კონვერგენციის საკმარისი ნიშნები. რიცხვთა რიგის დაახლოების ნიშნები. მიეცით ორი დადებითი ნიშნის სერია

უმაღლესი მათემატიკა

ნომრების სერია

ლექცია.ნომრების სერია

1. რიცხვითი რიგის განმარტება. კონვერგენცია

2. რიცხვთა რიგის ძირითადი თვისებები

3. სერია დადებითი პირობებით. კონვერგენციის ნიშნები

4. ალტერნატიული რიგები. ლაიბნიცის კონვერგენციის ტესტი

5. ალტერნატიული სერია

თვითტესტის კითხვები

ლიტერატურა

ლექცია. რიცხვითი სერია

1. რიცხვითი რიგის განმარტება. კონვერგენცია.

2. რიცხვთა რიგის ძირითადი თვისებები.

3. სერია დადებითი პირობებით. კონვერგენციის ნიშნები.

4. ალტერნატიული რიგები. ლაიბნიცის კონვერგენციის ტესტი.

5. ალტერნატიული სერია.

1. რიცხვითი რიგის განმარტება. კონვერგენცია

მათემატიკურ აპლიკაციებში, ასევე ეკონომიკის, სტატისტიკისა და სხვა დარგების ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას განიხილება ჯამები უსასრულო რაოდენობის ტერმინებით. აქ ჩვენ მივცემთ განმარტებას, თუ რა იგულისხმება ასეთ თანხებში.

მიეცით უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა

, , …, , …

განმარტება 1.1. ნომრების სერია ან უბრალოდ ახლოსფორმის გამოხატულება (ჯამს) ეწოდება

. (1.1) ეძახიან ნომრის წევრები, – გენერალიან ნ – მსერიის წევრი.

სერიის (1.1) დასადგენად საკმარისია მიუთითოთ ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია

სერიის მეათე წევრის გამოთვლა მისი რიცხვით

მაგალითი 1.1. დაე

. მწკრივი (1.2)

დაურეკა ჰარმონიული სერია .

მაგალითი 1.2. დაე

, მწკრივი (1.3)

დაურეკა განზოგადებული ჰარმონიული სერია. განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როცა

მიიღება ჰარმონიული სერია.

მაგალითი 1.3. დაე

= . მწკრივი (1.4)

დაურეკა გეომეტრიულ პროგრესირებასთან ახლოს.

სერიების (1.1) პირობებიდან ვქმნით რიცხვით ნაწილობრივების თანმიმდევრობათანხებისად

– სერიის პირველი ტერმინების ჯამი, რომელსაც ე.წ ნ-ნაწილობრივი თანხა, ანუ , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

რიცხვების თანმიმდევრობა

რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით მას შეუძლია:

1) აქვს სასრული ზღვარი;

2) არ აქვს სასრული ლიმიტი (ლიმიტი არ არსებობს ან უდრის უსასრულობას).

განმარტება 1.2. სერია (1.1) ე.წ კონვერგენტული,თუ მისი ნაწილობრივი ჯამების (1.5) მიმდევრობას აქვს სასრული ზღვარი, ე.ი.

ამ შემთხვევაში ნომერი

დაურეკა თანხასერია (1.1) და იწერება .

განმარტება 1.3.სერია (1.1) ე.წ განსხვავებული,თუ მის ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობას არ აქვს სასრული ზღვარი.

არავითარი ჯამი არ არის მინიჭებული განსხვავებული სერიებისთვის.

ამრიგად, კონვერგენტული სერიის (1.1) ჯამის პოვნის პრობლემა უდრის მისი ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის ზღვრის გამოთვლას.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1.4.დაამტკიცე რომ სერია

იყრის თავს და იპოვის მის ჯამს.

ჩვენ ვიპოვით ნ- ამ სერიის ნაწილობრივი ჯამი

.

გენერალური წევრი

მოდით წარმოვადგინოთ სერია ფორმაში.

აქედან გვაქვს:

. მაშასადამე, ეს რიგი იყრის თავს და მისი ჯამი 1-ის ტოლია:

მაგალითი 1.5. შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის

(1.6)

ამ რიგისთვის

. ამიტომ, ეს სერია განსხვავდება.

კომენტარი. ზე

სერია (1.6) არის უსასრულო რაოდენობის ნულების ჯამი და აშკარად კონვერგენტულია.

მაგალითი 1.6.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის

(1.7)

ამ რიგისთვის

ამ შემთხვევაში, ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის ზღვარი არის

არ არსებობს და სერია განსხვავდება.

მაგალითი 1.7.შეისწავლეთ გეომეტრიული პროგრესიის სერია (1.4) კონვერგენციისთვის:

ამის ჩვენება ადვილია ნ- გეომეტრიული პროგრესიის რიგის ნაწილობრივი ჯამი at

მოცემულია ფორმულით.

განვიხილოთ შემთხვევები:

შემდეგ და.

მაშასადამე, რიგი იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის

ეს სტატია არის სტრუქტურირებული და დეტალური ინფორმაცია, რაც შეიძლება სასარგებლო იყოს სავარჯიშოებისა და ამოცანების გაანალიზებისას. განვიხილავთ რიცხვთა სერიების თემას.

ეს სტატია იწყება ძირითადი განმარტებებითა და ცნებებით. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყენებთ სტანდარტულ ვარიანტებს და შევისწავლით ძირითად ფორმულებს. მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, სტატიაში მოცემულია ძირითადი მაგალითები და ამოცანები.

ძირითადი თეზისები

ჯერ წარმოვიდგინოთ სისტემა: a 1 , a 2 . . . , ა ნ , . . . , სადაც a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

მაგალითად, ავიღოთ ისეთი რიცხვები, როგორიცაა: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

განმარტება 1

რიცხვების სერია არის ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + ტერმინების ჯამი. . . + a n + . . . .

განმარტების უკეთ გასაგებად, განვიხილოთ მოცემული შემთხვევა, რომელშიც q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

განმარტება 2

კ არის ზოგადი ან k –thსერიის წევრი.

ეს დაახლოებით ასე გამოიყურება - 16 · - 1 2 კ.

განმარტება 3

სერიების ნაწილობრივი ჯამიასე გამოიყურება S n = a 1 + a 2 +. . . + a n, რომელშიც ნ- ნებისმიერი ნომერი. S n არის nthსერიის ჯამი.

მაგალითად, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k არის S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . ქმნიან რიცხვთა უსასრულო მიმდევრობას.

ზედიზედ nthჯამი გვხვდება ფორმულით S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი ჯამების შემდეგ თანმიმდევრობას: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

განმარტება 4

სერია ∑ k = 1 ∞ a k არის კონვერგენტულიროდესაც მიმდევრობას აქვს სასრული ზღვარი S = lim S n n → + ∞. თუ ზღვარი არ არის ან მიმდევრობა უსასრულოა, მაშინ ∑ k = 1 ∞ a k სერია ეწოდება. განსხვავებული.

განმარტება 5

კონვერგენტული სერიის ჯამი∑ k = 1 ∞ a k არის მიმდევრობის ზღვარი ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S.

ამ მაგალითში, lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, მწკრივი ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 კ იყრის თავს. ჯამი არის 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

მაგალითი 1

განსხვავებული სერიის მაგალითია გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი ერთზე მეტი მნიშვნელით: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

n-ე ნაწილობრივი ჯამი მოცემულია S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, ხოლო ნაწილობრივი ჯამების ზღვარი უსასრულოა: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

განსხვავებული რიცხვების სერიის კიდევ ერთი მაგალითია ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + ფორმის ჯამი. . . . ამ შემთხვევაში, n-ე ნაწილობრივი ჯამი შეიძლება გამოითვალოს როგორც Sn = 5n. ნაწილობრივი ჯამების ზღვარი არის უსასრულო lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

განმარტება 6

იგივე ფორმის ჯამი, როგორც ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - ეს ჰარმონიულირიცხვების სერია.

განმარტება 7

ჯამი ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 n s + . . . , სად ს- რეალური რიცხვი, არის განზოგადებული ჰარმონიული რიცხვების სერია.

ზემოთ განხილული განმარტებები დაგეხმარებათ მაგალითებისა და პრობლემების უმეტესობის გადაჭრაში.

განმარტებების დასასრულებლად საჭიროა გარკვეული განტოლებების დამტკიცება.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k - განსხვავებული.

