მათემატიკური ანალიზი არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ფუნქციების შესწავლას უსასრულოდ მცირე ფუნქციის იდეის საფუძველზე.

Ძირითადი ცნებები მათემატიკური ანალიზიარიან სიდიდე, სიმრავლე, ფუნქცია, უსასრულო მცირე ფუნქცია, ლიმიტი, წარმოებული, ინტეგრალი.

ღირებულებაყველაფერს, რისი გაზომვა და გამოხატვა შესაძლებელია რიცხვით, ეწოდება.

ბევრიზოგიერთი ელემენტის ერთობლიობას უწოდებენ საერთო თვისება. ნაკრების ელემენტები შეიძლება იყოს რიცხვები, ფიგურები, საგნები, ცნებები და ა.შ.

სიმრავლეები აღინიშნება დიდი ასოებით, ხოლო ნაკრების ელემენტები მცირე ასოებით. კომპლექტის ელემენტები ჩასმულია ხვეული ბრეკეტებში.

თუ ელემენტი xკომპლექტს ეკუთვნის X, შემდეგ დაწერე x∈X (∈ - ეკუთვნის).
თუ A სიმრავლე B სიმრავლის ნაწილია, მაშინ ჩაწერეთ A ⊂ B (⊂ - შეიცავს).

ნაკრები შეიძლება განისაზღვროს ორიდან ერთი გზით: ჩამოთვლით და განმსაზღვრელი თვისებით.

მაგალითად, ჩამოთვლა განსაზღვრავს შემდეგ კომპლექტებს:

• A=(1,2,3,5,7) - რიცხვების ნაკრები
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) არის ზოგიერთი ელემენტის სიმრავლე x 1 , x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე
• Z=(0,±1,±2,...,±n) არის მთელი რიცხვების სიმრავლე

სიმრავლე (-∞;+∞) იწოდება ნომრის ხაზიდა ნებისმიერი რიცხვი არის ამ ხაზის წერტილი. დავუშვათ a იყოს თვითნებური წერტილი რეალურ წრფეზე და δ დადებითი რიცხვი. ინტერვალი (a-δ; a+δ) ე.წ δ- წერტილის მეზობლობა ა.

X სიმრავლე შემოსაზღვრულია ზემოდან (ქვემოდან), თუ არის c რიცხვი, რომ ნებისმიერი x ∈ X-ისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა x≤с (x≥c). რიცხვი c ამ შემთხვევაში ეწოდება ზედა (ქვედა) ზღვარიკომპლექტი X. სიმრავლე, რომელიც შემოიფარგლება როგორც ზემოთ, ასევე ქვემოთ ეწოდება შეზღუდული. ნაკრების ზედა (ქვედა) სახეებიდან ყველაზე პატარა (ყველაზე დიდი) ე.წ ზუსტი ზედა (ქვედა) სახეეს ნაკრები.

ძირითადი რიცხვითი კომპლექტები

ნ	(1,2,3,...,n) სიმრავლე ყველა
ზ	(0, ±1, ±2, ±3,...) კომპლექტი მთელი რიცხვები.მთელი რიცხვების სიმრავლე მოიცავს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.
ქ	Რამოდენიმე რაციონალური რიცხვი. მთელი რიცხვების გარდა არის წილადებიც. წილადი არის ფორმის გამოხატულება, სადაც გვარის მთელი რიცხვი, ქ- ბუნებრივი. ათწილადები ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც . მაგალითად: 0.25 = 25/100 = 1/4. მთელი რიცხვები ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც . მაგალითად, წილადის სახით „ერთის“ მნიშვნელით: 2 = 2/1. ამრიგად, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვიშეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი - რა თქმა უნდა ან უსასრულო პერიოდული.
რ	ბევრი ყველა რეალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები არის უსასრულო არაპერიოდული წილადები. Ესენი მოიცავს: ორი სიმრავლე (რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები) ერთად ქმნის ნამდვილ (ან რეალურ) რიცხვთა სიმრავლეს.

თუ ნაკრები არ შეიცავს ელემენტებს, მაშინ მას უწოდებენ ცარიელი ნაკრებიდა ჩაიწერა Ø .

ლოგიკური სიმბოლიზმის ელემენტები

აღნიშვნა ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

რაოდენობრივი მაჩვენებელი

მათემატიკური გამონათქვამების წერისას ხშირად იყენებენ რაოდენობებს.

რაოდენობრივი მაჩვენებელიეწოდება ლოგიკური სიმბოლო, რომელიც ახასიათებს მის შემდეგ ელემენტებს რაოდენობრივი თვალსაზრისით.

• ∀- ზოგადი რაოდენობრივი მაჩვენებელი, გამოიყენება სიტყვების ნაცვლად „ყველასთვის“, „ვინმესთვის“.
• ∃- ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორი, გამოიყენება სიტყვების "არსებობს", "აქვს" ნაცვლად. ასევე გამოიყენება სიმბოლოების კომბინაცია ∃!, რომელიც იკითხება როგორც მხოლოდ ერთი.

ოპერაციები კომპლექტებზე

ორი A და B სიმრავლეები ტოლია(A=B) თუ ისინი შედგება ერთი და იგივე ელემენტებისაგან.
მაგალითად, თუ A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) მაშინ A=B.

კავშირი (ჯამად) A და B სიმრავლეებს ეწოდება A ∪ B სიმრავლე, რომლის ელემენტებიც მიეკუთვნება ამ სიმრავლეებიდან ერთ-ერთ მაინც.
მაგალითად, თუ A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), მაშინ A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

კვეთა (პროდუქტი) A და B სიმრავლეს ეწოდება A ∩ B სიმრავლე, რომლის ელემენტებიც A და B სიმრავლეს ეკუთვნის.
მაგალითად, თუ A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), მაშინ A ∩ B = (2,4)

განსხვავება A და B სიმრავლეს ეწოდება AB სიმრავლე, რომლის ელემენტები ეკუთვნის A სიმრავლეს, მაგრამ არ ეკუთვნის B სიმრავლეს.
მაგალითად, თუ A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), მაშინ AB = (1,2)

სიმეტრიული განსხვავება A და B სიმრავლეებს უწოდებენ A Δ B სიმრავლეს, რომელიც არის AB და BA სიმრავლეთა განსხვავებების გაერთიანება, ანუ A Δ B = (AB) ∪ (BA).
მაგალითად, თუ A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), მაშინ A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

კომპლექტის ოპერაციების თვისებები

ცვალებადობის თვისებები

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

ასოციაციური საკუთრება

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

თვლადი და უთვალავი კომპლექტები

ნებისმიერი ორი A და B ნაკრების შესადარებლად, მათ ელემენტებს შორის დგინდება შესაბამისობა.

თუ ეს კორესპონდენცია არის ერთი ერთზე, მაშინ სიმრავლეებს უწოდებენ ეკვივალენტს ან ეკვივალენტს, A B ან B A.

მაგალითი 1

BC ფეხისა და ABC სამკუთხედის AC ჰიპოტენუზის წერტილების სიმრავლე თანაბარი სიმძლავრისაა.

მრავალფეროვნებიდან კომპლექტიგანსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს ე.წ რიცხვების ნაკრები, ანუ სიმრავლეები, რომელთა ელემენტებიც რიცხვებია. გასაგებია, რომ მათთან კომფორტული მუშაობისთვის თქვენ უნდა შეძლოთ მათი ჩაწერა. რიცხვითი კომპლექტების ჩაწერის ნოტაციითა და პრინციპებით, ჩვენ დავიწყებთ ამ სტატიას. და შემდეგ განვიხილავთ, თუ როგორ არის გამოსახული რიცხვითი სიმრავლეები კოორდინატთა ხაზზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რიცხვითი კომპლექტების წერა

დავიწყოთ მიღებული ნოტაციით. როგორც ცნობილია, ლათინური ანბანის დიდი ასოები გამოიყენება კომპლექტების აღსანიშნავად. რიცხვითი სიმრავლეები, როგორც სიმრავლეების განსაკუთრებული შემთხვევა, ასევე აღინიშნება. მაგალითად, შეგვიძლია ვისაუბროთ რიცხვითი სიმრავლეების A , H , W და ა.შ. განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს ნატურალური, მთელი რიცხვი, რაციონალური, რეალური, რთული რიცხვების სიმრავლეებს, რომლებისთვისაც მიიღეს საკუთარი აღნიშვნები:

• N არის ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე;
• Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე;
• Q არის რაციონალური რიცხვების სიმრავლე;
• J არის ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე;
• R არის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე;
• C არის რთული რიცხვების სიმრავლე.

