ტრაპეციის ფორმულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები. მასის ცენტრის პოზიცია. ტოლფერდა სამკუთხედის გეომეტრიული მახასიათებლები

საინჟინრო პრაქტიკაში ხდება, რომ საჭიროა გამოვთვალოთ რთული ბრტყელი ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები, რომელიც შედგება მარტივი ელემენტებისაგან, რომლისთვისაც ცნობილია სიმძიმის ცენტრის მდებარეობა. ეს ამოცანა არის ამოცანის ნაწილი, რომელიც განსაზღვრავს ...

სხივებისა და ღეროების კომპოზიტური ჯვრის მონაკვეთების გეომეტრიული მახასიათებლები. ხშირად, ჭრის საჭრელების დიზაინერებს უწევთ მსგავსი კითხვების წინაშე წნევის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრისას, ტვირთის განთავსებისას სხვადასხვა სატრანსპორტო საშუალების დატვირთვის სქემების შემქმნელებს, ელემენტების ჯვარედინი მონაკვეთების შერჩევისას ლითონის კონსტრუქციების დიზაინერებს და, რა თქმა უნდა, სტუდენტები, როდესაც სწავლობენ დისციპლინებს "თეორიული მექანიკა" და "მასალების სიძლიერე".

ელემენტარული ფიგურების ბიბლიოთეკა.

სიმეტრიული სიბრტყის ფიგურებისთვის, სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა სიმეტრიის ცენტრს. ელემენტარული ობიექტების სიმეტრიულ ჯგუფში შედის: წრე, მართკუთხედი (კვადრატის ჩათვლით), პარალელოგრამი (რომბის ჩათვლით), რეგულარული მრავალკუთხედი.

ზემოთ მოცემულ ფიგურაში წარმოდგენილი ათი ფიგურიდან მხოლოდ ორია ძირითადი. ანუ, სამკუთხედების და წრეების სექტორების გამოყენებით, შეგიძლიათ დააკავშიროთ პრაქტიკული ინტერესის თითქმის ნებისმიერი ფიგურა. ნებისმიერი თვითნებური მრუდი შეიძლება დაიყოს მონაკვეთებად და შეიცვალოს წრიული რკალებით.

დანარჩენი რვა ფიგურა ყველაზე გავრცელებულია, რის გამოც ისინი შეიტანეს ამ უნიკალურ ბიბლიოთეკაში. ჩვენს კლასიფიკაციაში ეს ელემენტები არ არის ძირითადი. მართკუთხედი, პარალელოგრამი და ტრაპეცია შეიძლება ჩამოყალიბდეს ორი სამკუთხედისგან. ექვსკუთხედი არის ოთხი სამკუთხედის ჯამი. წრის სეგმენტი არის განსხვავება წრის სექტორსა და სამკუთხედს შორის. წრის რგოლის სექტორი არის განსხვავება ორ სექტორს შორის. წრე არის წრის სექტორი კუთხით α=2*π=360˚. ნახევარწრე არის, შესაბამისად, წრის სექტორი კუთხით α=π=180˚.

კომპოზიტური ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების გაანგარიშება Excel-ში.

ყოველთვის უფრო ადვილია ინფორმაციის გადმოცემა და აღქმა მაგალითის გათვალისწინებით, ვიდრე საკითხის შესწავლა წმინდა თეორიული გამოთვლებით. მოდით განვიხილოთ პრობლემის გადაწყვეტა "როგორ ვიპოვოთ სიმძიმის ცენტრი?" ამ ტექსტის ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები კომპოზიტური ფიგურის მაგალითის გამოყენებით.

კომპოზიტური განყოფილება არის მართკუთხედი (განზომილებებით ა1 = 80 მმ, ბ1 =40 მმ), რომელსაც ზევით მარცხნივ დაემატა ტოლფერდა სამკუთხედი (ფუძის ზომით). ა2 =24 მმ და სიმაღლე თ2 =42 მმ) და საიდანაც ზემოდან მარჯვნივ იყო ამოჭრილი ნახევარწრიული (ცენტრით წერტილში კოორდინატებით x03 =50 მმ და წ03 =40 მმ, რადიუსი რ3 =26 მმ).

ჩვენ გამოვიყენებთ პროგრამას, რომელიც დაგეხმარებათ გამოთვლების შესრულებაში MS Excel ან პროგრამა OOo Calc . ნებისმიერი მათგანი ადვილად გაუმკლავდება ჩვენს დავალებას!

უჯრედებში ერთად ყვითელი ჩვენ შევავსებთ მას დამხმარე წინასწარი გამოთვლები .

ჩვენ ვიანგარიშებთ შედეგებს უჯრედებში ღია ყვითელი შევსებით.

ლურჯი შრიფტი არის წყაროს მონაცემები .

შავი შრიფტი არის შუალედური გაანგარიშების შედეგები .

წითელი შრიფტი არის საბოლოო გაანგარიშების შედეგები .

ჩვენ ვიწყებთ პრობლემის გადაჭრას - ვიწყებთ მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების ძიებას.

საწყისი მონაცემები:

1. ჩვენ დავწერთ ელემენტარული ფიგურების სახელებს, რომლებიც ქმნიან კომპოზიტურ მონაკვეთს

უჯრედში D3: მართკუთხედი

უჯრედში E3: სამკუთხედი

უჯრედში F3: ნახევარწრე

2. ამ სტატიაში წარმოდგენილი „დაწყებითი ფიგურების ბიბლიოთეკის“ გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ კომპოზიტური მონაკვეთის ელემენტების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატებს. xciდა yciმმ-ში თვითნებურად შერჩეულ ღერძებთან 0x და 0y და ჩაწერეთ

უჯრედში D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = ა 1 /2

უჯრედში D5: =40/2 =20,000

წ.წ 1 = ბ 1 /2

უჯრედში E4: =24/2 =12,000

xc 2 = ა 2 /2

უჯრედში E5: =40+42/3 =54,000

წ.წ 2 = ბ 1 + თ 2 /3

უჯრედში F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

უჯრედში F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

წ.წ 3 = წ 03 -4* r3 /3/ π

3. მოდით გამოვთვალოთ ელემენტების ფართობი ფ 1 , ფ 2 , ფ3 მმ2-ში, ისევ ფორმულების გამოყენებით განყოფილებიდან "დაწყებითი ფიგურების ბიბლიოთეკა"

უჯრედში D6: =40*80 =3200

ფ1 = ა 1 * ბ1

უჯრედში E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

უჯრედში F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

მესამე ელემენტის ფართობი - ნახევარწრიული - უარყოფითია, რადგან ის არის ამოჭრილი - ცარიელი სივრცე!

სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლა:

4. განვსაზღვროთ საერთო ფართობისაბოლოო ფიგურა ფ0 მმ2-ში

გაერთიანებულ უჯრედში D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

ფ0 = ფ 1 + ფ 2 + ფ3

5. გამოვთვალოთ კომპოზიტური ფიგურის სტატიკური მომენტები Sxდა სიმმ3-ში შერჩეულ ღერძებთან 0x და 0y

გაერთიანებულ უჯრედში D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

გაერთიანებულ უჯრედში D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

სი = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. და ბოლოს, მოდით გამოვთვალოთ კომპოზიტური მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები Xcდა Ycმმ-ში შერჩეულ კოორდინატულ სისტემაში 0x - 0y

გაერთიანებულ უჯრედში D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = სი / ფ0

გაერთიანებულ უჯრედში D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

პრობლემა მოგვარებულია, Excel-ში გაანგარიშება დასრულებულია - ნაპოვნია სამი მარტივი ელემენტის გამოყენებით შედგენილი განყოფილების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები!

დასკვნა.

სტატიაში მოცემული მაგალითი შეირჩა ძალიან მარტივი, რათა გაადვილდეს რთული მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრის გამოთვლის მეთოდოლოგია. მეთოდი არის ის, რომ ნებისმიერი რთული ფიგურაუნდა დაიყოს მარტივ ელემენტებად ცნობილი ადგილებისიმძიმის ცენტრების ადგილმდებარეობა და საბოლოო გამოთვლები მთელი მონაკვეთისთვის.

თუ მონაკვეთი შედგება ნაგლინი პროფილებისგან - კუთხეებისა და არხებისგან, მაშინ არ არის საჭირო მათი დაყოფა მართკუთხედებად და კვადრატებად ამოჭრილი წრიული "π/2" სექტორებით. ამ პროფილების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატები მოცემულია GOST ცხრილებში, ანუ კუთხეც და არხიც იქნება ძირითადი ელემენტარული ელემენტები თქვენი კომპოზიციური მონაკვეთების გამოთვლებში (აზრი არ არის I- სხივებზე ლაპარაკს, მილები, წნელები და ექვსკუთხედები - ეს არის ცენტრალური სიმეტრიული სექციები).

კოორდინატთა ღერძების მდებარეობა, რა თქმა უნდა, არ მოქმედებს ფიგურის სიმძიმის ცენტრის პოზიციაზე! ამიტომ, აირჩიეთ კოორდინატთა სისტემა, რომელიც ამარტივებს თქვენს გამოთვლებს. თუ, მაგალითად, ჩვენს მაგალითში ვატრიალებ კოორდინატთა სისტემას საათის ისრის მიმართულებით 45˚, მაშინ მართკუთხედის, სამკუთხედის და ნახევარწრის სიმძიმის ცენტრების კოორდინატების გამოთვლა გადაიქცევა გამოთვლების სხვა ცალკეულ და რთულ ეტაპად, რომლის შესრულებაც შეუძლებელია. თავში“.

Excel-ის გაანგარიშების ფაილი, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ, არის ამ შემთხვევაშიარ არის პროგრამა. პირიქით, ეს არის კალკულატორის, ალგორითმის, შაბლონის ესკიზი, რომელიც მოჰყვება თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში შექმენით ფორმულების საკუთარი თანმიმდევრობა უჯრედებისთვის ნათელი ყვითელი შევსებით.

ასე რომ, ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ ნებისმიერი მონაკვეთის სიმძიმის ცენტრი! თვითნებური რთული კომპოზიტური მონაკვეთების ყველა გეომეტრიული მახასიათებლის სრული გაანგარიშება განიხილება "" განყოფილების ერთ-ერთ მომავალ სტატიაში. მიჰყევით ბლოგზე არსებულ სიახლეებს.

ამისთვის მიღება ინფორმაცია ახალი სტატიების გამოშვების შესახებ და ამისთვის სამუშაო პროგრამის ფაილების ჩამოტვირთვა გთხოვთ, გამოიწეროთ განცხადებები სტატიის ბოლოს მდებარე ფანჯარაში ან გვერდის ზედა ფანჯარაში.

თქვენი მისამართის შეყვანის შემდეგ ელდა დააჭირეთ ღილაკს "სტატიის განცხადებების მიღება". არ დაგავიწყდეს დაადასტურეთ თქვენი გამოწერა ბმულზე დაწკაპუნებით წერილში, რომელიც დაუყოვნებლივ მოვა თქვენთან მითითებულ ელ.ფოსტის მისამართზე (ზოგჯერ საქაღალდეში « სპამი » )!

ორიოდე სიტყვა შუშის, მონეტისა და ორი ჩანგლის შესახებ, რომლებიც გამოსახულია სტატიის დასაწყისშივე „ილუსტრაციის ხატზე“. ბევრი თქვენგანი, რა თქმა უნდა, იცნობს ამ „ხრიკს“, რომელიც აღფრთოვანებულ მზერას აღძრავს ბავშვებისა და გაუთვითცნობიერებელი უფროსების მხრიდან. ამ სტატიის თემაა სიმძიმის ცენტრი. სწორედ ის და საყრდენი წერტილი, რომლებიც თამაშობენ ჩვენს ცნობიერებასთან და გამოცდილებასთან, უბრალოდ გვატყუებენ ჩვენს გონებას!

„ჩანგალი+მონეტა“ სისტემის სიმძიმის ცენტრი ყოველთვის მდებარეობს დაფიქსირდამანძილი ვერტიკალურად ქვემოთმონეტის კიდიდან, რომელიც თავის მხრივ საყრდენი წერტილია. ეს არის სტაბილური წონასწორობის პოზიცია!თუ ჩანგლებს შეანჯღრევთ, მაშინვე აშკარა ხდება, რომ სისტემა ცდილობს დაიკავოს თავისი წინა სტაბილური პოზიცია! წარმოიდგინეთ ქანქარა - მიმაგრების წერტილი (=მონეტის საყრდენი წერტილი შუშის კიდეზე), ქანქარის ღერძი (=ჩვენს შემთხვევაში, ღერძი ვირტუალურია, რადგან ორი ჩანგლის მასა. გავრცელებულია სივრცეში სხვადასხვა მიმართულებით) და დატვირთვა ღერძის ფსკერზე (=მთელი „ჩანგალი“ სისტემის სიმძიმის ცენტრი + მონეტა“). თუ თქვენ დაიწყებთ ქანქარას ვერტიკალიდან ნებისმიერი მიმართულებით გადახვევას (წინ, უკან, მარცხნივ, მარჯვნივ), მაშინ ის აუცილებლად უბრუნდება თავდაპირველ მდგომარეობას გრავიტაციის გავლენის ქვეშ. წონასწორობის სტაბილური მდგომარეობა(იგივე ხდება ჩვენს ჩანგალებთან და მონეტასთან)!

თუ არ გესმის, მაგრამ გინდა გაიგო, თავად გაარკვიე. ძალიან საინტერესოა "იქ მიაღწიო" საკუთარ თავს! დავამატებ, რომ სტაბილური წონასწორობის გამოყენების იგივე პრინციპი დანერგილია სათამაშო ვანკა-სტენდ-აპშიც. ამ სათამაშოს მხოლოდ სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს საყრდენი წერტილის ზემოთ, მაგრამ დამხმარე ზედაპირის ნახევარსფეროს ცენტრის ქვემოთ.

