Egyensúlyi feltétel egy tetszőleges térbeli erőrendszerhez. Egyensúlyi egyenletek sík és térbeli erőrendszerekre. A probléma megoldásának hatékony módja

20. Egy térbeli erőrendszer egyensúlyának feltétele:

21. Tétel 3 nem párhuzamos erőről: Az azonos síkban fekvő három, egymással nem párhuzamosan kiegyensúlyozó erő hatásvonalai egy pontban metszik egymást.

22. Statikailag definiálható problémák- merev teststatikai módszerekkel megoldható problémák ezek, pl. olyan problémák, amelyekben az ismeretlenek száma nem haladja meg az erőegyensúlyi egyenletek számát.

Statikusan határozatlan rendszerek olyan rendszerek, amelyekben az ismeretlen mennyiségek száma meghaladja a független egyensúlyi egyenletek számát egy adott erőrendszerre

23. Egyensúlyi egyenletek lapos rendszer párhuzamos erők:

AB nem párhuzamos F i-vel

24. Kúp és súrlódási szög: Leírja az aktív erők határhelyzetét, amelyek hatására az egyenlőség létrejöhet súrlódó kúp szöggel (φ).

Ha az aktív erő ezen a kúpon kívül halad, akkor az egyensúly lehetetlen.

A φ szöget súrlódási szögnek nevezzük.

25. Adja meg a súrlódási együtthatók méretét: a statikus súrlódási és csúszósúrlódási együttható dimenzió nélküli mennyiség, a gördülési súrlódási és a forgósúrlódási együttható hosszmérettel (mm, cm, m).m.

26. Alapfeltevések a lapos, statikusan meghatározott rácsostartók számításakor:- a rácsos rudak súlytalannak minősülnek; - rudak rögzítése csuklós rácsos csomópontokban; -külső terhelés csak a rácsozat csomópontjainál van; - a rúd a csatlakozás alá esik.

27. Milyen kapcsolat van egy statikailag meghatározott rácsos rácsos rudak és csomópontok között?

S=2n-3 – egyszerű, statikusan definiálható rácsos, S-számú rudak, n-számú csomópontok,

ha S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – statikailag határozatlan rácsos, extra csatlakozásokkal, + alakváltozás számítás

28. A statikailag meghatározott rácsos rácsnak meg kell felelnie a következő feltételnek: S=2n-3; S a rudak száma, n a csomópontok száma.

29. Csomóvágási módszer: Ez a módszer abból áll, hogy gondolatban kivágjuk a rácsos csomópontokat, rájuk alkalmazzuk a megfelelő külső erőket és a rudak reakcióit, és egyensúlyi egyenleteket hozunk létre az egyes csomópontokra ható erőkre. Hagyományosan feltételezzük, hogy az összes rúd meg van feszítve (a rudak reakciói a csomópontoktól elfelé irányulnak).

30. Ritter-módszer: Rajzolunk egy metszősíkot, amely a rácsot 2 részre vágja. A szakasznak a rácson kívül kell kezdődnie és végződnie. Bármelyik részt kiválaszthat egyensúlyi tárgyként. A szakasz a rudak mentén halad, nem pedig a csomópontokon. Az egyensúlyi tárgyra ható erők tetszőleges erőrendszert alkotnak, amelyre 3 egyensúlyi egyenlet állítható fel. Ezért a szakaszt úgy végezzük, hogy legfeljebb 3 rúd kerüljön bele, amelyekben az erők ismeretlenek.

A Ritter-módszer sajátossága, hogy az egyenlet alakját úgy választják meg, hogy minden egyensúlyi egyenlet egy ismeretlen mennyiséget tartalmazzon. Ehhez meghatározzuk a Ritter-pontok helyzetét két ismeretlen erő hatásvonalának metszéspontjaként, és felírjuk a rel nyomatékegyenleteket. ezeket a pontokat.

Ha a Ritter-pont a végtelenben van, akkor egyensúlyi egyenletként a pálcákra merőleges tengelyre vetítések egyenleteit állítjuk össze.

31. Ritter pont- két ismeretlen erő hatásvonalának metszéspontja. Ha a Ritter-pont a végtelenben van, akkor egyensúlyi egyenletként a pálcákra merőleges tengelyre vetítések egyenleteit állítjuk össze.

