ელიფსური პარაბოლოიდური კანონიკური განტოლება. ელიფსოიდი. ჰიპერბოლოიდები. პარაბოლოიდები. პარაბოლოიდები მსოფლიოში

მისი ღერძის გარშემო შეგიძლიათ მიიღოთ ჩვეულებრივი ელიფსური. ეს არის ღრუ იზომეტრიული სხეული, რომლის მონაკვეთები არის ელიფსები და პარაბოლები. ელიფსური პარაბოლოიდი მოცემულია შემდეგით:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
პარაბოლოიდის ყველა ძირითადი განყოფილება არის პარაბოლები. XOZ და YOZ თვითმფრინავების ჭრისას მიიღება მხოლოდ პარაბოლები. თუ Xoy სიბრტყესთან მიმართებაში პერპენდიკულარულ მონაკვეთს დახატავთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ელიფსი. უფრო მეტიც, სექციები, რომლებიც პარაბოლებია, მითითებულია ფორმის განტოლებით:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
ელიფსის მონაკვეთები მოცემულია სხვა განტოლებით:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2სთ
ელიფსური პარაბოლოიდი a=b-ზე იქცევა რევოლუციის პარაბოლოიდად. პარაბოლოიდის კონსტრუქციას აქვს მრავალი მახასიათებელი, რომელიც გასათვალისწინებელია. დაიწყეთ ოპერაცია საფუძვლის მომზადებით - ფუნქციის გრაფიკის ნახაზი.

იმისათვის, რომ დაიწყოთ პარაბოლოიდის აგება, ჯერ პარაბოლა უნდა ააგოთ. დახაზეთ პარაბოლა Oxz სიბრტყეში, როგორც ნაჩვენებია სურათზე. მიეცით მომავალ პარაბოლოიდს გარკვეული სიმაღლე. ამისათვის დახაზეთ სწორი ხაზი ისე, რომ ის შეეხოს პარაბოლის ზედა წერტილებს და იყოს Ox ღერძის პარალელურად. შემდეგ დახაზეთ პარაბოლა იოზის სიბრტყეში და დახაზეთ სწორი ხაზი. თქვენ მიიღებთ ორ პარაბოლოიდურ სიბრტყეს, რომლებიც ერთმანეთის პერპენდიკულარულია. ამის შემდეგ Xoy-ის სიბრტყეში ააგეთ პარალელოგრამი, რომელიც დაგეხმარებათ ელიფსის დახატვაში. ჩაწერეთ ელიფსი ამ პარალელოგრამაში ისე, რომ იგი შეეხოს მის ყველა მხარეს. ამ გარდაქმნების შემდეგ წაშალეთ პარალელოგრამი და რჩება პარაბოლოიდის სამგანზომილებიანი გამოსახულება.

ასევე არსებობს ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი, რომელსაც აქვს უფრო ჩაზნექილი ფორმა, ვიდრე ელიფსური. მის მონაკვეთებს ასევე აქვთ პარაბოლები და ზოგიერთ შემთხვევაში ჰიპერბოლები. ძირითადი მონაკვეთები Oxz-ისა და Oyz-ის გასწვრივ, ისევე როგორც ელიფსური პარაბოლოიდის, არის პარაბოლები. ისინი მოცემულია ფორმის განტოლებებით:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
თუ დახატავთ მონაკვეთს Oxy ღერძის მიმართ, შეგიძლიათ მიიღოთ ჰიპერბოლა. ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის აგებისას გამოიყენეთ შემდეგი განტოლება:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის განტოლება

თავდაპირველად ააგეთ ფიქსირებული პარაბოლა Oxz სიბრტყეში. დახაზეთ მოძრავი პარაბოლა Oyz სიბრტყეში. ამის შემდეგ დააყენეთ პარაბოლოიდის სიმაღლე h. ამისათვის მონიშნეთ ფიქსირებულ პარაბოლაზე ორი წერტილი, რომელიც იქნება კიდევ ორი ​​მოძრავი პარაბოლის წვერო. შემდეგ დახაზეთ სხვა O"x"y" კოორდინატთა სისტემა ჰიპერბოლების გამოსათვლელად. ამ კოორდინატთა სისტემის ცენტრი უნდა ემთხვეოდეს პარაბოლოიდის სიმაღლეს. ყველა კონსტრუქციის შემდეგ დახაზეთ ზემოთ ნახსენები ორი მოძრავი პარაბოლა ისე, რომ ისინი შეეხოს. უკიდურესი წერტილებიჰიპერბოლა. შედეგი არის ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი.

პარაბოლაზე ტანგენტის დადასტურებული თვისება ძალზე მნიშვნელოვანია, რადგან მისგან გამომდინარეობს, რომ ჩაზნექილი პარაბოლური სარკის ფოკუსიდან გამომავალი სხივები, ანუ სარკე, რომლის ზედაპირი მიღებულია პარაბოლის ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად, არის აირეკლება პარალელური სხივით, კერძოდ, პარალელური სარკის ღერძებით (ნახ.).