ყოველთვის მიხარია თქვენი კომენტარების ნახვა, ძვირფასო მკითხველებო!!!

გთხოვთ პატივისცემა ავტორის ნამუშევარი, ფაილის ჩამოტვირთვა გამოწერის შემდეგ სტატიების განცხადებებისთვის.

მასის ცენტრის გამოთვლის მათემატიკური ტექნიკა განეკუთვნება მათემატიკის კურსების სფეროს; მსგავსი დავალებები იქ ემსახურება კარგი მაგალითებიინტეგრალურ გამოთვლებში. მაგრამ მაშინაც კი, თუ იცით როგორ ინტეგრირება, სასარგებლოა იცოდეთ რამდენიმე ხრიკი მასის ცენტრის პოზიციის გამოსათვლელად. ერთ-ერთი ასეთი ხრიკი ეფუძნება ეგრეთ წოდებული პაპუსის თეორემის გამოყენებას, რომელიც შემდეგნაირად მუშაობს. თუ ავიღებთ დახურულ ფიგურას და ვქმნით ხისტ სხეულს, ვატრიალებთ ამ ფიგურას სივრცეში ისე, რომ თითოეული წერტილი მოძრაობდეს ფიგურის სიბრტყეზე პერპენდიკულურად, მაშინ მიღებული სხეულის მოცულობა უდრის ფიგურის ფართობის ნამრავლს. და მისი სიმძიმის ცენტრის მიერ გავლილი მანძილი! რა თქმა უნდა, ეს თეორემა მართალია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც ბრტყელი ფიგურა მოძრაობს სწორხაზოვნად მისი ფართობის პერპენდიკულარულად, მაგრამ თუ მას წრეზე ან სხვა რამეზე გადავიტანთ.

მრუდი, მაშინ ეს იწვევს ბევრად უფრო საინტერესო სხეულს. მრუდი ბილიკის გასწვრივ მოძრაობისას ფიგურის შიდა ნაწილი გარეზე ნაკლებად მოძრაობს და ეს ეფექტები ანაზღაურებს ერთმანეთს. ასე რომ, თუ გვინდა განვსაზღვროთ; ბრტყელი ფიგურის მასის ცენტრი ერთიანი სიმკვრივით, მაშინ უნდა გახსოვდეთ, რომ ღერძის გარშემო მისი ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი მოცულობა უდრის მასის ცენტრის მიერ გავლილ მანძილს, გამრავლებული ფიგურის ფართობზე.
მაგალითად, თუ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მასის ცენტრი მართკუთხა სამკუთხედი D ფუძით და H სიმაღლით (ნახ. 19.2), მაშინ ეს კეთდება შემდეგნაირად. წარმოიდგინეთ ღერძი H-ის გასწვრივ და მოატრიალეთ სამკუთხედი 360° ამ ღერძის გარშემო. ეს გვაძლევს კონუსს. მასის ცენტრის x-კოორდინატის მიერ გავლილი მანძილი არის 2πx, ხოლო გადაადგილებული რეგიონის ფართობი, ანუ სამკუთხედის ფართობი არის l/2 HD. მასის ცენტრისა და სამკუთხედის ფართობის გავლილი მანძილის ნამრავლი უდრის კონუსის მოცულობას, ანუ 1/3 πD 2 H. ამრიგად, (2πх) (1/2HD) = 1/3D. 2 H, ან x = D/З. ანალოგიურად, მეორე ფეხის გარშემო ან უბრალოდ სიმეტრიის მიზეზების გამო, ვხვდებით, რომ y = H/3. ზოგადად, ნებისმიერი ერთგვაროვანი სამკუთხედის მასის ცენტრი მდებარეობს მისი სამი მედიანის (სამკუთხედის წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუათან დამაკავშირებელი ხაზების) გადაკვეთაზე, რომელიც მდებარეობს ფუძიდან 1-ის ტოლ მანძილზე. თითოეული მედიანის სიგრძის /3.
როგორ ვნახო? დავჭრათ სამკუთხედი ბაზის პარალელურად ხაზებით მრავალ ზოლად. ახლა ყურადღება მიაქციეთ, რომ მედიანა თითოეულ ზოლს შუაზე ყოფს, ამიტომ მასის ცენტრი უნდა იყოს მედიანაზე.
ახლა ავიღოთ უფრო რთული ფიგურა. დავუშვათ, რომ უნდა ვიპოვოთ ერთგვაროვანი ნახევარწრის მასის ცენტრის პოზიცია, ანუ შუაზე გაჭრილი წრე. სად იქნება მასის ცენტრი ამ შემთხვევაში? სრული წრისთვის, მასის ცენტრი მდებარეობს გეომეტრიულ ცენტრში, მაგრამ ნახევარწრისთვის მისი პოზიციის პოვნა უფრო რთულია. ვთქვათ r არის წრის რადიუსი და x მასის ცენტრის მანძილი ნახევარწრიულის სწორი საზღვრიდან. ამ კიდის გარშემო ტრიალებით, თითქოს ღერძის გარშემო, ვიღებთ ბურთს. ამ შემთხვევაში, მასის ცენტრი გადის 2 πx მანძილს, ხოლო ნახევარწრის ფართობი უდრის 1/2πr 2 (წრის ფართობის ნახევარი). ვინაიდან ბურთის მოცულობა, რა თქმა უნდა, არის 4πg 3/3, მაშინ აქედან ვპოულობთ

ან

არსებობს პაპუსის კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც რეალურად არის ზემოთ ჩამოყალიბებული თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა და, შესაბამისად, ასევე მოქმედებს. დავუშვათ, რომ მყარი ნახევარწრის ნაცვლად ავიღოთ ნახევარწრიული, მაგალითად მავთულის ნაჭერი ნახევარწრიულის სახით ერთიანი სიმკვრივით და გვინდა ვიპოვოთ მისი მასის ცენტრი. ირკვევა, რომ ფართობი, რომელიც „ამოძვრება“ ბრტყელი მრუდით მისი მოძრაობისას, ზემოთ აღწერილის მსგავსი, უდრის მასის ცენტრის მიერ გავლილ მანძილს, გამრავლებული ამ მრუდის სიგრძეზე. (მრუდი შეიძლება ჩაითვალოს ძალიან ვიწრო ზოლად და მასზე გამოყენებული წინა თეორემა.)

ზემოთ მიღებული ზოგადი ფორმულებიდან გამომდინარე შესაძლებელია სხეულების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატების განსაზღვრის კონკრეტული მეთოდების მითითება.

1. სიმეტრია.თუ ერთგვაროვან სხეულს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე, ღერძი ან ცენტრი (ნახ. 7), მაშინ მისი სიმძიმის ცენტრი დევს, შესაბამისად, სიმეტრიის სიბრტყეში, სიმეტრიის ღერძზე ან სიმეტრიის ცენტრში.

ნახ.7

2. გაყოფა.სხეული დაყოფილია სასრულ ნაწილებად (ნახ. 8), რომელთაგან თითოეულისთვის ცნობილია სიმძიმის ცენტრის პოზიცია და ფართობი.

