transzcendentális szám egy olyan komplex szám, amely nem algebrai, azaz nem gyöke egyetlen racionális együtthatójú, nullától eltérő polinomnak sem.

A transzcendentális számok létezését először J. Liouville állapította meg 1844-ben; ő építette fel az ilyen számok első példáit is. Liouville megfigyelte, hogy az alebrai számokat nem lehet "túl jól" racionális számokkal közelíteni. Ugyanis Liouville tétele kimondja, hogy ha egy algebrai szám egy racionális együtthatós fokszámú polinom gyöke, akkor bármely racionális számra az egyenlőtlenség

ahol az állandó csak attól függ. Ebből a kijelentésből az következik elégséges jel transzcendencia: ha a szám olyan, hogy bármely állandóra van egy végtelen racionális számhalmaz, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket

hogy transzcendens. A későbbiekben az ilyen számokat Liouville-számoknak hívták. Ilyen számra példa az

A transzcendentális számok létezésére újabb bizonyítékot szerzett G. Kantor 1874-ben az általa megalkotott halmazelmélet alapján. Kantor bebizonyította az algebrai számok halmazának megszámlálhatóságát és a valós számok halmazának megszámlálhatatlanságát, amiből az következik, hogy a transzcendentális számok halmaza megszámlálhatatlan. Liouville bizonyításával ellentétben azonban ezek az érvek nem teszik lehetővé, hogy legalább egy ilyen számra példát adjunk.

Liouville munkája a transzcendentális számok elméletének egy egész ágát hozta létre – az algebrai számok racionális vagy általánosabban algebrai számokkal való közelítésének elméletét. Liouville tételét sok matematikus megerősítette és általánosította. Ez lehetővé tette a transzcendentális számok új példáinak megalkotását. Tehát K. Mahler megmutatta, hogy ha egy nem konstans polinom, amely minden természetes számra egész szám, nem negatív értéket vesz fel, akkor bármely természetes szám esetében, ahol a számrendszerben a szám rekordja bázissal, transzcendentális , de nem Liouville-szám. Például a és a következő elegáns eredményt kapjuk: a szám

transzcendens, de nem Liouville-szám.

1873-ban Sh. Hermite más ötleteket használva bebizonyította a Napier-szám (a természetes logaritmus alapja) felülmúlását:

Hermite ötleteit kidolgozva F. Lindemann 1882-ben bebizonyította a szám transzcendenciáját, ezzel véget vetett a kör négyzetesítésének ősi problémájának: körzővel és vonalzóval lehetetlen olyan négyzetet építeni, amely egyenlő méretű (azaz azonos területű) egy adott körhöz. Általánosabban Lindemann kimutatta, hogy bármely algebrai szám esetében transzcendentális. Ekvivalens megfogalmazás: bármely algebrai számra, kivéve a és, természetes logaritmusa transzcendentális szám.

1900-ban, a matematikusok párizsi kongresszusán D. Hilbert a matematika 23 megoldatlan problémája közül a következőket emelte ki, L. Euler által privát formában megfogalmazva:

Hadd És — algebrai számok, ráadásul transzcendens? Konkrétan a számok transzcendentálisak? És?

Ez a probléma újrafogalmazható a következő formában, közel Euler eredeti megfogalmazásához:

Hadd És más algebrai számok, mint és ráadásul természetes logaritmusaik aránya irracionális. Will a szám transzcendens?

A feladat első részleges megoldását 1929-ben A. O. Gel'fond találta meg, aki különösen egy szám transzcendenciáját bizonyította. 1930-ban R. O. Kuzmin továbbfejlesztette Gelfond módszerét, különösen sikerült bebizonyítania egy szám transzcendenciáját. Az Euler-Hilbert probléma teljes megoldását (megerősítő értelemben) 1934-ben A. O. Gel'fond és T. Schneider egymástól függetlenül kapta meg.

A. Baker 1966-ban általánosította Lindemann és Gelfond-Schneider tételeit, bizonyítva különösen az alak tetszőleges véges számú és algebrai számok szorzatának túllépését természetes korlátozások mellett.

1996-ban Yu.V. Neszterenko bebizonyította az Eisenstein-sor értékeinek algebrai függetlenségét, és különösen az u számokat. Ez bármely olyan szám transzcendenciáját jelenti, ahol a nullától eltérő racionális függvény algebrai együtthatókkal. Például a sorozat összege transzcendentális lesz

1929-1930-ban. K. Mahler egy sor műben új módszert javasolt az értékek transzcendenciájának bizonyítására elemző funkciók egy bizonyos típusú funkcionális egyenlet kielégítése (a későbbiekben az ilyen függvényeket Mahler-függvényeknek nevezték).

A transzcendentális számok elméletének módszerei a matematika más ágaiban is alkalmazásra találtak, különösen a diofantin egyenletek elméletében.

amely a = 1 esetén egy geometriai progresszió összegének meghatározására szolgált. Feltételezve, hogy a Gauss-tétel bizonyítást nyert, feltételezzük, hogy a = a 1 a (17) egyenlet gyöke, így

Ezt a kifejezést f(x)-ből kivonva és a kifejezéseket átrendezve megkapjuk az azonosságot

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) +. . . + a1 (x − a1 ).

(21) A (20) képlet segítségével minden tagból kivonhatjuk az x − a 1 tényezőt, majd kivesszük a zárójelből, és a zárójelben maradó polinom foka már eggyel kevesebb lesz. A kifejezéseket újra átrendezve megkapjuk az azonosságot

f(x) = (x − a1 )g(x),

ahol g(x) egy n − 1 fokú polinom:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(A b-vel jelölt együtthatók számítása itt számunkra nem érdekes.) Alkalmazzuk ugyanezt az argumentumot a továbbiakban a g(x) polinomra. A Gauss-tétel szerint a g(x) = 0 egyenletnek van a2 gyöke, így

g(x) = (x − a2 )h(x),

ahol h(x) egy új, már n − 2 fokú polinom. Ezeket az argumentumokat n − 1-szer megismételve (természetesen a matematikai indukció elvének alkalmazása is benne van) végül eljutunk a dekompozícióhoz

A (22) azonosság nemcsak azt jelenti, hogy az a1 , a2 ,

An a (17) egyenlet gyökerei, de az is, hogy a (17) egyenletnek nincs más gyökere. Valójában, ha az y szám lenne a (17) egyenlet gyöke, akkor a (22)-ből ez következne

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

De láttuk (115. o.), hogy a komplex számok szorzata akkor és csak akkor nulla, ha az egyik tényező nulla. Tehát az y − ar tényezők egyike egyenlő 0-val, azaz y = ar , amit meg kellett állapítani.