ჩვენ ვიყენებთ საპირისპირო მეთოდს. თუ ის ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ ზღვარი სასრულია. განტოლება შეგვიძლია დავწეროთ როგორც lim n → + ∞ S n = S და lim n → + ∞ S 2 n = S. გარკვეული მოქმედებების შემდეგ ვიღებთ ტოლობას l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

წინააღმდეგ,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

მართებულია შემდეგი უტოლობა: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . მივიღებთ, რომ S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . გამოთქმა S 2 n - S n > 1 2 მიუთითებს, რომ lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 არ არის მიღწეული. სერია განსხვავებულია.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

აუცილებელია იმის დადასტურება, რომ რიცხვთა თანმიმდევრობის ჯამი ემთხვევა q-ზე< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

ზემოაღნიშნული განმარტებების მიხედვით თანხა ნპირობები განისაზღვრება ფორმულის მიხედვით S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

თუ ქ< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ რიცხვების სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . ჯამები შეიძლება მოიძებნოს S n = b 1 · n ფორმულის გამოყენებით, ზღვარი არის უსასრულო lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. წარმოდგენილ ვერსიაში სერია განსხვავდება.

თუ q = - 1, მაშინ სერია ჰგავს b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . ნაწილობრივი ჯამები გამოიყურება S n = b 1 კენტისთვის ნდა S n = 0 ლუწისთვის ნ. ამ საქმის განხილვის შემდეგ, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ არ არსებობს ლიმიტი და სერია განსხვავებულია.

იყიდება q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ რიცხვების სერია განსხვავდება.

1. რიგი ∑ k = 1 ∞ 1 k s იყრის თავს თუ s > 1და განსხვავდება, თუ s ≤ 1.

ამისთვის s = 1ვიღებთ ∑ k = 1 ∞ 1 k, სერია განსხვავდება.

როცა ს< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для კ,ბუნებრივი რიცხვი. ვინაიდან სერია განსხვავებულია ∑ k = 1 ∞ 1 k , ლიმიტი არ არსებობს. ამის შემდეგ, ∑ k = 1 ∞ 1 k s მიმდევრობა შეუზღუდავია. ჩვენ ვასკვნით, რომ შერჩეული სერია განსხვავდება, როდესაც ს< 1 .

აუცილებელია იმის მტკიცებულება, რომ სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k s თანხვედრაშია s > 1.

წარმოვიდგინოთ S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) წმ

დავუშვათ, რომ 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

წარმოვიდგინოთ განტოლება რიცხვებისთვის, რომლებიც ნატურალურია და ლუწი n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

ჩვენ ვიღებთ:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 წ + 1 8 წ + . . . + 1 15 წ + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

გამოხატულებაა 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . არის გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი q = 1 2 s - 1. პირველადი მონაცემებით ქ s > 1, შემდეგ 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1იზრდება და შემოიფარგლება ზემოდან 1 1 - 1 2 s - 1 . წარმოვიდგინოთ, რომ არსებობს ზღვარი და რიგი კონვერგენტულია ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

განმარტება 8

სერია ∑ k = 1 ∞ a k დადებითია ამ შემთხვევაში, თუ მისი წევრები > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

სერია ∑ k = 1 ∞ b k სიგნალიზაცია, თუ რიცხვების ნიშნები განსხვავებულია. ეს მაგალითი წარმოდგენილია როგორც ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k ან ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , სადაც k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

სერია ∑ k = 1 ∞ b k მონაცვლეობით, რადგან ის შეიცავს ბევრ რიცხვს, უარყოფითს და დადებითს.

მეორე რიგის ვარიანტია განსაკუთრებული შემთხვევამესამე ვარიანტი.

აქ მოცემულია მაგალითები თითოეული შემთხვევისთვის, შესაბამისად:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

მესამე ვარიანტისთვის ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია.

განმარტება 9

ალტერნატიული სერია ∑ k = 1 ∞ b k აბსოლუტურად კონვერგენტულია იმ შემთხვევაში, როდესაც ∑ k = 1 ∞ b k ასევე ითვლება კონვერგენტურად.

მოდით განვიხილოთ რამდენიმე ტიპიური ვარიანტი დეტალურად.

მაგალითი 2

თუ რიგები არის 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . და 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . განისაზღვრება როგორც კონვერგენტული, მაშინ სწორია ვივარაუდოთ, რომ 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

განმარტება 10

ალტერნატიული სერია ∑ k = 1 ∞ b k ითვლება პირობითად კონვერგენტურად, თუ ∑ k = 1 ∞ b k არის განსხვავებული, ხოლო სერია ∑ k = 1 ∞ b k ითვლება კონვერგენტურად.

მაგალითი 3

მოდით დეტალურად განვიხილოთ ვარიანტი ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . სერია ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, რომელიც შედგება აბსოლუტური სიდიდეებისგან, განისაზღვრება როგორც დივერგენტული. ეს ვარიანტი განიხილება კონვერგენციულად, რადგან მისი დადგენა მარტივია. ამ მაგალითიდან ვიგებთ, რომ სერია ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . ჩაითვლება პირობითად კონვერენტულად.

კონვერგენტული სერიების მახასიათებლები

მოდით გავაანალიზოთ თვისებები გარკვეული შემთხვევებისთვის

1. თუ ∑ k = 1 ∞ a k იყრის თავს, მაშინ სერია ∑ k = m + 1 ∞ a k ასევე ითვლება კონვერგენტურად. შეიძლება აღინიშნოს, რომ რიგის გარეშე მტერმინები ასევე ითვლება კონვერგენტურად. თუ რამდენიმე რიცხვს დავუმატებთ ∑ k = m + 1 ∞ a k-ს, მაშინ მიღებული შედეგიც კონვერგენტული იქნება.
2. თუ ∑ k = 1 ∞ a k იყრის თავს და ჯამი = ს, მაშინ ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S ასევე იყრის თავს, სადაც ა- მუდმივი.
3. თუ ∑ k = 1 ∞ a k და ∑ k = 1 ∞ b k კონვერგენტულია, ჯამები ადა ბასევე, მაშინ ∑ k = 1 ∞ a k + b k და ∑ k = 1 ∞ a k - b k ასევე იყრიან თავს. თანხები თანაბარი იქნება A+Bდა A - Bშესაბამისად.

მაგალითი 4

დაადგინეთ, რომ სერიები იყრის თავს ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

შევცვალოთ გამოთქმა ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 ითვლება კონვერგენტურად, რადგან სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k s იყრის თავს, როდესაც s > 1. მეორე თვისების მიხედვით, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

მაგალითი 5

დაადგინეთ არის თუ არა ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 რიგი.

მოდით გადავცვალოთ ორიგინალური ვერსია ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ .

მივიღებთ ჯამს ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 და ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . თითოეული სერია განიხილება კონვერგენტული თვისების მიხედვით. ასე რომ, როგორც სერიები იყრის თავს, ასევე ხდება ორიგინალური ვერსია.

მაგალითი 6

გამოთვალეთ 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + თანმიმდევრული სერია. . . და გამოთვალეთ თანხა.

მოდით გავაფართოვოთ ორიგინალური ვერსია:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

თითოეული სერია იყრის თავს, რადგან ის რიცხვთა მიმდევრობის ერთ-ერთი წევრია. მესამე თვისების მიხედვით შეგვიძლია გამოვთვალოთ, რომ თავდაპირველი ვერსიაც კონვერგენტულია. ჩვენ ვიანგარიშებთ ჯამს: სერიის პირველი წევრი ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 და მნიშვნელი = 0. 5, ამას მოსდევს ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. პირველი წევრია ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, ხოლო კლებადი რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელი = 1 3. ვიღებთ: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

ჩვენ ვიყენებთ ზემოთ მიღებულ გამონათქვამებს ჯამის დასადგენად 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

აუცილებელი პირობა იმის დასადგენად, არის თუ არა სერია კონვერგენტული

განმარტება 11

თუ ∑ k = 1 ∞ a k სერია კონვერგენტულია, მაშინ მისი ზღვარი ქთვადა = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

თუ რომელიმე ვარიანტს შევამოწმებთ, არ უნდა დავივიწყოთ შეუცვლელი პირობა. თუ ის არ შესრულდა, მაშინ სერია განსხვავდება. თუ lim k → + ∞ a k ≠ 0, მაშინ სერია განსხვავებულია.