სურ.8

3.უარყოფითი ზონის მეთოდი.დაყოფის მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევა (ნახ. 9). ეს ეხება სხეულებს, რომლებსაც აქვთ ამონაჭრები, თუ ცნობილია სხეულის სიმძიმის ცენტრები ამოკვეთის გარეშე და ამოჭრილი ნაწილი. ფირფიტის სახით ამოჭრილი სხეული წარმოდგენილია მყარი ფირფიტის (ნაჭრის გარეშე) კომბინაციით S 1 ფართობით და ამოჭრილი ნაწილის S 2 ფართობით.

ნახ.9

4.დაჯგუფების მეთოდი.ეს არის ბოლო ორი მეთოდის კარგი დამატება. ფიგურის შემადგენელ ელემენტებად დაყოფის შემდეგ, მოსახერხებელია ზოგიერთი მათგანის ხელახლა გაერთიანება, რათა შემდეგ გაამარტივოთ ამოხსნა ამ ჯგუფის სიმეტრიის გათვალისწინებით.

ზოგიერთი ერთგვაროვანი სხეულის სიმძიმის ცენტრები.

1) წრიული რკალის სიმძიმის ცენტრი.განვიხილოთ რკალი ABრადიუსი რცენტრალური კუთხით. სიმეტრიის გამო, ამ რკალის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ღერძზე ოქსი(ნახ. 10).

სურ.10

ვიპოვოთ კოორდინატი ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის აირჩიეთ რკალზე ABელემენტი MM'სიგრძე, რომლის პოზიცია განისაზღვრება კუთხით. კოორდინაცია Xელემენტი MM'იქნება . ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება Xდა დ ლდა იმის გათვალისწინებით, რომ ინტეგრალი უნდა იყოს გაშლილი რკალის მთელ სიგრძეზე, მივიღებთ:

სად ლ- რკალის სიგრძე AB, ტოლია .

აქედან საბოლოოდ აღმოვაჩენთ, რომ წრიული რკალის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს მის სიმეტრიის ღერძზე ცენტრიდან დაშორებით. შესახებ, თანაბარი

სადაც კუთხე იზომება რადიანებში.

2) სამკუთხედის ფართობის სიმძიმის ცენტრი.განვიხილოთ სამკუთხედი, რომელიც დევს თვითმფრინავში ოქსი, რომლის წვეროების კოორდინატები ცნობილია: A ი(x i,y მე), (მე= 1,2,3). სამკუთხედის გატეხვა გვერდის პარალელურად ვიწრო ზოლებად ა 1 ა 2, მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი უნდა ეკუთვნოდეს მედიანას ა 3 მ 3 (სურ. 11).

სურ.11

სამკუთხედის გატეხვა გვერდის პარალელურად ზოლებად ა 2 ა 3, ჩვენ შეგვიძლია გადავამოწმოთ, რომ ის უნდა იყოს მედიანაზე ა 1 მ 1. ამრიგად, სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი დევს მისი შუალედების გადაკვეთის წერტილში, რომელიც, როგორც ცნობილია, გამოყოფს მესამე ნაწილს თითოეული მედიანისგან, შესაბამისი მხრიდან დათვლისას.

კერძოდ, მედიანასთვის ა 1 მ 1 ვიღებთ იმის გათვალისწინებით, რომ წერტილის კოორდინატები მ 1 არის წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული ა 2 და ა 3:

x გ = x 1 + (2/3)∙(x მ 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

ამრიგად, სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები არის მისი წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული:

x გ =(1/3)Σ x i ; წ გ =(1/3)Σ y მე.

3) წრიული სექტორის არეალის სიმძიმის ცენტრი.განვიხილოთ რადიუსის მქონე წრის სექტორი რცენტრალური კუთხით 2α, რომელიც მდებარეობს ღერძთან სიმეტრიულად ოქსი(სურ. 12) .

აშკარაა რომ წ გ = 0 და მანძილი წრის ცენტრიდან, საიდანაც ეს სექტორი იჭრება მის სიმძიმის ცენტრამდე, შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

სურ.12

ამ ინტეგრალის გამოსათვლელად ყველაზე მარტივი გზაა ინტეგრაციის დომენის დაყოფა ელემენტარულ სექტორებად კუთხით. დφ. პირველი რიგის უსასრულოდ მცირე ზომის სიზუსტით, ასეთი სექტორი შეიძლება შეიცვალოს სამკუთხედით, რომლის საფუძველი ტოლია რ× დφ და სიმაღლე რ. ასეთი სამკუთხედის ფართობი dF=(1/2)რ 2 ∙დφ და მისი სიმძიმის ცენტრი არის 2/3 მანძილზე რწვეროდან, ამიტომ (5)-ში ვსვამთ x = (2/3)რ∙cosφ. ჩანაცვლება (5) ფ= α რ 2, ჩვენ ვიღებთ:

ბოლო ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ, კერძოდ, მანძილს სიმძიმის ცენტრამდე ნახევარწრიული.

α = π/2 ჩანაცვლებით (2-ში), მივიღებთ: x გ = (4რ)/(3π) ≅ 0.4 რ .

მაგალითი 1.მოდით განვსაზღვროთ ნახაზზე ნაჩვენები ერთგვაროვანი სხეულის სიმძიმის ცენტრი. 13.

სურ.13

სხეული ერთგვაროვანია, შედგება სიმეტრიული ფორმის ორი ნაწილისგან. მათი სიმძიმის ცენტრების კოორდინატები:

მათი ტომები:

მაშასადამე, სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები

მაგალითი 2.მოდით ვიპოვოთ სწორი კუთხით მოხრილი ფირფიტის სიმძიმის ცენტრი. ზომები მოცემულია ნახაზზე (სურ. 14).

სურ.14

სიმძიმის ცენტრების კოორდინატები:

სფეროები:

ბრინჯი. 6.5.

მაგალითი 3.კვადრატულ ფურცელს სმ-ზე აქვს ამოჭრილი კვადრატული ხვრელი სმ (სურ. 15). მოდი ვიპოვოთ ფურცლის სიმძიმის ცენტრი.

სურ.15

ამ პრობლემაში უფრო მოსახერხებელია სხეულის ორ ნაწილად გაყოფა: დიდ კვადრატად და კვადრატულ ხვრელად. მხოლოდ ხვრელის ფართობი უნდა ჩაითვალოს უარყოფითად. შემდეგ ფურცლის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები ხვრელთან:

კოორდინატი, რადგან სხეულს აქვს სიმეტრიის ღერძი (დიაგონალი).

მაგალითი 4.მავთულის სამაგრი (ნახ. 16) შედგება თანაბარი სიგრძის სამი განყოფილებისგან ლ.

სურ.16

მონაკვეთების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატები:

ამრიგად, მთელი ფრჩხილის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატებია:

მაგალითი 5.განვსაზღვროთ ფერმის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია, რომლის ყველა ღეროს ერთნაირი წრფივი სიმკვრივე აქვს (სურ. 17).