§ 6.

1. Definíció és létkérdések. Az algebrai szám bármely x szám, valós vagy képzeletbeli, amely kielégít néhányat algebrai egyenlet kedves

130 MATEMATIKAI NUMERIKUS RENDSZER ch. II

ahol az ai számok egész számok. Tehát például a 2-es szám algebrai, mivel kielégíti az egyenletet

x2 − 2 = 0.

Ugyanígy a harmadik, negyedik, ötödik, tetszőleges fokú egész együtthatókkal rendelkező egyenlet bármely gyöke, függetlenül attól, hogy gyökben van-e kifejezve vagy sem, algebrai szám. Az algebrai szám fogalma a racionális szám fogalmának természetes általánosítása, amely megfelel az n = 1 konkrét esetnek.

Nem minden valós szám algebrai. Ez a következő Cantor tételből következik: az összes algebrai szám halmaza megszámlálható. Mivel az összes valós szám halmaza megszámlálhatatlan, szükségszerűen kell lenniük olyan valós számoknak, amelyek nem algebraiak.

Jelöljük meg az algebrai számok halmazának újraszámításának egyik módszerét. Minden (1) alakú egyenlethez pozitív egész szám tartozik

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

amelyet a rövidség kedvéért az egyenlet "magasságának" fogunk nevezni. Minden rögzített n értékhez csak véges számú (1) alakú, h magasságú egyenlet létezik. Ezen egyenletek mindegyikének legfeljebb n gyöke van. Ezért csak véges számú algebrai szám lehet h magasságú egyenletek által generált; ezért minden algebrai szám sorba rendezhető, először az 1. magassági egyenletek által generáltakat sorolva fel, majd a 2. magassági egyenleteket és így tovább.

Ez a bizonyíték arra, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható, megerősíti a nem algebrai valós számok létezését. Az ilyen számokat transzcendentálisnak nevezik (a latin transzcendere - átengedni, felülmúlni); Euler azért adta nekik ezt a nevet, mert "meghaladják az algebrai módszerek erejét".

Cantor bizonyítéka a transzcendentális számok létezésére nem építő jellegű. Elméletileg meg lehet alkotni egy transzcendentális számot az összes algebrai szám decimális kiterjesztésének képzeletbeli listáján végrehajtott átlós eljárással; de egy ilyen eljárás nélkülöz minden gyakorlati értékés nem vezetne olyan számhoz, amelynek tizedes (vagy valamilyen más) törtté való kiterjesztése valóban felírható. A transzcendentális számokkal kapcsolatos legérdekesebb probléma annak bizonyítása, hogy bizonyos, konkrét számok (ide tartozik a p és e számok, amelyekre lásd a 319–322. oldalt) transzcendentálisak.

**2. Liouville tétele és a transzcendentális számok felépítése. A transzcendentális számok létezésének bizonyítékát már Cantor előtt J. Liouville (1809–1862) adta. Lehetővé teszi, hogy ténylegesen példákat alkossunk ilyen számokra. Liouville bizonyítása nehezebb, mint Cantoré, és ez nem meglepő, hiszen egy példát konstruálni általában véve nehezebb, mint a létezést bizonyítani. Az alábbiakban Liouville bizonyításának bemutatásakor csak egy képzett olvasóra gondolunk, bár az elemi matematika ismerete teljesen elegendő a bizonyításhoz.

Amint Liouville felfedezte, az irracionális algebrai számoknak megvan az a tulajdonsága, hogy nem közelíthetők racionális számokkal nagyon nagy pontossággal, hacsak a közelítő törtek nevezőit nem veszik rendkívül nagyra.

Tegyük fel, hogy a z szám kielégíti az egész együtthatós algebrai egyenletet

de nem elégíti ki ugyanazt az alacsonyabb fokú egyenletet. Akkor

mondjuk, hogy x maga egy n fokú algebrai szám. Például,

a z = 2 szám egy 2. fokú algebrai szám, mivel kielégíti a 2. fokú x2 − 2 = 0√ egyenletet, de nem teljesíti az elsőfokú egyenletet; a z = 3 2 szám 3-as fokú, mivel kielégíti az x3 − 2 = 0 egyenletet, de nem (amint azt a III. fejezetben látni fogjuk) egy alacsonyabb fokú egyenletet. Algebrai fokszám n > 1

nem lehet racionális, mivel a z = p q racionális szám kielégíti

kielégíti a qx − p = 0 1. fokú egyenletet. Minden z irracionális szám tetszőleges pontossággal közelíthető egy racionális szám segítségével; ez azt jelenti, hogy mindig megadhat egy racionális számsorozatot

p1, p2, . . .

q 1 q 2

korlátlanul növekvő nevezőkkel, amely rendelkezik a tulajdonsággal

hogy

p r → z. qr

Liouville tétele kimondja: bármilyen n > 1 fokú z algebrai szám, azt nem lehet racionálisan közelíteni.

kellően nagy nevező, az egyenlőtlenség

Ennek a tételnek a bizonyítását fogjuk adni, de először megmutatjuk, hogyan használható fel transzcendentális számok létrehozására. Vegye figyelembe a számot

z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

ahol az ai tetszőleges számjegyeket jelöl 1-től 9-ig (legegyszerűbb lenne minden ai-t 1-re állítani), az n! szimbólum pedig, mint általában (lásd 36. oldal), 1 · 2 · . . . n. Egy ilyen szám decimális kiterjesztésének jellemző tulajdonsága, hogy gyorsan növekvő nullacsoportok váltakoznak benne a nullától eltérő egyes számjegyekkel. Jelölje zm azt a végső tizedes törtet, amelyet úgy kapunk, hogy az összes tagot am · 10−m!-ig vettük a bővítésben. inkluzív. Akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget

Tegyük fel, hogy z egy n fokú algebrai szám. Ekkor a Liouville-egyenlőtlenség (3) beállítása p q = zm = 10 p m! , nekünk kell hogy legyen

|z - zm | > 10(n+1)m!

kellően nagy m értékek esetén. Az utolsó egyenlőtlenség összehasonlítása a (4) egyenlőtlenséggel ad

ahonnan (n + 1)m következik! > (m + 1)! − 1 kellően nagy m. De ez nem igaz az n-nél nagyobb m értékekre (az olvasó vegye a fáradságot, és részletesen bizonyítja ezt az állítást). Ellentmondáshoz jutottunk. Tehát a z szám transzcendentális.

Marad Liouville tételének bizonyítása. Tegyük fel, hogy z n > 1 fokú algebrai szám, amely kielégíti az (1) egyenletet, így

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Mindkét részt zm − z-vel osztva és az algebrai képlet felhasználásával

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 +. . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

kapunk:

Mivel zm z-re hajlik, így kellően nagy m esetén a zm racionális szám egynél kisebb mértékben fog eltérni z-től. Ezért kellően nagy m-re a következő durva becslést tehetjük:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

ráadásul a jobb oldali M szám állandó, mivel z nem változik a bizonyítás során. Válasszunk most akkora m-t, hogy

a z m = p m tört nevezője q m nagyobb volt, mint M; Akkor qm

így az f(x) polinomból ki lehet vonni az (x − zm ) tényezőt, és ezért z n-nél kisebb fokú egyenletet is kielégítene. Tehát f(zm ) 6= 0. De a (9) egyenlőség jobb oldalán lévő számláló egész szám, és ezért abszolút értékben legalább eggyel egyenlő. Így a (8) és (9) összefüggések összehasonlítása az egyenlőtlenséget jelenti

ami éppen a jelzett tétel tartalma.

Az elmúlt néhány évtizedben az algebrai számok racionális számokkal való közelítésének lehetőségével kapcsolatos kutatások sokkal tovább fejlődtek. Például A. Thue (1863–1922) norvég matematikus azt találta, hogy a Liouville-féle egyenlőtlenségben (3) az n + 1 kitevő helyettesíthető egy kisebb, n 2 + 1 kitevővel.

K. L. Siegel megmutatta, hogy lehet még kisebbet (még kisebbet is) venni

nagyobb n) kitevő 2 n.

A transzcendentális számok mindig is olyan téma voltak, amelyek felkeltik a matematikusok figyelmét. Ám egészen a közelmúltig az önmagukban is érdekes számok között nagyon kevesen voltak ismertek, akiknek transzcendentális jellege megállapítható volt. (A p szám transzcendenciája, amelyről a III. fejezetben lesz szó, azt jelenti, hogy a kört vonalzóval és körzővel nem lehet négyzetre emelni.) David Hilbert 1900-ban a Párizsi Nemzetközi Matematikus Kongresszuson elmondott beszédében harminc matematikai elméletet javasolt.

egyszerű megfogalmazást engedő problémák, némelyik egészen elemi és népszerű is, amelyek nemhogy nem voltak megoldva, de még megoldhatónak tűntek a kor matematika eszközeivel. Ezek a "Hilbert-problémák" erős ösztönző hatást gyakoroltak a matematika fejlődésében a következő időszakban. Szinte mindegyiket apránként oldották meg, megoldásuk sok esetben egyértelmű előrelépéssel járt az általánosabb és mélyebb módszerek kidolgozásában. Az egyik probléma, amely meglehetősen reménytelennek tűnt, az volt

bizonyíték arra, hogy a szám

transzcendens (vagy legalábbis irracionális). Három évtizeden át még csak sejtés sem volt a kérdés ilyen megközelítéséről senki részéről, amely reményt adna a sikerre. Végül Siegel és tőle függetlenül a fiatal orosz matematikus, A. Gelfond új módszereket fedezett fel sokak transzcendenciájának bizonyítására.

számok, amelyek számítanak a matematikában. Konkrétan be volt állítva

nemcsak a 2 2 Hilbert-szám transzcendenciája, hanem egy meglehetősen kiterjedt ab alakú számosztályé is, ahol a 0-tól és 1-től eltérő algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám.

FÜGGELÉK A II. FEJEZETHEZ

Halmazok algebra

1. Általános elmélet. Az osztály, gyűjtemény vagy objektumkészlet fogalma az egyik legalapvetőbb a matematikában. A halmazt valamilyen A tulajdonság („attribútum”) határozza meg, amellyel minden vizsgált objektumnak rendelkeznie kell vagy nem; Azok az objektumok, amelyek A tulajdonsággal rendelkeznek, alkotják az A halmazt. Így ha egész számokat vesszük, és A tulajdonsága "egyszerű", akkor a megfelelő A halmaz mindenből áll prímszámok 2, 3, 5, 7, . . .

A halmazok matematikai elmélete abból indul ki, hogy halmazokból bizonyos mûveletek segítségével új halmazok képezhetõk (ahogyan a számokból az összeadás és szorzás mûveleteivel új számokat kapunk). A halmazokkal végzett műveletek tanulmányozása a "halmazalgebra" tárgya, amely sok hasonlóságot mutat a közönséges numerikus algebrával, bár bizonyos tekintetben eltér tőle. Az a tény, hogy az algebrai módszerek nem numerikus objektumok, például halmazok vizsgálatára is alkalmazhatók, szemléletes.

a modern matematika elképzeléseinek nagy általánosságát mutatja. Az utóbbi időben világossá vált, hogy a halmazalgebra a matematika számos területén új megvilágításba helyezi, például a mértékelméletet és a valószínűségszámítást; a matematikai fogalmak rendszerezésében és logikai összefüggéseinek tisztázásában is hasznos.

