A forma kifejezése hívott vektorok lineáris kombinációja A 1 , A 2 ,...,A n esélyekkel λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektorrendszer lineáris függésének meghatározása

Vektoros rendszer A 1 , A 2 ,...,A n hívott lineárisan függő, ha van nem nulla számhalmaz λ 1, λ 2,...,λ n, amelynél lineáris kombináció vektorok λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egyenlő a nulla vektorral, vagyis az egyenletrendszer: nullától eltérő megoldása van.
Számok halmaza λ 1, λ 2,...,λ n nem nulla, ha a számok közül legalább az egyik λ 1, λ 2,...,λ n különbözik a nullától.

Vektorrendszer lineáris függetlenségének meghatározása

Vektoros rendszer A 1 , A 2 ,...,A n hívott lineárisan független, ha ezen vektorok lineáris kombinációja λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n csak nulla számhalmaz esetén egyenlő a nulla vektorral λ 1, λ 2,...,λ n , vagyis az egyenletrendszer: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ egyedi nulla megoldással rendelkezik.

Példa 29.1

Ellenőrizze, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő-e

Megoldás:

1. Összeállítunk egy egyenletrendszert:

2. Gauss módszerrel oldjuk meg. A rendszer Jordanano transzformációit a 29.1. táblázat tartalmazza. Számításkor a rendszer jobb oldalait nem írjuk le, mivel egyenlők nullával és nem változnak a Jordan transzformációk során.

3. A táblázat utolsó három sorából írjon le egy, az eredetivel egyenértékű megoldott rendszert rendszer:

4. Megkapjuk általános megoldás rendszerek:

5. Miután beállította a szabad változó értékét x 3 =1 saját belátása szerint, egy adott nem nulla megoldást kapunk X=(-3,2,1).

Válasz: Így egy nem nulla számhalmaznál (-3,2,1) a vektorok lineáris kombinációja egyenlő a -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ nulla vektorral. Ezért, vektorrendszer lineárisan függő.

A vektorrendszerek tulajdonságai

Tulajdonság (1)
Ha egy vektorrendszer lineárisan függő, akkor legalább az egyik vektor kibővül a többire nézve, és fordítva, ha a rendszer legalább egyik vektora kibővül a többire nézve, akkor a vektorok rendszere lineárisan függő.

Tulajdonság (2)
Ha a vektorok bármely alrendszere lineárisan függő, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

Tulajdonság (3)
Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor bármelyik alrendszere lineárisan független.

Tulajdon (4)
Bármely nulla vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

Tulajdonság (5)
Az m-dimenziós vektorok rendszere mindig lineárisan függ, ha az n vektorok száma nagyobb, mint a méretük (n>m)

A vektorrendszer alapja

A vektorrendszer alapja A 1 , A 2 ,..., A n egy ilyen B 1 , B 2 ,...,B r alrendszert ún.(a B 1,B 2,...,Br vektorok mindegyike az A 1, A 2,..., A n vektorok egyike), amely teljesíti a következő feltételeket:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineárisan független vektorrendszer;
2. bármely vektor A j Az A 1 , A 2 ,..., A n rendszer lineárisan kifejeződik a B 1 , B 2 ,..., B r vektorokon keresztül

r— a bázisban szereplő vektorok száma.

29.1. Tétel Egy vektorrendszer egységalapon.

Ha egy m-dimenziós vektorok rendszere m különböző E 1 E 2 ,..., E m egységvektort tartalmaz, akkor ezek képezik a rendszer alapját.

Algoritmus vektorrendszer alapjainak megtalálására

Ahhoz, hogy megtaláljuk az A 1 ,A 2 ,...,A n vektorrendszer alapját, szükséges:

• Hozzon létre egy homogén egyenletrendszert, amely megfelel a vektorok rendszerének! A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Hozd ezt a rendszert

Legyen vektorok gyűjteménye egy -dimenziós aritmetikai térben .

Meghatározás 2.1.Vektorok halmaza hívott lineárisan független vektorrendszer, ha az egyenlőség alakja

csak a numerikus paraméterek nulla értékével hajtható végre .

Ha a (2.1) egyenlőség teljesíthető, feltéve, hogy legalább az egyik együttható nullától eltérő, akkor egy ilyen vektorrendszert nevezünk. lineárisan függő .

2.1. példa. Ellenőrizze a vektorok lineáris függetlenségét

Megoldás. Hozzuk létre a (2.1) forma egyenlőségét!

