პოლიჰედრა. პოლიედრების სახეები და მათი თვისებები. სახიანი გეომეტრიული სხეულები 6 სახისგან შემდგარ გეომეტრიულ სხეულს ეწოდება

სექციები: ტექნიკა

გაკვეთილის მიზნები:

• გეომეტრიული სხეულების შესახებ ცოდნის კონსოლიდაცია, პოლიედრების ნახატების აგების უნარები;
• განავითაროს სივრცითი წარმოდგენები და სივრცითი აზროვნება;
• შექმენით გრაფიკული კულტურა.

გაკვეთილის ტიპი:კომბინირებული.

საგაკვეთილო აღჭურვილობა: MIMIO ინტერაქტიული დაფა, მულტიმედიური პროექტორი, კომპიუტერები, mimo პროექტი ინტერაქტიული დაფისთვის, მულტიმედიური პრეზენტაცია, Compass-3D LT პროგრამა.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი

1. მისალმება;

2. მოსწავლეთა დასწრების შემოწმება;

3. გაკვეთილისთვის მზადყოფნის შემოწმება;

4. საკლასო ჟურნალის შევსება (და ელექტრონული)

II. ადრე შესწავლილი მასალის გამეორება

მიმო პროექტი ღიაა ინტერაქტიულ დაფაზე

ფურცელი 1.მათემატიკის გაკვეთილებზე სწავლობდით გეომეტრიულ სხეულებს. რამდენიმე სხეული, რომელსაც ეკრანზე ხედავთ. გავიხსენოთ მათი სახელები. მოსწავლეები ასახელებენ გეომეტრიულ სხეულებს, თუ არის სირთულეები, მე ვეხმარები. (ნახ. 1).

1 - ოთხკუთხა პრიზმა
2 - დამსხვრეული კონუსი
3 - სამკუთხა პრიზმა
4 - ცილინდრი
5 - ექვსკუთხა პრიზმა
6 - კონუსი
7 - კუბი
8 - დამსხვრეული ექვსკუთხა პირამიდა

ფურცელი 4. ამოცანა 2. მოცემულია გეომეტრიული სხეულები და გეომეტრიული სხეულების სახელები. მოსწავლეს ვეძახით დაფაზე და მასთან ერთად ვათრევთ სახელების ქვეშ პოლიედრებს და რევოლუციის სხეულებს, შემდეგ კი გეომეტრიული სხეულების სახელებს (სურ. 2).

ჩვენ ვასკვნით, რომ ყველა სხეული იყოფა პოლიედრებად და რევოლუციის სხეულებად.

ჩვენ ჩართეთ პრეზენტაცია "გეომეტრიული სხეულები" ( განაცხადი ). პრეზენტაცია შეიცავს 17 სლაიდს. პრეზენტაცია შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე გაკვეთილზე, შეიცავს დამატებით მასალას (სლაიდები 14-17). სლაიდ 8-დან არის ჰიპერბმული პრეზენტაცია 2-მდე (კუბების წმენდა). პრეზენტაცია 2 შეიცავს 1 სლაიდს, რომელიც გვიჩვენებს 11 კუბის გაშლას (ისინი ვიდეოების ლინკებია). გაკვეთილზე გამოყენებული იქნა MIMIO ინტერაქტიული დაფა, ასევე კომპიუტერზე მომუშავე მოსწავლეები (პრაქტიკული სამუშაოს შესრულება).

სლაიდი 2.ყველა გეომეტრიული სხეული იყოფა პოლიედრებად და რევოლუციის სხეულებად. პოლიედრა: პრიზმა და პირამიდა. რევოლუციის მყარი ნაწილები: ცილინდრი, კონუსი, ბურთი, ტორუსი. მოსწავლეები აყალიბებენ დიაგრამას სამუშაო რვეულში.

III. ახალი მასალის ახსნა

სლაიდი 3.განვიხილოთ პირამიდა. დაწერეთ პირამიდის განმარტება. პირამიდის მწვერვალი არის ყველა სახის საერთო მწვერვალი, რომელიც აღინიშნება ასო S-ით. პირამიდის სიმაღლე არის პირამიდის ზემოდან ჩამოშვებული პერპენდიკულური (ნახ. 3).

სლაიდი 4.სწორი პირამიდა. თუ პირამიდის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და სიმაღლე ეცემა ფუძის ცენტრამდე, მაშინ პირამიდა რეგულარულია.
ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია.
რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სამკუთხედის სიმაღლეს ეწოდება - მარჯვენა პირამიდის აპოთემა.

სლაიდი 5.რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის აგების ანიმაცია მისი ძირითადი ელემენტების აღნიშვნით (ნახ. 4).

სლაიდი 6. პრიზმის განმარტებას ვწერთ რვეულში. პრიზმა არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს ორი ფუძე (თანაბარი, პარალელური მრავალკუთხედები) და პარალელოგრამის გვერდითი მხარეები. პრიზმა შეიძლება იყოს ოთხკუთხა, ხუთკუთხა, ექვსკუთხა და ა.შ. პრიზმას სახელი ეწოდა მის ბაზაზე არსებული ფიგურის მიხედვით. რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის აგების ანიმაცია მისი ძირითადი ელემენტების აღნიშვნით (სურ. 5).

სლაიდი 7.რეგულარული პრიზმა არის სწორი პრიზმა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი. პარალელეპიპედი არის რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა (სურ. 6).

სლაიდი 8.კუბი არის პარალელეპიპედი, რომლის ყველა სახე კვადრატია (ნახ. 7).

(დამატებითი მასალა: სლაიდზე არის პრეზენტაციის ჰიპერბმული კუბების გადახვევებით, სულ არის 11 განსხვავებული სვიპი).
სლაიდი 9.ჩვენ ვწერთ ცილინდრის განმარტებას. ბრუნვის სხეული არის ცილინდრი, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხედის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის ერთ მხარეს. ცილინდრის მიღების ანიმაცია (სურ. 8).

სლაიდი 10.კონუსი არის ბრუნვის სხეული, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვის შედეგად ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის ერთ ფეხზე (ნახ. 9).

სლაიდი 11.შეკვეცილი კონუსი არის ბრუნვის სხეული, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხა ტრაპეციის ბრუნვის შედეგად მის სიმაღლეზე გამავალი ღერძის გარშემო (სურ. 10).

სლაიდი 12.ბურთი არის ბრუნვის სხეული, რომელიც წარმოიქმნება მის დიამეტრზე გამავალი ღერძის გარშემო წრის ბრუნვის შედეგად (სურ. 11).

სლაიდი 13.ტორუსი არის რევოლუციის სხეული, რომელიც წარმოიქმნება წრის ბრუნვით ღერძის გარშემო, წრის დიამეტრის პარალელურად (სურ. 12).

მოსწავლეები წერენ რვეულში გეომეტრიული სხეულების განმარტებებს.

IV. პრაქტიკული სამუშაო "რეგულარული პრიზმის ნახაზის აგება"

მიმიო პროექტზე გადასვლა

ფურცელი 7. მოცემულია სამკუთხა რეგულარული პრიზმა. ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი. პრიზმის სიმაღლე = 70 მმ და ბაზის მხარე = 40 მმ. განვიხილავთ პრიზმას (მთავარი ხედის მიმართულება ნაჩვენებია ისრით), განვსაზღვრავთ ბრტყელ ფიგურებს, რომლებსაც დავინახავთ წინა, ზედა და მარცხენა ხედებზე. გამოვყავით ხედების გამოსახულებები და ვათავსებთ სახატავ ველზე (სურ. 13).

მოსწავლეები დამოუკიდებლად ხატავენ რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმას კომპასი - 3D პროგრამაში. პრიზმის ზომები: სიმაღლე - 60 მმ, ძირის გარშემო შემოხაზული წრის დიამეტრი - 50 მმ.
ნახატის აგება ზედა ხედიდან (სურ. 14).

შემდეგ შენდება წინა ხედი (სურ. 15).

შემდეგ აგებულია მარცხენა ხედი და გამოიყენება ზომები (სურ. 16).

ნამუშევრები მოწმდება და ინახება კომპიუტერებზე სტუდენტების მიერ.

V. დამატებითი მასალა თემაზე

სლაიდი 14. შეასწორეთ დამსხვრეული პირამიდა (სურ. 17).

სლაიდი 15.დახრილი სიბრტყით შეკვეცილი პირამიდა (სურ. 18).

სლაიდი 16.რეგულარული სამკუთხა პირამიდის განვითარება (სურ. 19).

სლაიდი 17.პარალელეპიპედის განვითარება (სურ. 20).

გეომეტრიული სხეულები, მათი ზედაპირები და მოცულობები

გეომეტრიული სხეული. პოლიჰედრონი

განმარტება: შეზღუდული სივრცითი რეგიონისა და მისი საზღვრის გაერთიანებას გეომეტრიული სხეული ეწოდება.

საზღვარი არის გეომეტრიული სხეულის ზედაპირი.

სივრცითი არე - გეომეტრიული სხეულის შიდა არე.

განმარტება: მრავალკუთხედი არის გეომეტრიული სხეული, რომლის ზედაპირი არის მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობა, ნებისმიერი მრავალკუთხედის თითოეული მხარე არის ორი და მხოლოდ ორი სახის გვერდი, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში. მრავალკუთხედები არის მრავალკუთხედის სახეები.

სახეების წვეროები და გვერდები არის მრავალწახნაგოვანი წვეროები და კიდეები.

პოლიედრები კლასიფიცირდება სახეების რაოდენობის მიხედვით: ტეტრაედონი(ტეტრაედონი), ხუთკუთხა(პენტაედრონი), ჰექსაედონი(ექვსკუთხედი), ოქტაედონი(ოქტაედრონი), დოდეკაედონი(დოდეკაედონი), იკოსაედონი(ოცი ცალმხრივი).

განმარტება: მრავალედრონის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

პრიზმა. პარალელეპიპედი

განმარტება: მრავალწახნაგს, რომლის ორი სახე არის მრავალკუთხედი, რომელიც მიეკუთვნება პარალელურ სიბრტყეს, ხოლო დანარჩენი სახეები პარალელოგრამებია, ეწოდება პრიზმა. პარალელური სიბრტყეების კუთვნილი მრავალკუთხედები პრიზმის ფუძეებია. პარალელოგრამები არის პრიზმის გვერდითი სახეები.

პრიზმის ფუძეების შესაბამისი წვეროების დამაკავშირებელი პარალელოგრამების გვერდები პრიზმის გვერდითი კიდეებია.