A következőkben egy bizonyos állandó tárgyhalmazt fogok jelölni, amelynek természete közömbös, és amelyet egyetemes halmaznak (vagy az érvelés univerzumának) nevezhetünk, ill.

A, B, C, . . . lesz néhány részhalmaza az I-nek. Ha I az összes természetes szám halmaza, akkor A, mondjuk, jelölheti az összes páros szám halmazát, B a páratlan szám halmaza, C az összes prímszám halmaza, stb. Ha I a síkon lévő összes pont gyűjteményét jelöli, akkor A lehet egy körön belüli pontok halmaza, B - egy másik körön belüli pontok halmaza stb. Kényelmes, ha magát az I-t is „részhalmazokként” foglaljuk. ”, valamint egy „üres” készlet, amely nem tartalmaz elemeket. Az ilyen mesterséges kiterjesztés célja annak a pozíciónak a megőrzése, hogy A minden tulajdonságához megfelel az I-ből származó elemek bizonyos halmaza, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Ha A egy univerzálisan érvényes tulajdonság, amint azt (számok esetében) az x = x triviális egyenlőség teljesítésének tulajdonsága szemlélteti, akkor az I megfelelő részhalmaza maga az I lesz, mivel minden elem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal; másrészt, ha A valamiféle belső ellentmondásos tulajdonság (pl. x 6= x), akkor a megfelelő részhalmaz egyáltalán nem tartalmaz elemeket, "üres" és szimbólummal jelöljük.

Azt mondjuk, hogy az A halmaz a B halmaz egy részhalmaza, röviden: "A benne van a B-ben", vagy "B tartalmazza A-t", ha nincs olyan elem az A halmazban, amely ne lenne a B halmazban is. Ez az összefüggés megfelel a jelölésnek

A B vagy B A.

Például a 10-zel osztható egész számok A halmaza az összes 5-tel osztható B halmaz egy részhalmaza, mivel minden 10-zel osztható szám osztható 5-tel is. Az A B reláció nem zárja ki a B A relációt. és akkor akárhogyan is

Ez azt jelenti, hogy A minden eleme egyben B eleme is, és fordítva, így az A és B halmaz pontosan ugyanazokat az elemeket tartalmazza.

A halmazok közötti A B reláció sok tekintetben hasonlít a számok közötti a 6 b relációra. Különösen a következőket jegyezzük meg

ennek az aránynak a következő tulajdonságai:

1) A A.

2) Ha A B és B A, akkor A = B.

3) Ha A B és B C, akkor A C.

Emiatt az A B relációt néha "sorrendi relációnak" is nevezik. A fő különbség a vizsgált reláció és a számok közötti a 6 b reláció között az, hogy bármely két adott (valós) a és b reláció között az a 6 b vagy b 6 a relációk közül legalább az egyik szükségszerűen megvalósul, míg a hasonló állítás halmazai közötti A B reláció hamis. Például, ha A egy 1, 2, 3 számokból álló halmaz,

és B a 2, 3, 4 számokból álló halmaz,

akkor sem az A B reláció, sem a B A reláció nem áll fenn, ezért azt mondjuk, hogy az A, B, C, részhalmazok. . . az I halmazok "részben rendezettek", míg az a, b, c, valós számok. . .

"jól rendezett" halmazt alkotnak.

Megjegyezzük egyébként, hogy az A B reláció definíciójából az következik, hogy bármilyen legyen is az I halmaz A részhalmaza,

A 4) tulajdonság kissé paradoxnak tűnhet, de ha belegondolunk, logikailag szigorúan megfelel a jel definíciójának pontos jelentésének. Valójában csak az A reláció sérülne

V abban az esetben, ha az üres halmaz olyan elemet tartalmazott, amelyet az A nem tartalmazna; de mivel az üres halmaz egyáltalán nem tartalmaz elemeket, ez nem lehet, bármi legyen is az A.

Most két műveletet definiálunk olyan halmazokon, amelyek formálisan számos algebrai tulajdonsággal rendelkeznek a számok összeadására és szorzására, bár belső tartalmukban teljesen eltérnek ezektől az aritmetikai műveletektől. Legyen A és B valamilyen két halmaz. A és B egyesülése vagy "logikai összege" az A-ban vagy az A-ban található elemekből álló halmaz.

V B (beleértve azokat az elemeket is, amelyeket az A és a B is tartalmaz). Ezt a halmazt A + B-vel jelöljük. 1 A és B „metszéspontja” vagy „logikai szorzata” az A-ban és B-ben egyaránt szereplő elemekből álló halmaz. Ezt a halmazt AB-vel jelöljük.2

Az A + B és AB műveletek fontos algebrai tulajdonságai közé soroljuk a következőket. Az olvasó a műveletek definíciója alapján ellenőrizheti érvényességét:

Mindezen törvények ellenőrzése a legelemibb logika kérdése. Például a 10) szabály kimondja, hogy az A-ban vagy az A-ban található elemek halmaza csak az A halmaz; A 12) szabály kimondja, hogy azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az A-ban találhatók, és egyidejűleg szerepelnek B-ben vagy C-ben, egybeesik azon elemek halmazával, amelyek vagy egyidejűleg szerepelnek A-ban és B-ben, vagy egyidejűleg szerepelnek A-ban. és C. Logikus érvelés Az effajta szabályok bizonyításaiban használt , kényelmesen szemléltethető, ha egyetértünk az A, B, C, halmazok ábrázolásával. . . néhány figura formájában a síkon, és nagyon ügyelünk arra, hogy ne hagyjuk ki a felmerülő logikai lehetőségek egyikét sem, amikor két halmaz közös elemeinek jelenlétéről van szó, vagy éppen ellenkezőleg, egy olyan elemhalmazban, nem szerepelnek a másikban.

