Moszkvai Energiaintézet

(Műszaki Egyetem)

Laboratóriumi jelentés

játékelméletben

„Program optimális stratégiák megtalálására egy páros, nulla összegű játékhoz, mátrix formában”

Diákok végezték el

csoport A5-01

Ashrapov Daler

Ashrapova Olga

Játékelméleti alapfogalmak

A játékelméletet a megoldásra tervezték konfliktushelyzetek , azaz olyan helyzetek, amikor két vagy több, különböző célokat követő fél érdekei ütköznek.

Ha a felek céljai közvetlenül ellentétesek, akkor arról beszélnek antagonisztikus konfliktus .

Játék a konfliktushelyzet egyszerűsített formalizált modelljének nevezzük.

A játék egyetlen játékát az elejétől a végéig hívják fél . A játék eredménye az fizetés (vagy nyeremények ).

A buli a következőkből áll mozog , azaz a játékosok választása a lehetséges alternatívák bizonyos halmazából.

A mozdulatok lehetnek személyesÉs véletlen.Személyes lépés , ellentétben véletlen , magában foglalja a játékos tudatos választását valamilyen lehetőség közül.

Azokat a játékokat hívják, amelyekben legalább egy személyes lépés van stratégiai .

Olyan játékokat hívnak, amelyekben minden lépés véletlenszerű szerencsejáték .

Személyes lépések megtételekor arról is beszélnek stratégiákat játékos, azaz. egy szabályról vagy szabályrendszerről, amely meghatározza a játékos választását. A stratégiának ugyanakkor átfogónak kell lennie, pl. a választást minden játék közbeni lehetséges szituációhoz meg kell határozni.

Játékelméleti probléma– optimális stratégiák megtalálása a játékosok számára, pl. olyan stratégiákat, amelyek maximális nyereséget vagy minimális veszteséget biztosítanak számukra.

A játékelméleti modellek osztályozása

Játék n a személyeket általában hol jelölik
- az i-edik játékos stratégiáinak összessége,
- fizetés a játékért.

Ezzel a megjelöléssel összhangban a játékelméleti modellek következő osztályozása javasolható:

Diszkrét (több stratégia diszkrét)

Végső

Végtelen

Folyamatos (több stratégia folyamatos)

Végtelen

n személyek (
)

koalíció (szövetkezet)

Nem koalíció (nem együttműködő)

2 fő (pár)

Antagonisztikus (nulla összegű játékok)

(a felek érdekei ellentétesek, azaz az egyik játékos vesztesége egyenlő a másik nyereségével)

Nem antagonisztikus

Teljes információval (ha a személyes lépést végrehajtó játékos ismeri a játék teljes hátterét, azaz az ellenfél összes lépését)

Hiányos információkkal

Nulla összeggel (a teljes kifizetés nulla)

Nem nulla összeg

Egy mozdulat (lottók)

Több passz

Egy páros nulla összegű játék mátrixábrázolása

Ebben az oktatóanyagban megnézzük kétszemélyes antagonisztikus játékok , mátrix formában megadva. Ez azt jelenti, hogy ismerjük az első játékos (játékos A){ A én }, én = 1,…, més különféle stratégiák a második játékos számára (játékos B){ B j }, j = 1,..., n, és adott a mátrix is A = || a ij || az első játékos nyereménye. Mivel antagonisztikus játékról beszélünk, feltételezzük, hogy az első játékos nyeresége megegyezik a második veszteségével. Feltételezzük, hogy a mátrix elem a ij– az első játékos nyereménye, amikor stratégiát választ A énés a második játékos válasza rá egy stratégiával B j. Az ilyen játékot így fogjuk jelölni
, Hol m - játékos stratégiák száma A,n - játékos stratégiák száma IN.Általában a következő táblázattal ábrázolható:

1. példa

Egyszerű példaként vegyünk egy játékot, amelyben egy játék két lépésből áll.

1. lépés: Játékos A kiválaszt egyet a számok közül (1 vagy 2), anélkül, hogy tájékoztatná az ellenfelét a választásáról.

2. lépés: Játékos IN kiválaszt egyet a számok közül (3 vagy 4).

A lényeg: A játékosok választása AÉs IN hajtsd fel. Ha az összeg páros, akkor IN kifizeti értékét a játékosnak A, ha páratlan - fordítva, A kifizeti az összeget a játékosnak IN.

Ezt a játékot formában lehet bemutatni
alábbiak szerint:

Könnyen belátható, hogy ez a játék antagonisztikus, ráadásul hiányos információkat tartalmaz, mert a játékosnak IN, személyes lépést végrehajtva nem ismert, hogy a játékos milyen döntést hozott A.

Ahogy fentebb is jeleztük, a játékelmélet feladata a játékosok optimális stratégiáinak megtalálása, pl. olyan stratégiákat, amelyek maximális nyereséget vagy minimális veszteséget biztosítanak számukra. Ezt a folyamatot ún játék megoldás .

Amikor egy játékot mátrix formában old meg, ellenőriznie kell a játék jelenlétét nyeregpont . Ehhez két értéket kell megadni:

– alacsonyabb becslés a játék árára és

– a játék árának felső becslése.

Az első játékos nagy valószínűséggel azt a stratégiát választja, amelyben a második játékos összes lehetséges válasza közül a legnagyobb győzelmet kapja, a második játékos pedig éppen ellenkezőleg, azt a stratégiát választja, amely minimalizálja saját veszteségét, azaz. az első lehetséges megnyerése.

Ez bizonyítható α ≤ V ≤ β , Hol V–játék ára , azaz az első játékos valószínű győzelme.

Ha az összefüggés fennáll α = β = V, akkor azt mondják a játéknak van nyeregpontja
, És tiszta stratégiákkal megoldható . Más szóval, van néhány stratégia
, így a játékos AV.

2. példa

Térjünk vissza az 1. példában vizsgált játékhoz, és ellenőrizzük, hogy van-e nyeregpont.

Ehhez a játékhoz
= -5,
= 4,
, ezért nincs nyereghegye.

Ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez a játék egy játék hiányos információkkal. IN ebben az esetben Csak tanácsot tudok adni a játékosnak A válassz egy stratégiát , mert ebben az esetben azonban ő szerezheti meg a legnagyobb győzelmet, a játékos választásától függően IN stratégiákat .

