1. A hengeres koordináták az xy síkban lévő poláris koordináták kapcsolatát reprezentálják a szokásos z derékszögű alkalmazással (3. ábra).

Legyen M(x, y, z) tetszőleges pont az xyz térben, P az M pont xy síkra való vetülete. Az M pontot egyértelműen a számhármas határozza meg - a P pont polárkoordinátái, z - az M pont alkalmazása. Az ezeket a derékszögűekkel összekötő képletek a következő alakúak

Jakobi térképezés (8)

2. példa.

Integrál kiszámítása

ahol T a felületek által határolt terület

Megoldás. Mozogjunk az integrálban gömbkoordinátákra a (9) képletekkel. Ekkor az integráció tartománya az egyenlőtlenségekkel adható meg

És ez azt jelenti

3. példa Keresse meg a test térfogatát, amelyet a következő korlátoz:

x 2 + y 2 + z 2 = 8,

Van: x 2 +y 2 +z 2 =8 - R= v8 sugarú gömb, amelynek középpontja az O(000) pontban van,

A z 2 =x 2 +y 2 kúp felső része Oz szimmetriatengellyel és az O pontban lévő csúcsával (2.20. ábra).

Keressük meg a gömb és a kúp metszésvonalát:

És mivel a z feltétel szerint? 0, akkor

A z=2 síkban fekvő R=2 kör.

Ezért a (2.28) szerint

ahol az U régió fent határolt

(a gömb része),

(kúp része);

Az U régiót az Oxy síkon vetítjük a D tartományba - egy 2 sugarú körbe.

Ezért célszerű a (2.36) képletekkel áttérni a hengeres koordinátákra a hármas integrálban:

A q, r változási határok a teljes kör R = 2 területének, ahol a középpont az O pontban van, így: 0 2р? Így az U tartományt hengeres koordinátákban a következő egyenlőtlenségek adják meg:

Jegyezze meg

Hármas integrálok. A testtérfogat kiszámítása.
Hármas integrál hengeres koordinátákban

A halott három napig feküdt a dékáni irodában, Pythagoras nadrágjába öltözve,
Fichtenholtz kezében tartott egy kötetet, amely elhozta őt ebből a világból,
A lábakhoz hármas integrált kötöttek, és a holttestet mátrixba csomagolták,
És ahelyett, hogy imádkozott volna, néhány szemtelen ember elolvasta Bernoulli tételét.

A hármas integráloktól nem kell félned =) Mert ha ezt a szöveget olvasod, akkor valószínűleg jól értesz a „hétköznapi” integrálok elmélete és gyakorlata, és azt is kettős integrálok. És ahol van egy dupla, a közelben van egy hármas:

És tényleg, mitől kell félni? Az integrál kevesebb, az integrál több....

Nézzük a felvételt:

– hármas integrált ikon;
– integrand három változó függvénye;
– differenciálművek szorzata.
– az integráció területe.

Koncentráljunk különösen a integráció területei. Ha be kettős integrál azt képviseli lapos alak, akkor itt - térbeli test, amelyet, mint ismeretes, a halmaz korlátoz felületek. Így a fentieken kívül navigálnia kell a tér fő felületeiés tudjon egyszerű háromdimenziós rajzokat készíteni.

Néhányan depressziósak, megértem... Sajnos a cikk nem nevezhető „hármas integrálok bábukhoz”, és van néhány dolog, amit tudnia kell/tudnia kell. De ez rendben van - az összes anyagot rendkívül hozzáférhető formában mutatják be, és a lehető legrövidebb időn belül elsajátítható!

Mit jelent a hármas integrál kiszámítása, és mi a páros?

A hármas integrál kiszámításához azt jelenti keresse meg a SZÁMOT:

A legegyszerűbb esetben mikor a hármas integrál numerikusan egyenlő a test térfogatával. És valóban, aszerint az integráció általános jelentése, a szorzat egyenlő elenyésző a test egy elemi „tégla” térfogata. A hármas integrál pedig igazságos egyesíti mindezeket végtelenül kicsi részecskék a területen, ami a test térfogatának integrál (teljes) értékét eredményezi: .

Ezen kívül a hármas integrál is fontos fizikai alkalmazások. De erről később - a lecke 2. részében, amelynek szentelt tetszőleges hármas integrálok számítása, amelyre a függvény általános esetben eltér egy konstanstól és folytonos a régióban. Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk a kötet megtalálásának problémáját, amely véleményem szerint szubjektív értékelés 6-7-szer gyakrabban fordul elő.

Hogyan lehet megoldani a hármas integrált?

A válasz logikusan következik az előző bekezdésből. Meg kell határozni testbejárási sorrendés menj oda iterált integrálok. Ezután három egységes integrállal dolgozzon egymás után.

Amint látja, az egész konyha nagyon-nagyon emlékeztet kettős integrálok, azzal a különbséggel, hogy most hozzáadtunk egy további dimenziót (nagyjából a magasság). És valószínűleg sokan már kitalálták, hogyan oldják meg a hármas integrálokat.

Eloszlatjuk a fennmaradó kétségeket:

1. példa

Kérem írja le egy oszlopba papírra:

És válaszoljon a következő kérdésekre. Tudja, hogy mely felületek határozzák meg ezeket az egyenleteket? Érted ezeknek az egyenleteknek az informális jelentését? El tudod képzelni, hogyan helyezkednek el ezek a felületek a térben?

Ha hajlamos az általános válaszra, hogy „inkább nem, mint igen”, akkor feltétlenül dolgozza fel a leckét, különben nem halad tovább!

Megoldás: a képletet használjuk.