32. Egy térfogati számadat súlypontja:

33. Lapos alak súlypontja:

34. A rúdszerkezet súlypontja:

35. Az ív súlypontja:

36. Egy kör alakú szektor súlypontja:

37. A kúp súlypontja:

38. A félgömb súlypontja:

39. Negatív értékek módszere: Ha egy szilárd anyagnak üregei vannak, pl. üregeket, amelyekből a tömegüket kivették, akkor ezeket az üregeket gondolatban szilárd testté töltjük, és meghatározzuk az alak súlypontját úgy, hogy a „-” jellel vesszük az üregek súlyát, térfogatát, területét.

40. 1. invariáns: Az erőrendszer 1. invariánsát az erőrendszer fővektorának nevezzük. Az erőrendszer fővektora nem függ a redukciós középponttól R=∑ F i

41. 2. invariáns: A fővektor és az erőrendszer főmomentuma skaláris szorzata bármely redukciós középpontra állandó érték.

42. Milyen esetben hat erőrendszer egy hajtócsavarra? Abban az esetben, ha az erőrendszer fővektora és a redukciós középponthoz viszonyított főnyomatéka nem egyenlő nullával és nem merőlegesek egymásra, akkor adott. az erőrendszer erőcsavarrá redukálható.

43. A központi spirális tengely egyenlete:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Pár erő nyomatéka mint vektor- ez a vektor merőleges a pár hatássíkjára, és abba az irányba mutat, ahonnan a pár forgása az óramutató járásával ellentétes irányban látható. Modulusban a vektormomentum egyenlő a pár egyik erőjének és a pár vállának szorzatával. Egy jelenségpár vektoros pillanata. szabad vektor, és egy merev test bármely pontjára alkalmazható.

46. ​​A kötelékek alóli felmentés elve: Ha a kötéseket eldobják, akkor azokat a kötésből származó reakcióerőkkel kell helyettesíteni.

47. Kötél sokszög- Ez a grafosztatika konstrukciója, amellyel meghatározható az eredő sík erőrendszer hatásvonala, hogy megtaláljuk a támaszok reakcióit.

48. Mi a kapcsolat a kötél és a teljesítménysokszög között? Az ismeretlen erők grafikus megtalálásához az erőpoligonban egy további O pontot (pólus) használunk, a kötélsokszögben megtaláljuk az eredőt, amelyet az erőpoligonba mozgatva megtaláljuk az ismeretlen erőket.

49. Az erőpárok rendszerei egyensúlyának feltétele: A szilárd testre ható erőpárok egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az egyenértékű erőpárok nyomatéka nulla legyen. Következmény: Egy erőpár kiegyensúlyozásához kiegyensúlyozó pár alkalmazása szükséges, pl. egy erőpárt egy másik, egyenlő modulusú és ellentétes irányú nyomatékú erőpárral lehet kiegyenlíteni.

Kinematika

1. Minden módszer egy pont mozgásának meghatározására:

természetes módon

koordináta

sugárvektor.

2. Hogyan találjuk meg egy pont mozgásának pályájának egyenletét a mozgás megadásának koordináta módszerével? Annak érdekében, hogy megkapjuk a pályaegyenletet anyagi pont, a megadási koordináta módszerrel a t paramétert ki kell zárni a mozgástörvények közül.

3. Egy pont gyorsulása a koordinátákon. a mozgás meghatározásának módja:

2 pont az X felett

y 2 pont felett

4. Egy pont gyorsulása a mozgás megadásának vektoros módszerével:

5. Egy pont gyorsulása a természetes módon mozgásos feladatok:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Mennyivel egyenlő a normál gyorsulás és hogyan irányul?- sugárirányban a középpont felé irányítva,