აქედან ირკვევა, რომ არ არის აუცილებელი, მაგალითად, 5 და −7 ორი რიცხვისგან შემდგარი სიმრავლის Q აღნიშვნა, ეს აღნიშვნა იქნება შეცდომაში შემყვანი, რადგან ასო Q ჩვეულებრივ აღნიშნავს ყველა რაციონალური რიცხვის სიმრავლეს. მითითებული რიცხვითი ნაკრების დასანიშნად, უმჯობესია გამოიყენოთ სხვა "ნეიტრალური" ასო, მაგალითად, A.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ აღნიშვნაზე, აქ ასევე გავიხსენებთ ცარიელი სიმრავლის აღნიშვნას, ანუ სიმრავლეს, რომელიც არ შეიცავს ელემენტებს. იგი აღინიშნება ∅ ნიშნით.

ასევე გავიხსენოთ კომპლექტში ელემენტის წევრობის და არაწევრობის აღნიშვნა. ამისათვის გამოიყენეთ ნიშნები ∈ - ეკუთვნის და ∉ - არ ეკუთვნის. მაგალითად, ჩანაწერი 5∈N ნიშნავს, რომ რიცხვი 5 ეკუთვნის ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს, ხოლო 5.7∉Z - ათობითი წილადი 5.7 არ ეკუთვნის მთელ რიცხვთა სიმრავლეს.

ასევე გავიხსენოთ აღნიშვნა, რომელიც მიღებულ იქნა ერთი ნაკრების მეორეში ჩართვისთვის. ნათელია, რომ N სიმრავლის ყველა ელემენტი შედის Z სიმრავლეში, ამიტომ რიცხვითი ნაკრები N შედის Z-ში, ეს აღინიშნება როგორც N⊂Z. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ აღნიშვნა Z⊃N, რაც ნიშნავს, რომ Z ყველა რიცხვის სიმრავლე მოიცავს N სიმრავლეს. ურთიერთობები, რომლებიც არ შედის და არ შედის, აღინიშნება ნიშნებით ⊄ და , შესაბამისად. ასევე გამოიყენება ⊆ და ⊇ ფორმის არამკაცრი ჩართვის ნიშნები, რაც ნიშნავს, შესაბამისად, შედის ან შეესაბამება და მოიცავს ან შეესაბამება.

აღნიშვნაზე ვისაუბრეთ, გადავიდეთ რიცხვითი სიმრავლეების აღწერაზე. ამ შემთხვევაში შევეხებით მხოლოდ ძირითად შემთხვევებს, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ რიცხვითი სიმრავლით, რომელიც შეიცავს სასრულ და მცირე რაოდენობას ელემენტებს. ელემენტების სასრული რაოდენობისგან შემდგარი რიცხვითი სიმრავლე შეიძლება მოხერხებულად იყოს აღწერილი მათი ყველა ელემენტის ჩამოთვლით. ყველა რიცხვის ელემენტი იწერება გამოყოფილი მძიმეებით და თან ერთვის, რაც შეესაბამება საერთოს აღწერის წესების დაყენება. მაგალითად, სიმრავლე, რომელიც შედგება სამი რიცხვისგან 0 , −0.25 და 4/7 შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც (0, −0.25, 4/7).

ზოგჯერ, როდესაც რიცხვითი კომპლექტის ელემენტების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაგრამ ელემენტები ემორჩილება გარკვეულ ნიმუშს, ელიფსისი გამოიყენება აღსაწერად. მაგალითად, ყველა კენტი რიცხვის სიმრავლე 3-დან 99-ის ჩათვლით შეიძლება დაიწეროს როგორც (3, 5, 7, ..., 99) .

ასე რომ, ჩვენ შეუფერხებლად მივუდექით რიცხვითი კომპლექტების აღწერას, რომელთა ელემენტების რაოდენობა უსასრულოა. ზოგჯერ მათი აღწერა შესაძლებელია ერთი და იგივე ელიფსის გამოყენებით. მაგალითად, აღვწეროთ ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე: N=(1, 2. 3,…) .

ისინი ასევე იყენებენ რიცხვითი კომპლექტების აღწერას მისი ელემენტების თვისებების მითითებით. ამ შემთხვევაში გამოიყენება აღნიშვნა (x| თვისებები). მაგალითად, აღნიშვნა (n| 8 n+3, n∈N) განსაზღვრავს ისეთი ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს, რომელიც 8-ზე გაყოფისას იძლევა 3-ის ნაშთს. იგივე ნაკრები შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც (11,19, 27, ...) .

განსაკუთრებულ შემთხვევებში, უსასრულო რაოდენობის ელემენტების რიცხვითი სიმრავლეები ცნობილია N , Z , R და ა.შ. ან რიცხვების ხარვეზები. და ზოგადად, რიცხვითი კომპლექტები წარმოდგენილია როგორც კავშირიცალკეული რიცხვითი ინტერვალები, რომლებიც ქმნიან მათ და რიცხვითი სიმრავლე ელემენტების სასრული რაოდენობით (რაზეც ცოტა უფრო მაღალი ვისაუბრეთ).

მოდით ვაჩვენოთ მაგალითი. რიცხვთა სიმრავლე იყოს რიცხვები −10 , −9 , −8.56 , 0 , [−5, −1.3] ინტერვალის ყველა რიცხვი და ღია რიცხვითი სხივის (7, +∞) რიცხვები. სიმრავლეთა კავშირის განსაზღვრის ძალით, მითითებული რიცხვითი სიმრავლე შეიძლება დაიწეროს როგორც {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . ასეთი აღნიშვნა რეალურად ნიშნავს სიმრავლეს, რომელიც შეიცავს სიმრავლეთა ყველა ელემენტს (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] და (7, +∞) .

ანალოგიურად, სხვადასხვა რიცხვითი დიაპაზონებისა და ცალკეული რიცხვების სიმრავლეების შერწყმით, შეიძლება აღწერილი იყოს ნებისმიერი რიცხვითი სიმრავლე (ნამდვილი რიცხვებისგან შემდგარი). აქ ირკვევა, თუ რატომ შემოიღეს ისეთი ტიპის რიცხვითი ინტერვალები, როგორიცაა ინტერვალი, ნახევარი ინტერვალი, სეგმენტი, ღია ციფრული სხივი და რიცხვითი სხივი: ყველა მათგანი, ცალკეული რიცხვების სიმრავლის აღნიშვნასთან ერთად, შესაძლებელს ხდის. აღწეროს ნებისმიერი რიცხვითი სიმრავლე მათი გაერთიანების საშუალებით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რიცხვითი სიმრავლის დაწერისას მისი შემადგენელი რიცხვები და რიცხვითი ინტერვალები დალაგებულია ზრდის მიხედვით. ეს არ არის სავალდებულო, მაგრამ სასურველი პირობა, რადგან მოწესრიგებული რიცხვითი ნაკრები უფრო ადვილია წარმოდგენა და გამოსახვა კოორდინატულ ხაზზე. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ასეთი ჩანაწერები არ იყენებენ ციფრულ დიაპაზონებს საერთო ელემენტებით, რადგან ასეთი ჩანაწერები შეიძლება შეიცვალოს რიცხვითი დიაპაზონების გაერთიანებით საერთო ელემენტების გარეშე. მაგალითად, რიცხვითი სიმრავლეების გაერთიანება საერთო ელემენტებთან [−10, 0] და (−5, 3) არის ნახევრად ინტერვალი [−10, 3) . იგივე ეხება რიცხვითი ინტერვალების გაერთიანებას იმავე სასაზღვრო რიცხვებთან, მაგალითად, კავშირი (3, 5]∪(5, 7] არის სიმრავლე (3, 7], ამაზე ცალკე ვისაუბრებთ, როცა ვისწავლით იპოვნეთ რიცხვითი სიმრავლეების კვეთა და კავშირი.

რიცხვთა ნაკრების გამოსახულება კოორდინატთა ხაზზე

პრაქტიკაში მოსახერხებელია რიცხვითი კომპლექტების გეომეტრიული გამოსახულებების გამოყენება - მათი გამოსახულებები . მაგალითად, როდის უტოლობების ამოხსნა, რომელშიც აუცილებელია ODZ-ის გათვალისწინება, აუცილებელია რიცხვითი კომპლექტების გამოსახვა, რათა იპოვოთ მათი კვეთა და/ან კავშირი. ასე რომ, სასარგებლო იქნება კოორდინატთა ხაზზე რიცხვითი სიმრავლეების წარმოდგენის ყველა ნიუანსის კარგად გაგება.