Annak érdekében, hogy megtudja testbejárási sorrendés menj oda iterált integrálok meg kell értened (minden ötletes egyszerű), hogy megértsd, milyen testről van szó. És sok esetben a rajzok nagyban hozzájárulnak ehhez a megértéshez.

Feltétel szerint a testet több felület korlátozza. Hol kezdjem az építkezést? A következő eljárást javaslom:

Először ábrázoljuk párhuzamos merőleges a test vetítése a koordinátasíkra. Először mondtam el, hogy hívják ezt a vetítést, lol =)

Mivel a vetítés a tengely mentén történik, először is célszerű foglalkozni felületek, amelyek párhuzamosak ezzel a tengellyel. Hadd emlékeztesselek arra, hogy az ilyen felületek egyenletei nem tartalmazzák a "z" betűt. Ezek közül három van a vizsgált problémában:

– az egyenlet megadja a tengelyen átmenő koordinátasíkot;
– az egyenlet megadja a tengelyen átmenő koordinátasíkot;
– az egyenletkészletek repülőgép "lapos" egyenes vonal a tengellyel párhuzamos.

Valószínűleg a kívánt vetület a következő háromszög:

Talán nem mindenki értette teljesen, miről beszélünk. Képzelje el, hogy egy tengely jön ki a monitor képernyőjéből, és közvetlenül az orrnyeregbe tapad ( azok. kiderül, hogy egy 3 dimenziós rajzot nézel felülről). A vizsgált tértest egy végtelen háromszögű „folyosón” helyezkedik el, és síkra vetítése nagy valószínűséggel egy árnyékolt háromszöget képvisel.

Külön szeretném felhívni a figyelmet arra, hogy miközben kifejeztük csak a kivetítés feltételezéseés a „legvalószínűbb” és „legvalószínűbb” kitétel nem volt véletlen. Az tény, hogy még nem minden felületet elemeztek, és előfordulhat, hogy valamelyik „levágja” a háromszög egy részét. Világos példaként ez arra utal gömb amelynek középpontja egynél kisebb sugarú origónál van, például egy gömb – vetülete a síkra (kör ) nem fogja teljesen „lefedni” az árnyékolt területet, és a test végső vetülete egyáltalán nem lesz háromszög (a kör „levágja” éles sarkait).

A második szakaszban megtudjuk, hogyan korlátozódik a test felülről és alulról, és térbeli rajzot készítünk. Térjünk vissza a problémafelvetéshez, és nézzük meg, mely felületek maradtak meg. Az egyenlet magát a koordinátasíkot adja meg, és az egyenlet – parabola henger, található felett síkban és áthalad a tengelyen. Így a test vetülete valóban háromszög.

Egyébként itt találtam redundancia feltételek - nem kellett a sík egyenletét belefoglalni, mivel a felület az abszcissza tengelyt érintve már lezárja a testet. Érdekes megjegyezni, hogy ebben az esetben nem tudnánk azonnal megrajzolni a vetületet - a háromszög csak az egyenlet elemzése után „rajzolna”.

Óvatosan ábrázoljuk egy parabola henger töredékét:

A rajzok kitöltése után a test körüli járás rendje Nem probléma!

Először meghatározzuk a vetület bejárásának sorrendjét (ugyanakkor SOKKAL KÉNYELMESEBB kétdimenziós rajz segítségével navigálni). kész PONT UGYAN, mint a kettős integrálok! Gondoljon egy lézermutatóra és egy sík terület beolvasására. Válasszuk a „hagyományos” 1. bypass módszert:

Ezután felveszünk egy varázslámpást, megnézzük a háromdimenziós rajzot és szigorúan alulról felfelé Megvilágítjuk a beteget. A sugarak egy síkon keresztül jutnak be a testbe, és a felületen keresztül távoznak. Így a testen való áthaladás sorrendje a következő:

Térjünk át az iterált integrálokra:

1) Kezdje a „zéta” integrállal. használjuk Newton-Leibniz képlet:

Helyettesítsük be az eredményt a „játék” integrálba:

Mi történt? Lényegében a megoldás dupla integrálra redukálódott, és pontosan a képletre hengeres gerenda térfogata! A következő ismerős:

2)

Ügyeljen a 3. integrál megoldásának racionális technikájára!

Válasz:

A számítások mindig „egy sorban” írhatók:


De legyen óvatos ezzel a módszerrel - a sebesség növekedése minőségromlással jár, és minél összetettebb a példa, annál nagyobb a hiba valószínűsége.

Válaszoljunk egy fontos kérdésre:

Szükséges-e rajzokat készíteni, ha a feladatkörülmények nem követelik meg azok megvalósítását?

Négyféleképpen mehetsz:

1) Rajzolja meg a vetületet és magát a testet! Ez a legelőnyösebb lehetőség - ha lehetősége van két tisztességes rajz elkészítésére, ne legyen lusta, készítse el mindkét rajzot. Először is azt ajánlom.

2) Rajzolja csak a testet. Alkalmas, ha a testnek egyszerű és nyilvánvaló kiemelkedése van. Így például a szétszedett példában elég lenne egy háromdimenziós rajz. Van azonban egy mínusz is - 3D képből kényelmetlen meghatározni a vetítés bejárásának sorrendjét, és ezt a módszert csak jó képzettséggel rendelkezőknek ajánlom.

3) Csak a vetületet rajzolja meg. Ez szintén nem rossz, de akkor további írásos észrevételek szükségesek, ami több oldalról korlátozza a területet. Sajnos a harmadik lehetőség gyakran kényszerű - ha a test túl nagy, vagy felépítése más nehézségekkel jár. És megfontoljuk az ilyen példákat is.