VISSZATÉRÉS Egy pont (test) összetett mozgása– olyan mozgás, amelyben egy pont (test) egyidejűleg több mozgásban is részt vesz (például egy mozgó kocsi mentén haladó utas). Ebben az esetben egy mozgó koordináta-rendszert (Oxyz) vezetünk be, amely a rögzített (fő) koordinátarendszerhez (O 1 x 1 y 1 z 1) képest egy adott mozgást végez. Abszolút mozgás pontok neve mozgás egy rögzített koordináta-rendszerhez képest. Relatív mozgás– mozgás a mozgó koordinátarendszerhez képest. (mozgás a kocsi körül). Hordozható mozgás– a mobil rendszer mozgása. koordináták egy állóhoz viszonyítva (az autó mozgása). Sebességösszeadás tétel: , ; -orts (egységvektorok) a mozgó koordinátarendszerben, az ort a pillanatnyi tengely körül forog, így a végének sebessége stb., Þ: , ; – relatív sebesség. ; szállítási sebesség: :
, ezért egy pont abszolút sebessége = hordozható (v e) és relatív (v r) sebességének geometriai összege, modul: . stb. A gyorsulást meghatározó kifejezés feltételei: 1) – az O pólus gyorsulása; 2) 3) – a pont relatív gyorsulása; . 4) , a következőt kapjuk: .: Az első három tag a hordozható mozgásban lévő pont gyorsulását jelenti: – az O pólus gyorsulása; - forgási gyorsulás, – gyorsuló gyorsulás, i.e. Gyorsulási összeadás tétel (Coriolis-tétel) , Hol – Coriolis-gyorsulás (Coriolis-gyorsulás) – nem transzlációs hordozható mozgás esetén abszolút gyorsulás = a hordozható, relatív és Coriolis-gyorsulások geometriai összege. A Coriolis-gyorsulás jellemzi: 1) egy pont hordozható sebességének moduljában és irányában bekövetkező változást annak relatív mozgása miatt; 2) egy pont relatív sebességének irányváltozása a forgó transzlációs mozgás következtében. Coriolis-gyorsulási modulus: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), a vektor irányát a vektorszorzatszabály határozza meg, vagy a Zsukovszkij-szabály: a relatív sebesség síkra vetítése a hordozható szögsebességre merőlegesen 90 o-kal kell elforgatni a forgásirányban. Coriolis ac. = 0 három esetben: 1) w e =0, azaz. transzlációs mozgás esetén vagy a szög elfordulásának pillanatában. sebesség 0-nál; 2) vr=0; 3) sin(w e ^ v r)=0, azaz. Ð(w e ^ v r)=0, ha a v r relatív sebesség párhuzamos a transzlációs forgás tengelyével. Egy síkban történő mozgás esetén a v r és a vektor közötti szög w e = 90 o, sin90 o =1 és c =2×w e ×v r. Komplex merev testmozgás . Ha egy test egyszerre több, egy pontban metsző tengely körüli pillanatnyi forgásban vesz részt, akkor . Olyan merev test gömbmozgása esetén, amelynek egyik pontja a teljes mozgás alatt mozdulatlan marad, a gömbmozgás egyenletei vannak: Y=f 1 (t); q = f 2 (t); j = f 3 (t). Y – precessziós szög, q – nutációs szög, j – megfelelő elforgatás szöge - Euler-szögek. A precesszió szögsebessége, ang. nutációs sebesség, ív. sk. saját forgatás. , – a test pillanatnyi tengely körüli szögsebességének modulja. Rögzített koordinátatengelyekre vetítéseken keresztül: – Euler-kinematikai egyenletek. Forgatások hozzáadása 2 párhuzamos tengely körül. 1) A forgások egy irányba vannak irányítva. w=w 2 +w 1, C a pillanatnyi sebességközéppont és a pillanatnyi forgástengely átmegy rajta, , . 2) A forgások különböző irányokba irányulnak. , w=w 2 -w 1 S – azonnali. központ sk. és azonnali forgástengely . A ||-edik tengely körüli forgáskor a szögsebesség-vektorok ugyanúgy összeadódnak, mint a párhuzamos erővektorok. 3) Pár pörgés– a ||-edik tengely körüli forgások különböző irányokba irányulnak, és a szögsebességek nagysága egyenlő ( – szögsebességek párja). Ebben az esetben, v A =v B, a test eredő mozgása transzlációs (vagy pillanatnyi transzlációs) mozgás v=w 1 ×AB sebességgel - egy szögsebesség-pár nyomatéka (a kerékpárpedál relatív transzlációs mozgása a kerethez). Azonnali a sebesség középpontja a végtelenben van. Transzlációs és forgó mozgások hozzáadása. 1) A transzlációs mozgás sebessége ^ a forgástengelyhez képest - sík-párhuzamos mozgás - pillanatnyi forgás az Рр tengely körül w=w szögsebességgel". 2) Csavar mozgása– a test mozgása sk szögű Aa tengely körüli forgó mozgásból tevődik össze. w és transzlációs sebesség v||Aa. Az Aa tengely a csavar tengelye. Ha v és w egyirányú, akkor a csavar jobbkezes, ha különböző irányban, akkor balos. A csavar tengelyén fekvő test bármely pontja által egy fordulat alatt megtett távolságot nevezzük. légcsavar emelkedése – h. Ha v és w konstans, akkor h= =const állandó menetemelkedéssel, a csavar tengelyén nem fekvő bármely (×)M csavarvonalat ír le. érintőlegesen a hélix felé irányítva.

