ინერციის მომენტი ღერძების პარალელური გადაყვანისას. ენერგიის მომენტების ცვლილება ღერძების პარალელური გადაყვანისას. სტატიკური მომენტები. სიმძიმის ცენტრის განსაზღვრა

სიბრტყე ფიგურის სიმძიმის ცენტრში გამავალ ღერძებს ცენტრალური ცულები ეწოდება.
ცენტრალური ღერძის მიმართ ინერციის მომენტს ეწოდება ინერციის ცენტრალური მომენტი.

თეორემა

ინერციის მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ უდრის ინერციის მომენტის ჯამს ცენტრალურ ღერძზე ამ ღერძის პარალელურად და ფიგურის ფართობისა და ღერძებს შორის მანძილის კვადრატის ნამრავლს.

ამ თეორემის დასამტკიცებლად განვიხილოთ თვითნებური სიბრტყის ფიგურა, რომლის ფართობი უდრის ა , სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს წერტილში თან და ინერციის ცენტრალური მომენტი ღერძის მიმართ x ნება იქს .
გამოვთვალოთ ფიგურის ინერციის მომენტი გარკვეულ ღერძთან მიმართებაში x 1 , ცენტრალური ღერძის პარალელურად და მისგან დაშორებით ა (ბრინჯი).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

მიღებული ფორმულის გაანალიზებისას აღვნიშნავთ, რომ პირველი წევრი არის ინერციის ღერძული მომენტი ცენტრალურ ღერძთან მიმართებაში, მეორე წევრი არის ამ ფიგურის ფართობის სტატიკური მომენტი ცენტრალურ ღერძთან მიმართებაში (აქედან გამომდინარე, ის უდრის ნული), ხოლო ინტეგრაციის შემდეგ მესამე წევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პროდუქტის სახით a 2 A ანუ, შედეგად მივიღებთ ფორმულას:

I x1 = I x + a 2 A- თეორემა დადასტურებულია.

თეორემიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ პარალელური ღერძების სერიიდან ბრტყელი ფიგურის ინერციის ღერძული მომენტი ყველაზე მცირე იქნება ცენტრალურ ღერძთან შედარებით. .

ძირითადი ღერძი და ინერციის ძირითადი მომენტები

წარმოვიდგინოთ ბრტყელი ფიგურა, რომლის ინერციის მომენტები კოორდინატთა ღერძებთან შედარებით იქს და მე ი და ინერციის პოლარული მომენტი საწყისთან მიმართებაში უდრის მე ρ . როგორც ადრე დადგინდა,

მე x + მე y = მე ρ.

თუ კოორდინატთა ღერძები ბრუნავს მათ სიბრტყეში კოორდინატების საწყისის გარშემო, მაშინ ინერციის პოლარული მომენტი დარჩება უცვლელი, ხოლო ღერძული მომენტები შეიცვლება, ხოლო მათი ჯამი მუდმივი დარჩება. ვინაიდან ცვლადების ჯამი მუდმივია, ერთი მათგანი მცირდება და მეორე იზრდება და პირიქით.
შესაბამისად, ღერძების გარკვეულ პოზიციაზე, ერთ-ერთი ღერძული მომენტი მიაღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, ხოლო მეორე - მინიმუმს.

ღერძებს, რომლებზეც ინერციის მომენტებს აქვთ მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები, ეწოდება ინერციის მთავარი ღერძი.
ინერციის მომენტს მთავარ ღერძზე ეწოდება ინერციის მთავარი მომენტი.

თუ ძირითადი ღერძი გადის ფიგურის სიმძიმის ცენტრს, მას უწოდებენ მთავარ ცენტრალურ ღერძს, ხოლო ინერციის მომენტს ასეთ ღერძზე - ინერციის ძირითადი ცენტრალური მომენტი.
შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თუ ფიგურა სიმეტრიულია რომელიმე ღერძის მიმართ, მაშინ ეს ღერძი ყოველთვის იქნება ამ ფიგურის ინერციის ერთ-ერთი მთავარი ცენტრალური ღერძი.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი

ბრტყელი ფიგურის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი არის ელემენტარული უბნების ნამრავლების ჯამი, რომელიც აღებულია მთელ ფართობზე და მანძილი ორ ურთიერთ პერპენდიკულარულ ღერძამდე:

მე xy = Σ xy dA,

სად x , წ - დისტანციები საიტიდან dA ღერძებისკენ x და წ .
ინერციის ცენტრიდანული მომენტი შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულოვანი.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი შედის ფორმულებში ასიმეტრიული მონაკვეთების ძირითადი ღერძების პოზიციის დასადგენად.
სტანდარტული პროფილის ცხრილები შეიცავს მახასიათებელს ე.წ მონაკვეთის გირაციის რადიუსი გამოითვლება ფორმულებით:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (შემდგომში ნიშანი"√"- ფესვის ნიშანი)

სად მე x, მე y - განყოფილების ინერციის ღერძული მომენტები ცენტრალურ ღერძებთან შედარებით; ა - განივი ფართობი.
ეს გეომეტრიული მახასიათებელი გამოიყენება ექსცენტრიული დაძაბულობის ან შეკუმშვის, აგრეთვე გრძივი ღუნვის შესასწავლად.

ტორსიული დეფორმაცია

ძირითადი ცნებები ბრუნვის შესახებ. მრგვალი სხივის ტორსიონი.