პარაბოლური სარკეების ეს თვისება გამოიყენება პროჟექტორების მშენებლობაში, ნებისმიერი მანქანის ფარებში, ასევე ამრეკლავ ტელესკოპებში. უფრო მეტიც, ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, პირიქით, ზეციური სხეულიდან მომდინარე სხივები; თითქმის პარალელურად, ისინი კონცენტრირებულნი არიან ტელესკოპის სარკის ფოკუსის მახლობლად, და ვინაიდან სანათურის სხვადასხვა წერტილიდან გამომავალი სხივები ბევრად არაპარალელურია, ისინი კონცენტრირებულია ფოკუსის მახლობლად სხვადასხვა წერტილში, ისე რომ ფოკუსის მახლობლად არის გამოსახულება. მნათობი მიიღება, რაც უფრო დიდია მით მეტი ფოკუსური მანძილიპარაბოლები. ეს სურათი უკვე ჩანს მიკროსკოპით (ტელესკოპის ოკულარი). მკაცრად რომ ვთქვათ, მხოლოდ სარკის ღერძის პარალელურად სხივები გროვდება ერთ წერტილში (ფოკუსი), ხოლო პარალელური სხივები, რომლებიც მიდის სარკის ღერძის კუთხით, გროვდება მხოლოდ თითქმის ერთ წერტილამდე და რაც უფრო შორს არის ეს წერტილი. ფოკუსიდან, მით მეტი სურათი უფრო ბუნდოვანია. ეს გარემოება ზღუდავს „ტელესკოპის ხედვას“.

დაე, მისი შიდა ზედაპირი სარკისებრი ზედაპირი იყოს, ეს პარაბოლური სარკე განათებულია ოპ-ამპერატორის ღერძის პარალელურად სინათლის სხივებით. op-amp ღერძის პარალელურად ყველა სხივი, არეკვლის შემდეგ, გადაიკვეთება op-amp ღერძის ერთ წერტილში (ფოკუსი F). ამ თვისებას ეფუძნება პარაბოლური ტელესკოპების დიზაინი. შორეული ვარსკვლავების სხივები ჩვენამდე მოდიან პარალელური სხივის სახით. პარაბოლური ტელესკოპის დამზადებით და მის ფოკუსში ფოტოგრაფიული ფირფიტის მოთავსებით, ჩვენ ვიღებთ შესაძლებლობას გავაძლიეროთ ვარსკვლავიდან მომავალი სინათლის სიგნალი.

იგივე პრინციპი ეფუძნება პარაბოლური ანტენის შექმნას, რომელიც რადიოსიგნალების გაძლიერების საშუალებას იძლევა. თუ პარაბოლური სარკის ფოკუსში განათავსებთ სინათლის წყაროს, მაშინ სარკის ზედაპირიდან ასახვის შემდეგ, ამ წყაროდან გამომავალი სხივები არ გაიფანტება, არამედ შეგროვდება სარკის ღერძის პარალელურად ვიწრო სხივში. . ეს ფაქტი გამოიყენება პროჟექტორებისა და ფარნების, სხვადასხვა პროექტორების წარმოებაში, რომელთა სარკეები პარაბოლოიდების ფორმისაა დამზადებული.

პარაბოლური სარკის ზემოხსენებული ოპტიკური თვისება გამოიყენება სარკისებური ტელესკოპების, მზის გათბობის სხვადასხვა დანადგარების და ასევე პროჟექტორების შესაქმნელად. პარაბოლური სარკის ფოკუსში სინათლის მძლავრი წერტილის წყაროს მოთავსებით, ჩვენ ვიღებთ არეკლილი სხივების მკვრივ ნაკადს სარკის ღერძის პარალელურად.

როდესაც პარაბოლა ბრუნავს თავისი ღერძის გარშემო, მიიღება ფიგურა, რომელსაც პარაბოლოიდი ეწოდება. თუ პარაბოლოიდის შიდა ზედაპირი სარკეა და მისკენ არის მიმართული სხივების სხივი, ღერძის პარალელურადპარაბოლის სიმეტრია, მაშინ არეკლილი სხივები გადაიყრება ერთ წერტილში, რომელსაც ფოკუსი ეწოდება. ამავდროულად, თუ სინათლის წყარო მოთავსებულია ფოკუსში, მაშინ პარაბოლოიდის სარკის ზედაპირიდან არეკლილი სხივები იქნება პარალელური და არა მიმოფანტული.

პირველი თვისება შესაძლებელს ხდის პარაბოლოიდის ფოკუსში მაღალი ტემპერატურის მიღებას. ლეგენდის თანახმად, ამ ქონებას იყენებდა ძველი ბერძენი მეცნიერი არქიმედე (ძვ. წ. 287-212 წწ.). რომაელთა წინააღმდეგ ომში სირაკუზას იცავდა, მან ააგო პარაბოლური სარკეების სისტემა, რომელიც საშუალებას აძლევდა მზის არეკლილი სხივების ფოკუსირებას რომაულ გემებზე. შედეგად, პარაბოლური სარკეების კერებზე ტემპერატურა იმდენად მაღალი აღმოჩნდა, რომ გემებს ცეცხლი გაუჩნდა და ისინი დაიწვნენ.