3) A transzlációs mozgás sebessége tetszőleges szöget zár be a forgástengellyel, ebben az esetben a mozgást úgy tekinthetjük, mint amely a folyamatosan változó csavartengelyek körüli pillanatnyi csavarmozgások sorozatából áll - pillanatnyi csavarmozgásból.

Ezek a vektoregyenlőségek a következő hat skaláris egyenlőséghez vezetnek:

amelyeket térbeli egyensúlyi feltételeknek nevezünk tetszőleges rendszer erő

Az első három feltétel a fővektor nullával való egyenlőségét fejezi ki, a következő három - az erőrendszer fő momentumának nullával való egyenlőségét.

Ilyen egyensúlyi feltételek mellett minden ható erőt figyelembe kell venni - mind az aktív (halmaz), mind a reakciókapcsolatokat. Ez utóbbiak előre ismeretlenek, és az egyensúlyi feltételek ezen ismeretlenek meghatározására szolgáló egyenletek - egyensúlyi egyenletek - válnak.

Mivel az egyenletek maximális száma hat, így a test egyensúlyának problémájában tetszőleges térbeli erőrendszer hatására hat ismeretlen reakció határozható meg. Több ismeretlen esetén a probléma statikusan bizonytalanná válik.

És még egy megjegyzés. Ha a fővektor és a főmomentum valamely O középponthoz viszonyítva nullával egyenlő, akkor bármely másik középponthoz képest nullával egyenlőek lesznek. Ez közvetlenül következik a redukciós középpont megváltoztatásáról szóló anyagból (bizonyítsd be). Következésképpen, ha egy test egyensúlyi feltételei egy koordinátarendszerben teljesülnek, akkor azok bármely más rögzített koordinátarendszerben is teljesülnek. Más szóval, a koordinátatengelyek kiválasztása az egyensúlyi egyenletek elkészítésekor teljesen önkényes.

Egy téglalap alakú lemezt (51. ábra, a) egy gömb alakú O csukló tart súly szerint vízszintesen, az A csapágyat és a BE kábelt, és a pontok ugyanazon a függőlegesen vannak. A D pontban az OD oldalra merőleges erő hat a lemezre, és a lemez síkjához képest 45°-os szöget zár be. Határozza meg a kábel feszességét és a támaszok reakcióit a He A pontokban, ha és .

A probléma megoldásához vegyük figyelembe a lemez egyensúlyát. A P, G aktív erőkhöz hozzáadjuk a csatlakozások reakcióját - a gömbcsukló reakciójának összetevőit, reakciót, csapágyat, a kábel reakcióját. Ezzel egyidejűleg beírjuk az Oxyz koordinátatengelyeket (51. ábra, b). Látható, hogy a kapott erőhalmaz egy tetszőleges térrendszert alkot, amelyben az erők ismeretlenek.

Az ismeretlenek meghatározásához egyensúlyi egyenleteket állítunk fel.