ბრუნვა არის დეფორმაციის სახეობა, რომელშიც მხოლოდ ბრუნი ჩნდება სხივის ნებისმიერ ჯვარედინი მონაკვეთზე, ანუ ძალის ფაქტორი, რომელიც იწვევს მონაკვეთის წრიულ მოძრაობას ამ მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ღერძთან მიმართებაში, ან ხელს უშლის ასეთ მოძრაობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბრუნვის დეფორმაციები წარმოიქმნება, თუ ძალების წყვილი ან წყვილი გამოიყენება სწორ სხივზე მისი ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე.
ძალების ამ წყვილის მომენტებს გრეხილი ან ბრუნვა ეწოდება. ბრუნვის მაჩვენებელი აღინიშნება თ .
ეს განმარტება პირობითად ყოფს ბრუნვის დეფორმაციის ძალის ფაქტორებს გარე ფაქტორებად (ბრუნი, ბრუნი თ ) და შიდა (ბრუნვები მ კრ ).

მანქანებსა და მექანიზმებში მრგვალი ან მილისებური ლილვები ყველაზე ხშირად ექვემდებარება ტორსიას, ამიტომ სიმტკიცისა და სიმტკიცის გამოთვლები ყველაზე ხშირად კეთდება ასეთი ერთეულებისა და ნაწილებისთვის.

განვიხილოთ წრიული ცილინდრული ლილვის ბრუნვა.
წარმოიდგინეთ რეზინის ცილინდრული ლილვი, რომელშიც ერთ-ერთი ბოლო მყარად არის დამაგრებული, ხოლო ზედაპირზე არის გრძივი ხაზებისა და განივი წრეების ბადე. ამ ლილვის ღერძზე პერპენდიკულარულად, ლილვის თავისუფალ ბოლოზე მივაყენებთ რამდენიმე ძალას, ანუ ღერძის გასწვრივ მოვახვევთ მას. თუ ყურადღებით შეისწავლით ბადის ხაზებს ლილვის ზედაპირზე, შეამჩნევთ, რომ:
- ლილვის ღერძი, რომელსაც ბრუნვის ღერძი ეწოდება, სწორი დარჩება;
- წრეების დიამეტრი იგივე დარჩება, ხოლო მიმდებარე წრეებს შორის მანძილი არ შეიცვლება;
- ლილვის გრძივი ხაზები გადაიქცევა სპირალურ ხაზებად.

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ როდესაც მრგვალი ცილინდრული სხივი (ლილვი) ტრიალებს, ბრტყელი მონაკვეთების ჰიპოთეზა მოქმედებს და ასევე შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ წრეების რადიუსი სწორი რჩება დეფორმაციის დროს (რადგან მათი დიამეტრი არ შეცვლილა). და რადგან ლილვის მონაკვეთებში არ არის გრძივი ძალები, მათ შორის მანძილი შენარჩუნებულია.

შესაბამისად, მრგვალი ლილვის ბრუნვის დეფორმაცია შედგება ჯვრის მონაკვეთების ერთმანეთთან მიმართებაში ბრუნვაში ბრუნვის ღერძის გარშემო და მათი ბრუნვის კუთხეები პირდაპირპროპორციულია ფიქსირებული მონაკვეთის მანძილების - რაც უფრო შორს არის ნებისმიერი მონაკვეთი ფიქსირებული ბოლოდან. ლილვის, მით უფრო დიდია კუთხე ლილვის ღერძთან მიმართებაში, რომელიც მას უხვევს.
ლილვის თითოეული მონაკვეთისთვის ბრუნვის კუთხე უდრის ამ მონაკვეთსა და ლუქს შორის მოქცეული ლილვის ნაწილის გადახვევის კუთხეს (ფიქსირებული ბოლო).


კუთხე ( ბრინჯი. 1) ლილვის თავისუფალი ბოლოს ბრუნვა (ბოლო მონაკვეთი) ეწოდება სრული კუთხეცილინდრული სხივის (ლილვის) გადახვევა.
შედარებითი ბრუნვის კუთხე φ 0 ბრუნვის კუთხის შეფარდებას უწოდებენ φ 1 მანძილისკენ ლ 1 მოცემული მონაკვეთიდან ჩაშენებამდე (ფიქსირებული განყოფილება).
თუ ცილინდრული სხივი (ლილვი) გრძელია ლ აქვს მუდმივი განივი და დატვირთულია ბრუნვის მომენტით თავისუფალ ბოლოში (ანუ შედგება ერთგვაროვანი გეომეტრიული მონაკვეთისგან), მაშინ განცხადება მართალია:
φ 0 = φ 1 / ლ 1 = φ / ლ = კონსტ - მნიშვნელობა მუდმივია.

თუ გავითვალისწინებთ თხელ ფენას ზემოაღნიშნული რეზინის ცილინდრული ზოლის ზედაპირზე ( ბრინჯი. 1), შემოიფარგლება ბადის უჯრედით cdef , შემდეგ აღვნიშნავთ, რომ ეს უჯრედი დეფორმაციის დროს იკეცება და მისი მხარე, ფიქსირებული მონაკვეთიდან მოშორებით, გადადის სხივის მოხვევისკენ და იკავებს პოზიციას. cde 1 f 1 .

უნდა აღინიშნოს, რომ მსგავსი სურათი შეიმჩნევა ათვლის დეფორმაციის დროს, მხოლოდ ამ შემთხვევაში ზედაპირი დეფორმირებულია მონაკვეთების ერთმანეთთან შედარებით ტრანსლაციური მოძრაობის გამო და არა ბრუნვითი მოძრაობის გამო, როგორც ბრუნვის დეფორმაციაში. ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჯვრის მონაკვეთებში ბრუნვის დროს წარმოიქმნება მხოლოდ ტანგენტები შინაგანი ძალები(ხაზს უსვამს), რომლებიც წარმოქმნიან ბრუნვას.

ამრიგად, ბრუნი არის მიღებული მომენტი ჯვარედინი მონაკვეთზე მოქმედი შიდა ტანგენციალური ძალების სხივის ღერძთან შედარებით.