უნდა განვმარტოთ, რომ მდგომარეობა მნიშვნელოვანია, მაგრამ არა საკმარისი. თუ თანასწორობა lim k → + ∞ a k = 0 მოქმედებს, მაშინ ეს არ იძლევა გარანტიას, რომ ∑ k = 1 ∞ a k კონვერგენტულია.

მოვიყვანოთ მაგალითი. ჰარმონიული სერიისთვის ∑ k = 1 ∞ 1 k პირობა დაკმაყოფილებულია lim k → + ∞ 1 k = 0, მაგრამ სერია მაინც განსხვავდება.

მაგალითი 7

განსაზღვრეთ კონვერგენცია ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.

შევამოწმოთ პირობის ორიგინალური გამოხატულება lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

ლიმიტი nthწევრი არ არის 0-ის ტოლი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ეს სერია განსხვავდება.

როგორ განვსაზღვროთ დადებითი სერიის კონვერგენცია.

თუ თქვენ მუდმივად იყენებთ ამ მახასიათებლებს, მოგიწევთ მუდმივად გამოთვალოთ ლიმიტები. ეს განყოფილება დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ სირთულეები მაგალითებისა და პრობლემების გადაჭრისას. დადებითი სერიის კონვერგენციის დასადგენად, არსებობს გარკვეული პირობა.

დადებითი ნიშნის კონვერგენციისთვის ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . აუცილებელია ჯამების შეზღუდული თანმიმდევრობის დადგენა.

როგორ შევადაროთ სერიები

სერიების შედარების რამდენიმე ნიშანი არსებობს. ჩვენ შევადარებთ სერიას, რომლის დაახლოებაც შემოთავაზებულია განისაზღვროს იმ სერიებთან, რომლის კონვერგენცია ცნობილია.

პირველი ნიშანი

∑ k = 1 ∞ a k და ∑ k = 1 ∞ b k დადებითი ნიშნების სერიაა. მართებულია a k ≤ b k უტოლობა k = 1, 2, 3, ...აქედან გამომდინარეობს, რომ ∑ k = 1 ∞ b k სერიიდან შეგვიძლია მივიღოთ ∑ k = 1 ∞ a k. ვინაიდან ∑ k = 1 ∞ a k არის განსხვავებული, სერია ∑ k = 1 ∞ b k შეიძლება განისაზღვროს, როგორც დივერგენტული.

ეს წესი მუდმივად გამოიყენება განტოლებების ამოსახსნელად და წარმოადგენს სერიოზულ არგუმენტს, რომელიც ხელს შეუწყობს კონვერგენციის დადგენას. სირთულე შეიძლება მდგომარეობდეს იმაში, რომ შეუძლებელია ყველა შემთხვევაში შედარებისთვის შესაფერისი მაგალითის პოვნა. საკმაოდ ხშირად, სერია შეირჩევა იმ პრინციპის მიხედვით, რომ მაჩვენებელი ქთწევრი იქნება მრიცხველისა და მნიშვნელის გამოკლების შედეგის ტოლი ქთსერიის წევრი. დავუშვათ, რომ a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , სხვაობა ტოლი იქნება 2 – 3 = - 1 . IN ამ შემთხვევაშიშეიძლება დადგინდეს, რომ შედარებისთვის სერია კ-ეტერმინი b k = k - 1 = 1 k, რომელიც ჰარმონიულია.

მიღებული მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, დეტალურად განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ ვარიანტს.

მაგალითი 8

დაადგინეთ რა არის ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 სერია.

ვინაიდან ლიმიტი = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, ჩვენ გავაკეთეთ აუცილებელი პირობა. უტოლობა იქნება სამართლიანი 1 k< 1 k - 1 2 для კ,რომლებიც ბუნებრივია. წინა აბზაცებიდან გავიგეთ, რომ ჰარმონიული სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k განსხვავებულია. პირველი კრიტერიუმის მიხედვით, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ორიგინალური ვერსია განსხვავებულია.

მაგალითი 9

დაადგინეთ სერია კონვერგენტულია თუ განსხვავებული ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

ამ მაგალითში აუცილებელი პირობა დაკმაყოფილებულია, ვინაიდან lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. ჩვენ წარმოვადგენთ მას, როგორც უტოლობა 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения კ. სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 არის კონვერგენტული, რადგან ჰარმონიული სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k s იყრის თავს s > 1. პირველი კრიტერიუმის მიხედვით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ რიცხვების სერია კონვერგენტულია.

მაგალითი 10

დაადგინეთ რა არის ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) რიგი. lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

ამ პარამეტრში შეგიძლიათ მონიშნოთ სასურველი პირობის შესრულება. მოდით განვსაზღვროთ სერია შედარებისთვის. მაგალითად, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. იმის დასადგენად, თუ რა არის ხარისხი, განიხილეთ თანმიმდევრობა (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . მიმდევრობის წევრები ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . იზრდება უსასრულობამდე. განტოლების გაანალიზების შემდეგ შეგვიძლია აღვნიშნოთ, რომ მნიშვნელობად ავიღებთ N = 1619, შემდეგ მიმდევრობის ტერმინებს > 2. ამ მიმდევრობისთვის უტოლობა 1 k ln (ln k) იქნება ჭეშმარიტი< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

მეორე ნიშანი

დავუშვათ, რომ ∑ k = 1 ∞ a k და ∑ k = 1 ∞ b k დადებითი რიცხვების სერიაა.

თუ lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , მაშინ სერია ∑ k = 1 ∞ b k იყრის თავს და ∑ k = 1 ∞ a k ასევე იყრის თავს.

თუ lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, მაშინ ვინაიდან ∑ k = 1 ∞ b k სერია განსხვავდება, მაშინ ∑ k = 1 ∞ a k ასევე განსხვავდება.

თუ lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ და lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, მაშინ რიგის დაახლოება ან დივერგენცია ნიშნავს მეორის დაახლოებას ან განსხვავებას.

განვიხილოთ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 მეორე ნიშნის გამოყენებით. შედარებისთვის ∑ k = 1 ∞ b k ვიღებთ კონვერგენციულ სერიას ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . განვსაზღვროთ ზღვარი: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

მეორე კრიტერიუმის მიხედვით შეიძლება განისაზღვროს, რომ კონვერგენტული სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ნიშნავს, რომ თავდაპირველი ვერსიაც იყრის თავს.

მაგალითი 11

დაადგინეთ რა არის ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 რიგი.

გავაანალიზოთ აუცილებელი პირობა lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, რომელიც დაკმაყოფილებულია ამ ვერსიაში. მეორე კრიტერიუმის მიხედვით ავიღოთ სერია ∑ k = 1 ∞ 1 k . ჩვენ ვეძებთ ლიმიტს: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

ზემოაღნიშნული თეზისების მიხედვით, განსხვავებული სერია იწვევს ორიგინალური სერიების განსხვავებას.

მესამე ნიშანი

განვიხილოთ შედარების მესამე ნიშანი.

დავუშვათ, რომ ∑ k = 1 ∞ a k და _ ∑ k = 1 ∞ b k დადებითი რიცხვების სერიაა. თუ პირობა დაკმაყოფილებულია გარკვეული რიცხვისთვის a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k, მაშინ ამ სერიის დაახლოება ∑ k = 1 ∞ b k ნიშნავს, რომ ∑ k = 1 ∞ a k სერია ასევე კონვერგენტულია. დივერგენციული სერია ∑ k = 1 ∞ a k იწვევს დივერგენციას ∑ k = 1 ∞ b k.

დ'ალბერტის ნიშანი

წარმოვიდგინოთ, რომ ∑ k = 1 ∞ a k არის დადებითი რიცხვების სერია. თუ lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, შემდეგ განსხვავებული.

შენიშვნა 1

დ'ალმბერის ტესტი მართებულია, თუ ზღვარი უსასრულოა.

თუ lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , მაშინ რიგი კონვერგენტულია, თუ lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , მაშინ ის განსხვავებულია.

თუ lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, მაშინ d’Alembert-ის ნიშანი არ დაგვეხმარება და საჭირო იქნება კიდევ რამდენიმე კვლევა.

მაგალითი 12

დაადგინეთ სერია კონვერგენტულია თუ განსხვავებული ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k დ’ალბერტის კრიტერიუმის გამოყენებით.

აუცილებელია შემოწმდეს დაკმაყოფილებულია თუ არა აუცილებელი კონვერგენციის პირობა. გამოვთვალოთ ლიმიტი L'Hopital-ის წესით: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

ჩვენ ვხედავთ, რომ პირობა შესრულებულია. გამოვიყენოთ დ'ალმბერის ტესტი: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

სერია კონვერგენტულია.

