Transzcendentális szám egyszerű szavakkal. Mi a transzcendencia, vagy miért nem ismerhetjük meg önmagunkat. Nézze meg, mi a "Transcendentális szám" más szótárakban

A Transzcendentális számot jellemző részlet

A valós számok racionális és irracionális felosztása mellett van egy másik felosztásuk - algebrai és transzcendentális.

Ha egy valós szám kielégíti valamelyik alakegyenletet

egész együtthatókkal, akkor azt mondjuk, hogy ez a szám algebrai. Az olyan valós számot, amely nem tesz eleget egyetlen ilyen típusú egyenletnek sem, transzcendentálisnak nevezzük. ( Komplex számok pontosan ugyanúgy vannak felosztva algebraira és transzcendentálisra, de a következőkben csak a valós számokra leszünk kíváncsiak.)

Könnyen belátható, hogy minden racionális szám algebrai. Például az 5/7 kielégíti a kívánt típusú egyenletet. Általában bármely racionális szám kielégíti az egyenletet, ezért algebrai.

Mivel minden racionális szám algebrai, így minden nem algebrai szám irracionális (lásd a 40. oldalon feltüntetett „Kifejezési módok: ha A, akkor B” táblázat 12. módszerét), vagy számunkra kényelmesebb formában: minden a transzcendentális szám irracionális . Ezt a felosztást vázlatosan szemlélteti az ábra. 15.

Ezen az ábrán a számok az algebrai számok példájaként jelennek meg. Valójában algebraiak, mivel teljesítik a következő algebrai egyenleteket:

A számok viszont a transzcendentális számok példáiként szerepelnek. (A 3,14159-nek megfelelő szám... a kör kerületének és átmérőjének hosszának aránya.) Itt nem tudjuk bizonyítani e számok transzcendenciáját, mivel ezek a számok sokkal mélyebb módszerek alkalmazásán alapulnak, mint akiket használunk. A számok transzcendenciáját 1882-ben állapították meg, de a számok transzcendenciája sokkal későbbi eredmény - ezt csak 1934-ben igazolták. A számot példaként használta a nagy matematikus, David Hilbert, amikor bejelentette híres, huszonhárom feladatból álló listáját. 1900-ban, amelyet a legfontosabb megoldatlan matematikai problémáknak tartott. Hilbert hetedik problémája különösen az volt, hogy megtudja, hogy egy szám algebrai-e vagy transzcendentális, ha ismert, hogy a számok algebraiak. (A racionális eseteit kizártuk, mivel ezekben az esetekben meglehetősen könnyű bebizonyítani, hogy a szám algebrai.) 1934-ben A. O. Gelfond és tőle függetlenül T. Schneider megállapította, hogy a szám transzcendentális. A szám transzcendenciája természetesen ennek az általános eredménynek egy speciális esete.

Ebből az eredményből is következik a szám transzcendenciája. Tulajdonképpen jelöljük , 10-et pedig a-val. A decimális logaritmus definíciója alapján

Ha a szám algebrai és irracionális lenne, akkor a Gelfond-Schneider tétel szerint a számnak transzcendentálisnak kellene lennie. Mivel nem így van, vagy racionális, vagy transzcendentális. De fent megmutattuk, hogy a szám irracionális. Ezért transzcendentális.

Általában a Gelfond-Schneider tételből következik, hogy minden racionális szám transzcendentális vagy racionális. A 3. §-ban elmondottak értelmében (lásd még a 4. gyakorlatot a 97. oldalon) ez azt jelenti, hogy a szám transzcendentális minden pozitív racionalitás esetén, kivéve a következőket:

Nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a könyvben tárgyalt összes logaritmus decimális, azaz 10-es bázisban veszik őket.

Így minden szám , ahol bármely egész szám 1 és 1000 között, kivéve a transzcendentálisakat. Másrészt a trigonometrikus függvények értékei, mint például a szám, amelyek a fejezet elején irracionálisnak bizonyultak, algebraiak. Az itt kapcsolódó általános eredményt a következőképpen fogalmazzuk meg bármely racionális számra

Ebben a részben ismét elhagyjuk az egész számok gyönyörű és hangulatos birodalmát, amelyben az összehasonlítás elméletének tanulmányozása közben sétáltunk (majdnem azt mondtam, hogy vándoroltunk). Ha nyomon követjük az emberi számokkal kapcsolatos ismeretek kialakulásának és fejlődésének történetét, egy meglehetősen paradox tényre derül fény – szinte az egész évszázados történelme során az emberiség a gyakorlatban felhasználta és alaposan tanulmányozta a számok teljes halmazának kivételesen kis töredékét. a természetben élő. Sokáig az emberek egyáltalán nem voltak tisztában a valós számok túlnyomó többségének létezésével, amint később kiderült, amelyek csodálatos és titokzatos tulajdonságokkal vannak felruházva, és amelyeket ma transzcendentálisnak neveznek. Ítélje meg maga (felsorolom a valós szám fogalmának hozzávetőleges fejlődési szakaszait):

1) Egy természetes szám zseniális matematikai absztrakciója, amely évezredek mélyéről származik

Ennek az absztrakciónak a zsenialitása elképesztő, és jelentősége az emberiség fejlődése szempontjából talán még a kerék feltalálását is felülmúlja. Annyira megszoktuk, hogy már nem csodáljuk az emberi elme legkiválóbb teljesítményét. A nagyobb hitelesség érdekében azonban próbálja meg magát nem matematikus diáknak képzelni, hanem primitív ember, vagy mondjuk egy filológus hallgató pontosan fogalmazza meg, mi a közös három kunyhóban, három bikában, három banánban és három ultrahangos szkennerben (itt nem vesszük figyelembe, hogy mi a közös három ivótársban). Szinte reménytelen vállalkozás elmagyarázni valakinek a matematikán kívül, hogy mi a „három” természetes szám, de már egy ötéves embergyerek belsőleg érzékeli ezt az absztrakciót, és képes intelligensen operálni vele, helyette három cukorkát kér édesanyjától. kettőből.

2) Törtek, azaz. pozitív racionális számok

A töredékek természetesen felmerültek a vagyonmegosztási problémák megoldása során, a telkek mérése, az időszámítás stb. IN ókori Görögország a racionális számok általában a környező világ harmóniájának szimbólumai és az isteni elv megnyilvánulása volt, és minden szegmenst egy ideig arányosnak tekintettek, pl. hosszuk arányát racionális számként kellett kifejezni, különben cső lenne (ezt az istenek nem engedhetik meg).

3) Negatív számok és nulla (egyes tudományos források szerint

A negatív számokat kezdetben adósságként értelmezték a pénzügyi és barterszámítások során, de aztán kiderült, hogy anélkül negatív számokés az emberi tevékenység más területein nincs menekvés (aki nem hiszi el, nézze meg télen a hőmérőt az ablakon kívül). A nulla szám szerintem kezdetben nem az üres hely és a mennyiség hiányának szimbólumaként szolgált, hanem az egyenlőség és az elszámolási folyamat teljességének szimbólumaként (amennyivel tartoztál a szomszédnak, visszaadtál őt, és most nulla, vagyis kár).

4) Irracionális algebrai számok

Irracionális számokat fedeztek fel a Pitagorasz iskolában, amikor megpróbálták megmérni egy négyzet átlóját az oldalával, de szörnyű titokban tartották ezt a felfedezést - bármennyi bajhoz is vezetne! Csak a mentálisan legstabilabb és legbeváltabb tanulókat avatták be ebbe a felfedezésbe, és undorító, a világ harmóniáját megsértő jelenségként értelmezték. De a szükség és a háború arra kényszerítette az emberiséget, hogy megtanuljon dönteni algebrai egyenletek nemcsak elsőfokú egész együtthatókkal. Galilei után parabolában kezdtek repülni a lövedékek, Kepler után ellipszisben repültek a bolygók, a mechanika és a ballisztika egzakt tudományokká váltak, és mindenhol olyan egyenleteket kellett megoldani, amelyeknek gyökerei irracionális számok voltak. Ezért meg kellett békülnünk az algebrai egyenletek irracionális gyökereinek létezésével, bármennyire is undorítónak tűnnek. Sőt, a 16. században olasz matematikusok, Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia (a Tartaglia becenév jelentése: dadogó, nem tudom az igazi nevét), Ludovic Ferrari és Raphael által felfedezett köbegyenletek és negyedfokú egyenletek megoldási módszerei. Bombelli teljesen „természetfeletti” komplex számok feltalálásához vezetett, amelyek teljes elismerését csak a 19. században ítélték meg. Az algebrai irracionalitások a 16. század óta szilárdan beépültek az emberi gyakorlatba.

A számfogalom e fejlődéstörténetében nem volt helye a transzcendentális számoknak, i.e. olyan számok, amelyek nem gyökei egyetlen algebrai egyenletnek sem, racionális vagy, ami ekvivalens (közös nevezőre redukálás után), egész együtthatókkal. Igaz, még az ókori görögök is ismerték a figyelemre méltó p számot, amely, mint később kiderült, transzcendentális, de csak a kör kerületének és átmérőjének arányaként ismerték. Ennek a számnak a valódi természetének kérdése senkit nem érdekelt, amíg az emberek el nem teltek, és sikertelenül meg nem oldották a kör négyzetre emelésének ókori görög problémáját, és maga a p szám valamiféle titokzatos módon felbukkant a matematika és a természettudomány különböző részein.

Liouville csak 1844-ben alkotta meg a transzcendentális számok történetileg első példáját, és a matematikai világot meglepte az ilyen számok létezésének ténye. A zseniális Georg Cantor csak a 19. században értette meg a halmaz hatványának fogalmát használva, hogy a számegyenesen túlnyomó többségben vannak a transzcendentális számok. Csak ennek a kis könyvnek az ötödik bekezdésében térünk rá végre transzcendentális számok a figyelmedet.

24. pont Mérték és kategória egy vonalon.

Ebben a bekezdésben megadom a matematikai elemzésből származó előzetes információkat, amelyek a további előadás megértéséhez szükségesek. A matematikában a halmaz „kicsinysége” fogalmának jó néhány különböző formalizálását találták ki. Ezek közül kettőre lesz szükségünk - a nulla mértékegységekre és az első Baire-kategória készleteire. Mindkét fogalom egy halmaz megszámlálhatóságának koncepcióján alapul. Ismeretes, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható (| K|= A 0), és hogy bármely végtelen halmaz tartalmaz egy megszámlálható részhalmazt, azaz. megszámlálható halmazok a „legkisebbek” a végtelenek közül. Bármely megszámlálható halmaz és a természetes számok halmaza között N van bijektív leképezés, pl. bármely megszámlálható halmaz elemei átszámozhatók, vagy más szóval bármely megszámlálható halmaz sorba rendezhető. A sorban egyetlen intervallum sem megszámlálható halmaz. Ez nyilvánvalóan következik a következő tételből.

1. tétel (Kántor). Bármilyen sorozathoz ( a n) valós számok és bármely intervallumra én van egy pont r KÖRÜLBELÜL én olyan hogy p № a n bárkinek n KÖRÜLBELÜL N .

Bizonyíték. Folyamat. Vegyünk egy szegmenst (pontosan egy szegmenst, a végekkel együtt) én 1 M én olyan hogy a 1 P én 1. Egy szegmensből én 1 vegyen egy szakaszt én 2 M én 1 ilyen a 2 P én 2 stb. Folytatva a folyamatot, a szegmensből I n -1 vegyen egy szegmenst én n M én n-1 ilyen a n P én n. A folyamat eredményeként beágyazott szegmensek sorozatát kapjuk én 1 én 2 J...J én n... kereszteződés
amelyek, mint az első fogásból tudjuk, nem üresek, i.e. tartalmaz néhány pontot
. Ez nyilvánvaló p# a n mindenki előtt n O N .

Nem hiszem, hogy az olvasók korábban nem találkoztak volna ezzel az elegáns bizonyítással (bár a gyakorlatomban találkoztam nagyon homályos hallgatókkal), egyszerűen ennek a bizonyításnak az ötletét a későbbiekben Baire tételének bizonyítása során felhasználjuk. ezért célszerű előre felidézni.

Meghatározás. Sok A szorosan az intervallumban én, ha van egy nem üres metszéspontja az egyes részintervallumokkal én. Sok A szoros, ha szorosan be van zárva R. Sok A sehol nem sűrű, ha nem sűrű a valós egyenesen egyetlen intervallumban sem, pl. A sorban minden intervallum tartalmaz egy részintervallumot, amely teljes egészében a komplementerében található A .

Könnyű megérteni, hogy sok A sehol akkor és csak akkor sűrű, ha a kiegészítője A ў sűrű nyitott halmazt tartalmaz. Könnyű megérteni, hogy sok A sehol akkor és csak akkor szoros a zárása
nem rendelkezik belső pontokkal.

A vonalon lévő sűrű halmazokat sehol sem érezzük intuitív módon kicsinek abban az értelemben, hogy tele vannak lyukakkal, és egy ilyen halmaz pontjai meglehetősen ritkán helyezkednek el egy vonalon. Fogalmazzuk meg a sehol sem sűrű halmazok néhány tulajdonságát tömegesen tétel formájában.

2. tétel. 1) A sehol sem sűrű halmaz bármely részhalmaza sehol sem sűrű.

2) Kettő (vagy tetszőleges véges szám) sehol sem sűrű halmaz uniója sehol sem sűrű.

3) A sehol sem sűrű halmaz zárása sehol sem sűrű.

Bizonyíték. 1) Nyilvánvalóan.

2) Ha A 1 és A 2 sehol sem sűrű, akkor minden intervallumra én lesznek időközök én 1 M ( én \ A 1) és én 2 M ( én 1 \ A 2). Eszközök, én 2 M én \(A 1 I A 2), ami azt jelenti A 1 I A 2 sehol nem szűk.

3) Nyilvánvaló, hogy a bennük lévő bármely nyitott intervallum A ў, szintén benne van
.

Így a sehol sem sűrű halmazok osztálya a részhalmazok felvétele, a lezárás és a véges uniók művelete alatt zárt. A sehol sem sűrű halmazok megszámlálható uniójának általában véve nem kell sehol sem sűrű halmaznak lennie. Példa erre a racionális számok halmaza, amely mindenhol sűrű, de egyedi pontok megszámlálható uniója, amelyek mindegyike egyetlen elemű, sehol sem sűrű halmazt alkot. R .

Meghatározás. Azt a halmazt, amely a sehol sem sűrű halmazok véges vagy megszámlálható uniójaként ábrázolható, az első kategória halmazának nevezzük (Baer szerint). Az ebben a formában nem ábrázolható halmazt a második kategória halmazának nevezzük.

3. tétel. 1) Az első kategória bármely halmazának komplementere a sorban sűrű.

2) Nincs intervallum R nem az első kategória halmaza.

3) A sűrű nyílt halmazok bármely sorozatának metszéspontja egy sűrű halmaz.

Bizonyíték. A tételben megfogalmazott három tulajdonság lényegében egyenértékű. Bizonyítsuk be az elsőt. Hadd

– halmaz ábrázolása A első kategória sehol sem sűrű halmazok megszámlálható uniója formájában, én– tetszőleges intervallum. A következő a folyamat, mint a Cantor-tétel bizonyítása. Válasszunk ki egy szegmenst (nevezetesen egy szegmenst, a végekkel együtt) én 1 M ( én \ A 1). Ezt azért lehet megtenni, mert a sehol sem sűrű halmaz mellett A 1 az intervallumon belül én mindig van egy teljes részintervallum, és ez viszont magában foglal egy egész szegmenst. Válasszunk ki egy szegmenst én 2 M ( én 1 \ A 2). Válasszunk ki egy szegmenst én 3 M ( én 2 \ A 3) stb. Beágyazott szegmensek metszéspontja
nem üres, ezért a kiegészítés én \ A nem üres, ami azt jelenti, hogy a kiegészítés A ў szoros.

A tétel második állítása közvetlenül következik az elsőből, a harmadik állítás is következik az elsőből, ha csak erőfeszítéseket teszünk és továbblépünk egy sűrű nyílt halmaz sorozatának komplementereire.

Meghatározás. A halmazok azon osztályát, amely tagjainak összes lehetséges véges vagy megszámlálható unióját és tagjainak bármely részhalmazát tartalmazza, s-ideálnak nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy a legfeljebb megszámlálható halmazok osztálya s-ideál. Kis gondolkodás után könnyen érthető, hogy a vonalon lévő első kategória összes halmazának osztálya is s-ideál. Az s -ideál másik érdekes példája az úgynevezett nullhalmazok (vagy nulla mértékhalmazok) osztálya.

Meghatározás. Sok A M R nulla (null-halmaz) mértékhalmaznak nevezzük, ha A legfeljebb egy megszámlálható intervallumhalmaz fedhető le, amelyek teljes hossza kisebb bármely előre meghatározott e >0 számnál, azaz. bármely e >0 esetén van olyan intervallumsorozat I n, Mi
és e Ѕ I n Ѕ< e .

A nullhalmaz fogalma a halmaz „kicsisége” intuitív fogalmának egy másik formalizálása: a nullhalmazok kis hosszúságú halmazok. Nyilvánvaló, hogy egy egyedi pont egy nullhalmaz, és hogy a nullhalmaz bármely részhalmaza maga is nullhalmaz. Ezért az a tény, hogy a nullhalmazok s -ideált alkotnak, a következő tételből következik.

4. Tétel (Lebesgue). A nullhalmazok bármely megszámlálható uniója nullhalmaz.

Bizonyíték. Hadd A i- null készletek, én= 1, 2, ... . Akkor mindenkinek én intervallumok sorozata van én ij ( j=1, 2, ...) úgy, hogy
És
. Az összes intervallum halmaza én ij kiterjed A hosszuk összege pedig kisebb, mint e, hiszen
. Eszközök, A– null-set.

Nincs intervallum vagy szegmens nullhalmaz, mert igazságos

5. tétel (Heine–Borel). Ha az intervallumok véges vagy végtelen sorozata I n lefedi az intervallumot én, Azt

S S I n Ѕ і Ѕ én Ѕ .

Ezt az intuitíven nyilvánvaló tételt itt nem bizonyítom, mert a matematikai elemzés bármely többé-kevésbé komoly kurzusában megtalálható.

A Heine-Borel tételből az következik, hogy a nullhalmazok s -ideálja, akárcsak a legfeljebb megszámlálható halmazok és az első kategóriájú halmazok s -ideálja, nem tartalmaz intervallumokat és szegmenseket. Ebben a három s-ideálban az is közös, hogy minden véges és megszámlálható halmazt tartalmaznak. Ezenkívül a nulla mérték első kategóriájának megszámlálhatatlan halmazai vannak. Az ilyen halmaz legismertebb példája a Cantor perfect (*) készlet c M, amely olyan számokból áll, amelyek háromtagú jelölése nem tartalmaz egyet. Emlékezzen a Cantor tökéletes halmaz felépítésének folyamatára: a szegmenst három egyenlő részre osztjuk, és a középső nyitott intervallumot kidobjuk. A szegmens maradék kétharmadát ismét három egyenlő részre osztjuk, és a középső nyitott intervallumokat kidobjuk stb. Nyilvánvaló, hogy a folyamat után visszamaradt halmaz sehol sem sűrű, pl. első kategória. Könnyen kiszámítható, hogy a kidobott középső részek teljes hossza eggyel egyenlő, azaz. Vel nulla mértéke van. Köztudott, hogy Vel megszámlálhatatlan, mert megszámlálhatatlanul sok végtelen sorozat, amely nullákból és kettőből áll (minden elem Vel egy hármas törttel jelöljük, amelyben a tizedesvessző után pontosan nullák és kettesek sorozata van).

Azt javaslom, hogy az olvasók maguk ellenőrizzék le, hogy vannak-e az első kategória olyan halmazai, amelyek nem nullhalmazok, és vannak-e olyan nullhalmazok, amelyek nem az első kategória halmazai (ha azonban nehéznek találja a releváns példákat, ne ess kétségbe, csak olvasd el ezt a pontot a 6) Tételhez.

Így a három vizsgált s-ideál közötti kapcsolatok képe a következő:

Tehát bevezettük a kis halmazok két fogalmát. Nincs abban semmi paradox, hogy az egyik értelemben kicsi halmaz egy másik értelemben nagy lehet. A következő tétel jól illusztrálja ezt az elképzelést, és megmutatja, hogy bizonyos esetekben az általunk bevezetett kicsinység fogalma homlokegyenest ellentétesnek bizonyulhat.

6. tétel. A számsor két egymást kiegészítő halmazra osztható AÉs INÍgy A van egy halmaz az első kategóriából, és IN nulla mértéke van.

Bizonyíték. Hadd a 1 , a 2 ,…, a n ,… – racionális számok számozott halmaza (vagy bármely más, mindenhol megszámlálható sűrű részhalmaz). R). Hadd I ij– 1/2 i+j hosszúságú nyitott intervallum középponttal a pontban a i. Nézzük a készleteket:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Nyilván bármely e >0 esetén választhatunk júgy, hogy 1/2 j< e . Тогда

,

ezért, IN– null-set.

Következő,
– sűrű nyitott részhalmaz R mert ez nyitott intervallumok sorozatának uniója, és minden racionális pontot tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy a kiegészítése G jў ezért sehol sem sűrű
– az első kategória halmaza.

Hát nem csodálatos eredmény! A bizonyított tételből az következik, hogy az egyenes minden részhalmaza, mint kiderül, a nullhalmaz és az első kategória halmaza uniójaként ábrázolható. A következő bekezdésben egy adott partíciót fogunk megvizsgálni R két részhalmazba, amelyek közül az egyik a transzcendentális Liouville-számok - mértéke nulla, de a második kategóriába tartozik Baire szerint. Siess a következő pontra!

A számot hívják algebrai, ha ez valamilyen egész együtthatós polinom gyöke

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(azaz az egyenlet gyöke a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, Hol a n, a n-1, ..., egy 1, egy 0--- egész számok, n 1, a n 0).

Az algebrai számok halmazát betűvel jelöljük .

Könnyen belátható, hogy bármely racionális szám algebrai. Valóban, az egyenlet gyökere qx-p=0 egész együtthatókkal a 1 =qÉs a 0 =-p. Így, .

Azonban nem minden algebrai szám racionális: például a szám az egyenlet gyöke x 2 -2=0 tehát egy algebrai szám.

Sokáig megválaszolatlan maradt egy fontos kérdés a matematika számára: léteznek-e nem algebrai valós számok? ? Liouville csak 1844-ben adott először példát transzcendentális (azaz nem algebrai) számra.

Ezt a számot megkonstruálni és transzcendenciáját bizonyítani nagyon nehéz. A transzcendentális számok létezésére vonatkozó tétel sokkal könnyebben bizonyítható, ha számhalmazok ekvivalenciájára és nem ekvivalenciájára vonatkozó megfontolásokat alkalmazunk.

Bebizonyítjuk ugyanis, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható. Ekkor, mivel az összes valós szám megszámlálhatatlan, meg fogjuk állapítani a nem algebrai számok létezését.

Építsünk egy-egy levelezést között és néhány részhalmaz . Ez azt fogja jelenteni - véges vagy megszámlálható. De mióta , Azt végtelen, ezért megszámlálható.

Legyen valamilyen algebrai szám. Tekintsünk minden olyan egész együtthatós polinomot, amelynek gyöke , és válasszunk közülük egy polinomot P minimális fok (azaz nem lesz gyöke egyetlen kisebb fokú egész együtthatóval rendelkező polinomnak sem).

Például egy racionális szám esetében egy ilyen polinom 1-es, egy szám esetében pedig 2-es fokozatú.

Osszuk el a polinom összes együtthatóját P legnagyobb közös osztójuk által. Olyan polinomot kapunk, amelynek együtthatói kölcsönösen prímek (legnagyobb közös osztójuk 1). Végül, ha a vezető együttható a n negatív, szorozzuk meg a polinom összes együtthatóját ezzel -1 .

Az eredményül kapott polinomot (azaz egy olyan egész együtthatós polinomot, amelynek gyöke a lehető legkisebb fokozatú szám, a koprím együttható és a pozitív vezető együttható) a szám minimális polinomjának nevezzük.

Bizonyítható, hogy egy ilyen polinom egyedileg meghatározott: minden algebrai számnak pontosan egy minimális polinomja van.

Egy polinom valós gyökeinek száma nem nagyobb, mint a foka. Ez azt jelenti, hogy meg tudjuk számozni (például növekvő sorrendben) egy ilyen polinom összes gyökét.

Most minden algebrai számot teljesen meghatároz a minimális polinomja (azaz együtthatóinak halmaza), valamint az a szám, amely megkülönbözteti ezt a polinomot a többi gyöktől: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Tehát minden algebrai számhoz rendeltünk egész számok véges halmazát, és ebből a halmazból egyedileg rekonstruálható (azaz különböző halmazok különböző számoknak felelnek meg).

Számozzuk meg az összes prímszámot növekvő sorrendben (könnyű kimutatni, hogy végtelenül sok van belőlük). Végtelen sorozatot kapunk (pk): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7, ... Most egész számok halmaza (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) a műhöz illeszthető

(ez a szám pozitív és racionális, de nem mindig természetes, mert a számok között egy 0, egy 1, ..., a n-1, negatív is lehet). Vegyük észre, hogy ez a szám egy redukálhatatlan tört, mivel a számláló és a nevező kiterjesztésében szereplő prímtényezők eltérőek. Vegye figyelembe azt is, hogy két pozitív számlálóval és nevezővel rendelkező irreducibilis tört akkor és csak akkor egyenlő, ha mindkét számlálójuk egyenlő, és a nevezőik is egyenlőek.

Nézzük most a végpontok közötti leképezést:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Mivel különböző algebrai számokhoz különböző egész számokat, különböző halmazokhoz pedig különböző racionális számokat rendeltünk, így egy az egyhez megfeleltetést hoztunk létre a halmazok között. és néhány részhalmaz . Ezért az algebrai számok halmaza megszámlálható.

Mivel a valós számok halmaza megszámlálhatatlan, bebizonyítottuk a nem algebrai számok létezését.

A létezési tétel azonban nem jelzi, hogyan határozható meg, hogy egy adott szám algebrai-e. És ez a kérdés néha nagyon fontos a matematika számára.