Kezdjük az erők tengelyre vetítésének egyenletével:

Magyarázzuk el a vetítés definícióját: a számítást két lépésben hajtjuk végre - először meghatározzuk a T erő síkra való vetületét, majd az x tengelyre vetítve (kényelmesebben a párhuzamos tengelyen) megtaláljuk ( lásd: 51. ábra, b):

Ez a kettős tervezési módszer kényelmesen használható, ha az erő hatásvonala és a tengely nem metszi egymást. A következőt alkotjuk:

A tengely körüli erőnyomatékok egyenlete a következő:

Az egyenletben nincsenek erőnyomatékok, mivel ezek az erők vagy metszik az x() tengelyt, vagy párhuzamosak vele. Mindkét esetben a tengely körüli erőnyomaték nulla (lásd 41. oldal).

Az erőnyomaték kiszámítása gyakran könnyebb, ha az erőt megfelelően komponenseire bontjuk, és a Varignon-tételt alkalmazzuk. IN ebben az esetben Ezt kényelmes megtenni az erő érdekében. Vízszintes és függőleges komponensekre bontva a következőket írhatjuk:

Az ilyen erőegyensúly esete két egyensúlyi feltételnek felel meg

M = Mo= 0, R* = 0.

Jelölje ki a modulokat Mo és fővektor R* a vizsgált rendszer jellemzőit a képletek határozzák meg

Mo= (M x 2 + M y 2 + + M z 2) 1/2; R*= (X 2 + Y 2 + Z 2) 1/2.

Csak a következő feltételek mellett fordulnak nullára:

M x = 0, M y = 0, M z = 0, X = 0, Y = 0, Z = 0,

amelyek megfelelnek a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erők hat egyensúlyi alapegyenletének

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

A bal oldali (5-17) rendszer három egyenletét nevezzük a koordinátatengelyekhez viszonyított erőnyomatékok egyenletei, a jobb oldali három pedig az erők tengelyekre vetített egyenletei.

Ezekkel a képletekkel a nyomatékegyenlet így ábrázolható

å (y i Z i - z i Y i)=0; å(z i Х i - x i Z i)=0 ; å(x i Y i - y i X i)=0 .(5-18)

Ahol x i, y i, z i- a P erő alkalmazási pontjainak koordinátái; Y i , Z i , X i - ennek az erőnek a koordinátatengelyekre való vetületei, amelyek bármilyen irányúak lehetnek.

Léteznek további hat erőegyenletből álló rendszerek, amelyek tetszőlegesen helyezkednek el a térben.

Erőrendszer redukálása eredő erővé.

Ha az erőrendszer fővektora R* nem egyenlő nullával, hanem a fő momentum Mo vagy nullával egyenlő, vagy a fővektorra merőlegesen irányítva, akkor az adott erőrendszer eredő erővé redukálódik.

2 eset lehetséges.

1. eset.

Hadd R*¹ 0; Mo = 0 . Ebben az esetben az erők egy eredőhöz vezetnek, amelynek hatásvonala átmegy az O redukciós középponton, és az erő R* adott erőrendszert helyettesít, azaz. az eredménye.

2. eset.

R*¹0; Mo¹ 0 és Mo ⊥ R*. (5.15. ábra).

Miután az erőrendszert az O középpontba hoztuk, megkapjuk az erőt R* , amelyet ebben a középpontban alkalmazunk, és egyenlő az erők fővektorával, valamint egy olyan erőpárral, amelynek nyomatéka M egyenlő a főpillanattal Mo minden erő a redukció középpontjához viszonyítva, és Mo ⊥ R*.

Válasszuk ki ennek a párnak az erősségeit R' És R modulusában egyenlő a fővektorral R* , azaz R = R' = R *. Ekkor ennek a párnak a tőkeáttételét egyenlőnek kell tekinteni az OK = = értékkel M O/R * Rajzoljuk meg az I síkot az O ponton, merőlegesen az erőpár nyomatékára M . Pár erő R' , R ezen a síkon kell lennie. Rendezzük ezt a párat úgy, hogy a pár egyik ereje legyen R' Az O pontban alkalmaztuk, és az erővel ellentétes irányban irányult R * . Állítsuk vissza az I síkban az O pontban az erő hatásvonalára merőlegest R * , és a K pontban OK= távolságra M O/R * az O pontból a második erőpárt alkalmazzuk R .