მაგალითი 13

დაადგინეთ არის თუ არა სერია განსხვავებული ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

სერიების დივერგენციის დასადგენად გამოვიყენოთ დ'ალმბერის ტესტი: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! კ კ კ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

ამიტომ, სერია განსხვავებულია.

რადიკალ კოშის ნიშანი

დავუშვათ, რომ ∑ k = 1 ∞ a k არის რიგი დადებითი ნიშნით. თუ lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, შემდეგ განსხვავებული.

შენიშვნა 2

თუ lim k → + ∞ a k k = 1, მაშინ ეს ნიშანი არ იძლევა რაიმე ინფორმაციას - საჭიროა დამატებითი ანალიზი.

ეს ფუნქცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას მაგალითებში, რომლებიც ადვილად ამოსაცნობია. ტიპიური იქნება შემთხვევა, როდესაც რიცხვითი სერიის წევრი არის ექსპონენციალური სიმძლავრის გამოხატულება.

მიღებული ინფორმაციის კონსოლიდაციის მიზნით, განვიხილოთ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი.

მაგალითი 14

დაადგინეთ არის თუ არა დადებითი ნიშნის სერია ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k კონვერგენტული.

აუცილებელი პირობაითვლება შესრულებულად, ვინაიდან lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

ზემოთ განხილული კრიტერიუმის მიხედვით ვიღებთ lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

მაგალითი 15

იყრის თუ არა რიცხვთა სერიები ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2?

ჩვენ ვიყენებთ წინა აბზაცში აღწერილ მახასიათებელს lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

ინტეგრალური კოშის ტესტი

დავუშვათ, რომ ∑ k = 1 ∞ a k არის რიგი დადებითი ნიშნით. აუცილებელია უწყვეტი არგუმენტის ფუნქციის აღნიშვნა y = f(x), რომელიც ემთხვევა n = f (n) . თუ y = f(x)ნულზე მეტი, არ წყდება და მცირდება [a; + ∞), სადაც a ≥ 1

მაშინ, თუ არასწორი ინტეგრალი ∫ a + ∞ f (x) d x კონვერგენტულია, მაშინ განსახილველი რიგიც იყრის თავს. თუ ის განსხვავდება, მაშინ განხილულ მაგალითში სერია ასევე განსხვავდება.

როდესაც ამოწმებთ, მცირდება თუ არა ფუნქცია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა გაკვეთილებში გაშუქებული მასალა.

მაგალითი 16

განვიხილოთ მაგალითი ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k კონვერგენციისთვის.

რიგის კონვერგენციის პირობა დაკმაყოფილებულად ითვლება, ვინაიდან lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . განვიხილოთ y = 1 x ln x. ის მეტია ნულზე, არ წყდება და მცირდება [2; + ∞). პირველი ორი პუნქტი დანამდვილებით ცნობილია, მაგრამ მესამე უფრო დეტალურად უნდა იყოს განხილული. იპოვეთ წარმოებული: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. ეს არის ნულზე ნაკლები [ 2 ;

სინამდვილეში, ფუნქცია y = 1 x ln x შეესაბამება იმ პრინციპის მახასიათებლებს, რომლებიც ზემოთ განვიხილეთ. მოდით გამოვიყენოთ: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

მიღებული შედეგების მიხედვით, ორიგინალური მაგალითი განსხვავდება, რადგან არასწორი ინტეგრალი განსხვავებულია.

მაგალითი 17

დაამტკიცეთ ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) რიგის კონვერგენცია 3 .

ვინაიდან lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, მაშინ პირობა დაკმაყოფილებულად ითვლება.

k = 4-ით დაწყებული, სწორი გამოხატულებაა 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

თუ სერია ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 ითვლება კონვერგენტურად, მაშინ, შედარების ერთ-ერთი პრინციპის მიხედვით, სერია ∑ k = 4 ∞ 1 (10) k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ასევე ჩაითვლება კონვერგენტურად. ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ორიგინალური გამოხატულება ასევე კონვერგენტულია.

გადავიდეთ მტკიცებულებაზე: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ვინაიდან ფუნქცია y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 ნულზე მეტია, ის არ წყდება და მცირდება [4-ით; + ∞). ჩვენ ვიყენებთ წინა აბზაცში აღწერილ ფუნქციას:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

მიღებულ კონვერგენტულ სერიაში, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 ასევე იყრის თავს.

რააბეს ნიშანი

დავუშვათ, რომ ∑ k = 1 ∞ a k არის დადებითი რიცხვების სერია.

თუ lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, შემდეგ ის იყრის თავს.

განსაზღვრის ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ ზემოთ აღწერილი ტექნიკა არ იძლევა თვალსაჩინო შედეგებს.

აბსოლუტური კონვერგენციის კვლევა

კვლევისთვის ვიღებთ ∑ k = 1 ∞ b k . ვიყენებთ დადებით ნიშანს ∑ k = 1 ∞ b k . ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნებისმიერი შესაფერისი ფუნქცია, რომელიც ზემოთ აღვწერეთ. თუ სერია ∑ k = 1 ∞ b k იყრის თავს, მაშინ თავდაპირველი სერია აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

მაგალითი 18

გამოიკვლიეთ სერია ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 კონვერგენციისთვის ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 კ - 1 .

პირობა დაკმაყოფილებულია lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0. ვიყენებთ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 და ვიყენებთ მეორე ნიშანს: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

სერია ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 იყრის თავს. ორიგინალური სერია ასევე აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

ალტერნატიული სერიების განსხვავება

თუ ∑ k = 1 ∞ b k სერია განსხვავებულია, მაშინ შესაბამისი ალტერნატიული სერია ∑ k = 1 ∞ b k არის ან განსხვავებული ან პირობითად კონვერგენტული.

მხოლოდ დ'ალმბერის ტესტი და რადიკალური კოშის ტესტი დაგეხმარებათ დასკვნის გაკეთებაში ∑ k = 1 ∞ b k მოდულისგან განსხვავებიდან ∑ k = 1 ∞ b k . სერია ∑ k = 1 ∞ b k ასევე განსხვავდება, თუ აუცილებელი კონვერგენციის პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, ანუ თუ lim k → ∞ + b k ≠ 0.

მაგალითი 19

შეამოწმეთ დივერგენცია 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

მოდული ქთტერმინი წარმოდგენილია როგორც b k = k ! 7 კ.

განვიხილოთ ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k კონვერგენციისთვის დ'ალბერტის ტესტის გამოყენებით: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 კ + 1 კ ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k განსხვავდება ისევე, როგორც ორიგინალური ვერსია.

მაგალითი 20

არის ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) კონვერგენტული.

განვიხილოთ აუცილებელი პირობა lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, ამიტომ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) სერია განსხვავებულია. ლიმიტი გამოითვალა L'Hopital-ის წესით.

პირობითი კონვერგენციის კრიტერიუმები

ლაიბნიცის ტესტი

განმარტება 12

თუ ალტერნატიული სერიის ტერმინების მნიშვნელობები მცირდება b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . და მოდულის ლიმიტი = 0, როგორც k → + ∞, შემდეგ ∑ k = 1 ∞ b k სერია იყრის თავს.

მაგალითი 17

განვიხილოთ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) კონვერგენციისთვის.

სერია წარმოდგენილია როგორც ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . დაკმაყოფილებულია აუცილებელი პირობა: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . განვიხილოთ ∑ k = 1 ∞ 1 k მეორე შედარების კრიტერიუმით lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

ჩვენ ვხვდებით, რომ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) განსხვავდება. სერია ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) იყრის თავს ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით: თანმიმდევრობა 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . მცირდება და lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

სერია პირობითად იყრის თავს.

აბელ-დირიხლეს ტესტი

განმარტება 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k იყრის თავს, თუ ( u k ) არ იზრდება და ∑ k = 1 + ∞ v k მიმდევრობა შემოიფარგლება.

მაგალითი 17

გამოიკვლიეთ 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . კონვერგენციისთვის.