A 1 A 2 ... A p B 1 B 2 ... V p - n-ნახშირის პრიზმა;

A 1 A 2 ... A p; V 1 V 2 ... V p - n-ნახშირის პრიზმის ფუძე;

A 1 B 1 B 2 A 2; …; A 1 B 1 B p A p - n-ნახშირის პრიზმის გვერდითი სახეები;

A 1 B 1; A 2 B 2; … ; A p V p - n-ნახშირის პრიზმის გვერდითი კიდეები.

Თვისებები:

პრიზმის ფუძეები თანაბარი და პარალელურია.

პრიზმის გვერდითი კიდეები თანაბარი და პარალელურია.

განმარტება: პრიზმას ეწოდება სწორი, თუ მისი გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია (სურ. 1.), წინააღმდეგ შემთხვევაში პრიზმას ეწოდება ირიბი (სურ. 2.).

ნახ.1. ბრინჯი. 2. ნახ.3.

პრიზმას ეწოდება სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა, ... იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მრავალკუთხედი დევს მის ფუძეში.

განმარტება: პერპენდიკულარული გამოყვანილი საიდანაც - ან ერთი ფუძის წერტილს მეორე ფუძის სიბრტყესთან, ეწოდება პრიზმის სიმაღლე (ნახ. 3.).

1 მ ^ A 1 A 2 A 3; O 1 O 2^A 1 A 2 A 3;

B 1 M \u003d O 1 O 2 \u003d h - პრიზმის სიმაღლე.

კომენტარი: სწორი პრიზმის სიმაღლე მისი გვერდითი კიდის ტოლია .

განმარტება: მართ პრიზმას ეწოდება რეგულარული, თუ მისი ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია.

კომენტარი: რეგულარული პრიზმის გვერდითი მხარეები თანაბარი მართკუთხედებია.

მითითება:

1. რეგულარული ოთხკუთხედი - კვადრატი;

2. მართკუთხა სამკუთხედი ტოლგვერდა სამკუთხედია;

3. რეგულარული ექვსკუთხედი.

განმარტება: პრიზმას, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი, ეწოდება პარალელეპიპედი (ნახ. 1.).

განმარტება: მარჯვენა პარალელეპიპედი არის პარალელეპიპედი, რომლის გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძეებზე (ნახ. 2.).

Თვისებები:

1. პარალელეპიპედის საპირისპირო სახეები თანაბარი და პარალელურია.
2. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი ორად იკვეთება.
3. კუბოიდში ნებისმიერი დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი წრფივი ზომების კვადრატების ჯამს. .d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2
4. მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალები ტოლია.

Სავარჯიშოები:

1. განსაზღვრეთ მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალები მისი ზომებიდან:

ა) 8, 9, 12;

ბ) 12, 16, 21.

მითითება: პარალელოგრამის დიაგონალების კვადრატების ჯამი მისი ყველა გვერდის კვადრატების ჯამის ტოლია.

1. მარჯვენა პარალელეპიპედში ფუძის გვერდები არის 5 სმ და 3 სმ, ხოლო ერთ-ერთი დიაგონალი არის 4 სმ. იპოვეთ პარალელეპიპედის უფრო დიდი დიაგონალი, იცოდეთ, რომ პატარა დიაგონალი ქმნის 60° კუთხეს ფუძის სიბრტყესთან.
2. რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის ფართობია 144 სმ 2, სიმაღლე კი 14 სმ. დაადგინეთ ამ პრიზმის დიაგონალი.

პრიზმის ზედაპირი

განმარტება: პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

განმარტებაპრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის მისი გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.

განმარტება: პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთი არის მრავალკუთხედი, რომელიც მიიღება პრიზმის კიდეებზე პერპენდიკულარული სიბრტყის გადაკვეთით.

თეორემა: პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია გვერდითი კიდის ნამრავლისა და პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრის.

მოცემული:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - პრიზმა;

A A 1 \u003d l;

ლ^ KLMNP;

P^= P(KLMNP)

დაამტკიცე:

შედეგისწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ფუძის პერიმეტრისა და სიმაღლის ნამრავლს.

; ;

Სავარჯიშოები:

დახრილი სამკუთხა პრიზმის გათვალისწინებით, რომლის ორი გვერდითი მხარე ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მათი საერთო კიდეა 9,6 სმ და არის 4,8 სმ და 14 სმ დაშორებით დანარჩენი ორი კიდედან. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

6. კუბოიდში მისი ზომები დაკავშირებულია როგორც 1:2:3 (3:7:8). პარალელეპიპედის მთლიანი ზედაპირის ფართობია 352 სმ 2. იპოვეთ მისი ზომები.

7. იპოვეთ მარჯვენა პარალელეპიპედის მთლიანი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 8 დმ და 12 დმ და ქმნიან კუთხეს 30°, ხოლო გვერდითი კიდე 6 დმ.

8. კუბის მთლიანი ზედაპირის ფართობია 36 სმ 2. განსაზღვრეთ მისი დიაგონალი.

9. იპოვეთ კუბის კიდე, თუ მისი მთლიანი ზედაპირი 24 მ 2-ია.

მარჯვენა პარალელეპიპედში ფუძის გვერდებია 10 სმ და 17 სმ, ფუძის ერთ-ერთი დიაგონალი 21 სმ. პარალელეპიპედის დიდი დიაგონალი 29 სმ. განსაზღვრეთ პარალელეპიპედის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

15. მარჯვენა პარალელეპიპედში ფუძის გვერდები არის 3 სმ და 8 სმ, მათ შორის კუთხე 60 °. პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 220 სმ 2. განსაზღვრეთ პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის ფართობი, უფრო მცირე დიაგონალური მონაკვეთის ფართობი.

16. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი არის 9 სმ. პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობია 144 სმ 2. განსაზღვრეთ ფუძის მხარე და პრიზმის გვერდითი კიდე.

პირდაპირი პრიზმის მოცულობა

მოცულობის ძირითადი თვისებები

1. ორ თანაბარ პოლიედას აქვს იგივე მოცულობა, მიუხედავად მათი მდებარეობისა სივრცეში.
2. პოლიედრის მოცულობა, რომელიც არის ორი მიმდებარე პოლიედრების ჯამი, უდრის ამ პოლიედრების მოცულობების ჯამს.
3. თუ ორი პოლიედრიდან პირველი მთლიანად შედის მეორეში, მაშინ პირველი პოლიედრონის მოცულობა არ აღემატება მეორე პოლიედრონის მოცულობას.

განმარტება: თანაბარი მოცულობის მქონე პოლიედრებს თანაბარ ფართობებს უწოდებენ.

განმარტება: მოცულობის ერთეული არის კუბის მოცულობა, რომლის კიდე უდრის სიგრძის ერთეულს.

პირდაპირი პრიზმის მოცულობა

თეორემა: კუბოიდის მოცულობა უდრის მისი წრფივი ზომების ნამრავლს.

– ხაზოვანი ზომები (გაზომვები)

თეორემა: სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს.

მოცემული:

ABCA 1 B 1 C 1 - სწორი პრიზმა;

- პრიზმის საფუძველი;

; ;

დახრის პრიზმის მოცულობა

თეორემა: დახრილი პრიზმის მოცულობა ტოლია პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთისა და მისი გვერდითი კიდის ფართობის ნამრავლის.

მოცემული:

- დახრილი პრიზმა;

- გვერდითი ნეკნი;

- პერპენდიკულარული მონაკვეთი;

დაამტკიცე:

შედეგი: დახრილი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს.

Სავარჯიშოები:

1. დახრილ პარალელეპიპედში პერპენდიკულარული მონაკვეთის გვერდები, ტოლი 3 სმ და 4 სმ, ქმნიან 30 ° კუთხეს ერთმანეთთან. პარალელეპიპედის გვერდითი კიდე არის 1 დმ. იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა.

2. პრიზმის ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი გვერდით 4 სმ, პრიზმის გვერდითი კიდე არის 6 სმ და ქმნის 60° კუთხეს ფუძის სიბრტყესთან. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა და პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთის ფართობი.

3. მართი პარალელეპიპედის ფუძე არის პარალელოგრამი, რომლის ერთ-ერთი კუთხეა 30°. პარალელეპიპედის ბაზის ფართობია 16 დმ 2. პარალელეპიპედის გვერდითი სახეების ფართობია 24 დმ 2 და 48 დმ 2. იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა.

4. მართკუთხა პარალელეპიპედში ფუძის გვერდები არის 7:24, ხოლო დიაგონალური მონაკვეთის ფართობი 50 სმ 2. იპოვეთ პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

5. სწორი პრიზმის ძირში დევს რომბი a გვერდით და კუთხით 60 °. ფუძის ძირითადი დიაგონალისა და მეორე ფუძის ბლაგვი კუთხის მწვერვალზე გავლებული მონაკვეთი არის მართკუთხა სამკუთხედი. იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

6. სწორი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი სახეების ფართობია 425 სმ 2, 250 სმ 2, 225 სმ 2, ხოლო პრიზმის ფუძის ფართობი 100 სმ 2. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა.

7. მოცემულია დახრილი პარალელეპიპედი, რომლის ფუძეა კვადრატი 5 დმ გვერდით. იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა, თუ ერთ-ერთი გვერდითი კიდე ქმნის 60 ° კუთხეს ფუძის თითოეულ მიმდებარე მხარესთან და უდრის 1 მ.

მართი პრიზმის ფუძე არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდი არის 1 მ, ხოლო ფუძე 1 მ 20 სმ. პრიზმის გვერდითი კიდე უდრის მის გვერდზე დაშვებული ფუძის სიმაღლეს. იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

ბრინჯი. 1. ნახ. 2.

Სავარჯიშოები:

1. პირამიდის ფუძე არის მართკუთხედი გვერდებით 12სმ და 16სმ.პირამიდის თითოეული გვერდითი კიდე 26სმ.იპოვეთ პირამიდის სიმაღლე.
2. პირამიდის ფუძე არის პარალელოგრამი გვერდებით 3 სმ და 7 სმ და დიაგონალით 6 სმ. პირამიდის სიმაღლეა 4 სმ და გადის პარალელოგრამის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში. იპოვეთ პირამიდის გვერდითი კიდეები.
3. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლეა 7 სმ, ხოლო ფუძის გვერდი 8 სმ. იპოვეთ პირამიდის გვერდითი კიდე.
4. პირამიდის ფუძე არის ტოლფერდა სამკუთხედი რომლის ფუძე 6სმ, სიმაღლე 9სმ.პირამიდის გვერდითი კიდეები ერთმანეთის ტოლია და თითოეული შეიცავს 13სმ.იპოვეთ პირამიდის სიმაღლე.
5. პირამიდის ფუძე არის ტოლფერდა სამკუთხედი ფუძით 12 სმ და გვერდით 10 სმ. პირამიდის გვერდითი მხარეები ფუძესთან ერთად ქმნიან თანაბარ ორმხრივ კუთხეებს 45 °. იპოვნეთ პირამიდის სიმაღლე.