Az olvasó kétségtelenül felhívta a figyelmet arra, hogy a 6), 7), 8), 9) és 12) törvények külsőleg megegyeznek a közönséges algebra jól ismert kommutatív, asszociatív és disztributív törvényeivel. Ebből következik, hogy a közönséges algebra összes szabálya, amely ezekből a törvényekből következik, a halmazok algebrájában is érvényes. Éppen ellenkezőleg, a 10), 11) és 13) törvényeknek nincs analógja a közönséges algebrában, és egyszerűbb szerkezetet adnak a halmazok algebrájának. Például a halmazalgebrában a binomiális képlet a legegyszerűbb egyenlőségre redukál

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

ami a 11. törvényből következik). A 14), 15) és 17) törvények azt mondják, hogy a halmazok és az I tulajdonságai a halmazok egyesülési és metszéspontjaira vonatkoztatva nagyon hasonlóak a 0 és 1 számok tulajdonságaihoz a halmazok numerikus műveleteinek műveleteihez képest. összeadás és szorzás. De a 16) törvénynek nincs analógja a numerikus algebrában.

Még egy műveletet kell meghatározni a halmazok algebrájában. Legyen A az I univerzális halmaz valamely részhalmaza. Ekkor A komplementere az I-ben az I azon elemeinek halmaza, amelyek nem szerepelnek A-ban. Erre a halmazra bevezetjük az A0 jelölést. Tehát, ha I az összes természetes szám halmaza, és A az összes prímszám halmaza, akkor A0 az összes összetett számokés az 1-es szám. Az A-ból A0-ba való átmenet művelet, amelynek nincs analógja a közönséges algebrában, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

23) A 00 = A.

24) Az A B reláció ekvivalens a B relációval 0 A0.

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Ezen tulajdonságok ellenőrzését ismét az olvasóra bízzuk.

Az 1)–26) törvények képezik a halmazok algebráját. A „kettősség” figyelemre méltó tulajdonságával rendelkeznek a következő értelemben:

Ha az 1)–26) törvények egyikében a megfelelőt helyettesítjük

(mindegyik előfordulásukban), akkor az eredmény ismét ugyanazon törvények valamelyike. Például a 6) törvény a 7), a 12) - a 13), a 17) - a 16) törvénybe stb. következik. Ebből következik, hogy az 1)–26) törvényekből levezethető minden tétel megfelel egy másik tételnek, a tételnek. "kettős" hozzá, amelyet az elsőből kapunk a jelzett szimbólumpermutációk segítségével. Valóban, a bizonyítás óta

ch. II HASZNÁZALGEBRA 139

Az első tétel az 1–26. törvények némelyikének egymást követő alkalmazásából áll (az érvelés különböző szakaszaiban), akkor a „kettős” törvények alkalmazása a megfelelő szakaszokban a „kettős” tétel bizonyítását jelenti. . (A geometriában tapasztalható hasonló „kettősségről” lásd a IV. fejezetet.)

2. Alkalmazás a matematikai logikára. A halmazok algebra törvényeinek ellenőrzése az A B összefüggés logikai jelentésének elemzésén, valamint az A + B, AB és A0 műveleteken alapult. Most megfordíthatjuk ezt a folyamatot, és az 1)–26) törvényeket tekinthetjük a „logikai algebra” alapjának. Mondjuk pontosabban: a logikának az a része, amely halmazokra vonatkozik, vagy ami lényegében megegyezik a vizsgált objektumok tulajdonságaival, az 1)–26. törvények alapján formális algebrai rendszerré redukálható. A logikai "feltételes univerzum" határozza meg az I halmazt; A minden tulajdonsága meghatároz egy A halmazt, amely az I-beli objektumokból áll, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. A közönséges logikai terminológia halmaznyelvre történő fordításának szabályai világosak a

A halmazalgebra szempontjából a "Barbara" szillogizmus, ami azt jelenti, hogy "ha minden A B és minden B C, akkor minden A C" egyszerű formát ölt:

3) Ha A B és B C, akkor A C.

Hasonlóképpen, az "ellentmondás törvénye", amely kimondja, hogy "egy objektumnak egyszerre nem lehet valamilyen tulajdonsága, és nem is lehet" a következőképpen írható:

20) AA 0 = ,

A "a kizárt középső törvénye", amely azt mondja, hogy "egy objektumnak rendelkeznie kell, vagy nem kell rendelkeznie bizonyos tulajdonságokkal" ez van írva:

19) A + A 0 = I.

Így a logikának az a része, amely a +, · és 0 szimbólumokkal kifejezhető, formális algebrai rendszerként kezelhető, az 1)–26. törvények értelmében. A matematika logikai elemzésének fúziója alapján és matematikai elemzés A logika egy új tudományágat hozott létre - a matematikai logikát, amely jelenleg gyors fejlődésben van.

Axiomatikus szempontból az a figyelemre méltó tény, hogy az 1)–26) állítások a halmazalgebra összes többi tételével együtt logikusan levezethetők a következő három egyenlőségből:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Ebből az következik, hogy a halmazok algebrája az euklideszi geometriához hasonlóan tisztán deduktív elméletként szerkeszthető meg e három axiómaként felvett állítás alapján. Ha ezeket az axiómákat elfogadjuk, akkor az AB műveletet és az A B relációt A + B és A0 relációval definiáljuk:

Egy egészen más példát egy olyan matematikai rendszerre, amelyben a halmazok algebrájának minden formális törvénye teljesül, a nyolc számrendszer 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: itt a + b jelöli. , által

definíció szerint a és b legkisebb közös többszöröse, ab a és b legnagyobb közös osztója, a b a "b osztható a-val", a0 pedig a 30 a szám. Su-

Az ilyen példák megléte a törvényeknek megfelelő általános algebrai rendszerek tanulmányozásához vezetett 27). Az ilyen rendszereket "Boole-algebráknak" nevezik George Boole (1815–1864), angol matematikus és logikus után, akinek A gondolkodás törvényeinek vizsgálata című könyve 1854-ben jelent meg.

