Annak az egyenesnek az egyenlete, amely mentén a síkok metszik egymást. Egyenes egyenletei a térben. Inverz mátrixok tulajdonságai

Ebben a részben folytatjuk a térbeli egyenes egyenletének témájának tanulmányozását a sztereometria szemszögéből. Ez azt jelenti, hogy a háromdimenziós térben lévő egyenest két sík metszésvonalának tekintjük.

A sztereometria axiómái szerint, ha két sík nem esik egybe és van egy közös pont, akkor van egy közös egyenesük is, amelyen a két síkkal közös összes pont található. Két egymást metsző sík egyenletének felhasználásával meghatározhatunk egy egyenest in téglalap alakú rendszer koordináták

A témát tekintve számos példát, számos grafikus illusztrációt és részletes megoldást közölünk, amelyek szükségesek az anyag jobb asszimilációjához.

Legyen adott két olyan sík, amelyek nem esnek egybe egymással és metszik egymást. Jelöljük őket α és β síknak. Helyezzük őket O x y z derékszögű koordinátarendszerbe háromdimenziós tér.

Emlékszünk rá, hogy a téglalap alakú koordináta-rendszer bármely síkját egy A x + B y + C z + D = 0 alakú általános síkegyenlet adja meg. Feltételezzük, hogy az α sík az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 egyenletnek, a β sík pedig az A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 egyenletnek felel meg. = 0. Ebben az esetben az α és β n 1 → = (A 1, B 1, C 1) és n 2 → = (A 2, B 2, C 2) síkok normálvektorai nem kollineárisak, mivel a síkok igen nem esnek egybe egymással és e egymással párhuzamosan helyezkednek el. Írjuk fel ezt a feltételt a következőképpen:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

A „Síkok párhuzamossága” témájú anyaggal kapcsolatos memória felfrissítéséhez tekintse meg weboldalunk megfelelő részét.

Jelöljük a síkok metszésvonalát a betűvel a . Azok. a = α ∩ β. Ez a vonal olyan pontok halmazát jelöli, amelyek közösek mind az α, mind a β síkon. Ez azt jelenti, hogy az a egyenes minden pontja kielégíti az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 és az A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 síkegyenleteket. Valójában ezek az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 egyenletrendszer sajátos megoldásai.

Általános megoldás lineáris egyenletrendszer A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 meghatározza azon egyenes összes pontjának koordinátáit, amelyek mentén két α sík és β metszi egymást. Ez azt jelenti, hogy segítségével meg tudjuk határozni az egyenes helyzetét az O x y z derékszögű koordinátarendszerben.

Tekintsük újra a leírt elméletet, most egy konkrét példával.

1. példa

Az O x egyenes az az egyenes, amely mentén az O x y és az O x z koordinátasíkok metszik egymást. Határozzuk meg az O x y síkot a z = 0, az O x z síkot pedig az y = 0 egyenlettel. Ezt a megközelítést részletesen tárgyaltuk a „Sík hiányos általános egyenlete” részben, hogy nehézségek esetén újra hivatkozhasson erre az anyagra. Ebben az esetben az O x koordinátaegyenest egy háromdimenziós koordinátarendszerben két y = 0 z = 0 alakú egyenletrendszer határozza meg.

Egy olyan pont koordinátáinak megkeresése, amely egy olyan egyenesen fekszik, amely mentén a síkok metszik egymást

Tekintsük a problémát. Legyen adott egy O x y z derékszögű koordinátarendszer háromdimenziós térben. Azt az egyenest, amely mentén két sík metszi egymást, az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 egyenletrendszer adja meg. Adott egy pont a háromdimenziós térben M 0 x 0, y 0, z 0.

Határozzuk meg, hogy az M 0 x 0, y 0, z 0 pont egy adott egyeneshez tartozik-e a .

Ahhoz, hogy választ kapjunk a feladat kérdésére, behelyettesítjük az M 0 pont koordinátáit a sík két egyenletébe. Ha a behelyettesítés eredményeként mindkét egyenlet a helyes A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 és A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + egyenlőséggé változik D 2 = 0, akkor az M 0 pont mindegyik síkhoz tartozik és az adott egyeneshez tartozik. Ha az A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 és A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 egyenlőségek legalább egyike hamis, akkor az M 0 pont nem tartozik egyeneshez.

