Tétel egy deriválttal rendelkező függvény folytonosságáról. Egy függvény differenciálhatósága. Függvény differenciálja Differenciálható függvény folytonossága A függvény differenciáljának fogalma A differenciál geometriai jelentése. A függvények szorzatának származéka

Egy mozgó pont sebességével kapcsolatos probléma

Legyen az egyenes vonalú mozgás törvénye anyagi pont. Jelöljük az időpont által megtett úttal és az időben megtett úttal . Ekkor a pont a következővel egyenlő utat fog bejárni: . Az arányt a pont átlagos sebességének nevezzük a től ig terjedő idő alatt. Minél kevesebb, pl. Minél rövidebb időintervallum tól -ig, annál jobban jellemzi az átlagos sebesség egy pont mozgását az adott pillanatban. Ezért természetes, hogy bevezetjük a sebesség fogalmát pillanatnyilag, az átlagsebesség határaként definiálva azt az időszakot, amikor:

A mennyiséget egy pont pillanatnyi sebességének nevezzük egy adott pillanatban.

Probléma egy adott görbe érintőjével kapcsolatban

Adjon meg egy folytonos görbét a síkon az egyenlet. Egy adott görbéhez egy pontban egy nem függőleges érintőt kell rajzolni . Mivel az érintési pont adott, a feladat megoldásához meg kell találni az érintő meredekségét. A geometriából ismert, hogy , ahol az érintő dőlésszöge a tengely pozitív irányához (lásd az ábrát). Pontokon keresztül És Rajzoljunk egy metszőt, ahol a metszés által bezárt szög a tengely pozitív irányával. Az ábrából jól látható, hogy hol . Egy adott görbe érintőjének meredeksége egy pontban a következő definíció alapján határozható meg.

A görbe érintője egy pontban a szekáns határhelyzete, amikor a pont a ponthoz tart . Ebből következik .

A származék definíciója

A fent tárgyalt feladatok megoldásához szükséges matematikai művelet ugyanaz. Tisztázzuk ennek a műveletnek az analitikai lényegét, elvonatkoztatva azoktól a konkrét kérdésektől, amelyek ezt eredményezték.

Legyen a függvény definiálva valamilyen intervallumon. Ebből az intervallumból vegyünk egy értéket. Adjunk hozzá némi növekményt (pozitív vagy negatív). Ez az új argumentumérték megfelel az új függvényértéknek , Hol .

Alkossunk kapcsolatot , ez a függvény függvénye.

Egy függvény deriváltja egy változóhoz képest egy pontban a függvény növekményének ezen a ponton és az azt okozó argumentum növekményének arányának határa, ha tetszőleges módon:

Megjegyzés. Úgy tekintjük, hogy egy függvény deriváltja egy pontban létezik, ha a képlet jobb oldalán a határ létezik, és véges, és nem függ attól, hogy a változó növekménye hogyan hajlik 0-ra (balról vagy jobbról). .

A függvény deriváltjának megtalálásának folyamatát differenciálásnak nevezzük.

Egyes függvények deriváltjainak keresése definíció szerint

a) Állandó származéka.

Legyen , ahol egy állandó, mert ennek a függvénynek az értékei mindenkinek azonosak, akkor a növekménye nulla, és ezért

.

Tehát egy állandó deriváltja egyenlő nullával, azaz. .

b) Függvény származéka.

Hozzuk létre a függvény növekményét:

.

A derivált megtalálásakor a függvények szorzatának határértéke, az első figyelemre méltó határ és a függvény folytonossága tulajdonságát használtuk.

Így, .

Egy függvény differenciálhatósága és folytonossága közötti kapcsolat

Azt a függvényt, amelynek egy pontban deriváltja van, abban a pontban differenciálhatónak mondjuk. Azt a függvényt, amelynek egy adott intervallum minden pontján deriváltja van, ezen az intervallumon differenciálhatónak nevezzük.

Tétel. Ha egy függvény egy ponton differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

Bizonyíték. Adjunk tetszőleges növekményt az argumentumnak. Ekkor a függvény növekményt kap. Írjuk fel az egyenlőséget, és haladjunk a bal és jobb oldalon lévő határig:

Mivel folytonos függvény esetén az argumentumban lévő infinitezimális növekmény a függvény infinitezimális növekményének felel meg, a tétel bizonyítottnak tekinthető.