წარმოვიდგინოთ

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

სადაც (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . არის არამზარდი და თანმიმდევრობა (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . შეზღუდული (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განმარტება. ნომრების სერია(1.1)პოზიტიური ეწოდება, თუ მისი ყველა პირობაან- დადებითი რიცხვები.ნაწილობრივი თანხა სნ= a1+ a2 + …+ aნ ასეთი სერია ნებისმიერი ღირებულებისთვის ნასევე, ბუნებრივია, დადებითია და მზარდი რაოდენობით ნის მონოტონურად იზრდება. აქედან გამომდინარე, არსებობს მხოლოდ ორი შესაძლებლობა:

2) სად ს- ზოგიერთი დადებითი რიცხვი.

პირველ შემთხვევაში სერიები ერთმანეთს ეყრება, მეორეში კი ერთმანეთს ეყრება. ამ ორი შესაძლებლობიდან რომელი განხორციელდება, ცხადია, დამოკიდებულია სერიის ტერმინების ქცევაზე ნ® ∞. თუ ეს ტერმინები ნულისკენ მიისწრაფვის და ამას აკეთებენ საკმარისად სწრაფად, მაშინ სერიები გადაიყრება. და თუ ისინი არ მიდრეკილნი არიან ნულისკენ, ან მიდრეკილნი არიან მისკენ, მაგრამ არა საკმარისად სწრაფად, მაშინ სერია განსხვავდება.

მაგალითად, ჰარმონიულ სერიაში (1.16), მიუხედავად იმისა, რომ ტერმინები მცირდება, მიდრეკილია ნულისკენ, ისინი ამას საკმაოდ ნელა აკეთებენ. ამიტომ, ჰარმონიული სერია განსხვავებული აღმოჩნდა. მაგრამ პოზიტიურ სერიაში (1.6), ტერმინები ნულამდე მიდრეკილია ბევრად უფრო სწრაფად, ამიტომ აღმოჩნდა, რომ კონვერგენტული იყო.

კიდევ ერთი მაგალითი. სერიების ნახვა

(1.18)

დაურეკა განზოგადებული ჰარმონიული სერია(ეს იქნება ჩვეულებრივი ჰარმონიული სერია). თუ თქვენ შეისწავლით მას კონვერგენციისთვის - დივერგენცია ისე, როგორც იქნა შესწავლილი ჰარმონიული სერია (1.16) (სურათი 7.1-ის მსგავსი ფიგურის გამოყენებით), მაშინ შეგიძლიათ დაადგინოთ (ეს თავად სცადეთ), რომ განზოგადებული ჰარმონიული სერია განსხვავდება (მისი ჯამი). ) და გადადის (მის რაოდენობაზე ს- სასრული დადებითი რიცხვი). და ეს გასაგებია: როდესაც განზოგადებული ჰარმონიული სერიების ტერმინები უფრო ნელა იკლებს, ვიდრე ჰარმონიული სერიების ტერმინები. და რადგან ჰარმონიული სერია განსხვავდება (მისი ტერმინების შემცირების სიჩქარე არასაკმარისია კონვერგენციისთვის), მაშინ განზოგადებული ჰარმონიული სერია (1.18) ასევე უფრო მეტად განსხვავდება. და როდესაც სერიის პირობები (1.18) აშკარად უფრო სწრაფად შემცირდება, ვიდრე ჰარმონიული სერიის პირობები (1.16). და კლების ეს გაზრდილი ტემპი საკმარისი აღმოჩნდება სერიების დაახლოებისთვის (1.18).

ეს მოსაზრებები შეიძლება უფრო მკაცრად იყოს წარმოდგენილი ე.წ დადებითი რიცხვების რიგის შედარების ნიშანი.

მისი არსი შემდეგია. დაე

(1.19)

(1.20)

ორი თვითნებური დადებითი რიცხვების სერია. და იყოს ყველასთვის ნ=1,2,…. ანუ, (1.20) არის სერია უფრო დიდი ტერმინებით ვიდრე სერია (1.19). მაშინ აშკარაა, რომ:

1) თუ რიგი უფრო დიდი წევრებით იყრის თავს, მაშინ სერიები უფრო მცირე წევრებით იყრის თავს.

2) თუ უფრო მცირე წევრების სერია განსხვავდება (მისი ჯამი +∞-ის ტოლია), მაშინ უფრო დიდი წევრების სერიაც განსხვავდება (მისი ჯამი კიდევ უფრო უდრის +∞-ს).

3) თუ უფრო დიდი წევრების მქონე სერიები იყრის თავს (მისი ჯამი არის +∞), მაშინ ვერაფერს ვიტყვით უფრო მცირე წევრების სერიაზე.

4) თუ სერიები უფრო მცირე წევრებთან ერთად იყრის თავს (მისი ჯამი არის რიცხვი), მაშინ ვერაფერს ვიტყვით უფრო დიდი წევრების სერიაზე.

შენიშვნა 1.შედარების კრიტერიუმის ოთხივე პუნქტის ფორმულირებისას შეიძლება გამოვიყენოთ პირობა, რომლის დახმარებით ხდება სერიების შედარება და რომელიც უნდა დაკმაყოფილდეს ყველასთვის. ნ=1,2,3,…, შეცვალეთ იგივე პირობით, რომელიც არ მოქმედებს ყველასთვის ნ, მაგრამ მხოლოდ გარკვეული რიცხვიდან დაწყებული ნ, ანუ ამისთვის ნ> ნ, რადგან სერიის სასრული რაოდენობის ტერმინების გაუქმება გავლენას არ ახდენს მის კონვერგენციაზე.

შენიშვნა 2.დადებითი რიცხვების რიგის შედარების კრიტერიუმი განზოგადების საშუალებას იძლევა. კერძოდ, თუ არსებობს სასრული და არანულოვანი ზღვარი

, (1.21)

ანუ თუ

(ბნექვივალენტი ლან for ), მაშინ დადებითი რიცხვების სერიები (1.19) და (1.20) ერთდროულად ხვდებიან ან განსხვავდებიან. ამ შენიშვნას მტკიცების გარეშე ვტოვებთ.

მაგალითი 5 . მწკრივი

(1.23)

განსხვავდება (მისი ჯამია +∞). მართლაც, ამ სერიის შედარება ჰარმონიულთან (1.16), რომლის პირობები ყველასთვის ნაკლებია სერიის ტერმინებზე (1.23). ნ>1, ჩვენ დაუყოვნებლივ მივდივართ ამ დასკვნამდე შედარების კრიტერიუმის მე-2 პუნქტის საფუძველზე. მისი განსხვავება ასევე გამომდინარეობს იქიდან, რომ ეს არის განზოგადებული ჰარმონიული სერია (1.18) .

მაგალითი 6. მწკრივი

(1.24)

ეს არის პოზიტიური სერია ყველასთვის ნაკლები ნ> 1 ტერმინი ვიდრე სერია

(1.25)

მაგრამ სერია (1.25) არის უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი მნიშვნელთან. ასეთი სერია, (1.15) მიხედვით, თანხვედრაშია და აქვს ჯამი ს=1. მაგრამ შემდეგ უფრო მცირე სერია (1.24) ასევე იყრის თავს და მისი ჯამი არის .

მაგალითი 7 . სერია - დადებითი რიცხვების სერია, რომლის ტერმინებია

ზე.

მაგრამ რიცხვი განსხვავდება (1.17)-ის ძალით. ეს ნიშნავს, რომ (1.22) შესაბამისად, ტერმინების ეს სერია ასევე განსხვავდება ან.

დ'ალბერტის ნიშანი . ეს ნიშანი შემდეგია. მოდით იყოს დადებითი რიცხვების სერია. მოდი ვიპოვოთ ლიმიტი ქსერიალის შემდგომი წევრის ურთიერთობა წინასთან:

(1.26)

მე-19 საუკუნის ფრანგმა მათემატიკოსმა და მექანიკოსმა დ'ალმბერმა დაამტკიცა, რომ როცა ქ<1 ряд Сходится; при ქ>1 ის განსხვავდება; ზე ქ=1 დაახლოების საკითხი - სერიის დივერგენცია ღია რჩება. ჩვენ გამოვტოვებთ დ'ალმბერის კრიტერიუმის მტკიცებულებას.

მაგალითი 8. გამოიკვლიეთ კონვერგენცია - დადებითი რიცხვების რიგის დივერგენცია.

. მოდით გამოვიყენოთ დ'ალბერტის ტესტი ამ სერიაზე. ამისათვის, ფორმულის გამოყენებით (1.26) ვიანგარიშებთ ქ:

მას შემდეგ, ეს სერია იყრის თავს.