მეორე ქონება გამოიყენება, მაგალითად, პროჟექტორების და მანქანის ფარების წარმოებაში.

ჰიპერბოლა

4. ჰიპერბოლის განმარტება გვაძლევს მარტივ გზას მისი უწყვეტი მოძრაობით ასაგებად: აიღეთ ორი ძაფი, რომელთა სიგრძის სხვაობა არის 2a და ამ ძაფების ერთი ბოლო მიამაგრეთ F" და F წერტილებს. თუ მეორეს გეჭირათ. ორი ბოლო ხელით და გადაიტანეთ ძაფების გასწვრივ ფანქრის წერტილით, იზრუნეთ, რომ ძაფები დაჭიმული იყოს ქაღალდზე, დაჭიმული და შეხება, დაწყებული ნახატის წვეროდან ბოლოების შეხვედრამდე, წვერი დახატავს. ჰიპერბოლის ერთ-ერთი ტოტის ნაწილი (რაც უფრო დიდია, მით უფრო გრძელია ძაფები) (ნახ.).

F" და F წერტილების როლების შებრუნებით, ჩვენ ვიღებთ სხვა შტოს ნაწილს.

მაგალითად,თემაზე „მე-2 რიგის მრუდები“ შეგიძლიათ განიხილოთ შემდეგი პრობლემა:

დავალება.ორი რკინიგზის სადგური A და B მდებარეობს ერთმანეთისგან s კმ მანძილზე. ნებისმიერ M წერტილამდე ტვირთის მიტანა შესაძლებელია A სადგურიდან პირდაპირი საავტომობილო ტრანსპორტით (პირველი მარშრუტით) ან რკინიგზა B სადგურამდე, იქიდან კი მანქანით (მეორე მარშრუტი). სარკინიგზო ტარიფი (ტრანსპორტის ფასი 1 ტონა 1 კმ-ზე) არის მ რუბლი, საავტომობილო ტრანსპორტის ტარიფი არის n რუბლი, n > m, დატვირთვა-გადმოტვირთვის ტარიფი არის k რუბლი. განსაზღვრეთ B რკინიგზის სადგურის გავლენის არეალი, ანუ ტერიტორია, სადაც უფრო იაფია ტვირთის მიტანა A სადგურიდან შერეული საშუალებებით - სარკინიგზო და შემდეგ საავტომობილო გზით, ე.ი. განსაზღვრეთ წერტილების გეომეტრიული მდებარეობა, რომლებისთვისაც მეორე გზა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ AM = r, BM = g, მაშინ მიწოდების ღირებულება (ტრანსპორტირება და დატვირთვა/გადმოტვირთვა) AM მარშრუტზე უდრის nr + k, ხოლო მიწოდების ღირებულება ABM მარშრუტზე უდრის ms + 2k + ნგ. მაშინ M წერტილები, რომლებისთვისაც ორივე მნიშვნელობა ტოლია, აკმაყოფილებს განტოლებას nr + k = ms+2k+nг, ან

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

მაშასადამე, რეგიონის განმსაზღვრელი ხაზი ჰიპერბოლის |. ერთ-ერთი განშტოებაა r - r | = კონსტ. სიბრტყის ყველა წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს ამ ჰიპერბოლის A წერტილის ერთ მხარეს, პირველი გზა უფრო ხელსაყრელია, ხოლო მეორე მხარეს მდებარე წერტილებისთვის - მეორე, ამიტომ ჰიპერბოლის განშტოება ასახავს გავლენის არეალს. სადგური B.

ამ პრობლემის ვარიანტი.

ორი რკინიგზის სადგური A და B მდებარეობს ერთმანეთისგან l კმ მანძილზე. M წერტილამდე ტვირთის მიტანა შესაძლებელია A სადგურიდან პირდაპირი საავტომობილო ტრანსპორტით, ან რკინიგზით B სადგურამდე და იქიდან მანქანით (ნახ. 49). ამ შემთხვევაში სარკინიგზო ტარიფი (1 ტონა გადაზიდვის ფასი 1 კმ-ზე) არის მ რუბლი, დატვირთვა-გადმოტვირთვის ღირებულება k რუბლს შეადგენს (1 ტონაზე) და საავტომობილო ტრანსპორტის ტარიფი არის n რუბლი (n > m). განვსაზღვროთ რკინიგზის B სადგურის ე.წ გავლენის ზონა, ანუ ზონა, სადაც უფრო იაფია ტვირთის მიტანა A-დან შერეული მარშრუტით: რკინიგზით და შემდეგ საავტომობილო გზით.

