A számsorozat olyan sorozat, amelyet egy másik sorozattal együtt tekintünk (ezt részösszegek sorozatának is nevezik). Hasonló fogalmakat használnak a matematikai és a komplex elemzésben.

Összeg számsorozat könnyen kiszámítható Excelben a SOR.SZUM függvény segítségével. Nézzünk egy példát a működésére ezt a funkciót, majd elkészítjük a függvények grafikonját. Tanuljuk meg a számsorok gyakorlati használatát a tőkenövekedés számításakor. De először egy kis elmélet.

Számsorozat összege

A számsorok a számokhoz való közelítések rendszerének tekinthetők. Jelöléséhez használja a következő képletet:

Íme a sorozat kezdeti számsorozata és az összegzési szabály:

• ∑ - az összeg matematikai jele;
• a i - általános érv;
• i egy változó, egy szabály minden következő argumentum megváltoztatására;
• ∞ a végtelen jele, a „határ”, amelyig az összegzést végezzük.

A bejegyzés jelentése: összegezve természetes számok 1-től a "plusz végtelenig". Mivel i = 1, az összeg kiszámítása egytől indul. Ha lenne itt egy másik szám (például 2, 3), akkor abból kezdenénk az összegzést (2, 3-ból).

Az i változónak megfelelően a sorozat kibővítve írható:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (a „plusz végtelenig”).

Egy számsor összegének meghatározása a „részösszegeken” keresztül történik. A matematikában Sn-nek jelölik. Írjuk fel számsorunkat részösszegek formájában:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Egy számsor összege az S n részösszegek határa. Ha a határ véges, akkor „konvergens” sorozatról beszélünk. Végtelen - körülbelül „eltérő”.

Először keressük meg a számsorok összegét:

Most készítsünk egy táblázatot a sorozattagok értékeiről az Excelben:

Az általános első argumentumot a képletből vesszük: i=3.

Az i összes alábbi értékét megtaláljuk a képlet segítségével: =B4+$B$1. Helyezze a kurzort a B5 cella jobb alsó sarkába, és szorozza meg a képletet.

Keressük az értékeket. Aktiválja a C4 cellát, és írja be a következő képletet: =SZUM(2*B4+1). Másolja a C4 cellát a megadott tartományba.

Az argumentumok összegének értékét a =SUM(C4:C11) függvény segítségével kapjuk meg. Az ALT+“+” gyorsbillentyűkombináció (plusz a billentyűzeten).

ROW.SUM függvény az Excelben

Egy számsor összegének megkereséséhez az Excelben használja a SERIES.SUM matematikai függvényt. A program a következő képletet használja:

A függvény argumentumai:

• x – változó érték;
• n – fokozat az első argumentumhoz;
• m az a lépés, amellyel a fokozatot minden következő tag esetében növeljük;
• a az x megfelelő hatványainak együtthatói.

A funkció működésének fontos feltételei:

• minden argumentum kötelező (vagyis mindet ki kell tölteni);
• minden argumentum NUMERIC érték;
• az együtthatók vektorának fix hossza van (a „végtelen” határa nem fog működni);
• „együtthatók” száma = argumentumok száma.

Sorozat összegének kiszámítása Excelben

Ugyanez a SERIES.SUM funkció működik teljesítménysorokkal (a funkcionális sorozatok egyik változata). A numerikusokkal ellentétben ezek argumentumai függvények.

A funkcionális sorozatokat gyakran használják a pénzügyi és gazdasági szférában. Mondhatni ez az alkalmazási területük.

Például egy bizonyos összeget (a) helyeztek el a bankban egy bizonyos időszakra (n). Éves befizetésünk x százalék. Az első időszak végén felhalmozott összeg kiszámításához a következő képletet kell használni:

S 1 = a (1 + x).

A második és az azt követő időszak végén a kifejezések formája a következő:

S2=a(1+x)2;

S 3 = a (1 + x) 2 stb.