4) Egyáltalán ne rajzok. Ebben az esetben el kell képzelni a testet mentálisan, és írásban kommentálni kell az alakját/elhelyezkedését. Alkalmas nagyon egyszerű testekhez vagy olyan feladatokhoz, ahol mindkét rajz végrehajtása nehézkes. De még mindig jobb, ha legalább egy sematikus rajzot készít, mivel a „meztelen” megoldás elutasítható.

Az alábbi szerv önálló munkavégzésre szolgál:

2. példa

Hármas integrál segítségével számítsuk ki a felületekkel határolt test térfogatát

IN ebben az esetben az integráció területét elsősorban az egyenlőtlenségek határozzák meg, és ez még jobb - sok egyenlőtlenség meghatározza az 1. oktánst, beleértve a koordinátasíkokat, és az egyenlőtlenséget – féltér, amely tartalmazza az eredetet (ellenőrzés)+ maga a repülő. A „függőleges” sík a parabola mentén metszi a paraboloidot, és ezt a szakaszt célszerű a rajzon megszerkeszteni. Ehhez meg kell találni egy további referenciapontot, a legegyszerűbb módja a parabola csúcsa (az értékeket vesszük figyelembe és számítsa ki a megfelelő „zetet”).

Folytassuk a bemelegítést:

3. példa

Háromszoros integrál segítségével számítsuk ki a jelzett felületek által határolt test térfogatát. Hajtsa végre a rajzot.

Megoldás: A „rajz végrehajtása” megfogalmazás némi szabadságot ad nekünk, de nagy valószínűséggel egy térbeli rajz kivitelezését jelenti. Azonban a vetítés sem fog ártani, főleg, hogy itt nem a legegyszerűbb.

Ragaszkodunk a korábban bevált taktikához - először foglalkozunk vele felületek, amelyek párhuzamosak az alkalmazás tengelyével. Az ilyen felületek egyenletei nem tartalmazzák kifejezetten a „ze” változót:

– az egyenlet megadja a tengelyen átmenő koordinátasíkot ( amelyet a síkon a „névadó” egyenlet határoz meg);
– az egyenletkészletek repülőgép, áthaladva a „névadón” "lapos" egyenes vonal a tengellyel párhuzamos.

A kívánt testet egy sík korlátozza alatta és parabola henger felett:

Hozzuk létre a test bejárási sorrendjét, míg az „X” és „Y” integrációs határokat, emlékeztetem Önt, kényelmesebb kétdimenziós rajz segítségével kideríteni:

Így:

1)

Ha „y” fölé integrálunk, az „x” konstansnak számít, ezért célszerű a konstanst azonnal kivenni az integráljelből.

3)

Válasz:

Igen, majdnem elfelejtettem, a legtöbb esetben nem sok haszna (sőt káros) a kapott eredményt háromdimenziós rajzzal ellenőrizni, hiszen nagy valószínűséggel kötet illúzió, amiről az órán beszéltem A forradalom testének térfogata. Tehát a vizsgált probléma testét értékelve nekem személy szerint úgy tűnt, hogy sokkal több, mint 4 „kockából” áll.

A következő példa erre való önálló döntés:

4. példa

Hármas integrál segítségével számítsa ki a jelzett felületek által határolt test térfogatát. Készítsen rajzokat erről a testről és síkra vetítéséről!

Hozzávetőleges példa egy feladatra a lecke végén.

Nem ritka, amikor egy háromdimenziós rajz kivitelezése nehézkes:

5. példa

Hármas integrál segítségével határozza meg a test térfogatát a határoló felületei alapján

Megoldás: itt a vetítés nem bonyolult, de át kell gondolni a bejárás sorrendjét. Ha az 1. módszert választja, akkor a számot 2 részre kell osztani, ami komolyan veszélyezteti az összeg kiszámítását két hármas integrálok. Ebből a szempontból a 2. út sokkal ígéretesebbnek tűnik. Fejezzük ki és ábrázoljuk ennek a testnek a vetületét a rajzon:

Néhány kép minőségéért elnézést kérek, közvetlenül a saját kézirataimból vágtam ki őket.

Az ábra bejárásának előnyösebb sorrendjét választjuk:

Most a testen múlik. Alulról a sík, felülről az ordinátatengelyen áthaladó sík korlátozza. És minden rendben is lenne, de az utolsó sík túl meredek, és a terület megépítése nem olyan egyszerű. A választás itt irigylésre méltó: vagy kis méretű ékszermunka (mivel elég vékony a test), vagy egy kb 20 centiméter magas rajz (és akkor is, ha belefér).

De van egy harmadik, natív orosz módszer a probléma megoldására - pontozni =) És a háromdimenziós rajz helyett beérj egy szóbeli leírással: „Ezt a testet hengerek határolják. és egy sík oldalról, egy sík alulról és egy sík felülről."

Az integráció "vertikális" korlátai nyilvánvalóan a következők:

Számítsuk ki a test térfogatát, ne felejtsük el, hogy a vetítést kevésbé gyakori módon megkerültük:

1)

Válasz:

Ahogy észrevette, a száz dollárnál nem drágább problémákhoz javasolt karosszériákat gyakran korlátozza az alábbi sík. De ez nem szabály, ezért mindig résen kell lenni - olyan feladattal találkozhat, ahol a test található és alatt lakás Így például, ha a vizsgált feladatban inkább a síkot vesszük figyelembe, akkor a vizsgált test szimmetrikusan leképeződik az alsó féltérbe, és alulról a sík, felülről pedig a sík korlátozza!

Könnyen belátható, hogy ugyanazt az eredményt kapja:

(ne feledje, hogy a testet körbe kell járni szigorúan alulról felfelé!)