იქსი, იი, იქსი ასევე იყოს ცნობილი. დავხატოთ ახალი ღერძი x 1, y 1 xy ღერძების პარალელურად.

და განვსაზღვროთ იმავე მონაკვეთის ინერციის მომენტი ახალ ღერძებთან მიმართებაში.

X 1 = x-a; y 1 =y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

თუ x ღერძი გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, მაშინ სტატიკური მომენტი Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

ახალი y 1 ღერძის მსგავსად, გვექნება ფორმულა I y 1 = Iy + a 2 A

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ახალი ღერძების მიმართ

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

თუ xy ღერძები გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, მაშინ Ix 1 y 1 = Ixy + abA

თუ მონაკვეთი სიმეტრიულია, მინიმუმ ერთი ცენტრალური ღერძი ემთხვევა სიმეტრიის ღერძს, მაშინ Ixy =0, რაც ნიშნავს Ix 1 y 1 = abA

ღერძების მობრუნებისას ინერციის მომენტების შეცვლა.

ცნობილი იყოს ინერციის ღერძული მომენტები xy ღერძების მიმართ.

ჩვენ ვიღებთ ახალ xy კოორდინატთა სისტემას ბრუნვით ძველი სისტემაკუთხით (a >0), თუ ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

დავადგინოთ კავშირი საიტის ძველ და ახალ კოორდინატებს შორის

y 1 =ab = ac – bc = ab-de

სამკუთხედიდან acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

სამკუთხედიდან oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობები y-ის გამოსახულებაში

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

ანალოგიურად

x 1 = x cos α + y sin α.

გამოვთვალოთ ინერციის ღერძული მომენტი ახალ ღერძთან x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

ანალოგიურად, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

მოდით დავამატოთ მიღებული გამონათქვამების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

ბრუნვის დროს ინერციის ღერძული მომენტების ჯამი არ იცვლება.

განვსაზღვროთ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ახალ ღერძებთან მიმართებაში. წარმოვიდგინოთ მნიშვნელობები x 1 , y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

ინერციის ძირითადი მომენტები და ძირითადი ღერძი.

ინერციის ძირითადი მომენტებიმათ ექსტრემალურ ღირებულებებს უწოდებენ.

ღერძებს, რომელთა შესახებაც მიიღეს უკიდურესი მნიშვნელობები, ეწოდება ინერციის მთავარ ღერძებს. ისინი ყოველთვის ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

ინერციის ცენტრიდანული მომენტი მთავარ ღერძებთან მიმართებაში ყოველთვის 0-ის ტოლია. ვინაიდან ცნობილია, რომ მონაკვეთში არის სიმეტრიის ღერძი, ცენტრიდანული მომენტი უდრის 0-ს, რაც ნიშნავს, რომ სიმეტრიის ღერძი არის მთავარი ღერძი. თუ ავიღებთ I x 1 გამოთქმის პირველ წარმოებულს, შემდეგ გავუტოლებთ მას „0“, მივიღებთ კუთხის მნიშვნელობას = ინერციის მთავარი ღერძების პოზიციის შესაბამისი.

tan2 α 0 = -

თუ α 0 >0, მაშინ ძირითადი ღერძების გარკვეული პოზიციისთვის ძველი ღერძი უნდა შემობრუნდეს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. ერთ-ერთი მთავარი ღერძი არის მაქს, მეორე კი მინ. ამ შემთხვევაში, მაქსიმალური ღერძი ყოველთვის შეესაბამება უფრო მცირე კუთხეს იმ შემთხვევით ღერძთან, რომლის მიმართაც მას აქვს ინერციის უფრო დიდი ღერძული მომენტი. ინერციის ღერძული მომენტის უკიდურესი მნიშვნელობები განისაზღვრება ფორმულით:

თავი 2. მასალების სიმტკიცის ძირითადი ცნებები. მიზნები და მეთოდები.

სხვადასხვა სტრუქტურების დაპროექტებისას აუცილებელია გადაწყდეს სიძლიერის, სიმტკიცის და სტაბილურობის სხვადასხვა საკითხები.

სიძლიერე– მოცემული სხეულის უნარი გაუძლოს სხვადასხვა დატვირთვას განადგურების გარეშე.

სიხისტე– კონსტრუქციის უნარი, აითვისოს დატვირთვები დიდი დეფორმაციების (გადაადგილების) გარეშე. რეგულირდება დეფორმაციის წინასწარ დასაშვები მნიშვნელობები სამშენებლო კოდებიდა წესები (SNIP).

მდგრადობა

განვიხილოთ მოქნილი ღეროს შეკუმშვა

თუ დატვირთვა თანდათან იზრდება, ჯოხი ჯერ დამოკლდება. როდესაც ძალა F მიაღწევს გარკვეულ კრიტიკულ მნიშვნელობას, ღერო დაიჭიმება. - აბსოლუტური შემცირება.

ამ შემთხვევაში, ჯოხი არ იშლება, მაგრამ მკვეთრად იცვლის ფორმას. ამ ფენომენს სტაბილურობის დაკარგვას უწოდებენ და იწვევს განადგურებას.

სოპრომატი- ეს არის საინჟინრო სტრუქტურების სიძლიერის, სიმტკიცის და სტაბილურობის მეცნიერების საფუძვლები. სიძლიერის მასალები იყენებს თეორიული მექანიკის, ფიზიკისა და მათემატიკის მეთოდებს. თეორიული მექანიკისგან განსხვავებით, სიძლიერის წინააღმდეგობა ითვალისწინებს სხეულების ზომისა და ფორმის ცვლილებებს დატვირთვისა და ტემპერატურის გავლენის ქვეშ.