Nézzük a példamegoldást

2. példa

Az egyenest a térben két egymást metsző sík 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 alakú egyenlete határozza meg. Határozzuk meg, hogy az M 0 (1, - 1, 0) és N 0 (0, - 1 3, 1) pontok a síkok metszésvonalához tartoznak-e!

Megoldás

Kezdjük az M 0 pontból. Helyettesítsük be a koordinátáit a 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 rendszer egyenletébe.

A csere eredményeként a helyes egyenlőségeket kaptuk. Ez azt jelenti, hogy az M 0 pont mindkét síkhoz tartozik, és a metszésvonalukon helyezkedik el.

Helyettesítsük be az N 0 (0, - 1 3, 1) pont koordinátáit a sík mindkét egyenletébe. 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0.

Mint látható, a rendszer második egyenlete hibás egyenletté vált. Ez azt jelenti, hogy az N 0 pont nem tartozik az adott egyeneshez.

Válasz: Az M 0 pont egy egyeneshez tartozik, de az N 0 pont nem.

Most egy algoritmust kínálunk egy adott egyeneshez tartozó pont koordinátáinak megkeresésére, ha az O x y z téglalap alakú koordinátarendszerben a térbeli egyenest az A 1 x + B 1 y + C metszősíkok egyenletei határozzák meg. 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Két ismeretlen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásainak száma végtelen. Ezen megoldások bármelyike ​​megoldást jelenthet a problémára.

Mondjunk egy példát.

3. példa

Legyen egy egyenes háromdimenziós térben az x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 alakú metsző sík egyenleteivel. Keresse meg a vonal bármely pontjának koordinátáit.

Megoldás

Írjuk át az x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 egyenletrendszert.

Az 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 rendszer főmátrixának alapmolljaként vegyünk egy másodrendű, nullától eltérő mollot. Ez azt jelenti z egy szabad ismeretlen változó.

Helyezzük át az egyenletek jobb oldalára a z szabad ismeretlen változót tartalmazó tagokat:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Vezessünk be egy tetszőleges λ valós számot, és tegyük fel, hogy z = λ.

Ekkor x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

A kapott egyenletrendszer megoldásához a Cramer módszert alkalmazzuk:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Az x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 egyenletrendszer általános megoldása x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ lesz, ahol λ ∈ R.

Ahhoz, hogy az egyenletrendszerre olyan megoldást kapjunk, amely megadja egy adott egyeneshez tartozó pont kívánt koordinátáit, fel kell vennünk a λ paraméter meghatározott értékét. Ha λ = 0, akkor x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Ez lehetővé teszi, hogy megkapjuk a kívánt pont koordinátáit - 7, 4, 0.

Ellenőrizzük a pont talált koordinátáinak pontosságát úgy, hogy behelyettesítjük őket két egymást metsző sík eredeti egyenletébe - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Válasz: - 7 , 4 , 0

Annak az egyenesnek az irányvektora, amely mentén két sík metszi egymást

Nézzük meg, hogyan határozzuk meg egy egyenes irányvektorának koordinátáit, amelyet két egymást metsző A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 és A 2 x + B 2 sík egyenlete adja meg. y + C 2 z + D 2 = 0. Egy 0xz téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenes irányvektora elválaszthatatlan az egyenestől.

Mint tudjuk, egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges egy adott síkban fekvő bármely egyenesre. A fentiek alapján egy sík normálvektora merőleges az adott síkban elhelyezkedő bármely nem nulla vektorra. Ez a két tény segít megtalálni az egyenes irányvektorát.

Az α és β síkok az egyenes mentén metszik egymást a . Irányvektor a → egyenes a merőleges az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 sík n 1 → = (A 1, B 1, C 1) normálvektorára és az n 2 → = (A 2) normálvektorra , B 2, C 2) síkok A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Közvetlen vektor a az n → 1 = (A 1, B 1, C 1) és n 2 → = A 2, B 2, C 2 vektorok vektorszorzata.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Határozzuk meg az egyenes összes irányítóvektorának halmazát a következőképpen: λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , ahol λ egy olyan paraméter, amely a nullától eltérő valós értéket vehet fel.

