=0 წერტილში (იხ. განყოფილება უწყვეტობის ფუნქციის შესწავლის შესახებ):

მოდით ვიპოვოთ არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც წარმოებული მიდის ნულზე:

აღვნიშნოთ ყველა მიღებული წერტილი რიცხვთა წრფეზე და განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე. ამისათვის ჩვენ გამოვთვლით წარმოებულის მნიშვნელობებს თითოეული ინტერვალის თვითნებურ წერტილებზე, მაგალითად, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

ანუ

ამრიგად, ექსტრემის პირველი ნიშნის მიხედვით, მინიმალური ქულებია , მაქსიმალური ქულებია .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის შესაბამის მინიმუმებს

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის შესაბამის მაქსიმუმებს

გრაფიკული ილუსტრაცია.

პასუხი:

.

ფუნქციის უკიდურესობის მეორე ნიშანი.

როგორც ხედავთ, ფუნქციის უკიდურესობის ეს ნიშანი მოითხოვს წარმოებულის არსებობას მინიმუმ მეორე რიგის წერტილში.

ფუნქციის ქცევის შესამოწმებლად, თქვენ უნდა:

2) გაუტოლეთ ეს წარმოებული ნულს და ამოხსენით მიღებული განტოლება
მისი ფესვები
არის სტაციონარული წერტილები.

3) სტაციონარული ქულები დაექვემდებაროს დამატებით კვლევას, რისთვისაც დახაზეთ ისინი რიცხვით ღერძზე და განსაზღვრეთ ნიშნები
მიღებულ უბნებზე. ამ ნიშნების ცოდნით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ თითოეული სტაციონარული წერტილის ბუნება .
თუ სტაციონარული წერტილის გავლისას წარმოებული
ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ სტაციონარული წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი. თუ სტაციონარული წერტილის გავლისას წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, მაშინ სტაციონარული წერტილი არის მინიმალური წერტილი. თუ სტაციონარული წერტილის გავლისას წარმოებული

არ იცვლის ნიშანს, მაშინ სტაციონარული წერტილი არ არის ექსტრემალური წერტილი.

ზოგჯერ ექსტრემის აღმოჩენისას გამოიყენება სხვა საკმარისი პირობები, რომლებშიც ექსტრემალური წერტილის ბუნება განისაზღვრება სტაციონარულ წერტილში მეორე წარმოებულის ნიშნით. თეორემა (მეორე საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის). --- ფუნქციის სტაციონარული წერტილი
(ანუ და აქვს მეორე წარმოებული , უწყვეტი წერტილის მიმდებარედ

.მაშინ
1) თუ , ეს ;

--- ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი
1) თუ 2) თუ

--- ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

მაგალითი 3. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი.
გამოსავალი. იმიტომ რომ
საკმარისია გავითვალისწინოთ მხოლოდ ინტერვალი 0-დან
. ჩვენ ვიპოვით
(ანუ
:

,
.

გათანაბრება
ნულამდე ვპოულობთ სტაციონალურ წერტილებს:

ან
. შუალედში
ამ განტოლების ორი ფესვია:
(ანუ
. განვსაზღვროთ ნიშანი
ამ წერტილებში:
, აქედან გამომდინარე
--- მაქსიმალური ქულა:

, აქედან გამომდინარე
--- მინიმალური ქულა.

ამოზნექილობისა და ჩაზნექის ფუნქციების შესწავლა. გადახრის წერტილები

განვიხილოთ მრუდი Г სიბრტყეზე, რომელიც არის დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკი
.

განმარტება 1. მრუდს ამბობენ, რომ არის ამოზნექილი ზემოთ (ამოზნექილი) (a,b)-ზე, თუ ამ ინტერვალზე მრუდის ყველა წერტილი არ არის უფრო მაღალი ვიდრე მისი რომელიმე ტანგენტი.

განმარტება 2.მრუდს ეწოდება ამოზნექილი ქვევით (ჩაზნექილი).
, თუ ამ ინტერვალზე მრუდის ყველა წერტილი დევს მის რომელიმე ტანგენტზე დაბალი არ არის.

