დამახასიათებელი განტოლება. დამახასიათებელი განტოლების ფესვები. დროის მუდმივები. გარდამავალი დრო. დამახასიათებელი განტოლების შედგენის მეთოდები რატომ გჭირდებათ დამახასიათებელი განტოლება

დამახასიათებელი განტოლება შედგენილია წრედისთვის გადართვის შემდეგ. მისი მიღება შესაძლებელია შემდეგი გზებით:

• უშუალოდ (2) ფორმის დიფერენციალურ განტოლებაზე (იხ. ლექცია No24), ე.ი. კირჩჰოფის პირველ და მეორე კანონებზე დაფუძნებული მიკროსქემის ელექტრომაგნიტური მდგომარეობის აღწერის განტოლებების სისტემიდან ყველა უცნობი სიდიდის გამორიცხვით, გარდა ერთისა, რომლის მიმართაც იწერება განტოლება (2);
• სინუსოიდური დენის წრედის შეყვანის წინაღობის გამოსახულების გამოყენებით;
• ძირითადი განმსაზღვრელი გამოხატვის საფუძველზე.

პირველი მეთოდის მიხედვით, წინა ლექციაზე მიღებული იქნა დიფერენციალური განტოლება R-L-C სერიების კონდენსატორზე ძაბვის შესახებ, რომლის საფუძველზეც იწერება დამახასიათებელი განტოლება.

უნდა აღინიშნოს, რომ ვინაიდან წრფივი წრე დაფარულია ერთი გარდამავალი პროცესით, დამახასიათებელი განტოლების ფესვები საერთოა მიკროსქემის ტოტების ძაბვისა და დენების ყველა თავისუფალი კომპონენტისთვის, რომელთა პარამეტრები შედის მახასიათებელ განტოლებაში. მაშასადამე, დამახასიათებელი განტოლების შედგენის პირველი მეთოდის მიხედვით, ნებისმიერი ცვლადი შეიძლება აირჩეს ცვლადად, რომლის მიმართაც იგი იწერება.

განვიხილოთ დამახასიათებელი განტოლების შედგენის მეორე და მესამე მეთოდების გამოყენება ნახ. 1.

დამახასიათებელი განტოლების შემადგენლობა შეყვანის წინააღმდეგობის მეთოდის გამოყენებით შემდეგია:

ჩაწერილია შეყვანის წინაღობა AC სქემები;

jw ჩანაცვლებულია ოპერატორით p;

მიღებული გამოხატულება ნულის ტოლია.

განტოლება

ემთხვევა დამახასიათებელს.

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ შეყვანის წინააღმდეგობა შეიძლება ჩაიწეროს მიკროსქემის ნებისმიერი განშტოების შეწყვეტის წერტილთან შედარებით. ამ შემთხვევაში აქტიური ორი ტერმინალური ქსელი იცვლება პასიურით ეკვივალენტური გენერატორის მეთოდის ანალოგიით. დამახასიათებელი განტოლების შედგენის ეს მეთოდი ითვალისწინებს წრეში მაგნიტურად დაწყვილებული ტოტების არარსებობას; ასეთის არსებობის შემთხვევაში აუცილებელია მათი წინასწარი გათიშვა.

სქემისთვის ნახ. 1 წყაროს ტერმინალებთან შედარებით

.

jw-ს p-ით ჩანაცვლებით და მიღებული გამონათქვამის ნულის ტოლფასი, ვწერთ

.

(1)

ძირითადი განმსაზღვრელი რიცხვის გამოსახულებით დამახასიათებელი განტოლების შედგენისას ალგებრული განტოლებები, რომლის საფუძველზეც წერია, უდრის უცნობი თავისუფალი დენის კომპონენტების რაოდენობას. ინტეგრაციის საწყისი სისტემის ალგებრიზაცია დიფერენციალური განტოლებები, შედგენილი, მაგალითად, კირჩჰოფის კანონების საფუძველზე ან მარყუჟის დენის მეთოდის გამოყენებით, ხორციელდება დიფერენციაციისა და ინტეგრაციის სიმბოლოების შეცვლით, შესაბამისად, გამრავლებითა და გაყოფით ოპერატორი p. დამახასიათებელი განტოლება მიიღება წერილობითი დეტერმინანტის ნულთან გათანაბრებით. ვინაიდან მთავარი განმსაზღვრელი გამოთქმა არ არის დამოკიდებული არაჰომოგენური განტოლებათა სისტემის მარჯვენა მხარეს, ის შეიძლება შედგენილი იყოს მთლიან დენებზე დაწერილი განტოლებების სისტემის საფუძველზე.

სქემისთვის ნახ. მარყუჟის დენის მეთოდზე დაფუძნებული განტოლებათა 1 ალგებრაიზებულ სისტემას აქვს ფორმა

აქედან გამომდინარეობს ამ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი გამოთქმა

D-ს ნულის ტოლფასი მივიღებთ (1-ის) მსგავს შედეგს.