წერტილი O თანაბრად ამოღებულია ABC სამკუთხედის წვეროებიდან, შესაბამისად, ის არის ამ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი. მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი არის ჰიპოტენუზის შუა წერტილი. წერტილი O არის ჰიპოტენუზის შუა წერტილი.

.

; .

; ; ; ; .

; , შესაბამისად, .

არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, ამიტომ .

; .

სამი მხრიდან, ასე რომ .

;

; ;

;

.

უპასუხე: .

კომენტარი: არარეგულარულად შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება განმარტებით, როგორც მისი გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.

Სავარჯიშოები:

პირამიდის მოცულობა

თეორემა: პირამიდის მოცულობა უდრის პირამიდის ფუძის ფართობის და მისი სიმაღლის ნამრავლის მესამედს.

მოცემული:

SABC - პირამიდა;

S(ABC)= S მთავარი.

ასე რომ ^ ABC; SO = სთ.

დაამტკიცე:

9. მოკვეთილი პირამიდის მოცულობა

მოცემული:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - შეკვეცილი პირამიდა;

S(ABCD) = S n.d. ; S (A 1 B 1 C 1 D 1) = S v.o.

h არის შეკვეცილი პირამიდის სიმაღლე;

განსაზღვრეთ: V us.pyr. - ?

.

Სავარჯიშოები:

1. რეგულარული პირამიდის კვადრატული ფუძის დიაგონალი არის 6 სმ, პირამიდის სიმაღლე 15 სმ იპოვეთ მისი მოცულობა.
2. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის გვერდითი კიდე არის 14 დმ, მისი ფუძის გვერდი 2 დმ. იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა.
3. პირამიდის ფუძე არის რომბი, რომლის გვერდია 15 სმ, პირამიდის გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყეზე 45° კუთხით. ფუძის ძირითადი დიაგონალი 24 სმ. იპოვეთ პირამიდის მოცულობა.
4. იპოვნეთ შეკვეცილი პირამიდის მოცულობა, თუ მისი ფუძეების ფართობია 98 სმ 2 და 32 სმ 2, ხოლო შესაბამისი სრული პირამიდის სიმაღლე 14 სმ.
5. პირამიდაში სიმაღლის შუაზე გაყვანილია სიბრტყე მისი ფუძის პარალელურად. დაადგინეთ ჩამოყალიბებული ჩამოჭრილი პირამიდის მოცულობა, თუ ამ პირამიდის სიმაღლეა 18 სმ, ხოლო მისი ფუძის ფართობი 400 სმ 2.
6. იპოვეთ სამკუთხა პირამიდის მოცულობა, რომლის გვერდითი კიდეები წყვილად პერპენდიკულარულია და ტოლია 10 სმ, 15 სმ, 9 სმ.
7. სამკუთხა ჩამოსხმულ პირამიდაში სიმაღლე 10 სმ, ქვედა ფუძის გვერდები 27 მ, 29 მ, 52 მ, ზედა ფუძის პერიმეტრი 72 მ. იპოვეთ შეკვეცილი პირამიდის მოცულობა.
8. რეგულარული ოთხკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდები 40 სმ და 10 სმ, საერთო ზედაპირის ფართობი 3400 სმ 2. იპოვნეთ დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა.

ცილინდრი. ცილინდრის ზედაპირი და მოცულობა.

განმარტება: გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც მიიღება მართკუთხედის ერთ-ერთი მხარის გარშემო ბრუნვის შედეგად, მართკუთხა წრიული ცილინდრი ეწოდება.

განმარტება: ცილინდრის ეწოდება სწორი, თუ მისი გენერატორები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეებზე.

ABარის სიმეტრიის ღერძი, ცილინდრის სიმაღლე; AB=H ;

ახ.წარის ცილინდრის ფუძის რადიუსი; AD=R .

განმარტება: ფუძეების სიბრტყეებს შორის მანძილი არის მარჯვენა წრიული ცილინდრის სიმაღლე.

ცილინდრის რადიუსი არის მისი ფუძის რადიუსი. ცილინდრის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუძეების ცენტრებში. ეს არის გენერატორების პარალელურად.

ორი წრე არის საფუძველისწორი წრიული ცილინდრი. ფუძეების წრეების წერტილების დამაკავშირებელი და ფუძის სიბრტყეების პერპენდიკულარული სეგმენტი ე.წ. გენერატრიქსისწორი წრიული ცილინდრი.

განმარტება: ოთხკუთხედს, რომლის ერთი გვერდი ტოლია ცილინდრის ფუძის გარშემოწერილობის, ხოლო მეორე სიმაღლის, ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის განვითარებას უწოდებენ.

ცილინდრის ზედაპირი შედგება ბაზისა და გვერდითი ზედაპირისგან. გვერდითი ზედაპირი შედგება გენერატორებისგან.

შემდგომში განვიხილავთ მხოლოდ სწორ ცილინდრს და მოკლედ მას უბრალოდ ცილინდრს ვუწოდებთ.

განმარტება: ცილინდრს ტოლგვერდა ეწოდება, თუ მისი სიმაღლე უდრის მისი ფუძის დიამეტრს.

ცილინდრის სექციები.

ღერძის პარალელურად სიბრტყის მქონე ცილინდრის ჯვარი მართკუთხედია. მისი ორი მხარე ცილინდრის გენერატრიულია, დანარჩენი ორი კი ფუძის პარალელური აკორდებია.

კერძოდ, მართკუთხედი არის ღერძული მონაკვეთი. ღერძული განყოფილება- ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის მის ღერძზე.

ფუძის პარალელურად სიბრტყით ცილინდრის ჯვარი არის წრე.

ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც არ არის ფუძის პარალელურად და მისი ღერძი არის ოვალური.

თეორემა: ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ფუძის გარშემოწერილობისა და სიმაღლის ნამრავლს ( S მხარე = 2πRH, სად რ- ცილინდრის ფუძის რადიუსი, ჰარის ცილინდრის სიმაღლე).

განმარტება: ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი ზედაპირისა და ორი ფუძის ფართობების ჯამი.

S მთავარი = πR 2 S მხარე = 2πRH S სულ. = 2πRH + 2πR 2.

განვიხილოთ პ - მართკუთხა პრიზმა. ზე p→∞ პრიზმის ფუძესთან მდებარე მრავალკუთხედის პერიმეტრი მიდრეკილია ცილინდრის ფუძის გარშემოწერილობისკენ, პრიზმის ფუძეზე მდებარე მრავალკუთხედის ფართობი მიდრეკილია წრის ფართობისკენ, რომელიც არის ცილინდრის საფუძველი. მოცულობა პ - კუთხოვანი სწორი პრიზმა მიისწრაფვის მარჯვენა წრიული ცილინდრის მოცულობისკენ.

განმარტება: პრიზმას ცილინდრში ჩაწერილს უწოდებენ, თუ მისი ფუძეები ჩაწერილია ცილინდრის ფუძეებში.

განმარტება: ცილინდრი პრიზმაში ჩაწერილად არის ნათქვამი, თუ მისი ფუძეები ჩაწერილია პრიზმის ფუძეებში.

Სავარჯიშოები:

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი არის 48 სმ.. კუთხე ამ დიაგონალსა და ცილინდრის გენერატრიქსს შორის არის 60°. იპოვეთ: სიმაღლე, ბაზის რადიუსი, ცილინდრის ფუძის ფართობი.

2. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 10 სმ 2, ხოლო ფუძის ფართობი 5 სმ 2. იპოვნეთ ცილინდრის სიმაღლე.

3. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 4 სმ, ხოლო მისი ღერძული მონაკვეთის ფართობი 72 სმ 2. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია, ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც მისი მხარის პარალელურია. ღერძი ამოღებულია კვადრატიდან კვადრატის მხარის ტოლი მანძილით. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის მთლიანი ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.

11. სწორი პრიზმის ძირში დევს კვადრატი გვერდით 2. გვერდითი კიდეები ტოლია.

12. სწორი პრიზმის ძირში დევს მართკუთხა სამკუთხედი 6 და 8 ფეხებით. გვერდითი კიდეები ტოლია. . იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა, რომელიც შემოიფარგლება ამ პრიზმით.

13. იპოვეთ მოცულობა ცილინდრის ნაწილი, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე No1.

14. იპოვეთ მოცულობა ცილინდრის ნაწილი, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე No2.

ბრინჯი. No1. ბრინჯი. No2.

კონუსი. კონუსის ზედაპირი და მოცულობა.

კონუსი (ბერძნულიდან "konos")- ფიჭვის გირჩი.

კონუსი ხალხისთვის ნაცნობი იყო უძველესი დროიდან. 1906 წელს აღმოაჩინეს არქიმედეს (ძვ. წ. 287-212 წწ.) მიერ დაწერილი წიგნი "მეთოდის შესახებ", ამ წიგნში მოცემულია გადაკვეთა ცილინდრების საერთო ნაწილის მოცულობის პრობლემა. არქიმედეს ამბობს, რომ ეს აღმოჩენა ეკუთვნის ძველ ბერძენ ფილოსოფოს დემოკრიტეს (ძვ. წ. 470-380 წწ.), რომელმაც ამ პრინციპის გამოყენებით მიიღო პირამიდისა და კონუსის მოცულობის გამოსათვლელი ფორმულები.

წრიული კონუსირომელსაც ეწოდება სხეული, რომელიც შედგება წრისგან - კონუსის საფუძველიწერტილი არ დევს ამ წრის სიბრტყეში - კონუსის მწვერვალიდა ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა წერტილს ფუძის წერტილებთან (ნახ. 1) კონუსის ზედა ნაწილის დამაკავშირებელი ფუძის წრის წერტილებთან ე.წ. კონუსის ფორმირება.

კონუსი ე.წ პირდაპირითუ კონუსის წვეროს ფუძის ცენტრთან დამაკავშირებელი ხაზი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

მარჯვენა კონუსისთვის, სიმაღლის საფუძველი ემთხვევა ფუძის ცენტრს. მარჯვენა კონუსის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს მის სიმაღლეს.

განმარტება: გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი ფეხის გარშემო ტრიალებით, მარჯვენა წრიული კონუსი ეწოდება.