მრუდის ამოზნექილობის მიმართულება მისი ფორმის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია. დავადგინოთ კრიტერიუმები, რომელთა დახმარებითაც განვსაზღვრავთ ინტერვალებს, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკი არის ამოზნექილი (ჩაზნექილი). ასეთი ნიშანია, მაგალითად, ფუნქციის მეორე წარმოებულის ნიშანი
(თუ არსებობს).

თეორემა 1.
ფუნქციის მეორე წარმოებული არის უარყოფითი, შემდეგ მრუდი
ამოზნექილი ზემოთ ამ ინტერვალზე.

თეორემა 2.თუ ინტერვალის ყველა წერტილში
ფუნქციის მეორე წარმოებული
დადებითია, შემდეგ მრუდი
ამ ინტერვალში ის არის ჩაზნექილი (ჩაზნექილი ქვევით).

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის ამოზნექილ-ჩაზნექილი ინტერვალები

გამოსავალი. ზე

შესაბამისად, ამისთვის ფუნქცია ამოზნექილი; ზე

მაშასადამე, ამათთვის ფუნქცია ჩაზნექილია.

განმარტება 3. მრუდის ამოზნექილი ნაწილის ჩაზნექილი ნაწილისგან გამიჯნულ წერტილს დახრის წერტილი ეწოდება.

აშკარაა, რომ დახრის წერტილში ტანგენსი, თუ ის არსებობს, კვეთს მრუდს, რადგან ამ წერტილის ერთ მხარეს მრუდი დევს ტანგენტის ქვეშ, ხოლო მეორე მხარეს - მის ზემოთ.

თეორემა 3. (აუცილებელი პირობა ახვევისთვის). თუ არის მრუდის გადახრის წერტილი
და მას აქვს მეორე წარმოებული
რომ
.

აქედან გამომდინარეობს, რომ აუცილებელია შემოწმდეს მხოლოდ ის წერტილები, რომლებშიც მეორე წარმოებული უდრის ნულს ან არ არსებობს.

თეორემა 4.თუ წერტილის გავლისას მეორე წარმოებული
ცვლის ნიშანს, შემდეგ მრუდის წერტილს
აბსცისით არის გადახრის წერტილი.

მაგალითი 2. იპოვეთ მრუდის დახრის წერტილები
.

გამოსავალი. მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი:
.

წარმოებულების პოვნა:

;
.

მეორე წარმოებული არ ქრება არსად, მაგრამ როდის
არ არსებობს.

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები
წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ
:

ზე
, შესაბამისად ინტერვალზე
ფუნქცია ჩაზნექილია;

ზე
, შესაბამისად ინტერვალზე
ფუნქცია ამოზნექილია.

ამრიგად, როდესაც
არის გადახრის წერტილი
.

თეორემა (პირველი საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის). ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში და წარმოებულის ცვლილების ნიშანი წერტილის გავლისას. შემდეგ არის უკიდურესობის წერტილი: მაქსიმალური, თუ ნიშანი "+"-დან "-"-მდე იცვლება და მინიმალური, თუ "-"-დან "+"-მდე.

მტკიცებულება.ნება დართო და .

ლაგრანჟის თეორემის მიხედვით , სად .მაშინ თუ , მაშინ ; ამიტომაც , შესაბამისად, , ან . თუ, მაშინ; ამიტომაც , შესაბამისად, ან .

ამრიგად, დადასტურებულია, რომ ნებისმიერ წერტილში ახლოს, ე.ი. - ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

თეორემის დადასტურება მინიმალური წერტილისთვის ანალოგიურად ხორციელდება. თეორემა დადასტურებულია.

თუ წერტილის გავლისას წარმოებული არ ცვლის ნიშანს, მაშინ წერტილი არ არის ექსტრემი.

თეორემა (უკმარისობის მეორე საკმარისი პირობა). დავუშვათ, რომ ორჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციის წარმოებული იყოს 0 (-ის) ტოლი, ხოლო მისი მეორე წარმოებული ამ მომენტში იყოს განსხვავებული ნულიდან () და უწყვეტი იყოს წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში. შემდეგ არის ექსტრემალური წერტილი; აქ არის მინიმალური წერტილი და აქ არის მაქსიმალური წერტილი.