Az OK szakaszt az O pontból olyan irányba tesszük, hogy az M nyomatékvektor felé nézve azt látjuk, hogy a pár az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja a síkját. Aztán erőt R* És R' , amelyet az O pontban alkalmazunk, kiegyensúlyozott lesz, és az erő R a K pontban alkalmazott párok helyettesítik az adott erőrendszert, azaz. lesz az eredménye. Ennek az erőnek a hatásvonalával egybeeső egyenes az eredő erő hatásvonala. Rizs. Az 5.15 az eredő erő különbségét mutatja R és erőt R* , amelyet úgy kapunk, hogy az erőket az O középpontba hozzuk.

Eredő R a K pontban kifejtett, bizonyos hatásvonallal rendelkező erőrendszer ekvivalens egy adott erőrendszerrel, azaz. helyettesíti ezt a rendszert.

Az erő R* az O pontban egy adott erőrendszert csak egy nyomatékos erőpárral együtt cserél le M = Mo .

Erő R* a test bármely pontján alkalmazható, amelyre erők hatnak. Csak a főmomentum nagysága és iránya függ a pont helyzetétől Mo .

Varignon tétele. Az eredő erő nyomatéka tetszőleges pontra egyenlő az e pontra ható komponens erők nyomatékainak geometriai összegével, és az eredő erő bármely tengely körüli nyomatéka egyenlő a körülötte lévő komponens erők nyomatékainak algebrai összegével. ezt a tengelyt.

Szükséges és elegendő feltételek bármely erőrendszer egyensúlyát egyenlőségekkel fejezzük ki (lásd 13. §). De az R és vektorok csak akkor egyenlők, ha, vagyis ha a ható erők a (49) és (50) képlet szerint teljesítik a feltételeket:

Így egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erőnek a három koordinátatengelyre vetített vetületeinek összege és ezekhez a tengelyekhez viszonyított nyomatékainak összege nullával egyenlő.

Az (51) egyenlőségek egyidejűleg fejezik ki egy merev test egyensúlyi feltételeit bármely térbeli erőrendszer hatására.

Ha az erők mellett egy pár is hat a testre, annak nyomatéka alapján, akkor az (51) feltétel első három alakja nem változik (a pár erőinek vetületeinek összege). bármely tengelyen egyenlő nullával), és az utolsó három feltétel a következő formában jelenik meg:

Párhuzamos erők esete. Abban az esetben, ha a testre ható összes erő párhuzamos egymással, a koordinátatengelyeket úgy választhatjuk meg, hogy a tengely párhuzamos legyen az erőkkel (96. ábra). Ekkor az egyes erők vetületei a tengelyre és nyomatékuk a z tengelyhez képest nullával egyenlőek lesznek, és az (51) rendszer három egyensúlyi feltételt ad:

A fennmaradó egyenlőségek ezután a forma azonosságaivá alakulnak

Következésképpen a párhuzamos erők térbeli rendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erőnek az erőkkel párhuzamos tengelyre vetületeinek és a másik két koordinátatengelyhez viszonyított nyomatékainak összege egyenlő legyen nulla.

Problémamegoldás. A problémák megoldásának eljárása itt ugyanaz marad, mint egy síkrendszer esetében. Miután megállapítottuk, hogy melyik test (tárgy) egyensúlyát vizsgáljuk, le kell ábrázolni a rá ható összes külső erőt (mind adott, mind a reakciókapcsolatokat), és fel kell dolgozni ezen erők egyensúlyi feltételeit. A kapott egyenletekből meghatározzuk a szükséges mennyiségeket.

Az egyszerűbb egyenletrendszerek megszerzéséhez ajánlatos a tengelyeket úgy megrajzolni, hogy azok több ismeretlen erőt metszenek, vagy merőlegesek legyenek rájuk (kivéve, ha ez feleslegesen bonyolítja más erők vetületeinek és nyomatékainak számítását).

Az egyenletek összeállításának új eleme a koordinátatengelyek körüli erőnyomatékok számítása.