ინტეგრალური კოშის ტესტი . ეს ნიშანი შემდეგია. თუ წევრები ანპოზიტიური სერიები მონოტონურად მცირდება, შემდეგ ეს სერია და არასათანადო ინტეგრალი ერთდროულად იყრიან ან განსხვავდებიან. აქ არის უწყვეტი მონოტონურად კლებადი ფუნქცია, რომელიც იღებს at X = ნღირებულებები ან სერიის წევრები.

ნომრების სერია. რიცხვთა რიგის კონვერგენცია და დივერგენცია. დ'ალბერტის კონვერგენციის ტესტი. ალტერნატიული სერია. სერიების აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია. ფუნქციური სერია. სიმძლავრის სერია. დაშლა ელემენტარული ფუნქციებიმაკლარინის სერიაში.

სახელმძღვანელო 1.4 თემისთვის:

ნომრების სერია:

რიცხვების სერია არის ფორმის ჯამი

სად არის ნომრები u 1, u 2, u 3, n n,სერიის წევრებს უწოდებენ, ქმნიან უსასრულო მიმდევრობას; ტერმინს un ეწოდება სერიის საერთო ტერმინი.

. . . . . . . . .

სერიის (27.1) პირველი ტერმინებისგან შემდგარს ამ სერიის ნაწილობრივი ჯამები ეწოდება.

თითოეული მწკრივი შეიძლება ასოცირებული იყოს ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობით S 1, S 2, S 3. თუ n რიცხვის უსასრულო გაზრდით, სერიების ნაწილობრივი ჯამი S nმიდრეკილია ზღვრამდე ს, მაშინ სერიას ეწოდება კონვერგენტული და რიცხვი S-კონვერგენტული რიგის ჯამი, ე.ი.

ეს ჩანაწერი ექვივალენტურია

თუ ნაწილობრივი თანხა S nსერია (27.1) შეუზღუდავი ზრდით ნარ აქვს სასრული ზღვარი (კერძოდ, მიდრეკილია + ¥ ან - ¥-მდე), მაშინ ასეთ სერიას ეწოდება დივერგენტი

თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მნიშვნელობა S nსაკმარისად დიდისთვის n არის სერიების ჯამის სავარაუდო გამოხატულება ს.

განსხვავება r n = S - S nეწოდება სერიის დარჩენილი ნაწილი. თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი ნარჩენი ნულისკენ მიისწრაფვის, ე.ი. r n = 0 და პირიქით, თუ ნაშთი ნულისკენ მიისწრაფვის, მაშინ სერია იყრის თავს.

ფორმის სერია ე.წ გეომეტრიული სერია.

დაურეკა ჰარმონიული.

თუ ნ®¥, მაშინ S n®¥, ე.ი. ჰარმონიული სერია განსხვავდება.

მაგალითი 1. დაწერეთ სერია მის მოცემულ საერთო ტერმინზე დაყრდნობით:

1) დავსვათ n = 1, n = 2, n = 3, გვაქვს რიცხვების უსასრულო თანმიმდევრობა: , , , მისი ტერმინების მიმატებით მივიღებთ სერიას

2) იგივეს ვაკეთებთ, მივიღებთ სერიას

3) n-ის მნიშვნელობების მიცემა 1, 2, 3 და იმის გათვალისწინებით, რომ 1! = 1, 2! = 1 × 2.3! = 1 × 2 × 3, მივიღებთ სერიას

მაგალითი 2. იპოვე ნ- სერიის წევრი პირველი ნომრების მიხედვით:

1) ; 2) ; 3) .

მაგალითი 3. იპოვეთ სერიის ტერმინების ჯამი:

1) იპოვეთ სერიის ტერმინების ნაწილობრივი ჯამები:

დავწეროთ ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა: …, , ….

ამ თანმიმდევრობის საერთო ტერმინია. აქედან გამომდინარე,

ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობას აქვს ზღვარი ტოლი . ასე რომ, სერია იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის.

2) ეს არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც a 1 = , q= . ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ: ეს ნიშნავს, რომ სერია იყრის თავს და მისი ჯამი 1-ის ტოლია.

რიცხვთა რიგის კონვერგენცია და დივერგენცია. კონვერგენციის ნიშანიდ'ალმბერტი :

სერიის კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი.სერია შეიძლება გადაიზარდოს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი საერთო ტერმინია u n შეუზღუდავი რაოდენობის ზრდით ნმიდრეკილია ნულისკენ:

თუ , მაშინ სერია განსხვავდება - ეს არის საკმარისი მტკიცებულებახსნადობის სერია.

დადებითი ტერმინებით სერიის დაახლოების საკმარისი ნიშნები.

სერიების დადებით ტერმინებთან შედარების ნიშანი. შესასწავლი სერიები იყრის თავს, თუ მისი ტერმინები არ აღემატება სხვა, აშკარად კონვერგენციული სერიის შესაბამის წევრებს; შესწავლილი სერია განსხვავდება, თუ მისი წევრები აღემატება სხვა აშკარად განსხვავებული სერიის შესაბამის წევრებს.

ამ კრიტერიუმზე დაფუძნებული კონვერგენციისა და ხსნადობის სერიების შესწავლისას ხშირად გამოიყენება გეომეტრიული სერიები.

რომელიც ემთხვევა |q|-ზე

განსხვავებული ყოფნა.

სერიების შესწავლისას ასევე გამოიყენება განზოგადებული ჰარმონიული სერია

თუ გვ= 1, მაშინ ეს სერია იქცევა ჰარმონიულ სერიად, რომელიც განსხვავებულია.

თუ გვ< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При გვ> 1 გვაქვს გეომეტრიული რიგი, რომელშიც | ქ| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при გვ> 1 და განსხვავდება გვ£1.

დ'ალბერტის ნიშანი. თუ სერიალისთვის დადებითი პირობებით

(u n >0)

პირობა დაკმაყოფილებულია, შემდეგ სერია იყრის თავს ლლ > 1.

დ'ალმბერის ნიშანი არ იძლევა პასუხს თუ ლ= 1. ამ შემთხვევაში, სხვა ტექნიკა გამოიყენება სერიის შესასწავლად.

ალტერნატიული სერია.

სერიების აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია:

ნომრების სერია

u 1 + u 2 + u 3 + u n

მონაცვლეობას უწოდებენ, თუ მის წევრებს შორის არის დადებითი და უარყოფითი რიცხვები.

რიცხვთა სერიას უწოდებენ მონაცვლეობას, თუ რომელიმე ორ მიმდებარე ტერმინს აქვს საპირისპირო ნიშნები. ეს სერია არის ალტერნატიული სერიის განსაკუთრებული შემთხვევა.

კონვერგენციის ტესტი ალტერნატიული სერიებისთვის. თუ ალტერნატიული სერიის პირები მონოტონურად მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში და საერთო წევრში u n მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც ნ® , შემდეგ სერია იყრის თავს.

სერია ითვლება აბსოლუტურად კონვერგენტურად, თუ სერია ასევე იყრის თავს. თუ სერია აბსოლუტურად იყრის თავს, მაშინ ის კონვერგენტულია (ჩვეულებრივი გაგებით). საპირისპირო განცხადება არ შეესაბამება სიმართლეს. სერიას ეწოდება პირობითად კონვერგენტი, თუ ის თავისთავად იყრის თავს და მისი წევრების მოდულებისაგან შემდგარი სერია განსხვავდება. მაგალითი 4. შეისწავლეთ სერია კონვერგენციისთვის.

გამოვიყენოთ ლაიბნიცის საკმარისი ტესტი ალტერნატიული სერიებისთვის. ჩვენ ვიღებთ იმიტომ. ამიტომ, ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა. მაგალითი 5. შეისწავლეთ სერია კონვერგენციისთვის.

შევეცადოთ გამოვიყენოთ ლაიბნიცის ტესტი: ჩანს, რომ ზოგადი ტერმინის მოდული არ არის ნულისკენ მიდრეკილი, როდესაც n → ∞. ამიტომ, ეს სერია განსხვავდება. მაგალითი 6. დაადგინეთ არის თუ არა სერია აბსოლუტურად კონვერგენტული, პირობითად კონვერგენტული თუ განსხვავებული.

დ'ალმბერის ტესტის გამოყენებისას შესაბამისი ტერმინების მოდულებით შედგენილ სერიებს მივაღწევთ, შესაბამისად, ეს სერია აბსოლიტურად იყრის თავს.