ფუნქციის ექსტრემის პოვნის ალგორითმი ექსტრემისთვის პირველი საკმარისი პირობის გამოყენებით.

1. იპოვეთ წარმოებული.

2. იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

3. გამოიკვლიეთ წარმოებულის ნიშანი ყოველი კრიტიკული წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ და გამოიტანეთ დასკვნა ექსტრემის არსებობის შესახებ.

4. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობები.

ფუნქციის უკიდურესობის პოვნის ალგორითმი ექსტრემისთვის მეორე საკმარისი პირობის გამოყენებით.

1. იპოვეთ წარმოებული.

2. იპოვეთ მეორე წარმოებული.

3. იპოვეთ ის წერტილები, რომლებზეც .

4. განსაზღვრეთ ნიშანი ამ წერტილებში.

5. გამოიტანე დასკვნა ექსტრემის არსებობისა და ბუნების შესახებ.

6. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობები.

მაგალითი.განვიხილოთ . ჩვენ ვიპოვით . შემდეგი, at და at. მოდით შევისწავლოთ კრიტიკული წერტილები ექსტრემისთვის პირველი საკმარისი პირობის გამოყენებით. ჩვენ გვაქვს ის , რომ და ამისთვის . წერტილებში და წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს: at "+"-დან "-"-მდე და at at "-"-დან "+"-მდე. ეს ნიშნავს, რომ ერთ წერტილში ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, ხოლო მომენტში აქვს მინიმალური; . შედარებისთვის, ჩვენ ვსწავლობთ კრიტიკულ წერტილებს ექსტრემისთვის მეორე საკმარისი პირობის გამოყენებით. ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. ჩვენ გვაქვს: , და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, ერთ წერტილში კი მინიმალური.

ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტის კონცეფცია. ჰორიზონტალური, ირიბი და ვერტიკალური ასიმპტოტები. მაგალითები.

განმარტება. ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ მანძილი წერტილიდან ამ სწორ ხაზამდე ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან გრაფიკის წერტილი განუსაზღვრელი ვადით მოძრაობს საწყისიდან.

არსებობს ვერტიკალური (სურ. 6.6 ა), ჰორიზონტალური (სურ. 6.6 ბ) და დახრილი (სურ. 6.6 გ) ასიმპტოტები.

ნახ. 6.6a ნაჩვენებია ვერტიკალური ასიმპტოტი.

ნახ. 6.6b-ში - ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ნახ. 6.6 ვ - ირიბი ასიმპტოტი.

თეორემა 1.ვერტიკალური ასიმპტოტების წერტილებში (მაგალითად, ) ფუნქცია განიცდის წყვეტას, მისი ზღვარი წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ უდრის:

თეორემა 2.დაე, ფუნქცია განისაზღვროს საკმარისად დიდი და არსებობს სასრული საზღვრები

და .

მაშინ სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტი.

თეორემა 3.დაე, ფუნქცია განისაზღვროს საკმარისად დიდისთვის და არსებობს ფუნქციის ლიმიტი. მაშინ სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტი არის ირიბი ასიმპტოტის განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც . ამიტომ, თუ რომელიმე მიმართულებით მრუდს აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტა, მაშინ ამ მიმართულებით არ არის დახრილი და პირიქით.

მაგალითი.იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

გამოსავალი. იმ წერტილში, როდესაც ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის საზღვრები წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ:

; .

აქედან გამომდინარე, არის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

ზოგადი სქემაფუნქციების კვლევა და მათი გრაფიკების აგება. მაგალითი.

ფუნქციის კვლევის ზოგადი სქემა და შეთქმულება.

1. იპოვეთ განსაზღვრების დომენი.

2. გამოიკვლიეთ თანაბარობის ფუნქცია - უცნაურობა.

3. იპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები და უწყვეტობის წერტილები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

4. გამოიკვლიეთ ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში; იპოვეთ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

5. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების უკიდურესობები და ინტერვალები.

6. იპოვეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან და საჭიროების შემთხვევაში გრაფის სქემატური ასაგებად იპოვეთ დამატებითი წერტილები.

7. სქემატურად დახაზეთ გრაფიკი.