A teljes összeg megkereséséhez:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

A részösszegeket az Excelben a BS() függvény segítségével találhatjuk meg.

A képzési feladat kezdeti paraméterei:

Szabványos matematikai függvény segítségével a futamidő végén találjuk meg a felhalmozott összeget. Ehhez a D2 cellában a következő képletet használjuk: =B2*DEGREE(1+B3;4)

Most a D3 cellában ugyanazt a problémát oldjuk meg a beépített Excel függvény segítségével: =BS(B3;B1;;-B2)

Az eredmények ugyanazok, mint annak lennie kell.

1. Hogyan kell kitölteni a BS() függvény argumentumait: "licit" - kamatláb
2. , amely alatt a betétet nyilvántartásba veszik. Mivel a százalékos formátum a B3 cellában van beállítva, egyszerűen megadtunk egy hivatkozást erre a cellára az argumentummezőben. Ha megadna egy számot, akkor annak századrészeként lenne kiírva (20/100).
3. Az „Nper” a kamatfizetési időszakok száma. Példánkban – 4 év.
4. "Plt" - időszakos kifizetések. A mi esetünkben ilyenek nincsenek. Ezért nem töltjük ki az argumentum mezőt.

„Ps” - „jelenérték”, a betét összege. Mivel egy ideig megválunk ettől a pénztől, a paramétert „-” jellel jelöljük.

Az Excel más beépített funkciókkal is rendelkezik a különböző paraméterek megtalálásához. Általában ezek a funkciók a munkához beruházási projektek, értékpapírés értékcsökkenési leírások.

Számsorok összegének ábrázolási függvényei

Készítsünk függvénygrafikont, amely tükrözi a tőkenövekedést. Ehhez létre kell hoznunk egy függvény grafikonját, amely a megszerkesztett sorozatok összege. Példaként vegyük ugyanazokat az adatokat a betétről:

Az első sor az egy év után felhalmozott összeget mutatja. A másodikban - kettőben. És így tovább.

Hozzunk létre egy másik oszlopot, amelyben a nyereséget tükrözzük:

Ahogy gondoltuk - a képletsávban.

A kapott adatok alapján elkészítjük a függvények grafikonját.

Válasszunk ki 2 tartományt: A5:A9 és C5:C9. Lépjen a „Beszúrás” fülre - a „Diagramok” eszközre. Válassza ki az első diagramot:

Tegyük még „alkalmazottabbá” a problémát. A példában kamatos kamatot használtunk. Elhatárolásuk az előző időszakban felhalmozott összegre történik.

Vegyünk összehasonlításul egyszerű kamat. Egyszerű kamatképlet Excelben: =$B$2*(1+A6*B6)

Adjuk hozzá a kapott értékeket a „Tőke növekedés” diagramhoz.

Nyilvánvaló, hogy a befektető milyen következtetéseket von le.

Egy funkcionális sorozat (egyszerű kamatozású) részösszegének matematikai képlete: S n = a (1 + x*n), ahol a a kezdeti betét összege, x a kamat, n a periódus.

Legyen adott egy R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… számsorozat. Az R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… kifejezést nevezzük végtelen sor, vagy csak közel, és az R 1, R 2, R 3,… számok egy szám tagjai. Itt azt értjük, hogy egy sorozat összegének felhalmozása az első tagokkal kezdődik. Az S n = összeget nevezzük részösszeg sor: n=1 esetén – az első részösszeg, n=2 esetén – a második részösszeg, és így tovább.

Hívott konvergens sorozat, ha a részrészeinek sorozata az összegeknek van határa, és divergens- egyébként. A sorozat összegének fogalma kibővíthető, és akkor egyes divergens sorozatoknak is lesznek összegei. Pontosan kiterjedt megértés összegeket sor algoritmusok kidolgozásánál a következő feladatmegfogalmazással fogjuk használni: az összeg felhalmozását addig kell végezni, amíg a sorozat következő abszolút értékű tagja nem haladja meg a megadott ε értéket.