Megjegyzés. A fordított állítás nem állja meg a helyét, i.e. a függvény egy pontban való folytonosságából általánosságban elmondható, hogy ezen a ponton nem következik a differenciálhatóság. Például egy függvény folytonos mindenre, de nem differenciálható a pontban. Igazán:

A határ végtelen, ami azt jelenti, hogy a függvény nem differenciálható a ponton.

Származékos táblázat elemi függvények

Megjegyzés. Emlékezzünk vissza a függvények megkülönböztetésére használt hatványok és gyökök tulajdonságaira:

Mondjunk példákat a származékok megtalálására.

1) .

2)

Komplex függvény származéka

Hadd . Ekkor a függvény összetett függvénye lesz x.

Ha a függvény a ponton differenciálható x, és a függvény a ponton differenciálható u, akkor a ponton is differenciálható x, és

.

1.

Akkor sejtjük. Ezért

Kellő hozzáértéssel egy köztes változó u ne írj, csak gondolatban lépj be.

2.

Differenciális

Rajzoljunk egy érintőt egy folytonos függvény grafikonjára egy pontban M.T., jelölésével j dőlésszöge a tengely pozitív irányához képest Ó. Mivel , majd a háromszögből MEF ebből következik

Bemutatjuk a jelölést

.

Ezt a kifejezést hívják differenciális funkciókat Így

Észrevéve, hogy i.e. hogy a független változó differenciája egyenlő a növekményével, azt kapjuk

Így egy függvény differenciálja egyenlő a deriváltjának és a független változó differenciáljának (vagy növekményének) szorzatával.

Az utolsó képletből az következik, hogy i.e. egy függvény deriváltja egyenlő e függvény differenciáljának az argumentum differenciáljához viszonyított arányával.

Funkció differenciál dy geometriailag reprezentálja a D argumentum növekményének megfelelő érintő ordinátájának növekedését X.

Az ábrán jól látható, hogy elég kicsi D esetén X abszolút értékben felvehetjük egy függvény növekményét, amely megközelítőleg egyenlő a differenciáljával, azaz.

.

Tekintsünk egy komplex függvényt , ahol , és differenciálható a függvényben u, és – által X. Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint

Szorozzuk meg ezt az egyenlőséget ezzel dx:

Mivel (a differenciál definíciója szerint), akkor

Így egy komplex függvény differenciáljának ugyanaz az alakja, ha a változó u nem köztes argumentum volt, hanem független változó.

A differenciálműnek ezt a tulajdonságát ún változatlanság(állandóság) differenciális formák.

Példa. .

Minden differenciálási szabály felírható differenciálokra.

Hadd – egy ponton differenciálható X. Majd

Bizonyítsuk be a második szabályt.

Származék implicit függvény

Legyen adott a és a változókat összekötő alak egyenlete. Ha nem fejezhető ki explicit módon a ,-on keresztül (feloldása -hoz képest), akkor egy ilyen függvényt hívunk meg hallgatólagosan adott. Egy ilyen függvény deriváltjának megtalálásához meg kell különböztetnie az egyenlet mindkét oldalát -hoz képest, tekintve, hogy függvénye. A kapott új egyenletből keresse meg.

Példa. .

Megkülönböztetjük az egyenlet mindkét oldalát -hoz képest, ne feledjük, hogy van függvénye

4. előadás Egy változó függvényének deriváltja és differenciálja

Ha a funkció y = f(x) bizonyos pontokon differenciálható x = x 0, akkor ezen a ponton folytonos.

Így a függvénynek nem lehet deriváltja a folytonossági pontokon. Az ellenkező következtetés helytelen, i.e. attól, hogy valamikor x = x 0 funkció y = f(x) folytonos nem jelenti azt, hogy ezen a ponton differenciálható. Például a függvény y = |x| folyamatos mindenkinek x (–< X < ), но в точке x= 0-nak nincs deriváltja. Ezen a ponton nincs érintője a grafikonnak. Van jobb és bal érintő, de ezek nem esnek egybe.