გამოსავალი. AM მარშრუტით 1 ტონა ტვირთის მიწოდების ღირებულებაა r n, სადაც r = AM, ხოლო ABM მარშრუტის გასწვრივ ტოლი იქნება 1m + k + r n. უნდა ამოხსნათ ორმაგი უტოლობა r n 1m+ k+ r n და განვსაზღვროთ, როგორ არის განაწილებული (x, y) სიბრტყეზე წერტილები, რომლებზედაც ტვირთის მიტანა უფრო იაფია პირველი ან მეორე მარშრუტით.

მოდით ვიპოვოთ ხაზის განტოლება, რომელიც ქმნის საზღვარს ამ ორ ზონას შორის, ანუ წერტილების ლოკუსი, რომლისთვისაც ორივე გზა "თანაბრად სასარგებლოა":

r n = 1m+ k+ r n

ამ პირობიდან ვიღებთ r - r = = const.

აქედან გამომდინარე, გამყოფი ხაზი არის ჰიპერბოლა. ამ ჰიპერბოლის ყველა გარე წერტილისთვის პირველი გზა უფრო ხელსაყრელია, ხოლო შიდა წერტილებისთვის - მეორე. მაშასადამე, ჰიპერბოლა გამოიკვეთება B სადგურის გავლენის ზონა. ჰიპერბოლის მეორე განშტოება გამოიკვეთება A სადგურის ზემოქმედების ზონას (ტვირთი მიეწოდება B სადგურიდან). მოდი ვიპოვოთ ჩვენი ჰიპერბოლის პარამეტრები. მისი ძირითადი ღერძი არის 2a = , ხოლო მანძილი კერებს შორის (რომლებიც არიან სადგურები A და B) ამ შემთხვევაში არის 2c = l.

ამრიგად, ამ პრობლემის შესაძლებლობის პირობა, რომელიც განისაზღვრება ა< с, будет

ეს ამოცანა აკავშირებს აბსტრაქტს გეომეტრიული კონცეფციაჰიპერბოლები სატრანსპორტო და ეკონომიკური პრობლემებით.

წერტილების საჭირო ლოკუსი არის B წერტილის შემცველი ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტის შიგნით მდებარე წერტილების ერთობლიობა.

6. იცის" სასოფლო-სამეურნეო მანქანები» მნიშვნელოვანი შესრულების მახასიათებლებიფერდობზე მომუშავე ტრაქტორის მდგრადობას აჩვენებს გრძივი დახრილობის კუთხე და გვერდითი მობრუნების კუთხე.

სიმარტივისთვის განვიხილავთ ბორბლიან ტრაქტორს. ზედაპირი, რომელზეც ტრაქტორი მუშაობს (მისი საკმაოდ მცირე ნაწილი მაინც) შეიძლება ჩაითვალოს თვითმფრინავად (მოძრაობის სიბრტყე). ტრაქტორის გრძივი ღერძი არის სწორი ხაზის პროექცია, რომელიც აკავშირებს წინა და უკანა ღერძების შუა წერტილებს მოძრაობის სიბრტყეზე. გვერდითი გორგოლაჭის კუთხე არის კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება გრძივი ღერძის პერპენდიკულარული სწორი ხაზის ჰორიზონტალურ სიბრტყესთან და დევს მოძრაობის სიბრტყეში.

მათემატიკის კურსში თემის „ხაზები და სიბრტყეები სივრცეში“ შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ პრობლემებს:

ა) იპოვეთ ფერდობზე მოძრავი ტრაქტორის გრძივი დახრილობის კუთხე, თუ ცნობილია ფერდობის დახრილობის კუთხე და ტრაქტორის ტრაექტორიის გრძივი მიმართულებიდან გადახრის კუთხე.

ბ) ტრაქტორის მაქსიმალური გვერდითი გორგოლაჭის კუთხე არის დახრილობის მაქსიმალური დასაშვები კუთხე, რომლის გასწვრივაც ტრაქტორი შეიძლება დადგეს გადაბრუნების გარეშე. რა ტრაქტორის პარამეტრებია საკმარისი იმისათვის, რომ ვიცოდეთ მაქსიმალური გვერდითი როლის კუთხის დასადგენად; როგორ მოვძებნოთ ეს
კუთხე?

7. სწორხაზოვანი გენერატორების არსებობა გამოიყენება სამშენებლო აღჭურვილობაში. ამ ფაქტის პრაქტიკული გამოყენების ფუძემდებელია ცნობილი რუსი ინჟინერი ვლადიმერ გრიგორიევიჩ შუხოვი (1853-1939). ვ.გ.შუხოვმა ჩაატარა ანძების, კოშკებისა და საყრდენების დაპროექტება, რომლებიც შედგება ლითონის სხივებისგან, რომლებიც მდებარეობს სწორხაზოვანი გენერატრიების გასწვრივ. რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი. მაღალი სიძლიერეასეთი კონსტრუქციები, შერწყმული სიმსუბუქე, წარმოების დაბალი ღირებულება და ელეგანტურობა, უზრუნველყოფს მათ ფართო გამოყენებას თანამედროვე მშენებლობაში.