კლასიკური მეთოდით გარდამავალი პროცესების გამოთვლის ზოგადი მეთოდოლოგია

ზოგადად, კლასიკური მეთოდით გარდამავალი პროცესების გამოთვლის მეთოდოლოგია მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

გარდამავალი პროცესების გამოთვლის მაგალითები კლასიკური მეთოდით

1. გარდამავალი პროცესები R-L ჯაჭვებიროდესაც დაკავშირებულია ძაბვის წყაროსთან

ასეთი პროცესები ხდება, მაგალითად, ელექტრომაგნიტების, ტრანსფორმატორების, ელექტროძრავების და ა.შ.

განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

წრეში დენის განხილული მეთოდის მიხედვით ნახ. 2 შეიძლება დაიწეროს

დამახასიათებელი განტოლება

შესაბამისად დროის მუდმივი .

ამრიგად,

.

(5)

(4) და (5) (3) მიმართებაში ჩანაცვლებით ვწერთ

.

კომუტაციის პირველი კანონის მიხედვით. მერე

,

ამრიგად, გარდამავალი პროცესის დროს წრეში დენი აღწერილია განტოლებით

,

და ინდუქტორზე ძაბვა მოცემულია

.

მოსახვევების ხარისხობრივი გარეგნობა და მიღებული გადაწყვეტილებების შესაბამისი წარმოდგენილია ნახ. 3.

მეორე ტიპის წყაროსთვის, იძულებითი კომპონენტი გამოითვლება სიმბოლური მეთოდით:

,

თავისუფალი კომპონენტის გამოხატულება არ არის დამოკიდებული ძაბვის წყაროს ტიპზე. აქედან გამომდინარე,

.

მას შემდეგ

ამრიგად, ჩვენ საბოლოოდ მივიღებთ

.

(6)

მიღებული გამოხატვის (6) ანალიზი აჩვენებს:

თუ ეს არის მნიშვნელოვანი მასშტაბით, მაშინ ნახევარი პერიოდის განმავლობაში უფასო კომპონენტი მნიშვნელოვნად არ მცირდება. ამ შემთხვევაში, გარდამავალი დენის მაქსიმალური მნიშვნელობა შეიძლება მნიშვნელოვნად აღემატებოდეს სტაბილური დენის ამპლიტუდას. როგორც ჩანს ნახ. 4, სადაც

, მაქსიმალური დენი ხდება დაახლოებით . ლიმიტში ზე.

ამრიგად, წრფივი წრედისთვის, გარდამავალი დენის მაქსიმალური მნიშვნელობა არ შეიძლება აღემატებოდეს იძულებითი დენის ამპლიტუდას ორჯერ: .

ანალოგიურად, კონდენსატორის მქონე ხაზოვანი სქემისთვის: თუ გადართვის მომენტში იძულებითი ძაბვა უდრის მის ამპლიტუდის მნიშვნელობას და წრედის დროის მუდმივი საკმარისად დიდია, მაშინ დაახლოებით ნახევარი პერიოდის შემდეგ კონდენსატორზე ძაბვა აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას. , რომელიც არ უნდა აღემატებოდეს ორჯერ იძულებითი ძაბვის ამპლიტუდას: .

2. გარდამავალი პროცესები ინდუქტორის დენის წყაროდან გათიშვისას

როდესაც გასაღები იხსნება წრეში ნახ. დენის 5 იძულებითი კომპონენტი ინდუქტორის მეშვეობით.

დამახასიათებელი განტოლება

,

სადაც და .

კომუტაციის პირველი კანონის მიხედვით

.

ამრიგად, გარდამავალი დენის გამოხატულება არის

და ძაბვა ინდუქტორზე

.

(7)

ანალიზი (7) გვიჩვენებს, რომ ინდუქციური ელემენტების შემცველი სქემების გახსნისას შეიძლება მოხდეს დიდი გადაძაბვა, რამაც სპეციალური ზომების მიღების გარეშე შეიძლება დააზიანოს აღჭურვილობა. მართლაც, როდის ძაბვის მოდული ინდუქტორზე გადართვის მომენტში ბევრჯერ მეტი იქნება წყაროს ძაბვაზე: . ჩაქრობის რეზისტორი R-ის არარსებობის შემთხვევაში, მითითებული ძაბვა გამოიყენება გასაღების გახსნის კონტაქტებზე, რის შედეგადაც მათ შორის წარმოიქმნება რკალი.

3. კონდენსატორის დატენვა და განმუხტვა

როდესაც გასაღები გადადის 1 პოზიციაზე (იხ. სურ. 6), იწყება კონდენსატორის დატენვის პროცესი:

.

იძულებითი ძაბვის კომპონენტი კონდენსატორზე.

დამახასიათებელი განტოლებიდან

ფესვი განისაზღვრება . აქედან გამომდინარე, დროის მუდმივი.

მიკროსქემის თავისუფალი რეჟიმი არ არის დამოკიდებული ენერგიის წყაროებზე, იგი განისაზღვრება მხოლოდ მიკროსქემის სტრუქტურით და მისი ელემენტების პარამეტრებით. აქედან გამომდინარეობს, რომ p1, p2,…, pn დამახასიათებელი განტოლების ფესვები ყველასთვის ერთნაირი იქნება. ცვლადი ფუნქციები(დენები და ძაბვები).