ცნობილია, რომ საკოორდინატო წრფის წერტილებსა და ნამდვილ რიცხვებს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა, რაც ნიშნავს, რომ თავად კოორდინატთა წრფე არის ყველა რეალური რიცხვების სიმრავლის გეომეტრიული მოდელი. ამრიგად, ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის გამოსახატავად, აუცილებელია კოორდინატთა ხაზის დახატვა გამოჩეკით მთელ სიგრძეზე:

და ხშირად ისინი არც კი მიუთითებენ წარმოშობაზე და ერთ სეგმენტზე:

ახლა მოდით ვისაუბროთ რიცხვითი სიმრავლეების გამოსახულებაზე, რომლებიც ცალკეული რიცხვების სასრული რაოდენობაა. მაგალითად, დავხატოთ რიცხვების სიმრავლე (−2, −0.5, 1.2) . ამ ნაკრების გეომეტრიული გამოსახულება, რომელიც შედგება სამი რიცხვისგან -2, -0.5 და 1.2 იქნება კოორდინატთა ხაზის სამი წერტილი შესაბამისი კოორდინატებით:

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვეულებრივ პრაქტიკის საჭიროებისთვის არ არის საჭირო ნახატის ზუსტად შესრულება. ხშირად სქემატური ნახაზი საკმარისია, რაც გულისხმობს არასავალდებულო მასშტაბს, მაშინ როდესაც მნიშვნელოვანია მხოლოდ წერტილების შედარებითი პოზიციის შენარჩუნება ერთმანეთთან შედარებით: ნებისმიერი წერტილი, რომელსაც აქვს პატარა კოორდინატი, უნდა იყოს უფრო დიდი კოორდინატის მქონე წერტილის მარცხნივ. წინა ნახაზი სქემატურად ასე გამოიყურება:

ცალ-ცალკე ყველა შესაძლო რიცხვითი სიმრავლიდან გამოიყოფა რიცხვითი ინტერვალები (ინტერვალები, ნახევარინტერვალები, სხივები და ა.შ.), რომლებიც წარმოადგენს მათ გეომეტრიულ გამოსახულებებს, დეტალურად განვიხილეთ სექციაში. აქ არ გავიმეორებთ.

და ის რჩება მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების გამოსახულებაზე, რომლებიც წარმოადგენს რამდენიმე რიცხვითი ინტერვალისა და ცალკეული რიცხვებისგან შემდგარი სიმრავლის გაერთიანებას. აქ არაფერია სახიფათო: კავშირის მნიშვნელობის მიხედვით, ამ შემთხვევებში, კოორდინატთა ხაზზე, თქვენ უნდა გამოსახოთ მოცემული რიცხვითი სიმრავლის სიმრავლის ყველა კომპონენტი. მაგალითად, მოდით ვაჩვენოთ რიცხვების ნაკრების გამოსახულება (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (ლოგი 2 5, 5)∪(17, +∞) :

და მოდით ვისაუბროთ საკმაოდ გავრცელებულ შემთხვევებზე, როდესაც გამოსახული რიცხვითი სიმრავლე არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ერთი ან მეტი წერტილისა. ასეთი სიმრავლეები ხშირად მითითებულია ისეთი პირობებით, როგორიცაა x≠5 ან x≠−1, x≠2, x≠3,7 და ა.შ. ამ შემთხვევებში, გეომეტრიულად, ისინი წარმოადგენენ მთელ კოორდინატთა ხაზს, შესაბამისი წერტილების გარდა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს წერტილები კოორდინატთა ხაზიდან უნდა იყოს „გადაჭრილი“. ისინი გამოსახულია წრეების სახით ცარიელი ცენტრით. სიცხადისთვის, ჩვენ გამოვსახავთ ციფრულ კომპლექტს, რომელიც შეესაბამება პირობებს (ეს ნაკრები არსებითად არის):

შეაჯამეთ. იდეალურ შემთხვევაში, წინა აბზაცების ინფორმაციამ უნდა შექმნას იგივე ხედვა ციფრული სიმრავლეების ჩაწერისა და წარმოდგენის შესახებ, როგორც ცალკეული რიცხვითი ინტერვალების ხედვა: რიცხვითი ნაკრების ჩანაწერმა დაუყოვნებლივ უნდა მისცეს გამოსახულება კოორდინატთა ხაზზე და გამოსახულების შემდეგ. კოორდინატთა ხაზი, ჩვენ მზად უნდა ვიყოთ ადვილად აღვწეროთ შესაბამისი რიცხვითი სიმრავლე ცალკეული უფსკრულისა და ცალკეული რიცხვებისგან შემდგარი სიმრავლეების გაერთიანების გზით.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.

კომპლექტი. ოპერაციები კომპლექტებზე.
ჩვენების დაყენება. სიმძლავრის დაყენება

მივესალმები პირველ გაკვეთილს უმაღლესი ალგებრაში, რომელიც გამოჩნდა ... საიტის მეხუთე წლისთავის წინა დღეს, მას შემდეგ რაც მე უკვე შევქმენი 150-ზე მეტი სტატია მათემატიკაში და ჩემმა მასალებმა დაიწყო ფორმა დასრულებული კურსის განმავლობაში. . თუმცა, ვიმედოვნებ, რომ არ დავაგვიანე - ბოლოს და ბოლოს, ბევრი სტუდენტი იწყებს ლექციების შესწავლას მხოლოდ სახელმწიფო გამოცდებისთვის =)

ვიშმატის საუნივერსიტეტო კურსი ტრადიციულად ეფუძნება სამ საყრდენს:

- მათემატიკური ანალიზი (საზღვრები, წარმოებულებიდა ა.შ.)

– და ბოლოს, 2015/16 სასწავლო წლის სეზონი გაკვეთილებით იხსნება ალგებრა დუმებისთვის, მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები, რომელზედაც გავაანალიზებთ განყოფილების საფუძვლებს, ასევე გავეცნობით ძირითად მათემატიკურ ცნებებს და საერთო აღნიშვნას. უნდა ვთქვა, რომ სხვა სტატიებში ბოროტად არ ვიყენებ "სკიპებს" , თუმცა, ეს მხოლოდ სტილია და, რა თქმა უნდა, მათ უნდა აღიარონ ნებისმიერ მდგომარეობაში =). ახალ მკითხველს ვაცნობებ, რომ ჩემი გაკვეთილები პრაქტიკაზეა ორიენტირებული და ამ კუთხით წარმოდგენილი იქნება შემდეგი მასალა. უფრო სრულყოფილი და აკადემიური ინფორმაციისთვის იხილეთ სახელმძღვანელოები. წადი:

Რამოდენიმე. დააყენეთ მაგალითები

კომპლექტი არის ფუნდამენტური კონცეფცია არა მხოლოდ მათემატიკის, არამედ მთელი მსოფლიოს გარშემო. აიღეთ ნებისმიერი ნივთი თქვენს ხელში ახლავე. აქ თქვენ გაქვთ ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან.

ფართო გაგებით, კომპლექტი არის ობიექტების (ელემენტების) ერთობლიობა, რომლებიც გაგებულია მთლიანობაში(გარკვეული ნიშნების, კრიტერიუმების ან გარემოებების მიხედვით). უფრო მეტიც, ეს არ არის მხოლოდ მატერიალური ობიექტები, არამედ ასოები, რიცხვები, თეორემები, აზრები, ემოციები და ა.შ.

კომპლექტი ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. (როგორც ვარიანტი, ხელმოწერებით: და ა.შ.)და მისი ელემენტები იწერება ხვეული ბრეკეტებით, მაგალითად:

- რუსული ანბანის ასოების ნაკრები;
არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე;

ისე, დროა ცოტათი გავიცნოთ ერთმანეთი:
- ბევრი სტუდენტი პირველ რიგში

მიხარია შენი სერიოზული და ორიენტირებული სახეების დანახვა =)

კომპლექტი და არიან საბოლოო(შედგება ელემენტების სასრული რაოდენობისგან), და ნაკრები არის მაგალითი გაუთავებელიკომპლექტი. გარდა ამისა, თეორიასა და პრაქტიკაში ე.წ ცარიელი ნაკრები:

არის ნაკრები, რომელიც არ შეიცავს რაიმე ელემენტს.

მაგალითი თქვენთვის კარგად არის ცნობილი - გამოცდაზე ნაკრები ხშირად ცარიელია =)

ელემენტის წევრობა ნაკრებში მითითებულია სიმბოლოთი, მაგალითად:

- ასო "ბე" ეკუთვნის რუსული ანბანის ასოების კრებულს;
- ასო "ბეტა" არაეკუთვნის რუსული ანბანის ასოების კრებულს;
– რიცხვი 5 ეკუთვნის ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს;
- მაგრამ ნომერი 5.5 აღარ არის;
- ვოლდემარი არ ზის პირველ რიგში (და მით უმეტეს, არ ეკუთვნის კომპლექტს ან =)).

აბსტრაქტულ და არც ისე ალგებრაში, სიმრავლის ელემენტები აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით და, შესაბამისად, კუთვნილების ფაქტი შედგენილია შემდეგი სტილით:

– ელემენტი მიეკუთვნება კომპლექტს.