8. თავისუფალი ხისტი სხეულის მოძრაობის კანონები

თავისუფალი სხეულისთვის ყველა სახის მოძრაობა ერთნაირად შესაძლებელია, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ თავისუფალი სხეულის მოძრაობა მოუწესრიგებელია და არ ემორჩილება რაიმე კანონს; პირიქით, ხისტი სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობა, მიუხედავად მისი გარეგანი ფორმისა, შემოიფარგლება მასის ცენტრის კანონით და მცირდება ერთი წერტილის მოძრაობამდე, ხოლო ბრუნვის მოძრაობა არის ე.წ. მთავარი ღერძებით. ინერციის ან ინერციის ელიფსოიდი. ამრიგად, თავისუფალ სივრცეში გადაგდებული ჯოხი, ან დამახარისხებელიდან გამოფრენილი მარცვალი და ა.შ., მიიწევს წინ, როგორც ერთი წერტილი (მასის ცენტრი), და ამავე დროს ბრუნავს მასის ცენტრის გარშემო. ზოგადად, მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს ნებისმიერი ხისტი სხეული, განურჩევლად მისი ფორმისა, ან რთული მანქანა შეიძლება შეიცვალოს ერთი წერტილით (მასის ცენტრი), ხოლო ბრუნვის დროს ინერციის ელიფსოიდით. , რომლის რადიუსის ვექტორები უდრის --, სადაც / არის ამ სხეულის ინერციის მომენტი ელიფსოიდის ცენტრში გამავალ ღერძებთან მიმართებაში.

თუ სხეულის ინერციის მომენტი რაიმე მიზეზით იცვლება ბრუნვის დროს, მაშინ ბრუნვის სიჩქარე შესაბამისად შეიცვლება. მაგალითად, ზედ ნახტომის დროს აკრობატები იკუმშებიან ბურთად, რის შედეგადაც სხეულის ინერციის მომენტი მცირდება და ბრუნვის სიჩქარე იზრდება, რაც საჭიროა ნახტომის წარმატებისთვის. ანალოგიურად, სრიალის შემდეგ ადამიანები ხელებს გვერდებზე ჭიმებენ, რაც იწვევს ინერციის მომენტის მატებას და ბრუნვის სიჩქარის შემცირებას. ანალოგიურად, ვერტიკალურ ღერძზე მოსავლის ღერძის ინერციის მომენტი ცვალებადია მისი ჰორიზონტალური ღერძის გარშემო ბრუნვის დროს.

პარაბოლოიდის სიმაღლე შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით

პარაბოლოიდის მოცულობა, რომელიც ეხება ფსკერს, უდრის ცილინდრის მოცულობის ნახევარს ბაზის რადიუსით R და სიმაღლე H, იგივე მოცულობა იკავებს W' სივრცეს პარაბოლოიდის ქვეშ (ნახ. 4.5a).

სურ.4.5. მოცულობების თანაფარდობა პარაბოლოიდში, რომელიც ეხება ფსკერს.

Wп – პარაბოლოიდის მოცულობა, W’ – მოცულობა პარაბოლოიდის ქვეშ, Hп – პარაბოლოიდის სიმაღლე.

სურ.4.6. პარაბოლოიდის მოცულობათა თანაფარდობა, რომელიც ეხება ცილინდრის კიდეებს Hp არის პარაბოლოიდის სიმაღლე., R არის ჭურჭლის რადიუსი, Wl არის მოცულობა ჭურჭელში სითხის სიმაღლის ქვეშ ბრუნვის დაწყებამდე, z. 0 არის პარაბოლოიდის წვეროს პოზიცია, H არის სითხის სიმაღლე ჭურჭელში ბრუნვის დაწყებამდე.

ნახ. 4.6a-ში, ცილინდრში სითხის დონე ბრუნვის დაწყებამდე არის H. სითხის Wl მოცულობა ბრუნვამდე და მის შემდეგ შენარჩუნებულია და უდრის ცილინდრის Wt მოცულობის ჯამს სიმაღლით z 0 დამატებული სითხის მოცულობა პარაბოლოიდის ქვეშ, რომელიც უდრის პარაბოლოიდის Wp მოცულობას Hn სიმაღლით

თუ პარაბოლოიდი ეხება ცილინდრის ზედა კიდეს, ცილინდრში სითხის სიმაღლე ბრუნვის დაწყებამდე H ყოფს პარაბოლოიდის Hn სიმაღლეს ორ თანაბარ ნაწილად, პარაბოლოიდის ყველაზე დაბალი წერტილი (წვერო) მდებარეობს მიმართებაში. ძირამდე (ნახ. 4.6c)

გარდა ამისა, სიმაღლე H ყოფს პარაბოლოიდს ორ ნაწილად (ნახ. 4.6c), რომლის მოცულობები უდრის W 2 = W 1. პარაბოლური რგოლის W 2 და პარაბოლური ჭიქის W 1 მოცულობების ტოლობიდან, სურ. 4.6c

როდესაც პარაბოლოიდის ზედაპირი კვეთს ჭურჭლის ფსკერს (ნახ. 4.7) W 1 =W 2 =0.5W ბეჭედი

ნახ. 4.7 მოცულობები და სიმაღლეები, როდესაც პარაბოლოიდის ზედაპირი კვეთს ცილინდრის ფსკერს

სიმაღლეები ნახ. 4.6

ტომები ნახ. 4.6.