დამახასიათებელი განტოლება შეიძლება აშენდეს სხვადასხვა მეთოდის გამოყენებით. პირველი მეთოდი კლასიკურია, როდესაც დამახასიათებელი განტოლება შედგენილია მკაცრად დიფერენციალური განტოლების შესაბამისად კლასიკური სქემის მიხედვით. გარდამავალი პროცესების გაანგარიშებისას რთული სქემა"m" დიფერენციალური განტოლებების სისტემა შედგენილია კირჩჰოფის კანონების მიხედვით მიკროსქემის სქემისთვის გადართვის შემდეგ. ვინაიდან დამახასიათებელი განტოლების ფესვები საერთოა ყველა ცვლადისთვის, დიფერენციალური განტოლებების სისტემის ამოხსნა შესრულებულია ნებისმიერი ცვლადის მიმართ (სურვილისამებრ). ამოხსნის შედეგად მიიღება არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება ერთი ცვლადით. შეადგინეთ დამახასიათებელი განტოლება მიღებული დიფერენციალური განტოლების შესაბამისად და განსაზღვრეთ მისი ფესვები.

მაგალითი. შეადგინეთ დამახასიათებელი განტოლება და დაადგინეთ მისი ფესვები დიაგრამაზე მოცემული ცვლადები. 59.1. ელემენტების პარამეტრები მითითებულია ზოგადი ფორმით.

დიფერენციალური განტოლებების სისტემა კირჩჰოფის კანონების მიხედვით:

მოდით გადავჭრათ i3 ცვლადის განტოლებათა სისტემა, შედეგად მივიღებთ არაერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებას:

დამახასიათებელი განტოლების შედგენის მეორე გზა არის კირჩჰოფის განტოლების სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი თავისუფალი კომპონენტის ცვლადების ნულთან გათანაბრება.

დაე, თვითნებური დენის თავისუფალ კომპონენტს ჰქონდეს ფორმა iksv = Аkept, შემდეგ:

თავისუფალი კომპონენტების განტოლებათა სისტემა მიიღება კირჩჰოფის დიფერენციალური განტოლებების სისტემიდან ცვლადების წარმოებულების შეცვლით p ფაქტორით, ხოლო ინტეგრალები 1/p-ით. განსახილველი მაგალითისთვის, თავისუფალი კომპონენტების განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა:

დამახასიათებელი განტოლება და მისი ფესვი:

დამახასიათებელი განტოლების შედგენის მესამე გზა (ინჟინერია) არის მიკროსქემის შეყვანის ოპერატორის წინააღმდეგობის გათანაბრება მის რომელიმე განშტოებასთან მიმართებაში.

ელემენტის ოპერატორის წინააღმდეგობა მიიღება მისი რთული წინააღმდეგობისგან jω ფაქტორის p-ით უბრალოდ ჩანაცვლებით.

მოცემული მაგალითისთვის:

მესამე მეთოდი უმარტივესი და ყველაზე ეკონომიურია, ამიტომ ის ყველაზე ხშირად გამოიყენება ელექტრო სქემებში გარდამავალი პროცესების გაანგარიშებისას.

დამახასიათებელი განტოლების ფესვები ახასიათებს თავისუფალ გარდამავალ პროცესს წრედში ენერგიის წყაროების გარეშე. ეს პროცესი ხდება ენერგიის დანაკარგებით და, შესაბამისად, დროთა განმავლობაში იშლება.

ზოგადად, დიფერენციალური განტოლების თანმიმდევრობა, რომელიც აღწერს წრეში გარდამავალ პროცესს და, შესაბამისად, დამახასიათებელი განტოლების ხარისხი და მისი ფესვების რაოდენობა უდრის დამოუკიდებელი რაოდენობის. საწყისი პირობები, ან დამოუკიდებელი ენერგიის შესანახი მოწყობილობების რაოდენობა (კოჭები L და კონდენსატორები C).

თუ მიკროსქემის დიაგრამა შეიცავს პარალელურად დაკავშირებულ კონდენსატორებს C1, C2,... ან სერიაში დაკავშირებულ კოჭებს L1, L2,..., მაშინ გარდამავალი პროცესების გამოთვლისას ისინი უნდა შეიცვალოს ერთი ექვივალენტური ელემენტით SE = C1 + C2+... ან LE = L1 + L2+... ამრიგად,ზოგადი ხედი

ნებისმიერი ცვლადის გადაწყვეტილებები გარდამავალი პროცესის გაანგარიშებისას შეიძლება შედგენილი იყოს მხოლოდ მიკროსქემის დიაგრამის ანალიზით, დიფერენციალური განტოლებების სისტემის შედგენისა და ამოხსნის გარეშე.