ხშირად გადაწყვეტილების მიღებისას პრაქტიკული პრობლემებიაუცილებელია განისაზღვროს მონაკვეთის ინერციის მომენტები მის სიბრტყეში განსხვავებულად ორიენტირებულ ღერძებთან მიმართებაში. ამ შემთხვევაში, მოსახერხებელია გამოიყენოს მთელი მონაკვეთის (ან მისი ცალკეული შემადგენელი ნაწილების) ინერციის მომენტების უკვე ცნობილი მნიშვნელობები სხვა ღერძებთან მიმართებაში, რომლებიც მოცემულია ტექნიკურ ლიტერატურაში, სპეციალურ საცნობარო წიგნებსა და ცხრილებში, ასევე გათვლილი. ხელმისაწვდომი ფორმულების გამოყენებით. აქედან გამომდინარე, ძალზე მნიშვნელოვანია დადგინდეს ურთიერთობები იმავე მონაკვეთის ინერციის მომენტებს შორის სხვადასხვა ღერძებთან მიმართებაში.

ყველაზე ზოგად შემთხვევაში, ნებისმიერი ძველიდან ნებისმიერზე გადასვლა ახალი სისტემაკოორდინატები შეიძლება ჩაითვალოს ძველი კოორდინატთა სისტემის ორ თანმიმდევრულ ტრანსფორმაციად:

1) კოორდინატთა ღერძების ახალ პოზიციაზე პარალელურად გადატანით და

2) ახალ საწყისთან შედარებით მათი ბრუნვით. განვიხილოთ პირველი ამ გარდაქმნებიდან, ანუ კოორდინატთა ღერძების პარალელური გადათარგმნა.

დავუშვათ, რომ მოცემული მონაკვეთის ინერციის მომენტები ძველ ღერძებთან შედარებით (ნახ. 18.5) ცნობილია.

ავიღოთ ახალი კოორდინატთა სისტემა, რომლის ღერძები წინა ღერძების პარალელურია. ძველ კოორდინატთა სისტემაში ავღნიშნოთ a და b წერტილის (ანუ ახალი საწყისის) კოორდინატები.

განვიხილოთ ელემენტარული საიტი მისი კოორდინატები ძველ კოორდინატთა სისტემაში უდრის y და . ახალ სისტემაში ისინი თანაბარი არიან

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს კოორდინატების მნიშვნელობები ღერძთან მიმართებაში ინერციის ღერძული მომენტის გამოხატულებაში.

მიღებულ გამოხატულებაში ინერციის მომენტი, მონაკვეთის სტატიკური მომენტი ღერძთან მიმართებაში, უდრის მონაკვეთის F ფართობს.

აქედან გამომდინარე,

თუ z ღერძი გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში, მაშინ სტატიკური მომენტი და

ფორმულიდან (25.5) ირკვევა, რომ ინერციის მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ, რომელიც არ გადის სიმძიმის ცენტრს, მეტია ინერციის მომენტზე სიმძიმის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ, იმ რაოდენობით, რომელიც ყოველთვის დადებითია. შესაბამისად, პარალელური ღერძების მიმართ ინერციის ყველა მომენტიდან, ინერციის ღერძულ მომენტს აქვს უმცირესი ღირებულებამონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში გამავალ ღერძთან შედარებით.

ინერციის მომენტი ღერძის გარშემო [ფორმულის ანალოგიით (24.5)]

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც y ღერძი გადის მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრში

ფორმულები (25.5) და (27.5) ფართოდ გამოიყენება რთული (კომპოზიტური) მონაკვეთების ინერციის ღერძული მომენტების გამოსათვლელად.

მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობები ღერძებთან მიმართებაში ინერციის ცენტრიდანული მომენტის გამოსახულებაში.

სურათი 7.

,

,

,

სად მე x, მე y - ინერციის ღერძული მომენტები საცნობარო ღერძებთან მიმართებაში;

მე xy– ინერციის ცენტრიდანული მომენტი საცნობარო ღერძებთან მიმართებაში;

მე xc, მე yc– ინერციის ღერძული მომენტები ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში;

მე xcyc– ცენტრალური ღერძების მიმართ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი;

ა, ბ- მანძილი ღერძებს შორის.

მონაკვეთის ინერციის მომენტების განსაზღვრა ღერძების ბრუნვისას

ცნობილია მონაკვეთის ყველა გეომეტრიული მახასიათებელი ცენტრალურ ღერძებთან შედარებით x C,ზე C(ნახ. 8). განვსაზღვროთ ინერციის მომენტები ღერძების მიმართ x 1,1-ზე, ბრუნავს ცენტრალურთან შედარებით გარკვეული კუთხით ა.

სურათი 8

,

სად მე x 1, მე y 1 - ღერძების ინერციის ღერძული მომენტები x 1,1-ზე ;

მე x 1 y 1– ღერძებთან მიმართებაში ინერციის ცენტრიდანული მომენტი x 1,1-ზე .

ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიციის განსაზღვრა

განყოფილების ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიცია განისაზღვრება ფორმულით:

,

სად a 0 - კუთხე ინერციის ცენტრალურ და მთავარ ღერძებს შორის.

ინერციის ძირითადი მომენტების განსაზღვრა

განყოფილების ინერციის ძირითადი მომენტები განისაზღვრება ფორმულით:

რთული მონაკვეთის გამოთვლის თანმიმდევრობა

1) დაყავით რთული განყოფილება უფრო მარტივებად გეომეტრიული ფორმები [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) აირჩიეთ თვითნებური ცულები XOY .

3) განსაზღვრეთ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია [x c, y c].

4) დახაზეთ ცენტრალური ღერძები X c OY გ.