Ezenkívül a „kedvenc” sík egyáltalán nem használható a legegyszerűbb példa: egy golyó a sík felett - a térfogatának kiszámításakor egyáltalán nem lesz szükség egyenletre.

Mindezeket az eseteket megfontoljuk, de most van egy hasonló feladat, amelyet egyedül kell megoldania:

6. példa

A hármas integrál segítségével keressük meg a felületekkel határolt test térfogatát

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Térjünk át a második bekezdésre, ugyanolyan népszerű anyagokkal:

Hármas integrál hengeres koordinátákban

A hengeres koordináták lényegében polárkoordináták a térben.
IN hengeres rendszer koordináták, egy pont helyzetét a térben a pont poláris koordinátái határozzák meg - a pont síkra vetítése és magának a pontnak az alkalmazása.

A háromdimenziós derékszögű rendszerről a hengeres koordinátarendszerre az alábbi képletek szerint kell áttérni:

Témánkkal kapcsolatban az átalakítás így néz ki:

És ennek megfelelően abban az egyszerűsített esetben, amelyet ebben a cikkben tárgyalunk:

A legfontosabb dolog az, hogy ne feledkezzünk meg a további „er” szorzóról, és helyesen helyezzük el az integráció poláris határai a vetületen való áthaladáskor:

7. példa

Megoldás: ragaszkodunk ehhez az eljáráshoz: mindenekelőtt olyan egyenleteket veszünk figyelembe, amelyekben a „ze” változó hiányzik. Itt csak egy van. Vetítés hengeres felület a repülőre a „névadót” képviseli kör .

Repülőgépek alulról és felülről korlátozzák a kívánt testet ("kivágják" a hengerből), és körbe vetítik:

Következő egy háromdimenziós rajz. A fő nehézség a hengert „ferde” szögben metsző sík megalkotásában rejlik, ami ellipszis. Tisztázzuk ezt a részt analitikusan: ehhez átírjuk a sík egyenletét funkcionális forma és számítsa ki a függvény értékeit ("magasság") a nyilvánvaló pontokban, amelyek a vetület határán helyezkednek el:

A talált pontokat a rajzon és gondosan bejelöljük (nem úgy mint én =)) kösd össze őket egy vonallal:

A test síkra vetítése egy kör, és ez erős érv a hengeres koordinátarendszerre való átállás mellett:

Keressük meg a felületek egyenleteit hengerkoordinátában:

Most meg kell találnia a testen való áthaladás sorrendjét.

Először is foglalkozzunk a vetítéssel. Hogyan határozható meg a bejárási sorrend? PONTOSAN UGYANAZ, MINT AZzal kettős integrálok számítása polárkoordinátákban. Itt ez elemi:

Az integráció „függőleges” határai is nyilvánvalóak - a testbe a síkon keresztül lépünk be, és a síkon keresztül lépünk ki belőle:

Térjünk át az iterált integrálokra:

Ebben az esetben az „er” tényezőt azonnal a „mi” integrálunkba helyezzük.

Szokás szerint a seprűt könnyebben el lehet törni a gallyak mentén:

1)

Az eredményt a következő integrálba helyezzük:

És itt nem felejtjük el, hogy a „phi”-t állandónak tekintik. De egyelőre ennyi:

Válasz:

Hasonló feladat, amit egyedül kell megoldanod:

8. példa

Számítsa ki a felületekkel határolt test térfogatát hármas integrál segítségével! Rajzolja le ennek a testnek a rajzait és a vetületét egy síkra.

Hozzávetőleges minta a végső tervből a lecke végén.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a problémakörülmények között egy szó sem esik a hengeres koordinátarendszerre való átállásról, és egy tudatlan ember nehéz integrálokkal fog küzdeni. Derékszögű koordináták. ...Vagy talán nem is fog – elvégre van egy harmadik, eredeti orosz problémamegoldási mód =)

Minden csak most kezdődik! ...jó értelemben: =)

9. példa

A hármas integrál segítségével keressük meg a felületekkel határolt test térfogatát

Szerény és ízléses.

Megoldás: ez a test korlátozott kúpfelületÉs elliptikus paraboloid. Azok az olvasók, akik figyelmesen elolvasták a cikk anyagait A tér alapfelületei, már elképzeltem, hogyan néz ki a test, de a gyakorlatban gyakran előfordulnak bonyolultabb esetek is, ezért részletes elemző érvelést végzek el.

Először keressük meg azokat a vonalakat, amelyek mentén a felületek metszik egymást. Állítsuk össze és oldjuk meg a következő rendszert:

Az 1. egyenletből tagonként kivonjuk a második tagot:

Az eredmény két gyökér:

Helyettesítsük be a talált értéket a rendszer bármely egyenletébe:
, amiből az következik
Így a gyökér egyetlen pontnak felel meg - az eredetnek. Természetesen, mivel a vizsgált felületek csúcsai egybeesnek.

Most helyettesítsük be a második gyöket – szintén a rendszer bármely egyenletébe:

Mi a kapott eredmény geometriai jelentése? „Magasságban” (a síkban) a paraboloid és a kúp metszi egymást kör– egységsugár a középponttal a pontban.

Ebben az esetben a paraboloid „tála” tartalmazza a kúp „tölcsérét”, ezért alakítás A kúpos felületet pontozott vonallal kell megrajzolni (kivéve a generatrix tőlünk legtávolabbi szakaszát, amely ebből a szögből látható):

Egy test síkra vetítése az kör középponttal az 1-es sugár origójában, amit ennek a ténynek nyilvánvalósága miatt nem is vettem a fáradságot, hogy ábrázoljam (Azonban írásos megjegyzést adunk!). Amúgy az előző két feladatnál a vetületi rajzot is pontozni lehetett, ha nem a feltételt.