4. példa

Legyen egy térbeli egyenes egy O x y z derékszögű koordinátarendszerben két egymást metsző sík x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 egyenletei alapján. Keressük meg ennek az egyenesnek bármelyik irányvektorának koordinátáit.

Megoldás

Az x + 2 y - 3 z - 2 = 0 és x - z + 4 = 0 síkok normálvektorai n 1 → = 1, 2, - 3 és n 2 → = 1, 0, - 1. Vegyünk irányító vektornak egy egyenest, amely kettő metszéspontja adott repülőgépek, normálvektorok vektorszorzata:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (-1) + j → · (-3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Írjuk fel a választ a → = - 2, - 2, - 2 koordináta alakban. Azok számára, akik nem emlékeznek, hogyan kell ezt megtenni, javasoljuk, hogy olvassák el a „Vektorkoordináták téglalap alakú koordinátarendszerben” című témakört.

Válasz: a → = - 2 , - 2 , - 2

Átmenet egy térbeli egyenes parametrikus és kanonikus egyenleteire

Számos probléma megoldásához egyszerűbb egy térbeli egyenes paraméteres egyenleteit használni, amelyek alakja x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ill. kanonikus egyenletek x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ alakú térbeli egyenes. Ezekben az egyenletekben a x, a y, a z az egyenes irányítóvektorának koordinátái, x 1, y 1, z 1 az egyenes valamely pontjának koordinátái, λ pedig tetszőleges valós értékeket felvevő paraméter.

Az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 alakú egyenes egyenletből eljuthatunk a kanonikus és parametrikus egyenletekhez. egyenes vonal a térben. Egy egyenes kanonikus és parametrikus egyenleteinek felírásához szükségünk lesz egy egyenes egy pontjának koordinátáinak, valamint egy egyenes bizonyos irányítóvektorának koordinátáinak megtalálására, amelyeket az egyenletek adnak meg. két egymást metsző sík.

Nézzük meg a fent leírtakat egy példa segítségével.

5. példa

Határozzuk meg a háromdimenziós koordináta-rendszerben egy egyenest két egymást metsző sík egyenletével 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0. Írjuk fel ennek az egyenesnek a kanonikus és parametrikus egyenleteit.

Megoldás

Keressük meg annak az egyenesnek az irányítóvektorának koordinátáit, amely a 2 x + y - z - 1 = 0 és n 2 → = () sík n 1 → = 2, 1, - 1 normálvektorainak vektorszorzata Az x + 3 y - 2 sík 1, 3, - 2) z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Az a → = (1, 2, 5) egyenes irányítóvektorának koordinátái.

A következő lépésben meg kell határozni egy adott egyenes egy pontjának koordinátáit, amely az egyenletrendszer egyik megoldása: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .

Vegyük a rendszer mellékmátrixának a 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 determinánst, amely nem nulla. Ebben az esetben a változó z ingyenes. Vigyük át a vele lévő tagokat minden egyenlet jobb oldalára, és adjunk a változónak tetszőleges λ értéket:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

A kapott egyenletrendszer megoldásához Cramer módszerét használjuk:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

A következőt kapjuk: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Vegyünk λ = 2-t, hogy megkapjuk egy pont koordinátáit egy egyenesen: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Most már elegendő adatunk van egy adott egyenes kanonikus és parametrikus egyenleteinek térbeli felírásához: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Válasz: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 és x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Van egy másik módszer is a probléma megoldására.

Egy egyenes egy pontjának koordinátáit az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. 0.

Általános esetben a megoldásai egy x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ térbeli egyenes paraméteres egyenletek formájában írhatók fel.

A kanonikus egyenleteket a következőképpen kapjuk meg: a kapott egyenleteket a λ paraméterre vonatkozóan megoldjuk, és az egyenlőség jobb oldalait egyenlővé tesszük.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Alkalmazzuk ezt a módszert a probléma megoldására.

6. példa

Állítsuk be az egyenes helyzetét két egymást metsző sík 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 egyenleteivel. Írjuk fel ennek az egyenesnek a parametrikus és kanonikus egyenleteit.