5) გამოთვალეთ ინერციის მომენტები Ixc, Iy C ღერძების პარალელური თარგმნის თეორემის გამოყენებით.

6) გამოთვალეთ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი IX გ წ.

7) განვსაზღვროთ ინერციის ძირითადი ღერძების მდებარეობა tg2a 0.

8) გამოთვალეთ ინერციის ძირითადი მომენტები იმაქს, იმინ.

მაგალითი 2

მე-13 სურათზე ნაჩვენები ფიგურისთვის განსაზღვრეთ ძირითადი პუნქტები

ინერცია და ინერციის ძირითადი ღერძების პოზიცია.

1) რთულ მონაკვეთს ვყოფთ მარტივ გეომეტრიულ ფორმებად

S 1 = 2000 მმ 2, S 2 = 1200 მმ 2, S= 3200 მმ 2.

2) აირჩიეთ თვითნებური XOY ცულები.

3) განვსაზღვროთ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია

x c = 25 მმ, წ ს=35 მმ.

4) ცენტრალური ღერძების დახატვა X c OY გ

5) გამოთვალეთ ინერციის მომენტები Ix c, Iy c

6) გამოთვალეთ ინერციის ცენტრიდანული მომენტი IX გ წ

7) განვსაზღვროთ ინერციის ძირითადი ღერძების მდებარეობა

თუ მე x > მე y და a 0 >0 , შემდეგ კუთხე a 0 გადაადგილება ღერძიდან X ს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

8) გამოთვალეთ ინერციის ძირითადი მომენტები იმაქს, იმინ

მაგალითი 3

ნახ. 8 განსაზღვრავს მთავარი ღერძების პოზიციას

სურათი 8.

ინერცია და ინერციის ძირითადი მომენტები.

1) ჩვენ ვწერთ ძირითად საწყის მონაცემებს თითოეული ფიგურისთვის

არხი

S 1 = 10,9 სმ 2

მე x = 20.4 სმ 4

მე y = 174 სმ 4

y 0= 1,44 სმ

თ= 10 სმ

უთანასწორო კუთხე

S 3 = 6.36 სმ 2

მე x = 41.6 სმ 4

მე y = 12.7 სმ 4

მე მინ = 7.58 სმ 4

ტგა= 0,387

x 0= 1,13 სმ

y 0= 2,6 სმ

მართკუთხედი

S 2 = 40 სმ 2

სმ 4

სმ 4

2) დახაზეთ მონაკვეთი მასშტაბით

3) დახაზეთ თვითნებური კოორდინატთა ღერძები

4) განვსაზღვროთ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები

5) დახაზეთ ცენტრალური ღერძები

6) განსაზღვრეთ ინერციის ღერძული მომენტები ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში

7) ცენტრალური ღერძების მიმართ ინერციის ცენტრიდანული მომენტის განსაზღვრა

კუთხით ნაგლინი ფოლადის ინერციის ცენტრიდანული მომენტი სიმძიმის ცენტრთან მიმართებაში განისაზღვრება შემდეგი ფორმულიდან ერთ-ერთი:

-4

კუთხოვანი ნაგლინი ფოლადისთვის ინერციის ცენტრიდანული მომენტის ნიშანი განისაზღვრება ნახ. 9, შესაბამისად მე xy 3= -13,17 სმ 4.

8) განვსაზღვროთ ინერციის ძირითადი ღერძების მდებარეობა

a 0 = 21.84°

9) დაადგინეთ ინერციის ძირითადი მომენტები

ამოცანა 4

მოცემული სქემებისთვის (ცხრილი 6) აუცილებელია:

1) დახაზეთ ჯვარი მონაკვეთი მკაცრი მასშტაბით.

2) განსაზღვრეთ სიმძიმის ცენტრის პოზიცია.

3) იპოვეთ ინერციის ღერძული მომენტების მნიშვნელობები ცენტრალურ ღერძებთან შედარებით.

4) იპოვეთ ინერციის ცენტრიდანული მომენტის მნიშვნელობა ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში.

5) განვსაზღვროთ ინერციის ძირითადი ღერძების მდებარეობა.

6) იპოვეთ ინერციის ძირითადი მომენტები.

აიღეთ რიცხვითი მონაცემები ცხრილიდან. 6.

გამოთვლების სქემები No4 ამოცანისთვის

ცხრილი 6

No4 დავალების საწყისი მონაცემები

№	თანაბარი კუთხის კუთხე	უთანასწორო კუთხე	მე-სხივი	არხი	მართკუთხედი	სქემა No.
	30'5	50'32'4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14ა	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20 ა	16ა	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22ა	18ა	60'60
	100'10	160´100´12			60'40
	დ	ა	ბ	ვ	გ	დ

ინსტრუქციები პრობლემა 5

მოხრა არის დეფორმაციის სახეობა, რომლის დროსაც ღეროს განივი მონაკვეთში ჩნდება V.S.F. - მოხრის მომენტი.

მოსახვევისთვის სხივის გამოსათვლელად საჭიროა ვიცოდეთ მაქსიმალური ღუნვის მომენტის მნიშვნელობა მდა იმ მონაკვეთის პოზიცია, სადაც ის ხდება. ანალოგიურად, თქვენ უნდა იცოდეთ მაქსიმალური გვერდითი ძალა ქ. ამ მიზნით აგებულია მოღუნვის მომენტებისა და ათვლის ძალების დიაგრამები. დიაგრამებიდან ადვილია ვიმსჯელოთ, სად არის მომენტის მაქსიმალური მნიშვნელობა ან ათვლის ძალა. რაოდენობების დასადგენად მდა ქგამოიყენეთ განყოფილების მეთოდი. განვიხილოთ ნახ. 9. შევადგინოთ ძალების ჯამი ღერძზე ი, მოქმედებს სხივის მოწყვეტილ ნაწილზე.