ზემოთ ნაკრებები იწერება პირდაპირი გადაცემაელემენტები, მაგრამ ეს არ არის ერთადერთი გზა. ბევრი ნაკრები მოხერხებულად არის განსაზღვრული ზოგიერთის გამოყენებით ნიშანი (s), რომელიც თანდაყოლილია მის ყველა ელემენტს. Მაგალითად:

არის ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე 100-ზე ნაკლები.

გახსოვდეთ: გრძელი ვერტიკალური ჯოხი გამოხატავს სიტყვიერ ბრუნვას „რომელი“, „ისეთი“. საკმაოდ ხშირად, მსხვილი ნაწლავის ნაცვლად გამოიყენება: - მოდით უფრო ფორმალურად წავიკითხოთ ჩანაწერი: "ელემენტების ერთობლიობა, რომელიც მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს, ისეთივე როგორც » . კარგად გააკეთე!

ეს ნაკრები ასევე შეიძლება დაიწეროს პირდაპირი ჩამოთვლით:

მეტი მაგალითები:
- და თუ საკმაოდ ბევრი სტუდენტია პირველ რიგში, მაშინ ასეთი ჩანაწერი ბევრად უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მათი პირდაპირი ჩამონათვალი.

არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ეხება კომპლექტს მოქმედებსნომრები (მათ შესახებ მოგვიანებით), რომელიც აღარ შეიძლება მძიმით გამოყოფილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ ნაკრების ელემენტები არ უნდა იყოს „ერთგვაროვანი“ ან ლოგიკურად დაკავშირებული. აიღეთ დიდი ჩანთა და დაიწყეთ მასში სხვადასხვა ნივთების შემთხვევით ჩადება. ამაში კანონზომიერება არ არის, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, ჩვენ ვსაუბრობთ მრავალფეროვან საგანზე. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ნაკრები არის ცალკეული "პაკეტი", რომელშიც ობიექტების გარკვეული ნაკრები აღმოჩნდა "ბედის ნებით".

ქვეჯგუფები

თითქმის ყველაფერი ნათელია თავად სახელიდან: ნაკრები არის ქვეჯგუფიკომპლექტი თუ სიმრავლის ყველა ელემენტი ეკუთვნის სიმრავლეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნაკრები შეიცავს ნაკრებში:

ხატს ეწოდება ხატი ჩართვა.

დავუბრუნდეთ მაგალითს, რომელშიც არის რუსული ანბანის ასოების ნაკრები. აღნიშნეთ - მისი ხმოვანთა სიმრავლე. შემდეგ:

ასევე შესაძლებელია გამოვყოთ თანხმოვანი ასოების ქვესიმრავლე და, ზოგადად, თვითნებური ქვესიმრავლე, რომელიც შედგება ნებისმიერი რაოდენობის შემთხვევით (ან არაშემთხვევით) აღებული კირილიცას ასოებისგან. კერძოდ, ნებისმიერი კირიული ასო არის ნაკრების ქვესიმრავლე.

ქვეჯგუფებს შორის ურთიერთობები მოხერხებულად არის გამოსახული პირობითი გეომეტრიული სქემის გამოყენებით, რომელსაც ე.წ ეილერის წრეები.

იყოს სტუდენტების ნაკრები პირველ რიგში, იყოს ჯგუფის სტუდენტების ნაკრები და იყოს უნივერსიტეტის სტუდენტების ნაკრები. მაშინ ჩანართების მიმართება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

სხვა უნივერსიტეტის სტუდენტების ნაკრები გამოსახული უნდა იყოს წრედ, რომელიც არ კვეთს გარე წრეს; ქვეყნის სტუდენტთა სიმრავლე წრეში, რომელიც შეიცავს ორივე წრეს და ა.შ.

ჩვენ ვხედავთ ჩანართების ტიპურ მაგალითს რიცხვითი სიმრავლეების განხილვისას. გავიმეოროთ სასკოლო მასალა, რომლის გათვალისწინებაც მნიშვნელოვანია უმაღლესი მათემატიკის შესწავლისას:

რიცხვითი კომპლექტები

მოგეხსენებათ, ისტორიულად პირველად გამოჩნდა ბუნებრივი რიცხვები, რომლებიც შექმნილია მატერიალური საგნების დასათვლელად (ადამიანები, ქათმები, ცხვრები, მონეტები და ა.შ.). ეს ნაკრები უკვე შევხვდით სტატიაში, ერთადერთი ის არის, რომ ჩვენ ახლა ოდნავ ვცვლით მის აღნიშვნას. ფაქტია, რომ რიცხვითი კომპლექტები ჩვეულებრივ აღინიშნება თამამი, სტილიზებული ან სქელი ასოებით. მე მირჩევნია გამოვიყენო თამამი:

ზოგჯერ ნული შედის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეში.

თუ სიმრავლეს საპირისპირო ნიშნით და ნულის ერთნაირ ციფრებს დავუმატებთ, მივიღებთ მთელი რიცხვების ნაკრები:

რაციონალიზატორები და ზარმაცები მის ელემენტებს ხატებით წერენ "პლუს მინუსი":))

სავსებით ნათელია, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არის მთელი რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლე:
- ვინაიდან ნაკრების თითოეული ელემენტი მიეკუთვნება სიმრავლეს. ამრიგად, ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს შეიძლება უსაფრთხოდ ვუწოდოთ მთელი რიცხვი.

კომპლექტის სახელწოდებაც არის "სალაპარაკო": მთელი რიცხვები - ეს ნიშნავს წილადების გარეშე.

და, როგორც კი ისინი მთელი რიცხვებია, მაშინვე გავიხსენებთ მათი გაყოფის მნიშვნელოვან ნიშნებს 2, 3, 4, 5 და 10-ზე, რაც თითქმის ყოველდღე იქნება საჭირო პრაქტიკულ გამოთვლებში:

მთელი რიცხვი იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშეთუ ის მთავრდება 0, 2, 4, 6 ან 8-ით (ანუ ნებისმიერი ლუწი ციფრი). მაგალითად, ნომრები:
400, -1502, -24, 66996, 818 - გაყოფილი 2-ზე ნაშთის გარეშე.

და მოდით დაუყოვნებლივ გავაანალიზოთ "დაკავშირებული" ნიშანი: მთელი რიცხვი იყოფა 4-ზეთუ რიცხვი შედგება მისი ბოლო ორი ციფრისგან (მათი თანმიმდევრობით)იყოფა 4-ზე.

400 იყოფა 4-ზე (რადგან 00 (ნული) იყოფა 4-ზე);
-1502 - არ იყოფა 4-ზე (რადგან 02 (ორი) არ იყოფა 4-ზე);
-24, რა თქმა უნდა, იყოფა 4-ზე;
66996 - იყოფა 4-ზე (რადგან 96 იყოფა 4-ზე);
818 - არ იყოფა 4-ზე (რადგან 18 არ იყოფა 4-ზე).

გააკეთეთ თქვენი მარტივი დასაბუთება ამ ფაქტისთვის.

3-ზე გაყოფა ცოტა უფრო რთულია: მთელი რიცხვი იყოფა 3-ზე ნაშთის გარეშე თუ მისი ციფრების ჯამიიყოფა 3-ზე.

შევამოწმოთ იყო თუ არა რიცხვი 27901 3-ზე. ამისათვის ვაჯამებთ მის რიცხვებს:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - არ იყოფა 3-ზე
დასკვნა: 27901 არ იყოფა 3-ზე.

შევაჯამოთ რიცხვის -825432 ციფრები:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - იყოფა 3-ზე
დასკვნა: რიცხვი -825432 იყოფა 3-ზე

მთელი რიცხვი იყოფა 5-ზეთუ ის მთავრდება ხუთით ან ნულით:
775, -2390 - იყოფა 5-ზე

მთელი რიცხვი იყოფა 10-ზეთუ ის მთავრდება ნულით:
798400 - იყოფა 10-ზე (და აშკარად 100-ზე). კარგად, ალბათ ყველას ახსოვს - 10-ზე გასაყოფად, თქვენ უბრალოდ უნდა ამოიღოთ ერთი ნული: 79840

ასევე არსებობს 6-ზე, 8-ზე, 9-ზე, 11-ზე და ა.შ. გაყოფის ნიშნები, მაგრამ მათგან პრაქტიკულად არ არსებობს პრაქტიკული აზრი =)

უნდა აღინიშნოს, რომ ჩამოთვლილი კრიტერიუმები (როგორც ჩანს, ასე მარტივია) მკაცრად არის დადასტურებული რიცხვების თეორია. ალგებრის ეს მონაკვეთი ზოგადად საკმაოდ საინტერესოა, მაგრამ მისი თეორემები ... უბრალოდ თანამედროვე ჩინური შესრულება =) და ვოლდემარი ბოლო მაგიდაზე საკმარისი იყო ... მაგრამ არა უშავს, მალე ჩვენ გავაკეთებთ მაცოცხლებელ ფიზიკურ ვარჯიშებს =)

შემდეგი რიცხვების ნაკრები არის რაციონალური რიცხვების ნაკრები:
- ანუ, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად მთელი რიცხვით მრიცხველიდა ბუნებრივი მნიშვნელი.