შეგახსენებთ, რომ ფიზიკაში ρ სხეულის სიმკვრივე და მისი ხვედრითი წონა g დაკავშირებულია მიმართებით: γ= ρ. გ, სად გ- თავისუფალი ვარდნის აჩქარება. ასეთი ერთგვაროვანი სხეულის მასის საპოვნელად საჭიროა სიმკვრივის გამრავლება მოცულობით.

სურ.17

ტერმინი "წრფივი" ან "წრფივი" სიმკვრივე ნიშნავს, რომ ფერმის ღეროს მასის დასადგენად, წრფივი სიმკვრივე უნდა გამრავლდეს ამ ღეროს სიგრძეზე.

პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ დანაყოფის მეთოდი. მოცემული ფერმის წარმოდგენით 6 ცალკეული ღეროების ჯამის სახით, მივიღებთ:

სად ლ ისიგრძე მეე ფერმის ჯოხი და x i, y მე- მისი სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა შეიძლება გამარტივდეს ფერმის ბოლო 5 ზოლის დაჯგუფებით. ადვილი მისახვედრია, რომ ისინი ქმნიან ფიგურას სიმეტრიის ცენტრით, რომელიც მდებარეობს მეოთხე ღეროს შუაში, სადაც მდებარეობს ამ ჯგუფის ღეროების სიმძიმის ცენტრი.

ამრიგად, მოცემული ფერმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ღეროების მხოლოდ ორი ჯგუფის კომბინაციით.

პირველი ჯგუფი შედგება პირველი ღეროსგან, მისთვის ლ 1 = 4 მ, x 1 = 0 მ, წ 1 = 2 მ მეორე ჯგუფის წნელები შედგება ხუთი წნელისგან ლ 2 = 20 მ, x 2 = 3 მ, წ 2 = 2 მ.

ფერმის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები გვხვდება ფორმულის გამოყენებით:

x გ = (ლ 1 ∙x 1 +ლ 2 ∙x 2)/(ლ 1 + ლ 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 მ;

წ გ = (ლ 1 ∙წ 1 +ლ 2 ∙წ 2)/(ლ 1 + ლ 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 მ.

გაითვალისწინეთ, რომ ცენტრი თანდევს შემაერთებელ სწორ ხაზზე თან 1 და თან 2 და ყოფს სეგმენტს თან 1 თან 2 რაც შეეხება: თან 1 თან/SS 2 = (x გ - x 1)/(x 2 - x გ ) = ლ 2 /ლ 1 = 2,5/0,5.

თვითტესტის კითხვები

რა ჰქვია პარალელური ძალების ცენტრს?

როგორ განისაზღვრება პარალელური ძალების ცენტრის კოორდინატები?

როგორ განვსაზღვროთ პარალელური ძალების ცენტრი, რომლის შედეგი არის ნული?

რა თვისებები აქვს პარალელური ძალების ცენტრს?

რა ფორმულები გამოიყენება პარალელური ძალების ცენტრის კოორდინატების გამოსათვლელად?

რა არის სხეულის სიმძიმის ცენტრი?

რატომ შეიძლება დედამიწის მიზიდულობის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ სხეულის წერტილზე, მივიღოთ, როგორც პარალელური ძალების სისტემა?

დაწერეთ არაერთგვაროვანი და ერთგვაროვანი სხეულების სიმძიმის ცენტრის პოზიციის განსაზღვრის ფორმულა, ბრტყელი მონაკვეთების სიმძიმის ცენტრის პოზიციის განსაზღვრის ფორმულა?

ჩაწერეთ ფორმულა მარტივი სიმძიმის ცენტრის პოზიციის დასადგენად გეომეტრიული ფორმები: მართკუთხედი, სამკუთხედი, ტრაპეცია და ნახევარწრი?

რა არის ფართობის სტატიკური მომენტი?

მოიყვანეთ სხეულის მაგალითი, რომლის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს სხეულის გარეთ.

როგორ გამოიყენება სიმეტრიის თვისებები სხეულების სიმძიმის ცენტრების განსაზღვრისას?

რა არის უარყოფითი წონის მეთოდის არსი?

სად არის წრიული რკალის სიმძიმის ცენტრი?

რა გრაფიკული კონსტრუქცია შეიძლება გამოვიყენოთ სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრის მოსაძებნად?

ჩამოწერეთ ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს წრიული სექტორის სიმძიმის ცენტრს.

ფორმულების გამოყენებით, რომლებიც განსაზღვრავენ სამკუთხედის და წრიული სექტორის სიმძიმის ცენტრებს, გამოიღეთ მსგავსი ფორმულა წრიული სეგმენტისთვის.

რა ფორმულები გამოიყენება ერთგვაროვანი სხეულების, ბრტყელი ფიგურების და ხაზების სიმძიმის ცენტრების კოორდინატების გამოსათვლელად?

რას ჰქვია სიბრტყე ფიგურის ფართობის სტატიკური მომენტი ღერძთან მიმართებაში, როგორ გამოითვლება და რა განზომილება აქვს მას?

როგორ განვსაზღვროთ არეალის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია, თუ ცნობილია მისი ცალკეული ნაწილების სიმძიმის ცენტრების პოზიცია?

რა დამხმარე თეორემები გამოიყენება სიმძიმის ცენტრის პოზიციის დასადგენად?

6.1. ზოგადი ინფორმაცია

პარალელური ძალების ცენტრი
განვიხილოთ ორი პარალელური ძალა მიმართული ერთი მიმართულებით და სხეულზე მიმართული წერტილებში ა 1 და ა 2 (სურ.6.1). ძალთა ამ სისტემას აქვს შედეგი, რომლის მოქმედების ხაზი გადის გარკვეულ წერტილზე თან. წერტილის პოზიცია თანშეიძლება მოიძებნოს ვარინიონის თეორემის გამოყენებით:

თუ ძალებს გადაატრიალებთ და წერტილებთან ახლოს ა 1 და ა 2 ერთი მიმართულებით და იმავე კუთხით, მივიღებთ ახალი სისტემაპარალელური სალაები იგივე მოდულებით. ამ შემთხვევაში, მათი შედეგიც გაივლის წერტილს თან. ამ წერტილს ეწოდება პარალელური ძალების ცენტრი.
განვიხილოთ პარალელური და ერთნაირად მიმართული ძალების სისტემა, რომელიც მიმართულია მყარ სხეულზე წერტილებში. ამ სისტემას აქვს შედეგი.
თუ სისტემის თითოეული ძალა ბრუნავს მათი გამოყენების წერტილების მახლობლად იმავე მიმართულებით და იმავე კუთხით, მაშინ მიიღება იდენტურად მიმართული პარალელური ძალების ახალი სისტემები იგივე მოდულებითა და გამოყენების წერტილებით. ასეთი სისტემების შედეგს ექნება იგივე მოდული რ, მაგრამ ყოველ ჯერზე განსხვავებული მიმართულებით. ძალა რომ მომეყარა ფ 1 და ფ 2 ჩვენ ვხვდებით, რომ მათი შედეგია რ 1, რომელიც ყოველთვის გაივლის წერტილს თან 1, რომლის პოზიცია განისაზღვრება თანასწორობით. შემდგომი დასაკეცი რ 1 და ფ 3, ჩვენ ვპოულობთ მათ შედეგს, რომელიც ყოველთვის გაივლის წერტილს თან 2 იწვა სწორ ხაზზე ა 3 თან 2. ძალების ბოლომდე მიმატების პროცესის დასრულების შემდეგ მივალთ დასკვნამდე, რომ ყველა ძალის შედეგი ყოველთვის ერთსა და იმავე წერტილში გაივლის. თან, რომლის პოზიცია პუნქტებთან მიმართებაში უცვლელი იქნება.
წერტილი თან, რომლითაც გადის პარალელური ძალების შედეგიანი სისტემის მოქმედების ხაზი ამ ძალების ნებისმიერი ბრუნვისთვის მათი გამოყენების წერტილებთან იმავე მიმართულებით იმავე კუთხით, ეწოდება პარალელური ძალების ცენტრი (ნახ. 6.2).

სურ.6.2

განვსაზღვროთ პარალელური ძალების ცენტრის კოორდინატები. წერტილის პოზიციიდან გამომდინარე თანსხეულთან შედარებით უცვლელია, მაშინ მისი კოორდინატები არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა სისტემის არჩევანზე. მოდით, ყველა ძალა შემოვბრუნდეთ მათი გამოყენების ირგვლივ ისე, რომ ისინი გახდნენ ღერძის პარალელურად ოჰდა გამოიყენე ვარინიონის თეორემა ბრუნულ ძალებზე. იმიტომ რომ R"არის ამ ძალების შედეგი, მაშინ, ვარინიონის თეორემის მიხედვით, გვაქვს , იმიტომ , , ვიღებთ

აქედან ვპოულობთ პარალელური ძალების ცენტრის კოორდინატს zc:

კოორდინატების დასადგენად xcმოდით შევქმნათ გამოხატულება ღერძის გარშემო ძალების მომენტისთვის ოზი.

კოორდინატების დასადგენად წ.წმოდით, ყველა ძალა ისე გადავაქციოთ, რომ ისინი ღერძის პარალელურად გახდნენ ოზი.

პარალელური ძალების ცენტრის მდებარეობა საწყისთან მიმართებაში (ნახ. 6.2) შეიძლება განისაზღვროს მისი რადიუსის ვექტორით:

6.2. ხისტი სხეულის სიმძიმის ცენტრი

სიმძიმის ცენტრიხისტი სხეულის წერტილი უცვლელად ასოცირდება ამ სხეულთან თან, რომლის მეშვეობითაც გადის მოცემული სხეულის მიზიდულობის შედეგად მიღებული ძალების მოქმედების ხაზი, სხეულის ნებისმიერი პოზიციისთვის სივრცეში.
სიმძიმის ცენტრი გამოიყენება სიმძიმის გავლენის ქვეშ სხეულებისა და უწყვეტი მედიის წონასწორობის პოზიციების შესასწავლად და ზოგიერთ სხვა შემთხვევაში, კერძოდ: მასალების სიძლიერეში და სტრუქტურულ მექანიკაში - ვერეშჩაგინის წესის გამოყენებისას.
სხეულის სიმძიმის ცენტრის დადგენის ორი გზა არსებობს: ანალიტიკური და ექსპერიმენტული. ანალიტიკური მეთოდისიმძიმის ცენტრის განმარტება პირდაპირ გამომდინარეობს პარალელური ძალების ცენტრის კონცეფციიდან.
სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები, როგორც პარალელური ძალების ცენტრი, განისაზღვრება ფორმულებით:

სად რ- მთელი სხეულის წონა; პკ- სხეულის ნაწილაკების წონა; xk, yk, zk- სხეულის ნაწილაკების კოორდინატები.
ერთგვაროვანი სხეულისთვის მთელი სხეულის წონა და მისი ნებისმიერი ნაწილი მოცულობის პროპორციულია P=Vγ, pk =vk γ, სად γ - წონა ერთეულ მოცულობაზე, ვ- სხეულის მოცულობა. გამონათქვამების ჩანაცვლება პ, პკსიმძიმის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრისა და საერთო ფაქტორით შემცირების ფორმულაში γ , ვიღებთ:

წერტილი თან, რომლის კოორდინატები განისაზღვრება მიღებული ფორმულებით, ე.წ მოცულობის სიმძიმის ცენტრი.
თუ სხეული თხელი ჰომოგენური ფირფიტაა, მაშინ სიმძიმის ცენტრი განისაზღვრება ფორმულებით:

სად ს- მთელი ფირფიტის ფართობი; სკ- მისი ნაწილის ფართობი; xk, yk- ფირფიტის ნაწილების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები.
წერტილი თანამ შემთხვევაში მას ე.წ ტერიტორიის სიმძიმის ცენტრი.
გამონათქვამების მრიცხველები, რომლებიც განსაზღვრავენ სიბრტყე ფიგურების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატებს, ეწოდებათ ფართობის სტატიკური მომენტებიცულებთან შედარებით ზედა X:

შემდეგ არეალის სიმძიმის ცენტრი შეიძლება განისაზღვროს ფორმულებით:

სხეულებისთვის, რომელთა სიგრძე მრავალჯერ აღემატება განივი განზომილებებს, განისაზღვრება ხაზის სიმძიმის ცენტრი. ხაზის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

სად ლ- ხაზის სიგრძე; ლკ- მისი ნაწილების სიგრძე; xk, yk, zk- ხაზის ნაწილების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატი.

6.3. სხეულთა სიმძიმის ცენტრების კოორდინატების განსაზღვრის მეთოდები

მიღებული ფორმულებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემოგვთავაზოს სხეულების სიმძიმის ცენტრების განსაზღვრის პრაქტიკული მეთოდები.
1. სიმეტრია. თუ სხეულს აქვს სიმეტრიის ცენტრი, მაშინ სიმძიმის ცენტრი სიმეტრიის ცენტრშია.
თუ სხეულს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე. მაგალითად, XOU თვითმფრინავი, შემდეგ სიმძიმის ცენტრი დევს ამ სიბრტყეში.
2. გაყოფა. მარტივი ფორმის სხეულებისგან შემდგარი სხეულებისთვის გამოიყენება გაყოფის მეთოდი. სხეული დაყოფილია ნაწილებად, რომელთა სიმძიმის ცენტრი განისაზღვრება სიმეტრიის მეთოდით. მთელი სხეულის სიმძიმის ცენტრი განისაზღვრება მოცულობის სიმძიმის ცენტრის (არეალის) ფორმულებით.

მაგალითი. განსაზღვრეთ ფირფიტის სიმძიმის ცენტრი, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში (ნახ. 6.3). ფირფიტა შეიძლება დაიყოს მართკუთხედებად სხვადასხვა გზითდა განსაზღვრეთ თითოეული მართკუთხედის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები და მათი ფართობი.