სურათი 9.

განივი ძალა უდრის მონაკვეთის ერთ მხარეს მოქმედი ყველა ძალის ალგებრულ ჯამს.

მოდით შევადგინოთ სხივის ამოჭრილ ნაწილზე მოქმედი მომენტების ჯამი მონაკვეთთან შედარებით.

მოღუნვის მომენტი უდრის ყველა მომენტის ალგებრულ ჯამს, რომელიც მოქმედებს სხივის ამოჭრილ ნაწილზე მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრთან მიმართებაში.

იმისათვის, რომ გამოთვლები განხორციელდეს სხივის ნებისმიერი ბოლოდან, აუცილებელია შიდა ძალის ფაქტორების ნიშნის წესის მიღება.

ათვლის ძალისთვის ქ.

სურათი 10.

თუ გარე ძალა ბრუნავს სხივის ამოჭრილ ნაწილს საათის ისრის მიმართულებით, მაშინ ძალა დადებითია, თუ გარე ძალა აბრუნებს სხივის მოჭრილ ნაწილს, მაშინ ძალა უარყოფითია.

დახრის მომენტისთვის მ.

სურათი 11.

თუ გარეგანი ძალის გავლენით სხივის მრუდი ღერძი იღებს ჩაზნექილი თასის ფორმას, ისეთი, რომ ზემოდან წამოსული წვიმა წყლით ავსებს, მაშინ დახრის მომენტი დადებითია (სურ. 11ა). თუ გარე ძალის გავლენით სხივის მრუდე ღერძი იღებს ამოზნექილი თასის ფორმას, რომ ზემოდან წამოსული წვიმა მას წყლით არ ავსებს, მაშინ მოღუნვის მომენტი უარყოფითია (სურ. 11ბ).

განაწილებული დატვირთვის ინტენსივობას შორის ქ, ათვლის ძალა ქდა დახრის მომენტი მ, მოქმედებენ გარკვეულ განყოფილებაში, არსებობს შემდეგი დიფერენციალური დამოკიდებულებები:

მოღუნვის დროს მითითებული დიფერენციალური დამოკიდებულებები შესაძლებელს ხდის განივი ძალების დიაგრამების და ღუნვის მომენტების გარკვეული მახასიათებლების დადგენას.

1) იმ ადგილებში, სადაც არ არის განაწილებული დატვირთვა, დიაგრამა ქ შემოიფარგლება დიაგრამის ღერძის პარალელურად სწორი ხაზებით და დიაგრამა მ ზოგად შემთხვევაში, დახრილი სწორი ხაზებით (სურ. 19).

2) იმ ადგილებში, სადაც ერთნაირად განაწილებული დატვირთვა ვრცელდება სხივზე, დიაგრამა ქ შემოიფარგლება დახრილი სწორი ხაზებით და დიაგრამით მ – კვადრატული პარაბოლები (სურ. 20). შეთქმულებისას მ შეკუმშულ ბოჭკოებზე, პარაბოლის ამოზნექილი სახეები მიმართულია განაწილებული დატვირთვის მოქმედების საპირისპირო მიმართულებით (ნახ. 21a, b).

სურათი 12.

სურათი 13.

3) იმ მონაკვეთებში სადაც ქ= 0, დიაგრამაზე ტანგენსი მდიაგრამის ღერძის პარალელურად (სურ. 12, 13). დახრის მომენტი სხივის ასეთ მონაკვეთებში არის უკიდურესი სიდიდის ( მ მაქს,მინ).

4) რაიონებში, სადაც Q> 0, მზრდის, ანუ მარცხნიდან მარჯვნივ დიაგრამის დადებითი ორდინატები მმატება, უარყოფითები მცირდება (სურ. 12, 13); იმ ადგილებში, სადაც ქ < 0, მმცირდება (სურ. 12, 13).

5) იმ მონაკვეთებში, სადაც კონცენტრირებული ძალები გამოიყენება სხივზე:

ა) დიაგრამაზე ქიქნება ნახტომები სიდიდის მიხედვით და გამოყენებული ძალების მიმართულებით (სურ. 12, 13).

ბ) დიაგრამაზე მიქნება მოტეხილობები (სურ. 12, 13), მოტეხილობის წვერი მიმართულია ძალის მოქმედების წინააღმდეგ.

6) იმ მონაკვეთებში, სადაც კონცენტრირებული მომენტები გამოიყენება სხივზე, დიაგრამაზე მდიაგრამაზე იქნება ამ მომენტების სიდიდის ნახტომები ქცვლილებები არ იქნება (სურ. 14).

სურათი 14.

სურათი 15.

7) თუ კონცენტრირებულია

მომენტი, მაშინ ამ მონაკვეთში დახრის მომენტი უდრის გარე მომენტს (განყოფილება Cდა ბნახ. 15).

8) დიაგრამა ქწარმოადგენს ნაკვეთის წარმოებულის დიაგრამას მ. ასე რომ ორდინატებს ქდიაგრამაზე ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენტის პროპორციულია მ(სურ. 14).

შეთქმულების ბრძანება ქდა მ:

1) შედგენილია სხივის საპროექტო დიაგრამა (ღერძის სახით), სადაც ნაჩვენებია მასზე მოქმედი დატვირთვები.

2) საყრდენების გავლენა სხივზე იცვლება შესაბამისი რეაქციებით; მითითებულია რეაქციების აღნიშვნები და მათი მიღებული მიმართულებები.

3) შედგენილია სხივის ბალანსის განტოლებები, რომელთა ამოხსნა განსაზღვრავს დამხმარე რეაქციების მნიშვნელობებს.