A kifejezés bal oldala csak akkor válhat nullává, ha a feltétel teljesül , ami azt jelenti, hogy a rendszer lineárisan független.

2.1. példa. Lesznek vektorok? lineárisan független?

Megoldás. Könnyű ellenőrizni, hogy az egyenlőség igaz-e az értékekre , . Ez azt jelenti, hogy ez a vektorrendszer lineárisan függő.

Tétel 2.1. Ha egy vektorrendszer lineárisan függő, akkor ebből a rendszerből bármely vektor ábrázolható a rendszer többi vektorának lineáris kombinációjaként (vagy szuperpozíciójaként).

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy a vektorrendszer lineárisan függő. Ekkor definíció szerint van egy számkészlet , amelyek között legalább egy szám különbözik nullától, és érvényes a (2.1) egyenlőség:

Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy a nem nulla együttható , azaz . Ekkor az utolsó egyenlőség osztható, majd vektorként fejezhető ki:

.

Így a vektort vektorok szuperpozíciójaként ábrázoljuk . Az 1. tétel bizonyítást nyert.

Következmény. Ha lineárisan független vektorok halmaza, akkor ebből a halmazból egyetlen vektor sem fejezhető ki a többivel.

Tétel 2.2. Ha a vektorok rendszere nulla vektort tartalmaz, akkor egy ilyen rendszer szükségszerűen lineárisan függő lesz.

Bizonyíték. Legyen a vektor nulla vektor, azaz .

Ezután válasszunk konstansokat ( ) az alábbiak szerint:

, .

Ebben az esetben a (2.1) egyenlőség teljesül. A bal oldali első tag egyenlő nullával, mivel ez egy nulla vektor. A fennmaradó tagok nullává válnak, ha megszorozzuk nulla állandóval ( ). Így,

at , ami a vektorokat jelenti lineárisan függő. A 2.2 Tétel bebizonyított.

A következő kérdés, amire válaszolnunk kell, az, hogy mit legnagyobb szám vektorok lineárisan független rendszert alkothatnak V n-dimenziós aritmetikai tér. A 2.1. bekezdésben a természetes alapot (1.4) vettük figyelembe:

Megállapították, hogy a -dimenziós tér tetszőleges vektora természetes bázisvektorok lineáris kombinációja, azaz egy tetszőleges vektor természetes alapon fejeződik ki, mint

, (2.2)

hol vannak a vektor koordinátái, amelyek néhány szám. Aztán egyenlőség

csak , és ezért vektorok esetén lehetséges természetes alapok lineárisan független rendszert alkotnak. Ha ehhez a rendszerhez tetszőleges vektort adunk , akkor az 1. Tétel következménye alapján a rendszer függő lesz, mivel a vektort vektorokkal fejezzük ki a (2.2) képlet szerint.

Ez a példa azt mutatja be n-dimenziós aritmetikai tér léteznek lineárisan független vektorokból álló rendszerek. És ha ehhez a rendszerhez hozzáadunk legalább egy vektort, akkor lineárisan függő vektorok rendszerét kapjuk. Bizonyítsuk be, hogy ha a vektorok száma meghaladja a tér dimenzióját, akkor lineárisan függenek.

Tétel 2.3.A -dimenziós aritmetikai térben nincs több mint-ből álló rendszer lineárisan független vektorok.

Bizonyíték. Tekintsünk tetszőleges -dimenziós vektorokat:

………………………

Hadd . Készítsünk vektorok lineáris kombinációját (2.3), és egyenlővé tegyük nullával:

A vektoregyenlőség (2.4) megegyezik a koordináták skaláris egyenlőségeivel vektorok :

(2.5)

Ezek az egyenlőségek egy rendszert alkotnak homogén egyenletek ismeretlen emberekkel . Mivel az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma ( ), akkor az 1. szakasz 9.3. Tételének következménye alapján a (2.5) homogén rendszernek nullától eltérő megoldása van. Ebből következően bizonyos értékekre érvényes a (2.4) egyenlőség , amelyek között nem mindegyik egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a (2.3) vektorrendszer lineárisan függő. A 2.3 Tétel bebizonyított.

Következmény. A -dimenziós térben vannak olyan rendszerek, amelyek lineárisan független vektorokból állnak, és minden olyan rendszer, amely több mint vektort tartalmaz, lineárisan függ.

Meghatározás 2.2.Lineárisan független vektorok rendszerét ún a tér alapja, ha a térben bármely vektor kifejezhető ezen lineárisan független vektorok lineáris kombinációjaként.

2.3. Lineáris vektor transzformáció

Tekintsünk két vektort és -dimenziós aritmetikai teret.

Meghatározás 3.1.Ha minden vektor Ha ugyanabból a térből vektort társítunk, akkor azt mondjuk, hogy adott egy -dimenziós aritmetikai tér valamilyen transzformációja.

Ezt a transzformációt -val fogjuk jelölni. A vektort képnek fogjuk nevezni. Felírhatjuk az egyenlőséget

. (3.1)

Meghatározás 3.2.A (3.1) transzformációt lineárisnak nevezzük, ha megfelel a következő tulajdonságoknak:

, (3.2)

, (3.3)

ahol egy tetszőleges skalár (szám).

Határozzuk meg a (3.1) transzformációt koordináta alakban. Legyen a vektorok koordinátái És függőség köti le

(3.4)

A (3.4) képletek a (3.1) transzformációt koordináta formában határozzák meg. Odds ( ) egyenlőségrendszerek (3.4) mátrixként ábrázolhatók

transzformációs mátrixnak nevezzük (3.1).

Vezessünk be oszlopvektorokat

,

melynek elemei a vektorok koordinátái És ennek megfelelően tehát És . A továbbiakban az oszlopvektorokat vektoroknak nevezzük.

Ekkor a (3.4) transzformáció felírható mátrix alakban

. (3.5)

A (3.5) transzformáció lineáris a mátrixokon végzett aritmetikai műveletek tulajdonságai miatt.

Tekintsünk néhány olyan transzformációt, amelynek képe nulla vektor. Mátrix formában ez a transzformáció így fog kinézni

, (3.6)

koordináta formában pedig – lineáris homogén egyenletrendszert képviselnek

(3.7)

Meghatározás 3.3.Egy lineáris transzformációt nem szingulárisnak nevezünk, ha a lineáris transzformációs mátrix determinánsa nem egyenlő nullával, azaz . Ha a determináns eltűnik, akkor a transzformáció degenerált lesz .

Ismeretes, hogy a (3.7) rendszernek van egy triviális (nyilvánvaló) megoldása – nulla. Ez a megoldás egyedi, hacsak a mátrix determinánsa nem nulla.

A (3.7) rendszer nullától eltérő megoldásai akkor jelenhetnek meg, ha a lineáris transzformáció degenerált, vagyis ha a mátrix determinánsa nulla.

Meghatározás 3.4. A transzformáció rangja (3.5) a transzformációs mátrix rangja.

Azt mondhatjuk, hogy ugyanaz a szám egyenlő a mátrix lineárisan független sorainak számával.

Térjünk rá a lineáris transzformáció geometriai értelmezésére (3.5).

Példa 3.1. Legyen adott egy lineáris transzformációs mátrix , Hol Vegyünk egy tetszőleges vektort , Hol és keresse meg a képét:
Aztán a vektor
.

Ha , akkor a vektor hosszát és irányát is megváltoztatja. Az 1. ábrán .

Ha , akkor megkapjuk a képet

,

vagyis egy vektor
vagy , ami azt jelenti, hogy csak a hosszt fogja megváltoztatni, de irányt nem (2. ábra).

Példa 3.2. Hadd , . Keressük a képet:

,

vagyis
, vagy .

Vektor a transzformáció következtében az ellenkező irányt változtatta, miközben a vektor hossza megmaradt (3. ábra).

Példa 3.3. Tekintsük a mátrixot lineáris transzformáció. Könnyen kimutatható, hogy ebben az esetben a vektor képe teljesen egybeesik magával a vektorral (4. ábra). Igazán,

.

Azt mondhatjuk, hogy a vektorok lineáris transzformációja megváltoztatja az eredeti vektort hosszában és irányában egyaránt. Vannak azonban olyan mátrixok, amelyek a vektort csak irányban (3.2. példa) vagy csak hosszban (3.1. példa, eset) alakítják át. ).

Meg kell jegyezni, hogy az ugyanazon a vonalon fekvő összes vektor lineárisan függő vektorok rendszerét alkotja.

Térjünk vissza a lineáris transzformációhoz (3.5)

és vegyük figyelembe a vektorok gyűjteményét , amelyre a kép nullvektor, tehát .

Meghatározás 3.5. Olyan vektorok halmaza, amelyek az egyenlet megoldását jelentik , a -dimenziós aritmetikai tér alterét képezi és ún lineáris transzformációs kernel.

Meghatározás 3.6. Lineáris transzformációs hiba ezt a transzformáció magjának dimenziójának nevezzük, azaz legnagyobb szám lineárisan független vektorok, amelyek kielégítik az egyenletet .

Mivel a mátrix rangját a lineáris transzformáció rangján értjük, a mátrixhibával kapcsolatban a következő állítást fogalmazhatjuk meg: hiba egyenlő a különbséggel , ahol a mátrix dimenziója és a rangja.

Ha a lineáris transzformációs mátrix (3.5) rangját Gauss-módszerrel keressük, akkor a rang egybeesik a már transzformált mátrix főátlóján a nullától eltérő elemek számával, és a hibát a nullák száma határozza meg. sorokat.

Ha a lineáris transzformáció nem degenerált, akkor az , akkor a hibája nulla lesz, mivel a kernel az egyetlen nulla vektor.

Ha a lineáris transzformáció degenerált és , akkor a (3.6) rendszernek a nulla egyen kívül más megoldásai is vannak, és a hiba ebben az esetben már különbözik a nullától.

Különösen érdekesek azok a transzformációk, amelyek a hossz megváltoztatása mellett nem változtatják meg a vektor irányát. Pontosabban, az eredeti vektort tartalmazó egyenesen hagyják a vektort, feltéve, hogy az egyenes áthalad az origón. Az ilyen átalakításokat a következő 2.4. bekezdés tárgyalja.

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

A nézőtéren van egy kocsi csokoládéval, és ma minden látogató kap egy édes párost - elemző geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk egyszerre két részre terjed ki. felsőbb matematika, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél egy Twixet! ...a fenébe is, micsoda hülyeség. Bár oké, nem pontozok, végül is pozitívan kell hozzáállni a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, lineáris vektorfüggetlenség, vektorok alapjaés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a „vektor” fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a „hétköznapi” vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem a Gismeteóba: hőmérséklet és légköri nyomás, ill. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az megérteni definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra érvényesek, de geometriai példákat is adunk. Így minden egyszerű, hozzáférhető és világos. Az analitikus geometriai problémákon kívül néhány tipikus algebrai feladatot is figyelembe veszünk. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegyük figyelembe a számítógépasztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon két vektorra lesz szükség az alap létrehozásához. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A kiválasztott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes objektumához.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el bal mutatóujj az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely jobb kisujj az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit mondhatunk a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineáris egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol valami nullától eltérő szám.

Erről a műveletről láthat egy képet az órán. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjaid alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilván nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak kizárólag irány, és egy síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A „lineáris”, „lineárisan” szavak azt a tényt jelzik, hogy in matematikai egyenletek, a kifejezések nem tartalmaznak négyzeteket, kockákat, egyéb hatványokat, logaritmusokat, szinuszokat stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy 0 vagy 180 foktól eltérő szög legyen közöttük. Két sík vektorlineáris Nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát megvan az alap. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „elferdült” különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármilyen sík vektor az egyetlen mód alapja szerint bővül:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorként mutatják be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például elmondhatjuk, hogy a vektort a sík ortonormális bázisa mentén bontjuk fel, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

Fogalmazzuk meg alap meghatározása formálisan: A sík alapja lineárisan független (nem kollineáris) vektorpárnak nevezzük, , míg bármilyen a síkvektor bázisvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényeges pontja az a tény, hogy a vektorokat felvesszük egy bizonyos sorrendben. Alapok – ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kezed kisujját nem tudod kicserélni a jobb kezed kisujja helyett.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani egy koordináta rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat az asztal azon kis piszkos pontjaihoz, amelyek egy vad hétvége után megmaradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen tereptárgy mindenki számára ismerős pont - a koordináták eredete. Értsük meg a koordinátarendszert:

Kezdem az „iskolai” rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Rávilágítottam néhány különbségre a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Íme a standard kép:

Amikor arról beszélnek derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt úgy tűnik téglalap alakú rendszer A koordináták teljesen meghatározhatók ortonormális alapon. És ez majdnem igaz. A megfogalmazás a következő:

származás, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű téglalap sík koordinátarendszer . Vagyis a derékszögű koordináta-rendszer határozottan egy pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb megadtam - a geometriai feladatokban gyakran (de nem mindig) mind a vektorokat, mind a koordinátatengelyeket megrajzolják.

Szerintem mindenki érti, hogy pont (eredet) és ortonormális alapot használunk BÁRMILYEN PONT a gépen és BÁRMILYEN VEKTOR a gépen koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: „a repülőgépen minden megszámlálható”.

A koordinátavektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges, nullától eltérő hosszúságú merőleges vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A vektoros koordináták origóját egy koordináta-rács határozza meg, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak adott alapon megvannak a koordinátái. Például, vagy. A nyilvánvaló kellemetlenség az, hogy a koordinátavektorok általános esetben az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek egységgel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! Jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és a tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES. Például egy egység az x tengely mentén 4 cm-t, egy az ordináta tengely mentén 2 cm-t tartalmaz. Ez az információ elegendő ahhoz, hogy szükség esetén a „nem szabványos” koordinátákat „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

A második kérdés, amelyre tulajdonképpen már válaszoltunk, az, hogy az alapvektorok közötti szögnek 90 fokkal kell-e egyenlőnek lennie? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún származás, És nem kollineáris vektorok, , készlet affin sík koordinátarendszer :

Néha egy ilyen koordináta-rendszert hívnak ferde rendszer. Példaként a rajz pontokat és vektorokat mutat be:

Mint érti, az affin koordinátarendszer még kevésbé kényelmes a vektorok és szegmensek hosszára vonatkozó képletek, amelyeket a lecke második részében tárgyaltunk, nem működnek benne; Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens elosztásának képletei ebben a relációban, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

A következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb speciális esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért kell leggyakrabban látnod őt, kedvesem. ...Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor egy ferde szög (vagy más pl. poláris) koordinátarendszer. És a humanoidoknak tetszhetnek az ilyen rendszerek =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden probléma érvényes mind a négyszögletes koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag hozzáférhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti részletezése.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézzük meg, hogy létezik-e vektorokra arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal alakítsuk ki az arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

A vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból készítsünk arányt:

Rövidítsük le:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat fordítva is elkészíthető, ez egyenértékű lehetőség:

Az önteszthez felhasználhatja azt a tényt, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. IN ebben az esetben egyenlőségek vannak . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). A vektorokat kollinearitás szempontjából vizsgáljuk . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Általában ezt a lehetőséget nem utasítják el a bírálók, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. így: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet itt az arányokat átdolgozni? (valóban, nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa erre önálló döntés:

2. példa

A paraméter melyik értékénél vannak a vektorok kollineárisak lesznek?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Van egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitásának ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és adjuk hozzá ötödik pontként:

Két vektor esetén a síkok ekvivalensek a következő kijelentéseket :

2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok egymáson keresztül lineárisan kifejezhetők;
+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns egyenlő nullával.

Ezt nagyon-nagyon remélem pillanatnyilag már érti az összes kifejezést és kijelentést, amellyel találkozik.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Döntsük el 1. példa a második módon:

a) Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst! :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst :
, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint egy arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem a szakaszok és egyenesek párhuzamossága is igazolható. Nézzünk meg néhány problémát konkrét geometriai alakzatokkal.

3. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot készíteni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzünk a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Olyan négyszöget nevezünk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és.

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor („iskola szerint” – egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb, ha a döntést egyértelműen, elrendezéssel formalizáljuk. Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég egyszerűen emlékezni arra, hogyan néz ki.

Ezt a feladatot egyedül kell megoldania. Teljes megoldás a lecke végén.

És most itt az ideje, hogy lassan mozogjunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

A) ;
b)
V)

Megoldás:
a) Ellenőrizzük, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáira:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az „egyszerűsített” az arány ellenőrzésével formalizálódik. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitásának ellenőrzésére egy harmadrendű determináns segítségével Vektor vektor szorzata.

A sík esethez hasonlóan a vizsgált eszközökkel térbeli szakaszok és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Vektorok lineáris függése és függetlensége háromdimenziós térben.
Téralap és affin koordinátarendszer

A síkon megvizsgált minták közül sok érvényes lesz a térben. Igyekeztem minimalizálni az elméleti jegyzeteket, hiszen az információk oroszlánrészét már megrágták. Javasolom azonban, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések, fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett a háromdimenziós teret vizsgáljuk. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem kerülhetjük el a három dimenziót: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért egy bázis felépítéséhez három térbeli vektorra lesz szükség. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És megint az ujjainkon melegedünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és ossza szét különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, megvannak különböző hosszúságúés különböző szögek vannak közöttük. Gratulálunk, a háromdimenziós tér alapja készen áll! Egyébként ezt nem kell a tanároknak demonstrálni, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nincs menekvés =)

Ezután tegyünk fel magunknak egy fontos kérdést: alkot-e bármely három vektor a háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógépasztal tetejére. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik dimenziót - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Meg kell jegyezni, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaival tegye ezt, csak Salvador Dali tette ezt =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú, ha van olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el újra, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nem csak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, és a tér bármely vektora az egyetlen mód egy adott bázisra van felbontva, hol vannak a vektor koordinátái ebben a bázisban

Hadd emlékeztesselek arra, hogy azt is mondhatjuk, hogy a vektor az alakban van ábrázolva lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordináta-rendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, és elegendő egy pont és bármelyik három lineárisan független vektor:

származás, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács „ferde” és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi határozottan meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni a tér affin koordinátarendszerében.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy mindenki sejti, az derékszögű tér koordinátarendszer:

Egy pont a térben ún származás, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű tér koordinátarendszer . Ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismételten rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Szerintem az ellenkező állítások érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan determináns segítségével ellenőrzik (5. pont). Többi gyakorlati feladatokat kifejezett algebrai karaktere lesz. Ideje letenni a geometria botot, és hadonászni a lineáris algebra baseballütőjével:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra szeretném felhívni a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke emiatt nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, vagy egyáltalán nem értenek hozzájuk, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában a teljes megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst (a determináns az első sorban látható):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és a háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok alapot képeznek

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében meg kell oldani egy egyenletet egy determinánssal. Lecsapunk a nullákra, mint a sárkányok a jerboákra – a legjobb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbbre redukáljuk lineáris egyenlet:

Válasz: at

Ezt itt könnyű ellenőrizni, ha a kapott értéket be kell cserélni az eredeti determinánsba, és meg kell győződnie arról , nyissa ki újra.

Végezetül nézzünk meg egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra tanfolyam része. Annyira elterjedt, hogy megérdemelné a saját témáját:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja a háromdimenziós tér alapját
és ebben az alapban keressük meg a 4. vektor koordinátáit

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist képeznek a háromdimenziós térben, és keressük meg a vektor koordinátáit ebben a bázisban.

Megoldás: Először is foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Hogy mi ez az alap, az minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokban. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.

A vektorok lineáris függése

Különféle problémák megoldása során általában nem egy vektorral kell foglalkozni, hanem egy bizonyos, azonos dimenziójú vektorkészlettel. Az ilyen aggregátumokat ún vektorok rendszereés jelöljük

Meghatározás.Vektorok lineáris kombinációja forma vektorának nevezzük

hol vannak valós számok. Egy vektorról azt is mondják, hogy lineárisan fejeződik ki vektorokban, vagy ezekben a vektorokban bomlik le.

Például legyen adott három vektor: , , . Lineáris kombinációjuk a 2-es, 3-as és 4-es együtthatóval a vektor

Meghatározás. Egy vektorrendszer összes lehetséges lineáris kombinációjának halmazát e rendszer lineáris kiterjedésének nevezzük.

Meghatározás. A nullától eltérő vektorok rendszerét nevezzük lineárisan függő, ha vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy egy adott rendszer lineáris kombinációja a jelzett számokkal egyenlő a nulla vektorral:

Ha egy adott vektorrendszerre az utolsó egyenlőség csak -re lehetséges, akkor ezt a vektorrendszert ún. lineárisan független.

Például egy két vektorból álló rendszer lineárisan független; két vektorból álló rendszer és lineárisan függő, hiszen .

Legyen a (19) vektorrendszer lineárisan függő. Válasszuk ki a (20) összegből azt a tagot, amelyben az együttható áll, és fejezzük ki a többi tagon keresztül:

Amint ebből az egyenlőségből kitűnik, a lineárisan függő rendszer (19) egyik vektoráról kiderült, hogy ennek a rendszernek a többi vektorában fejeződik ki (vagy a fennmaradó vektoraival bővül).

Lineárisan függő vektorrendszer tulajdonságai

1. Egy nem nulla vektorból álló rendszer lineárisan független.

2. Egy nulla vektort tartalmazó rendszer mindig lineárisan függő.

3. Egy több vektort tartalmazó rendszer akkor és csak akkor lineárisan függő, ha a vektorai között van legalább egy olyan vektor, amely lineárisan kifejeződik a többivel.

Geometriai jelentés lineáris függés kétdimenziós vektorok esetén egy síkon: amikor az egyik vektort egy másikon keresztül fejezzük ki, akkor van, i.e. ezek a vektorok kollineárisak, vagy ami ugyanaz, párhuzamos egyeneseken helyezkednek el.

IN térbeli eset három vektor lineáris függése, párhuzamosak egy síkkal, azaz. egysíkú. E vektorok hosszát elég „korrigálni” a megfelelő tényezőkkel, hogy az egyik a másik kettő összege legyen, vagy azokon keresztül fejeződjön ki.

Tétel. A térben minden vektorokat tartalmazó rendszer lineárisan függ a -tól.

Példa. Nézze meg, hogy a vektorok lineárisan függenek-e.

Megoldás. Készítsünk vektoregyenlőséget. Oszlopvektor alakban írva azt kapjuk

Így a probléma a rendszer megoldására redukálódott

Oldjuk meg a rendszert Gauss-módszerrel:

Ennek eredményeként egy egyenletrendszert kapunk:

amelynek végtelen számú megoldása van, amelyek között biztosan van egy nem nullától eltérő egy, ezért a vektorok lineárisan függenek.

A vektoralgebra tanulmányozása során nagyon fontosak a vektorrendszer lineáris függésének és függetlenségének fogalmai, mivel ezeken alapulnak a dimenzió és a téralap fogalmai. Ebben a cikkben definíciókat adunk, megvizsgáljuk a lineáris függőség és függetlenség tulajdonságait, algoritmust kapunk a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozására, és részletesen elemezzük a példák megoldásait.

Oldalnavigáció.

Vektorrendszer lineáris függésének és lineáris függetlenségének meghatározása.

Tekintsünk p n-dimenziós vektorok halmazát, jelöljük őket a következőképpen. Készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból és tetszőleges számokból (valós vagy összetett): . Az n-dimenziós vektorokon végzett műveletek definíciója, valamint a vektorok összeadása és a vektor számmal való szorzása műveleteinek tulajdonságai alapján kijelenthető, hogy az írott lineáris kombináció valamilyen n-dimenziós vektort reprezentál, azaz .

Így közelítettük meg a vektorrendszer lineáris függésének meghatározását.

Meghatározás.

Ha egy lineáris kombináció reprezentálhat egy nulla vektort, akkor mikor a számok között van legalább egy nem nulla, akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan függő.

Meghatározás.

Ha egy lineáris kombináció nulla vektor csak akkor, ha minden szám egyenlőek nullával, akkor a vektorrendszert nevezzük lineárisan független.

A lineáris függés és függetlenség tulajdonságai.

Ezen definíciók alapján fogalmazzuk meg és bizonyítjuk vektorrendszer lineáris függésének és lineáris függetlenségének tulajdonságai.

Ha több vektort adunk egy lineárisan függő vektorrendszerhez, akkor a kapott rendszer lineárisan függő lesz.

Bizonyíték.

Mivel a vektorrendszer lineárisan függő, az egyenlőség akkor lehetséges, ha van legalább egy nem nulla szám a számokból . Hadd .

Adjunk hozzá további s vektort az eredeti vektorrendszerhez , és megkapjuk a rendszert. Mivel és , akkor ennek a rendszernek a vektorok lineáris kombinációja a következő alakú

a nulla vektort jelenti, és . Következésképpen a kapott vektorrendszer lineárisan függő.

Ha több vektort kizárunk egy lineárisan független vektorrendszerből, akkor a kapott rendszer lineárisan független lesz.

Bizonyíték.

Tegyük fel, hogy a kapott rendszer lineárisan függő. Ha az összes eldobott vektort hozzáadjuk ehhez a vektorrendszerhez, megkapjuk az eredeti vektorrendszert. Feltétel szerint lineárisan független, de a lineáris függőség korábbi tulajdonsága miatt lineárisan függőnek kell lennie. Ellentmondáshoz jutottunk, ezért a feltételezésünk téves.

Ha egy vektorrendszernek legalább egy nulla vektora van, akkor egy ilyen rendszer lineárisan függő.

Bizonyíték.

Legyen a vektor ebben a vektorrendszerben nulla. Tegyük fel, hogy az eredeti vektorrendszer lineárisan független. Ekkor a vektoregyenlőség csak akkor lehetséges, ha . Ha azonban bármely , nullától eltérő értéket veszünk, akkor az egyenlőség továbbra is igaz lesz, hiszen . Következésképpen a feltevésünk hibás, és az eredeti vektorrendszer lineárisan függő.

Ha egy vektorrendszer lineárisan függő, akkor legalább egy vektora lineárisan kifejeződik a többi vektorral. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor egyik vektor sem fejezhető ki a többi vektorral.

Bizonyíték.

Először is bizonyítsuk be az első állítást.

Legyen a vektorrendszer lineárisan függő, akkor van legalább egy nullától eltérő szám, és az egyenlőség igaz. Ez az egyenlőség feloldható a tekintetében, mivel ebben az esetben mi

Következésképpen a vektor lineárisan fejeződik ki a rendszer többi vektorain keresztül, amit bizonyítani kellett.

Most bizonyítsuk be a második állítást.

Mivel a vektorrendszer lineárisan független, az egyenlőség csak -re lehetséges.

Tegyük fel, hogy a rendszer valamely vektora lineárisan fejeződik ki a többi vektorral. Legyen ez a vektor akkor . Ez az egyenlőség átírható így, bal oldalán a rendszer vektorainak lineáris kombinációja látható, és a vektor előtti együttható nullától eltérő, ami az eredeti vektorrendszer lineáris függését jelzi. Tehát ellentmondáshoz jutottunk, ami azt jelenti, hogy a tulajdonság bizonyított.

Az utolsó két tulajdonságból egy fontos megállapítás következik:
ha egy vektorrendszer tartalmaz vektorokat és , ahol tetszőleges szám, akkor lineárisan függő.

Lineáris függőség vektorrendszerének vizsgálata.

Tegyünk fel egy problémát: meg kell állapítanunk egy vektorrendszer lineáris függését vagy lineáris függetlenségét.

A logikus kérdés: "hogyan lehet megoldani?"

A vektorrendszer lineáris függésének és függetlenségének fentebb tárgyalt definícióiból és tulajdonságaiból meg lehet tanulni valami gyakorlati szempontból hasznosat. Ezek a definíciók és tulajdonságok lehetővé teszik, hogy megállapítsuk a vektorrendszer lineáris függését következő eseteket:

Mi a teendő más esetekben, amelyek többsége?

Találjuk ki ezt.

Emlékezzünk vissza a mátrix rangjára vonatkozó tétel megfogalmazására, amelyet a cikkben bemutattunk.

Tétel.

Hadd r – az A mátrix rangja p-re n-re, . Legyen M az A mátrix alapmollja. Az A mátrix minden olyan sora (minden oszlopa), amely nem vesz részt az M bázismoll kialakításában, lineárisan fejeződik ki az M bázismollt generáló mátrix sorain (oszlopain) keresztül.

Most magyarázzuk meg a kapcsolatot a mátrix rangjára vonatkozó tétel és a lineáris függőség vektorrendszerének vizsgálata között.

Készítsünk egy A mátrixot, melynek sorai a vizsgált rendszer vektorai lesznek:

Mit jelentene egy vektorrendszer lineáris függetlensége?

Egy vektorrendszer lineáris függetlenségének negyedik tulajdonságából tudjuk, hogy a rendszer egyik vektora sem fejezhető ki a többivel. Más szavakkal, az A mátrix egyetlen sora sem lesz lineárisan kifejezve a többi sorral, ezért A vektorrendszer lineáris függetlensége ekvivalens lesz a Rank(A)=p feltétellel.

Mit jelent a vektorrendszer lineáris függése?

Minden nagyon egyszerű: az A mátrix legalább egy sora lineárisan lesz kifejezve a többihez képest, ezért a vektorrendszer lineáris függése egyenértékű lesz a Rank(A) feltétellel

.

Tehát a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozásának problémája a rendszer vektoraiból álló mátrix rangjának megtalálásának problémájára redukálódik.

Megjegyzendő, hogy p>n esetén a vektorok rendszere lineárisan függ.

Megjegyzés: az A mátrix összeállításakor a rendszer vektorait nem soroknak, hanem oszlopoknak vehetjük.

Algoritmus a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozására.

Nézzük meg az algoritmust példákon keresztül.

Példák a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozására.

Példa.

Adott egy vektorrendszer. Vizsgálja meg lineáris kapcsolatra.

Megoldás.

Mivel a c vektor nulla, az eredeti vektorrendszer a harmadik tulajdonság miatt lineárisan függő.

Válasz:

A vektorrendszer lineárisan függő.

Példa.

Vizsgáljunk meg egy vektorrendszert lineáris függőségre!

Megoldás.

Nem nehéz észrevenni, hogy a c vektor koordinátái megegyeznek a vektor megfelelő koordinátáival, szorozva 3-mal, azaz . Ezért az eredeti vektorrendszer lineárisan függ.