Megoldás

Egy két egyenletrendszer megoldása három ismeretlennel az előző példához hasonlóan történik. A következőt kapjuk: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Ezek egy térbeli egyenes parametrikus egyenletei.

A kanonikus egyenleteket a következőképpen kapjuk: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

A mindkét példában kapott egyenlet megjelenésében különbözik, de ekvivalensek, mivel ugyanazt a ponthalmazt határozzák meg a háromdimenziós térben, tehát ugyanazt az egyenest.

Válasz: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 és x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A síkok metszéspontjának problémáját jelentőségénél fogva számos szerző „2. helyzeti problémának” nevezi.

A sztereometriából ismert, hogy két sík metszésvonala egy egyenes. A korábbi előzetes problémáknál, ahol a síkok metszéspontjainak speciális eseteiről beszéltünk, ebből a definícióból indultunk ki.

Mint ismeretes, egyik vagy másik egyenes megszerkesztéséhez a legegyszerűbb esetben két, ehhez az egyeneshez tartozó pontot kell találni. Ha egy síkot nyomvonalakkal adunk meg, ez a két pont metszősíkok azonos nyomainak metszéspontja.

Példák önálló munkára

5.1. gyakorlat

Szerkessze meg a vágányok által meghatározott síkok metszésvonalait (72. ábra):

• a) vízszintesen vetítõ I és frontálisan vetítõ A;
• b) Z-t és síkot vízszintesen vetítve általános álláspont Q;
• c) két I és 0 általános helyzetű sík.

Rizs. 72

ábrán. 73 megadja a válaszokat erre a feladatra.

Azokban az esetekben, amikor a síkokat helyi síkfigurák határozzák meg, célszerű legalább két különböző megoldási utat használni.

Rizs. 73

Az első megoldás az háromlépcsős algoritmus felhasználásával egy általános egyenes találkozási pontját egy általános síkkal. Két háromszög metszésvonalának meghatározásához az egyik háromszöget változatlanul hagyjuk, a másodikat pedig mentálisan külön szegmensekre osztjuk, általános helyzetben egyenes vonalként ábrázolva őket. Először keresse meg az egyik általános egyenes metszéspontját a háromszög síkjával. Ezután találnak egy másik hiányzó pontot, amely a kívánt vonalhoz tartozik. Ez hasonló módon történik, megismételve a teljes leírt műveletsort.

5.2. gyakorlat

Adott két háromszög csúcsainak koordinátái LANÉs DEK készítsd el az utóbbiak diagramját, és keresd meg a metszéspontjuk vonalát. Jelölje be a diagramon mindkét háromszög elemeinek láthatóságát: A(0, 9, 2); ?(10, 1, 16); C (23, 14, 9); D(3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12,0, 2). A háromszögek metszésvonalainak megtalálásához ajánlatos először megkeresni az egyenes találkozási pontját KD háromszöggel ABC, majd az egyenes találkozási pontja NE háromszöggel EDK.

Az eredményül kapott diagram általános nézete az ábrán látható. 74.

A második megoldás az a szint két kiegészítő vágósíkjának használata.

Az adott metsző lapos figurákat kétszer kell metszeni segédszintsíkkal (akár ugyanaz a név, akár az ellenkezője - mindegy), például két vízszintes sík.

Könnyen megérthető, hogy az egyszeri boncolással két metsző vonalat találhat h lÉs és 2, egy pontot adva A, a kívánt metszésvonalhoz tartozó (75. ábra). Egy másik hasonló segédsík rajzolása bizonyos távolságra

Rizs. 74

Rizs. 75

az elsőtől hasonló konstrukciót és még egy pontot kapnak. A két kapott pont azonos nevű vetületeinek összekapcsolásával megkereshető a két sík kívánt metszésvonala.

5.3. gyakorlat

Két háromszög alakzat pontjainak megadott koordinátáinak felhasználásával készítsük el az utóbbi diagramját, amelyen segédsíkok segítségével megszerkesztjük a háromszögek metszésvonalát. Jelölje be a diagramon mindkét háromszög elemeinek láthatóságát:

az ABC-hez. A(16, 5, 17); én (10, 19,

A DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

A megoldott probléma általános nézete az ábrán látható. 76.