4) სხივი დაყოფილია მონაკვეთებად, რომელთა საზღვრებია გარე კონცენტრირებული ძალებისა და მომენტების გამოყენების წერტილები, აგრეთვე მოქმედების დაწყების და დასრულების წერტილები ან განაწილებული დატვირთვების ხასიათის ცვლილება.

5) შედგენილია გამონათქვამები მოხრის მომენტებისთვის მდა ათვლის ძალები ქსხივის თითოეული მონაკვეთისთვის. გაანგარიშების დიაგრამა მიუთითებს მანძილის გაზომვის დასაწყისს და მიმართულებას თითოეული მონაკვეთისთვის.

6) მიღებული გამონათქვამების გამოყენებით გამოითვლება დიაგრამების ორდინატები სხივის რამდენიმე მონაკვეთზე იმ რაოდენობით, რომელიც საკმარისია ამ დიაგრამების გამოსახვისთვის.

7) განისაზღვრება მონაკვეთები, რომლებშიც განივი ძალები ნულის ტოლია და რომლებშიც, შესაბამისად, მოქმედებენ მომენტები მაქსან მინსხივის მოცემული მონაკვეთისთვის; გამოითვლება ამ მომენტების მნიშვნელობები.

8) დიაგრამები აგებულია მიღებული ორდინატთა მნიშვნელობებით.

9) აგებული დიაგრამების შემოწმება ხდება ერთმანეთთან შედარებით.

სახიფათო მონაკვეთის დასადგენად აგებულია შიდა ძალის ფაქტორების დიაგრამები მოხრის დროს. საშიში მონაკვეთის აღმოჩენის შემდეგ, სხივი გამოითვლება სიძლიერისთვის. განივი ღუნვის ზოგად შემთხვევაში, როდესაც ღეროს მონაკვეთებზე მოქმედებს ღუნვის მომენტი და განივი ძალა, სხივის მონაკვეთზე წარმოიქმნება ნორმალური და ტანგენციალური ძაბვები. აქედან გამომდინარე, ლოგიკურია განიხილოს სიძლიერის ორი პირობა:

ა) ნორმალური ძაბვების მიხედვით

ბ) ტანგენციალური ძაბვებით

ვინაიდან სხივების მთავარი დესტრუქციული ფაქტორი ნორმალური ძაბვებია, მიღებული ფორმის სხივის განივი კვეთის ზომები განისაზღვრება ნორმალური ძაბვის სიძლიერის მდგომარეობიდან:

შემდეგ მოწმდება, აკმაყოფილებს თუ არა შერჩეული სხივის მონაკვეთი ათვლის ძაბვის სიმტკიცეს.

თუმცა, სხივების გამოთვლის ეს მიდგომა ჯერ კიდევ არ ახასიათებს სხივის სიძლიერეს. ხშირ შემთხვევაში, სხივის მონაკვეთებში არის წერტილები, რომლებზეც დიდი ნორმალური და ათვლის ძაბვები ერთდროულად მოქმედებს. ასეთ შემთხვევებში აუცილებელი ხდება სხივის სიძლიერის შემოწმება ძირითადი ძაბვის გამოყენებით. სიძლიერის მესამე და მეოთხე თეორიები ყველაზე მეტად გამოიყენება ასეთი ტესტირებისთვის:

, .

მაგალითი 1

შეადგინეთ ათვლის ძალის დიაგრამები ქდა დახრის მომენტი მნახატზე ნაჩვენები სხივისთვის. 16 თუ: F 1= 3 kN, F 2= 1.5 კნ, მ = 5.1 kN∙m, ქ = =2კნ/მ, ა = 2 მ, ბ = 1 მ, თან = 3 მ.

სურათი 16.

1) განსაზღვრეთ დამხმარე რეაქციები.

;

გამოცდა:

სწორად ნაპოვნი რეაქციები

2) ჩვენ ვყოფთ სხივს მონაკვეთებად C.A.,ახ.წ,DE,ე.კ.,კ.ბ..

3) განსაზღვრეთ მნიშვნელობები ქდა მთითოეულ საიტზე.

SA

, ; , .

ახ.წ

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , ;

, , .

მოდი ვიპოვოთ მიდამოში დახრის მაქსიმალური მომენტი კ.ბ..

გავაიგივოთ განტოლება ქამ არეში ნულამდე და გამოხატეთ კოორდინატი z მაქს , რომელზედაც ქ= 0 და მომენტს აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა. შემდეგ ჩვენ შევცვლით z მაქს მომენტის განტოლებაში ამ განყოფილებაში და იპოვეთ მაქს.

ეკ

, ;

, .

4) ვაშენებთ დიაგრამებს (სურ. 16)

მაგალითი 2

ნახატზე ნაჩვენები სხივისთვის. 16 განსაზღვრავს მრგვალის, მართკუთხა ზომებს ( თ/ბ = 2) და I განყოფილება. შეამოწმეთ I-სხივის სიძლიერე ძირითადი ძაბვებით, თუ [s]= 150 მპა, [t]= 150 მპა.

1) სიძლიერის მდგომარეობიდან განსაზღვრეთ წინააღმდეგობის საჭირო მომენტი

2) განსაზღვრეთ წრიული მონაკვეთის ზომები

3) მართკუთხა მონაკვეთის ზომების განსაზღვრა

4) ვირჩევთ I-beam No10 ასორტიმენტის მიხედვით (GOST 8239-89)

W X= 39,7 სმ 3, S X * =23 სმ 3, მე X = 198 სმ 4, თ = 100 მმ, ბ = 55 მმ, დ = 4,5 მმ, ტ = 7,2 მმ.