მაგალითი 7. შეისწავლეთ ნიშანთა ალტერნატიული სერია კონვერგენციისთვის (აბსოლუტური ან პირობითი):

1) ამ სერიის პირობები მონოტონურად მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში და . მაშასადამე, ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით, სერია ერთმანეთს ემთხვევა. მოდით გავარკვიოთ, ეს სერია აბსოლიტურად თუ პირობითად იყრის თავს.

2) ამ სერიის ტერმინები მონოტონურად მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში: , მაგრამ

ფუნქციური რიგები:

რეგულარული რიცხვების სერია შედგება რიცხვებისგან:

სერიალის ყველა წევრია ნომრები.

ფუნქციური სერია შედგება ფუნქციები:

მრავალწევრების, ფაქტორების და ა.შ. გარდა, სერიის ზოგადი ტერმინია რა თქმა უნდაასო "x" შედის. მაგალითად, ასე გამოიყურება: . რიცხვების სერიების მსგავსად, ნებისმიერი ფუნქციური სერია შეიძლება დაიწეროს გაფართოებული ფორმით:

როგორც ხედავთ, ფუნქციონალური სერიის ყველა წევრი არის ფუნქციები.

ფუნქციური სერიების ყველაზე პოპულარული ტიპია დენის სერია.

სიმძლავრის სერია:

სიმძლავრის სერიაფორმის სერიას უწოდებენ

სად არის ნომრები a 0, a 1, a 2, a nეწოდება სერიის კოეფიციენტები და ტერმინი a n x n- სერიალის საერთო წევრი.

სიმძლავრის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ყველა მნიშვნელობის ნაკრები x, რისთვისაც ეს სერია ერთდება.

ნომერი რეწოდება რიგის კონვერგენციის რადიუსი, თუ | x| სერია იყრის თავს.

მაგალითი 8. მოცემულია სერია

გამოიკვლიეთ მისი კონვერგენცია წერტილებში x= 1 და X= 3, x= -2.

როდესაც x = 1, ეს სერია იქცევა რიცხვთა სერიად

მოდით გამოვიკვლიოთ ამ სერიის კონვერგენცია დ'ალბერტის კრიტერიუმის გამოყენებით. გვაქვს

იმათ. სერია იყრის თავს.

x = 3-ისთვის მივიღებთ სერიას

რაც განსხვავდება, რადგან სერიების დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი არ არის დაკმაყოფილებული

x = -2-სთვის ვიღებთ

ეს არის ალტერნატიული სერია, რომელიც ლაიბნიცის კრიტერიუმით იყრის თავს.

ასე რომ, წერტილებში x= 1 და X= -2. სერია იყრის თავს და წერტილში x= 3 განსხვავდება.

მაკლარინის სერიებში ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება:

ტეილორთან ახლოსფუნქციისთვის f(x)ფორმის სიმძლავრის სერიას უწოდებენ

თუ, a = 0, მაშინ მივიღებთ ტეილორის სერიის სპეციალურ შემთხვევას

რომელსაც ე.წ მაკლორინი ახლოს არის.

სიმძლავრის სერია მისი კონვერგენციის ინტერვალის ფარგლებში შეიძლება იყოს დიფერენცირებული ტერმინის მიხედვით და ინტეგრირებული იყოს იმდენჯერ, რამდენჯერაც სასურველია, და მიღებულ სერიას აქვს იგივე კონვერგენციის ინტერვალი, როგორც თავდაპირველი სერია.

ორი სიმძლავრის სერია შეიძლება დაემატოს და გავამრავლოთ ტერმინით მრავალწევრების შეკრებისა და გამრავლების წესების მიხედვით. ამ შემთხვევაში, მიღებული ახალი სერიის კონვერგენციის ინტერვალი ემთხვევა თავდაპირველი სერიის კონვერგენციის ინტერვალების ზოგად ნაწილს.

ფუნქციის Maclaurin სერიაში გაფართოებისთვის აუცილებელია:

1) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები და მისი თანმიმდევრული წარმოებულები წერტილში x = 0, ე.ი. .

8. გააფართოვეთ ფუნქციები მაკლარინის სერიაში.

პრაქტიკაში ხშირად არც ისე მნიშვნელოვანია სერიის ჯამის პოვნა, როგორც პასუხის გაცემა სერიების კონვერგენციის შესახებ. ამ მიზნით, კონვერგენციის კრიტერიუმები გამოიყენება სერიის საერთო ტერმინის თვისებებზე დაყრდნობით.

სერიის კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი

თეორემა 1

თუ რიგიიყრის თავს, შემდეგ მისი საერთო ტერმინი მიდრეკილია ნულისკენ როგორც
, იმათ.
.

მოკლედ: თუ რიგი იყრის თავს, მაშინ მისი საერთო ტერმინი ნულისკენ მიისწრაფვის.

მტკიცებულება.მოდით, სერია გადაიზარდოს და მისი ჯამი ტოლი იყოს . ვინმესთვის ნაწილობრივი თანხა

.

მაშინ . 

კონვერგენციის დადასტურებული აუცილებელი კრიტერიუმიდან გამომდინარეობს სერიის განსხვავების საკმარისი ნიშანი: თუ ზე
თუ სერიის საერთო ვადა არ არის ნულისკენ მიდრეკილი, მაშინ სერია განსხვავდება.

მაგალითი 4.

ამ სერიისთვის საერთო ტერმინია
და
.

ამიტომ, ეს სერია განსხვავდება.

მაგალითი 5.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის

აშკარაა, რომ ამ სერიის ზოგადი ტერმინი, რომლის ფორმა არ არის მითითებული გამოხატვის უხერხულობის გამო, ნულისკენ მიდრეკილია, როგორც
, ე.ი. სერიის დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ეს სერია განსხვავდება, რადგან მისი ჯამი მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

დადებითი რიცხვების სერია

რიცხვების სერიას, რომელშიც ყველა ტერმინი დადებითია, ეწოდება დადებითი ნიშანი.

თეორემა 2 (დადებითი სერიის კონვერგენციის კრიტერიუმი)

დადებითი ნიშნის მქონე სერიების კონვერტაციისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი ყველა ნაწილობრივი ჯამი ზემოდან შემოიფარგლოს ერთი და იგივე რიცხვით.

მტკიცებულება.ვინაიდან ვინმესთვის
, მაშინ, ე.ი. შემდგომი მიმდევრობა
– მონოტონურად მზარდი, ამიტომ ზღვრის არსებობისთვის საჭიროა და საკმარისია ზემოდან მიმდევრობის შეზღუდვა რაღაც რიცხვით.

ამ თეორემას უფრო თეორიული, ვიდრე პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს. ქვემოთ მოცემულია სხვა კონვერგენციის ტესტები, რომლებიც უფრო ფართოდ გამოიყენება.

დადებითი სერიების კონვერგენციის საკმარისი ნიშნები

თეორემა 3 (პირველი შედარების ნიშანი)

მიეცით ორი დადებითი ნიშნის სერია:

(1)

(2)

და, დაწყებული გარკვეული რიცხვიდან
, ვინმესთვის
უთანასწორობა მოქმედებს
შემდეგ:

პირველი შედარების ფუნქციის სქემატური აღნიშვნა:

დაღმართი.შეკრება.

ექსპ.ექსპ.

მტკიცებულება. 1) ვინაიდან სერიის სასრული რაოდენობის ტერმინების გაუქმება გავლენას არ ახდენს მის კონვერგენციაზე, ჩვენ ვამტკიცებთ თეორემას შემთხვევისთვის
. დაე იყოს ვინმესთვის
გვაქვს

, (3)

სად
და
- (1) და (2) სერიების შესაბამისად ნაწილობრივი ჯამები.

თუ სერია (2) იყრის თავს, მაშინ არის რიცხვი
. ვინაიდან ამ შემთხვევაში თანმიმდევრობა
- იზრდება, მისი ლიმიტი აღემატება მის რომელიმე წევრს, ე.ი.
ვინმესთვის . აქედან გამომდინარე, უტოლობიდან (3) გამომდინარეობს
. ამრიგად, (1) სერიების ყველა ნაწილობრივი ჯამი ზემოთ არის შემოსაზღვრული რიცხვით . თეორემა 2-ის მიხედვით, ეს სერია ერთდება.

2) მართლაც, თუ სერია (2) გადაიყრება, მაშინ, შედარებისთვის, სერია (1) ასევე გადაიყრება. 