) ზემოთ განხილული მაგალითისთვის. = ||ა||იკნ

1 დიაგონალური ელემენტებიდან λ მნიშვნელობის გამოკლებით. ეს განმსაზღვრელი არის პოლინომი X-ის მიმართ - დამახასიათებელი მრავალწევრი. გახსნისას X. u. წერია ასე: სად = S 1 + a 11 +... a 22ენ - ე.წ მატრიცული კვალი, S 2 იკ- მე-2 რიგის ყველა ძირითადი უმცროსის ჯამი, ანუ i k ფორმის მცირე) და ა.შ., და S. ზემოთ განხილული მაგალითისთვის.- მატრიცის განმსაზღვრელი იკ. ფესვები H. u. λ 1 , λ 2 ,..., λ ზემოთ განხილული მაგალითისთვის.მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებს უწოდებენ . რეალური სიმეტრიული მატრიცისთვის, ისევე როგორც ჰერმიციული მატრიცისთვის, ყველა λკ . რეალური სიმეტრიული მატრიცისთვის, ისევე როგორც ჰერმიციული მატრიცისთვის, ყველა λრეალურია, ნამდვილ ცალ-სიმეტრიულ მატრიცას აქვს ყველა λ . რეალური სიმეტრიული მატრიცისთვის, ისევე როგორც ჰერმიციული მატრიცისთვის, ყველა λ| = 1.

წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები; უძრავი ორთოგონალური მატრიცის, ისევე როგორც უნიტარული მატრიცის შემთხვევაში, ყველა |λ

ჰ.უ. გვხვდება მათემატიკის, მექანიკის, ფიზიკისა და ტექნოლოგიების მრავალფეროვან სფეროებში. ასტრონომიაში პლანეტების საერო აშლილობის განსაზღვრისას ისინი ქიმიურ განტოლებამდეც მიდიან; აქედან გამომდინარე, მეორე სახელი X. u. - საუკუნოვანი განტოლება.

2) H. u. წრფივი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებითλ a 0 (წ) + ნ (1 წ) +... + n-1 + n-1 y" = 0

a n y ალგებრული განტოლება, რომელიც მიღებულია მოცემული დიფერენციალური განტოლებიდან ფუნქციის შეცვლის შემდეგზე

2) H. u. წრფივი დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებითλ იკ + და მისი წარმოებულები λ-ის შესაბამისი ხარისხებით, ანუ განტოლებითλ a 1 + ... + n-1 n-1 + n-1 y" = 0.

y" ალგებრული განტოლება, რომელიც მიღებულია მოცემული დიფერენციალური განტოლებიდან ფუნქციის შეცვლის შემდეგ = ეს განტოლება მიიღწევა ფორმის კონკრეტული ამოხსნის მოძიებით λ სე X

მოცემული დიფერენციალური განტოლებისთვის. წრფივი დიფერენციალური განტოლებათა სისტემისათვის

ჰ.უ. დაწერილი დეტერმინანტის გამოყენებით ჰ.უ. მატრიცები =

ა დიდისაბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .

. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია

ნახეთ, რა არის „მახასიათებელი განტოლება“ სხვა ლექსიკონებში: ხშირ შემთხვევაშისისტემებში წარმოქმნილი, აღწერილია ჩვეულებრივი წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემით მუდმივი კოეფიციენტებით, რაც საკმაოდ ზოგად შემთხვევაში შეიძლება შემცირდეს დიფერენციალურ განტოლებამდე ... ტექნოლოგიის ენციკლოპედია

ფორმის ალგებრული განტოლება: ამ ფორმულაში განმსაზღვრელი მიიღება მატრიცის განმსაზღვრელიდან დიაგონალური ელემენტების x მნიშვნელობის გამოკლებით; ის წარმოადგენს მრავალწევრს x-ში და ეწოდება დამახასიათებელი მრავალწევრი... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დამახასიათებელი განტოლება- - [V.A. Semenov. სარელეო დაცვის ინგლისურ-რუსული ლექსიკონი] თემები სარელეო დაცვა EN დამახასიათებელი განტოლება ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

ფორმის ალგებრული განტოლება. ამ ფორმულაში განმსაზღვრელი მიიღება დიაგონალური ელემენტების x მატრიცის განმსაზღვრელიდან; ის არის მრავალწევრი x-ში და ეწოდება დამახასიათებელი მრავალწევრი. * * * დამახასიათებელი…… ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დამახასიათებელი განტოლება- būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: ინგლ. დამახასიათებელი განტოლება; შესრულების განტოლება vok. Charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. დამახასიათებელი განტოლება, n pranc. მახასიათებლების განტოლება, ვ … ავტომატური ტერმინალი

დამახასიათებელი განტოლება- būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. დამახასიათებელი განტოლება; შესრულების განტოლება vok. Charakteristische Gleichung, f rus. დამახასიათებელი განტოლება, n pranc. მახასიათებლების განტოლება, ვ … ფიზიკის ტერმინალი

დამახასიათებელი განტოლება ენციკლოპედია "ავიაცია"

დამახასიათებელი განტოლება- დამახასიათებელი განტოლება. ხშირ შემთხვევაში, სისტემებში მიმდინარე ფიზიკური პროცესები აღწერილია ჩვეულებრივი წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემით მუდმივი კოეფიციენტებით, რაც საკმაოდ ზოგად შემთხვევაში შეიძლება შემცირდეს... ენციკლოპედია "ავიაცია"

საერო განტოლება, იხილეთ ხელოვნება. დამახასიათებელი მრავალწევრი... მათემატიკური ენციკლოპედია

დამახასიათებელი პოლინომი არის პოლინომი, რომელიც განსაზღვრავს მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებს. კიდევ ერთი მნიშვნელობა: წრფივი მორეციდივის დამახასიათებელი პოლინომი არის მრავალწევრი. სარჩევი 1 განმარტება ... ვიკიპედია

წიგნები

• დამახასიათებელი სიცრუის რგოლები და არაწრფივი ინტეგრირებადი განტოლებები, Zhiber A.V.. წიგნი ეძღვნება ალგებრული მიდგომის სისტემატურ პრეზენტაციას არაწრფივი ინტეგრირებადი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებებისა და მათი დისკრეტული ანალოგების შესწავლის შესახებ, კონცეფციის საფუძველზე...

დამახასიათებელ განტოლებას აქვს ფორმა:

თავისუფალი კომპონენტის ტიპის დასადგენად საჭიროა შეადგინოთ და ამოხსნათ დამახასიათებელი განტოლება: z(p) = 0. დამახასიათებელი განტოლების დასაწერად აუცილებელია დიაგრამის დახატვა, რომელშიც უნდა შეიცვალოს ემფ-ის და დენის ყველა წყარო. საკუთარი შინაგანით წინააღმდეგობა და წინააღმდეგობააიღეთ ინდუქციურობა და ტევადობა, შესაბამისად, ტოლია Pl და , მაშინ აუცილებელია ამ მიკროსქემის ნებისმიერი ტოტის გაწყვეტა, ჩაწერეთ მისი საწყისი წინააღმდეგობა წყვეტის წერტილებთან მიმართებაში, გაუტოლეთ ნულს, ამოხსნათ და განსაზღვროთ p-ის ფესვები, თუ ფესვები აღმოჩნდება რეალური უარყოფითი, მაშინ სასურველი ფუნქციის თავისუფალი კომპონენტი:

,სადაც m არის განტოლების ფესვების რაოდენობა;

ფესვები; - მუდმივად ინტეგრირებული.

თუ პერსონაჟის განტოლების ფესვები აღმოჩნდება რთული კონიუგატი, მაშინ თავისუფალ მდგომარეობას ექნება ფორმა:

სად არის თავისუფალი ვიბრაციის სიხშირე;

თავისუფალი რხევების საწყისი ფაზა.

8.ტრანზიციის დრო. განსაზღვრა პრაქტიკულად t pp. გარდამავალი პროცესის დროის გაანგარიშება.

გარდამავალი პროცესის დრო დამოკიდებულია შესუსტების კოეფიციენტზე. ინვერსიული მნიშვნელობა ეწოდება დროის მუდმივობას დროს, დროსრომელიც გარდამავალი პროცესის თავისუფალი კომპონენტის მნიშვნელობა შემცირდება e=2.72-ჯერ. მნიშვნელობა დამოკიდებულია წრედზე და პარამეტრებზე სერიული კავშირი r და L = , და სერიულ კავშირში

გარდამავალი პროცესის 95% დასრულება 3.

გარდამავალი პროცესის თავისუფალი კომპონენტების მრუდების აგების უმარტივესი გზაა დროის t მნიშვნელობების დაყენება 0, ,2-ზე.....თუ არსებობს რამდენიმე რეალური ფესვი, მაშინ მიღებული მრუდი მიიღება შეჯამებით. ცალკეული ტერმინების ორდინატები (ნახ. 1.)

სურათი 1:

9.10, გარდამავალი პროცესი r, C-ში – სქემები წყაროსთან მიერთებისას DC ძაბვა. ანალიზის ჩატარება კლასიკური მეთოდით; მიეცით ანალიტიკური გამონათქვამები U C (t); iC(t); გრაფიკა. (კლასიკური მეთოდი).

rC წრის მდგომარეობის განტოლება გადართვის შემდეგ ასეთია:

(1) ან rC (2)

მისი გამოსავალი:

ტევადობა C კლავიშის t-ზე დახურვის შემდეგ დაირიცხება სტაბილური მნიშვნელობით

ვინაიდან საწყისი პირობები ნულის ტოლია, კომუტაციის კანონის მიხედვით t=0, ან 0=A, საიდანაც A=-E.

(2) განტოლების ამონახსნი მიიღებს ფორმას:

წრედის დენი i(t)=C

სურათი 1.

სურათი 2.

ძაბვისა და დენის i(t) ცვლილებების გრაფიკები ნაჩვენებია სურათებზე 1 და 2. ფიგურებიდან ჩანს, რომ კონდენსატორზე ძაბვა ექსპონენტურად იზრდება 0-დან E-მდე, ხოლო დენის სიძლიერე გადართვის მომენტში მკვეთრად აღწევს. მნიშვნელობა E/r და შემდეგ მცირდება ნულამდე.

11.12. გარდამავალი პროცესი r, C – სქემებში სინუსოიდური ძაბვის წყაროსთან შეერთებისას. ანალიზის ჩატარება კლასიკური მეთოდით; მიეცით ანალიტიკური გამონათქვამები U C (t); iC(t); გრაფიკა. (კლასიკური მეთოდი).

rC წრედის მდგომარეობის განტოლება გარდამავალ რეჟიმში ასეთია

rC .

ამ განტოლების ამოხსნა:

უფასო კომპონენტი

სადაც =rC

ვინაიდან წრე წრფივია, მაშინ სინუსოიდური ეფექტით და მდგრად მდგომარეობაში, კონდენსატორზე ძაბვაც შეიცვლება სინუსოიდური კანონის მიხედვით შეყვანის ეფექტის სიხშირით, შესაბამისად, = გამოვიყენებთ რთული ამპლიტუდების მეთოდს :

;

იმის გათვალისწინებით, რომ j=, მივიღებთ:

თავისუფალი კომპონენტის ინტეგრაციის მუდმივი A

მოდი ვიპოვოთ წრეში საწყისი პირობებიდან კომუტაციის კანონის გათვალისწინებით:

.t=0-ზე ბოლო გამოსახულებას აქვს ფორმა

სად არის A=-

კომპონენტების დამატება და , მივიღებთ საბოლოო გამოხატულებას კონდენსატორზე ძაბვისთვის გარდამავალ რეჟიმში:

= + = - (1)

გამოხატვის (1) ანალიზი აჩვენებს, რომ გარდამავალი პროცესი rC წრეში სინუსოიდური გავლენის ქვეშ დამოკიდებულია წყაროს emf-ის საწყის ფაზაზე გადართვის მომენტში და rC წრედის დროის მუდმივზე.

თუ , მაშინ =0 და სტაბილური მდგომარეობა მოხდება წრედში გადართვისთანავე, ე.ი.

როცა ძაბვა = - , ე.ი. ძაბვა კონდენსატორზე გადართვისთანავე შეიძლება მიაღწიოს პოზიტიური ნიშნის თითქმის ორმაგ მნიშვნელობას და შემდეგ თანდათან მიუახლოვდეს =.

ფაზური სხვაობა გამოიწვევს განტოლებას (1) ფორმაში:

განსხვავება ამ რეჟიმსა და წინას შორის არის ის, რომ ძაბვა კონდენსატორზე გადართვისთანავე შეიძლება მიაღწიოს თითქმის ორჯერ უარყოფით მნიშვნელობას.

განხილული Rc წრედისთვის სინუსოიდური დენის წყაროს მდგრად მდგომარეობაში, საწყისი ფაზა შეყვანის ძაბვაარანაირ როლს არ თამაშობს, მაგრამ გარდამავალ პროცესში მისი გავლენა მნიშვნელოვანია.

13. გარდამავალი პროცესი r, L, C – სქემებში მუდმივი ძაბვის წყაროსთან მიერთებისას. პარტიული პროცესი. ანალიტიკური გამონათქვამები i(t), გრაფიკა. (კლასიკური მეთოდი).

ფესვები რეალურია, უარყოფითი, განსხვავებული.

I(t)=I პირი +A1e p 1 t +A2e p 2 t

პროცესი პერიოდულია:

t=0 (i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

მე (ტ) = ( )

14. გარდამავალი პროცესი r, L, C – სქემებში მუდმივი ძაბვის წყაროსთან მიერთებისას. კრიტიკული პროცესი. ანალიტიკური გამონათქვამები i(t), გრაფიკა. (კლასიკური მეთოდი).

i l (t)=i პირი +(B1+B2*t)*

t=0: i l (0)=β1=0

თუ ფესვები აღმოჩნდება რეალური, უარყოფითი, თანაბარი, მაშინ პროცესი კრიტიკულია.

15. გარდამავალი პროცესი r, L, C – სქემებში მუდმივი ძაბვის წყაროსთან მიერთებისას. ოსცილატორული პროცესი. i(t) ანალიტიკური გამოხატულება, გრაფიკა. (კლასიკური მეთოდი).

P t = -δ±j*ω St ω St =

ფესვები უარყოფითი რეალურია, რაღაც რთული კონიუგატი.

i l (t)=i პირი A1e - δt *sin(ω St t+ψ)

i l (t)=i პირი +(M*cos ω light t+N*sin ω light t)*

მე ლ (ტ)= * = *

16. გარდამავალი პროცესი r, L, C – სქემებში სინუსოიდური ძაბვის წყაროსთან შეერთებისას. აპერიოდული პროცესი. i(t) ანალიტიკური გამოხატულება, გრაფიკა. (კლასიკური მეთოდი).

R(t)=E max *sin(ωt+ψ)

2.

განტოლებათა კლასიკურ რიცხვში ამ შემთხვევაში უდრის წრედის ტოტების რაოდენობას

მეთოდი პოულობს გამოსავალს ზოგადი და კონკრეტული ამონახსნის ჯამის სახით. გარდამავალი პროცესის გაანგარიშება აღწერილია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემით, რომელიც შედგენილია დროის ფუნქციების მყისიერი მნიშვნელობების ერთ-ერთი გაანგარიშების მეთოდით. ამ სისტემის თითოეული ცვლადის ამონახსნი გვხვდება ზოგადი და კონკრეტული ამონახსნების ჯამის სახით. განტოლების შესადგენად შეიძლება გამოვიყენოთ: კირჩჰოფის კანონების გამოყენებაზე დამყარებული მეთოდი, კვანძოვანი პოტენციალების მეთოდი, მარყუჟის დენების მეთოდი და ა.შ. მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა, რომელიც შედგენილია კომუტაციის შემდეგ კირხჰოფის პირველი და მეორე კანონების მიხედვით, აქვს ფორმა:

მაგალითად,

განტოლებების რაოდენობა ამ შემთხვევაში უდრის წრედის ტოტების რაოდენობას. საჭირო იყოს i k დენის პოვნა ტოტში K ნომრით. ტოტების დენების თანმიმდევრობით აღმოფხვრა, შედეგად მივიღებთ i k დენს და მის წარმოებულებს n-მდე ბრძანებით:

n დიფერენციალური განტოლების რიგი განისაზღვრება მიკროსქემის დამოუკიდებელი რეაქტიული ელემენტების რაოდენობით (m). ჩვეულებრივ n=m, მაგრამ კავშირის მეთოდიდან გამომდინარე, შეიძლება იყოს n

სერიასთან დაკავშირებული ტევადობის ელემენტები შეიძლება შეიცვალოს ერთი ელემენტით, ისევე როგორც პარალელურად დაკავშირებული ინდუქციური ელემენტები შეიძლება შეიცვალოს ერთი ეკვივალენტით. სურათი 9.5 გვიჩვენებს სერიულად დაკავშირებული 2 კონდენსატორის შეცვლას ერთი ეკვივალენტით.

ზოგადად, n დიფერენციალური განტოლების რიგი უდრის: n=n lc -n ce -n lj, სადაც n lc არის რეაქტიული ელემენტების რაოდენობა (L და C) წრეში, n ce არის ტევადობის რაოდენობა. სქემები, n lj არის ინდუქციური კვანძების ან მონაკვეთების რაოდენობა.

ტევადობის ქვეშ იგულისხმება წრე, რომელიც შედგება ტევადობის ელემენტებისაგან ან ტევადობის ელემენტებისაგან და იდეალური ემფ წყაროებისგან, ნახ. მონაკვეთები, რომლებსაც მხოლოდ ინდუქციური ტოტები ან ინდუქციური ტოტები და დენის წყაროები კვეთენ.

გაითვალისწინეთ, რომ დიფერენციალური განტოლების შედგენის ეტაპი არ არის სავალდებულო და გარდამავალი დენი ან ძაბვა შეიძლება მოიძებნოს განტოლების შედგენის გარეშე. როგორც აღინიშნა, გარდამავალი პროცესების გამოთვლის კლასიკურ მეთოდში განტოლებების ამოხსნა ხდება წარმოდგენილია როგორც ზოგადი და კონკრეტული ამონახსნების ჯამი.

კონკრეტული გამოსავალი აღწერს რეჟიმს, რომელსაც იძულებითი ეწოდება. ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი (მარჯვენა მხარე არის ნული) აღწერს პროცესს გარე EMF და დენის წყაროების არარსებობის შემთხვევაში და ეწოდება თავისუფალი. შესაბამისად განიხილება თავისუფალი და იძულებითი დენები, ძაბვები და მუხტები.

ამგვარად, დენი ტოტში K რიცხვით წარმოდგენილია ჯამის სახით.

განმარტება.წრფივი ოპერატორის მახასიათებელი განტოლება f არის ფორმის განტოლება, სადაც λ არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, A არის წრფივი ოპერატორის მატრიცა, E არის იგივე რიგის იდენტურობის მატრიცა.

მრავალწევრი დაურეკა დამახასიათებელი მრავალწევრიმატრიცა A (წრფივი ოპერატორი f). მატრიცის სახით, დამახასიათებელ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

ან

.

შესაბამისად, დამახასიათებელი მრავალწევრის ნულის ტოლფასი მივიღებთ ხარისხის განტოლებას წსადაც λ არის უცნობი, ვიღებთ მისი ფესვების მნიშვნელობებს - ამ მატრიცის დამახასიათებელ რიცხვებს. დამახასიათებელი ფესვები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მათემატიკის ბევრ სფეროში. განვიხილოთ დამახასიათებელი ფესვების ერთ-ერთი გამოყენება - ძალიან მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტი წრფივი სივრცეების შესწავლაში, ასევე ხაზოვანი ალგებრის მრავალი გამოყენებითი ამოცანის ამოხსნისას.

დამახასიათებელი განტოლების ყველა ფესვის სიმრავლეს ეწოდება ოპერატორის სპექტრი ვ(თითოეული ფესვი განიხილება იმ სიმრავლით, რაც მას აქვს დამახასიათებელ განტოლებაში).

მაგალითი.იპოვეთ მატრიცის დამახასიათებელი ფესვები.

მოდით შევქმნათ მატრიცა

დამახასიათებელი მრავალწევრის ნულთან გათანაბრებით, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას

მაშინ განტოლების ფესვები ტოლია .

განმარტება.დავუშვათ f იყოს სივრცის წრფივი ოპერატორი და იყოს რაიმე არანულოვანი ვექტორი, რომლის ტოლობაც

სად არის რეალური რიცხვი. მაშინ ვექტორს უწოდებენ ოპერატორის საკუთრივ ვექტორს და მისი ოპერატორის მატრიცას, საკუთრივ მნიშვნელობას, ან ტრანსფორმაციის საკუთრივ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ საკუთრივ ვექტორი ეხება საკუთრივ მნიშვნელობას.

საკუთრივ ვექტორები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ როგორც თავად მათემატიკაში, ასევე მის გამოყენებაში. მაგალითად, რეზონანსი, რომელშიც სისტემის ვიბრაციის ბუნებრივი სიხშირეები ემთხვევა გარე ძალების ვიბრაციის სიხშირეს. მათემატიკაში საკუთრივ ვექტორები გამოსადეგია დიფერენციალური განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად.

თეორემა. თუ წრფივ ოპერატორს f აქვს მატრიცა A მის საფუძველში (პირველი საფუძველი) და მატრიცა B საფუძველში (მეორე საფუძველი), მაშინ ტოლობა მოქმედებს: .

შესაბამისად, ახალ საფუძველზე გადასვლისას წრფივი ოპერატორის დამახასიათებელი პოლინომი არ იცვლება.

◌ თუ T არის გადასვლის მატრიცა პირველიდან მეორეზე, მაშინ . შემდეგ ჩვენ გარდაქმნით თანასწორობის მარჯვენა მხარეს ●

თეორემა. იმისათვის, რომ რიცხვი λ 0 P ველიდან იყოს L n სივრცის ვექტორის საკუთრივ მნიშვნელობა P-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ რიცხვი λ 0 იყოს f ოპერატორის დამახასიათებელი ფესვი.

დოქ. მე.აუცილებლობა. დაე λ 0 ოპერატორის საკუთარი მნიშვნელობა ვ, შემდეგ შიგნით Lnარსებობს საკუთრივ ვექტორი ისეთი, რომ .

დაე არის მისი კოორდინატთა ხაზი გარკვეულ საფუძველზე, მაშინ

მეორე მხრივ, იმიტომ , სად არის ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცა მოცემულ საფუძველზე, მაშინ

(1)-ისა და (2)-ის მარჯვენა გვერდების გავატოლებით მივიღებთ:

(3)

ტოლობები (3) ნიშნავს, რომ რიცხვითი ვექტორი კოორდინატებით არის ამონახსნი განტოლებათა შემდეგი სისტემის (4).

(4)

ვექტორი განსხვავდება ნულისაგან (რადგან ის საკუთარია), ამიტომ სისტემას (4) აქვს არანულოვანი ამონახსნი, ამიტომ მისი განმსაზღვრელი არის 0.

(5)

და, შესაბამისად, ტრანსპონირებადი განმსაზღვრელი უდრის 0-ს.

(6)

თუ მიკროსქემის დიაგრამა შეიცავს პარალელურად დაკავშირებულ კონდენსატორებს C1, C2,... ან სერიაში დაკავშირებულ კოჭებს L1, L2,..., მაშინ გარდამავალი პროცესების გამოთვლისას ისინი უნდა შეიცვალოს ერთი ექვივალენტური ელემენტით SE = C1 + C2+... ან LE = L1 + L2+... λ 0 – დამახასიათებელი განტოლების ფესვი.

II.ადეკვატურობა. დაე λ 0 – ოპერატორის დამახასიათებელი ფესვი გარკვეულ საფუძველზე . ეს დავამტკიცოთ λ 0 არის ოპერატორი A-ს საკუთრივ მნიშვნელობა.

მართლაც, თუ λ 0 არის დამახასიათებელი ფესვი, მაშინ დაკმაყოფილდება ტოლობა (6) და შესაბამისად ტოლობა (5) და ეს ნიშნავს, რომ სისტემას (4) აქვს არანულოვანი ამონახსნები.

მოდით ავირჩიოთ (4) სისტემის ზოგიერთი არანულოვანი ამონახსნი: რიცხვითი ვექტორი . შემდეგ ტოლობები (3) დაკმაყოფილებულია.

განვიხილოთ ვექტორი და მისთვის ტოლობა (2) დაკმაყოფილდება და ფორმულის მიხედვით მოქმედებს ტოლობა (1), სადაც არის ოპერატორის მატრიცა საფუძველში. IN. ეს გულისხმობს თანასწორობას, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორი არის ოპერატორის საკუთარი ვექტორი, რომელსაც შეესაბამება საკუთრივ მნიშვნელობა. λ 0 . ეს იყო იმის დამტკიცება. თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი.ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობების საპოვნელად საჭიროა (5) განტოლების შედგენა და ამოხსნა. ოპერატორის საკუთრივვექტორების მოსაძებნად, თქვენ უნდა შექმნათ განტოლებათა სისტემა (4) და იპოვოთ ამ სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები.

საკუთარი მნიშვნელობების გაანგარიშების სისწორის გასაკონტროლებლად (ისინი შეიძლება იყოს დამთხვევა ან რთული), გამოიყენება ორი ფაქტი:

1) , სადაც კვალის მატრიცის ბოლო ჯამი არის დიაგონალური ელემენტების ჯამი.

2) .

მაგალითი.იპოვნეთ საკუთარი მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები .

ნულის ტოლფასი მივიღებთ. .

3) . , .

მოდით იყოს თავისუფალი ცვლადი, შემდეგ მივიღებთ ვექტორს .

ვარჯიში. შეამოწმეთ ვექტორი.

.