3. példa

Végezzünk néhány változtatást a játékszabályokon az 1. példából. Mi biztosítjuk a játékost IN játékos kiválasztási információk A. Akkor legyen IN két további stratégia jelenik meg:

- a számára előnyös stratégia A. Ha a választás A-1, Hogy IN 3-at választ, ha választ A-2, Hogy IN választja a 4-et;

- olyan stratégia, amely számára nem előnyös A. Ha a választás A-1, Hogy IN 4-et választ, ha választ A-2, Hogy IN választja a 3.

Ez a játék teljes körű információval rendelkezik.

Ebben az esetben
= -5,
= -5,
, ezért a játéknak van nyeregpontja
. Ez a nyeregpont két optimális stratégiának felel meg:
És
. A játék ára V= -5. Nyilvánvaló, hogy azért A egy ilyen játék veszteséges.

A 2. és 3. példa jól illusztrálja a következő, a játékelméletben bizonyított tételt:

1. tétel

Minden párosított antagonisztikus játék teljes információval megoldható tiszta stratégiákkal.

Hogy. Az 1. tétel azt mondja, hogy minden teljes információval rendelkező kétjátékos játéknak van nyeregpontja, és van egy pár tiszta stratégia.
, így a játékos A fenntartható nyeremény, amely megegyezik a játék árával V.

Nyeregpont hiánya esetén az ún vegyes stratégiák :, Hol p én Ésq j– a stratégiák kiválasztásának valószínűsége A én És B j az első és a második játékos. A játék megoldása ebben az esetben egy pár vegyes stratégia
, maximalizálva a játék árának matematikai elvárását.

A következő tétel általánosítja az 1. tételt egy hiányos információt tartalmazó játék esetére:

2. tétel

Bármely páros antagonisztikus játéknak van legalább egy optimális megoldása, azaz általános esetben egy pár vegyes stratégia
, így a játékos A fenntartható nyeremény, amely megegyezik a játék árával V, és α ≤ V ≤ β .

Speciális esetben egy nyeregpontos játéknál a vegyes stratégiák megoldása olyan vektorpárnak tűnik, amelyben az egyik elem egyenlő eggyel, a többi pedig nullával.

A mátrixjátékok megoldásának megközelítése általánosítható a zéró összegű játékok esetére, amelyekben a játékosok kifizetése folyamatos függvényként van megadva (végtelen nulla összegű játék).

Ezt a játékot kétfős játékként ábrázolják, amelyben az 1. játékos választ egy számot X sokaktól X, a 2. játékos kiválasztja az y számot a 7-es halmazból, majd az 1. és 2. játékos nyereményt kap. U(x, y) és -U(x, y). Ha egy játékos egy bizonyos számot választ, az ennek a számnak megfelelő tiszta stratégiájának alkalmazását jelenti.

A mátrixos játékok analógiájára a játék nettó alacsonyabb ára nevezhető v ( = max min U(x, y),és a játék nettó felső ára -v 2 =

min max U(x, y). Ekkor hasonlatosan feltételezhetjük, hogy ha egyesek számára

at *

vagy egy végtelen nagyságrendű antagonisztikus játék VÉs v 2 léteznek és egyenlőek egymással („azaz =v 2 =v), akkor egy ilyen játéknak tiszta stratégiákban van megoldása, pl. Az 1. játékos optimális stratégiája a szám kiválasztása x° e X,és a 2. játékos - számok y 0 e 7, amelyre Shchh ( y 0) -v.

Ebben az esetben v a játék nettó árának nevezzük, és (x°, y 0) egy végtelen nulla összegű játék nyeregpontja.

Nagyságrendű mátrixjátékokhoz v xÉs v 2 mindig léteznek, de a végtelen antagonisztikus játékokban nem biztos, hogy léteznek, pl. a végtelen nulla összegű játék nem mindig megoldható.

Amikor egy valós helyzetet formalizálnak egy végtelen antagonisztikus játék formájában, általában egyetlen stratégiai intervallumot választanak ki - egyetlen intervallumot, amelyből a játékosok választhatnak. (X - az 1. játékos által választott szám (stratégia); -

játékos által választott szám (stratégia) 2). Technikailag ez leegyszerűsíti a megoldást, hiszen egyszerű transzformációval bármely intervallum egységnyi intervallummá konvertálható és fordítva. Ezt a játékot az ún antagonisztikus játék egy egységnégyzeten.

Tegyük fel például, hogy az 1. játékos választja ki a számot X sokaktól X=, a 2. játékos kiválasztja a készletből az y számot Y=. Ezt követően a 2. játékos kifizeti az 1. játékosnak az összeget Shx, y) -2x 2 -y 2. Mivel a 2. játékos minimálisra akarja csökkenteni az 1. játékos fizetését, meghatározza a min ( 2x 2 - y 2) = 2x 2- 1, azaz ebben az esetben = 1. Az 1. játékos mtag készítésére törekszik

Szimulálja a fizetést, ezért meghatározza a maxi min Shchh, y)1 =

xGX y pl

- max (2x 2 - 1) = 2- 1 = 1, ami akkor érhető el, ha X = 1.

Így a játék alacsonyabb nettó ára v x - 1. Top tiszta

játék árav 2 =min - min (2 - y 2) = 2 - 1 = 1, azaz. ebben

> plheh u ey

játék v l =v 2 =l. Ezért a játék nettó ára v= 1, és a nyeregpont (x° = 1; y° = 1).

Tegyük fel most ezt Chi Y- nyitott intervallumok, azaz. az 1. játékos az xeA"=(0; 1), a 2. játékos az ue 7= (0; 1) értéket választja. Ebben az esetben a választás X, elég közel az 1-hez, az 1. játékos biztos abban, hogy legalább egy "=1"-hez közeli számot fog kapni. ha az y-t az 1-hez közel választja, a 2. játékos nem engedi, hogy az 1. játékos nyereménye jelentősen meghaladja a játék nettó költségét v= 1.

A játék árához való közelség mértéke a?>0 számmal jellemezhető. Ezért a leírt játékban a tiszta stratégiák optimálisságáról beszélhetünk x°= 1, 0 = 1 az 1-es és 2-es játékosok egy tetszőleges számig?>0. Pont (X", y E), hol x e e X, y (. eY, egy végtelen nulla összegű játékban ún z-egyensúlyi pont (s.-nyeregpont), ha az xTiger 1, ue Tiger 2 stratégiákra érvényes az egyenlőtlenség Shchh, u.) - ? Ш x r , у (.) U(x t ., у) + ?. Ebben az esetben a stratégiák x k.és u. hívják optimális stratégiákkal. Optimálisak ezek a stratégiák? abban az értelemben, hogy ha az optimális stratégiától való eltérés nem hozhat semmilyen hasznot a játékosnak, akkor a c-optimális stratégiától való eltérése legfeljebb e-vel növelheti a kifizetését.