სურ.6.3

პასუხი: xგ=17,0სმ; წგ= 18.0 სმ.

3. დამატება. ეს მეთოდი არის დანაყოფის მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევა. იგი გამოიყენება მაშინ, როდესაც სხეულს აქვს ამონაჭრები, ნაჭრები და ა.შ., თუ ​​ცნობილია სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები ამოკვეთის გარეშე.

მაგალითი. განსაზღვრეთ წრიული ფირფიტის სიმძიმის ცენტრი, რომელსაც აქვს ამოჭრილი რადიუსი რ = 0,6 რ(ნახ. 6.4).

სურ.6.4

მრგვალ ფირფიტას აქვს სიმეტრიის ცენტრი. მოდით დავაყენოთ კოორდინატების საწყისი ფირფიტის ცენტრში. ფირფიტის ფართობი ამოჭრის გარეშე, ამოჭრის არე. კვადრატული ფირფიტა ამოჭრილი; .
ამოჭრილი ფირფიტა აქვს სიმეტრიის ღერძი О1 x, შესაბამისად, წ.წ=0.

4. ინტეგრაცია. თუ სხეული არ შეიძლება დაიყოს ნაწილებად სასრულ რაოდენობად, რომელთა სიმძიმის ცენტრების პოზიციები ცნობილია, სხეული იყოფა თვითნებურ მცირე მოცულობებად, რისთვისაც დანაყოფის მეთოდის გამოყენებით ფორმულა იღებს ფორმას: .
შემდეგ ისინი მიდიან ზღვრამდე, მიმართავენ ელემენტარულ მოცულობებს ნულამდე, ე.ი. მოცულობების კონტრაქტი პუნქტებად. ჯამები იცვლება სხეულის მთელ მოცულობაზე გაშლილი ინტეგრალებით, შემდეგ მოცულობის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულები იღებს ფორმას:

ფართობის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულები:

არეალის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები უნდა განისაზღვროს ფირფიტების წონასწორობის შესწავლისას, სტრუქტურულ მექანიკაში მოჰრის ინტეგრალის გაანგარიშებისას.

მაგალითი. განსაზღვრეთ რადიუსის წრიული რკალის სიმძიმის ცენტრი რცენტრალური კუთხით AOB= 2α (ნახ. 6.5).

ბრინჯი. 6.5

წრის რკალი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ ოჰმაშასადამე, რკალის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ღერძზე ოჰ, კი = 0.
ხაზის სიმძიმის ცენტრის ფორმულის მიხედვით:

6.ექსპერიმენტული მეთოდი. რთული კონფიგურაციის არაერთგვაროვანი სხეულების სიმძიმის ცენტრები შეიძლება განისაზღვროს ექსპერიმენტულად: ჩამოკიდების და აწონვის მეთოდით. პირველი მეთოდი არის სხეულის შეჩერება კაბელზე სხვადასხვა წერტილში. კაბელის მიმართულება, რომელზედაც დაკიდებულია სხეული, მისცემს სიმძიმის მიმართულებას. ამ მიმართულებების გადაკვეთის წერტილი განსაზღვრავს სხეულის სიმძიმის ცენტრს.
აწონვის მეთოდი გულისხმობს პირველ რიგში სხეულის წონის განსაზღვრას, როგორიცაა მანქანა. შემდეგ სასწორზე განისაზღვრება ავტომობილის უკანა ღერძის წნევა საყრდენზე. წერტილის მიმართ წონასწორობის განტოლების შედგენით, მაგალითად, წინა ბორბლების ღერძი, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი ამ ღერძიდან მანქანის სიმძიმის ცენტრამდე (ნახ. 6.6).

სურ.6.6

ზოგჯერ პრობლემების გადაჭრისას საჭიროა ერთდროულად სხვადასხვა მეთოდის გამოყენება სიმძიმის ცენტრის კოორდინატების დასადგენად.

6.4. რამდენიმე მარტივი გეომეტრიული ფიგურის სიმძიმის ცენტრები

ხშირად წარმოქმნილი ფორმების სხეულების სიმძიმის ცენტრების დასადგენად (სამკუთხედი, წრიული რკალი, სექტორი, სეგმენტი), მოსახერხებელია საცნობარო მონაცემების გამოყენება (ცხრილი 6.1).

ცხრილი 6.1

ზოგიერთი ერთგვაროვანი სხეულების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები

№	ფიგურის დასახელება	ნახატი
	წრის რკალი: ერთიანი წრის რკალის სიმძიმის ცენტრი სიმეტრიის ღერძზეა (კოორდინატი uc=0). რ- წრის რადიუსი.
	ერთგვაროვანი წრიული სექტორი uc=0). სადაც α არის ცენტრალური კუთხის ნახევარი; რ- წრის რადიუსი.
	სეგმენტი: სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს სიმეტრიის ღერძზე (კოორდინატი uc=0). სადაც α არის ცენტრალური კუთხის ნახევარი; რ- წრის რადიუსი.
	ნახევარწრე:
	სამკუთხედი: ერთგვაროვანი სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრი მისი შუალედების გადაკვეთის ადგილზეა. სად x1, y1, x2, y2, x3, y3- სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები
	კონუსი: ერთიანი წრიული კონუსის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს მის სიმაღლეზე და მდებარეობს კონუსის ფუძიდან სიმაღლის 1/4-ის დაშორებით.

წრიული რკალის სიმძიმის ცენტრი

რკალს აქვს სიმეტრიის ღერძი. ამ ღერძზე დევს სიმძიმის ცენტრი, ე.ი. წ C = 0 .

დლ- რკალის ელემენტი, დლ = Rdφ, რ- წრის რადიუსი, x = Rcosφ, L= 2αR,

აქედან გამომდინარე:

x C = R(sinα/α).

წრიული სექტორის სიმძიმის ცენტრი

რადიუსის სექტორი რცენტრალური კუთხით 2 α აქვს სიმეტრიის ღერძი ოქსი, სადაც მდებარეობს სიმძიმის ცენტრი.

სექტორს ვყოფთ ელემენტარულ სექტორებად, რომლებიც შეიძლება სამკუთხედებად მივიჩნიოთ. ელემენტარული სექტორების სიმძიმის ცენტრები განლაგებულია რადიუსის წრიულ რკალზე (2/3) რ.

სექტორის სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა რკალის სიმძიმის ცენტრს AB:

ნახევარწრე:

37. კინემატიკა. წერტილის კინემატიკა. წერტილის მოძრაობის დაზუსტების მეთოდები.

კინემატიკა– მექანიკის დარგი, რომელშიც მატერიალური სხეულების მოძრაობა შეისწავლება გეომეტრიული თვალსაზრისით, მასისა და მათზე მოქმედი ძალების გათვალისწინების გარეშე. წერტილის მოძრაობის დაზუსტების გზები: 1) ბუნებრივი, 2) კოორდინატი, 3) ვექტორი.