Ha szabványos képletekkel hengeres koordinátákra lépünk, az egyenlőtlenséget a legegyszerűbb formában írjuk fel, és nincs probléma a vetület bejárásának sorrendjével:

Keressük meg a felületek egyenleteit egy hengeres koordinátarendszerben:

Mivel a feladat a kúp felső részét veszi figyelembe, az egyenletből fejezzük ki:

„Pásztázzuk a testet” alulról felfelé. Fénysugarak jutnak be rajta elliptikus paraboloidés kilép a kúpos felületen keresztül. Így a testen való áthaladás „függőleges” sorrendje:

A többi már technika kérdése:

Válasz:

Nem ritka, hogy egy testet nem a határfelületei határoznak meg, hanem az egyenlőtlenségek halmaza:

10. példa

Geometriai jelentés A térbeli egyenlőtlenségeket kellően részletesen kifejtettem ugyanabban a referencia cikkben - A tér alapfelületei és felépítésük.

Bár ez a feladat tartalmaz egy paramétert, lehetővé teszi a pontos rajz elkészítését, amely tükrözi a test alapvető megjelenését. Gondold át, hogyan építs. Egy rövid megoldás és válasz a lecke végén található.

...na, még pár feladat? Arra gondoltam, hogy befejezem a leckét, de úgy érzem, többet akarsz =)

11. példa

Hármas integrál segítségével számítsuk ki egy adott test térfogatát:
, ahol egy tetszőleges pozitív szám.

Megoldás: egyenlőtlenség meghatároz egy golyót, amelynek középpontja a sugár és az egyenlőtlenség origójában van – sugaras szimmetriatengelyű körhenger „belseje”. Így a kívánt testet egy oldalsó körhenger, felül és alul pedig a síkhoz képest szimmetrikus gömbszegmensek határolják.

Ha ezt vesszük alapmértékegységnek, rajzoljuk:

Pontosabban rajznak kell nevezni, mivel nem nagyon tartottam meg az arányokat a tengely mentén. Az igazság kedvéért azonban a feltételhez egyáltalán nem kellett rajzolni, és egy ilyen illusztráció teljesen elegendőnek bizonyult.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt nem szükséges megtudni, hogy a henger milyen magasságban vágja ki a „sapkákat” a labdából - ha a kezébe vesz egy iránytűt, és egy kört jelöl meg vele, amelynek középpontja a sugár kezdőpontjában van. 2 cm, akkor a hengerrel való metszéspontok maguktól megjelennek.

Töltse le a Depositfiles webhelyről

Háromszoros integrál.

Tesztkérdések.

Tripla integrál, tulajdonságai.

Változók változása hármas integrálban. A hármas integrál számítása hengerkoordinátákban.

A hármas integrál számítása gömbi koordinátákban.

Legyen a függvény u= f(x,y,z) korlátozottan zárt régióban van meghatározva V tér R 3. Osszuk fel a területet V véletlenszerűen bekapcsolva n elemi zárt területek V 1 , … ,V n, amelynek kötetei  V 1 , …,  V n illetőleg. Jelöljük d– a területek átmérői közül a legnagyobb V 1 , … ,V n. Minden területen V k válasszon egy tetszőleges pontot P k (x k , y k ,z k) és sminkeljük integrál összeg funkciókat f(x, y,z)

S =

Meghatározás.Háromszoros integrál funkcióból f(x, y,z) régiónként V az integrálösszeg határának nevezzük
, ha létezik.

Így,

(1)

Megjegyzés. Halmozott összeg S a terület felosztásától függ V és pontok kiválasztása P k (k=1, …, n). Ha azonban van határ, akkor az nem a régió felosztásától függ Vés pontok kiválasztása P k. Ha összehasonlítjuk a kettős és a hármas integrálok definícióit, könnyen teljes analógiát láthatunk bennük.

Elégséges feltétele a hármas integrál létezésének. Háromszoros integrál (13) létezik, ha a függvény f(x, y,z) korlátozott Vés folyamatos benne V ben elhelyezkedő véges számú darabonként sima felület kivételével V.

A hármas integrál néhány tulajdonsága.

1) Ha VEL akkor egy numerikus állandó

3) Additivitás a területen. Ha a terület V területekre osztva V 1 És V 2, akkor

4) Testtérfogat V egyenlő

(2 )

A hármas integrál számítása derékszögű koordinátákkal.

Hadd D testvetítés V a repülőhöz xOy, felületek z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) korlátozza a testet V alatt, illetve felett.

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)Ez azt jelenti 2 (x,y)}.

≤ z ≤ φ z Nevezzünk egy ilyen testet z-hengeres. Tripla integrál (1) vége V- hengeres test

(3 )

úgy számítható ki, hogy átadunk egy iterált integrált, amely egy kettős és egy határozott integrálból áll: z Ebben az iterált integrálban először a változó feletti belső határozott integrál kerül kiértékelésre x, y, míg D.

állandónak minősülnek. Ezután kiszámítjuk az eredményül kapott függvény dupla integrálját a területen V Ha x- hengeres ill y-

hengeres test, akkor a következő képletek helyesek: D  Az első képletben V testvetítés a koordinátasíkra yOz , a másodikban pedig - a síkra

xOz Példák. V 1) Számítsa ki a test térfogatát! z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

, felületek korlátozzák

Megoldás. Számítsuk ki a térfogatot a hármas integrál segítségével a (2) képlet szerint!