მდებარეობა თავისუფალი ზედაპირიჭურჭელში

სურ.4.8. ბრუნვის დროს შედარებითი დასვენების სამი შემთხვევა

1. თუ ჭურჭელი ღიაა, Po = Ratm (ნახ. 4.8a). ბრუნვის დროს პარაბოლოიდის ზევით ეცემა საწყისი დონის-H-ს ქვემოთ, ხოლო კიდეები მაღლა იწევს საწყის დონეზე, ზედა პოზიციაზე.

2. თუ ჭურჭელი მთლიანად შევსებულია, დაფარულია სახურავით, არ აქვს თავისუფალი ზედაპირი, იმყოფება ჭარბი წნევის ქვეშ Po>Patm, ბრუნვამდე ზედაპირი (PP), რომელზეც Po=Patm იქნება სახურავის დონის ზემოთ სიმაღლეზე. h 0i =M/ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. თუ ჭურჭელი მთლიანად ივსება, ის ვაკუუმ Po-შია<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. ბრუნვა მაღალი კუთხური სიჩქარით (ნახ. 4.9)

როდესაც სითხის შემცველი ჭურჭელი ბრუნავს მაღალი კუთხური სიჩქარით, მიზიდულობის ძალა შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს ცენტრიდანულ ძალებთან შედარებით. სითხეში წნევის ცვლილების კანონის მიღება შესაძლებელია ფორმულიდან

(4.22),

დონის ზედაპირები ქმნიან ცილინდრებს საერთო ღერძით, რომლის გარშემოც ჭურჭელი ბრუნავს. თუ ჭურჭელი ბოლომდე არ ივსება როტაციის დაწყებამდე, წნევა P 0 იმოქმედებს რადიუსის გასწვრივ r = r 0 , გამოთქმის ნაცვლად (4.22) გვექნება

რომელშიც ვიღებთ g(z 0 - z) = 0,

ბრინჯი. 4.9 ბრუნვის ზედაპირების მდებარეობა გრავიტაციის არარსებობის პირობებში.

შიდა ზედაპირის რადიუსი ცნობილი H და h

არსებობს ორი სახის პარაბოლოიდები: ელიფსური და ჰიპერბოლური.

ელიფსური პარაბოლოიდიარის ზედაპირი, რომელიც დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების ზოგიერთ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით

ელიფსურ პარაბოლოიდს აქვს უსასრულო ამოზნექილი თასის ფორმა. მას აქვს სიმეტრიის ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული სიბრტყე. წერტილს, რომლითაც არის შერწყმული კოორდინატების საწყისი, ეწოდება ელიფსური პარაბოლოიდის წვერო; p და q რიცხვებს მის პარამეტრებს უწოდებენ.

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი არის განტოლებით განსაზღვრული ზედაპირი

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდიუნაგირის ფორმა აქვს. მას აქვს სიმეტრიის ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული სიბრტყე. წერტილს, რომელთანაც კოორდინატების საწყისია გაერთიანებული, ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის წვერო ეწოდება; ნომრები რდა ქმის პარამეტრებს უწოდებენ.

სავარჯიშო 8.4.განვიხილოთ ფორმის ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის აგება

მოდით, საჭირო გახდეს პარაბოლოიდის ნაწილის აგება დიაპაზონებში: xО[–3; 3], ზეО[–2; 2] ნაბიჯით D=0.5 ორივე ცვლადისთვის.

აღსრულება. ჯერ უნდა ამოხსნათ ცვლადის განტოლება ზ.მაგალითში

მოდით შევიტანოთ ცვლადის მნიშვნელობები Xსვეტამდე ა. ამისათვის, საკანში A1შეიყვანეთ სიმბოლო X.უჯრედამდე A2შეყვანილია არგუმენტის პირველი მნიშვნელობა - დიაპაზონის მარცხენა ზღვარი (–3). უჯრედამდე A3- არგუმენტის მეორე მნიშვნელობა არის დიაპაზონის მარცხენა ზღვარი პლუს მშენებლობის საფეხური (–2,5). შემდეგ, შეარჩიეთ უჯრედების ბლოკი A2: AZავტომატური შევსების გამოყენებით ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობას (ბლოკის ქვედა მარჯვენა კუთხე უჯრედში გადაიტანეთ A14).