წერტილის კინემატიკა- კინემატიკის განყოფილება, რომელიც სწავლობს მათემატიკური აღწერამატერიალური წერტილების მოძრაობა. კინემატიკის მთავარი ამოცანაა მოძრაობის აღწერა მათემატიკური აპარატის გამოყენებით ამ მოძრაობის გამომწვევი მიზეზების დადგენის გარეშე.

ბუნებრივი სპ. მითითებულია წერტილის ტრაექტორია, მისი მოძრაობის კანონი ამ ტრაექტორიის გასწვრივ, რკალის კოორდინატის დასაწყისი და მიმართულება: s=f(t) – წერტილის მოძრაობის კანონი. წრფივი მოძრაობისთვის: x=f(t).

კოორდინატი სპ. წერტილის პოზიცია სივრცეში განისაზღვრება სამი კოორდინატით, ცვლილებები, რომლებშიც განისაზღვრება წერტილის მოძრაობის კანონი: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

თუ მოძრაობა სიბრტყეშია, მაშინ არსებობს მოძრაობის ორი განტოლება. მოძრაობის განტოლებები აღწერს ტრაექტორიის განტოლებას პარამეტრული ფორმით. განტოლებიდან t პარამეტრის გამორიცხვით ვიღებთ ტრაექტორიის განტოლებას ჩვეულებრივი ფორმით: f(x,y)=0 (სიბრტყისთვის).

Vector sp. წერტილის პოზიცია განისაზღვრება მისი რადიუსის ვექტორით, რომელიც გამოყვანილია რომელიმე ცენტრიდან. მრუდი, რომელიც შედგენილია ვექტორის ბოლოში, ეწოდება. ჰოდოგრაფიამ ვექტორს. იმათ. ტრაექტორია – რადიუსის ვექტორული ჰოდოგრაფი.

38. კოორდინატსა და ვექტორს შორის კავშირი წერტილის მოძრაობის დაზუსტების კოორდინატულ და ბუნებრივ მეთოდებს შორის.

ვექტორის მეთოდის კავშირი კოორდინატთან და ბუნებრივ მეთოდთანგამოიხატება თანაფარდობით:

სადაც არის მოცემულ წერტილში ტრაექტორიაზე ტანგენტის ერთეული, მიმართული მანძილის მიმართ, და არის ნორმალის ერთეული ტრაექტორიის მოცემულ წერტილში, მიმართული გამრუდების ცენტრისკენ (იხ. სურ. 3) .

კოორდინატული მეთოდის კავშირი ბუნებრივთან. ტრაექტორიის განტოლება f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y მიიღება მოძრაობის განტოლებიდან კოორდინატული ფორმით t დროის გამორიცხვით. მნიშვნელობების დამატებითი ანალიზი, რომელიც შეიძლება მიიღოს წერტილის კოორდინატებმა, განსაზღვრავს მრუდის იმ მონაკვეთს, რომელიც არის ტრაექტორია. მაგალითად, თუ წერტილის მოძრაობა მოცემულია განტოლებებით: x=sin t; y=sin 2 t=x 2, მაშინ წერტილის ტრაექტორია არის პარაბოლის ის მონაკვეთი y=x 2, რომლისთვისაც -1≤x≤+1, 0≤x≤1. მანძილის დათვლის დასაწყისი და მიმართულება არჩეულია თვითნებურად, ეს კიდევ განსაზღვრავს სიჩქარის ნიშანს და საწყისი მანძილის s 0 სიდიდეს და ნიშანს.

მოძრაობის კანონი განისაზღვრება დამოკიდებულებით:

+ ან - ნიშანი განისაზღვრება მანძილის გაზომვის მიღებული მიმართულებიდან გამომდინარე.

წერტილის სიჩქარეარის მისი მოძრაობის კინემატიკური საზომი, განსახილველ სისტემაში ამ წერტილის რადიუსის ვექტორის დროითი წარმოებულის ტოლი. სიჩქარის ვექტორი მიმართულია წერტილის ტრაექტორიაზე მოძრაობის მიმართულებით

სიჩქარის ვექტორი (v)არის მანძილი, რომელსაც სხეული გადის გარკვეული მიმართულებით დროის ერთეულზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ განმარტება სიჩქარის ვექტორიძალიან ჰგავს სიჩქარის განმარტებას, გარდა ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავებისა: სხეულის სიჩქარე არ მიუთითებს მოძრაობის მიმართულებაზე, მაგრამ სხეულის სიჩქარის ვექტორი მიუთითებს როგორც სიჩქარეზე, ასევე მოძრაობის მიმართულებაზე. აქედან გამომდინარე, საჭიროა ორი ცვლადი, რომელიც აღწერს სხეულის სიჩქარის ვექტორს: სიჩქარე და მიმართულება. ფიზიკურ სიდიდეებს, რომლებსაც აქვთ მნიშვნელობა და მიმართულება, ეწოდება ვექტორული სიდიდეები.

სიჩქარის ვექტორისხეული შეიძლება დროდადრო შეიცვალოს. თუ მისი სიჩქარე ან მიმართულება იცვლება, იცვლება სხეულის სიჩქარეც. მუდმივი სიჩქარის ვექტორი გულისხმობს მუდმივ სიჩქარეს და მუდმივ მიმართულებას, ხოლო ტერმინი მუდმივი სიჩქარე გულისხმობს მხოლოდ მუდმივ მნიშვნელობას მიმართულების გათვალისწინების გარეშე. ტერმინი "სიჩქარის ვექტორი" ხშირად გამოიყენება ტერმინით "სიჩქარე". ორივე გამოხატავს მანძილს, რომელსაც სხეული გადის დროის ერთეულზე

წერტილის აჩქარებაარის მისი სიჩქარის ცვლილების საზომი, რომელიც ტოლია ამ წერტილის სიჩქარის დროსთან მიმართებით წარმოებულს ან დროის მიმართ წერტილის რადიუსის ვექტორის მეორე წარმოებულს. აჩქარება ახასიათებს სიჩქარის ვექტორის ცვლილებას სიდიდისა და მიმართულებით და მიმართულია ტრაექტორიის ჩაზნექილისკენ.

აჩქარების ვექტორი

ეს არის სიჩქარის ცვლილების თანაფარდობა დროის იმ პერიოდთან, რომლის დროსაც მოხდა ეს ცვლილება. საშუალო აჩქარება შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

სად - აჩქარების ვექტორი.

აჩქარების ვექტორის მიმართულება ემთხვევა Δ = - 0 სიჩქარის ცვლილების მიმართულებას (აქ 0 არის საწყისი სიჩქარე, ანუ სიჩქარე, რომლითაც სხეულმა დაიწყო აჩქარება).

t1 დროს (იხ. სურ. 1.8) სხეულს აქვს სიჩქარე 0. t2 დროს სხეულს აქვს სიჩქარე. ვექტორის გამოკლების წესის მიხედვით ვპოულობთ სიჩქარის ცვლილების ვექტორს Δ = - 0. შემდეგ შეგიძლიათ განსაზღვროთ აჩქარება შემდეგნაირად: