Az egyenlet levezetése egy rugalmas rúd kis hosszirányú rezgéseire. Hosszanti hullámok. Változó keresztmetszetű rudak rezgései
MECHANIKA
UDC 531.01/534.112
EGY RÚDACSOMAG HOSSZANTÍTÁSI REZGÉSE
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moszkva, Orosz Föderáció email: [e-mail védett]; [e-mail védett]
A folyékony-hajtóanyagú rakéták dinamikájában fontos szerepet játszik a rakétamozgás stabilitásának problémája, amikor hosszanti rugalmas oszcillációk lépnek fel. Az ilyen oszcillációk megjelenése önrezgések létrejöttéhez vezethet, amelyek, ha a rakéta hosszirányban instabil, gyors pusztulásához vezethet. A rakétacsomag hosszirányú oszcillációinak problémáját számítási modellként egy rudakból álló csomagot alkalmazunk. Elfogadott, hogy a rakétatartályokban lévő folyadék „befagyott”, azaz. a folyadék saját mozgásait nem veszik figyelembe. Megfogalmazzuk a vizsgált probléma teljes energiamérlegének törvényét, és megadjuk annak operátori megfogalmazását. Adunk egy numerikus példát, amelyre meghatározzuk a frekvenciákat, valamint megszerkesztjük és elemzik a természetes rezgések alakját.
Kulcsszavak: hosszanti rezgések, rezgések gyakorisága és alakja, rudak csomagja, teljes energiaegyensúly törvénye, önadjunkt operátor, rezgésspektrum, POGO.
RÚDAK RENDSZERE HOSSZÚ REZGÉSEK A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, Moszkva, Orosz Föderáció e-mail: [e-mail védett]; [e-mail védett]
A folyékony üzemanyagú rakéták dinamikájának kérdésében fontos szerepet játszik a rakéta mozgásstabilitási problémája a hosszanti rugalmas rezgések megjelenésével. Az ilyen jellegű rezgések előfordulása önrezgéseket válthat ki, amelyek a rakéta hosszirányú instabilitása esetén a rakéta gyors pusztulását okozhatják. A folyékony tüzelőanyag-rakéta hosszirányú rezgésének problémáját a csomagséma alapján a csomagrudak, mint számítási modell felhasználásával fogalmaztuk meg. Feltételezhető, hogy a rakétatartályokban lévő folyadék „befagyott”, azaz. a folyadék megfelelő mozgását nem tartalmazza. Erre a problémára megfogalmaztam az energiatakarékossági elvet és megadtam annak operátori stádiumát. Van egy numerikus példa, amelyre meghatározták a frekvenciákat, felépítették és elemezték az Eigen rezgés formáit.
Kulcsszavak: longitudinális rezgések, sajátmódusok és -frekvenciák, rúdmodell, energiamegmaradási elv, önadjungált operátor, rezgésspektrum, POGO.
Bevezetés. Jelenleg Oroszországban és külföldön a rakomány kívánt pályára történő indításához gyakran használnak olyan hordozórakétákat, amelyek csomagelrendezése azonos, a központi blokk körül egyenletesen elosztott oldalblokkokkal.
A csomagszerkezetek rezgéseinek vizsgálata bizonyos nehézségekbe ütközik az oldalsó és a központi blokkok dinamikus hatásával kapcsolatban. A hordozórakéta-elrendezés szimmetriája esetén a csomagterv blokkjainak összetett, térbeli kölcsönhatása véges számú rezgéstípusra bontható, amelyek közül az egyik a központi és oldalsó blokkok hosszirányú rezgései. A munka részletesen tárgyalja egy ilyen szerkezet hosszirányú rezgésének matematikai modelljét vékony falú rudak csomagja formájában. Rizs. 1. A központi vázlat- Ez a cikk bemutatja a longitudinális elméleti rudat és számítási eredményeit.
egy rúdcsomag rezgései, kiegészítve az A.A. által végzett vizsgálatot. Kár.
A probléma megfogalmazása. Tekintsük egy l0 hosszúságú központi rúdból és N azonos hosszúságú j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, j = 1, 2,..., N oldalsó rúdból álló rúdcsomag egyéb hosszirányú rezgéseit. az A pontban (xA = l) (1. ábra) k merevségű központi rugóelemekkel.
Vezessünk be egy fix OX referenciakeretet, és tegyük fel, hogy az EFj (x) rudak merevsége, az mj (x) eloszlási tömeg és a q (x,t) zavar az x koordináta korlátos függvényei:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Hosszanti rezgések során keletkezzenek Uj (x, t) elmozdulások az egyenletek által meghatározott x koordinátájú rudak szakaszaiban. mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) peremfeltételek a normál erők hiányára a rudak végein 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; a rudakban fellépő normál erők egyenlőségének feltételei, EF-3 = F x = l rugóelemek rugalmas erői FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; az elmozdulások egyenlőségének feltétele a központi rúd xa pontjában Shch (ha-o) = Shch (xa+o) és kezdeti feltételek Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ u(x, 0) = u(x), ahol u(x, 0) = "d^1(x, 0). A teljes energiamérleg törvénye. Szorozzuk meg a (2) egyenletet u(x,ξ)-vel, integráljuk az egyes rudak hosszát, és adjuk össze az eredményeket peremfeltételek (3) és egyezési feltétel (4) segítségével. Ennek eredményeként azt kapjuk (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -)(nem - Uj)2 dx = / ^ (x, £) őket y (x, £) (x, (6) ahol 8 (x - ¡y) a Dirac delta függvény. A (6) egyenletben a göndör zárójelben szereplő első tag a rendszer T (¿) kinetikus energiáját jelenti, a második a rudak deformációja által okozott Pr (£) potenciális energiát, a harmadik pedig a potenciális energiát Pk (£) a rugóelemek, amelyek rugalmas alakváltozások jelenlétében rudak alakba írhatók Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. A (6) egyenlet azt mutatja, hogy a vizsgált mechanikai rendszer egységnyi idő alatti összenergiájának változása egyenlő a teljesítménnyel külső hatás. q (x,t) külső zavar hiányában megkapjuk a teljes energia megmaradásának törvényét: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Filmezés. Az energiamérleg törvénye azt mutatja, hogy tetszőleges t időre az Uj (x, t) függvények az L2j(; m3 (x)) Hilbert-tér elemeinek tekinthetők, amelyeket a skalárszorzat ¡i hosszon határoz meg. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 és a megfelelő norma. Vezessünk be egy H Hilbert-teret, amely egyenlő az L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N ortogonális összeggel, egy U = (uo, Ui,..., uN)т vektorfüggvényt és egy A operátort, amely az reláció szerint H tér AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" -n meghatározott operátorok a (3) és (4) feltételeket kielégítő funkciók B (A33) С Н beállítása. Az eredeti feladat (1)-(5) a kezdeti feltételekkel együtt az űrlapba kerül Au = f (*), u (0) = u0, 17 (0) = u1, (7) ahol f (*) = ((*),51 (*),..., Yam (¿))t. Lemma. 1. Ha az első két feltétel (1) teljesül, akkor a (7) evolúciós feladatban szereplő A operátor egy korlátlan, önadjungált, pozitív határozott operátor a H térben. (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Az A operátor a HA energiateret az érték kétszeresének megfelelő normával állítja elő potenciális energia rúdcsomag rezgései 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H A fenti eredményekből az következik, hogy az A operátor energianormáját a (8) képlet fejezi ki. Az evolúciós probléma megoldhatósága. Fogalmazzuk meg a következő tételt. Tétel 1. Teljesüljenek a feltételek U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H), akkor a (7) feladatnak van egy egyedi gyenge U (t) megoldása a képlettel definiált intervallumon U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 külső zavar hiányában f (£) teljesül az energiamegmaradás törvénye 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Egy csomag rúd természetes rezgései. Tegyük fel, hogy a rúdrendszerre nem hat a külső erőtér: f (t) = 0. Ebben az esetben a rudak mozgását szabadnak nevezzük. A rudak szabad mozgását, az exp (iwt) törvény szerinti t időtől függően, természetes rezgéseknek nevezzük. Ha a (7) egyenletben U (x, t) = U (x) eiWÍ, megkapjuk az A operátor spektrális problémáját: AU - AEU = 0, L = w2. (9) Az A operátor tulajdonságai lehetővé teszik, hogy tételt fogalmazzunk meg a sajátfüggvények spektrumáról és tulajdonságairól. 2. Tétel. Egy pálcacsomag természetes rezgéseire vonatkozó spektrális probléma (9) diszkrét pozitív spektrummal rendelkezik 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то és egy sajátfüggvényrendszer (Uk (x))^=0, teljes és merőleges a H és HA terekben, és teljesülnek a következő ortogonalitási képletek: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i A spektrális probléma vizsgálata homogén rúdcsomag esetén. Az m- (x, £) eltolási függvényt m- (x, £) = m- (x) formában bemutatva a változók szétválasztása után minden rúdra spektrális problémákat kapunk: ^Ou + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) amelyet mátrix alakban írunk fel 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Megoldás és a kapott eredmények elemzése. Jelöljük a központi rúd elmozdulási függvényeit a szakaszban u01-el, a szakaszban pedig u02-vel (g). Ebben az esetben az u02 függvénynél a koordináták origóját a / koordinátájú pontra mozgatjuk. Minden rúdra bemutatjuk a (10) egyenlet megoldását a formában A (11) ismeretlen állandók megtalálásához a fent megfogalmazott peremfeltételeket használjuk. A homogén peremfeltételekből meg lehet határozni néhány állandót, nevezetesen: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Ennek eredményeként meg kell találni N + 3 állandót: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Ehhez N + 3 egyenletet oldunk meg N + 3 ismeretlenre. Írjuk fel a kapott rendszert mátrix alakban: (A) (C) = (0) . Itt (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t az ismeretlenek vektora; (A) - karakterisztikus mátrix, cos (A1) EF0 A sin (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 év 00 00 0 000 év a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2^; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k szov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. A nem triviális megoldás megtalálásához a C01 € M állandót vesszük változónak. Két lehetőségünk van: C01 = 0; C01 = 0. Legyen C01 = 0, majd C03 = C04 = 0. Ebben az esetben nemtriviális megoldást kaphatunk, ha 7 = 0 a (12)-ből, ha a további feltétel teljesül £ s-1 = 0, (13) amelyet a (12) rendszer harmadik egyenletéből kaphatunk. Ennek eredményeként egy egyszerű frekvenciaegyenletet kapunk EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , egybeesik az egyik végén rugalmasan rögzített rúd frekvenciaegyenletével, amely az első részrendszernek tekinthető. Ebben az esetben az oldalrudak minden lehetséges mozgáskombinációja, amely kielégíti a (13) feltételt, feltételesen felosztható a különböző fáziskombinációknak megfelelő csoportokra (a vizsgált esetben a fázist a C.d jel határozza meg). Ha feltételezzük, hogy az oldalrudak azonosak, akkor két lehetőségünk van: 1) Сд = 0, akkor az ilyen kombinációk száma n különböző N esetén az n = N 2 képlettel számítható ki, ahol az osztásfüggvény maradék nélkül; 2) a C- konstansok bármelyike (vagy bármelyik) egyenlő 0-val, akkor a lehetséges kombinációk száma nő, és a képlettel meghatározható £ [(N - m) oszt 2]. Legyen Coi = 0, akkor Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), ahol in és y a (12)-ben szereplő komplexek. A (12) rendszerből még a következőket kapjuk: C03 = C01 cos (Af); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), azaz. minden állandót C01-en keresztül fejezünk ki. A frekvenciaegyenlet alakját veszi fel EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 L Példaként vegyünk egy négy oldalrúddal rendelkező rendszert. A fent leírt módszeren kívül ennél a példánál felírhat egy frekvenciaegyenletet a teljes rendszerre úgy, hogy az A mátrix determinánsát kiszámítja és nullával egyenlővé teszi. Nézzük meg Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. A transzcendentális frekvenciaegyenletek grafikonjait a fent vizsgált esetekre az ábra mutatja be. 2. Kiindulási adatoknak a következőket vettük: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m A vizsgált áramkör első három rezgési frekvenciájának értékei az alábbiak: n................................................ és örülök................................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Rizs. 2. Transzcendentális frekvenciaegyenletek grafikonjai Coi = 0 (i) és Coi = 0 (2) esetén Mutassuk be a kapott megoldásoknak megfelelő rezgésmódokat (általános esetben a rezgésmódok nincsenek normalizálva). Az első, második, harmadik, negyedik, 13 és 14 frekvenciának megfelelő rezgésformákat az ábra mutatja. 3. Az első rezgési frekvencián az oldalrudak azonos alakúak, de páronként ellenfázisban rezegnek 3. ábra. Az oldalsó (1) és a középső (2) rudak vibrációs formái megfelelnek az első V = 3,20 Hz (a), a második V = 5,02 Hz (b), a harmadik V = 10,11 Hz (c), a negyedik V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) és 14. V = 50,88 Hz (f) frekvenciák (3. ábra, a), a másodiknál a központi rúd oszcillál, az oldalsó rúd pedig ugyanolyan formában oszcillál fázisban (3. ábra, b). Meg kell jegyezni, hogy az első és második rezgési frekvencia a figyelembe vett rúdrendszer szilárd testekből álló rendszer rezgéseinek felel meg. Amikor a rendszer a harmadik sajátfrekvenciával oszcillál, akkor először csomópontok jelennek meg (3c. ábra). A harmadik és az azt követő frekvenciák (3d. ábra) a rendszer rugalmas rezgéseinek felelnek meg. A rezgések frekvenciájának növekedésével, amely a rugalmas elemek hatásának csökkenésével jár, a rezgések gyakorisága és alakja részleges (3. ábra, e, f). ábrán láthatók azok a függvények görbéi, amelyeknek az abszcissza tengellyel való metszéspontja transzcendentális egyenletek megoldása. 4. Az ábra szerint a rendszer rezgéseinek sajátfrekvenciái a parciális frekvenciák közelében helyezkednek el. Ahogy fentebb megjegyeztük, a frekvencia növekedésével a természetes frekvenciák konvergenciája növekszik a részleges frekvenciákkal. Ennek eredményeként a frekvenciák, amelyeken az egész rendszer rezeg, feltételesen két csoportra oszthatók: az oldalrúd részfrekvenciáihoz közeli frekvenciákra és a központi rúd részfrekvenciáihoz közeli frekvenciákra. Következtetések. Megfontoljuk a rudak csomagjának hosszanti rezgésének problémáját. A szállított termék tulajdonságai határérték problémaés sajátértékeinek spektruma. A spektrális problémára megoldást javasolunk tetszőleges számú homogén oldalrúdra. Numerikus példaként megkeresik az első rezgési frekvenciák értékeit, és megszerkesztik a megfelelő alakzatokat. A felépített rezgésmódok néhány jellemző tulajdonságát is feltártuk. Rizs. 4. A függvények görbéi, amelyeknek az abszcissza tengellyel való metszéspontjai transzcendentális egyenletek megoldásai, CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) esetén egybeesnek az első részrendszerrel (rugalmasra erősített oldalrúd) elem az x = I pontban és a második részrendszer (5) (a központi rúd négy rugalmas elemhez van rögzítve az A pontban) IRODALOM 1. Kolesnikov K.S. A rakéták dinamikája. M.: Gépészet, 2003. 520 p. 2. Ballisztikus rakéták és hordozórakéták / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin et al. M.: Bustard, 2004. 511 p. 3. Rabinovich B.I. Bevezetés az űrrepülőgép-hordozórakéták dinamikájába. M.: Gépészet, 1974. 396 p. 4. Parameter study on POGO stability of liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. évf. 48. Is. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Folyékony meghajtású hordozórakéták longitudinális rezgésének elemzési módszerei // Cosmonautics and Rocket Science. 1995. No. 5. P. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. A szakaszos elrendezésű folyékony rakéta matematikai modelljének jellemzői, mint vezérlőobjektum // A modern gépészet válogatott szilárdsági problémái. 2008. 43-55.o. 7. Dokuchaev L.V. Módszerek fejlesztése a csomaghordozó rakéták dinamikájának tanulmányozására, figyelembe véve szimmetriájukat // Cosmonautics and Rocket Science. 2005. 2. szám P. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Hozzávetőleges analitikai módszerek kidolgozása természetes és kényszerrezgések számítására rugalmas héjak folyadékkal: disz. ... Dr. Tech. Sci. M., 2005. 220 p. 9. Crane S.G. Lineáris differenciálegyenletek Banach-terekben. M.: Nauka, 1967. 464 p. 10. Kopachevsky I.D. Operátori módszerek matematikai fizika. Szimferopol: LLC "Forma", 2008. 140 p. Kolesnikov K.S. Dinamika raket. Moszkva, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., szerk. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Moszkva, Drofa Publ., 2003. 511 p. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moszkva, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Paramétertanulmány a folyékony üzemanyagú rakéta POGO stabilitásával kapcsolatban. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48, iss. 3, pp. 537-541. Balakirev Yu.G. Folyékony hajtóanyagú motorral működő hordozórakéták hosszirányú rezgésének elemzési módszerei. Kosm. i raketostr. , 1995, 1. sz. 5, pp. 50-58 (orosz nyelven). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moszkva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (idézett pp. 4355). Dokuchaev L.V. Klaszteres hordozórakéták dinamikájának vizsgálati módszereinek fejlesztése szimmetriájukat figyelembe véve. Kosm. i raketostr. , 2005, sz. 2, pp. 112-121 (orosz nyelven). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p. A cikk 2014. április 28-án érkezett a szerkesztőhöz Arszenyij Mihajlovics Pavlov - a Moszkvai Állami Műszaki Egyetem Űrhajók és hordozórakéta Tanszékének hallgatója. N.E. Bauman. Szakterülete a rakéta- és űrtechnológia. MSTU im. N.E. Baumash, Orosz Föderáció, 105005, Moszkva, 2. Baumanskaya st., 5. Pavlov A.M. - a Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem "Spacecrafts and Launch Vehicles" tanszékének hallgatója. A rakéta- és űrtechnológia szakértője. Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moszkva, 105005 Orosz Föderáció. Temnov Alekszandr Nyikolajevics – Ph.D. fizika és matematika Tudományok, a Moszkvai Állami Műszaki Egyetem Űrhajók és Indítójárművek Tanszékének docense. N.E. Bauman. 20 év feletti szerző tudományos munkák a folyadék- és gázmechanika, valamint a rakéta- és űrtechnológia területén. MSTU im. N.E. Baumash, Orosz Föderáció, 105005, Moszkva, 2. Baumanskaya st., 5. Temnov A.N. - Cand. Sci. (Phys.-Math.), assoc. a Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem "Űrhajók és hordozórakéták" tanszékének professzora. Több mint 20 publikáció szerzője a folyadék- és gázmechanika, valamint a rakéta- és űrtechnológia területén. Bauman Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moszkva, 105005 Orosz Föderáció. Ebben a részben megvizsgáljuk a homogén rúd hosszirányú rezgésének problémáját. A rúd egy hengeres (különösen prizmás) test, amelynek nyújtásához vagy összenyomásához bizonyos erőt kell kifejteni. Feltételezzük, hogy minden erő a rúd tengelye mentén hat, és a rúd minden keresztmetszete (23. ábra) csak a rúd tengelye mentén mozog transzlációsan. Ez a feltételezés általában akkor indokolt, ha a rúd keresztirányú méretei a hosszához képest kicsik, és a rúd tengelye mentén ható erők viszonylag kicsik. A gyakorlatban a hosszanti rezgések leggyakrabban akkor lépnek fel, amikor a rudat először kissé megfeszítik, vagy fordítva, összenyomják, majd magára hagyják. Ebben az esetben szabad hosszirányú rezgések keletkeznek benne. Vezessük le ezeknek a rezgéseknek az egyenleteit. Irányítsuk az abszcissza tengelyt a rúd tengelye mentén (23. ábra); nyugalmi állapotban a rúd végein abszciszák vannak, ill. - az abszcisszán nyugalomban van. Ennek a szakasznak az eltolódását bármely t időpontban egy függvény jellemzi, amelynek megtalálásához differenciálegyenletet kell létrehoznunk. Határozzuk meg először a rúd szakaszok által határolt szakaszának relatív nyúlását. Ha a szelvény abszcisszája nyugalmi állapotban van, akkor ennek a szakasznak a t időpontban történő elmozdulása, magasabb rendű végtelenségig egyenlő. Ezért a rúd relatív nyúlása az abszcissza szakaszban t időpontban egyenlő Feltételezve, hogy az ezt a nyúlást okozó erők engedelmeskednek a Hooke-törvénynek, meg fogjuk találni a metszetre ható T feszítőerő nagyságát: ahol a rúd keresztmetszete, és a rúd anyagának rugalmassági modulusa (Young modulusa). Az (5.2) képletet jól ismernie kell az olvasó számára az anyagok szilárdságáról szóló kurzusból. Ennek megfelelően a szakaszra ható erő egyenlő Mivel az erők helyettesítik a rúd eldobott részeinek hatását, a keletkező erejük egyenlő a különbséggel A rúd kiválasztott szakaszának számolása anyagi pont tömeggel ahol - térfogatsűrűség rudat, és Newton második törvényét alkalmazva létrehozzuk az egyenletet A jelölés rövidítésével és bevezetésével megkapjuk a rúd szabad hosszirányú rezgésének differenciálegyenletét Ha ezenfelül feltételezzük, hogy a rúdra egységnyi térfogatra számított, a rúd tengelye mentén ható külső erő hat, akkor az (5 3) összefüggés jobb oldalához hozzáadunk egy tagot, és az (5.4) egyenlet a forma ami pontosan egybeesik a húr kényszerrezgésének egyenletével. Térjünk át a probléma kezdeti és peremfeltételeinek megállapítására, és vegyük figyelembe a gyakorlatilag legérdekesebb esetet, amikor a rúd egyik vége rögzített, a másik szabadon van. A szabad végén a peremfeltételnek más formája lesz. Mivel ezen a végén nincsenek külső erők, a szakaszban ható T erőnek is nullával kell egyenlőnek lennie, azaz. Az oszcillációk azért fordulnak elő, mert a kezdeti pillanatban a rúd deformálódott (megnyúlt vagy összenyomódott), és bizonyos kezdeti sebességeket adtak a rúd pontjaihoz. Ezért ismernünk kell a rúd keresztmetszeteinek pillanatnyi elmozdulását valamint a rúd pontjainak kezdeti sebességei Tehát az egyik végén rögzített rúd szabad hosszirányú rezgésének problémája, amely a kezdeti összenyomás vagy feszültség miatt keletkezik, elvezetett minket az egyenlethez kezdeti feltételekkel és peremfeltételek Ez az utolsó feltétel, amely matematikai szempontból megkülönbözteti a vizsgált problémát a két végén rögzített karakterlánc rezgésének problémájától. Megoldjuk a Fourier-módszer által feltett problémát, azaz az (5.8) egyenlet peremfeltételeit kielégítő részmegoldásait a formában Mivel a megoldás további menete hasonló a 3. §-ban már vázolthoz, csak rövid instrukciókra szorítkozunk. A függvényt differenciálva, a kapott kifejezéseket (5.6)-ba helyettesítve és a változókat szétválasztva kapjuk (Az olvasóra bízzuk annak önálló megállapítását, hogy a peremfeltételek miatt a jobb oldali konstans nem lehet pozitív szám vagy nulla.) Általános megoldás az egyenletnek megvan a formája A funkcióra támasztott feltételek miatt lesz A nullával nem azonos megoldásokat csak akkor kapjuk meg, ha a feltétel teljesül, azaz a esetén, ahol k értéket vehet fel Tehát a probléma sajátértékei a számok Mindegyiknek megvan a maga funkciója Mint már tudjuk, bármely sajátfüggvény tetszőleges állandóval való megszorzásával az egyenlet megoldását kapjuk a beállított peremfeltételekkel. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha a k számnak negatív értéket adunk, akkor nem csak előjelben kapunk új sajátfüggvényeket (például at akarat a sajátfüggvénytől eltérő függvényt eredményez), Először bizonyítsuk be, hogy az (5.11) sajátfüggvények ortogonálisak az intervallumban. Valóban, mikor Ha akkor A sajátfüggvények ortogonalitása más módon is igazolható, nem explicit kifejezéseikre hagyatkozva, hanem csak differenciálegyenletés regionális usuvia. Legyen és két különálló sajátérték, és legyen a megfelelő sajátfüggvény. Értelemszerűen ezek a függvények kielégítik az egyenleteket és peremfeltételek. Az első egyenletet szorozzuk meg a másodikkal, és vonjuk ki az egyiket a másikból. A rúd olyan test, amelynek egyik mérete, amelyet hosszantinak nevezünk, a hosszirányra merőleges síkban jelentősen meghaladja a méreteit, azaz. keresztirányú méretek. A rúd fő tulajdonsága a hosszirányú összenyomással (feszítéssel) és hajlítással szembeni ellenállás. Ez a tulajdonság alapvetően különbözteti meg a rudat a zsinórtól, amely nem nyúlik és nem ellenáll a hajlításnak. Ha a rúd anyagának sűrűsége minden pontján azonos, akkor a rudat homogénnek nevezzük. Általában a zárt hurokkal határolt, kiterjesztett testeket rúdnak tekintjük. hengeres felület. Ebben az esetben a keresztmetszeti terület állandó marad. Pontosan egy ilyen egyenletes hosszúságú rúd viselkedését vizsgáljuk meg l, feltételezve, hogy csak összenyomásnak vagy feszítésnek van kitéve, engedelmeskedve Hooke törvényének. Egy rúd kis hosszirányú deformációinak vizsgálatakor az ún síkmetszetek hipotézise. Ez abban rejlik, hogy a keresztmetszetek, amelyek a rúd mentén nyomás vagy feszítés hatására mozognak, laposak és egymással párhuzamosak maradnak. Irányítsuk a tengelyt x a rúd hossztengelye mentén (19. ábra), és feltételezzük, hogy a kezdeti pillanatban a rúd végei pontokban vannak x=0És x=l. Vegyük a rúd tetszőleges szakaszát a koordinátával x. Jelöljük azzal u(x,t) ennek a szakasznak az eltolása az időpontban t, majd a szakasz elmozdulása koordinátával
ugyanabban az időpillanatban egyenlő lesz Ezután a rúd relatív nyúlása metszetben x egyenlő lesz A Hooke-törvény szerinti nyúlási ellenállási erő egyenlő lesz Ahol E– a rúd anyagának rugalmassági modulusa (Young modulus), és S – keresztmetszeti terület. Egy hosszúságú rúd szakaszának határainál dx erők hatnak rá TxÉs T x + dx, a tengely mentén irányítva x. Ezen erők eredője egyenlő lesz és a vizsgált rúdszakasz gyorsulása egyenlő , akkor a rúd ezen szakaszának mozgásegyenlete a következő lesz: Ahol ρ –
a rúd anyagának sűrűsége. Ha ez a sűrűség és a Young-modulus állandó, akkor a mennyiséget az egyenlet mindkét oldalát elosztva adhatjuk meg Sdx, végre kap a rúd hosszirányú rezgésének egyenlete külső erők hiányában Ennek az egyenletnek ugyanaz a formája, mint a keresztirányú húrrezgések egyenleteés a megoldási módok is megegyeznek, azonban az együttható a Ezek az egyenletek különböző mennyiségeket képviselnek. A string egyenletben a mennyiség a 2 törtet jelent, melynek számlálója a húr állandó feszítőereje - T, a nevezőben pedig a lineáris sűrűség ρ
, és a karakterlánc egyenletben a számlálók tartalmazzák a Young-modulust és a nevezőt – térfogati rúd anyagsűrűsége ρ
. Ezért fizikai jelentése mennyiségeket a ezekben az egyenletekben más. Ha egy húrnál ez az együttható egy kis keresztirányú elmozdulás terjedési sebessége, akkor egy rúdnál ez egy kis hosszirányú nyújtás vagy összenyomás terjedési sebessége, és ún. hangsebesség, mivel ezen a sebességen terjednek el a hangot jelképező kis hosszanti rezgések a rúd mentén. A (68) egyenlethez beállítjuk kezdeti feltételek, amelyek meghatározzák a rúd bármely szakaszának elmozdulását és elmozdulási sebességét a kezdeti időpontban: Korlátozott rúd esetén a rögzítési vagy erőkifejtési feltételek a végeinél az 1., 2. és 3. típusú peremfeltételek formájában vannak megadva. Az első típusú peremfeltételek a rúd végének hosszirányú elmozdulását határozzák meg: Ha a rúd végei mozdulatlanul vannak rögzítve, akkor (6) A második típusú peremfeltételek esetén a rúd végein rugalmas erőket adnak meg, amelyek a Hooke-törvény szerinti deformációból erednek az idő függvényében. A (66) képlet szerint ezek az erők egy állandó tényezőig egyenlők a deriválttal u x, ezért a végén ezeket a deriváltokat az idő függvényeiként adjuk meg: Ha a rúd egyik vége szabad, akkor ezen a végén u x = 0. A harmadik típusú peremfeltételek olyan feltételekként ábrázolhatók, amelyek mellett a rúd mindkét végére egy rugó csatlakozik, amelynek másik vége egy adott időtörvény szerint mozog a tengely mentén. θ
(t), amint az az ábrán látható. 20. Ezek a feltételek a következőképpen írhatók fel Ahol k 1 és k 2 – rugómerevség. Ha a rúdra a tengely mentén külső erő is hat p(x,t), egységnyi térfogatra számolva, akkor az (50) egyenlet helyett ne írjunk homogén egyenlet Ami az elosztás után felveszi a formát Ahol Megjegyzés. Meg kell jegyezni, hogy mind a húr, mind a rúd valódi testek modelljei, amelyek a valóságban mind a húr, mind a rúd tulajdonságait mutathatják, attól függően, hogy milyen körülmények között helyezkednek el. Ráadásul az így kapott egyenletek nem veszik figyelembe a környezeti ellenállási erőket és a belső súrlódási erőket, aminek következtében ezek az egyenletek csillapítatlan rezgéseket írnak le. A csillapító hatás figyelembevételére a legegyszerűbb esetben a sebességgel arányos, a mozgással ellentétes irányba irányított disszipatív erőt alkalmazunk, pl. sebesség. Ennek eredményeként a (73) egyenlet felveszi a formát MEGHATÁROZÁS Hosszanti hullám– ez egy hullám, melynek terjedése során a közeg részecskéi a hullám terjedési irányába elmozdulnak (1. ábra, a). A longitudinális hullám oka a kompresszió/kinyújtás, azaz. a közeg ellenállása a térfogatváltozással szemben. Folyadékokban vagy gázokban az ilyen deformáció a közeg részecskéinek ritkulásával vagy tömörödésével jár együtt. A longitudinális hullámok bármilyen közegben terjedhetnek - szilárd, folyékony és gáz halmazállapotú. A longitudinális hullámok például a rugalmas rúdban lévő hullámok vagy a gázokban lévő hanghullámok. MEGHATÁROZÁS Keresztirányú hullám– ez egy hullám, melynek terjedése során a közeg részecskéi a hullám terjedésére merőleges irányban elmozdulnak (1. ábra, b). A keresztirányú hullám oka a közeg egyik rétegének a másikhoz viszonyított nyírási deformációja. Amikor egy keresztirányú hullám egy közegen keresztül terjed, gerincek és vályúk keletkeznek. A folyadékok és gázok, a szilárd anyagokkal ellentétben, nem rendelkeznek rugalmassággal a rétegek nyírására vonatkozóan, pl. ne álljon ellen az alakváltozásnak. Ezért a keresztirányú hullámok csak szilárd testekben terjedhetnek. A keresztirányú hullámok például a kifeszített kötélen vagy húron haladó hullámok. A folyadék felszínén a hullámok nem hosszirányúak és nem keresztirányúak. Ha feldobunk egy úszót a víz felszínére, láthatjuk, hogy körkörösen imbolyogva mozog a hullámokon. Így a folyadék felszínén lévő hullámnak keresztirányú és hosszanti összetevői is vannak. Egy folyadék felszínén is megjelenhetnek speciális típusú hullámok - az ún felszíni hullámok. A felületi feszültség hatásának és erejének eredményeként keletkeznek. 1. PÉLDA Egy bizonyos idő elteltével rajzoljuk meg a hullám felszínét az úszó közelében, figyelembe véve, hogy ezalatt az úszó lesüllyedt, mivel az adott pillanatban lefelé irányult. Folytatva a sort jobbra és balra, megmutatjuk a hullám helyzetét az adott időpontban. Összehasonlítva a hullám helyzetét a kezdeti időpillanatban (folytonos vonal) és az időpillanatban (szaggatott vonal), arra a következtetésre jutottunk, hogy a hullám balra terjed. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (nyomtatott) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3 PROBLÉMA EGY RUGALMASAN RÖGZÍTETT TERHELÉS RÚD HOSSZÚ REZGÉSEKKEL A. B. Beilin Samara állam műszaki egyetem, Oroszország, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244. Annotáció A végein koncentrált tömegek és rugók segítségével rögzített vastag rövid rúd egydimenziós hosszirányú rezgéseit vesszük figyelembe. Egy negyedrendű hiperbolikus egyenlet dinamikus peremfeltételeivel kapcsolatos kezdeti határérték-problémát használunk matematikai modellként. Ennek a modellnek a megválasztása annak köszönhető, hogy figyelembe kell venni a rúd keresztirányú deformációjának hatásait, amelyek figyelmen kívül hagyása, amint azt Rayleigh kimutatta, hibához vezet, amit a modern nemlokális koncepció is megerősít. szilárd testek rezgésének tanulmányozása. A vizsgált probléma terhelésre merőleges sajátfüggvény-rendszerének létezését bebizonyítjuk, és megkapjuk azok reprezentációját. A sajátfüggvények megállapított tulajdonságai lehetővé tették a változók szétválasztási módszerének alkalmazását és a feltett probléma egyedi megoldásának bizonyítását. Kulcsszavak: dinamikus peremfeltételek, longitudinális rezgések, ortogonalitás a terheléssel, Rayleigh-modell. Bevezetés. Minden működő mechanikai rendszerben oszcillációs folyamatok mennek végbe, melyeket különböző okok generálhatnak. Az oszcillációs folyamatok következményei lehetnek tervezési jellemzők rendszerek vagy a terhelések újraelosztása egy normálisan működő szerkezet különböző elemei között. Az oszcillációs folyamatok forrásainak jelenléte a mechanizmusban megnehezítheti állapotának diagnosztizálását, sőt működési módjának megzavarásához, egyes esetekben megsemmisítéséhez is vezethet. Különféle pontossági és teljesítménybeli problémák mechanikai rendszerek egyes elemeik rezgése következtében a gyakorlatban gyakran kísérletileg oldják meg. Ugyanakkor az oszcillációs folyamatok nagyon hasznosak lehetnek például anyagok feldolgozásakor, kötések össze- és szétszerelésénél. Az ultrahangos rezgések nemcsak a nagy keménységű anyagok (volfrámtartalmú acélok, titán-karbid acélok stb.) forgácsolási folyamatainak (fúrás, marás, köszörülés stb.) intenzívebbé tételét teszik lehetővé, © 2016 Samara Állami Műszaki Egyetem. Idézet sablon Beilin A. B. Rugalmasan rögzített terhelt rúd hosszirányú rezgésének problémája // Vestn. Magamat. állami tech. un-ta. Ser. Fiz.-matek. Sciences, 2016. T. 20, No. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Szerzői információk Alekszandr Boriszovics Beilin (Ph.D., egyetemi docens; [e-mail védett]), egyetemi docens, tanszék. automatizált gép- és szerszámrendszerek. de bizonyos esetekben ez az egyetlen lehetséges módszer válhat a rideg anyagok (germánium, szilícium, üveg stb.) feldolgozására. Az ultrahangos rezgéseket a forrásból (vibrátorból) a szerszámba továbbító eszközelemet (hullámvezetőt) koncentrátornak nevezzük, és különböző formájú lehet: hengeres, kúpos, lépcsős, exponenciális stb. Célja, hogy a kívánt amplitúdójú rezgéseket továbbítsa a műszernek. Így az oszcillációs folyamatok fellépésének következményei, illetve az azokat kiváltó okok eltérőek lehetnek, így természetesen felmerül az igény a rezgési folyamatok elméleti vizsgálatára. A másodrendű hullámegyenletre épülő, viszonylag hosszú és vékony tömör rudak hullámterjedési matematikai modellje jól tanulmányozott és már régóta klasszikussá vált. Azonban, amint azt Rayleigh kimutatta, ez a modell nem teljesen felel meg a vastag, rövid rúd rezgésének vizsgálatának, míg a valódi mechanizmusok sok részlete rövid és vastag rúdként értelmezhető. Ebben az esetben a rúd keresztirányú deformációját is figyelembe kell venni. A vastag rövid rúd hosszirányú rezgésének matematikai modelljét, amely figyelembe veszi a rúd keresztirányú mozgásának hatásait, Rayleigh-rúdnak nevezik, és egy negyedrendű hiperbolikus egyenleten alapul. ^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1) amelyek együtthatóinak fizikai jelentése van: d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x), ahol A(x) a keresztmetszeti terület, p(x) a rúd tömegsűrűsége, E(x) a Young-modulus, V(x) a Poisson-tényező, 1P(x) a poláris tehetetlenségi nyomaték , u(x,b) - meghatározandó hosszirányú elmozdulások. Rayleigh ötletei megerősítésre és fejlődésre találtak kortárs alkotások a vibrációs folyamatoknak, valamint a plaszticitás elméletének szentelték. Az áttekintő cikk alátámasztja a szilárd testek terhelés alatti állapotát és viselkedését leíró klasszikus modellek hiányosságait, amelyekben a priori a test ideális kontinuumnak tekinthető. A természettudomány jelenlegi fejlettségi szintje új, a vizsgált folyamatokat kellően leíró modellek felépítését igényli, az elmúlt évtizedekben kidolgozott matematikai módszerek erre lehetőséget adnak. Ezen az úton, a múlt század utolsó negyedében sokak tanulmányozásának új megközelítése fizikai folyamatok, beleértve a fent említetteket is, a nem lokalitás fogalma alapján (lásd a cikket és a benne található hivatkozások listáját). A szerzők által azonosított nem lokális modellek egyik osztályát „gyengén nem lokálisnak” nevezik. Matematikai modellek, ebbe az osztályba tartozó, úgy valósítható meg, hogy egy bizonyos folyamatot leíró egyenletbe olyan magasrendű deriváltokat vezetünk be, amelyek lehetővé teszik, hogy bizonyos közelítéssel figyelembe vegyük a vizsgált tárgy belső elemeinek kölcsönhatását. Így Rayleigh modellje ma is aktuális. 1. A probléma megfogalmazása. Az x = 0, x = I rúd végeit L\, M2 koncentrált tömegek és rugók segítségével rögzítsük egy rögzített alapra, melyek merevsége K\ és K2. Feltételezzük, hogy a rúd a 0x tengely körül forgó test, és az idő kezdeti pillanatában nyugalomban van egyensúlyi helyzetben. Ezután elérkezünk a következő kezdeti határérték problémához. Feladat. Keresse meg a Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T területen< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) és peremfeltételek a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. () A cikk az (1)-(2) feladat néhány speciális esetét vizsgálja, és példákat ad, amelyekben az egyenlet együtthatói explicit alakúak, és M\ = M2 = 0. A cikk bizonyítja a probléma általánosságban egyedülálló gyenge megoldhatóságát. ügy. A (2) feltételeket a rúd rögzítésének módja határozza meg: végeit rögzített alapokhoz rögzítik néhány M\, M2 tömegű eszközzel, illetve K1, K2 merevségű rugókkal. A tömegek jelenléte és a keresztirányú elmozdulások figyelembevétele a (2) alakú feltételekhez vezet, amelyek időbeli származékokat tartalmaznak. Az idő deriváltokat tartalmazó peremfeltételeket dinamikusnak nevezzük. Különféle helyzetekben merülhetnek fel, amelyek közül a legegyszerűbbeket a tankönyv, a sokkal bonyolultabbakat pedig a monográfia írja le. 2. A rúd természetes rezgésének tanulmányozása. Tekintsünk az (1) egyenletnek megfelelő homogén egyenletet. Mivel az együtthatók csak x-től függenek, a változókat u(x,r) = X(x)T(r) felírással választhatjuk szét. Két egyenletet kapunk: t""(g) + \2t(g) = 0, ((a(x) - A2b(x))X"(x)" + A2dX(x) = 0. (3) A (3) egyenletet peremfeltételek kísérik (a(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0, (a(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4) Így eljutottunk a Sturm-Liouville problémához, amely abban különbözik a klasszikustól, hogy az A spektrális paraméter az egyenlet legmagasabb deriváltjának együtthatójában, valamint a peremfeltételekben szerepel. Ez a körülmény nem teszi lehetővé, hogy a szakirodalomból ismert eredményekre hivatkozzunk, így közvetlen célunk a (3), (4) probléma vizsgálata. A változó elválasztási módszer sikeres megvalósításához információra van szükségünk a sajátértékek létezéséről és elhelyezkedéséről, a minőségi sajátfüggvények tulajdonságai: van-e ortogonalitás tulajdonságuk? Mutassuk meg, hogy A2 > 0. Tegyük fel, hogy ez nem így van. Legyen X(x) a (3), (4) feladat sajátfüggvénye, amely megfelel az A = 0 értéknek. Szorozzuk meg (3) X(x)-szel, és integráljuk a kapott egyenlőséget a (0,1) intervallumon. Alkatrészenkénti integrálás és peremfeltételek alkalmazása (4), után elemi átalakulások kapunk 1(0) – L2Ъ(0))(a(1) – L2Ъ(1)) I (dX2 + bX"2)yx+ N\X 2(0) + M2X 2(1) I aX"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo Figyeljük meg, hogy az a(x), b(x), d(x) függvények fizikai jelentéséből pozitív, Kr, Mg nem negatív. De ekkor a kapott egyenlőségből az következik, hogy X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, tehát X(x) = 0, ami ellentmond a feltevésnek. Következésképpen az a feltételezés, hogy nulla a (3) feladat sajátértéke, a (4) helytelen. A (3) egyenlet megoldásának ábrázolása az a(x) - - A2b(x) kifejezés előjelétől függ. Mutassuk meg, hogy a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0.1). Rögzítsük tetszőlegesen x e-t (0,1), és keressük meg ezen a ponton az a(x), b(x), d(x) függvények értékeit. Írjuk fel a (3) egyenletet a formába X"(x) + VX (x) = 0, (5) ahol kijelöltük a kiválasztott fix ponton, és az űrlapba írunk feltételeket (4). Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6) ahol a, b könnyen kiszámítható. Mint ismeretes, a klasszikus Sturm-Liouville-probléma (5), (6) V > 0 esetén megszámlálható sajátfüggvény-készlettel rendelkezik, amelyből, mivel x tetszőleges, következik a szükséges egyenlőtlenség. A (3), (4) feladat sajátfüggvényei ortogonalitásúak a reláció által kifejezett terhelésre I (dХт(х)Хп(х) + БХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7) szabványos módon beszerezhető (lásd pl.), amelynek megvalósítása a vizsgált probléma esetén elemi, de gondos számításokkal jár. Röviden mutassuk be a származtatását, mellőzve az Xr(x) függvények argumentumát a nehézkesség elkerülése végett. Legyenek Am, An különböző sajátértékek, Xm, Xn a (3), (4) feladat megfelelő sajátfüggvényei. Majd ((a - L2tb)X"t)" + L2tdHt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdHp = 0. Az egyenletek közül az elsőt szorozzuk meg Xn-nel, a másodikat pedig Xm-mel, és vonjuk ki a másodikat az elsőből. Elemi transzformációk után megkapjuk az egyenlőséget (Lt - Lp)YХtХп = (аХтХП)" - ЛП(БХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Лт(БХтХп)", amelyet a (0,1) intervallumon keresztül integrálunk. Ennek eredményeként (4) figyelembe vételével (Lm - Ln) redukálva (7) összefüggést kapunk. A Sturm-Liouville-probléma (3), (4) sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek tulajdonságaira vonatkozó bizonyított állítások lehetővé teszik, hogy a változók szétválasztási módszerét alkalmazzuk a probléma megoldására. 3. A probléma megoldhatósága. Jelöljük C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)). 1. Tétel. Legyen a, b e C1, d e C. Ekkor az (1), (2) feladatnak legfeljebb egy u e C^t) megoldása van. Bizonyíték. Tegyük fel, hogy az (1), (2), u1(x,z) és u2(x,z) feladatnak két különböző megoldása van. Ekkor a feladat linearitása miatt u = u1 - u2 különbségük az (1), (2) pontoknak megfelelő homogén feladat megoldása. Mutassuk meg, hogy a megoldása triviális. Először is jegyezzük meg, hogy az egyenlet együtthatóinak fizikai jelentéséből és a peremfeltételekből az a, b, d függvények Qm-ben mindenhol pozitívak, M^, K^ pedig nem negatívak. Az (1) egyenlőséget megszorozva u-val és integrálva a Qt régióba, ahol t e és tetszőleges, egyszerű transzformációk után megkapjuk / (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0, amelyből m önkényessége miatt rögtön következik a tétel érvényessége. □ Be fogjuk bizonyítani, hogy létezik megoldás az állandó együtthatók esetére. 2. Tétel. Legyen<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, van egy harmadrendű szakaszonkénti folytonos deriváltja (0.1-ben), φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0, és van egy darabonkénti folytonos másodrendű deriváltja (0.1-ben) , f e C(C^m), akkor az (1), (2) feladat megoldása létezik, és sajátfüggvények sorozatának összegeként kapható meg. Bizonyíték. Szokás szerint a problémára megoldást keresünk egy összeg formájában ahol az első tag az (1)-nek megfelelő homogén egyenletre feltett probléma megoldása, a második az (1) egyenlet megoldása, amely kielégíti a nulla kezdeti és peremfeltételt. Használjuk az előző bekezdésben végzett kutatás eredményeit, és írjuk le a (3) egyenlet általános megoldását: X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx. \¡ a - A2b \¡ a - A2b A (4) peremfeltételt alkalmazva egy Cj-re vonatkozó egyenletrendszerhez jutunk! (a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0, (-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+ A determinánsát nullával egyenlővé téve megkapjuk a spektrális egyenletet ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8) b Va - A2b A^q(a - A2b) (Ki + K2 - A2 (Mi + M2)) Nézzük meg, van-e megoldása ennek a transzcendentális egyenletnek. Ehhez vegye figyelembe a bal és jobb oldalán lévő függvényeket, és vizsgálja meg viselkedésüket. Az általánosság túlzott korlátozása nélkül fogalmazzuk meg Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, ami kissé leegyszerűsíti a szükséges számításokat. A (8) egyenlet a következőt veszi fel x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" Jelöljük és írd fel a spektrális egyenletet új jelöléssel! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Az utolsó egyenlet bal és jobb oldalának függvényeinek elemzése lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy a Sturm-Liouville-probléma gyökeinek megszámlálható halmaza van, és így a Sturm-Liouville-probléma sajátfüggvényeinek megszámlálható halmaza (3), (4), amely a rendszerből c3 vonatkozásában kapott összefüggést figyelembe véve kiírható v / l l I q K - x2pm. l i q Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Most térjünk át a kezdeti feltételeket is kielégítő megoldás megtalálására. Most már könnyen megtalálhatjuk a probléma megoldását egy homogén egyenletre sorozat formájában u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), melynek együtthatói a kiindulási adatokból, az Xn(x) függvények ortogonalitási tulajdonságát felhasználva megkereshetők, melynek normája a (7) összefüggésből nyerhető: ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo A v(x,t) függvény megtalálásának folyamata is lényegében szabványos, de mégis megjegyezzük, hogy a hagyományos formában keresve a megoldást v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), két egyenletet kapunk. Valójában a sajátfüggvények típusát figyelembe véve tisztázzuk annak a sorozatnak a szerkezetét, amelynek formájában megoldást keresünk: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~ sin X^HAarx). (9) v JXnVa - xnb^q V a - xn " Az y(x, 0) = y^x, 0) = 0 zérus kezdeti feltételek teljesítéséhez megköveteljük, hogy Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. f( x,r) a Fourier-sorba az Xn(x) sajátfüggvények alapján, megtaláljuk a ¡n(b) és dn(b) együtthatókat. Ha a (9)-et behelyettesítjük az (1) egyenletbe, amelyet y(x, b) függvényében írunk fel, egy sor átalakítás után egyenleteket kapunk Yn(b) és Wn(b) meghatározására: yts® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Figyelembe véve a Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0 kezdeti feltételeket, a Vn(b) és Wn( függvények mindegyikére eljutunk a Cauchy-problémákhoz. b), amelynek egyedi megoldhatóságát a tétel feltételei garantálják. A tételben megfogalmazott kiindulási adatok tulajdonságai nem hagynak kétséget a kutatásunk során felmerült összes sorozat konvergenciája és így a feltett probléma megoldásának megléte felől. □ Következtetés. A vizsgált probléma terhelésre merőleges sajátfüggvény-rendszerének létezését bebizonyítjuk, és megkapjuk azok reprezentációját. A sajátfüggvények megállapított tulajdonságai lehetővé tették a feltett probléma egyedi megoldásának bizonyítását. Vegye figyelembe, hogy a cikkben kapott eredmények felhasználhatók mind a dinamikus peremfeltételekkel kapcsolatos problémák további elméleti tanulmányozására, mind gyakorlati célokra, nevezetesen számos műszaki objektum hosszirányú rezgésének kiszámítására. Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 BIBLIOGRÁFIAI LISTÁJA 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultrahangos megmunkálás és összeszerelés. Samara: Samara Könyvkiadó, 1995. 191 p. 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Anyagok ultrahangos dimenziós feldolgozása. Barnaul: Altáj Műszaki Egyetem, amelyről elnevezett. I.I. Polzunova, 1997. 120 p. 3. Kumabe D. Vibrációs vágás. M.: Gépészet, 1985. 424 p. 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. A matematikai fizika egyenletei. M.: Nauka, 2004. 798 p. 5. Strett J. V. A hang elmélete. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 p. 6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nemlineáris vibráció és egydimenziós szerkezetek. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 pp. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu Szilárd rúd szabad és kényszerrezgéseinek elmélete a Rayleigh-modell alapján // DAN, 2007. T. 417, 1. sz. 56-61.o. 8. Bazant Z., Jirasek M. A plaszticitás és a károsodás nem lokális integrált megfogalmazásai: A haladás felmérése // J. Eng. Mech., 2002. 128. évf. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beilin A. B., Pulkina L. S. Egy rúd longitudinális rezgésének problémája dinamikus peremfeltételekkel // Vestn. SamSU. Természettudomány szer., 2014. 3(114) sz. 9-19. 10. Korpusov M. O. Destrukció a nem klasszikus hullámegyenletekben. M.: URSS, 2010. 237 p. Szerkesztőséghez érkezett 2016.10.II.; végleges változatban - 18/V/2016; közzétételre elfogadva - 27/V/2016. Vestn. Számbárszarvas. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki 2016. évf. 20, sz. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (nyomtatott) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 PROBLÉMA A RUGALMAS RÖGZÍTÉSSEL RENDELKEZŐ RÚD HOSSZÚ REZGÉSÉVEL Samara Állami Műszaki Egyetem, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Orosz Föderáció. Ebben a cikkben egy vastag, rövid rúd hosszirányú rezgését vizsgáljuk, amelyet pontszerű erők és rugók rögzítettek. A matematikai modellhez egy peremérték-problémát veszünk figyelembe dinamikus peremfeltételekkel egy negyedrendű parciális differenciálegyenlethez. Ennek a modellnek a megválasztása attól függ, hogy figyelembe kell-e venni a keresztirányú alakváltozás eredményét. Rayleigh kimutatta, hogy a keresztirányú alakzat figyelmen kívül hagyása hibához vezet. Ezt a modern nemlokális rezgéselmélet is megerősíti. Bebizonyítjuk az ortogonális létezését terhelési sajátfüggvényekkel, és levezetjük ezek reprezentációját. A sajátfüggvények megállapított tulajdonságai lehetővé teszik a változók szétválasztási módszerét és a probléma egyedi megoldásának megtalálását. Kulcsszavak: dinamikus peremfeltételek, longitudinális rezgés, terhelt ortogonalitás, Rayleigh-modell. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (orosz nyelven) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 pp. (oroszul) 3. Kumabe J. Vibrációs vágás. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (japánul). 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moszkva, Nauka, 2004, 798 pp. (angolul) 5. Strutt J. W. The theory of sound, vol. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp. 6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nemlineáris vibráció és egydimenziós szerkezetek. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp. Beylin A.B. Rugalmas rögzítésű rúd hosszirányú rezgésének problémája, Vestn. Számbárszarvas. Gos. Techn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, vol. 20, sz. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (oroszul) A szerző adatai: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail védett]), egyetemi docens, oszt. automatizálási szerszámgépek és szerszámrendszerek. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Merev rúd szabad és kényszerrezgésének elmélete a Rayleigh-modell alapján, Dokl. Phys., 2007, 52. évf., no. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. A plaszticitás és a károsodás nem lokális integrál formulái: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, 128. évf. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. A promlem on longitudinal vibrations of a rúd dinamikus peremfeltételekkel, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, 1. sz. 3(114), pp. 919 (oroszul). 10. Korpusov M. O. Razrushenie kontra neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh. Moszkva, URSS, 2010, 237 pp. (angolul) Beérkezett: 2016. II.10.; átdolgozott formában érkezett 18/V/2016;
(5.2)
,
, (67)
(68)
. Ebben az esetben, mint a befogott karakterlánc rezgésének problémájában, a változók szétválasztásának módszerét alkalmazzuk.
, (72)
,
, (73)
. A (73) egyenlet a rúd kényszerrezgéseinek egyenlete, amelyet a húr kényszerrezgéseinek egyenletével analóg módon oldunk meg.
(74)Keresztirányú hullámok
Példák problémamegoldásra
Gyakorlat
Határozza meg a keresztirányú hullám terjedésének irányát, ha az úszó egy adott időpontban az ábrán jelzett sebességű irányt mutat!
Megoldás
Készítsünk rajzot. 