ცვლადი მნიშვნელობები ზეშედი ხაზში 1 . ამისათვის, საკანში B1შეყვანილია ცვლადის პირველი მნიშვნელობა - დიაპაზონის მარცხენა ზღვარი (–2). უჯრედამდე C1- ცვლადის მეორე მნიშვნელობა - დიაპაზონის მარცხენა ზღვარი პლუს მშენებლობის საფეხური (– 1,5). შემდეგ, შეარჩიეთ უჯრედების ბლოკი B1:C1ავტომატური შევსებით ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობას (ბლოკის ქვედა მარჯვენა კუთხე უჯრედში გადავიტანეთ J1).

შემდეგი, შეიყვანეთ ცვლადის მნიშვნელობები ზ.ამისათვის ცხრილის კურსორი უნდა განთავსდეს უჯრედში B2და შეიყვანეთ ფორმულა - = $A2^2/18 -B$1^2/8,შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს შედი. საკანში B2ჩნდება 0. ახლა თქვენ უნდა დააკოპიროთ ფუნქცია უჯრედიდან B2. ამისათვის გამოიყენეთ ავტომატური შევსება (ნახაზი მარჯვნივ), რათა დააკოპიროთ ეს ფორმულა პირველ რიგში დიაპაზონში B2: J2, შემდეგ (ჩამოწევით) - დიაპაზონში B2: J14.

შედეგად, დიაპაზონში B2: J14გამოჩნდება ჰიპერბოლური პარაბოლოიდური წერტილების ცხრილი.

ინსტრუმენტთა პანელზე დიაგრამის დასახვა სტანდარტულითქვენ უნდა დააჭიროთ ღილაკს გრაფიკის ოსტატი. დიალოგურ ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება გრაფიკის ოსტატი (ნაბიჯი 1 / 4): დიაგრამის ტიპიმიუთითეთ დიაგრამის ტიპი - ზედაპირიდა ნახვა - მავთულის (გამჭვირვალე) ზედაპირი(ზედა მარჯვენა დიაგრამა მარჯვენა ფანჯარაში). შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს შემდეგიდიალოგურ ფანჯარაში.

დიალოგურ ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება გრაფიკის ოსტატი (ნაბიჯი 2 / 4): მონაცემთა წყაროჩარტებში, თქვენ უნდა აირჩიოთ ჩანართი დიაპაზონიმონაცემები და სფეროში დიაპაზონიგამოიყენეთ მაუსი, რათა მიუთითოთ მონაცემთა ინტერვალი B2: J14.

შემდეგი, თქვენ უნდა მიუთითოთ სტრიქონები ან სვეტები, სადაც განთავსებულია მონაცემთა რიგები. ეს განსაზღვრავს ღერძების ორიენტაციას Xდა u.მაგალითში გადამრთველი რიგებიმაუსის მაჩვენებლის გამოყენებით დააყენეთ იგი სვეტების პოზიციაზე.

აირჩიეთ Row ჩანართი და ველში X-ღერძის ეტიკეტებიმიუთითეთ ხელმოწერების დიაპაზონი. ამისათვის გააქტიურეთ ეს ველი მასში მაუსის მაჩვენებლის დაწკაპუნებით და შეიყვანეთ ღერძების ეტიკეტების დიაპაზონი X -A2: A14.

შეიყვანეთ ღერძის ეტიკეტების მნიშვნელობები u.ამისათვის სამუშაო სფეროში მწკრივიაირჩიეთ პირველი ჩანაწერი რიგი 1და სამუშაო ველის გააქტიურებით სახელიმაუსის მაჩვენებლით შეიყვანეთ ცვლადის პირველი მნიშვნელობა y: -2.შემდეგ მინდორში მწკრივიაირჩიეთ მეორე ჩანაწერი რიგი 2და სამუშაო სფეროში სახელიშეიყვანეთ ცვლადის მეორე მნიშვნელობა y: –1,5.გაიმეორეთ ასე ბოლო ჩანაწერამდე - რიგი 9.

საჭირო ჩანაწერების გამოჩენის შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს შემდეგი.

მესამე ფანჯარაში თქვენ უნდა შეიყვანოთ დიაგრამის სათაური და ღერძების სახელები. ამისათვის აირჩიეთ ჩანართი სათაურებიმასზე მაუსის მაჩვენებლით დაჭერით. შემდეგ სამუშაო ველზე დიაგრამის სათაურიშეიყვანეთ სახელი კლავიატურიდან: ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი.შემდეგ ანალოგიურად შედით სამუშაო ველებში X-ღერძი (კატეგორიები),Y ღერძი (მონაცემთა სერია)და Z ღერძი (მნიშვნელობები)შესაბამისი სახელები: x, yდა ზ.