განმარტება: კონუსის სიმაღლე არის პერპენდიკულარი, რომელიც ჩამოშვებულია მისი ზემოდან საბაზისო სიბრტყემდე.

განმარტება: კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება არის წრის სექტორი, რომლის რადიუსი უდრის კონუსის გენერატრიქსს, ხოლო რკალის სიგრძე არის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობა.

კონუსის სექციები.

კონუსის ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე კვეთს კონუსს წრეში, ხოლო გვერდითი ზედაპირი წრეში, კონუსის ღერძზე ორიენტირებული.

კონუსის ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყე წყვეტს მისგან პატარა კონუსს. დანარჩენს წაკვეთილ კონუსს უწოდებენ.

კონუსის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის მის წვეროზე, არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელშიც გვერდები კონუსის გენერატორებია.

განმარტება: კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის მონაკვეთი, რომელიც გადის კონუსის ღერძზე.

დასკვნა: კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის ფუძე არის კონუსის ფუძის დიამეტრი, ხოლო გვერდები არის კონუსის გენერატრიქსი.

კონუსის ზედაპირი შედგება ფუძისა და გვერდითი ზედაპირისგან.

კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობიშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

S მხარე = πRL, სადაც რარის ფუძის რადიუსი, ლ- გენერატორის სიგრძე.

კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობიგვხვდება ფორმულის მიხედვით:

S სავსე = πRL + πR 2, სადაც რარის ფუძის რადიუსი, ლ- გენერატორის სიგრძე.

წრიული კონუსის მოცულობა არის V = 1/3 πR 2 H,სად რარის ფუძის რადიუსი, ჰარის კონუსის სიმაღლე.

განმარტება: კონუსში ჩაწერილი პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია კონუსის ფუძის წრეში, ხოლო მწვერვალი არის კონუსის მწვერვალი. კონუსში ჩაწერილი პირამიდის გვერდითი კიდეები კონუსის გენერატრიულია.

განმარტება: პირამიდა შემოიფარგლება კონუსის გარშემო, ეწოდება პირამიდას, რომელშიც ფუძე არის მრავალკუთხედი, რომელიც შემოიფარგლება კონუსის ფუძესთან და ზედა ემთხვევა კონუსის ზედა ნაწილს.

Სავარჯიშოები:

1. Ტოლფერდა სამკუთხედიმწვერვალის კუთხით 120° და გვერდით 20 სმ ბრუნავს ფუძის გარშემო. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა.

2. იპოვეთ კონუსის სიმაღლე, თუ მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობია 427,2 სმ 2 და გენერატრიქსი 17 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ფეხები არის 3 სმ და 4 სმ, ბრუნავს ღერძის გარშემო ჰიპოტენუზის პარალელურად და გადის სწორი კუთხის წვეროზე. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის მთლიანი ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.

ფრუსტუმი. წაკვეთილი კონუსის ზედაპირი და მოცულობა

განმარტება: შეკვეცილი კონუსი არის კონუსის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ფუძის პარალელურ მონაკვეთს შორის. პარალელურ სიბრტყეში მოთავსებულ წრეებს შეკვეცილი კონუსის ფუძეები ეწოდება.

განმარტება: გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც მიიღება მართკუთხა ტრაპეციის გვერდითი მხარის გარშემო, ფუძეების პერპენდიკულარულად შემობრუნებით, ეწოდება მარჯვენა წრიულ წაკვეთილ კონუსს.

განმარტება: შეკვეცილი კონუსის გენერატრიქსი არის სრული კონუსის გენერატრიქსი, რომელიც ჩაკეტილია ფუძეებს შორის.

განმარტება: ჩამოჭრილი კონუსის სიმაღლე არის მანძილი მის ფუძეებს შორის.

დავალება: მიეცით ჩამოჭრილი კონუსი, რომლის ფუძეების რადიუსი და სიმაღლე ცნობილია: r \u003d 5, R \u003d 7, H \u003d Ö60. იპოვნეთ შეკვეცილი კონუსის გენერაცია.

განმარტება: ფუძეების ცენტრების დამაკავშირებელ სწორ ხაზს წაკვეთილი კონუსის ღერძი ეწოდება. ღერძზე გამავალ მონაკვეთს ღერძული ეწოდება. ღერძული განყოფილება არის ტოლფერდა ტრაპეცია.

დავალება: იპოვეთ ღერძული მონაკვეთის ფართობი, თუ ცნობილია ზედა ფუძის, სიმაღლისა და გენერატორის რადიუსი: R \u003d 6, H \u003d 4, L \u003d 5.

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობიშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

S მხარე = π(R + r)L,

სად რ არის ქვედა ფუძის რადიუსი, რ ლ - გენერატორის სიგრძე.

დამსხვრეული კონუსის მთლიანი ზედაპირიშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

S სავსე = πR 2 + πr 2 + π(R + r)L,

სად რ არის ქვედა ფუძის რადიუსი, რ არის ზედა ბაზის რადიუსი, ლ - გენერატორის სიგრძე.

შეკვეცილი კონუსის მოცულობაშეიძლება მოიძებნოს ასე:

V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2),

სად რ არის ქვედა ფუძის რადიუსი, რ არის ზედა ბაზის რადიუსი, ჰ არის კონუსის სიმაღლე.

Სავარჯიშოები:

შემთხვევის ისტორიიდან.

ჩვეულებრივად, ბურთს ვუწოდებთ სფეროთი შემოზღუდულ სხეულს, ე.ი. ბურთი და სფერო სხვადასხვა გეომეტრიული სხეულებია. თუმცა, ორივე სიტყვა ბურთი და სფერო მოდის ერთი და იგივე ბერძნული სიტყვიდან sfire - ბურთი. ამავე დროს სიტყვა „ბურთი“ წარმოიქმნა თანხმოვანთა sph-ში შ. ელემენტების XI წიგნში ევკლიდე სფეროს განსაზღვრავს, როგორც ფიგურას, რომელიც აღწერილია ნახევარწრიულით, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებულ დიამეტრზე. ძველად სფეროს დიდ პატივს სცემდნენ. ასტრონომიული დაკვირვებები სამყაროს უცვლელად იწვევს სფეროს გამოსახულებას. ფარგლები ყოველთვის ფართოდ გამოიყენებოდა მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში.

განმარტება: გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც მიიღება მისი დიამეტრის გარშემო ნახევარწრიულის ბრუნვით, ბურთი ეწოდება.

განმარტება: სფეროს (ბურთის) რადიუსი არის სფერო, რომელიც აკავშირებს სფეროს (ბურთის) ცენტრს მის რომელიმე წერტილთან.

განმარტება: სფეროს აკორდი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის რომელიმე ორ წერტილს.

განმარტება: სფეროს დიამეტრი არის აკორდი, რომელიც გადის მის ცენტრში.

სფეროს მონაკვეთი სიბრტყით.

სფეროს ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე. ამ წრის ცენტრი არის ბურთის ცენტრიდან ჭრის სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. განყოფილებას, რომელიც გადის ბურთის ცენტრში, ეწოდება დიამეტრულ მონაკვეთს (დიდი წრე).

სფეროს ტანგენტური სიბრტყე.

სიბრტყეს, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი სფეროსთან, ეწოდება სფეროს ტანგენსი და მათი საერთო წერტილისიბრტყესა და სფეროს შორის შეხების წერტილი ეწოდება.

პოლიედრები არა მხოლოდ გამორჩეულ ადგილს იკავებს გეომეტრიაში, არამედ გვხვდება Ყოველდღიური ცხოვრებისთითოეული ადამიანი. რომ აღარაფერი ვთქვათ ხელოვნურად შექმნილ საყოფაცხოვრებო ნივთებზე სხვადასხვა მრავალკუთხედის სახით, ასანთის კოლოფით დაწყებული და დამთავრებული არქიტექტურული ელემენტები, ბუნებაში ასევე არის კრისტალები კუბის (მარილი), პრიზმის (კრისტალი), პირამიდის (შეელიტი), ოქტაედრის (ალმასის) სახით და ა.შ.

პოლიედრონის კონცეფცია, პოლიედრების ტიპები გეომეტრიაში

გეომეტრია, როგორც მეცნიერება, შეიცავს სტერეომეტრიის ნაწილს, რომელიც სწავლობს სამგანზომილებიანი სხეულების მახასიათებლებსა და თვისებებს, რომელთა გვერდები განლაგებულია სამგანზომილებიანი სივრცეჩამოყალიბებული შეზღუდული სიბრტყეებით (სახეებით), ეწოდება "პოლიჰედრები". პოლიჰედრების ტიპები მოიცავს ათზე მეტ წარმომადგენელს, რომლებიც განსხვავდებიან სახეების რაოდენობითა და ფორმით.

თუმცა, ყველა პოლიედას აქვს საერთო თვისებები:

1. ყველა მათგანს აქვს 3 განუყოფელი კომპონენტი: სახე (მრავალკუთხედის ზედაპირი), წვერო (სახეების შეერთებისას წარმოქმნილი კუთხეები), კიდე (ფიგურის მხარე ან ორი სახის შეერთებისას წარმოქმნილი სეგმენტი). ).
2. თითოეული მრავალკუთხედის კიდე აკავშირებს ორ და მხოლოდ ორ სახეს, რომლებიც ერთმანეთის მიმდებარედ არიან.
3. ამოზნექილი ნიშნავს, რომ სხეული მთლიანად განლაგებულია თვითმფრინავის მხოლოდ ერთ მხარეს, რომელზეც ერთ-ერთი სახე დევს. წესი ვრცელდება პოლიედრონის ყველა სახეზე. ასეთ გეომეტრიულ ფიგურებს სტერეომეტრიაში ამოზნექილი პოლიედრები ეწოდება. გამონაკლისია ვარსკვლავის ფორმის პოლიედრები, რომლებიც რეგულარული მრავალწახნაგოვანი გეომეტრიული მყარი ნაწილების წარმოებულებია.

პოლიედრები შეიძლება დაიყოს:

1. ამოზნექილი პოლიედრების ტიპები, რომლებიც შედგება შემდეგი კლასებისგან: ჩვეულებრივი ან კლასიკური (პრიზმა, პირამიდა, პარალელეპიპედი), რეგულარული (ასევე უწოდებენ პლატონურ მყარებს), ნახევრად რეგულარული (მეორე სახელი - არქიმედეს მყარი).
2. არაამოზნექილი პოლიედრები (ვარსკვლავური).