Általánosságban elmondható, hogy egy sorozat valamennyi tagja vagy egy része olyan kifejezésekkel adható meg, amelyek a sorozattagok és a változók számától függenek. Például,

Ekkor felmerül a kérdés, hogyan lehet minimalizálni a számítások mennyiségét - számítsa ki a sorozat következő tagjának értékét a sorozattag általános képlete(a megadott példában az összeg előjele alatti kifejezés ábrázolja), ismétlődő képlet használatával (kimenetét az alábbiakban mutatjuk be) vagy ismétlődő képleteket használva csak egy sorozattag kifejezésének részeihez (lásd lent).

Sorozattag számítására szolgáló ismétlődő képlet levezetése

Tegyük fel, hogy meg kell találnia egy R 1, R 2, R 3,... számsort, és sorban ki kell számítania őket a képletekkel

,
, …,

A számítások csökkentése érdekében ebben az esetben kényelmes a használata visszatérő képlet fajta
, amely lehetővé teszi az R N érték kiszámítását N>1 esetén az R N-1 sorozat előző tagjának értékének ismeretében, ahol
- kifejezés, amelyet az N-re vonatkozó (3.1) képletben szereplő kifejezés és az N-1 kifejezés arányának egyszerűsítése után kaphatunk:

Így az ismétlődő képlet alakot ölt
.

A sorozattag általános képletének (3.1) és a (3.2) ismétlődő képletnek az összehasonlításából kitűnik, hogy az ismétlődő képlet jelentősen leegyszerűsíti a számításokat. Alkalmazzuk N=2-re, 3-ra és 4-re, ennek ismeretében
:

Sorozattag értékének számítási módszerei

Sorozattag értékének kiszámításához, annak típusától függően, célszerű lehet egy sortag általános képletét, vagy egy ismétlődő képletet használni, ill. vegyes módszer a sorozattag értékének kiszámítására, amikor egy sorozattag egy vagy több részéhez ismétlődési képleteket használnak, majd ezek értékeit behelyettesítik a sorozattag általános képletébe. Például: - egy sorozathoz könnyebb kiszámítani egy sorozattag értékét
általános képlete szerint
(hasonlítsd össze
- ismétlődő képlet); - egy sorra
jobb az ismétlődési képletet használni
; - sorozat esetén vegyes módszert kell alkalmazni, az A N =X 3N kiszámítása az ismétlődő képlet segítségével
, N=2, 3,… ahol A 1 =1 és B N =N! - az ismétlődő képlet szerint is
, N=2, 3,… ahol B 1 =1, majd – a sorozat tagja
- az általános képlet szerint, amely alakot vesz fel
.

3.2.1. példa a feladat végrehajtására

Számítsa ki ε pontossággal 0 o  X  45 o esetén

az ismétlődési képlet segítségével a sorozattag kiszámításához:

,

a cos X függvény pontos értéke,

a közelítő érték abszolút és relatív hibái.

program Projekt1;

($APPTYPE KONZOL)

K=Pi/180; //Fokokból radiánba való átváltási együttható

Eps: kiterjesztett =1E-8;

X: Kiterjesztett =15;

R, S, Y, D: kiterjesztett;

($IFNDEF DBG) //A hibakereséshez nem használt operátorok

Write("Adja meg a szükséges pontosságot: ");

Write("Adja meg a szögértéket fokban: ");

D:=Sqr(K*X); //X-et radiánná és négyzetté alakítani

//Kezdőértékek hozzárendelése a változókhoz

//Hurok egy sorozat feltételeinek kiszámításához és összegének felhalmozásához.

//Végrehajtás mindaddig, amíg a sorozat következő tagjának modulusa nagyobb, mint az Eps.

míg az Abs(R)>Eps igen

ha N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Kimeneti számítási eredmények:

WriteLn(N:14," = Az elért lépések száma",

"meghatározott pontosság");

WriteLn(S:14:11," = Hozzávetőleges függvényérték");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Pontos függvényérték");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Abszolút hiba");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = Relatív hiba");

A taghalmaz összegzésének problémáját a sorozatelmélet oldja meg.