დეტალური დიაგრამაფუნქციის შესწავლა და შეთქმულება .

1. იპოვნეთ განსაზღვრების დომენი .

ა. თუ y-ს აქვს მნიშვნელი, ის არ უნდა წავიდეს 0-ზე.

ბ. ლუწი ხარისხის ფესვის რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი (ნულზე მეტი ან ტოლი).

გ. ქველოგის გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

2. გამოიკვლიეთ ფუნქცია პარიტეტისათვის - უცნაურობა.

ა. თუ , მაშინ ფუნქცია ლუწია.

ბ. თუ , მაშინ ფუნქცია კენტია.

გ. თუ არც და არც , მაშინ არის ზოგადი ფორმის ფუნქცია.

3. იპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები და უწყვეტობის წერტილები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

ა. ვერტიკალური ასიმპტოტი შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ფუნქციის განსაზღვრის დომენის საზღვარზე.

ბ. თუ (ან), მაშინ არის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

4. ფუნქციის ქცევის გამოკვლევა უსასრულობაში; იპოვეთ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

ა. თუ , მაშინ არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ბ. თუ და , მაშინ სწორი ხაზი არის გრაფიკის დახრილი ასიმპტოტი.

გ. თუ a, b აბზაცებში მითითებული საზღვრები არსებობს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ცალმხრივი მიდრეკილია უსასრულობისკენ (ან), მაშინ მიღებული ასიმპტოტები ცალმხრივი იქნება: მარცხნივ და მარჯვნივ, როდესაც .

5. იპოვნეთ ფუნქციის ერთფეროვნების უკიდურესობები და ინტერვალები.

ა. იპოვეთ წარმოებული.

ბ. იპოვეთ კრიტიკული წერტილები (ის პუნქტები, სადაც ან სადაც არ არსებობს).

გ. რიცხვთა ღერძზე მონიშნეთ განმარტების დომენი და მისი კრიტიკული წერტილები.

დ. თითოეულ რიცხობრივ ინტერვალზე განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი.

ე. წარმოებულის ნიშნებიდან გამომდინარე გამოიტანეთ დასკვნა y-ში ექსტრემების არსებობისა და მათი ტიპის შესახებ.

ვ. იპოვნეთ ექსტრემალური ღირებულებები.

გ. წარმოებულის ნიშნებიდან გამომდინარე გამოიტანეთ დასკვნები გაზრდისა და კლების შესახებ.

6. იპოვნეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან და, საჭიროების შემთხვევაში, გრაფიკის სქემატური გამოსახატავად, იპოვეთ დამატებითი წერტილები.

ა. გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილების საპოვნელად საჭიროა განტოლების ამოხსნა. წერტილები, სადაც არის ნულები, იქნება გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები.

ბ. გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ჰგავს . ის არსებობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წერტილი ფუნქციის დომენშია.

8. სქემატურად დახაზეთ გრაფიკი.

ა. შექმენით კოორდინატთა სისტემა და ასიმპტოტები.

ბ. მონიშნეთ უკიდურესი წერტილები.

გ. მონიშნეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით.

დ. სქემატურად ააგეთ გრაფიკი ისე, რომ გაიაროს მონიშნულ წერტილებში და მიუახლოვდეს ასიმპტოტებს.

მაგალითი.შეისწავლეთ ფუნქცია და სქემატურად შექმენით მისი გრაფიკი.

2. – ზოგადი ფორმის ფუნქცია.

3. ვინაიდან და , მაშინ ხაზები და არის ვერტიკალური ასიმპტოტები; ქულები შესვენების წერტილებია. , როდესაც არ შედის ფუნქციის განსაზღვრის დომენში

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმუმის საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ექსტრემის სამი საკმარისი ნიშანიდან რომელიმე. მიუხედავად იმისა, რომ ყველაზე გავრცელებული და მოსახერხებელი პირველია.

პირველი საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის.

დაუშვით ფუნქცია y = f(x)დიფერენცირებადია წერტილის - სამეზობლოში და უწყვეტია თავად წერტილში. მერე

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

ალგორითმი.

• ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს განმარტების დომენზე.