Hadd D Térjünk át az ismétlődő integrálra a (3) képlet segítségével. x 2 - kör 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= + y 2 - kör x

2. Ezután a (3) képlet segítségével megkapjuk D Ennek az integrálnak a kiszámításához térjünk át a poláris koordinátákra. Ugyanakkor a kör

D halmazzá alakul át = { (halmazzá alakul át , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ halmazzá alakul át ≤ 2} .

r V 2) Test felületekre korlátozódik , z=y , z= –y 0 , x= 2, x= y=

Repülőgépek 1. Számítsa ki , z = y z = –y z= –y 0 , x= korlátozza a testet alulról, illetve felülről síkok x= 2 korlátozza a testet hátulról és elölről, illetve a síkról 1 határok jobbra.V – z- D hengeres test, vetülete a repülőhöz xOy egy téglalap OABC φ 1 (x , y ) = . Tegyük fel

–y
Legyen két derékszögű koordinátarendszerünk a térben és

(1)

, és egy függvényrendszer
amelyek egyes területeken egy-egy megfeleltetést hoznak létre a pontok között
És
ezekben a koordinátarendszerekben. Tegyük fel, hogy az (1) rendszer függvényei rendelkeznek

,

folytonos parciális deriváltak. Az ezekből a parciális származékokból álló determináns
a függvényrendszer jakobi (vagy Jacobi-determinánsának) nevezzük (1). Ezt feltételezzük
.

V

A fenti feltételezések alapján a következő általános képlet érvényes a változók megváltoztatására egy hármas integrálban: kettős integrál, az (1) rendszer és a feltétel kölcsönös egyedisége
egyes pontokon, egyes vonalakon és egyes felületeken megsérthető.

Függvényrendszer (1) minden ponthoz
egyetlen ponttal egyezik meg
. Ez a három szám
pont görbe vonalú koordinátáinak nevezzük . A tér pontjai
, amelyekre ezen koordináták egyike állandó értéket tart, alkotják az ún. koordináta felület.

II Hármas integrál hengeres koordinátákban

A hengeres koordinátarendszert (CSS) a sík határozza meg
, amelyben egy poláris koordináta-rendszer és a tengely van megadva
, merőleges erre a síkra. Egy pont hengeres koordinátái
, Hol
– a pont poláris koordinátái – vetületek t szemüveg a repülőhöz
, A – ezek a pont vetületének koordinátái tengelyenként
vagy
.

Síkban
a szokásos módon írjuk be a derékszögű koordinátákat, a tengely mentén irányítjuk az applikációs tengelyt
CSK. Most már nem nehéz olyan képleteket szerezni, amelyek hengeres koordinátákat kötnek össze a derékszögű koordinátákkal:

(3)

Ezek a képletek a területet a teljes térre képezik le
.

A koordinátafelületek a vizsgált esetben a következők lesznek:

1)
– hengeres felületek a tengellyel párhuzamos generatricákkal
, amelynek vezetői körök a síkban
pontban középre állítva ;

2)

;

3)
– a síkkal párhuzamos síkok
.

A (3) rendszer Jacobiánusa:

.

Az általános képlet a CSK esetében a következő:

1. megjegyzés . A hengeres koordinátákra való áttérés abban az esetben javasolt, ha az integrálási terület körhenger vagy kúp, vagy forgásparaboloid (vagy annak részei), és ennek a testnek a tengelye egybeesik az alkalmazás tengelyével.
.

2. megjegyzés. A hengeres koordináták ugyanúgy általánosíthatók, mint a poláris koordináták egy síkban.

1. példa Számítsa ki egy függvény hármas integrálját!

régiónként
, amely a henger belső részét képviseli
, amelyet kúp határol
és paraboloid
.

Megoldás. Ezt a területet már megvizsgáltuk a 2. § 6. példájában, és szabványos bejegyzést kaptunk a DPSC-ben. Az integrál kiszámítása azonban ebben a régióban nehéz. Menjünk a CSK-hoz:

.

Vetítés
test
a repülőhöz
- ez egy kör
. Ezért a koordináta 0-tól változik
, A – 0-tól R. Egy tetszőleges ponton keresztül
húzz egy egyenest a tengellyel párhuzamosan
. Az egyenes bemegy
kúpon, de kijön egy paraboloidon. De a kúp
az egyenlet szerepel a CSC-ben
, és a paraboloid
– egyenlet
.

Szóval van

III Háromszoros integrál gömbi koordinátákban
A gömbkoordináta-rendszert (SCS) a sík határozza meg
, amelyben az FKR van megadva, és a tengely
.

, merőleges a síkra Egy pont gömbkoordinátái
, Hol a teret számhármasnak nevezzük
,– egy pont síkra vetítésének polárszöge
és vektor
amelyek egyes területeken egy-egy megfeleltetést hoznak létre a pontok között
.

Síkban
mutassunk be derékszögű koordinátatengelyeket
amelyek egyes területeken egy-egy megfeleltetést hoznak létre a pontok között
a szokásos módon, és az alkalmazási tengely kompatibilis a tengellyel
. A gömbi koordinátákat a derékszögű koordinátákkal összekötő képletek a következők:

(4)

Ezek a képletek a területet a teljes térre képezik le
.

A függvényrendszer Jacobiánusa (4):

.

A koordinátafelületeknek három családja van:

1)
– koncentrikus gömbök a középponttal az origóban;

2)
– a tengelyen áthaladó félsíkok
;

3)
– körkúpok a koordináták origójában csúcsponttal, amelynek tengelye a tengely
.