ელიფსოიდი არის ზედაპირი, რომლის განტოლება გარკვეულ მართკუთხაშია დეკარტის სისტემაკოორდინატები Oxyz-ს აქვს ფორმა, სადაც a ^ b ^ c > 0. იმისათვის, რომ გავიგოთ, როგორ გამოიყურება ელიფსოიდი, ვაგრძელებთ შემდეგნაირად. ავიღოთ ელიფსი Oxz-ის სიბრტყეზე და მოვატრიალოთ ოზის ღერძის გარშემო (სურ. 46). სურ.46 მიღებული ზედაპირი არის ელიფსოიდი. ჰიპერბოლოიდები. პარაბოლოიდები. ცილინდრები და მეორე რიგის კონუსი. - ბრუნვის ელიფსოიდი - უკვე იძლევა წარმოდგენას, თუ როგორ არის აგებული ელიფსოიდი ზოგადი ხედი . მისი განტოლების მისაღებად საკმარისია რევოლუციის ელიფსოიდის თანაბრად შეკუმშვა Oy ღერძის გასწვრივ კოეფიციენტით J ^!, t.c. შეცვალეთ y მის განტოლებაში Jt/5-ით). 10.2. ჰიპერბოლოიდები ატრიალებენ ჰიპერბოლას fl i! = a2 c2 1 Oz ღერძის გარშემო (ნახ. 47), ვიღებთ ზედაპირს, რომელსაც ეწოდება რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი. მისი განტოლებაა *2 + y; მიიღება ისევე, როგორც რევოლუციის ელიფსოიდის შემთხვევაში. 5) ბრუნვის ელიფსოიდის მიღება შესაძლებელია სფეროს ერთგვაროვანი შეკუმშვით +yJ + *J = l" Oz ღერძის გასწვრივ კოეფიციენტით ~ ^ 1. ამ ზედაპირის ერთგვაროვანი შეკუმშვით Oy ღერძის გასწვრივ კოეფიციენტით 2 ^ 1. ჩვენ ვიღებთ ერთფურცლიან ჰიპერბოლოიდს. მისი განტოლება არის ჰიპერბოლოიდები O ღერძი, ჩვენ ვიღებთ ორფურცლიან ჰიპერბოლოიდს (ნახ. 48) ამ ზედაპირის ერთგვაროვანი შეკუმშვით ღერძის გასწვრივ 2 ^ 1-ის შეცვლით -y-ით ვიღებთ მის განტოლებას Oz ღერძის გარშემო პარაბოლის მობრუნებით (ნახ. 49), ვიღებთ ბრუნვის პარაბოლოიდს x2 + y2 = 2 pz ღერძის გასწვრივ yj* ^ 1. ვიღებთ ელიფსურ პარაბოლოიდს მისი განტოლება მიიღება ბრუნვის პარაბოლოიდის განტოლებიდან If, მაშინ ვიღებთ პარაბოლოიდს ნახ. 50. 10.4. ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი არის ზედაპირი, რომლის განტოლება გარკვეულ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxyz აქვს ფორმას, სადაც p > 0, q > 0. ამ ზედაპირის ტიპს განვსაზღვრავთ ე.წ. მონაკვეთის მეთოდით, რომელიც შედგება შემდეგისაგან. : კოორდინატთა სიბრტყეების პარალელურად გამოყვანილია სიბრტყეები, რომლებიც კვეთენ შესასწავლ ზედაპირს და მიღებული ბრტყელი მოსახვევების კონფიგურაციის შეცვლით კეთდება დასკვნა თავად ზედაპირის აგებულების შესახებ. დავიწყოთ განყოფილებებით სიბრტყეების მიხედვით z = h = const, Oxy კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურად. h > 0-ისთვის, ვიღებთ ჰიპერბოლებს h - კონიუგატიური ჰიპერბოლებისთვის, ხოლო - წყვილი გადამკვეთი სწორი წრფეებისთვის. მოდით გამოვყოთ მიღებული მრუდები Oxy-ის სიბრტყეზე. ვიღებთ შემდეგ სურათს (სურ. 51). მხოლოდ ეს მოსაზრება გვაძლევს საშუალებას გამოვიტანოთ დასკვნა განსახილველი ზედაპირის უნაგირისებური აგებულების შესახებ (სურ. 52). ნახ.51 ნახ.52 ახლა განვიხილოთ განყოფილებები სიბრტყეების მიხედვით, განტოლებაში y ზედაპირების A-ით ჩანაცვლებით, მივიღებთ პარაბოლების განტოლებებს (ნახ. 53). მსგავსი სურათი წარმოიქმნება მოცემული ზედაპირის სიბრტყეებით ჭრისას ამ შემთხვევაში ასევე მიიღება პარაბოლები, რომელთა ტოტები მიმართულია ქვევით (და არა ზევით, როგორც სიბრტყეებით ჭრისას) (სურ. 54). ფერდობზერეალური X ღერძი არის 3; გ) პარაბოლა У2 = , წვერო (3, 2), პარაბოლის ჩაღრმავებისკენ მიმართული ღერძის ვექტორი უდრის (-2, -1); დ) ჰიპერბოლა ცენტრით, ასიმპტოტები კოორდინატთა ღერძების პარალელურად; ე) გადამკვეთი წრფეების წყვილი ვ) პარალელური წრფეების წყვილი