ჩვენ განვსაზღვრავთ მრიცხველის ნულებს, წარმოებულის მნიშვნელის ნულებს და განსაზღვრების სფეროს წერტილებს, რომლებშიც წარმოებული არ არსებობს (ამ წერტილებს ე.წ. შესაძლო ექსტრემის წერტილები, ამ წერტილების გავლით, წარმოებულს შეუძლია უბრალოდ შეცვალოს თავისი ნიშანი).

ეს წერტილები ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს ინტერვალებად, რომლებშიც წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს. ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალზე (მაგალითად, ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობის გამოთვლით კონკრეტული ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში).

ჩვენ ვირჩევთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქცია უწყვეტია და რომლის გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს.

მაგალითი.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.
გამოსავალი.
ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები გარდა x = 2.
წარმოებულის პოვნა:

მრიცხველის ნულები არის წერტილები x = -1და x = 5, მნიშვნელი მიდის ნულზე at x = 2. მონიშნეთ ეს წერტილები რიცხვის ღერძზე

ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს ამის გასაკეთებლად, გამოვთვლით წარმოებულის მნიშვნელობას თითოეული ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში, მაგალითად, წერტილებში; x = -2, x = 0, x = 3და x=6.

მაშასადამე, ინტერვალზე წარმოებული დადებითია (სურათზე ჩვენ ამ ინტერვალზე ვსვამთ პლუს ნიშანს). ანალოგიურად

მაშასადამე, მეორე ინტერვალის ზემოთ ვაყენებთ მინუსს, მესამეზე მინუსს და მეოთხეზე პლიუსს.

რჩება წერტილების შერჩევა, რომლებშიც ფუნქცია უწყვეტია და მისი წარმოებული ცვლის ნიშანს. ეს არის ექსტრემალური წერტილები.
წერტილში x = -1ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსამდე, შესაბამისად, ექსტრემის პირველი ნიშნის მიხედვით, x = -1არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი;
წერტილში x = 5ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, შესაბამისად, x = -1არის მინიმალური წერტილი, რომელიც შეესაბამება ფუნქციის მინიმუმს.
გრაფიკული ილუსტრაცია.

პასუხი: .

ფუნქციის უკიდურესობის მეორე საკმარისი ნიშანი.
დაე

თუ , მაშინ არის მინიმალური ქულა;

თუ , მაშინ არის მაქსიმალური წერტილი.

როგორც ხედავთ, ეს კრიტერიუმი მოითხოვს წარმოებულის არსებობას მინიმუმ მეორე რიგის წერტილამდე.
მაგალითი.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.
გამოსავალი.
დავიწყოთ განმარტების დომენით:

მოდით განვასხვავოთ ორიგინალური ფუნქცია:

წარმოებული მიდის ნულზე at x = 1, ანუ ეს არის შესაძლო ექსტრემის წერტილი.
ვპოულობთ ფუნქციის მეორე წარმოებულს და ვიანგარიშებთ მის მნიშვნელობას x = 1: მეტიც,

ფუნქცია y = f(x) ეწოდება იზრდება (მცირდება) გარკვეულ ინტერვალში, თუ x 1-ისთვის< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია y = f(x) იზრდება (მცირდება) ინტერვალზე, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

წერტილი x oდაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (მინიმალური) ფუნქცია f(x), თუ არის წერტილის მეზობლობა x o, ყველა წერტილისთვის, რომლის უტოლობა f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) არის ჭეშმარიტი.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები ეწოდება ექსტრემალური წერტილებიდა ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის მისი უკიდურესობები.

წინაპირობებიექსტრემალური. თუ წერტილი x oარის f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, მაშინ ან f" (x o) = 0, ან f (x o) არ არსებობს. ასეთ წერტილებს ე.წ. კრიტიკული,და თავად ფუნქცია განისაზღვრება კრიტიკულ წერტილში. ფუნქციის უკიდურესობა უნდა ვეძებოთ მის კრიტიკულ წერტილებს შორის.

პირველი საკმარისი პირობა.დაე x o- კრიტიკული წერტილი. თუ f "(x) წერტილის გავლისას x oცვლის პლუს ნიშანს მინუსზე, შემდეგ წერტილში x oფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, წინააღმდეგ შემთხვევაში აქვს მინიმუმი. თუ კრიტიკულ წერტილში გავლისას წარმოებული არ იცვლის ნიშანს, მაშინ წერტილში x oარ არის უკიდურესი.