ცხადია, მთელი რიცხვების სიმრავლე არის ქვეჯგუფირაციონალური რიცხვების ნაკრები:

და სინამდვილეში - ბოლოს და ბოლოს, ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რაციონალური წილადის სახით, მაგალითად: და ა.შ. ამრიგად, მთელ რიცხვს შეიძლება საკმაოდ ლეგიტიმურად ეწოდოს რაციონალური რიცხვი.

რაციონალური რიცხვის დამახასიათებელი „იდენტიფიკაციის“ ნიშანია ის ფაქტი, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფისას მიიღება ან
არის მთელი რიცხვი,

ან
– საბოლოოათობითი,

ან
- გაუთავებელი პერიოდულიათობითი (გამეორება შეიძლება დაუყოვნებლივ არ დაიწყოს).

აღფრთოვანებული იყავით დივიზიით და შეეცადეთ შეასრულოთ ეს მოქმედება რაც შეიძლება ნაკლებად! საორგანიზაციო სტატიაში უმაღლესი მათემატიკა დუიმებისთვისდა სხვა გაკვეთილებზე არაერთხელ გავიმეორე, გავიმეორო და გავიმეორო ეს მანტრა:

უმაღლეს მათემატიკაში ჩვენ ვცდილობთ შევასრულოთ ყველა მოქმედება ჩვეულებრივ (სწორ და არასწორ) წილადებში.

დამეთანხმებით, რომ წილადთან ურთიერთობა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე ათობითი რიცხვით 0.375 (რომ აღარაფერი ვთქვათ უსასრულო წილადებზე).

უფრო შორს წავიდეთ. რაციონალური რიცხვების გარდა, არსებობს მრავალი ირაციონალური რიცხვი, რომელთაგან თითოეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულოდ. არაპერიოდულიათობითი წილადი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ არის კანონზომიერება ირაციონალური რიცხვების „უსასრულო კუდებში“:
("ლევ ტოლსტოის დაბადების წელი" ორჯერ)
და ა.შ.

ცნობილ მუდმივებზე „პი“ და „ე“ უამრავი ინფორმაციაა, ამიტომ მათზე არ ვჩერდები.

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების გაერთიანება ყალიბდება რეალური (რეალური) რიცხვების ნაკრები:

- ხატი ასოციაციებიკომპლექტი.

ნაკრების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია თქვენთვის ნაცნობია - ეს არის რიცხვითი ხაზი:


ყოველი რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვითი წრფის გარკვეულ წერტილს და პირიქით - რიცხვითი წრფის თითოეული წერტილი აუცილებლად შეესაბამება რაიმე რეალურ რიცხვს. არსებითად, ახლა ჩამოვაყალიბე უწყვეტობის საკუთრებარეალური რიცხვები, რაც, მიუხედავად იმისა, რომ აშკარად ჩანს, მკაცრად დასტურდება მათემატიკური ანალიზის დროს.

რიცხვითი წრფე ასევე აღინიშნება უსასრულო ინტერვალით, ხოლო აღნიშვნა ან ეკვივალენტური აღნიშვნა სიმბოლოა იმისა, რომ ის ეკუთვნის რეალურ რიცხვთა სიმრავლეს. (ან უბრალოდ "x" - რეალური რიცხვი).

ჩაშენებით ყველაფერი გამჭვირვალეა: რაციონალური რიცხვების ნაკრები არის ქვეჯგუფირეალური რიცხვების ნაკრები:
ამდენად, ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს შეიძლება უსაფრთხოდ ვუწოდოთ რეალური რიცხვი.

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეც არის ქვეჯგუფირეალური რიცხვები:

ამავე დროს, ქვეჯგუფები და არ იკვეთება- ანუ, არც ერთი ირაციონალური რიცხვი არ შეიძლება იყოს რაციონალური წილადის სახით.

არსებობს სხვა რიცხვების სისტემა? იარსებე! ეს, მაგალითად, რთული რიცხვები, რომლითაც გირჩევთ წაიკითხოთ სიტყვასიტყვით უახლოეს დღეებში ან თუნდაც საათებში.

იმავდროულად, ჩვენ მივმართავთ კომპლექტი ოპერაციების შესწავლას, რომლის სული უკვე მატერიალიზებულია ამ განყოფილების ბოლოს:

მოქმედებები კომპლექტებზე. ვენის დიაგრამები

ვენის დიაგრამები (ეილერის წრეების მსგავსი) არის მოქმედებების სქემატური წარმოდგენა სიმრავლეებით. კიდევ ერთხელ, გაფრთხილებთ, რომ არ გავაშუქებ ყველა ოპერაციას:

1) კვეთა დადა აღინიშნება

სიმრავლეთა კვეთას ეწოდება სიმრავლე, რომლის თითოეული ელემენტი ეკუთვნის დაკომპლექტი, დაკომპლექტი . უხეშად რომ ვთქვათ, კვეთა არის კომპლექტების საერთო ნაწილი:

ასე, მაგალითად, კომპლექტებისთვის:

თუ კომპლექტებს არ აქვთ იდენტური ელემენტები, მაშინ მათი კვეთა ცარიელია. ჩვენ უბრალოდ წავაწყდით ასეთ მაგალითს რიცხვითი სიმრავლეების განხილვისას:

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე სქემატურად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი არა გადახურული წრეებით.

გადაკვეთის ოპერაცია გამოიყენება უფრო დიდი რაოდენობის კომპლექტებისთვის, კერძოდ, ვიკიპედიას აქვს კარგი სამი ანბანის ასოების ნაკრების გადაკვეთის მაგალითი.

2) კავშირიკომპლექტი ხასიათდება ლოგიკური კავშირით ანდა აღინიშნება

სიმრავლეთა გაერთიანება არის სიმრავლე, რომლის თითოეული ელემენტი მიეკუთვნება სიმრავლეს ანკომპლექტი:

დავწეროთ სიმრავლეთა კავშირი:
- უხეშად რომ ვთქვათ, აქ თქვენ უნდა ჩამოთვალოთ კომპლექტების ყველა ელემენტი და , და იგივე ელემენტები (ამ შემთხვევაში, ერთეული კომპლექტების გადაკვეთაზე)ერთხელ უნდა იყოს მითითებული.

მაგრამ სიმრავლეები, რა თქმა უნდა, შეიძლება არ იკვეთებოდეს, როგორც ეს რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების შემთხვევაშია:

ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დახაზოთ ორი არაგადაკვეთის დაჩრდილული წრე.

კავშირის ოპერაცია გამოიყენება მეტი ნაკრებისთვის, მაგალითად, თუ , მაშინ:

რიცხვები არ უნდა იყოს აღმავალი თანმიმდევრობით. (ეს მხოლოდ ესთეტიკური მიზეზების გამო გავაკეთე). დამატებითი შეფერხების გარეშე, შედეგი შეიძლება დაიწეროს ასე:

3) განსხვავება დაარ ეკუთვნის კომპლექტს:

განსხვავება იკითხება შემდეგნაირად: "ა გარეშე ყოფნა". და თქვენ შეგიძლიათ კამათი ზუსტად იგივე გზით: განიხილეთ კომპლექტები. განსხვავების დასაწერად, თქვენ უნდა "გადააგდოთ" ნაკრებიდან ყველა ელემენტი, რომელიც ნაკრებშია:

მაგალითი რიცხვითი ნაკრებით:
- აქ ყველა ნატურალური რიცხვი გამორიცხულია მთელი რიცხვების სიმრავლიდან და თავად აღნიშვნა ასე იკითხება: "მთლიანი რიცხვების სიმრავლე ნატურალური სიმრავლის გარეშე".

სარკე: განსხვავებაადგენს და მოვუწოდებთ კომპლექტს, რომლის თითოეული ელემენტი ეკუთვნის სიმრავლეს დაარ ეკუთვნის კომპლექტს:

იგივე კომპლექტებისთვის
- კომპლექტიდან "გადააგდეს" რაც არის კომპლექტში.

მაგრამ ეს განსხვავება ცარიელია: . და სინამდვილეში - თუ მთელი რიცხვები გამოირიცხება ნატურალური რიცხვების სიმრავლიდან, მაშინ, ფაქტობრივად, არაფერი დარჩება :)

გარდა ამისა, ზოგჯერ გაითვალისწინეთ სიმეტრიულიგანსხვავება, რომელიც აერთიანებს ორივე "ნახევარმთვარეს":
- სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის "ყველაფერი, გარდა კომპლექტების გადაკვეთისა".