პრიზმა და მისი თვისებები

სტერეომეტრია, როგორც გეომეტრიის ფილიალი, სწავლობს სამგანზომილებიანი ფიგურების თვისებებს, პოლიედრების ტიპებს (პრიზმა ერთ-ერთი მათგანია). პრიზმა არის გეომეტრიული სხეული, რომელსაც აუცილებლად აქვს ორი აბსოლუტურად იდენტური სახე (მათ ასევე უწოდებენ ფუძეებს), რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეებში, ხოლო გვერდითი სახეების n-ე რიცხვი პარალელოგრამების სახით. თავის მხრივ, პრიზმას ასევე აქვს რამდენიმე სახეობა, მათ შორის ისეთი ტიპის პოლიედრები, როგორიცაა:

1. პარალელეპიპედი წარმოიქმნება, თუ ფუძე არის პარალელოგრამი - მრავალკუთხედი 2 წყვილი თანაბარი საპირისპირო კუთხით და 2 წყვილი თანმიმდევრული მოპირდაპირე გვერდით.
2. აქვს ძირის პერპენდიკულარული ნეკნები.
3. ხასიათდება არასწორი კუთხით (90-ის გარდა) სახეებსა და ფუძეს შორის.
4. რეგულარულ პრიზმას ახასიათებს ბაზები თანაბარი გვერდითი სახეებით.

პრიზმის ძირითადი თვისებები:

• თანმიმდევრული ფუძეები.
• პრიზმის ყველა კიდე ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია.
• ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამის ფორმისაა.

პირამიდა

პირამიდა არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შედგება ერთი ფუძისა და სამკუთხა სახეების n-ე რაოდენობისგან, რომლებიც დაკავშირებულია ერთ წერტილში - წვეროზე. უნდა აღინიშნოს, რომ თუ პირამიდის გვერდითი სახეები აუცილებლად წარმოდგენილია სამკუთხედებით, მაშინ ძირში შეიძლება იყოს ან სამკუთხა მრავალკუთხედი, ან ოთხკუთხედი და ხუთკუთხედი და ასე შემდეგ უსასრულოდ. ამ შემთხვევაში, პირამიდის სახელი შეესაბამება ძირში არსებულ მრავალკუთხედს. მაგალითად, თუ პირამიდის ძირში არის სამკუთხედი - ეს არის ოთხკუთხედი - ოთხკუთხედი და ა.შ.

პირამიდები კონუსის მსგავსი პოლიედრებია. ამ ჯგუფის პოლიჰედრების ტიპები, გარდა ზემოთ ჩამოთვლილი, ასევე მოიცავს შემდეგ წარმომადგენლებს:

1. აქვს ფუძეზე რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი სიმაღლე არის დაპროექტებული ფუძეში ჩაწერილი ან მის გარშემო აღწერილი წრის ცენტრში.
2. მართკუთხა პირამიდა იქმნება, როდესაც ერთ-ერთი გვერდითი კიდე სწორ კუთხით იკვეთება ფუძესთან. ამ შემთხვევაში ასევე სამართლიანია ამ კიდეს პირამიდის სიმაღლე ვუწოდოთ.

პირამიდის თვისებები:

• თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე კონგრუენტულია (იგივე სიმაღლის), მაშინ ისინი ყველა ერთნაირი კუთხით იკვეთება ფუძესთან, ხოლო ფუძის გარშემო შეგიძლიათ დახაზოთ წრე ცენტრით, რომელიც ემთხვევა ზედა ნაწილის პროექციას. პირამიდა.
• თუ რეგულარული მრავალკუთხედი დევს პირამიდის ძირში, მაშინ ყველა გვერდითი კიდე კონგრუენტულია, ხოლო სახეები ტოლფერდა სამკუთხედია.

რეგულარული პოლიედონი: პოლიედრების ტიპები და თვისებები

სტერეომეტრიაში განსაკუთრებული ადგილი უკავია გეომეტრიულ სხეულებს აბსოლუტურად თანაბარი სახეებით, რომელთა წვეროებზე ერთნაირი რაოდენობის კიდეებია დაკავშირებული. ამ მყარ ნივთიერებებს პლატონურ მყარებს, ანუ ჩვეულებრივ პოლიედრებს უწოდებენ. ასეთი თვისებების მქონე პოლიედრების ტიპებს მხოლოდ ხუთი ფიგურა აქვთ:

1. ტეტრაედონი.
2. ჰექსაედონი.
3. ოქტაედონი.
4. დოდეკაედონი.
5. იკოსაედონი.

რეგულარულ პოლიედრებს თავიანთი სახელი ეკუთვნით ძველ ბერძენ ფილოსოფოს პლატონს, რომელმაც აღწერა ეს გეომეტრიული სხეულები თავის ნაწერებში და დააკავშირა ისინი ბუნებრივ ელემენტებთან: მიწა, წყალი, ცეცხლი, ჰაერი. მეხუთე ფიგურას მიენიჭა მსგავსება სამყაროს სტრუქტურასთან. მისი თქმით, ატომები ბუნებრივი ელემენტებიფორმით ისინი წააგავს ჩვეულებრივი პოლიედრების ტიპებს. მათი ყველაზე მომხიბლავი თვისების - სიმეტრიის გამო, ეს გეომეტრიული სხეულები დიდ ინტერესს იწვევდა არა მხოლოდ უძველესი მათემატიკოსებისა და ფილოსოფოსებისთვის, არამედ ყველა დროის არქიტექტორებისთვის, მხატვრებისთვის და მოქანდაკეებისთვის. აბსოლუტური სიმეტრიის მქონე პოლიედრების მხოლოდ 5 ტიპის არსებობა ფუნდამენტურ აღმოჩენად ითვლებოდა, მათ ღვთაებრივ პრინციპთან კავშირიც კი მიენიჭათ.

ჰექსაედონი და მისი თვისებები

ექვსკუთხედის სახით, პლატონის მემკვიდრეებმა მიიღეს მსგავსება დედამიწის ატომების სტრუქტურასთან. რა თქმა უნდა, დღეისათვის ეს ჰიპოთეზა სრულიად უარყოფილია, რაც, თუმცა, ხელს არ უშლის ფიგურებს, თანამედროვეობის ესთეტიკით ცნობილი ფიგურების გონება მიიზიდონ.

გეომეტრიაში ჰექსაედონი, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც კუბი, განიხილება პარალელეპიპედის განსაკუთრებულ შემთხვევად, რომელიც, თავის მხრივ, ერთგვარი პრიზმაა. შესაბამისად, კუბის თვისებებს უკავშირდება მხოლოდ ის, რომ კუბის ყველა სახე და კუთხე ერთმანეთის ტოლია. აქედან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

1. კუბის ყველა კიდე თანმიმდევრულია და ერთმანეთის მიმართ პარალელურ სიბრტყეში დევს.
2. ყველა სახე არის თანმიმდევრული კვადრატი (კუბში სულ 6ა), რომელთაგან ნებისმიერი შეიძლება მივიღოთ ფუძედ.
3. ყველა ინტერჰედრული კუთხე არის 90.
4. თითოეული წვეროდან მოდის კიდეების თანაბარი რაოდენობა, კერძოდ 3.
5. კუბს აქვს 9, რომელიც ყველა იკვეთება ექვსკუთხედის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში, რომელსაც ეწოდება სიმეტრიის ცენტრი.

ტეტრაედონი

ტეტრაედონი არის ტეტრაედონი, რომელსაც აქვს თანაბარი სახეები სამკუთხედების სახით, რომლის თითოეული წვერო არის სამი სახის შეერთების წერტილი.

რეგულარული ტეტრაედონის თვისებები:

1. ტეტრაედრის ყველა სახე - აქედან გამომდინარეობს, რომ ტეტრაედრის ყველა სახე თანმიმდევრულია.
2. ვინაიდან ბაზა წარმოდგენილია სწორი გეომეტრიული ფიგურა, ანუ მას აქვს ტოლი გვერდები, შემდეგ ტეტრაედრის სახეები ერთი და იგივე კუთხით იყრიან თავს, ანუ ყველა კუთხე ტოლია.
3. ბრტყელი კუთხეების ჯამი თითოეულ წვეროზე არის 180, რადგან ყველა კუთხე ტოლია, მაშინ რეგულარული ტეტრაედონის ნებისმიერი კუთხე არის 60.
4. თითოეული წვერო დაპროექტებულია მოპირდაპირე (ორთოცენტრული) სახის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილამდე.

ოქტაედონი და მისი თვისებები

რეგულარული პოლიედრების ტიპების აღწერისას არ შეიძლება არ აღინიშნოს ისეთი ობიექტი, როგორიც არის ოქტაედრონი, რომელიც ვიზუალურად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ორი ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდა, რომლებიც ერთმანეთთან არის დამაგრებული ფუძეებზე.

ოქტაედონის თვისებები:

1. გეომეტრიული სხეულის სახელი მიუთითებს მისი სახეების რაოდენობაზე. ოქტაედრონი შედგება 8 თანმიმდევრული ტოლგვერდა სამკუთხედისაგან, რომელთა თითოეულ წვეროზე იყრება თანაბარი რაოდენობის სახეები, კერძოდ 4.
2. ვინაიდან ოქტაედრის ყველა სახე ტოლია, ამიტომ მისი ინტერფეისის კუთხეები ტოლია, რომელთაგან თითოეული უდრის 60-ს, ​​ხოლო რომელიმე წვერის სიბრტყე კუთხის ჯამი არის 240.

დოდეკაედონი

თუ წარმოვიდგენთ, რომ გეომეტრიული სხეულის ყველა სახე არის რეგულარული ხუთკუთხედი, მაშინ მივიღებთ დოდეკაედრონს - 12 მრავალკუთხედის ფიგურას.

დოდეკაედრების თვისებები:

1. თითოეულ წვეროზე სამი სახე იკვეთება.
2. ყველა სახე თანაბარია და აქვს ერთი კიდის სიგრძე და თანაბარი ფართობი.
3. დოდეკაედრონს აქვს 15 ღერძი და სიმეტრიის სიბრტყე და რომელიმე მათგანი გადის სახის წვეროზე და მოპირდაპირე კიდის შუაზე.

იკოსაედონი

დოდეკაედრონზე არანაკლებ საინტერესოა, იკოსაედონი არის სამგანზომილებიანი გეომეტრიული სხეული 20 თანაბარი სახეებით. რეგულარული ოცი ჰედრონის თვისებებს შორის შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი:

1. იკოსედრონის ყველა სახე ტოლფერდა სამკუთხედია.
2. პოლიედრონის თითოეულ წვეროზე ხუთი სახე იყრის თავს და წვეროს მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 300.
3. იკოსაედრონს, ისევე როგორც დოდეკაედრონს, აქვს 15 ღერძი და სიმეტრიის სიბრტყე, რომელიც გადის საპირისპირო სახეების შუა წერტილებში.