Ahol u 1, u 2, u 3 …., u n...-végtelen számsorozat tagjait nevezzük számsorozat.

Számok u 1, u 2, u 3 …., u n... hívott egy szám tagjai, A u n a sorozat közös tagja.

Egy sorozat első tagjának n véges számának összegét a sorozat n-edik részösszegének nevezzük.

S n = u 1 + u 2 +… + u n,

azok. S1 = u1; S 2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Egy sorozatot konvergensnek mondunk, ha az S n részösszegnek véges határa van n, vagyis

Szám S sorozat összegének nevezzük.

Egyébként:

Ezután a sorozatot divergensnek nevezik.

Referencia sorozat.

1. Geometriai sorozat (geometriai progresszió)

Példa.

2. Harmonikus sorozatok.

3. Általánosított harmonikus sorozat.

Példa.

.

Pozitív sorozatok konvergenciájának jelei

1. Tétel. A konvergencia szükséges jele.

Ezzel a funkcióval meghatározhatja egy sorozat divergenciáját.

Példa.

Elegendő jelek

1. Tétel. Próba sorozatok összehasonlítására.

Legyen két pozitív előjelű sorozat:

Sőt, ha a (2) sorozat konvergál, akkor az (1) sorozat is konvergál.

Ha az (1) sorozat eltér, akkor a (2) sorozat is divergál.

Példa. Vizsgáljuk meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot a geometriai sorozattal:

Ezért összehasonlításképpen a szükséges sorozatok konvergálnak.

2. Tétel. D'Alembert-próba.

Példa. Vizsgáljuk meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

D'Alembert tesztje szerint a sorozat konvergál.

3. Tétel. Radikális Cauchy-próba.

3) a konvergencia kérdése nyitott marad.

Példa: vizsgáljuk meg a számsorokat a konvergencia szempontjából:

Megoldás:

Ezért a sorozat Cauchy konvergens.

4. Tétel. Cauchy integrálpróba.

Hagyja, hogy a sorozat tagjai

pozitívak és nem növekednek, vagyis egy folytonos, nem növekvő függvény értékei f(x) at x= 1, 2, …, n.

Ekkor ahhoz, hogy a sorozat konvergáljon, szükséges és elégséges, hogy a nem megfelelő integrál konvergál:

Példa.

Megoldás:

Következésképpen a sorozat divergál, mivel a nem megfelelő integrál eltér.

Váltakozó sorozatok. Egy váltakozó sorozat abszolút és feltételes konvergenciájának fogalma.

A sorozat az ún váltakozó jel, ha bármelyik tagja lehet pozitív és negatív is.

Tekintsük a sorok váltakozását:

Tétel 1. Leibniz-próba (elégséges teszt).

Ha a váltakozó sor előjele

a kifejezések abszolút értékben csökkennek, azaz

akkor a sorozat konvergál és összege nem haladja meg az első tagot, azaz S ≤ .

Példa.

Megoldás:

Alkalmazzuk Leibniz tesztjét:

.

Ezért a sorozat Leibniz konvergens.

2. Tétel. Elegendő kritérium egy váltakozó sorozat konvergenciájához.

Ha egy váltakozó sorozatnál a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, akkor ez a váltakozó sorozat konvergál.

Példa: vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

Megoldás:

az eredeti sorozat tagjainak abszolút értékeinek egy általánosított harmonikus sorozataként konvergál.

Ezért az eredeti sorozat konvergál.

Ez a tulajdonság elegendő, de nem szükséges, vagyis vannak váltakozó sorozatok, amelyek konvergálnak, bár az abszolút értékekből álló sorozatok eltérnek.

1. definíció. abszolút konvergens, ha a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál.

2. definíció. Egy váltakozó sorozatot ún feltételesen konvergens, ha maga a sorozat konvergál, de a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat eltér.