Az SSC-re való átállás képlete hármas integrálban:

3. megjegyzés. Az SCS-re való átállás akkor javasolt, ha az integráció tartománya egy labda vagy annak egy része. Ebben az esetben a gömb egyenlete
belemegy. A korábban tárgyalt CSK-hoz hasonlóan a CSK is a tengelyhez van „kötve”.
. Ha a gömb középpontját egy sugárral eltoljuk a koordinátatengely mentén, akkor a legegyszerűbb gömbegyenletet a tengely mentén eltolva kapjuk
:

4. megjegyzés. Az SSC általánosítható:

Jacobiannal
. Ez a függvényrendszer lefordítja az ellipszoidot

"párhuzamos"

2. példa Határozza meg a pontok átlagos távolságát egy sugarú golyón közepétől.

Megoldás. Emlékezzünk vissza, hogy a függvény átlagos értéke
a területen
egy függvény hármas integrálja egy régióra osztva a régió térfogatával. A mi esetünkben

Szóval van

Legyen adott egy anyagi test, amely tömeggel kitöltött P térbeli tartomány. Meg kell találni ennek a testnek az m tömegét, feltéve, hogy minden P € P pontban ismert a tömegeloszlás sűrűsége. Osszuk fel a P területet nem átfedő kockás (azaz térfogattal rendelkező) térfogatú részekre, ill. Az ft* részterületek mindegyikében kiválasztunk egy tetszőleges P* pontot. Tegyük fel hozzávetőlegesen, hogy az ft* részterületen belül a sűrűség állandó és egyenlő /*(P*). Ekkor ennek a testrésznek az Atk tömegét az Atpk hozzávetőleges egyenlőséggel fejezzük ki, és az egész test tömege megközelítőleg egyenlő lesz: Hármas integrál Háromszoros integrál tulajdonságai A hármas integrál számítása derékszögű koordinátákkal A hármas integrál számítása hengeres és gömbkoordináták Legyen d a részterületek átmérői közül a legnagyobb Ha d -* 0-nál az összegnek (1) van egy véges határértéke, amely nem függ sem attól, hogy az ft tartományt résztartományokra osztjuk, sem pedig a pontok kiválasztása P* ∈ ft*, akkor ezt a határértéket egy adott test m tömegének tekintjük. Legyen egy korlátozott függvény egy zárt kockás tartományban ft n nem metsző kockára, és ezek térfogatát jelöljük rendre. . Minden P* részterületen tetszőlegesen kiválasztunk egy Pk(xk, yk, zk) pontot, és összeállítunk egy integrálösszeget. Legyen d a részterületek legnagyobb átmérője. Ha d 0 esetén az a integrálösszegeknek van egy határértéke, amely nem függ sem az A tartomány Π* résztartományokra való felosztásának módjától, sem a Pk ∈ Π* pontok megválasztásától, akkor ezt a határértéket a háromszög integráljának nevezzük. az f(x) y, z) függvényt a Q tartomány felett, és a szimbólummal jelöljük 6. Tétel. Ha egy f(x, y, z) függvény folytonos egy zárt Π kockás tartományban, akkor ebben a tartományban integrálható. A hármas integrálok tulajdonságai A hármas integrálok tulajdonságai hasonlóak a kettős integrálok tulajdonságaihoz. Soroljuk fel a főbbeket. Legyen a függvények integrálhatók az L kockás tartományba. 1. Linearitás. Ebben az esetben a függvényről azt mondjuk, hogy integrálható a Q tartományban. Így definíció szerint van. Visszatérve a test tömegének kiszámításához, megjegyezzük, hogy a (2) határ a p() függvény hármas integrálja. P) a P tartomány felett. Ez azt jelenti, Itt dx dy dz - dv kötetelem derékszögű koordináták. ahol a és (3 tetszőleges valós állandók mindenhol a P tartományban, akkor 3. Ha /(P) = 1 a P tartományban, akkor n ahol V a Q tartomány térfogata. Ha a /(P) függvény folytonos zárt köbös tartományban ft és M és t a legnagyobb és legkisebb érték lábban, akkor ahol V a terület térfogata ft. 5. Additivitás. Ha az ft tartomány közös belső pontok nélküli kocka tartományokra van felosztva, és f(P) integrálható az ft tartományba, akkor f(P) integrálható az ft| és ft2, 6. Átlagérték tétel. 7. tétel (az átlagértékről). Ha az f(P) függvény folytonos egy zárt ft kockás tartományban, akkor van egy tonna Pc € ft, így érvényes a képlet: ahol V a tartomány ft térfogata (emlékezzünk rá, hogy a tartomány egy összefüggő halmaz) . 7. § Háromszoros integrál számítása derékszögű koordinátákkal Mint a kettős integrálok számításánál, itt is az ismétlődő integrálok számítására megyünk ki. Tegyük fel, hogy a függvény folytonos valamilyen ft tartományban. 1. eset. Az ft terület egy téglalap alakú paralelepipedon, amely az yOz síkra vetítve egy i2 téglalapba; Ekkor a kettős integrált az ismétlődően keresztül lecserélve kapjuk. Így abban az esetben, ha a P tartomány téglalap alakú paralelepipedon, a hármas integrál számítását három közönséges integrál szekvenciális számítására redukáltuk. A (2) képlet átírható olyan alakra, ahol a téglalap a P paralelepipedon ortogonális vetülete az xOy síkra. 