5.4. gyakorlat

Két sík metszésvonalának megtalálásának készségeinek erősítésére egy feladatot adunk meg, amelynek megoldását a konstrukciók dinamikájában az algoritmus szakaszainak megfelelően adjuk meg.

Keresse meg két sík metszésvonalát közös helyzetben p jq

két háromszög által meghatározott ciók ABCÉs DEFés meghatározzuk áthatolásuk láthatóságát (77. ábra).

A példa megoldása az A oldalak (egyenesek) metszéspontjainak megkereséséhez vezet ABC az A által megadott általános síkkal DEF. A példa megoldásának algoritmusa ismert.

Az oldalt lezárjuk (egyenes) AS LAN a segéd frontálisan kiálló t _1_ P 2 síkba (78. ábra).

Ennek a segédsíknak a frontális nyoma metszi az oldalak vetületeit D 2 E 2 gE 2 - 1 2 és D 2 F 2 pt 2 = 2 2 az 1 2 és 2 2 pontokban. A vetületi kommunikációs vonalak lehetővé teszik az (1 !~2 2) = n A metszésvonal meghatározását a vetületek vízszintes síkján D X E X F ( . Aztán pont K 1és annak vetülete K 2 határozza meg az egyenes metszéspontját AC A-val DEF.

Megismételjük az A oldal metszéspontjának megtalálásának algoritmusát ABC közvetlen Nap ADEF-fel. A napot a p_L P 2 frontálisan vetülő segédsíkba zárjuk (79. ábra).

Megtaláljuk a 3. és 4. pont vetületeit és a vetületek vízszintes síkján meghatározzuk az egyenes metszéspontjának vetületét B 1 C [ a metszésvonallal (3,-4,):

A vetítési kommunikációs vonal lehetővé teszi a frontális vetítési pont megtalálását M 2.

A talált pontok összekapcsolása Ki Mi keressük meg két általános A sík metszésvonalát ABC n A DEF= AF (80. ábra).

Az oldalak láthatósága AABC viszonylag ADEF versengő pontok segítségével határozzák meg. Először meghatározzuk a láthatóságot geometriai formák a P 2 vetítési síkon. Ehhez az egymással versengő 5. és 6. ponton keresztül (5 2 = 6 2) rajzoljon egy vetítési kommunikációs vonalat a vetítési tengelyre merőlegesen x n(81. ábra).

Vízszintes vetületek szerint 5 UÉs 6 { 5. és 6. pont, ahol a vetületi összekötő egyenes metszi a metsző egyeneseket AC 4 D.F. kiderül, hogy a 6. pont távolabb van a P 2 vetítési síktól, mint az 5. pont. Ezért a 6. pont egy egyenes D.F. amelyekhez tartozik, a P 2 vetítési síkhoz képest láthatók. Ebből következik, hogy a szegmens (K 2-6 2) láthatatlan lesz. Hasonlóképpen meghatározzuk az A oldalak láthatóságát LANés A DEF - napÉs D.F. azok. a szegmens (F 2 -8 2) láthatatlan lesz.

Láthatóság AABCÉs ADEF a П j vetületi síkhoz viszonyítva hasonlóképpen állapítjuk meg. A metsző vonalak láthatóságának meghatározása AC * DFÉs BC ±DF a P vetítési síkhoz képest] a versengő 9 1 = 10 1 és 11 1 = 12 1 pontokon keresztül merőlegesen vetítési kommunikációs vonalakat húzunk x p. Ezen versengő pontok frontális vetületei alapján megállapítjuk, hogy a 10 2 és 12 2 pontok vetületei távolabb vannak a vetítési síktól P (. Következésképpen a szegmensek (А^-УД és (M g 2 1) láthatatlan lesz. Ezért a láthatóság AABCÉs ADEFábrán egyértelműen látható. 82.

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket rendre az egyenletek határoznak meg:

Alatt szög két sík között fogjuk érteni az e síkok által alkotott kétszögek egyikét. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a feltüntetett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . azért . Mert És , Azt

.

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordináták együtthatói arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

Így, .

Példák.

EGYENES A TÉRBEN.

VEKTOREGYENLET EGY VONALRA.

PARAMÉTERES KÖZVETLEN EGYENLETEK

Egy vonal helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Egy egyenessel párhuzamos vektort nevezünk útmutatók ennek a vonalnak a vektora.

Tehát hagyja az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1), a vektorral párhuzamos egyenesen fekszik.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrából jól látszik, hogy .

A és a vektorok kollineárisak, tehát van egy ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. Miután kijelöltük a pontok sugárvektorait M 1 és M illetőleg a és -on keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlete. Azt mutatja, hogy minden paraméter értékénél t valamely pont sugárvektorának felel meg M, egyenes vonalon fekve.

Írjuk fel ezt az egyenletet koordináta alakban. Jegyezze meg, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletei.

Paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés időszak M egyenes vonalban mozog.

A KÖZVETLEN KANONIKUS EGYENLETEI

Hadd M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Vegyünk ismét egy tetszőleges pontot az egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a vektorok is kollineárisak, ezért a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük, ezért

– kánoni egyenes egyenletei.

1. megjegyzés. Megjegyzendő, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletek közül a paraméter kiiktatásával nyerhetők ki t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres formában.

Jelöljük , innen x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, tehát, m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei a formát öltik

A paraméter kizárása az egyenletek közül t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan a formába írjuk . Így, ha az egyik tört nevezője nulla, ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóan a kanonikus egyenletekhez a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy a tengellyel párhuzamos Oz.

Példák.

AZ EGYENES ÁLTALÁNOS EGYENLETEI KÉT SÍK METSZÉSZEGYENLETEI

A térben minden egyenesen számtalan sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Következésképpen bármely két ilyen sík egyenlete együttesen reprezentálja ennek az egyenesnek az egyenleteit.

Általában bármely két nem párhuzamos sík adott általános egyenletek

határozza meg a metszéspontjuk egyenesét. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek közvetlen.

Példák.

Szerkesszen meg egy egyenest az egyenletekkel

Egy egyenes megszerkesztéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja egy egyenes és a koordinátasík metszéspontjának kiválasztása. Például a síkkal való metszéspont xOy az egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Miután megoldottuk ezt a rendszert, megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből tovább lehet lépni annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találni egy pontot M 1 egy egyenesen és egy egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et ebből az egyenletrendszerből kapjuk, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorán túl l felveheti a normálvektorok vektorszorzatát:

.

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressünk egy pontot, amely egy vonalon fekszik. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Ezért, l: .

SZÖG AZ EGYENESEK KÖZÖTT

Szög térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét fogjuk nevezni.

Adjunk meg két sort a térben:

Nyilvánvaló, hogy az egyenesek közötti φ szög az irányvektoraik és az közötti szögnek tekinthető. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képletével megkapjuk

Tegyük be az egyenes kanonikus egyenleteit

az együttható nullától eltérő, azaz az egyenes nem párhuzamos az xOy síkkal. Írjuk fel ezeket az egyenleteket külön-külön ebben a formában:

Feltételünk szerint a (6) egyenletek teljesen meghatározzák az egyenest. Mindegyik külön-külön kifejez egy síkot, ahol az első párhuzamos az Oy tengellyel, a második pedig a tengellyel

Így egy egyenest (6) alakú egyenletekkel ábrázolva azt két olyan sík metszéspontjának tekintjük, amelyek ezt az egyenest az xOz és yOz koordinátasíkra vetítik. A (6) egyenlet közül az első egy síkban vizsgálva határozza meg egy adott egyenes vetületét erre a síkra; ugyanígy a (6) egyenlet közül a második, a síkban vizsgálva, meghatározza egy adott egyenes vetületét az yOz síkon. Tehát azt mondhatjuk, hogy egy egyenes egyenleteit (6) formában megadni azt jelenti, hogy megadjuk a vetületét az xOz és yOz koordinátasíkra.

Ha a vezérlő együttható nulla lenne, akkor például a másik két együttható közül legalább az egyik különbözne nullától, azaz az egyenes nem lenne párhuzamos az yOz síkkal. Ebben az esetben kifejezhetjük az egyenest

síkok egyenletei, amelyek koordinátasíkra vetítik az (5) egyenlet alakba írásával

Így bármely egyenes kifejezhető két azon áthaladó és koordinátasíkra vetítő sík egyenleteivel. De egyáltalán nem szükséges egy egyenest egy ilyen síkpárral meghatározni.

Minden egyenesen számtalan sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Következésképpen bármely két ilyen sík egyenlete együttesen reprezentálja ennek az egyenesnek az egyenleteit.

Általában bármely két, egymással nem párhuzamos sík általános egyenletekkel

határozza meg a metszéspontjuk egyenesét.

A (7) egyenleteket együtt tekintve az egyenes általános egyenleteinek nevezzük.

A (7) egyenes általános egyenleteiből áttérhetünk a kanonikus egyenleteire. Ehhez ismernünk kell az egyenes egy pontját és egy irányvektort.

Egy adott egyenletrendszerből könnyen megkereshetjük egy pont koordinátáit, ha az egyik koordinátát tetszőlegesen kiválasztjuk, majd a maradék két koordináta feltételeinek felhasználásával megoldunk egy két egyenletrendszert.

Egy egyenes irányítóvektorának megtalálásához megjegyezzük, hogy ennek a vektornak, amely ezen síkok metszésvonala mentén van irányítva, merőlegesnek kell lennie ezen síkok mindkét normálvektorára. Megfordítva, minden arra merőleges vektor párhuzamos mindkét síkkal, tehát az adott egyenessel.

De a vektorszorzatnak is megvan ez a tulajdonsága. Ezért ezen síkok normálvektorainak vektorszorzatát vehetjük az egyenes irányítóvektorának.

1. példa. Redukálja le az egyenes egyenletét kanonikus formára

Válasszunk tetszőlegesen egyet a koordináták közül. Legyen például . Majd

ahonnan Tehát megtaláltuk a (2, 0, 1) pontot a vonalon,

Most, hogy megtaláljuk a vektorok vektorszorzatát, megkapjuk az egyenes irányvektorát, ezért a kanonikus egyenletek a következők lesznek:

Megjegyzés. A (7) alakú általános egyenes egyenletek közül a kanonikus egyenletekhez juthatunk anélkül, hogy a vektoros módszert használnánk.

Először nézzük meg egy kicsit részletesebben az egyenleteket

Fejezzük ki x-et és y-t belőlük -on keresztül. Akkor kapjuk:

ahol lennie kell

A (6) egyenleteket egyenes vonalú egyenleteknek nevezzük a síkra vonatkozó vetületekben

Telepítsük geometriai jelentése M és N konstans: M egy adott egyenesnek a koordinátasíkra való vetítésének szögegyütthatója (ennek a vetületnek az Oz tengellyel bezárt szögének érintője), N pedig ennek az egyenesnek a vetületének szögegyütthatója a koordinátasík (e vetítés Oz tengellyel bezárt szögének érintője). A számok tehát egy adott egyenes két koordinátasíkra vetületi irányait határozzák meg, vagyis magát az adott egyenes irányát is jellemzik. Ezért az M és N számokat hívják szögegyütthatók ezt a sort.

Az állandók geometriai jelentésének megtudásához tegyünk egy egyenest a (6) egyenletbe, majd megkapjuk: vagyis a pont egy adott egyenesen fekszik. Nyilvánvalóan ez a pont ennek az egyenesnek a metszéspontja a síkkal. Tehát ezek az egyenes nyomvonalának koordinátái a koordinátasíkon

Most már könnyű áttérni a vetületi egyenletekről a kanonikus egyenletekre. Legyen például adott a (6) egyenlet. Megoldva ezeket az egyenleteket, azt találjuk, hogy:

amelyből közvetlenül megkapjuk a kanonikus egyenleteket a formában

2. példa Adja meg az egyenes kanonikus egyenleteit!

egyenletekhez a síkon lévő vetületekben

Ezeket az egyenleteket átírjuk a formába

Megoldva az első egyenletet x-re, a másodikat pedig y-re, megtaláljuk a szükséges egyenleteket a vetületekben:

3. példa Adjon meg egyenleteket ppjekciókban!

a kanonikus formára.