A különbség közöttük az, hogy egy abszolút konvergens sorozat konvergál annak következtében, hogy tagjai gyorsan csökkennek, a feltételesen konvergens sorozat pedig azért, mert a pozitív és negatív tagok kioltják egymást.

Példa.

Megoldás:

Alkalmazzuk Leibniz tesztjét:

Ezért a sorozat Leibniz konvergens. De egy sor, amely tagjai abszolút értékéből áll, eltér egymástól, akár egy harmonikus.

Ez azt jelenti, hogy az eredeti sorozat feltételesen konvergál.

Sorozatok összege

weboldal lehetővé teszi, hogy megtalálja online sorozat összege számsor. Amellett, hogy megkeresi egy online számsorozat sorozatának összegét, a szerver be van kapcsolva online meg fogja találni a sorozat részösszege. Ez akkor hasznos analitikus számításokhoz, amikor online sorozat összegeábrázolni kell és megoldást kell találni a sorozat határára a sorozat részösszegei. Más oldalakhoz képest weboldal tagadhatatlan előnye van, mivel lehetővé teszi, hogy megtalálja online sorozat összege nemcsak számszerű, hanem funkcionális tartomány, amely lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az eredeti konvergencia területét sor a legismertebb módszerekkel. Az elmélet szerint sorokat, egy numerikus sorozat konvergenciájának szükséges feltétele, hogy a közös tag határa nullával egyenlő számsorozat mivel a változó a végtelenbe hajlik. Ez a feltétel azonban nem elegendő egy számsor online konvergenciájának meghatározásához.. Meghatározni sorozatkonvergencia online a konvergencia vagy divergencia különféle elégséges jeleit találták sor. Ezek közül a leghíresebb és leggyakrabban használt jelek D'Alembert, Cauchy, Raabe, összehasonlítás számsorozat, valamint a konvergencia integrál jele számsorozat. Különleges hely között számsorozat azokat foglalják el, amelyekben a kifejezések jelei szigorúan váltakoznak, és az abszolút értékeket számsorozat monoton csökken. Kiderül, hogy az ilyenekre számsorozat a sorozat online konvergenciájának szükséges jele ugyanakkor elegendő, vagyis az általános tag határának egyenlősége nullával számsorozat mivel a változó a végtelenbe hajlik. Számos különböző webhely kínál szerverek kiszámítani online sorozatok összegei, valamint a funkciók bővítése ben sor online egy bizonyos ponton ennek a függvénynek a definíciós tartományából. Ha a függvényt kiterjesztjük arra sorozat online nem különösebben nehéz ezeken a szervereken, akkor kiszámítani online funkcionális sorozatok összege, amelynek minden tagja, ellentétben a numerikus sor, nem egy szám, hanem egy funkció, szinte lehetetlennek tűnik a szükséges technikai erőforrások hiánya miatt. Mert www.site nincs ilyen probléma.

SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG

Állami oktatási intézmény

felsőfokú szakmai végzettség

"MATI" - OROSZ ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM, NEVE K.E. CIOLKOVSZKIJ

„Rendszermodellezés és Információs Technológiák” Tanszék

Számsorozat

Útmutató a gyakorlati gyakorlatokhoz

a "Felső matematika" tudományágban

Összeállította: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Kornienko L.I.

Moszkva 2005 bevezetés

Az útmutató a 14. Kar 071000, 130200, 220200 szakok nappali és esti tagozatos hallgatóinak szól.

1. Alapfogalmak

Hadd u 1 , u 2 , u 3 , …, u n, … egy végtelen számsorozat. Kifejezés
hívott végtelen számú sorozat, számok u 1 , u 2 , u 3 , …, u n- a sorozat tagjai;
a sorozat közös kifejezésének nevezzük. A sorozatot gyakran rövidített (összecsukott) formában írják:

Az első összege n számsor tagjait jelöljük és hívja n sorozat részösszege:

A sorozat az ún konvergens, ha az n-i részösszeg korlátlan emeléssel n a végső határig hajlik, azaz. Ha
Szám hívott a sorozat összege.