ძირითადი ძაბვის საფუძველზე სხივის სიმტკიცის შესამოწმებლად აუცილებელია სახიფათო მონაკვეთში ნორმალური და ტანგენციალური დაძაბულობის დიაგრამების აგება. ვინაიდან ძირითადი დაძაბულობის სიდიდე დამოკიდებულია როგორც ნორმალურ, ისე ტანგენციალურ ძაბვაზე, სიძლიერის ტესტი უნდა ჩატარდეს სხივის იმ მონაკვეთზე, სადაც მდა ქსაკმარისად დიდი. საყრდენზე IN(სურ. 16) ათვლის ძალა ქაქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა, თუმცა აქ მ= 0. ამიტომ მიგვაჩნია, რომ საყრდენის განყოფილება საშიშია ა, სადაც მოღუნვის მომენტი მაქსიმალურია და ათვლის ძალა შედარებით დიდი.

ნორმალური სტრესები, რომლებიც იცვლება მონაკვეთის სიმაღლეზე, ემორჩილება ხაზოვან კანონს:

სად წ– კვეთის წერტილის კოორდინატი (სურ. 24).

ზე ზე= 0, s = 0;

ზე ymax ,

ათვლის ძაბვის ცვლილების კანონი განისაზღვრება არეალის სტატიკური მომენტის ცვლილების კანონით, რომელიც, თავის მხრივ, იცვლება მონაკვეთის სიმაღლის გასწვრივ პარაბოლური კანონის მიხედვით. განყოფილების დამახასიათებელი წერტილების მნიშვნელობის გამოთვლის შემდეგ ჩვენ ავაგებთ ტანგენციალური სტრესების დიაგრამას. t-ის მნიშვნელობების გაანგარიშებისას, ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას ნახ. 17.

3-3 ფენის სიძლიერის პირობა დაკმაყოფილებულია.

ამოცანა 5

მოცემული სხივების სქემებისთვის (ცხრილი 12), შექმენით განივი ძალის დიაგრამები ქდა დახრის მომენტი მ. აირჩიეთ დიაგრამა ა) მრგვალი კვეთა [s]= 10 მპა; ბ) I-სხივი [s]= 150 მპა.

აიღეთ რიცხვითი მონაცემები ცხრილიდან. 7.

ცხრილი 7

No6 პრობლემის საწყისი მონაცემები

№

ა, მ

q 1 =q 3, kN/m

q 2, კნ/მ

F 1, kN

F 2, kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

სქემა No.

0,8

1,2

მე-12 ცხრილის გაგრძელება

თუ ღერძი ცენტრალურია, მაშინ მომენტის ღერძი ასე გამოიყურება:

15.შორის დამოკიდებულება ინერციის მომენტები ღერძების მობრუნებისას:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a;

კუთხე a>0, თუ ძველი კოორდინატთა სისტემიდან ახალზე გადასვლა ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. J y 1 + J x 1 = J y + J x

ინერციის მომენტების უკიდურესი (მაქსიმალური და მინიმალური) მნიშვნელობები ეწოდება ინერციის ძირითადი მომენტები. ღერძებს, რომლებზეც ინერციის ღერძულ მომენტებს აქვთ უკიდურესი მნიშვნელობები, ეწოდება ინერციის ძირითადი ღერძი. ინერციის ძირითადი ღერძი ერთმანეთის პერპენდიკულურია. ინერციის ცენტრიდანული მომენტები მთავარ ღერძებზე = 0, ე.ი. ინერციის მთავარი ღერძი - ღერძები, რომლებზეც ინერციის ცენტრიდანული მომენტი = 0. თუ ერთ-ერთი ღერძი ემთხვევა ან ორივე ემთხვევა სიმეტრიის ღერძს, მაშინ ისინი არიან მთავარი. კუთხე, რომელიც განსაზღვრავს ძირითადი ღერძების პოზიციას: , თუ a 0 >0 Þ ღერძი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მაქსიმალური ღერძი ყოველთვის ქმნის უფრო მცირე კუთხეს იმ ღერძთან, რომლის მიმართაც ინერციის მომენტი უფრო დიდია. სიმძიმის ცენტრში გამავალ ძირითად ღერძებს ე.წ ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძი. ინერციის მომენტები ამ ღერძების მიმართ:

J max + J min = J x + J y. ინერციის ცენტრიდანული მომენტი ინერციის მთავარ ცენტრალურ ღერძებთან მიმართებაში უდრის 0-ს. თუ ცნობილია ინერციის ძირითადი მომენტები, მაშინ ბრუნულ ღერძებზე გადასვლის ფორმულებია:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

მონაკვეთის გეომეტრიული მახასიათებლების გამოთვლის საბოლოო მიზანია ინერციის მთავარი ცენტრალური მომენტების და ინერციის მთავარი ცენტრალური ღერძების პოზიციის დადგენა. ინერციის რადიუსი - ; J x =F×i x 2, J y =F×i y 2.

თუ J x და J y არის ინერციის მთავარი მომენტები, მაშინ i x და i y - ბრუნვის ძირითადი რადიუსი. ელიფსს, რომელიც აგებულია ინერციის მთავარ რადიუსებზე, როგორც ნახევარღერძებზე, ეწოდება ინერციის ელიფსი. ინერციის ელიფსის გამოყენებით, შეგიძლიათ გრაფიკულად იპოვოთ ინერციის რადიუსი i x 1 ნებისმიერი ღერძისთვის x 1. ამისათვის თქვენ უნდა დახაზოთ ელიფსის ტანგენსი, ღერძის პარალელურად x 1 და გავზომოთ მანძილი ამ ღერძიდან ტანგენსამდე. ინერციის რადიუსის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის ინერციის მომენტი x ღერძთან 1: . სიმეტრიის ორზე მეტი ღერძის მქონე მონაკვეთებისთვის (მაგალითად: წრე, კვადრატი, რგოლი და ა. .