Megoldva ezeket az egyenleteket, kapjuk:

A térbeli egyenes kanonikus egyenletei olyan egyenletek, amelyek egy adott ponton átmenő egyenest az irányvektorral kollineárisan határozzák meg.

Legyen adott egy pont és egy irányvektor. Egy tetszőleges pont egy egyenesen fekszik l csak akkor, ha a és vektorok kollineárisak, azaz a feltétel teljesül rájuk:

.

A fenti egyenletek az egyenes kanonikus egyenletei.

Számok m , nÉs p az irányvektor vetületei a koordináta tengelyekre. Mivel a vektor nem nulla, akkor minden szám m , nÉs p nem lehet egyidejűleg egyenlő nullával. De lehet, hogy egy vagy kettő közülük nulla. Az analitikai geometriában például a következő bejegyzés megengedett:

,

ami azt jelenti, hogy a vektor vetületei a tengelyre OyÉs Oz egyenlők nullával. Ezért mind a vektor, mind a kanonikus egyenletek által meghatározott egyenes merőleges a tengelyekre OyÉs Oz, azaz repülőgépek yOz .

1. példaÍrjon egyenleteket egy síkra merőleges térbeli egyenesre! és áthaladva ennek a síknak a tengellyel való metszéspontján Oz .

Megoldás. Keressük meg ennek a síknak a metszéspontját a tengellyel Oz. Mivel bármely pont a tengelyen fekszik Oz, koordinátái vannak, akkor a sík adott egyenletében feltételezve x = y = 0, 4-et kapunk z- 8 = 0 vagy z= 2. Ezért ennek a síknak a metszéspontja a tengellyel Oz koordinátái vannak (0; 0; 2) . Mivel a kívánt egyenes merőleges a síkra, párhuzamos a normálvektorával. Ezért az egyenes irányítóvektora lehet a normálvektor adott repülőgép.

Most írjuk fel egy ponton átmenő egyenes szükséges egyenleteit A= (0; 0; 2) a vektor irányában:

Két adott ponton átmenő egyenes egyenletei

Egy egyenes két azon fekvő ponttal határozható meg És Ebben az esetben az egyenes irányítóvektora a vektor lehet. Ekkor az egyenes kanonikus egyenletei formát öltenek

.

A fenti egyenletek két adott ponton átmenő egyenest határoznak meg.

2. példaÍrjon egyenletet a és pontokon átmenő térbeli egyenesre.

Megoldás. Írjuk fel a szükséges egyenes egyenleteket a fenti elméleti hivatkozásban megadott formában:

.

Mivel , akkor a kívánt egyenes merőleges a tengelyre Oy .

Egyenes, mint a síkok metszésvonala

Egy térbeli egyenes két nem párhuzamos sík metszésvonalaként, azaz két lineáris egyenletrendszert kielégítő pontok halmazaként határozható meg.

A rendszer egyenleteit a térbeli egyenes általános egyenleteinek is nevezik.

3. példaÁllítson össze egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit általános egyenletekkel

Megoldás. Egy egyenes kanonikus egyenleteinek, vagy ami ugyanaz, egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletének felírásához meg kell találni az egyenes bármely két pontjának koordinátáit. Lehetnek például egy egyenes metszéspontjai bármely két koordinátasíkkal yOzÉs xOz .

Egyenes és sík metszéspontja yOz van abszcissza x= 0. Ezért ebben az egyenletrendszerben feltételezve x= 0, akkor két változós rendszert kapunk:

Az ő döntése y = 2 , z= 6 együtt x= 0 egy pontot határoz meg A(0; 2; 6) a kívánt sort. Majd az adott egyenletrendszerben feltételezve y= 0, megkapjuk a rendszert

Az ő döntése x = -2 , z= 0 együtt y= 0 egy pontot határoz meg B(-2; 0; 0) egyenes metszéspontja síkkal xOz .

Most írjuk fel a pontokon áthaladó egyenes egyenleteit A(0; 2; 6) és B (-2; 0; 0) :

,

vagy a nevezők -2-vel való elosztása után:

,