2. eset. Tekintsünk most egy Q területet úgy, hogy az azt határoló 5 felület tetszőleges, az Oz tengellyel párhuzamos egyenest legfeljebb két pontban vagy egy teljes szakasz mentén metszi (22. ábra). Legyen z = tpi(x,y) az 5. felület P határoló tartományának egyenlete alulról, és legyen az S2 felületet P határoló tartomány felülről z = y egyenlete. Legyen mindkét S\ és S2 felület az xOy sík azonos tartományára vetítve. Jelöljük D-vel, az azt határoló görbét pedig L-vel. A Q test 5 határának többi része a hengeres felület generátorokkal, a tengellyel párhuzamos Óz, és az L görbével útmutatóként. Ekkor a (3) képlettel analóg módon azt kapjuk, hogy Ha az xOy sík D tartománya egy görbe vonalú trapéz, amelyet két görbe határol, akkor a (4) képletben szereplő kettős integrál ismétlődőre redukálható, és végül megkapjuk Ez a képlet a (2) képlet általánosítása. 23. ábra Példa. Számítsd ki a síkokkal határolt tetraéder térfogatát A tetraéder xOy síkra vetített háromszöge olyan, hogy x 0-tól 6-ig változik, és fix x (0 ^ x ^ 6) esetén y ettől változik. 0-tól 3-ig - | (23. ábra). Ha x és y is rögzített, akkor a pont függőlegesen mozoghat síkról síkra, 0 és 6 - x - 2y tartományban változtatva. A képlet segítségével megkapjuk a 8. §-t. A hármas integrál számítása hengeres és gömbkoordinátákban A hármas integrálban a változók változásának kérdését ugyanúgy oldjuk meg, mint a kettős integrál esetében. Legyen folytonos az /(x, y, z) függvény egy zárt ft kockatartományban, és legyenek a függvények folytonosak elsőrendű parciális deriváltjaikkal egy zárt ft* kockatartományban. Tegyük fel, hogy az (1) függvények egy az egyhez megfeleltetést hoznak létre egyrészt az ft* tartomány összes rj, () pontja és az ft tartomány összes pontja (zh, y, z) között. a másik. Ekkor érvényes a hármas integrálban a változók megváltoztatásának képlete: ahol az (1) függvényrendszer Jacobi-jele. A gyakorlatban a hármas integrálok számításakor gyakran használják a derékszögű koordináták hengeres és gömb koordinátákkal való helyettesítését. 8.1. Hármas integrál hengeres koordinátákban Hengeres koordinátarendszerben a P pont térbeli helyzetét három p szám határozza meg, ahol p és (p a P pont xOy síkra való P1 vetületének polárkoordinátái, z pedig a A P pont alkalmazása (24. ábra) A számokat R hengerkoordináta-pontoknak nevezzük. Jól látható, hogy a hengeres koordináták rendszerében a hármas integrál koordinátafelületei A hármas integrálok tulajdonságai A hármas integrál számítása derékszögű koordinátákkal Számítás. A hármas integrál hengeres és gömbkoordinátáit a következőképpen írjuk le: egy körhenger, amelynek tengelye egybeesik az Oz tengellyel, az Oz tengellyel szomszédos félsík és egy sík, amely párhuzamos az xOy síkkal a következő Descartes-képletekhez kapcsolódik (lásd a 24. ábrát). Az ft tartományt a tartományra leképező (3) rendszerhez a (2) képlet is rendelkezésünkre áll a téglalap alakú koordinátákban lévő hármas integrálról az in. hengeres koordináták a következőt öltik: (4) A kifejezést hengeres koordinátákban térfogatelemnek nevezzük. Ezt a kifejezést egy térfogatelemre geometriai megfontolások alapján is megkaphatjuk. Osszuk fel a P régiót koordinátafelületekkel elemi részterületekre, és számítsuk ki a kapott görbe vonalú prizmák térfogatát (25. ábra). Látható, hogy egy végtelenül kicsiny, magasabb rendű mennyiséget elvetve azt kapjuk, hogy ez lehetővé teszi, hogy a következő mennyiséget vegyük térfogatelemnek hengerkoordinátákban 1. példa. Határozza meg a 4 felületek által határolt test térfogatát Hengerkoordinátákban, adott felületek egyenletei lesznek (lásd a (3) képleteket). Ezek a felületek metszik egymást az r egyenes mentén, amelyet egy egyenletrendszer (henger), (sík) ír le, 26. ábra és ennek xOy síkra vetítése a rendszer által Így a szükséges térfogatot a (4) képlet alapján számítjuk ki, amelyben. Háromszoros integrál gömbkoordinátákban Gömbkoordináta-rendszerben a P(x, y, z) pont térbeli helyzetét három szám határozza meg, ahol r az origótól a pontig mért távolság, az Ox tengely közötti szög. és a P pont VA sugárvektorának vetülete az xOy síkra, c pedig az Oz tengely és a P pont OR sugárvektora közötti szög az Oz tengelytől mérve (27. ábra). Ez egyértelmű. Koordinátafelületek ebben a koordinátarendszerben: r = const - gömbök középpontjával az origóban; ip = az Óz tengelyből kiinduló const félsíkok; в = const - körkúpok az Óz tengellyel. Rizs. 27 Az ábrából jól látható, hogy a gömbi és a derékszögű koordináták a következő összefüggésekkel állnak kapcsolatban. Következésképpen a (2) képlet is Térfogatelem alakot ölt gömbkoordinátákban - A térfogatelem kifejezése geometriai megfontolásokból is megkapható. Tekintsünk egy elemi tartományt a térben, amelyet r és r + dr sugarú gömbök, b és b + d$ kúpok és félsíkok határolnak. Ekkor a hármas integrál Hármas integrálok tulajdonságai A hármas integrál számítása derékszögű koordinátákkal A hármas integrál számítása hengeres és gömbkoordinátákban 2. példa. Határozza meg a kúpból koncentrikus gömbökkel kivágott Q konvex test térfogatát -4 Átlépünk a gömbkoordináta-rendszer Az első két egyenletből kitűnik, hogy. A harmadik egyenletből megtaláljuk a megváltozott szög határait 9: honnan