4) დეკარტის (პირდაპირი) პროდუქტიადგენს და ეწოდება კომპლექტი ყველა მოწესრიგებულიწყვილები, რომლებშიც ელემენტი და ელემენტი

ჩვენ ვწერთ კომპლექტების დეკარტის ნამრავლს:
- მოსახერხებელია წყვილების ჩამოთვლა შემდეგი ალგორითმის მიხედვით: „პირველ რიგში, ჩვენ თანმიმდევრულად ვამაგრებთ სიმრავლის თითოეულ ელემენტს კომპლექტის 1-ელ ელემენტს, შემდეგ სიმრავლის თითოეულ ელემენტს ვამაგრებთ კომპლექტის მე-2 ელემენტს, შემდეგ ვამაგრებთ ნაკრების თითოეული ელემენტი მიამაგრეთ ნაკრების მე-3 ელემენტს:

სარკე: კარტეზიული პროდუქტიადგენს და ეწოდება ყოვლის სიმრავლე მოწესრიგებულიწყვილები რომლებშიც. ჩვენს მაგალითში:
- აქ ჩაწერის სქემა მსგავსია: პირველ რიგში, ჩვენ თანმიმდევრულად ვამაგრებთ ნაკრების ყველა ელემენტს "მინუს ერთი", შემდეგ "de" - იგივე ელემენტებს:

მაგრამ ეს მხოლოდ მოხერხებულობისთვისაა - ორივე შემთხვევაში, წყვილების ჩამოთვლა შესაძლებელია ნებისმიერი თანმიმდევრობით - მნიშვნელოვანია აქ ჩაწერა ყველასშესაძლო წყვილები.

ახლა კი პროგრამის მთავარი წერტილი: დეკარტისეული პროდუქტი სხვა არაფერია, თუ არა პუნქტების ნაკრები ჩვენს მშობლიურში დეკარტის კოორდინატთა სისტემა .

ვარჯიშითვითდამაგრების მასალისთვის:

შეასრულეთ ოპერაციები, თუ:

Რამოდენიმე მოსახერხებელია მისი აღწერა მისი ელემენტების ჩამოთვლით.

და მოდა რეალური რიცხვების ინტერვალებით:

შეგახსენებთ, რომ კვადრატული ფრჩხილი ნიშნავს ჩართვანომრები ინტერვალში და მრგვალი - ის გამორიცხვა, ანუ "მინუს ერთი" ეკუთვნის სიმრავლეს, ხოლო "სამი" არაკომპლექტს ეკუთვნის. შეეცადეთ გაარკვიოთ, რა არის ამ ნაკრების დეკარტის ნამრავლი. თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, მიჰყევით ნახატს;)

პრობლემის მოკლე გადაწყვეტა გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენების დაყენება

ჩვენებამითითებული დაყენება არის წესი, რომლის მიხედვითაც ნაკრების თითოეული ელემენტი ასოცირდება კომპლექტის ელემენტთან (ან ელემენტებთან). იმ შემთხვევაში, თუ იგი ემთხვევა ერთადერთიელემენტს, ამ წესს ე.წ მკაფიოდ განსაზღვრულიფუნქცია ან უბრალოდ ფუნქცია.

ფუნქცია, როგორც ბევრმა იცის, ყველაზე ხშირად ასოცირდება ასოებით თითოეულელემენტი არის ერთადერთი მნიშვნელობა, რომელიც ეკუთვნის კომპლექტს.

აბა, ახლა ისევ შევაწუხებ პირველი რიგის უამრავ სტუდენტს და შევთავაზებ მათ 6 თემას აბსტრაქტებისთვის (კომპლექტისთვის):

დაყენებულია (ნებაყოფლობით თუ უნებურად =))წესი კომპლექტის თითოეულ მოსწავლეს აკავშირებს კომპლექტის რეფერატის ერთ თემასთან.

...და თქვენ ალბათ ვერც კი წარმოიდგენდით, რომ თქვენ ითამაშებდით ფუნქციის არგუმენტის როლს =) =)

კომპლექტის ფორმის ელემენტები დომენიფუნქციები (მითითებულია ) და სიმრავლის ელემენტები - დიაპაზონიფუნქციები (აღნიშნავს ).

კომპლექტების აგებულ რუქას აქვს ძალიან მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: ეს არის ერთი-ერთზეან ბიექტიური(ბიექცია). ამ მაგალითში ეს ნიშნავს იმას თითოეულსტუდენტი გასწორებულია ერთი უნიკალურიესეს თემა და პირიქით - თითოეულისთვისერთი და მხოლოდ ერთი სტუდენტი ფიქსირდება რეფერატის თემით.

თუმცა, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ყოველი რუქა არის ბიექტური. თუ მე-7 მოსწავლე დაემატება პირველ რიგში (ნაკრებს), მაშინ გაქრება ერთი-ერთზე მიმოწერა - ან რომელიმე სტუდენტი დარჩება თემის გარეშე. (საერთოდ არ არის ჩვენება), ან რომელიმე თემა ერთდროულად ორ სტუდენტს გადაეცემა. საპირისპირო სიტუაცია: თუ ნაკრებს დაემატება მეშვიდე თემა, მაშინ ერთი-ერთზე რუკებაც დაიკარგება - ერთ-ერთი თემა გამოუცხადებელი დარჩება.

ძვირფასო სტუდენტებო, პირველ რიგში არ ინერვიულოთ - გაკვეთილის შემდეგ დარჩენილი 20 ადამიანი გაემგზავრება უნივერსიტეტის ტერიტორიის გასასუფთავებლად შემოდგომის ფოთლებისგან. მიწოდების მენეჯერი გასცემს ოც გოლიკს, რის შემდეგაც დამყარდება ერთი-ერთზე მიმოწერა ჯგუფის ძირითად ნაწილსა და ცოცხებს შორის... და ვოლდემარსაც ექნება დრო მაღაზიაში გასაშვებად =)). უნიკალური"y" და პირიქით - "y"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის შეგვიძლია ცალსახად აღვადგინოთ "x". ამრიგად, ეს არის ბიექტიური ფუნქცია.

! ყოველი შემთხვევისთვის აღმოვფხვრი შესაძლო გაუგებრობას: ჩემი მუდმივი დათქმა ფარგლების მიმართ შემთხვევითი არ არის! ფუნქცია შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული ყველა "x"-ისთვის და, უფრო მეტიც, ის შეიძლება იყოს ერთი-ერთზე ამ შემთხვევაშიც. ტიპიური მაგალითი:

მაგრამ კვადრატულ ფუნქციას მსგავსი არაფერი აქვს, ჯერ ერთი:
- ანუ, "x"-ის სხვადასხვა მნიშვნელობები იყო ნაჩვენები იგივენიშნავს "y"; და მეორე: თუ ვინმემ გამოთვალა ფუნქციის მნიშვნელობა და გვითხრა, რომ , მაშინ გაუგებარია - ეს „y“ მიღებულია ან ზე? ზედმეტია იმის თქმა, რომ აქ ურთიერთგაურკვევლობის სუნიც კი არ დგას.

დავალება 2: ხედი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკებიდა ფურცელზე დაწერეთ ბიექტიური ფუნქციები. საკონტროლო სია ამ გაკვეთილის ბოლოს.

სიმძლავრის დაყენება

ინტუიცია ვარაუდობს, რომ ტერმინი ახასიათებს ნაკრების ზომას, კერძოდ, მისი ელემენტების რაოდენობას. და ინტუიცია არ გვატყუებს!

ცარიელი ნაკრების კარდინალურობა არის ნული.

ნაკრების კარდინალურობა არის ექვსი.

რუსული ანბანის ასოების სიმრავლის ძალა ოცდაცამეტია.

ზოგადად, ძალა ნებისმიერი საბოლოონაკრები უდრის ამ ნაკრების ელემენტების რაოდენობას.

... ალბათ ყველას არ ესმის, რა არის ეს საბოლოონაკრები - თუ დაიწყებთ ამ ნაკრების ელემენტების დათვლას, მაშინ ადრე თუ გვიან დათვლა დასრულდება. რასაც ქვია და ჩინელები ოდესმე ამოიწურება.

რა თქმა უნდა, კომპლექტები შეიძლება შევადაროთ კარდინალურობას და მათ თანასწორობას ამ გაგებით უწოდებენ თანაბარი ძალა. ეკვივალენტობა განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ორი კომპლექტი ექვივალენტურია, თუ მათ შორის შესაძლებელია ერთი-ერთზე კორესპონდენციის დამყარება..