Ha a játéknak nincs nyeregpontja (c-saddle point), pl. tiszta stratégiákban a megoldások, akkor a vegyes stratégiák között kereshetők az optimális stratégiák, amelyeket a tiszta stratégiákat használó játékosok valószínűségi eloszlási függvényeiként használnak.

Hadd F(x) az 1. játékos tiszta stratégiáinak valószínűségi eloszlási függvénye. Ha az E szám az 1. játékos tiszta stratégiája, akkor F(x) = P(q ahol P(q -X)- annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott tiszta stratégia E nem haladja meg X. A tiszta stratégiák használatának valószínűségi eloszlási függvényét is hasonló módon vizsgáljuk. 2. játékos: Q(y) = P(g .

Funkciók F(x)És Q(y) hívják vegyes stratégiák rendre 1. és 2. játékos. Ha Fx)És Q(y) differenciálhatóak, akkor léteznek származékaik, amelyeket rendre jelölünk f(x)És q(y)(eloszlási sűrűségfüggvények).

Általában az eloszlásfüggvény differenciálja dF(x) azt a valószínűséget fejezi ki, hogy a stratégia Vel, között van x E, Ugyanígy a 2. játékos esetében: dQ(y) azt a valószínűséget jelenti, hogy p stratégiája az intervallumban van y g| y+dy. Ekkor az 1. játékos fizetése lesz Shx, y) dF(x),és a 2. játékos fizetése az Shx, y) dQ(y).

Az 1. játékos átlagos kifizetése, ha a 2. játékos a tiszta stratégiáját használja y, minden lehetséges érték feletti fizetések integrálásával érhető el X, azok. egységnyi intervallumon:

Az 1. játékos átlagos kifizetése, feltételezve, hogy mindkét játékos vegyes stratégiáját használja F(x)És Q(y), egyenlő lesz

A mátrixjátékokhoz hasonlóan a játékosok optimális vegyes stratégiáit és a játék árát határozzuk meg: ha vegyes stratégia pár. F*(x) És Q*(y) a játékosok számára az 1. és 2. az optimális, akkor bármilyen vegyes stratégiához F(x)És Q(y) a következő összefüggések érvényesek:

Ha az 1. játékos eltér a stratégiájától F*(x), akkor az átlagos kifizetése nem nőhet, de csökkenhet a 2. játékos racionális cselekedetei miatt. Ha a 2. játékos visszavonul vegyes stratégiájától Q*(y), akkor az 1. játékos átlagos kifizetése növekedhet, de nem csökkenhet az 1. játékos ésszerűbb intézkedései miatt. Átlagos nyeremény E(F*, Q*), az 1. játékos által kapott, amikor a játékosok optimális vegyes stratégiát alkalmaznak, megfelel a játék árának.

Ekkor egy vegyes stratégiákban megoldott végtelen nulla összegű játék minimális árát így határozhatjuk meg v x= ellenőrizze

min E(FQ),és a játék felső ára olyan v 2 = min max E(F, Q).

Q Q f

Ha léteznek ilyen vegyes stratégiák F* (x)És K*(y) az 1. és 2. játékos esetében, akiknél a játék alsó és felső ára egybeesik, akkor F*(x)És Q*(y) természetes, hogy a megfelelő játékosok optimális vegyes stratégiáit a v=v x = v 2- a játék árán.

A mátrixos játékokkal ellentétben a végtelen nulla összegű játék megoldása nem minden függvényre létezik Pszt, uh). De bebizonyosodott az a tétel, hogy minden végtelen nulla összegű játék folyamatos kifizetési függvénnyel Pszt, uh) az egységnégyzeten van megoldás (a játékosok optimális vegyes stratégiával rendelkeznek), bár nincsenek általános módszerek a végtelen nulla összegű játékok megoldására, beleértve a folyamatos játékokat is. Azonban az antagonista végtelen játékok konvex és konkáv folyamatos kifizetési függvényekkel (ezeket ill. konvexÉs homorú játékok).

Tekintsük a konvex kifizetési függvénnyel rendelkező játékok megoldását. A homorú kifizetési funkciójú játékok megoldása szimmetrikus.

Konvex függvény/változó X az intervallumon ( A; b) olyan függvény, amelyre az egyenlőtlenség érvényes

Ahol XxÉs x 2 - bármely két pont az intervallumból (a; b);

X.1, A.2 > 0 és +X.2= 1.

Ha / h * 0 D 2 * 0, akkor a szigorú egyenlőtlenség mindig érvényes

akkor a/függvény meghívásra kerül szigorúan domború on (a; b).

Egy geometriailag konvex függvény egy ívet ábrázol, amelynek grafikonja az azt körülvevő húr alatt található. Analitikailag egy kétszer differenciálható függvény konvexitása megfelel a második deriváltja nem-negativitásának (és szigorú konvexitás esetén pozitivitásának).

Konkáv függvényeknél a tulajdonságok ellentétesek a /(/4X1 +A.2X2) > egyenlőtlenséggel Kf(xi) +)-ha(x 2) (> szigorú homorúsággal), és a második derivált / "(x)

Bizonyított, hogy egy folytonos és szigorúan konvex függvény zárt intervallumon csak az intervallum egy pontján vesz fel minimális értéket. Ha Shchh, y) - folyamatos funkció az 1. játékos nyereményei az egységmezőn és szigorúan domború mentén at bármely x esetén létezik egy egyedi optimális tiszta stratégia y=y° e a 2. játékos esetében a játék árát a képlet határozza meg

és a jelentését y 0 a következő egyenlet megoldásaként definiálható:

Ha a funkció Shchh, y) nem szigorúan konvex y-ban, akkor nem a 2. játékos lesz az egyetlen optimális tiszta stratégia.

A szimmetrikus tulajdonság szigorúan konkáv függvényekre is érvényes. Ha a funkció Shchh, y) mindkét argumentumban folytonos és x-ben szigorúan homorú bármely y esetén, akkor az 1. játékosnak egyedi optimális stratégiája van.