3. A valószínűségelmélet egyik alkalmazása. A halmazalgebra rendelkezik legközelebbi kapcsolat a valószínűségelmélethez, és lehetővé teszi, hogy új megvilágításba helyezze azt. Nézzük a legegyszerűbb példát: képzeljünk el egy kísérletet véges számú lehetséges eredménnyel, amelyek mindegyike „egyformán lehetségesnek” tekinthető. Egy kísérlet például abból állhat, hogy véletlenszerűen húzunk egy kártyát egy jól megkevert teljes pakliból. Ha a kísérlet összes eredményének halmazát I-vel jelöljük, és A jelöli az I valamelyik részhalmazát, akkor annak valószínűsége, hogy a kísérlet eredménye az A részhalmazhoz fog tartozni, az arányként definiálva.

p(A) = A elemeinek száma. elemek száma I

Ha megállapodunk abban, hogy valamely A halmaz elemeinek számát n(A)-val jelöljük, akkor az utolsó egyenlőség alakja adható

A halmazok algebrájának elgondolásai a valószínűségszámításban találhatók meg, amikor bizonyos halmazok valószínűségeinek ismeretében mások valószínűségét kell kiszámítani. Például a p(A), p(B) és p(AB) valószínűségek alapján kiszámíthatjuk a p(A + B) valószínűséget:

Nem lesz nehéz ezt bizonyítani. Nekünk van

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

mivel az A-ban és B-ben egyidejűleg található elemeket, azaz az AB elemeit kétszer számoljuk az n(A) + n(B) összeg kiszámításakor, és ezért ebből az összegből n(AB)-t kell kivonni. Az n(A + B) kiszámításának rendjét helyesen állítottuk elő. Ekkor az egyenlőség mindkét oldalát elosztva n(I)-vel, megkapjuk a (2) összefüggést.

Érdekesebb képletet kapunk, ha három A, B, C halmazról beszélünk az I-ből. A (2) összefüggést használva azt kapjuk, hogy

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Az előző bekezdés (12) törvénye azt adja, hogy (A + B)C = AC + BC. Ez a következőket jelenti:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

A p[(A + B)C] értéket és a (2)-ből vett p(A + B) értéket behelyettesítve a korábban kapott összefüggésbe, megkapjuk a szükséges képletet:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Példaként tekintsük a következő kísérletet. Három szám 1, 2, 3 tetszőleges sorrendben. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább egy számjegy a megfelelő helyen lesz (számozási szempontból)? Legyen A azoknak a permutációknak a halmaza, amelyekben az 1-es szám van az első helyen, B azon permutációk halmaza, amelyekben a 2-es a második helyen, C azon permutációk halmaza, amelyekben a 3-as szám a harmadik helyen áll hely. Ki kell számolnunk p(A + B + C). Ez egyértelmű

p(A)=p(B)=p(C)=26=13;

valóban, ha bármelyik számjegy a megfelelő helyen van, akkor két lehetőség van a maradék két számjegy átrendezésére a három számjegy összesen 3 · 2 · 1 = 6 lehetséges permutációjából. További,

Gyakorlat. Vezesse le a megfelelő képletet p(A + B + C + D)-re, és alkalmazza egy 4 számjegyből álló kísérletre. A megfelelő valószínűség 5 8 = 0,6250.

Az n halmaz uniójának általános képlete a

kombinációk, amelyek egy, kettő, három, . . . , (n − 1) betűk A1 , A2 , . . .

an. Ezt a képletet matematikai indukcióval lehet megállapítani – ahogyan a (3) képlet a (2) képletből származik.

A (4) képletből arra következtethetünk, hogy ha n számjegy 1, 2, 3, . . . , n tetszőleges sorrendben íródnak, akkor annak a valószínűsége, hogy legalább egy számjegy a megfelelő helyen lesz, egyenlő

ahol az utolsó tag előtt + vagy − jel áll, attól függően, hogy n páros vagy páratlan. Különösen n = 5 esetén ez a valószínűség egyenlő

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

A VIII. fejezetben látni fogjuk, hogy ahogy n a végtelenbe megy, a kifejezés

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

az 1 e határig tart, amelynek értéke öt tizedesjegygel,

egyenlő: 0,36788. Mivel az (5) képletből egyértelműen kiderül, hogy pn = 1 − Sn, innen következik, hogy mint n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

transzcendentális szám

egy szám (valós vagy képzeletbeli), amely nem tesz eleget semmilyen algebrai egyenletnek (lásd Algebrai egyenlet) egész együtthatókkal. Így a T. számok ellentétesek az algebrai számokkal (lásd. Algebrai szám). A T. h. létezését először J. Liouville(1844). Liouville kiindulópontja az a tétele volt, amely szerint egy adott nevezőjű racionális tört adott irracionális algebrai számhoz való közelítési sorrendje nem lehet tetszőlegesen magas. Mégpedig ha algebrai szám A teljesít egy irreducibilis algebrai fokozategyenletet n egész együtthatókkal, akkor bármely racionális szám esetén c csak attól függ α ). Ezért, ha egy adott α irracionális számra meg lehet adni olyan racionális közelítések végtelen halmazát, amelyek egyikre sem tesznek eleget az adott egyenlőtlenségnek. Val velÉs n(minden közelítésre ugyanaz), akkor α van T. h. Egy ilyen számra példa:

T. h. létezésére újabb bizonyítékot adott G. Kántor(1874), megjegyezve, hogy az összes algebrai szám halmaza megszámlálható (vagyis minden algebrai szám újraszámozható; vö. halmazelmélet), míg az összes valós szám halmaza megszámlálhatatlan. Ebből az következett, hogy a számok halmaza megszámlálhatatlan, és a számok alkotják az összes számhalmaz zömét.