ნახევრადრეგულარული მრავალკუთხედები

პლატონური მყარების გარდა, ამოზნექილი პოლიედრების ჯგუფში ასევე შედის არქიმედეს მყარები, რომლებიც შეკვეცილი რეგულარული პოლიედრებია. ამ ჯგუფის პოლიედრების ტიპებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

1. გეომეტრიულ სხეულებს აქვთ რამდენიმე ტიპის წყვილი ტოლი სახეები, მაგალითად, შეკვეცილ ტეტრაედრონს აქვს 8 სახე, ისევე როგორც ჩვეულებრივ ტეტრაედრონს, მაგრამ არქიმედეს მყარის შემთხვევაში 4 სახე იქნება სამკუთხა და 4 ექვსკუთხა.
2. ერთი წვერის ყველა კუთხე თანმიმდევრულია.

ვარსკვლავური პოლიედრა

გეომეტრიული სხეულების არამოცულობითი ტიპების წარმომადგენლები არიან ვარსკვლავისებური პოლიედრები, რომელთა სახეები იკვეთება ერთმანეთს. ისინი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ორი რეგულარული სამგანზომილებიანი სხეულის შერწყმით ან მათი სახის გაგრძელებით.

ამგვარად, ასეთი ვარსკვლავიანი პოლიედრები ცნობილია, როგორც: ოქტაედრის ვარსკვლავიანი ფორმები, დოდეკაედონი, იკოსაედონი, კუბოქტაედონი, იკოსიდოდეკედრინი.

ნებისმიერი გეომეტრიული სხეული შედგება ჭურვისაგან, ანუ გარე ზედაპირისგან და გარკვეული მასალისგან, რომელიც ავსებს მას (ნახ. 42). თითოეულ გეომეტრიულ სხეულს აქვს თავისი ფორმა, რომელიც განსხვავდება შემადგენლობით, სტრუქტურით და ზომით.

გეომეტრიული სხეულის ფორმის შემადგენლობა წარმოადგენს მის შემადგენელი ზედაპირების განყოფილებების სიას (ცხრილი 4). ამრიგად, მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმა შედგება ექვსი განყოფილებისგან, ზედაპირისგან (სახეებისგან): ორი მათგანი პარალელეპიპედის ფუძეა, ხოლო დანარჩენი ოთხი განყოფილება ქმნის დახურულ ამოზნექილ გატეხილ ზედაპირს, რომელსაც გვერდითი ზედაპირი ეწოდება.

სურ 42. გეომეტრიული სხეული: 1 - ჭურვი; 2 - ზედაპირების განყოფილებები, რომლებიც ქმნიან სხეულის გარსს

ფორმის სტრუქტურა გეომეტრიული სხეული - ფორმის მახასიათებელი, რომელიც გვიჩვენებს ზედაპირების ნაწილების ურთიერთმიმართებასა და მდებარეობას ერთმანეთთან შედარებით (იხ. სურ. 44).

ეს მახასიათებლები ურთიერთდაკავშირებულია და ყველაზე მეტად განსაზღვრავს გეომეტრიული სხეულისა და ნებისმიერი სხვა ობიექტის ფორმას.

ფორმის მიხედვით, მარტივი გეომეტრიული სხეულები იყოფა პოლიედრებად და რევოლუციის სხეულებად.

თვითმფრინავი არის ზედაპირის განსაკუთრებული შემთხვევა.

პოლიჰედრა - გეომეტრიული სხეულები, რომელთა გარსი იქმნება სიბრტყეების კუპეებით (სურ. 43, ა).

ასპექტები - სიბრტყეების განყოფილებები, რომლებიც ქმნიან პოლიედრონის ზედაპირს (გარსს); კიდეები - ხაზის სეგმენტები, რომელთა გასწვრივ სახეები იკვეთება; წვეროები არის კიდეების ბოლოები.

რევოლუციის სოლიდები - გეომეტრიული სხეულები (ნახ. 43, ბ), რომელთა გარსი არის ბრუნვის ზედაპირი (მაგალითად, ბურთი) ან შედგება ბრუნვის ზედაპირის მონაკვეთისა და სიბრტყეების ერთი (ორი) მონაკვეთისგან (მაგალითად, კონუსი, ცილინდრი და ა.შ.).

ბრინჯი. 43. პოლიედრები (ა) და რევოლუციის სხეულები (ბ): 1 - გეომეტრიული სხეულის გარსი;
2 - თვითმფრინავების კუპე; 3 - რევოლუციის ზედაპირების განყოფილებები

4. მარტივი გეომეტრიული სხეულების შემადგენლობა

ფორმის სტრუქტურა გავლენას ახდენს გარეგნობაგეომეტრიული სხეული. განვიხილოთ ეს სწორი და დახრილი ცილინდრების მაგალითის გამოყენებით (ნახ. 44), რომელთა საბაზისო კუპეები განსხვავებულად მდებარეობს ერთმანეთთან შედარებით.

ბრინჯი. 44. სტრუქტურული განსხვავებები ცილინდრების ფორმაში

ბრინჯი. 45. ცვლილებები ცილინდრების ფორმაში

ბრინჯი. 46. ​​სხვადასხვა ფორმის ოთხკუთხა პირამიდები

45-ზე მოცემული ცილინდრების გამოსახულებების შედარებისას, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ერთ-ერთი ფუძის პოზიციის ცვლილება იწვევს გეომეტრიული სხეულის ფორმის შეცვლას.

სიმაღლის, სიგანის, სიგრძის, ფუძის დიამეტრის, ღერძული დახრილობის კუთხის შეცვლა, ფუძეების პოზიცია ერთმანეთთან შედარებით მნიშვნელოვნად მოქმედებს გეომეტრიული სხეულების ფორმაზე. მაგალითად, განვიხილოთ სხვადასხვა ფორმის ოთხკუთხა პირამიდები (სურ. 46).

ბრინჯი. 47. გეომეტრიული სხეულები

პოლიტოპების თეორია

სახიანი გეომეტრიული სხეულები

სახიანი გეომეტრიული სხეული ან პოლიჰედრონი არის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობის სიმრავლით, რომლებიც დაკავშირებულია ისე, რომ ნებისმიერი მრავალკუთხედის თითოეული მხარე არის მეორე ერთი მრავალკუთხედის მხარე (ე.წ. მიმდებარე), და არის ერთი ციკლი. მრავალკუთხედები თითოეული წვერის გარშემო. ზემოაღნიშნული განმარტების გამარტივებით, ჩვენ ვიღებთ სასკოლო სახელმძღვანელოდან ნაცნობ პოლიედრონის განმარტებას.

პოლიედონი- გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ყველა მხრიდან ბრტყელი მრავალკუთხედებით, რომელსაც სახეები ეწოდება. სახეების გვერდებს მრავალწახნაგების კიდეები ეწოდება, ხოლო კიდეების ბოლოებს მრავალწახნაგა.

ისტორიიდან

ბერძნული მათემატიკა, რომელშიც პირველად გამოჩნდა პოლიედრების თეორია, განვითარდა ცნობილი მოაზროვნის პლატონის დიდი გავლენით.

პლატონი(ძვ. წ. 427-347 წწ.) - დიდი ძველი ბერძენი ფილოსოფოსი, აკადემიის დამაარსებელი და პლატონიზმის ტრადიციის ფუძემდებელი. მისი სწავლების ერთ-ერთი არსებითი მახასიათებელია იდეალური საგნების – აბსტრაქციების განხილვა. მათემატიკა, რომელმაც მიიღო პლატონის იდეები, ევკლიდეს დროიდან სწავლობს ზუსტად აბსტრაქტულ, იდეალურ ობიექტებს. თუმცა, როგორც თავად პლატონმა, ისე ბევრმა ძველმა მათემატიკოსმა ჩადო ტერმინი იდეალური არა მხოლოდ აბსტრაქტული მნიშვნელობით, არამედ საუკეთესო მნიშვნელობითაც. უძველესი მათემატიკოსებისგან მიღებული ტრადიციის თანახმად, ყველა პოლიედრებს შორის საუკეთესოა ის, ვისაც აქვს რეგულარული მრავალკუთხედები.

პოლიედრები შეიძლება რამდენიმე კრიტერიუმის მიხედვით დაიყოს: მაგალითად, სახეების რაოდენობით გამოირჩევიან ტეტრაედრები, ხუთწახნაგები და ა.შ.

არსებობს რეგულარული და ნახევრადრეგულარული პოლიედრები. რეგულარული მრავალედრები არის ისეთები, რომლებშიც ყველა სახე არის რეგულარული თანაბარი მრავალკუთხედი და ყველა კუთხე წვეროებზე ტოლია. თუ მრავალწახნაგების სახეებია სხვადასხვარეგულარული მრავალკუთხედები, შემდეგ მიიღება მრავალწახნაგა, რომელსაც ნახევრადრეგულარული (ტოლკუთხა ნახევრადრეგულარული) ეწოდება. ნახევრადრეგულარული პოლიედონი არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომლის სახეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები (შესაძლოა გვერდების განსხვავებული რაოდენობა) და ყველა მრავალწახნაგოვანი კუთხე ტოლია.

გარდა რეგულარული და ნახევრადრეგულარული პოლიედრებისა ლამაზი ფორმებიაქვთ ეგრეთ წოდებული რეგულარული ვარსკვლავური პოლიედრები. ისინი მიიღება რეგულარული მრავალწახნაგებიდან სახეების ან კიდეების გაფართოებით, ისევე, როგორც რეგულარული ვარსკვლავური მრავალკუთხედები მიიღება რეგულარული მრავალკუთხედების გვერდების გაფართოებით.

მრავალი პოლიედრიდან გამოვყოფთ ყველაზე ცნობილს: პრიზმასა და პირამიდას (სურ. 1).

პრიზმა არის პოლიედონი, რომელშიც ორი იდენტური ერთმანეთის პარალელური სახე არის ფუძე, ხოლო დანარჩენი გვერდითი სახეები - პარალელოგრამები.

პირამიდა არის პოლიედონი, რომელშიც ერთი სახე - თვითნებური მრავალკუთხედი - აღებულია ფუძედ, ხოლო დარჩენილი სახეები (გვერდი) არის სამკუთხედები საერთო წვერით, რომელსაც პირამიდის მწვერვალი ეწოდება.

ნახ. 2 გვიჩვენებს რამდენიმე პრიზმასა და პირამიდას. პირამიდას, რომლის ფუძეს აქვს სამკუთხედის ფორმა, ეწოდება სამკუთხა პირამიდა. ასე რომ, შეიძლება ვისაუბროთ კვადრატზე, ხუთკუთხედზე და ა.შ. პირამიდები ნახ. 2, ადა 2, ბ. ნებისმიერი სახე შეიძლება იყოს სამკუთხა პირამიდის საფუძველი.