21 Szabályok megtalálása termelés összegeket

1. szabály Ha az y = f(x) és y = g(x) függvényeknek van deriváltja az x pontban, akkor az összegüknek is van deriváltja az x pontban, és az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével:
(f(x) + 8(x))" =f (x)+ (x).
A gyakorlatban ezt a szabályt rövidebben fogalmazzák meg: egy összeg deriváltja egyenlő származékainak összegével.
Például,
2. szabály Ha az y = f(x) függvénynek van deriváltja az x pontban, akkor az y = kf(x) függvénynek is van deriváltja az x pontban, és:

A gyakorlatban ez a szabály rövidebben fogalmazódik meg: a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Például,

3. szabály. Ha az y=f(x) és y =g(x) függvényeknek van deriváltja az x pontban, akkor a szorzatuknak is van deriváltja az x pontban, és:

A gyakorlatban ez a szabály a következőképpen fogalmazódik meg: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő a két tag összegével. Az első tag az első függvény és a második függvény deriváltjának szorzata, a második tag pedig az első függvény és a második függvény deriváltjának szorzata.
Például:
4. szabály. Ha az y = f(x) és y=g(x) függvényeknek van deriváltja az x pontban, akkor a hányadosnak van deriváltja az x pontban, és:

Összetett származékok táblázata

22 Diff. funkcionális pontban

Funkció y=f(x) ponton differenciálható x 0, ha növekménye Δ y(x 0,Δ x) a következőképpen ábrázolható

Δ y(x 0,Δ x)=AΔ x+o(Δ x).

Fő lineáris rész AΔ x növekmény Δ y pontban a függvény differenciáljának nevezzük x 0, ami a Δ növekménynek felel meg x, és a szimbólum jelöli dy(x 0,Δ x).

A funkció érdekében y=f(x) abban a pillanatban differenciálható volt x 0, szükséges és elégséges a derivált létezéséhez f′( x 0), és az egyenlőség igaz A=f′( x 0).

A differenciál kifejezésének formája van

dy(x 0,dx)=f′( x 0)dx,

Ahol dx=Δ x.

23 Prod. Összetett Funkció

Komplex függvény származéka. Paraméteresen meghatározott függvény deriváltja

Hadd y – összetett funkció x, azaz y = f(u), u = g(x), vagy

Ha g(x) És f(u) – argumentumaik differenciálható függvényei, illetve pontokban xÉs u = g(x), akkor a komplex függvény is differenciálható a pontban x és a képlet alapján található

Parametrikusan adott függvény deriváltja.

24 Prod. és diff. A legmagasabb rendű

Most legyen a th-edik sorrend deriváltja a pont valamely szomszédságában definiálva, és legyen differenciálható. Majd

Ha egy függvénynek van egy parciális deriváltja valamely D tartomány valamelyik változójára vonatkozóan, akkor az említett deriváltnak, amely maga is a függvénye, lehet részleges deriváltja ugyanarra vagy bármely más változóra vonatkozóan egy bizonyos ponton. Az eredeti függvény esetében ezek a származékok másodrendű parciális származékok (vagy másodrendű parciális származékok).

A különböző változókra vonatkozó másod- vagy magasabb rendű parciális deriváltokat vegyes parciális deriváltnak nevezzük. Például,

Rendelési különbség n, Hol n > 1, egy függvényt egy bizonyos ponton differenciálnak nevezzük a sorrendi különbség ezen pontján (n - 1), vagyis

Egy változótól függő függvénynél a második és harmadik differenciál így néz ki:

Innen következtethetünk általános nézet differenciális n sorrend a függvényből:

25 Fermat, Rolle, Langrange tételei

v Fermat-tétel: Legyen a függvény definiálva és elérje a maximumát és legalacsonyabb érték (MÉs m) néhányban a . Ha van deriváltja -ben, akkor az szükségszerűen egyenlő 0-val.

Bizonyíték: létezik. Két eset lehetséges:

1) , => , => .

2) , => , => .

Az 1) és 2) pontból az következik

v Rolle tétele (a derivált gyökereiről): Legyen a függvény folyamatos bekapcsolva és differenciálható, és vegye fel ugyanazokat az értékeket a szegmens végén: . Ekkor van legalább egy pont -ból, az a derivált, amelynél .

v Bizonyítás: Folyamatos benyúlás MÉs m. Ekkor két eset lehetséges:

2) legmagasabb érték az intervallumon belül érhető el a Fermat-tétel.

v Langrage tétele (a végső lépésekről): Legyen a függvény folyamatos bekapcsolva és differenciálható on . Ekkor van legalább egy a közül, amelyre a következő egyenlőség érvényes: .

Bizonyítás: Mutassuk be a függvényt. (folyamatos bekapcsolva és differenciálható -on).

Egy függvény kielégíti a Rolle-tételt, amelyre: , , , .

· a függvény meghívása szigorúan növekszik ha

· a függvény meghívása csökkenő ha

· a függvény meghívása szigorúan csökken ha

Meghatározás: Egy függvény deriváltja egy pontban az a határ, amelyre az adott pontban elért növekményének az argumentum megfelelő növekményéhez viszonyított aránya hajlik, amikor az utóbbi nullára hajlik:

Vagyis ha ben definiáltuk, akkor

1. tétel:

Egy függvény gráfjának akkor és csak akkor van nem függőleges érintője, ha egy adott pontban véges értéke van a függvény deriváltjának.

Bizonyíték:

Legyen tehát egy f’()-véges érték

Legyen nem függőleges érintő => van véges.

A szekáns az érintő felé hajlik.

A tétel bizonyítást nyert.

2. jegy Egy deriválttal rendelkező függvény folytonossága.

Az a pont valamely környezetében meghatározott f (x) függvényt ebben a pontban folytonosnak nevezzük if

Tétel: (a származékos termék létezésének szükséges feltétele)

Ha egy függvény egy pontban véges, akkor a pontban nem folytonos.

Bizonyíték:

Ezért egy ponton folyamatos.

A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés : a fordított állítás nem igaz, ha egy függvény egy pontban folytonos, akkor ebből nem következik, hogy abban a pontban van deriváltja.

Nyilatkozat : Ha egy függvénynek egy pontban jobb- és baloldali deriváltja van, akkor a jobb és bal oldalon is folytonos.

3. jegy

Összeg, szorzat, hányados származéka.

Az inverz függvény deriváltja.

Differenciálható függvény definíciója. Szükséges és elégséges állapot differenciálhatóság.

Legyen a függvénynek deriváltja egy pontban (véges): .

Ezután a kellően kicsiknél felírhatjuk összegként és valamilyen függvényként, amit jelölünk, ami nullára hajlik a következővel együtt:,

és a növekmény egy pontban a következőképpen írható fel:

vagy (1) ,

végül is a kifejezést olyan függvénynek kell érteni, amelynek aránya együtt nulla.

Magyarázat:

Meghatározás .

Egy függvényt egy ponton differenciálhatónak mondunk, ha a növekedése a következőképpen ábrázolható: (2),

ahol A nem függ attól, de általában attól függ.

1. tétel:

Ahhoz, hogy egy függvény egy pontban differenciálható legyen, szükséges és elégséges, hogy abban a pontban véges deriváltja legyen.

Bizonyíték:

A feltétel elégségessége fentebb bebizonyosodott: véges származék létezéséből az (1) alakban való ábrázolás lehetőségét követte, ahová tehetjük.

Szükséges feltétel . Legyen a függvény egy pontban differenciálható. Ekkor a (2)-ből, feltételezve, hogy megkapjuk.

A jobb oldal határa pontban létezik, és egyenlő az A:-val.

Ez azt jelenti, hogy van származéka. A tétel bizonyítást nyert.

6. jegy Egy függvény differenciája, geometriai jelentése.

Ha a funkció f származéka van f΄(x o ) pontban x o, akkor van egy határ, ahol Δ f=f(x o + Δ x)-f(x o ) ,,vagy, hol A=f΄(x o ) .

Meghatározás:

Funkció f ponton differenciálható x o, ha a növekménye a következőképpen ábrázolható:

Ahol AΔ x=df. (*)

A differenciál a függvény növekményének fő lineáris része.

Ha van véges derivált f΄(x o ) pontban x o, majd a függvény f(x) ezen a ponton differenciálható.

Ennek fordítva is igaz: ha a függvény f ponton differenciálható x o, azaz növekménye (*) formában ábrázolható, akkor a pontban deriváltja van x o, egyenlő A:

A differenciál geometriai jelentése:

AÉs B– grafikonpontok f(x), az értékeknek megfelelő x oÉs (x o + Δ x) független változó. Pontok ordinátái AÉs B illetőleg egyenlő f(x o ) És f(x o + Δ x). Funkciónövekmény Δ f=f(x o + Δ x)-f(x o ) pontban x o egyenlő a szakasz hosszával BDés Δ összegként ábrázolható f=BD=DC+CB, Hol DC=tgαΔ x=f΄(x o ) Δ xÉs α a pontban lévő érintő közötti szög A a grafikonhoz és a tengely pozitív irányához x. Ebből egyértelmű, hogy DC van egy differenciálfüggvény f pontban x o :

DC=df=f΄(x o ) Δ x.

Ugyanakkor a második tag részesedése C.B. növekmény Δ f elszámolni az értékkel . Ez az érték nagy Δ-nél x, talán még nagyobb is, mint a főtag, de ez a Δ-nél magasabb rendű infinitezimális x, amikor Δ x→0.

Tétel: Ha a funkció y = f(x) bizonyos pontokon differenciálható x = x 0, akkor ezen a ponton folytonos.

Így a függvénynek nem lehet deriváltja a folytonossági pontokon. Az ellenkező következtetés helytelen, i.e. attól, hogy valamikor x = x 0 funkció y = f(x) folytonos nem jelenti azt, hogy ezen a ponton differenciálható. Például a függvény y = |x| folyamatos mindenkinek x (–Ґ< X < Ґ), но в точке x= 0-nak nincs deriváltja. Ezen a ponton nincs érintője a grafikonnak. Van jobb és bal érintő, de ezek nem esnek egybe.

Komplex függvény származéka

Tétel: Legyen egy szomszédságban definiált és folytonos függvénynek deriváltja a pontban. A függvény definiált és folytonos egy olyan szomszédságban, ahol , és deriváltja van a pontban. Ekkor a komplex függvénynek deriváltja van az és pontban

.

hol és - b.m.f. Majd

És , Hol b.m.f. pontban.

28. Két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriváltja.

A függvények összegének (különbségének) deriváltja

A függvények algebrai összegének deriváltját a következő tétel fejezi ki.

Az összeg származéka (különbség) két differenciálható függvény egyenlő e függvények deriváltjainak összegével (különbségével):

A differenciálható függvények véges algebrai összegének deriváltja egyenlő a tagok deriváltjainak azonos algebrai összegével. Például,

A függvények szorzatának származéka.

Hadd u(x) És u(x) - differenciálható funkciók. Ezután a függvények szorzata u(x)v(x) is differenciálható és

Két függvény szorzatának deriváltja nem egyenlő e függvények deriváltjainak szorzatával.

Hányadosfüggvények származéka.

Hadd u(x) És u(x) - differenciálható funkciók. Aztán ha v(x) ≠ 0 , akkor ezeknek a függvényeknek a hányadosának deriváltját a képlet számítja ki

29. Az inverz függvény deriváltja. Paraméteresen definiált függvény deriváltja.

TÉTEL (az inverz függvény deriváltja)

Legyen ez egy folytonos, szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) függvény egy szakaszon, és egy pontban deriváltja van. Ekkor az inverz függvénynek deriváltja van az és pontban

.

DOC.

= .

Tétel. (paraméteresen meghatározott függvény származéka) Legyen a függvény x = φ(t) inverz függvénye van t = Ф(x). Ha a funkciók x=φ(t) ,y = ψ(t) differenciálható és φ"(t) ≠ 0 , Akkor

Bizonyíték

Mivel a funkció x = φ(t) inverz függvénye van, akkor formálisan y keresztül fejezhető ki x : y = ψ(Ф (x)) . Mivel a funkció x = φ(t) differenciálható, akkor aszerint 5. tétel, funkció t = Ф(x) is differenciálható.

A differenciálási szabályokat felhasználva azt kapjuk chtd

Hasonló képletet kaphatunk a második származékra is y"" x :

Végre megkapjuk

30. Magasabb rendek származékai. Leibniz képlete.

Ha f van definiálva az (a,b)®R intervallumon, a dif-ma az xО(a,b) pontban, akkor egy új f függvény jelenik meg az (a,b) pontban. ’ :(a,b)®R, melynek értéke az x=f pontban ’ (x). Funkció f ’ magának is lehet származéka (f ’ )’ : az (a,b)®R-en f második deriváltjának nevezzük az eredeti függvényhez képest, és f-vel jelöljük ” (x), d 2 f(x)/dx 2 vagy f ” xx(x), f ” x2(x); ODA. Ha az n-1 rendű f (n -1) (x) derivált f-ből definiálva van, akkor az n rendű deriváltot az f (n) (x)=(f n -1))'(x) képlet határozza meg ). Az alkalmazott jelölés f (n) (x)=d n f(x)/dx n – Leibniz Kar, f(0)(x):=f(x).

31. Egy függvény differenciálhatóságának fogalma és az első differenciál. A differenciálhatóság szükséges és elégséges feltétele.

1. Differenciál funkció y = f(x) a D y növekmény D x-hez viszonyított fő lineáris része, egyenlő a derivált és a független változó növekményének szorzatával

dy = f"(x)D x.

Figyeljük meg, hogy a független változó differenciája egyenlő ennek a változónak a dx = D x növekményével. Ezért a differenciál képletét általában a következő formában írják fel:

dy = f"(x)dx.

2. Differenciálhatóság. Egy függvényt egy x pontban differenciálhatónak nevezünk, ha ∆y növekménye ebben a pontban a következőképpen ábrázolható: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, ahol A nem függ ∆x, α és α( ∆x ) - végtelenül kis funkció∆x-hez képest ∆x→0-nál.

32. A derivált és a differenciál geometriai jelentése. A grafikon érintője és normálja.

Legyen f az (a,b) ponton és folytonos az x 0 О(a,b) pontban, legyen y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxО(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0(1),

1 )Ha $ con. limit lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 akkor az y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2) egyenest hívjuk meg.

f grafikonjának (ferde) érintője az (x 0 ,y 0) pontban;

2 ) Ha a $ végtelen határérték

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, akkor az x=x 0 egyenes a gráf függőleges érintője az (x 0,y 0) pontban;

x=x 0-nál (2) – végállás (1) azaz. a szekáns határhelyzete M 0 M

Dx®0 az y=f(x) érintő az x 0 pontban, mert lim D x® 0 k(Dx)=lim D x® 0 Dy/Dx=f ’ (x 0) akkor az egyenlet

az érintő y=f alakú ’ (x 0)(x-x 0)+ y 0, ahol y 0 =f(x 0) (3). 3-ból azt kapjuk, hogy a derivált az x 0 =tga pontban, a az érintő és az Ox tengely szöge, az első tag f ’ (x 0) (x-x 0) = f ’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 a differenciál dy az x 0 Þ y-y 0 =dy pontban, azaz. a függvény differenciálja egyenlő az érintő ordinátájának növekedésével a gráf megfelelő pontjában.

3 )Ha lim D x ® 0 Dy/Dx=¥, akkor az érintő az x=x 0 egyenes, és az x 0 pontban végtelen. a származék lehet vagy nem létezik.

33. Az első differenciál alakjának változatlansága. Magasabb rendű különbségek, formájuk változatlansága általános esetben.

Magasabb rendű különbségek . Az y=f(x) függvény dy=f’(x)dx elsőrendű differenciáljától (csak mint f-i változó x azaz az x (dx) argumentum növekményét állandónak tételezzük fel, feltéve, hogy az x változó ismételt növekménye egybeesik a kezdővel) a második differenciál d 2 f(x):d(df(x))= d(f'(x)dx )=d(f'(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 tehát f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; ODA. Az n-edik rendű n=1,2... differenciált az n-1 rendű differenciáltól való differenciálnak nevezzük, feltéve, hogy a differenciálban ugyanazokat a dx-növekményeket veszik, x-től függetlenül. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) nem nehéz belátni, hogy d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x )=d n f(x)/dx n .

Az elsőnél magasabb rendű differenciál alakjának változatlansága

Tekintsük azt az esetet, amikor x nem független változó, hanem egy másik változó függvénye

Most a (3) képlet jobb oldalán a változóból u nem csak a funkció múlik f(x), hanem a differenciálművet is dx. Ezért

A (2) és (4) képletet összehasonlítva meggyőződésünk, hogy a másodrendű (és magasabb rendű) differenciáknak nincs alakváltozatlansága.

34. Egy függvény extrémje. Előfeltételek szélsőség (Fermat-tétel).

Extrém pontok

Extrémum- maximális vagy minimális egy függvény értéke egy adott halmazon. Azt a pontot, ahol a szélsőértéket elérjük, ún extrémum pont. Ennek megfelelően a minimum elérése esetén a szélsőpontot hívjuk minimum pont, és ha a maximum az maximális pont. IN matematikai elemzés kiemeli a koncepciót is helyi szélsőség (minimum vagy maximum).