A T. p. elméletének legfontosabb problémája annak kiderítése, hogy a T. p. értékei olyan analitikus függvények-e, amelyek bizonyos aritmetikai és analitikai tulajdonságokkal rendelkeznek az argumentum algebrai értékeihez. Az ilyen jellegű problémák a modern matematika legnehezebb problémái közé tartoznak. 1873-ban Sh. Remete bebizonyította Napier szám

F. Lindemann német matematikus 1882-ben általánosabb eredményre jutott: ha α egy algebrai szám, akkor eα - T. h. Lipdemann eredményét jelentősen általánosította K. Siegel német matematikus (1930), aki például bebizonyította, hogy az érvelés algebrai értékei esetében a hengeres függvények széles osztálya értékének felülmúlását. 1900-ban, egy párizsi matematikai kongresszuson D. Hilbert a matematika 23 megoldatlan problémája közül a következőkre mutatott rá: transzcendentális szám α β , Ahol α És β - algebrai számok, és β - irracionális szám, és különösen, hogy az e π szám transzcendentális-e (a számok transzcendenciájának problémája α β privát formában először L. vitte színre. Euler om, 1744). Erre a problémára teljes megoldást (megerősítő értelemben) csak 1934-ben kapott A. O. Gelfond y. Gel'fond felfedezéséből különösen az következik, hogy a természetes számok minden decimális logaritmusa (azaz a "táblázatos logaritmus") t.

Megvilágított.: Gelfond A. O., Transzcendentális és algebrai számok, Moszkva, 1952.

Nagy szovjet enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. 1969-1978 .

Nézze meg, mi a "Transcendens szám" más szótárakban:

Olyan szám, amely nem tesz eleget egész együtthatós algebrai egyenletnek. A transzcendentális számok: szám??3,14159...; bármely olyan egész szám decimális logaritmusa, amelyet nem nullákkal jelölt egység képvisel; az e=2,71828 szám... stb... Nagy enciklopédikus szótár

- (lat. transzcendere-ről átadni, túllépni) olyan valós vagy komplex szám, amely nem algebrai, más szóval olyan szám, amely nem lehet egész együtthatós polinom gyöke. Tartalom 1 Tulajdonságok 2 ... ... Wikipédia

Olyan szám, amely nem tesz eleget egész együtthatós algebrai egyenletnek. A transzcendentális számok: a π szám = 3,14159...; bármely olyan egész szám decimális logaritmusa, amelyet nem nullákkal jelölt egység képvisel; az e szám \u003d 2,71828 ... és mások ... enciklopédikus szótár

Olyan szám, amely nem felel meg egyetlen algebrának sem. egyenlet egész együtthatókkal. Beleértve a következőket: a PI száma \u003d 3,14159 ...; bármely olyan egész szám decimális logaritmusa, amelyet nem nullákkal jelölt egység képvisel; az e szám \u003d 2,71828 ... és mások ... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Olyan szám, amely nem a gyöke egyetlen egész együtthatós polinomnak sem. Az ilyen számok definíciós tartománya a valós, komplex és gyökszámok nullája. A valódi T. órák létezését és explicit konstrukcióit J. Liouville ... ... Matematikai Enciklopédia

Nem algebrai egyenlet. Általában ezek exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek, például: Egy szigorúbb definíció a következő: A transzcendentális egyenlet egy egyenlet ... Wikipédia

Egy körülbelül 2,718-cal egyenlő szám, amely gyakran megtalálható a matematikában és a természettudományok. Például egy radioaktív anyag bomlása során t idő után a kezdeti anyagmennyiségből e kt-val egyenlő rész marad vissza, ahol k egy szám, ... ... Collier Encyclopedia

E egy matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja, egy irracionális és transzcendentális szám. Néha az e számot Euler-számnak (nem tévesztendő össze az úgynevezett első típusú Euler-számokkal) vagy Napier-számnak nevezik. Kisbetűs latin "e" betűvel van jelölve ... ... Wikipédia

E egy matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja, egy irracionális és transzcendentális szám. Néha az e számot Euler-számnak (nem tévesztendő össze az úgynevezett első típusú Euler-számokkal) vagy Napier-számnak nevezik. Kisbetűs latin "e" betűvel van jelölve ... ... Wikipédia

4.2. Algebrai és transzcendentális számok

A valós számokat néha algebraira és transzcendentálisra is felosztják.

Az algebrai számok olyan számok, amelyek egész együtthatós algebrai polinomok gyökei, például 4, . Az összes többi (nem algebrai) szám transzcendentális. Mivel minden p/q racionális szám a megfelelő, qx -p egész együtthatójú elsőfokú polinom gyöke, ezért minden transzcendentális szám irracionális.

Kiemeljük jellemzők figyelembe vett (természetes, racionális, valós) számok: csak egy tulajdonságot modelleznek - mennyiséget; egydimenziósak, és mindegyiket egy egyenesen lévő pontok ábrázolják, amelyet koordinátatengelynek neveznek.

5. Komplex számok

5.1. képzeletbeli számok

Még az irracionálisnál is furcsábbak voltak azok az új természet számok, amelyeket Cardano olasz tudós fedezett fel 1545-ben. Megmutatta, hogy annak az egyenletrendszernek, amelynek nincs megoldása a valós számok halmazában, olyan megoldásai vannak, amelyek alakja, . Csak bele kell egyezni, hogy az ilyen kifejezésekre a közönséges algebra szabályai szerint cselekedjünk, és feltételezzük, hogy · = -.

Cardano ezeket a mennyiségeket "tisztán negatívnak", sőt "kifejezetten negatívnak" nevezte, haszontalannak tartotta, és megpróbálta nem használni őket.

Ezeket a számokat sokáig lehetetlennek, nem létezőnek, képzeletbelinek tartották. Descartes képzeletbelinek nevezte őket, Leibnizt - "az eszmék világának őrültjének, a lét és a nemlét között elhelyezkedő entitásnak".

Valójában ilyen számok segítségével nem lehet kifejezni sem valamely mennyiség mérésének eredményét, sem pedig valamilyen mennyiség változását.

A képzeletbeli számoknak nem volt helye a koordinátatengelyen. A tudósok azonban észrevették, hogy ha a valós b számot a koordinátatengely pozitív részén vesszük, és megszorozzuk vele, akkor megkapjuk a b képzeletbeli számot, amelyről senki sem tudja, hol található. De ha ezt a számot ismét megszorozzuk, akkor -b-t kapunk, vagyis az eredeti számot, de már a koordináta-tengely negatív részén. Tehát két szorzással a b számot pozitívról negatívra fordítottuk, és pontosan ennek a dobásnak a közepén a szám képzeletbeli volt. Így helyet találtak a képzeletbeli számoknak a képzeletbeli koordinátatengelyen a valós koordinátatengely közepére merőleges pontokban. A képzetes és valós tengely közötti sík pontjai a Cardano által talált számokat ábrázolják, amelyek általában a + b i alakban egy komplexben (összetételben) tartalmazzák az a valós számokat és a képzeletbeli b i számokat, ezért ezeket komplex számoknak nevezzük.