Ha n-a sorozat részösszege at
nem hajlik egy véges határra, akkor a sorozat ún divergens.

1. példa Keresse meg a sorozat összegét
.

Megoldás. megvan
. Mert:

,

Ezért,

Mert
, akkor a sorozat konvergál és összege egyenlő
.

2. Alaptételek számsorokról

1. tétel. Ha a sorozat konvergál
akkor a sorozat konvergál adott sorozatból az első eldobásával kapjuk meg
tagok (ezt az utolsó sort hívják
-az eredeti sorozat hátralévő része). És fordítva, a konvergenciából
A sorozat hátralévő része ennek a sorozatnak a konvergenciáját jelenti.

2. tétel. Ha a sorozat konvergál
összege pedig a szám , akkor a sorozat konvergál
és az utolsó sor összege egyenlő
.

3. tétel. Ha a sorozatok összefolynak

Ha S és Q összegek vannak, akkor a sorozat konvergál, és az utolsó sorozat összege egyenlő
.

4. tétel (A sorozatok konvergenciájának szükséges jele). Ha a sor
akkor konvergál
, azaz at
egy konvergens sorozat közös tagjának határa nulla.

Következmény 1. Ha
, akkor a sorozat szétválik.

Következmény 2. Ha
, akkor lehetetlen egy sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját meghatározni a szükséges konvergenciakritérium segítségével. Egy sorozat lehet konvergens vagy divergens.

2. példa Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját:

Megoldás. A sorozat közös kifejezésének megtalálása
. Mert:

azok.
, akkor a sorozat divergál (a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül).

3. Pozitív tagú sorozatok konvergenciájának jelei

3.1. Az összehasonlítás jelei

Az összehasonlítási kritériumok egy adott sorozat konvergenciájának összehasonlításán alapulnak egy olyan sorozattal, amelynek konvergenciája vagy divergenciája ismert. Összehasonlításként az alábbiakban felsorolt ​​sorozatokat használjuk.

Sor
tetszőleges csökkenő geometriai progresszió tagjaiból áll, konvergens és összege van

Sor
növekvő geometriai progresszió tagjaiból áll, divergens.

Sor
divergens.

Sor
az úgynevezett Dirichlet-sorozat. >1 esetén a Dirichlet-sor konvergál,  esetén<1- расходится.

Amikor =1 sor
harmonikusnak nevezzük. A harmonikus sorozat eltér.

Tétel. Az összehasonlítás első jele. Legyen két pozitív tagú sorozat:

(2)

Ezenkívül az (1) sorozat egyetlen tagja sem haladja meg a (2) sorozat megfelelő tagját, azaz.
(n= 1, 2, 3, …). Ekkor ha a (2) sorozat konvergál, akkor az (1) sorozat is konvergál; ha az (1) sorozat eltér, akkor a (2) sorozat is divergál.

Megjegyzés. Ez a kritérium érvényben marad, ha az egyenlőtlenség
nem mindenkinél működik , de csak egy bizonyos számtól kezdve n= N, azaz mindenkinek n N.

3. példa Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját!

Megoldás. Egy adott sorozat tagjai kisebbek, mint a sorozat megfelelő tagjai
végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjaiból áll össze. Mivel ez a sorozat konvergál, az adott sorozat is konvergál.

Tétel. Az összehasonlítás második jele (az összehasonlítás jelének korlátozó formája). Ha van véges és nem nulla határérték
, majd mindkét sor És egyidejűleg konvergálnak vagy divergálnak.

4. példa Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját!

Megoldás. Hasonlítsuk össze a sorozatot a harmonikus sorozattal
Keressük meg a sorozat közös tagjainak arányának határát:

Mivel a harmonikus sorozatok szétválnak, az adott sorozat is divergál.