სტუდენტების ნაკრები უდრის აბსტრაქტულ თემებს, რუსული ანბანის ასოების ნაკრები უდრის 33 ელემენტის ნებისმიერი ნაკრების და ა.შ. დააკვირდით ზუსტად რა ვინმეს 33 ელემენტისგან შემდგარი ნაკრები - ამ შემთხვევაში მხოლოდ მათ რაოდენობას აქვს მნიშვნელობა. რუსული ანბანის ასოები შეიძლება შევადაროთ არა მხოლოდ მრავალ რიცხვს
1, 2, 3, ..., 32, 33, არამედ ზოგადად 33 ძროხის ნახირთან ერთად.

უსასრულო კომპლექტებით ყველაფერი გაცილებით საინტერესოა. უსასრულობაც განსხვავებულია! ...მწვანე და წითელი "ყველაზე პატარა" უსასრულო კომპლექტი არის ითვლიდაკომპლექტი. თუ ეს საკმაოდ მარტივია, ასეთი ნაკრების ელემენტები შეიძლება იყოს დანომრილი. საცნობარო მაგალითია ნატურალური რიცხვების სიმრავლე . დიახ - ის უსასრულოა, მაგრამ პრინციპში მის თითოეულ ელემენტს აქვს ნომერი.

მაგალითები ბევრია. კერძოდ, ყველა ლუწი ნატურალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. როგორ დავამტკიცოთ? აუცილებელია დადგინდეს მისი ერთი-ერთზე შესაბამისობა ნატურალური რიცხვების სიმრავლესთან ან უბრალოდ ელემენტების დანომრვა:

დადგენილია ერთი-ერთზე კორესპონდენცია, შესაბამისად, სიმრავლეები ეკვივალენტურია და სიმრავლე თვლადია. პარადოქსულია, მაგრამ ძალის თვალსაზრისით - იმდენივე ლუწი ნატურალური რიცხვია, რამდენიც ნატურალური!

მთელი რიცხვების სიმრავლე ასევე თვლადია. მისი ელემენტები შეიძლება იყოს დანომრილი, მაგალითად, ასე:

უფრო მეტიც, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ასევე თვლადია. . ვინაიდან მრიცხველი მთელი რიცხვია (და, როგორც ნაჩვენებია, მათი დანომრვა შესაძლებელია), ხოლო მნიშვნელი არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ ადრე თუ გვიან „მივიღებთ“ ნებისმიერ რაციონალურ წილადს და მივანიჭებთ მას რიცხვს.

მაგრამ რეალური რიცხვების ნაკრები უკვე არის უთვალავი, ე.ი. მისი ელემენტების დანომრვა შეუძლებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ფაქტი აშკარაა, ის მკაცრად დადასტურებულია სიმრავლეების თეორიაში. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის კარდინალობასაც უწოდებენ კონტინუუმიდა თვლადი სიმრავლეებთან შედარებით, ეს არის "უფრო უსასრულო" ნაკრები.

ვინაიდან სიმრავლესა და რიცხვთა წრფეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა (იხილეთ ზემოთ), მაშინ რეალური წრფის წერტილთა სიმრავლეც არის უთვალავი. და რაც მთავარია, ერთნაირი რაოდენობაა კილომეტრზე და მილიმეტრზე! კლასიკური მაგალითი:


სხივის მობრუნებით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, სანამ ის არ დაემთხვევა სხივს, დავამყარებთ ერთ-ერთ შესაბამისობას ლურჯი სეგმენტების წერტილებს შორის. ამრიგად, იმდენი წერტილია სეგმენტზე, რამდენიც არის სეგმენტზე და !

ეს პარადოქსი, როგორც ჩანს, უსასრულობის საიდუმლოს უკავშირდება... მაგრამ ახლა ჩვენ არ შევიწუხებთ სამყაროს პრობლემებს, რადგან შემდეგი ნაბიჯი არის

დავალება 2 ერთი-ერთზე ფუნქციები გაკვეთილის ილუსტრაციებში

ᲛᲔ. ნაკრები არის ზოგიერთი ობიექტის ან რიცხვის ერთობლიობა, რომელიც შედგენილია ზოგიერთი ზოგადი თვისების ან კანონების მიხედვით (ბევრი ასო გვერდზე, ბევრი სათანადო წილადი მნიშვნელით. 5 , ცაში ბევრი ვარსკვლავი და ა.შ.).

ხვეული ბრეკეტები გამოიყენება ნაკრების დასაწერად: «{ »- იხსნება ნაკრები; "}" — კომპლექტი დახურულია. და თავად კომპლექტს ეწოდება დიდი ლათინური ასოები: A, B, Cდა ასე შემდეგ.

მაგალითები.

1 . ჩაწერეთ ნაკრები და, რომელიც შედგება სიტყვის ყველა ხმოვნებისგან "მათემატიკა".

გადაწყვეტილება. A \u003d (a, e, u). ხედავთ: მიუხედავად იმისა, რომ სიტყვაში "მათემატიკა"არის სამი ასო "ა"- ჩანაწერში დაუშვებელია მრავალჯერადი გამეორება და ასო "ა"ჩაწერილია მხოლოდ ერთხელ. Რამოდენიმე დაშედგება სამი ელემენტისგან.

2. ჩამოწერეთ ყველა სათანადო წილადის სიმრავლე მნიშვნელით 5 .

გადაწყვეტილება.გახსოვდეთ: რეგულარულ წილადს ეწოდება რეგულარული წილადი, რომელშიც მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია. აღნიშნეთ მიერ ATსასურველი ნაკრები. შემდეგ:

Რამოდენიმე ATშედგება ოთხი ელემენტისგან.

II. კომპლექტები შედგება ელემენტებისაგან და არის სასრული ან უსასრულო. სიმრავლეს, რომელიც არ შეიცავს ელემენტს, ეწოდება ცარიელი სიმრავლე და აღინიშნება Ø.

III. Რამოდენიმე ATკომპლექტის ქვესიმრავლეს უწოდებენ დათუ ნაკრების ყველა ელემენტი ATნაკრების ელემენტებია და.

3. მოცემული ორი კომპლექტიდან რომელი ATდა FROM რომ,

თუ AT={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), კ={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

გადაწყვეტილება. კომპლექტის ყველა ელემენტი FROMასევე ნაკრების ელემენტებია რომმაშასადამე, კომპლექტი FROMარის ნაკრების ქვეჯგუფი TO.Ჩაწერა:

IV. გადაკვეთის დაყენება დადა ATარის ნაკრები, რომლის ელემენტები მიეკუთვნება სიმრავლეს დადა ბევრი AT.

4. ორი ნაკრების გადაკვეთის ჩვენება მდა ფეილერის წრეების გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.

აქ წინა პლანზე გამოდის ზუსტად ის, რაც ჩვენ აქამდე ძირეულად დავტოვეთ, კერძოდ, საკითხი, თუ როგორ განასხვავებს ამ სიმრავლეებს ერთი და იგივე კარდინალურობის სიმრავლეებში არსებული რიგითი ურთიერთობები. ყოველივე ამის შემდეგ, ყველაზე ზოგადი ფორმის ის ერთი-ერთზე შედგენისას, რომელიც ჩვენ აქამდე დავუშვებდით, არღვევდა ყველა ამ ურთიერთობას - უბრალოდ დაიმახსოვრეთ კვადრატის დახატვა სეგმენტზე! განსაკუთრებით მინდა ხაზი გავუსვა სიმრავლეების დოქტრინის ამ მეორე ნაწილის მნიშვნელობას; ყოველივე ამის შემდეგ, ამ დოქტრინას არ შეიძლება ჰქონდეს მისი მიზანი ახალი, უფრო ზოგადი ცნებების შემოღებით იმ განსხვავებების, რომლებიც დიდი ხანია მათემატიკის ყოველდღიურობის ნაწილია; პირიქით, ეს სწავლება შეიძლება და უნდა ემსახურებოდეს ამ განსხვავებების ღრმა არსში ამოცნობას ზოგადი ცნებების დახმარებით.

თვლადი კომპლექტების რიგითი ტიპები.

ახლა ჩვენი მიზანია ილუსტრირება, გარკვეული ცნობილი მაგალითებით, კომპლექტის ელემენტების სხვადასხვა შესაძლო განლაგების კონცეფციის ილუსტრირება გარკვეული თანმიმდევრობით. თუ დავიწყებთ თვლადი სიმრავლით, მაშინ ჩვენ უკვე ვიცით ასეთ კომპლექტებში ელემენტების განლაგების სამი სრულიად განსხვავებული მაგალითი, ერთმანეთისგან იმდენად განსხვავებული, რომ მათი კარდინალობების თანასწორობა, როგორც ვნახეთ, წარმოადგენდა განსაკუთრებულ და არავითარ შემთხვევაში თვითმმართველობას. აშკარა თეორემა; ეს არის შემდეგი კომპლექტები:

1) ნატურალური რიცხვების სიმრავლე;

2) ყველა (უარყოფითი და დადებითი) მთელი რიცხვების სიმრავლე;

3) ყველა რაციონალური რიცხვის სიმრავლე და ყველა ალგებრული რიცხვის სიმრავლე.