ამ ფუნქციის გამოსაყენებლად ხშირად გამოიყენება ისეთი სტანდარტული სერიები, რომელთა დაახლოება ან განსხვავება წინასწარ არის ცნობილი, მაგალითად:

3) - დირიხლეს სერია (იგი ემთხვევა
და განსხვავდება
).

გარდა ამისა, ხშირად გამოიყენება სერიები, რომელთა მიღებაც შესაძლებელია შემდეგი აშკარა უტოლობების გამოყენებით:

,

,
,
.

მოდით განვიხილოთ, კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, პირველი შედარების კრიტერიუმის გამოყენებით დადებითი სერიის შესწავლის სქემა კონვერგენციისთვის.

მაგალითი 6.მწკრივის დათვალიერება
კონვერგენციისთვის.

ნაბიჯი 1. შეამოწმეთ სერიის დადებითი ნიშანი:
ამისთვის

ნაბიჯი 2. მოდით შევამოწმოთ სერიის კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმის შესრულება:
. იმიტომ რომ
, ეს

(თუ ლიმიტის გამოთვლა რთულია, შეგიძლიათ გამოტოვოთ ეს ნაბიჯი).

ნაბიჯი 3. გამოიყენეთ პირველი შედარების ნიშანი. ამისათვის ჩვენ ამ სერიის სტანდარტულ სერიას შევარჩევთ. იმიტომ რომ
, მაშინ შეგვიძლია სერია სტანდარტად ავიღოთ
, ე.ი. დირიხლეს სერია. ეს სერია თანხვედრაშია, რადგან მაჩვენებლის
. შესაბამისად, პირველი შედარების კრიტერიუმის მიხედვით, შესწავლილი სერიებიც იყრის თავს.

მაგალითი 7.მწკრივის დათვალიერება
კონვერგენციისთვის.

1) ეს სერია დადებითია, ვინაიდან
ამისთვის

2) სერიის დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი დაკმაყოფილებულია, რადგან

3) ავირჩიოთ სტანდარტული მწკრივი. იმიტომ რომ
, მაშინ შეგვიძლია სტანდარტად ავიღოთ გეომეტრიული სერიები

. ეს სერია იყრის თავს და, შესაბამისად, შესასწავლი სერიაც იყრის თავს.

თეორემა 4 (მეორე შედარების კრიტერიუმი)

თუ დადებითი სერიებისთვის და არსებობს არანულოვანი სასრული ზღვარი
, ეს რიგები ერთდროულად ემთხვევა ან განსხვავდება.

მტკიცებულება.მოდით სერია (2) გადაიზარდოს; დავამტკიცოთ, რომ მაშინ სერია (1) ასევე იყრის თავს. ავირჩიოთ რაღაც ნომერი , მეტი ვიდრე . მდგომარეობიდან
აქედან გამომდინარეობს, რომ ასეთი რიცხვი არსებობს ეს ყველასთვის
უთანასწორობა მართალია
, ან, რა არის იგივე,

(4)

გადაყარეთ პირველი რიგები (1) და (2) ტერმინები (რაც არ მოქმედებს კონვერგენციაზე), შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ უთანასწორობა (4) მოქმედებს ყველასთვის
მაგრამ სერია საერთო წევრით
იყრის თავს (2) სერიების კონვერგენციის გამო. პირველი შედარების კრიტერიუმის მიხედვით, უტოლობა (4) გულისხმობს სერიების (1) დაახლოებას.

ახლა მოდით სერია (1) გადაიზარდოს; დავამტკიცოთ (2) სერიების კონვერგენცია. ამისათვის უბრალოდ შეცვალეთ მოცემული რიგების როლები. იმიტომ რომ

მაშინ, როგორც ზემოთ დადასტურდა, (1) სერიების დაახლოება უნდა გულისხმობდეს (2) სერიების დაახლოებას. 

თუ
ზე
(კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი), შემდეგ მდგომარეობიდან
, აქედან გამომდინარეობს და - უსასრულო მცირე ზომის ერთი და იგივე რიგის (ექვივალენტური
). მაშასადამე, თუ სერიას აძლევენ , სად
ზე
, მაშინ ამ სერიისთვის შეგიძლიათ აიღოთ სტანდარტული სერია , სად არის საერთო ტერმინი აქვს იგივე სიმცირის რიგი, როგორც მოცემული სერიის ზოგადი ტერმინი.

სტანდარტული სერიების არჩევისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეკვივალენტური უსასრულოების შემდეგი ცხრილი
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

მაგალითი 8.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის

.

ვინმესთვის
.

იმიტომ რომ
, მაშინ ჩვენ ვიღებთ ჰარმონიულ დივერგენტულ სერიას, როგორც სტანდარტულ სერიას
. საერთო ტერმინების შეფარდების ლიმიტიდან გამომდინარე და არის სასრული და განსხვავდება ნულისაგან (ის უდრის 1-ს), შემდეგ მეორე შედარების კრიტერიუმზე დაყრდნობით ეს სერია განსხვავდება.

მაგალითი 9.
შედარების ორი კრიტერიუმის მიხედვით.

ეს სერია დადებითია, რადგან
, და
. მას შემდეგ, რაც
, მაშინ ჰარმონიული სერია შეიძლება მივიღოთ როგორც სტანდარტული სერია . ეს სერია განსხვავდება და შესაბამისად, შედარების პირველი ნიშნის მიხედვით, შესწავლილი სერიაც განსხვავდება.

ვინაიდან ამ სერიისთვის და სტანდარტული სერიებისთვის პირობა დაკმაყოფილებულია
(აქ გამოყენებულია 1-ლი შესამჩნევი ზღვარი), შემდეგ მეორე შედარების კრიტერიუმზე დაყრდნობით სერია
- განსხვავდება.

თეორემა 5 (დ'ალმბერის ტესტი)

არის სასრული ზღვარი
, შემდეგ სერია იყრის თავს
და განსხვავდება
.

მტკიცებულება.დაე
. ავიღოთ რაღაც რიცხვი , შორის დადებული და 1:
. მდგომარეობიდან
აქედან გამომდინარეობს, რომ რაღაც რიცხვიდან დაწყებული უთანასწორობა მოქმედებს

;
;
(5)

განვიხილოთ სერია

(5) მიხედვით, (6) სერიის ყველა წევრი არ აღემატება უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შესაბამის წევრებს.
მას შემდეგ, რაც
, ეს პროგრესია კონვერგენტულია. აქედან, პირველი შედარების კრიტერიუმიდან გამომდინარე, მოყვება სერიების კონვერგენცია

ხდება
განიხილეთ თქვენთვის.

შენიშვნები :

აქედან გამომდინარეობს, რომ სერიის დარჩენილი ნაწილი

.

დ'ალბერტის ტესტი მოსახერხებელია პრაქტიკაში, როდესაც სერიის საერთო ტერმინი შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას ან ფაქტორიალს.

მაგალითი 10.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის დ’ალბერტის ნიშნის მიხედვით.

ეს სერია დადებითია და

.

(აქ, გაანგარიშებისას, L'Hopital-ის წესი გამოიყენება ორჯერ).

შემდეგ, დ'ალმბერის კრიტერიუმით, ეს სერია ერთდება.

მაგალითი 11..

ეს სერია დადებითია და
. მას შემდეგ, რაც

მაშინ ეს სერია იყრის თავს.

თეორემა 6 (კოშის ტესტი)

თუ დადებითი სერიალისთვის არის სასრული ზღვარი
, მაშინ როდის
სერია იყრის თავს და როდის
რიგი განსხვავდება.

მტკიცებულება მე-5 თეორემის მსგავსია.

შენიშვნები :

მაგალითი 12.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის
.

ეს სერია დადებითია, რადგან
ვინმესთვის
. ლიმიტის გაანგარიშებიდან
იწვევს გარკვეულ სირთულეებს, შემდეგ გამოვტოვებთ სერიის დაახლოების საჭირო კრიტერიუმის მიზანშეწონილობის შემოწმებას.

შემდეგ, კოშის კრიტერიუმის მიხედვით, ეს სერია განსხვავდება.

თეორემა 7 (მაკლაურინის ინტეგრალური ტესტი - კოშის კონვერგენცია)

დაე, სერია მიეცეს

რომლის პირობები დადებითია და არ იზრდება:

მოდით, შემდგომი
- ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ყველა რეალურისთვის
, არის უწყვეტი, არ იზრდება და