Pont x A 0-t a függvény szigorú lokális maximumának (minimumának) nevezzük f (x), ha az argumentum összes értékére a pont valamely kellően kicsi δ - környezetéből származik X 0 egyenlőtlenség áll fenn

f (x) < f (x 0) (f (x) > f (x 0))

at X ≠ x 0 .
A lokális maximumot és a lokális minimumot az extrémum köznév egyesíti. A definícióból az következik, hogy a szélsőség fogalma lokális abban az értelemben, hogy az egyenlőtlenség f (x) < f (x 0) (f (x) > f (x 0)) nem feltétlenül érvényes minden értékre X a függvény definíciójának tartományában, de csak a pont egy bizonyos környezetében kell teljesülnie x 0 .

Az y=f(x) függvényt egy x 0 pontban differenciálhatónak nevezzük, ha ezen a ponton van egy bizonyos deriváltja, azaz. ha a kapcsolat határa létezik és véges.

Ha egy függvény egy bizonyos szakasz minden pontjában differenciálható [a; b] vagy intervallum (a; b), akkor azt mondjuk, hogy differenciálható az [a; b], illetve az (a; b) intervallumban.

Érvényes az alábbi tétel, amely kapcsolatot teremt a differenciálható és a folytonos függvények között.

Tétel. Ha az y=f(x) függvény valamely x 0 pontban differenciálható, akkor ezen a ponton folytonos.

Így egy függvény differenciálhatóságából a folytonossága következik.

Bizonyíték. Ha, akkor

ahol b egy végtelenül kicsi mennyiség, azaz. nullára hajló mennyiség, ha Dx>0. De akkor

Dy=f "(x 0) Dx+bDx=> Dy>0 Dx>0-nál, azaz f(x) - f(x 0)>0 x>x 0-nál,

és ez azt jelenti, hogy az f(x) függvény folytonos az x 0 pontban. Q.E.D.

Így a függvénynek nem lehet deriváltja a folytonossági pontokon. A fordított állítás nem igaz: vannak folyamatos funkciók, amelyek bizonyos pontokon nem differenciálhatók (vagyis ezeken a pontokon nincs deriváltjuk).

Nézzük meg az ábra a, b, c pontjait.

Az a pontban Dx>0 esetén az aránynak nincs határa (mivel az egyoldali határértékek eltérőek Dx>0-0 és Dx>0+0 esetén). A gráf A pontjában nincs konkrét érintő, de van két különböző egyoldalú érintő szögegyütthatók 1-re és 2-re. Az ilyen típusú pontokat sarokpontnak nevezzük.

A b pontban Dx>0 esetén az arány állandó előjelű és végtelenül nagy. A függvénynek végtelen deriváltja van. Ezen a ponton a grafikonnak van egy függőleges érintője. Ponttípus - „inflexiós pont” függőleges érintővel.

A c pontban az egyoldalú deriváltak végtelenül nagy mennyiségű különböző előjelűek. Ezen a ponton a grafikonnak két összevont függőleges érintője van. Típus - "visszatérési pont" függőleges érintővel - speciális eset sarokpont.

1. Tekintsük az y=|x| függvényt. Ez a függvény a ponton folyamatos

Mutassuk meg, hogy ezen a ponton nincs deriváltja.

f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx|. Ezért Дy = f(Дx) - f(0) = |Дx|

De akkor a Dx-nél< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

És amikor Dx > 0

Így a jobb és bal oldali Dx> 0 aránynak különböző határai vannak, ami azt jelenti, hogy az aránynak nincs határa, azaz. az y=|x| függvény deriváltja nem létezik az x= 0 pontban. Geometriailag ez azt jelenti, hogy az x = 0 pontban ennek a „görbének” nincs konkrét érintője (ebben a pontban kettő van).

2. A függvény definiált és folyamatos a teljes számegyenesen. Nézzük meg, hogy van-e ennek a függvénynek deriváltja x= 0-nál.

Következésképpen a vizsgált függvény nem differenciálható az x= 0 pontban. A görbe érintője ebben a pontban p/2 szöget zár be az abszcissza tengellyel, azaz. egybeesik az Oy tengellyel.