ნახ. 2, V, 2, გდა 2, დმოცემულია პოლიედრების გარკვეული კლასის მაგალითები, რომელთა წვეროები შეიძლება დაიყოს ერთნაირი რაოდენობის წერტილების ორ ნაწილად; თითოეული ამ სიმრავლის წერტილები არის p-გონების წვეროები და ორივე p-გონების სიბრტყეები პარალელურია. თუ ეს ორი p-გონი (ფუძე) თანმიმდევრულია და განლაგებულია ისე, რომ ერთი p-გონების წვეროები დაკავშირებულია მეორე p-გონების წვეროებთან პარალელური სწორი ხაზის სეგმენტებით, მაშინ ასეთ პოლიედრონს ეწოდება p-გონალური პრიზმა. . ორი p-კუთხიანი პრიზმის მაგალითია სამკუთხა პრიზმა (p = 3) ნახ. 2, ვდა ხუთკუთხა პრიზმა (p = 5) ნახ. 2, გ. თუ ფუძეები განლაგებულია ისე, რომ ერთი p-გონების წვეროები დაკავშირებულია მეორე p-გონების წვეროებთან ზიგზაგისებური გატეხილი ხაზით, რომელიც შედგება 2p სწორი ხაზის სეგმენტებისგან, როგორც ნახ. 2, დ, მაშინ ასეთ პოლიედრონს პ-გონალური ანტიპრიზმი ეწოდება.

ორი ფუძის გარდა, p-ნახშირის პრიზმას აქვს p სახეები - პარალელოგრამები. თუ პარალელოგრამები მართკუთხედების სახითაა, მაშინ პრიზმას სწორი ხაზი ეწოდება. ასეთ პრიზმაში გვერდითი სახეების კიდეები ფუძის პერპენდიკულარულია. პრიზმას, რომლის ფუძეები არ არის პარალელური, ეწოდება შეკვეცილი პრიზმა.

2. რეგულარული პოლიედრები.ამოზნექილ პოლიედრონს რეგულარულს უწოდებენ, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

მისი ყველა სახე არის კონგრუენტული რეგულარული მრავალკუთხედი;

თითოეული წვერო მიმდებარეა იმავე რაოდენობის სახეებთან.

თუ რეგულარული მრავალკუთხედის ყველა სახე რეგულარული მრავალკუთხედია, მაშინ რეგულარულ მრავალკუთხედში ყველა სიბრტყე, მრავალწახნაგოვანი და ორკუთხედი ტოლია.

თუ ყველა სახე არის რეგულარული p-გონები და მათგან q ერთვის თითოეულ წვეროს, მაშინ ასეთი რეგულარული პოლიტოპი აღინიშნება (p, q). ფრჩხილებში პირველი რიცხვი მიუთითებს, თუ რამდენი მხარე აქვს თითოეულ სახეს, მეორე კი თითოეული წვერის მიმდებარე სახეების რაოდენობას. ეს აღნიშვნა შემოგვთავაზა L. Schläfli-მ (1814-1895), შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა, რომელსაც აქვს მრავალი ელეგანტური შედეგი გეომეტრიაში და. მათემატიკური ანალიზი. არსებობს არაამოზნექილი პოლიედრები, რომელთა სახეები იკვეთება და უწოდებენ "რეგულარულ ვარსკვლავურ პოლიედრებს". გეომეტრიაში, ჩვეულებრივ, რეგულარული პოლიედრები გაგებულია, როგორც ექსკლუზიურად ამოზნექილი რეგულარული პოლიედრები.

რეგულარულ პოლიედრებს ზოგჯერ პლატონურ მყარებსაც უწოდებენ, რადგან ისინი თვალსაჩინო ადგილს იკავებენ დიდი მოაზროვნის მიერ შემუშავებულ სამყაროს ფილოსოფიურ სურათში. Უძველესი საბერძნეთიპლატონი.

არსებობს რეგულარული პოლიედრების 5 ტიპი: ტეტრაედონი, კუბი, ოქტაედრონი, დოდეკედრონი, იკოსაედონი.

ტეტრაჰედრონი არის რეგულარული პოლიედონი, რომლის ზედაპირი შედგება ოთხი რეგულარული სამკუთხედისგან.

ჰექსაჰედრონი (კუბი) - რეგულარული მრავალწახნაგოვანი, რომლის ზედაპირი შედგება ექვსი რეგულარული ოთხკუთხედისგან (კვადრატი).

ოქტაედონი არის რეგულარული პოლიედონი, რომლის ზედაპირი შედგება რვა რეგულარული სამკუთხედისგან.

დოდეკედრონი არის რეგულარული პოლიედონი, რომლის ზედაპირი შედგება თორმეტი რეგულარული ხუთკუთხედისგან.

იკოსაედონი არის რეგულარული მრავალედრონი, რომლის ზედაპირი შედგება ოცი რეგულარული სამკუთხედისგან.

ამ პოლიედრების სახელები მომდინარეობს ძველი საბერძნეთიდან და ისინი მიუთითებენ სახეების რაოდენობაზე:

"ჰედრა" - ზღვარი;

"ტეტრა" - 4;

"ჰექსა" - 6;

"ოქტა" - 8;

"იკოსა" - 20;

"დოდეკა" - 12.

ნახ. 3 გვიჩვენებს რეგულარულ პოლიედრებს

ისტორიიდან

პლატონს სჯეროდა, რომ სამყარო აგებულია ოთხი "ელემენტისგან" - ცეცხლი, დედამიწა, ჰაერი და წყალი და ამ "ელემენტების" ატომებს აქვთ ოთხი რეგულარული პოლიედრის ფორმა. ტეტრაჰედრონი განასახიერებდა ცეცხლს, რადგან მისი ზევით მიმართულია აალებული ალივით; იკოსაედონი - როგორც ყველაზე გამარტივებული - წყალი; კუბი - ფიგურებიდან ყველაზე სტაბილური - დედამიწა, ხოლო რვაფეხა - ჰაერი. ჩვენს დროში ეს სისტემა შეიძლება შევადაროთ მატერიის ოთხ მდგომარეობას - მყარი, თხევადი, აირისებრი და ცეცხლოვანი. მეხუთე პოლიჰედრონი - დოდეკაედრონი სიმბოლურად განასახიერებდა მთელ სამყაროს და პატივს სცემდა, როგორც ყველაზე მნიშვნელოვანს. ეს იყო სისტემატიზაციის იდეის მეცნიერებაში დანერგვის ერთ-ერთი პირველი მცდელობა.

ძველი ბერძნები დოდეკაედრონს სამყაროს ფორმად თვლიდნენ. მათ ასევე გამოიკვლიეს პლატონური მყარი სხეულების მრავალი გეომეტრიული თვისება; მათი კვლევის ნაყოფი შეგიძლიათ იხილოთ ევკლიდეს ელემენტების მე-13 წიგნში.

პლატონური მყარი და მასთან დაკავშირებული ფიგურების შესწავლა დღემდე გრძელდება. და მიუხედავად იმისა, რომ სილამაზე და სიმეტრია თანამედროვე კვლევის მთავარი მოტივია, მათ ასევე აქვთ გარკვეული სამეცნიერო მნიშვნელობა, განსაკუთრებით კრისტალოგრაფიაში. კრისტალები სუფრის მარილინატრიუმის თიოანტიმონიდი და ქრომის ალუმი ბუნებრივად გვხვდება კუბის, ტეტრაედრის და ოქტაედრის სახით, შესაბამისად. იკოსაედონი და დოდეკედრონი არ გვხვდება კრისტალურ ფორმებს შორის, მაგრამ მათი დაკვირვება შესაძლებელია მიკროსკოპული ზღვის ორგანიზმების ფორმებს შორის, რომლებიც ცნობილია როგორც რადიოლარიები.

რეგულარული პოლიედრების თვისებები. ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედის წვეროები დევს სფეროზე (რაც გასაკვირი არ არის, იმის გათვალისწინებით, რომ ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედის წვეროები დევს წრეზე). ამ სფეროს გარდა, რომელსაც „აღწერილ სფეროს“ უწოდებენ, არის კიდევ ორი ​​მნიშვნელოვანი სფერო. ერთი მათგანი, "შუა სფერო", გადის ყველა კიდეების შუა წერტილებში, ხოლო მეორე, "ჩაწერილი სფერო", ეხება ყველა სახეს მათ ცენტრებში. სამივე სფეროს აქვს საერთო ცენტრი, რომელსაც პოლიედრონის ცენტრს უწოდებენ.

რეგულარული პოლიედრების რაოდენობა. ბუნებრივია ვიკითხოთ, არის თუ არა სხვა რეგულარული პოლიედრები პლატონური მყარის გარდა.

პლატონური მყარები ბრტყელი რეგულარული მრავალკუთხედების სამგანზომილებიანი ანალოგია. თუმცა, არსებობს მნიშვნელოვანი განსხვავება ორგანზომილებიან და სამგანზომილებიან შემთხვევებს შორის: არის უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული რეგულარული მრავალკუთხედი, მაგრამ მხოლოდ ხუთი განსხვავებული რეგულარული მრავალკუთხედი. ამ ფაქტის მტკიცებულება ცნობილია ორი ათას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში; ამ მტკიცებულებით და ხუთი რეგულარული მყარის შესწავლით სრულდება ევკლიდეს პრინციპები.

როგორც შემდეგი მარტივი მოსაზრებები აჩვენებს, პასუხი უნდა იყოს არა. მოდით (p, q) იყოს თვითნებური რეგულარული პოლიტოპი. მას შემდეგ, რაც რეგულარული p-გონები ემსახურება მის სახეებს, ადვილია იმის ჩვენება, რომ მათი შიდა კუთხეებია (180 - 360/p) ან 180 (1 - 2/p) გრადუსი. ვინაიდან პოლიედონი (p, q) ამოზნექილია, ყველა შიდა კუთხის ჯამი მის რომელიმე წვეროსთან მიმდებარე სახეების გასწვრივ უნდა იყოს 360 გრადუსზე ნაკლები. მაგრამ თითოეული წვერო არის q სახეების მიმდებარედ, ამიტომ უტოლობა უნდა შენარჩუნდეს.

სადაც სიმბოლო< означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

ადვილი მისახვედრია, რომ p და q უნდა იყოს 2-ზე მეტი. p = 3-ის (1) ჩანაცვლებით, აღმოვაჩენთ, რომ q-ის ერთადერთი მოქმედი მნიშვნელობები ამ შემთხვევაში არის 3, 4 და 5, ე.ი. ვიღებთ პოლიტოპებს (3, 3), (3, 4) და (3, 5). p = 4-ისთვის, q-სთვის ერთადერთი სწორი მნიშვნელობა არის 3, ე.ი. პოლიედონი (4, 3), p = 5-ისთვის უტოლობა (1) ასევე აკმაყოფილებს მხოლოდ q = 3, ე.ი. პოლიედონი (5, 3). p> 5-ისთვის, არ არსებობს q-ის დასაშვები მნიშვნელობები. მაშასადამე, არ არსებობს სხვა რეგულარული პოლიედრები, გარდა პლატონის მყარი.

3. ნახევრადრეგულარული პოლიედრები.ზემოთ განვიხილეთ რეგულარული პოლიედრები, ე.ი. ისეთი ამოზნექილი მრავალკუთხედები, რომელთა სახეები ტოლი რეგულარული მრავალკუთხედია და რომელთა თითოეულ წვეროზე ერთი და იგივე რაოდენობის სახეები იყრის თავს. თუ ამ განმარტებაში ვივარაუდებთ, რომ მრავალკუთხედის სახეები შეიძლება იყოს სხვადასხვა წესიერი მრავალკუთხედი, მაშინ მივიღებთ მრავალწახნაგს, რომლებსაც ნახევრადრეგულარული (ტოლკუთხა ნახევრადრეგულარული) ეწოდება.

ნახევრადრეგულარული პოლიედონი არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი, რომლის სახეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები (შესაძლოა გვერდების განსხვავებული რაოდენობა) და ყველა მრავალწახნაგოვანი კუთხე ტოლია.

ნახევრადრეგულარული პოლიედრები მოიცავს რეგულარულ n-გონალურ პრიზმებს, რომელთა ყველა კიდე ტოლია. მაგალითად, რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმა 4 ფიგურაში, ააქვს ორი რეგულარული ხუთკუთხედი - პრიზმის საფუძველი და ხუთი კვადრატი, რომლებიც ქმნიან პრიზმის გვერდით ზედაპირს. ნახევრადრეგულარული პოლიედრები ასევე მოიცავს ე.წ ანტიპრიზმებს. სურათი 4, ბჩვენ ვხედავთ ხუთკუთხა ანტიპრიზმს, რომელიც მიიღება ხუთკუთხა პრიზმიდან ერთ-ერთი ფუძის მეორესთან მიმართებაში 36 კუთხით ბრუნვით. ზედა და ქვედა ფუძის თითოეული წვერო დაკავშირებულია მეორე ფუძის ორ უახლოეს წვეროსთან.

a B C

ნახევრადრეგულარული პოლიედრების ამ ორი გაუთავებელი სერიის გარდა, არის კიდევ 13 ნახევრადრეგულარული პოლიედრები, რომლებიც პირველად აღმოაჩინა და აღწერა არქიმედესმა - ეს არის არქიმედეს სხეულები.

მათგან უმარტივესები მიიღება რეგულარული პოლიედრებიდან "შეკვეცის" ოპერაციით, რომელიც შედგება პოლიედრონის კუთხეების სიბრტყეებით ამოჭრაში. თუ ოთხკუთხედს დავჭრით სიბრტყეებით, რომელთაგან თითოეული ჭრის მისი კიდეების მესამე ნაწილს ერთი წვეროდან გამოსული, მაშინ მივიღებთ რვა წვერის მქონე წაკვეთილ ოთხკუთხედს (სურ. 4. ვ). აქედან ოთხი არის რეგულარული ექვსკუთხედი და ოთხი რეგულარული სამკუთხედი. ამ პოლიედრონის თითოეულ წვეროზე სამი სახე იყრის თავს.

თუ ოქტაედრონს და იკოსაედრს წვეროებს მოვკვეთთ მითითებულ სახით, მივიღებთ, შესაბამისად, შეჭრილ რვაფეხას (სურ. 5, ა) და მოკვეთილ იკოსაედრონს (ნახ. 5, ბ). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფეხბურთის ბურთის ზედაპირი დამზადებულია დამსხვრეული იკოსაედრის ზედაპირის სახით. შეკვეცილი კუბი (ნახ. 5გ) და შეკვეცილი დოდეკაედონი (ნახ. 5დ) ასევე შეიძლება მივიღოთ კუბიდან და დოდეკაედრიდან.

ა ბ გ დ

ჩვენ განვიხილეთ არქიმედეს მიერ აღწერილი 13 ნახევრადრეგულარული პოლიედრიდან 4. დანარჩენი უფრო რთული ტიპის პოლიედრებია.

ისტორიიდან

საკმაოდ ორიგინალურია კეპლერის კოსმოლოგიური ჰიპოთეზა, რომელშიც ის ზოგიერთი თვისების დაკავშირებას ცდილობდა მზის სისტემარეგულარული პოლიედრების თვისებებით. კეპლერი ვარაუდობს, რომ მანძილი ექვს ცნობილ პლანეტას შორის გამოიხატება ხუთი რეგულარული ამოზნექილი პოლიედრის (პლატონური მყარი ნაწილების) ზომებით. ციური სფეროების თითოეულ წყვილს შორის, რომლებზეც ამ ჰიპოთეზის მიხედვით ბრუნავენ პლანეტები, კეპლერმა პლატონური ერთ-ერთი მყარი ჩაწერა. ოქტაედონი აღწერილია მერკურის სფეროს გარშემო, პლანეტა მზესთან ყველაზე ახლოს. ეს ოქტაედრონი ჩაწერილია ვენერას სფეროში, რომლის გარშემოც აღწერილია იკოსაედონი. იკოსაედონის ირგვლივ დედამიწის სფეროა, ამ სფეროს ირგვლივ კი დოდეკაედონი.

პოლიედრების მეცნიერებაში სერიოზული ნაბიჯი გადადგა მე-18 საუკუნეში ლეონარდ ეილერმა (1707-1783), რომელსაც გადაჭარბების გარეშე „სწამდა ჰარმონია ალგებრასთან“. ეილერის თეორემა ამოზნექილი პოლიედრონის წვეროების, კიდეების და სახეების რაოდენობას შორის ურთიერთობის შესახებ, რომლის დადასტურებაც ეილერმა გამოაქვეყნა 1758 წელს პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის შენიშვნებში, საბოლოოდ შემოიტანა მათემატიკური წესრიგი მრავალფეროვან სამყაროში.

წვეროები + სახეები - კიდეები = 2.

რეგულარული პოლიედრების სიმეტრიის ელემენტები

ზოგიერთი სწორი და ნახევრადრეგულარული სხეული ბუნებაში გვხვდება კრისტალების სახით, სხვები - ვირუსების, პროტოზოების სახით.

ვარსკვლავური პოლიედრა

ვარსკვლავური მრავალწახნაგები მიიღება რეგულარული მრავალწახნაგებისაგან სახეების ან კიდეების გაფართოებით, ისევე როგორც რეგულარული ვარსკვლავური მრავალკუთხედები მიიღება რეგულარული მრავალკუთხედების გვერდების გაფართოებით.

პირველი ორი რეგულარული ვარსკვლავის ფორმის პოლიედრა აღმოაჩინა ი.კეპლერმა (1571-1630), ხოლო დანარჩენი ორი თითქმის 200 წლის შემდეგ ააგო ფრანგმა მათემატიკოსმა და მექანიკოსმა ლ.პუანსომ (1777-1859). ამიტომაც რეგულარულ ვარსკვლავურ პოლიედრებს უწოდებენ კეპლერ-პოინსოს მყარებს.

ნაშრომში „მრავალკუთხედებისა და პოლიედრების შესახებ“ (1810) პუანსომ აღწერა ოთხი რეგულარული ვარსკვლავური პოლიედრა, მაგრამ სხვა ასეთი პოლიედრების არსებობის საკითხი ღია დარჩა. მასზე პასუხი ერთი წლის შემდეგ, 1811 წელს, ფრანგმა მათემატიკოსმა ო.კოშიმ (1789-1857) გასცა. ნაშრომში "კვლევა პოლიედრების შესახებ" მან დაამტკიცა, რომ სხვა რეგულარული ვარსკვლავიანი პოლიედრები არ არსებობს.

განვიხილოთ კითხვა, თუ რომელი რეგულარული პოლიედრები შეიძლება გამოვიყენოთ რეგულარული ვარსკვლავური პოლიედრების მისაღებად. ტეტრაედრიდან, კუბიდან და რვაედრიდან არ მიიღება რეგულარული ვარსკვლავისებური პოლიედრები. აიღეთ დოდეკაედონი. მისი კიდეების გაგრძელება იწვევს თითოეული სახის ჩანაცვლებას ვარსკვლავის ფორმის რეგულარული ხუთკუთხედით (სურ. 30, ა) და შედეგად წარმოიქმნება პოლიედონი, რომელსაც ეწოდება პატარა ვარსკვლავიანი დოდეკაედონი (ნახ. 30, ბ). .

როდესაც დოდეკედრის სახეები გაფართოვდება, ჩნდება ორი შესაძლებლობა. პირველ რიგში, თუ განვიხილავთ რეგულარულ ხუთკუთხედებს, მივიღებთ ეგრეთ წოდებულ დიდ დოდეკაედრონს (სურ. 31). თუ მეორე, ვარსკვლავიან ხუთკუთხედებს სახეებად მივიჩნევთ, მაშინ მივიღებთ დიდ ვარსკვლავიან დოდეკაედრონს (სურ. 32).

იკოსაედრონს აქვს ერთი ვარსკვლავის ფორმა. როდესაც რეგულარული იკოსედრონის სახეები გრძელდება, დიდი იკოსაედონი მიიღება (სურ. 33).

ამრიგად, არსებობს რეგულარული ვარსკვლავის პოლიედრების 4 ტიპი.

ვარსკვლავის ფორმის პოლიედრონები ძალიან დეკორატიულია, რაც მათ საშუალებას აძლევს ფართოდ გამოიყენონ საიუველირო ინდუსტრიაში ყველა სახის სამკაულის წარმოებაში.

ვარსკვლავური პოლიედრების მრავალი ფორმა თავად ბუნების მიერ არის შემოთავაზებული. ფიფქები ვარსკვლავის ფორმის პოლიედრებია (სურათი 34). უძველესი დროიდან ადამიანები ცდილობდნენ აღეწერათ ფიფქების ყველა შესაძლო სახეობა და შეადგინეს სპეციალური ატლასები. ახლა ცნობილია რამდენიმე ათასი სხვადასხვა სახის ფიფქი.

მსგავსი ინფორმაცია.