Azokban az esetekben, amikor általános rajz Nehéz belátni, hogy mekkora egy adott erő nyomatéka bármely tengelyhez képest, javasolt segédrajzon ábrázolni a kérdéses test vetületét (az erővel együtt) egy erre a tengelyre merőleges síkra.

Azokban az esetekben, amikor a nyomaték kiszámításakor nehézségek merülnek fel az erő vetületének a megfelelő síkra vagy ennek a vetületnek a karjára történő meghatározásakor, ajánlott az erőt két egymásra merőleges összetevőre bontani (amelyek közül az egyik párhuzamos valamilyen koordinátával tengely), majd alkalmazzuk a Varignon-tételt (lásd 36. feladat). Ezenkívül analitikusan is kiszámíthatja a pillanatokat a (47) képletekkel, mint például a 37. feladatban.

39. feladat. Terhelés van egy a és b oldalú téglalap alakú lemezen. A födém súlypontja a teherrel együtt a D pontban található koordinátákkal (97. ábra). Az egyik munkás az A sarokban tartja a födémet. Mely B és E pontokon kell két másik munkásnak megtámasztania a födémet, hogy a födémet tartó személyek által kifejtett erők egyenlőek legyenek.

Megoldás. Egy olyan lemez egyensúlyát tekintjük, amely négy párhuzamos erő hatására egyensúlyban lévő szabad test, ahol P a gravitációs erő. Ezekre az erőkre egyensúlyi feltételeket (53) készítünk, figyelembe véve a lemezt vízszintesen, és megrajzoljuk a tengelyeket az ábra szerint. 97. Ezt kapjuk:

A feladat feltételei szerint kell, hogy legyen Akkor az utolsó egyenletből ezt a P értékét behelyettesítve az első két egyenletbe, végre megtaláljuk

A megoldás akkor lehetséges, amikor Mikor és mikor lesz Amikor a D pont a lemez közepén van,

40. feladat Az A és B csapágyakban fekvő vízszintes tengelyre (98. ábra) a tengely tengelyére merőlegesen egy cm sugarú tárcsa és egy sugarú dob van felszerelve. A tengelyt egy szíjtárcsa köré tekert szíj hajtja forgásba; ezzel egyidejűleg a dobra feltekercselt kötélre kötött súlyú teher egyenletesen megemelkedik. A tengely, a dob és a szíjtárcsa súlyát figyelmen kívül hagyva határozzuk meg az A és B csapágyak reakcióit és a szíj hajtóágának feszességét, ha ismert, hogy az kétszerese a hajtott ág feszültségének. Adott: cm, cm,

Megoldás. A vizsgált feladatban a tengely egyenletes forgása mellett a rá ható erők kielégítik az egyensúlyi feltételeket (51) (ezt a 136. §-ban igazoljuk). Rajzoljunk koordináta tengelyeket (98. ábra), és ábrázoljuk a tengelyre ható erőket: a kötél F feszességét, P-vel egyenlő modult, szíjfeszességet és a csapágyreakciók összetevőit.

Az egyensúlyi feltételek (51) összeállításához először kiszámítjuk és beírjuk a táblázatba az összes erő koordinátatengelyekre vetítésének értékét és ezekhez a tengelyekhez viszonyított nyomatékait.

Most egyensúlyi feltételeket hozunk létre (51); mivel kapjuk:

A (III) és (IV) egyenletből azonnal megtaláljuk, figyelembe véve azt

A talált értékeket behelyettesítve a fennmaradó egyenletekbe, azt találjuk;

És végül

41. feladat A függőlegessel szöget bezáró súllyal rendelkező téglalap alakú fedelet az AB vízszintes tengelyre a B pontban hengeres csapágy, az A pontban pedig ütközős csapágy rögzítünk (99. ábra). A fedelet a DE kötél tartja egyensúlyban, és egy, az O blokkon átdobott kötél húzza vissza egy súllyal a végén (AB-val párhuzamos KO egyenes). Adott: Határozza meg a DE kötél feszességét és az A és B csapágyak reakcióit!

Megoldás. Tekintsük a fedél egyensúlyát. Rajzoljunk koordinátatengelyeket a B pontból kiindulva (ebben az esetben a T erő metszi a tengelyeket, ami leegyszerűsíti a nyomatékegyenletek formáját).