Ez volt a számok általánosításának 4. szintje.

Fokozatosan fejlődött ki a képzeletbeli számokkal végzett műveletek technikája. A 17. és 17. század fordulóján felépítették az n-edik hatványok gyökeinek általános elméletét, először negatívból, majd tetszőleges összetett számokból, A. De Moivre angol matematikus alábbi képlete alapján:

Ezzel a képlettel több ív koszinuszaira és szinuszaira is képleteket lehetett származtatni.

Leonhard Euler egy csodálatos formulával állt elő 1748-ban:

amely összekapcsolta az exponenciális függvényt a trigonometrikus függvénnyel. Az Euler-képlet segítségével fel lehetett emelni az e számot tetszőlegesre összetett fokozat. Érdekes például, hogy. Megtalálhatja a komplex számok sinét és cos-ját, kiszámíthatja az ilyen számok logaritmusát, és így tovább.

Sokáig még a matematikusok is titokzatosnak tartották a komplex számokat, és csak matematikai manipulációkhoz használták őket. Így Bernoulli svájci matematikus komplex számokat használt az integrálok megoldására. Kicsit később képzeletbeli számok segítségével megtanulták lineáris megoldásokat kifejezni differenciál egyenletekállandó együtthatókkal. Ilyen egyenletek találhatók például az oszcillációelméletben anyagi pont ellenálló környezetben.

Algebrai csoportok mátrixok

Lezárások algebrai rendszerei

Kezdjük az algebrai művelet fogalmával. Legyen A egy univerzális algebra W algebrai műveletek halmazával. Minden w műveletnek van egy bizonyos n aritása, nN(0). Bármely természetes n esetén az u n-számú művelet An-ból A-ba való leképezés...

Prímszámok hatványa

A kölcsönösen prímszámok természetes vagy egész számok, ezért nem jut eszébe a legnagyobb páros 1-hez, vagy egyébként úgy tűnik, hogy a legnagyobb párosai jók 1-re. Ebben a sorrendben a 2 és a 3 kölcsönösen egyszerűek, és a 2 i 4 -- nі (osztva 2-vel)...

Grafikonok és függvényeik

Tekintsük a függvényekkel és grafikonjaikkal kapcsolatos alapvető algebrai műveleteket, mint az összeadás és kivonás (y = f(x) ±g(x)), szorzás (y = f(x) g(x)), osztás (y = f( x) / g(x)). Az ilyen típusú gráfok elkészítésekor figyelembe kell venni ...

Komplex számok: múltjuk és jelenük

Matematika a középkorban

Szükséges állapot A fan-cheng módszer alkalmazása egyenletrendszerekre volt a bevezetés negatív számok. Például egy rendszer megoldásakor egy táblázatot kapunk. Következő lépés: vonjuk ki a jobbról a harmadik oszlop elemeit az első...

Számmisztika

A Pythagorasban a számokat nemcsak a valós dolgok elvont helyettesítőinek tekintették, hanem élőlényeknek, amelyek tükrözik a tér, az energia vagy a hangrezgés tulajdonságait. A számtan fő tudománya, az aritmetika...

Számmisztika

A legenda szerint a harmonikus számokat, amelyek aránya a szférák zenéjét idézi elő, Pythagoras találta meg. Flammarion a következőképpen meséli el ezt a legendát: "Azt mondják, hogy egy kovácsműhely mellett elhaladva kalapácsok hangját hallotta...

Gyakorlati használat kvadratúra képletek Csebisev-Hermite súllyal

Legyen megadva a teljes tengelyen egy egyenletes súlyfüggvény. (1.1) Ezt a függvényt egymás után differenciálva azt kapjuk, hogy (1.2) Indukcióval könnyen igazolható, hogy az (1.1) függvény n-ed rendű deriváltja ennek a függvénynek a szorzata valamilyen n fokú polinommal...

Vezessünk be egy új érvénytelen számot, amelynek négyzete egyenlő -1-gyel. Ezt a számot az I szimbólummal jelöljük, és a képzeletbeli egységet hívjuk. Tehát (2.1) Akkor. (2.2) 1. Komplex szám algebrai alakja Ha, akkor a (2.3) számot komplex számnak nevezzük...

Ismétlődő numerikus sorozatok

Sok probléma megoldása során gyakran kell ismétlődően megadott sorozatokkal foglalkozni, de a Fibonacci-sorozattal ellentétben nem mindig sikerül az elemző feladatát megoldani...

Transzcendentális egyenletek paraméterekkel és megoldási módszerekkel

A transzcendentális egyenlet egy ismeretlen (változó) transzcendentális függvényeit (irracionális, logaritmikus, exponenciális, trigonometrikus és inverz trigonometrikus) tartalmazó egyenlet, például egy egyenlet ...

Elképesztő számok

Réges-régen az emberek a kavicsokkal való számolásban segítették magukat a kavicsokból kirakható helyes figurákra. A kavicsokat csak sorba rakhatja: egy, kettő, három. Ha két sorba rakod őket, hogy téglalapok legyenek...

Elképesztő számok

Néha a tökéletes számokat a baráti számok speciális esetének tekintik: minden tökéletes szám barátságos önmagához. Nikomachus of Geras, a híres filozófus és matematikus ezt írta: "A tökéletes számok szépek. De tudjuk...

A társadalmi folyamatok fraktál tulajdonságai

geometriai fraktálok statikus alakok. Egy ilyen megközelítés egészen elfogadható mindaddig, amíg ezt nem kell figyelembe venni természetes jelenség mint zuhanó vízfolyamok, kavargó füstörvények...