A játék árát a képlet határozza meg

és az egyenletből meghatározzuk az 1. játékos nettó optimális stratégiáját x 0

A konvex vagy konkáv kifizetési függvényekkel rendelkező végtelen nulla összegű játékok ezen tulajdonságai alapján a általános séma ilyen játékok megoldásai az egységnégyzeten (x e, y e). Ezt a sémát csak konvex játékoknál mutatjuk be, mivel a konkáv játékoknál szimmetrikus.

1. Ellenőrizze a funkciót Shchh, y) az y-beli konvexitásra (a második parciális deriváltnak nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie 0-nál).

2. Határozzuk meg az összefüggésből y 0-t! v- min max Pszt, uh) mint jelentése

y, amelynél a minimummax elérhető.

3. Keresse meg az egyenlet megoldását! v = U(x, y 0), és készíts párokat a megoldásaiból XÉs x 2, amiért

4. Paraméter keresése A Eq.

Paraméter A meghatározza az 1. játékos optimális stratégiáját, és az ő tiszta stratégiája választásának valószínűségét jelenti x x. Az 1 - a érték annak a valószínűségét jelenti, hogy az 1. játékos a tiszta stratégiáját választja x 2.

Használjunk egy példát ennek a sémának az ilyen típusú játék megoldására való felhasználására. Legyen a kifizetési függvény egy végtelen nulla összegű játékban adott egy egységnégyzeten, és legyen egyenlő Shchh, y) = =(x - y) 2 = x 2 - 2 xy ch-y 2.

1. Ez a funkció folyamatos be XÉs y,és ezért ennek a játéknak van megoldása. Funkció Pszt, uh) szigorúan domború mentén y, mert

Ezért a 2. játékosnak van egyetlen tisztán optimális stratégiája a 0.

2. Van v= min max (x - y) 2. A max (x 2 - 2xy Ch-y 2) meghatározása

Határozzuk meg egymás után a fizetési függvény első és második parciális deriváltját x-re vonatkozóan:

Tehát a funkció U van minimuma bármely y-hoz x=y helyen. Ez azt jelenti, hogy az xy - növekedésével a maximumot az egyikben kell elérni szélsőséges pontok x=0 vagy x= 1. Határozza meg a függvény értékeit! U ezeken a pontokon:

Ezután ellenőrizze, hogy (x - y) 2 = max (y 2; 1 - 2y + y 2). A "belső" összehasonlítása

maxima göndör zárójelben, ez könnyen belátható 2-kor > 1 - - 2y+y 2, Ha y >*/ 2 és y 2 1-2 y+y 2, Ha y "/ 2. Ezt világosabban ábrázolja a grafikon (2.5. ábra).

Rizs. 2.5. A fizetési funkció belső maximumai U(x, y) = (x- at) 2

Ezért az (x - y) 2 x=0-nál éri el maximumát, ha y > 7 2, és at x= 1 ha az U 2-nél:

Ezért, v= min ( min y 2 ; min (1 - y) 2 ). Mindegyik a

délelőtti minimumokat érjük el y=*/ 2 és Y 4 értéket vesz fel. Így a játék ára r = Y 4, és a 2. játékos optimális stratégiája:

3. Határozza meg az 1. játékos optimális stratégiáját az egyenletből! U(x, y 0)= v, azok. ehhez a játékhoz (x - Y 2) 2 = Y 4. Ennek az egyenletnek a megoldása ARE X| =0, x 2 = 1.

A feltételek teljesülnek számukra

4. Határozzuk meg az a paramétert, azaz! annak a valószínűsége, hogy az 1. játékos a tiszta stratégiáját használja X] = 0. Hozzuk létre az a-1 + (1 - a) (-1) = 0 egyenletet, amelyből a = Y 2. Így az 1. játékos optimális stratégiája az, hogy a tiszta 0 és 1 stratégiáját valószínűséggel választja 1 / 2 minden. A probléma megoldódott.

A rendszerszemlélet keretében vizsgált döntési probléma három fő komponensből áll: megkülönbözteti a rendszert, az irányítási alrendszert és a környezetet. Most áttérünk azon döntéshozatali problémák vizsgálatára, amelyekben a rendszert nem egy, hanem több irányítási alrendszer befolyásolja, amelyek mindegyikének megvan a maga célja és cselekvési lehetősége. A döntéshozatalnak ezt a megközelítését játékelméletnek nevezik, ill matematikai modellek a megfelelő kölcsönhatásokat nevezzük játékok. Az irányítási alrendszerek céljainak különbségei, valamint a köztük lévő információcsere lehetőségének bizonyos korlátai miatt ezek az interakciók konfliktus jellegűek. Ezért minden játék a konfliktus matematikai modellje. Korlátozzuk magunkat arra az esetre, amikor két vezérlő alrendszer van. Ha a rendszerek céljai ellentétesek, akkor a konfliktust antagonisztikusnak, az ilyen konfliktus matematikai modelljét pedig ún. antagonisztikus játék..

A játékelméleti terminológiában az 1. vezérlő alrendszer ún játékos 1, 2. vezérlő alrendszer - játékos 2, készletek

alternatív akcióikat nevezzük stratégiák halmazai ezek a játékosok. Hadd X- sok stratégia az 1. játékos számára, Y- sok stratégia

2. játékos. A rendszer állapotát egyértelműen az 1. és 2. alrendszer általi vezérlési műveletek, azaz a stratégiák megválasztása határozza meg.

x∈XÉs y∈Y. Hadd F(x,y) - az adott állam 1. játékosának hasznosságának értékelése

rendszer, amelybe bekerül, ha a játékos 1 stratégiát választ XÉs

játékos 2 stratégia at. Szám F(x,y) hívják győzelem 1. játékos a helyzetben ( x,y), és a funkciót F- az 1. játékos kifizetési funkciója. A játékos nyereményei

Az 1 egyben a 2. játékos vesztesége, vagyis az az érték, amelyet az első játékos növelni, a második pedig csökkenteni kíván. Ez az

a konfliktus antagonisztikus jellegének megnyilvánulása: a játékosok érdekei teljesen ellentétesek (amit az egyik nyer, azt a másik elveszíti).

Az antagonisztikus játékot természetesen a rendszer határozza meg G=(X, Y, F).

Vegyük észre, hogy formálisan a nulla összegű játszma gyakorlatilag ugyanúgy áll be, mint a döntési feladat bizonytalanság körülményei között – ha

azonosítani a 2. vezérlő alrendszert a környezettel. Az irányítási alrendszer és a környezet közötti lényegi különbség az

az első magatartása céltudatos. Ha egy valós konfliktus matematikai modelljének felállításakor van okunk (vagy szándékunk) arra, hogy a környezetet ellenségnek tekintsük, akinek az a célja, hogy

maximális kárt okoz nekünk, akkor egy ilyen helyzetet egy antagonisztikus játék formájában lehet ábrázolni. Vagyis a nulla összegű játék a ZPR szélsőséges eseteként értelmezhető bizonytalanság körülményei között,

azzal jellemezve, hogy a környezetet céllal rendelkező ellenfélként kezelik. Ugyanakkor korlátoznunk kell a környezet viselkedésére vonatkozó hipotézistípusokat.

Itt a leginkább indokolt a rendkívüli óvatosság hipotézise, ​​amikor a döntés meghozatalakor a számunkra legrosszabbra számítunk. lehetséges opció környezetvédelmi intézkedések.

Meghatározás. Ha XÉs Y végesek, akkor az antagonisztikus játékot mátrixjátéknak nevezzük. Egy mátrixos játékban ezt feltételezhetjük X={1,…,n},

Y={1,…,m) és tedd fel aij=F(i,j). Így a mátrixjátékot teljesen a mátrix határozza meg A=(aij),én=1,…,n, j=1,…,m.

Példa 3.1. Kétujjas játék.

Két ember egyszerre mutat egy vagy két ujját, és hívja az 1-es vagy 2-es számot, ami a beszélő szerint a számot jelenti.

másoknak mutatott ujjak. Az ujjak felmutatása és a számok elnevezése után a nyereményeket a következő szabályok szerint osztják fel:

ha mindketten tippeltek, vagy mindketten nem találták ki, hogy az ellenfél hány ujját mutatta, akkor mindenki nyereménye nulla; Ha csak egy tippelt jól, akkor az ellenfél ezzel arányos összeget fizet a tippelőnek teljes szám látható

Ez egy nulla összegű mátrix játék. Minden játékosnak négy stratégiája van: 1- mutasson 1 ujjat és hívjon 1-et, 2- mutasson 1 ujjat és hívjon 2-t, 3-

mutasson 2 ujjat, és hívjon 1, 4 - mutasson 2 ujjat és hívjon 2. Ezután a kifizetési mátrix A=(aij), i= 1,…, 4, j= 1,…, 4 meghatározása a következő:

a12= 2, a21 = – 2, a13=a42=–3, a24=a31= 3, a34 = – 4, a43= 4,aij= 0 egyéb esetekben.

Példa 3.2. Diszkrét párbaj típusú játék.

A párbaj típusú problémák például két játékos harcát írják le,

akik mindegyike valamilyen egyszeri műveletet szeretne végrehajtani (árutétel piacra bocsátása, vásárlási kérelem aukción), és ennek időpontját választja. A játékosok haladjanak egymás felé n lépéseket. Minden egyes lépés után a játékos választhat, hogy lő-e vagy sem az ellenségre. Mindenki csak egy lövést kaphat. Úgy gondolják, hogy az ellenség eltalálásának valószínűsége, ha előrehalad k n =5 alakja van

A játékelmélet alapfeltevésként azt feltételezzük, hogy minden játékos arra törekszik, hogy partnere bármely cselekedetével a lehető legnagyobb nyereményt biztosítsa magának. Tegyük fel, hogy létezik egy véges nulla összegű játék az első játékos kifizetési mátrixával és ennek megfelelően a második játékos kifizetési mátrixával. Higgye el az 1. játékos, hogy bármilyen stratégiát is választ, a 2. játékos azt a stratégiát választja, amely maximalizálja a nyereményét, és ezáltal minimalizálja az 1. játékos nyereményét.

Tehát az 1. játékos választ én

A 2. játékos arra is törekszik, hogy az ellenfél által választott stratégiától függetlenül a legnagyobb nyereményt (vagy ennek megfelelően a legkisebb veszteséget) biztosítsa. Optimális stratégiája az oszlop lenne H 0 a legalacsonyabb maximális fizetéssel. Tehát a 2. játékos választ j stratégiát, amely megoldást jelent a problémára

Ennek eredményeként, ha az 1. játékos követi a választott stratégiát (úgynevezett maximal stratégia ), a kifizetése minden esetben kisebb lesz, mint a maximális érték (hívják "a játék alsó ára" ), azaz

Ennek megfelelően, ha a 2. játékos betartja a minimax stratégiáját, akkor vesztesége nem lesz nagyobb, mint a maximális érték (ún. "A játék legjobb ára" ), azaz

Abban az esetben, ha a játék felső ára megegyezik az alsó árral, pl. = , mindkét játékos megkapja garantált kifizetését, és az értéket h ij * hívott a játék árán .

Mátrix elem h ij stratégiáknak megfelelő kifizetési mátrixot nevezzük a mátrix nyeregpontja N.

Ha az antagonisztikus játék költsége 0, a játék hívásra kerül igazságos .

Vegyünk egy olyan játékot, amelyben az 1. játékosnak két stratégiája van, a 2. játékosnak pedig három. Az 1. játékos kifizetési mátrixa így néz ki:

Megjegyzés . Mivel egy nulla összegű játékra gondolunk, a 2. játékos kifizetési mátrixa N2 = -H1.

Az 1. játékos kiszámítja, hogy ha az első stratégiát választja (azaz a mátrix első sorát H 1), akkor az ellenfél a második stratégiáját választja (azaz a második oszlopot), hogy a nyeremény egyenlő legyen 1 . Ha a második stratégiát választja, akkor az ellenfél választhatja az első stratégiát, így a nyeremény egyenlő lesz -1.

A kapott értékek elemzése után: Az 1. játékos beleegyezik az első stratégiájába, amely 1-gyel egyenlő maximális garantált győzelmet biztosít számára.

Hasonlóképpen, a 2. játékos a legrosszabb lehetőségeit mérlegeli, amikor az ellenfél az első vagy a második stratégiát választja, vagy amikor az ellenfél a második stratégiát választja, amikor a 2. játékos a harmadik oszlopot választja. Ezek az opciók a 2., 1. és 6. oszlop maximális értékeinek felelnek meg.

Ezeknek a maximumoknak a minimális értékeit figyelembe véve a 2. játékos a második stratégiáját választja, amelyben a vesztesége minimális és egyenlő:

Következésképpen ebben a játékban vannak közös stratégiák, azok. E

Ezért ebben a játékban ésszerű elvárni az ellenfelektől, hogy ragaszkodjanak a választott stratégiájukhoz. Egy mátrix antagonista játék, amelyhez - teljesen határozott játéknak hívják, vagy olyan játéknak, amelynek tiszta stratégiákban van megoldása.

Azonban nem minden mátrix antagonista játék jól definiált.

Azokat a játékokat, amelyekben szigorú egyenlőtlenség érvényesül, nem teljesen meghatározott játékoknak nevezzük (vagy olyan játékoknak, amelyeknek nincs megoldása tiszta stratégiákban).

Nézzünk egy példát erre a játékra:

Ehhez a játékhoz.

Ennek eredményeként, ha a játékosok betartják a fent javasolt szabályokat, akkor az 1. játékos az 1. stratégiát választja, és elvárja, hogy a 2. játékos válassza a 2. stratégiát, ahol a veszteség -2, míg a 2. játékos a 3. stratégiát választja, és az 1. játékostól várja a stratégiát. 2 4-gyel egyenlő kifizetéssel.

Ha azonban a 2. játékos a harmadik stratégiáját választja, akkor az 1. játékos jobban tenné, ha a második stratégiát választaná az első stratégia helyett. Hasonlóképpen, ha az 1. játékos az első stratégiát választja, a 2. játékos jobban jár, ha a második stratégiát választja a harmadik helyett. Úgy tűnik, az alattomos típusú játékokban a tiszta stratégiákban alkalmazott megoldási elv alkalmatlannak bizonyul.

A leírt helyzetben a játékosok számára fontossá válik, hogy az ellenség ne találja ki, milyen stratégiát fog alkalmazni. A terv megvalósításához a játékosoknak az úgynevezett vegyes stratégiát kell alkalmazniuk.

Lényegében a játékos vegyes stratégiája egy tiszta stratégia véletlenszerű kiválasztására szolgáló séma. Matematikailag egy adott játékos tiszta stratégiáinak halmazán való valószínűségi eloszlásként ábrázolható. Ennek eredményeként a vektor, ahol annak a valószínűsége, hogy az 1. játékos alkalmazza a stratégiát és a , adja meg ennek a játékosnak a vegyes stratégiáját. A 2. játékos vegyes stratégiáját is hasonlóan határozzák meg .

Feltételezzük, hogy a játékosok vegyes stratégiáik használata független, így annak a valószínűsége, hogy az 1. játékos ezt a stratégiát választja, és a 2. játékos választja, egyenlő . Ebben az esetben fizetés. Összegezve és -t, megkapjuk az 1. játékos nyereményének matematikai elvárását:

vagy mátrix jelöléssel

Vegyes stratégiák halmaza esetén az 1. játékos, aki a garantált nyeremény közül a legnagyobbat akarja elérni, kiválaszt egy valószínűségi vektort, hogy megkapja a várható nyeremények minimális értékeinek maximumát, pl. megoldja a problémát:

.

Hasonlóképpen a 2. játékos célja az, hogy elérje veszteségei minimális maximális értékét, pl. megoldja a problémát

.

A játékelmélet alapvető eredménye az ún. Minimax tétel, amely kimondja, hogy az 1. és 2. játékos megfogalmazott problémáinak mindig van megoldása bármilyen kifizetési mátrixra, ráadásul .

Ami a jól definiált játékokat illeti, az 1. játékos stratégiáját ún Maximin stratégia , A 2. játékos stratégiája - minimax stratégia, érték - a játék költségén ; abban az esetben, ha a játékot fairnek nevezik.

A Minimax-tétel nyilvánvaló következménye a következő összefüggés:

.

ami azt jelenti, hogy az 1. játékos egyetlen stratégiája sem teszi lehetővé számára, hogy a játék áránál nagyobb összeget nyerjen, ha a 2. játékos alkalmazza a minimax stratégiáját, és a 2. játékos egyetlen stratégiája sem engedi meg, hogy a játék áránál kisebb összeget veszítsen. ha az 1. játékos alkalmazza maximin stratégiáját.

Ez igaz a tiszta stratégiákra is, mint a vegyes stratégiák speciális esetére. (Mert a tiszta stratégia 1-es valószínűséggel használt stratégia): Bármilyen tiszta stratégia használata, ha az ellenfél az optimális stratégiáját használja, nem teszi lehetővé, hogy többet nyerjen (kevesebbet veszítsen), mint amennyi a játék költsége.

Ezt a tényt gyakran használják specifikus algoritmusok kidolgozására az antagonisztikus mátrixjátékok megoldására.

Az optimális stratégiák kiszámítása a stratégiák számának növekedésével sokkal nehezebbé válik. Többféle megközelítés is használható az optimális stratégia megtalálásához.

A játék méretének csökkentésére sor- és oszlopdominanciát használnak. Általában azt mondják, hogy a mátrix harmadik sora uralja a harmadik sort (vagyis az egyik tiszta sor uralja a másikat), ha az összes , legalább egy .

Hasonlóképpen, a th oszlop uralja a th oszlopot, ha az összes , legalább egy .

Ennek a definíciónak az a lényege, hogy a domináns stratégia soha nem rosszabb, sőt bizonyos esetekben még jobb is, mint a domináns stratégia. Ezért a fontos következtetés az, hogy a játékosnak nem kell dominált stratégiát alkalmaznia. Ez a gyakorlatban lehetővé teszi az összes dominált sor és oszlop elvetését, ami csökkenti a mátrix méretét (megjegyezzük, hogy ez a megközelítés akkor is használható, ha tiszta stratégiákban keresünk megoldást).

Példa. Tekintsünk egy játékot a következő mátrixszal:

A második sor kiiktatása mátrixot eredményez: Ebben a levágott mátrixban a harmadik oszlopot a második uralja, a második oszlop elhagyása pedig: .

Ennek eredményeként, ha az eredményül kapott játékra sikerül megoldást találni, akkor az egyszerűen használható az eredeti játék megoldására, egyszerűen nulla valószínűséget rendelve a kizárt sorokhoz és oszlopokhoz.

A mátrix egyszerűsítésének másik módja azon a tulajdonságon alapul, amely szerint a kifizetési mátrix affin transzformációja (azaz a mátrix összes elemének átalakítása a szabály szerint, ahol ) nem változtatja meg a játék megoldását; ráadásul az átváltott játék ára az eredeti játék árából is megkapható ugyanezen szabály szerint: . Ez azt jelenti, hogy a játék feladatához elvileg nem mindegy, hogy a nyereményt milyen egységekben mérik (rubelben vagy dollárban), ha hozzáadunk (levonunk) bizonyos fix összeget, az egyes játékosok nyereménye (vesztesége) megváltozik ugyanannyit a játék megoldásának megváltoztatása nélkül.

Ez a tulajdonság használható a kifizetési mátrix egyszerűsítésére és világosabbá tételére (a mátrixokkal végzett műveletekkel analóg módon használva - mátrix szorzása állandó számmal, sorok összeadása és kivonása, emellett ez a tulajdonság lehetővé teszi bármilyen mátrix nulla összegű játék elkészítését korrekt, ehhez ki kell számítani az árjátékokat a kifizetési mátrix összes eleméből).

Ezen kívül használható grafikus módszer a játék (és általában a játékok vagy ) megoldásához.

Például a kifizetési mátrix így néz ki: .

Hagyja, hogy az 1. játékos válassza ki első stratégiáját valószínűséggel, a másodikat pedig valószínűséggel. Ha a 2. játékos az első stratégiáját választja, akkor (a mátrix első oszlopából) az 1. játékossal szembeni elvárás a következő lesz. Ha a 2. játékos a második stratégiáját választja, akkor a mátrix második oszlopának megfelelően: .

Ezen egyenletek mindegyike grafikusan ábrázolható egy egyenes szegmenssel a grafikonon a koordinátákkal és koordinátákkal.

Bevezetés

Valódi konfliktushelyzetek vezetnek különféle típusok játékok. A játékok több szempontból is különböznek egymástól: a bennük résztvevő játékosok száma, a lehetséges játékosok száma, a lehetséges stratégiák száma, a játékosok közötti kapcsolatok jellege, a nyeremények jellege, a játék típusa szerint. nyerő funkciók, a lépések száma, a játékosok információszolgáltatásának jellege stb. .d. Tekintsük a játéktípusokat a felosztásuktól függően:

· A stratégiák száma szerint a játékok fel vannak osztva végső(minden játékosnak véges számú lehetséges stratégiája van) és végtelen(ahol legalább az egyik játékosnak végtelen számú lehetséges stratégiája van).

· A nyeremények jellegének megfelelően a játékok a nulla összeg(a játékosok össztőkéje nem változik, hanem az eredménytől függően újraosztódik a játékosok között) és a nem nulla összeg.

· A funkciók típusának megfelelően a játék nyereményei fel vannak osztva mátrix ( egy véges, kétfős nulla összegű játék, amelyben a játékos nyereményét megadják A mátrix formájában (a mátrix egy sora a játékos használt stratégiájának számának felel meg IN, oszlop – a játékos használt stratégiájának száma IN; a mátrix sorának és oszlopának metszéspontjában van a játékos nyereménye A, amely megfelel az alkalmazott stratégiáknak.

A mátrixos játékoknál bebizonyosodott, hogy bármelyiknek van megoldása, és ez könnyen megtalálható, ha a játékot lineáris programozási problémává redukálják), bimátrix játék (ez egy véges játék két játékosból nem nulla összeggel, amelyben minden játékos nyereményét mátrixok adják meg külön a megfelelő játékos számára (minden mátrixban egy sor felel meg a játékos stratégiájának A, oszlop – játékos stratégiák IN, az első mátrix sorának és oszlopának metszéspontjában a játékos nyereménye A, a második mátrixban – a játékos nyereményei IN.

A bimátrixos játékokhoz is kidolgozták az optimális játékos viselkedés elméletét, de az ilyen játékok megoldása nehezebb, mint a hagyományos mátrixos játékoknál. folyamatos játékok ( Folyamatos Olyan játéknak tekintik, amelyben az egyes játékosok kifizetési funkciója a stratégiáktól függően folyamatos. Bebizonyosodott, hogy az ebbe az osztályba tartozó játékoknak vannak megoldásai, de ezek megtalálására nem dolgoztak ki gyakorlatilag elfogadható módszereket) stb.

A játékok felosztásának más módjai is lehetségesek. Most térjünk vissza közvetlenül a kutatás témájához, nevezetesen a játékelmélethez. Először is határozzuk meg ezt a fogalmat.

Játékelmélet - a matematika ága, amely az elfogadás formális modelljeit vizsgálja optimális megoldások konfliktus körülményei között. Ebben az esetben konfliktus alatt olyan jelenséget értünk, amelyben különböző felek vesznek részt, különböző érdekekkel és lehetőségekkel rendelkeznek, hogy ezeknek az érdekeknek megfelelően válasszák meg a rendelkezésükre álló cselekvéseket bizonytalansággá emelkedik. Éppen ellenkezőleg, a döntések bizonytalansága (például elégtelen adatok alapján) a döntési alany és a természet közötti konfliktusként értelmezhető. Ezért a játékelméletet a bizonytalanság körülményei között optimális döntések elméletének is tekintik. Lehetővé teszi egyesek rendszerezését fontos szempontokat döntéshozatal a technológia, a mezőgazdaság, az orvostudomány és a szociológia és más tudományok területén. A konfliktusban érintett feleket akciókoalícióknak nevezzük; a rendelkezésükre álló cselekvések – stratégiáik által; a konfliktus lehetséges kimenetelei – helyzetek.

Az elmélet célja, hogy:

1) optimális viselkedés a játékban.

2) az optimális viselkedés tulajdonságainak tanulmányozása

3) meghatározni azokat a feltételeket, amelyek mellett használata értelmes (létkérdések, egyediség, dinamikus játékoknál pedig névleges konzisztencia kérdései).

4) numerikus módszerek kidolgozása az optimális viselkedés megtalálására.

A gazdasági és társadalmi eredetű problémák matematikai megoldására megalkotott játékelmélet általában nem redukálható le a klasszikus matematikai elméletekre, amelyeket fizikai és technikai problémák megoldására hoztak létre. A klasszikus matematikai módszerek széles skáláját azonban széles körben alkalmazzák a játékelmélet különféle specifikus kérdéseiben.

Ezen túlmenően a játékelmélet számos matematikai tudományághoz belsőleg kapcsolódik. A játékelméletben a valószínűségszámítás fogalmait szisztematikusan és lényegileg használják. A játékelmélet nyelvén a matematikai statisztika legtöbb problémája megfogalmazható, és mivel a játékelmélet a döntéselmélethez kapcsolódik, lényegesnek tekintik. összetevő műveletek kutatásának matematikai apparátusa.

A játék matematikai fogalma szokatlanul tág. Ide tartoznak az úgynevezett társasjátékok (beleértve a sakkot, a dámát, a GO-t, a kártyajátékokat, a dominót), de leírható egy olyan gazdasági rendszer modellje is, ahol számos vevő és eladó verseng egymással. Anélkül, hogy belemennénk a részletekbe, a játék általános vázlat Olyan helyzetként definiálható, amelyben egy vagy több egyén („játékos”) közösen irányít bizonyos változókat, és minden játékosnak figyelembe kell vennie az egész csoport cselekedeteit a döntés meghozatalakor. Az egyes játékosokra eső "fizetést" nemcsak a saját, hanem a csoport többi tagjának cselekedetei is meghatározzák. Néhány „mozgás” (egyéni cselekvés) a játék során véletlenszerű lehet. Jó példa erre a híres pókerjáték: a kezdeti kártyaosztás véletlenszerű lépés. A trükkök végső összehasonlítását megelőző tétek és ellentétek sorrendjét a játék hátralévő lépései alkotják.

A matematikai JÁTÉKELMÉLET a sport-, kártya- és egyéb játékok elemzésével kezdődött. Azt mondják, hogy a játékelmélet felfedezője, a 20. század kiváló amerikai matematikusa. John von Neumann egy pókerjáték nézése közben adta elő az elméletét. Innen származik a „játékelmélet” elnevezés.

Kezdjük ezzel a témával foglalkozni a játékelmélet fejlődésének retrospektív elemzése. Tekintsük a játékelmélet kérdéskörének történetét és fejlődését. Általában a „családfát” a gráfelmélet értelmében faként ábrázolják, amelyben az elágazás egyetlen „gyökérből” történik. A játékelmélet törzskönyve J. von Neumann és O. Morgenstern könyve. Ezért a játékelmélet, mint matematikai diszciplína fejlődésének történeti menete természetesen három szakaszra oszlik:

Első szakasz- J. von Neumann és O. Morgenstern monográfiájának megjelenése előtt. Nevezhetjük „pre-monografikusnak”. Ebben a szakaszban a játék még mindig sajátos versenyként működik, amelyet a szabályai értelmes kifejezésekkel írnak le. J. von Neumann csak a végén alkot egy elképzelést a játékról, mint az absztrakt konfliktus általános modelljéről. Ennek a szakasznak az eredménye számos konkrét matematikai eredmény, sőt a jövő játékelméletének egyéni alapelvei felhalmozódása volt.

Második szakasz maga a monográfia J. von Neumann és

O. Morgenstern „Játékelmélet és gazdasági viselkedés” (1944), amely a korábban kapott (a modern matematikai mércével mérve azonban meglehetősen kevés) eredmény nagy részét egyesítette. Ő volt az első, aki szisztematikus elmélet formájában mutatta be a játékok matematikai megközelítését (a szó konkrét és absztrakt értelmében is).

Végül be harmadik szakasz a játékelmélet a vizsgált tárgyak megközelítésében alig tér el a matematika többi ágától, és nagymértékben a rájuk jellemző törvényszerűségek szerint fejlődik. Ugyanakkor természetesen gyakorlati alkalmazásának sajátosságai – mind a tényleges, mind a lehetséges – jelentősen befolyásolják a játékelméleti irányok kialakítását.

Egyes konfliktusok kimenetelét azonban még a matematikai játékelmélet sem képes teljesen megjósolni. Lehetségesnek tűnik három fő okot azonosítani a játék (konfliktus) kimenetelének bizonytalanságában.

Először is, ezek olyan játékok, amelyekben valós lehetőség nyílik a játékviselkedés összes vagy legalábbis legtöbb változatának tanulmányozására, amelyek közül az egyik a legigazabb, ami nyeréshez vezet. A bizonytalanságot az opciók jelentős száma okozza, így nem mindig lehet teljesen minden lehetőséget feltárni (például a japán GO játék, orosz és nemzetközi dáma, brit reversi).

Másodszor, a tényezők véletlenszerű befolyása a játékra a játékosok számára előre nem látható. Ezek a tényezők döntően befolyásolják a játék kimenetelét, és a játékosok csak kis mértékben irányíthatják és határozhatják meg őket. A játék végeredményét csak kismértékben, rendkívül jelentéktelen mértékben határozzák meg maguknak a játékosoknak a cselekedetei. Azokat a játékokat, amelyek kimenetele véletlenszerű okok miatt bizonytalan, szerencsejátéknak nevezzük. A játék kimenetele mindig valószínűségi vagy sejtéses (rulett, kocka, feldobás).

Harmadszor, a bizonytalanságot az okozza, hogy nincs információ arról, hogy a játszó ellenfél milyen stratégiát követ. A játékosok tudatlansága az ellenfél viselkedését illetően alapvető, és ezt a játékszabályok határozzák meg. Az ilyen játékokat stratégiai játékoknak nevezzük.

A játékelmélet az Operations Research egyik fontos része, és képviseli elméleti alapok matematikai modellek az optimális döntések meghozatalára a piaci viszonyok konfliktushelyzeteiben, amelyek versenyharc jelleggel bírnak, amelyben az egyik szembenálló fél a másik vesztesége rovására nyeri meg a másikat. Ezzel a helyzettel együtt az Operations Research tudományán belül, amely biztosítja matematikai leírás figyelembe veszik a különféle döntési feladatok megfogalmazását, kockázati és bizonytalansági helyzeteket. Bizonytalanság esetén a feltételek valószínűsége ismeretlen, és nincs mód további statisztikai információk beszerzésére róluk. A probléma megoldását körülvevő, bizonyos körülmények között megnyilvánuló környezetet „természetnek”, a megfelelő matematikai modelleket pedig „játékoknak a természettel” vagy „statisztikai játékelméletnek” nevezzük. A játékelmélet fő célja, hogy ajánlásokat dolgozzon ki a játékosok konfliktusban való kielégítő viselkedésére, azaz mindegyikük számára meghatározza az „optimális stratégiát”.