მეორე საკმარისი პირობა.დაე, ფუნქციას f(x) ჰქონდეს წარმოებული
f "(x) წერტილის სიახლოვეს x oხოლო მეორე წარმოებული თავად წერტილში x o. თუ f"(x o) = 0, >0 (<0), то точка x oარის f(x) ფუნქციის ლოკალური მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი. თუ =0, მაშინ თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი საკმარისი პირობა ან გამოიყენოთ უფრო მაღალი წარმოებულები.

სეგმენტზე ფუნქცია y = f(x) შეუძლია მიაღწიოს თავის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

პირობების შესწავლა და გრაფიკების შედგენა.

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

იპოვეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით

იპოვნეთ მუდმივობის ნიშნის ინტერვალები

გამოიკვლიეთ თანასწორობა, უცნაურობა

იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა

იპოვნეთ ამოზნექილი ინტერვალები და დახრის წერტილები

ფუნქციის გრაფიკების ასიმპტოტები. ფუნქციის გრაფიკების შესწავლისა და გამოსახვის ზოგადი სქემა. მაგალითები.

ვერტიკალური

ვერტიკალური ასიმპტოტი - სწორი ხაზი, ექვემდებარება ლიმიტის არსებობას .

როგორც წესი, ვერტიკალური ასიმპტოტის განსაზღვრისას ისინი ეძებენ არა ერთ ზღვარს, არამედ ორ ცალმხრივს (მარცხნივ და მარჯვნივ). ეს კეთდება იმისთვის, რომ დადგინდეს, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც ის უახლოვდება ვერტიკალურ ასიმპტოტს სხვადასხვა მიმართულებით. მაგალითად:

შენიშვნა: ყურადღება მიაქციეთ უსასრულობის ნიშნებს ამ თანასწორობებში.

[რედაქტირება] ჰორიზონტალური

ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორი ხაზი, ექვემდებარება ლიმიტის არსებობას

.

[რედაქტირება] ირიბი

ირიბი ასიმპტოტი - სწორი ხაზი, ექვემდებარება საზღვრების არსებობას

ირიბი ასიმპტოტის მაგალითი

1.

შენიშვნა: ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ორი ირიბი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტი!

შენიშვნა: თუ ზემოთ ნახსენები ორი ლიმიტიდან ერთი მაინც არ არსებობს (ან უდრის ), მაშინ ირიბი ასიმპტოტი at (ან )-ზე არ არსებობს!

ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტების მიმართება

თუ ლიმიტის გამოთვლისას , მაშინ აშკარაა, რომ ირიბი ასიმპტოტი ჰორიზონტალურს ემთხვევა. რა კავშირია ამ ორ ტიპის ასიმპტოტს შორის?

საქმე იმაშია, რომ ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ირიბის განსაკუთრებული შემთხვევააზე და ზემოთ მოყვანილი კომენტარებიდან გამომდინარეობს, რომ

1. ფუნქციას აქვს ან მხოლოდ ერთი ირიბი ასიმპტოტი, ან ერთი ვერტიკალური ასიმპტოტი, ან ერთი ირიბი და ერთი ვერტიკალური, ან ორი ირიბი, ან ორი ვერტიკალური, ან საერთოდ არ აქვს ასიმპტოტები.

2. 1 პუნქტში მითითებული ასიმპტოტების არსებობა.) პირდაპირ კავშირშია შესაბამისი ლიმიტების არსებობასთან.

ფუნქციის გრაფიკი ორი ჰორიზონტალური ასიმპტოტით

]ასიმპტოტების მოძიება

ასიმპტოტების პოვნის თანმიმდევრობა

1. ვერტიკალური ასიმპტოტების მოძიება.

2. ორი ლიმიტის პოვნა

3. ორი ლიმიტის პოვნა:

თუ პუნქტში 2.), მაშინ, და ლიმიტი მოძებნილია ჰორიზონტალური ასიმპტოტის ფორმულის გამოყენებით, .