ამ სამივე ნაკრების ელემენტების განლაგებას აქვს ერთი საერთო თვისება, რის გამოც მას სიმრავლეში წრფივი წესრიგი ეწოდება. ეს თვისება შედგება შემდეგში: ყოველი ორი ელემენტიდან ერთი ყოველთვის წინ უსწრებს მეორეს, ანუ, ალგებრულად რომ ვთქვათ, ყოველთვის ცნობილია რომელი ელემენტია პატარა და რომელი უფრო დიდი და, უფრო მეტიც, თუ სამი ელემენტიდან a, b, c. ელემენტი a წინ უსწრებს b ელემენტს და ელემენტი b წინ უსწრებს c ელემენტს, მაშინ ყოველთვის a უსწრებს c ელემენტს (თუ , მაშინ

მაგრამ, მეორე მხრივ, განხილულ მაგალითებში არის ასეთი დამახასიათებელი განსხვავებები: პირველ კომპლექტში არის პირველი ელემენტი (ნული), რომელიც წინ უსწრებს ყველა დანარჩენს, მაგრამ არ არის ბოლო ელემენტი, რომელიც მოჰყვება ყველა დანარჩენს; მეორე კომპლექტს არ აქვს არც პირველი და არც ბოლო ელემენტი. მაგრამ ორივე ამ სიმრავლეს აქვს ეს საერთო, რომ ყველა ელემენტს დაუყოვნებლივ მოსდევს გარკვეული უახლოესი ელემენტი და ყველა ელემენტს დაუყოვნებლივ წინ უსწრებს გარკვეული სხვა ელემენტი.

ამის საპირისპიროდ, მესამე კომპლექტს ყოველთვის აქვს, როგორც ზემოთ ვნახეთ, უსასრულოდ ბევრი სხვა ელემენტი ყოველ ორ ელემენტს შორის; ჩვენ აღვნიშნეთ სიმრავლის ეს თვისება ტერმინით „ყოველგან მკვრივი სიმრავლე“, ასე რომ, კერძოდ, a-სა და b-ს შორის მდებარე ყველა რაციონალურ ან ალგებრულ რიცხვს შორის, გარდა თავად ამ რიცხვებისა, არ არის არც უმცირესი და არც უდიდესი რიცხვი. ამრიგად, ელემენტების განლაგების გზები ამ სამ კომპლექტში, ანუ მათი რიგითი ტიპები, განსხვავდება ერთმანეთისგან, თუმცა თავად კომპლექტებს აქვთ იგივე კარდინალურობა. შეიძლება დაუკავშირდეს ამას - და ამას მართლაც აკეთებენ სიმრავლეების თეორიის წარმომადგენლები - ზოგადად თვლადი სიმრავლეთა შესაძლო რიგის ტიპების საკითხი.

უწყვეტი უწყვეტობა. მოდით ახლა მივმართოთ კონტინიუმის სიმძლავრის კომპლექტების განხილვას; აქ ჩვენ ვიცით ერთი სიმრავლე მასში წრფივი რიგით, კერძოდ, ყველა რეალური რიცხვის კონტინუუმი. მაგრამ მასთან ერთად, ორგანზომილებიან და მრავალგანზომილებიან შემთხვევებში, გვაქვს კომპლექტების მაგალითები ელემენტების განლაგებით, რომლებიც განსხვავდება იმისგან, რასაც ჩვენ ვუწოდებდით "წრფივ". ასე რომ, სიმრავლის შემთხვევაში, ორი წერტილის ფარდობითი პოზიციის დასადგენად საჭიროა არა ერთი, არამედ ორი უტოლობის ტიპის მიმართება.

აქ უმთავრესია ერთგანზომილებიანი კონტინიუმის უწყვეტობის ცნების ანალიზი; აღმოჩენა, რომ ეს კონცეფცია ნამდვილად დაფუძნებულია მხოლოდ სიმრავლის თანდაყოლილი რიგის მარტივ თვისებებზე, არის სიმრავლეების თეორიის პირველი ღირსშესანიშნავი დამსახურება ძირითადი მათემატიკური ცნებების გარკვევაში, კერძოდ, გამოდის, რომ უწყვეტობის ყველა თვისება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ეს უკანასკნელი არის წრფივი და მოწესრიგებული ნაკრები შემდეგი ორი თვისებით:

1. თუ სიმრავლეს დავყოფთ ორ ნაწილად A, B, მაგრამ ისე, რომ ყველა ელემენტი მიეკუთვნება რომელიმე ამ ნაწილს და რომ A ნაწილში შემავალი ყველა ელემენტი წინ უსწრებს B ნაწილის ყველა ელემენტს, მაშინ ასეთ შემთხვევაში, ან A-ს აქვს ბოლო ელემენტი ან B-ს აქვს პირველი ელემენტი.

ირაციონალური რიცხვების დედეკინდის განმარტების გახსენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ ეს თვისება შემდეგნაირად: ჩვენი სიმრავლის ნებისმიერი „სექცია“ წარმოებულია მისი ერთ-ერთი ელემენტით.

2. ნაკრების ნებისმიერ ორ ელემენტს შორის უსასრულოდ ბევრი სხვა ელემენტია.

ამ მეორე თვისებას ფლობს არა მხოლოდ უწყვეტი, არამედ ყველა რაციონალური რიცხვის თვლადი სიმრავლე; პირველი თვისება მიუთითებს არსებით განსხვავებას ამ მოწესრიგებულ კომპლექტებს შორის. ნებისმიერ წრფივად დალაგებულ სიმრავლეს, რომელსაც აქვს ორივე ეს თვისება, სიმრავლეების თეორიაში უწყვეტი ეწოდება, იმ მიზეზით, რომ მისთვის მართლაც შესაძლებელია ყველა თეორემის დამტკიცება, რომელიც მოქმედებს უწყვეტობის გამო მისი უწყვეტობის გამო.

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ უწყვეტობის ეს თვისებები შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს, კერძოდ, ეგრეთ წოდებული "ძირითადი" კანტორის სერიიდან დაწყებული. მთავარი სერია არის მოცემული სიმრავლის ელემენტების ისეთი თვლადი თანმიმდევრობა, რომ თავად სიმრავლეში, სიმრავლის რომელიმე ან რომელიმე ელემენტს a ეწოდება ძირითადი სერიის ზღვრული ელემენტი, თუ - პირველ შემთხვევაში - მთავარ სერიაში არსებობს. ყოველთვის იქნება ელემენტები, რომლებიც აღემატება a-ს მოცემულ კომპლექტში არსებულ ნებისმიერ ელემენტს, მაგრამ საერთოდ არ არსებობს ელემენტები, გარდა მინიმუმ ერთი ელემენტისა, რომელიც მდებარეობს მეორე შემთხვევაში ლიმიტის ელემენტის ანალოგიურად განსაზღვრის შემდეგ. თუ სიმრავლეს აქვს თვისება, რომ მასში შემავალი ყველა ძირითადი სერია შეესაბამება მასში შემავალ ზღვრულ ელემენტს, მაშინ სიმრავლეს უწოდებენ დახურულს; თუ, პირიქით, სიმრავლის ყველა ელემენტი არის მისგან ამოღებული ზოგიერთი ძირითადი სერიის ზღვრული ელემენტი. , მაშინ კომპლექტს მკვრივი ეწოდება. სიმრავლეების უწყვეტობა, რომლებსაც აქვთ კონტინიუმის კარდინალურობა, არსებითად შედგება ამ ორივე თვისების ერთობლიობაში.

აქვე მინდა შეგახსენოთ, რომ დიფერენციალურ და ინტეგრალურ გამოთვლებზე საუბრისას ჩვენ ასევე ვისაუბრეთ სხვა უწყვეტობაზე - კონტინუუმზე.

ვერონეზი, რომელიც წარმოიქმნება ჩვეულებრივი უწყვეტისაგან რეალურად უსასრულო სიდიდის დამატებით. მიუხედავად იმისა, რომ ამ გზით ასევე მიიღება წრფივად დალაგებული სიმრავლე, მიუხედავად ამისა, ამ უწყვეტობას, რა თქმა უნდა, აქვს სრულიად განსხვავებული ტიპის განლაგება, ვიდრე ჩვეულებრივი კონტინუუმი. თეორემა, რომ ყველა ძირითად სერიას აქვს ზღვრული ელემენტი, აქ არ მოქმედებს.