Ezután ábrázoljuk a burkolatra ható összes adott erőt és reakcióreakciót: a burkolat C súlypontjában kifejtett P gravitációs erőt, a Q-val egyenlő nagyságú Q erőt, a kötél T reakcióját és a burkolat reakcióját. A és B csapágyak (99. ábra; a pontozott vonallal jelölt M k vektor nem releváns ehhez a feladathoz). Az egyensúlyi feltételek meghatározásához bevezetünk egy szöget, és jelöljük, hogy egyes erők nyomatékainak kiszámítását a segédábra magyarázza. 100, a, b.

ábrán. 100, és a nézet a tengely pozitív végétől a síkra vetítve látható

Ez a rajz segít kiszámítani a P és T erők tengelyhez viszonyított nyomatékát. Látható, hogy ezeknek az erőknek a síkra vetületei (síkra merőlegesek) megegyeznek magukkal az erőkkel, a P erő karja pedig a tengelyhez képest. pont B egyenlő; a T erő ehhez a ponthoz viszonyított válla egyenlő

ábrán. A 100. ábra b egy síkra vetített nézetet mutat az y tengely pozitív végétől.

Ez a rajz (a 100. a. ábrával együtt) segít a P erők nyomatékainak kiszámításában és az y tengelyhez képest. Ebből látható, hogy ezeknek az erőknek a síkra vetületei egyenlőek magukkal az erőkkel, és a P erő B ponthoz viszonyított karja egyenlő a Q erő ehhez a ponthoz viszonyított karjával egyenlő ill. ábrából látható. 100, a.

Az egyensúlyi feltételeket (51) összeállítva a kifejtett magyarázatok figyelembevételével és egyúttal feltételezve a következő eredményt kapjuk:

(ÉN)

Figyelembe véve, amit az (I), (IV), (V), (VI) egyenletekből találunk:

Ezeket az értékeket a (II) és (III) egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

Végül,

42. feladat Oldja meg a 41. feladatot arra az esetre, amikor a fedélre járulékosan hat a síkjában elhelyezkedő pár egy forgási nyomatékkal (a fedelet felülről nézve) az óramutató járásával ellentétes irányba.

Megoldás. A fedélre ható erők mellett (lásd 99. ábra) a pár M nyomatékát a fedélre merőleges vektor formájában ábrázoljuk, és bármely pontban, például az A pontban alkalmazzuk. koordinátatengelyek: . Ezután az (52) egyensúlyi feltételeket összeállítva azt találjuk, hogy az (I) - (IV) egyenletek ugyanazok maradnak, mint az előző feladatban, és az utolsó két egyenlet alakja:

Megjegyzendő, hogy ugyanezt az eredményt az (52) formájú egyenlet összeállítása nélkül is megkaphatjuk, hanem ha a párt két erővel ábrázoljuk, például az AB és KO egyenesek mentén (ebben az esetben az erők modulusai egyenlő), majd használja normál körülmények között egyensúly.

Az (I) - (IV), (V), (VI) egyenlet megoldása során a 41. feladatban kapottakhoz hasonló eredményeket kapunk, azzal a különbséggel, hogy minden képlet a mennyiség helyett tartalmazni fogja. Végül megkapjuk:

43. feladat Az AB vízszintes rudat egy gömb alakú A csuklópánt rögzíti a falhoz, és a KE és CD merevítők tartják a falra merőleges helyzetben, az ábrán látható módon. 101, a. A rúd B végére egy súlyt tartalmazó teher függesztve van. Határozza meg az A csukló reakcióját és a vezetőhuzalok feszültségét, ha a rúd súlyát figyelmen kívül hagyjuk.

Megoldás. Tekintsük a rúd egyensúlyát. Hatására P erő és reakciók lépnek fel. Rajzoljunk koordináta tengelyeket és állítsuk fel az egyensúlyi feltételeket (51). A vetületek és az erőnyomatékok megtalálásához bontsuk komponensekre. Aztán Varignon tétele szerint, hiszen mivel

A tengelyhez viszonyított erőnyomatékok számítását egy segédrajz magyarázza (101. ábra, b), amely egy síkra vetített nézetet mutat.