Nézzük meg, hogyan számítjuk ki egy pont sebességét és gyorsulását, ha a mozgást a (3) vagy (4) egyenlet adja meg. A pálya meghatározásának kérdését ebben az esetben már a 37. §-ban tárgyaltuk.

A v és a értékét meghatározó (8) és (10) képletek a vektorok időbeli deriváltjait tartalmazzák. A vektorok deriváltjait tartalmazó egyenlőségekben a vetületek közötti függőségekre való átmenet a következő tétellel történik: egy vektor deriváltjának egy adott vonatkoztatási rendszerben rögzített tengelyre vetítése egyenlő a differenciálható vektor vetületének deriváltjával. ugyanarra a tengelyre, pl.

1. Egy pont sebességének meghatározása. Egy pont sebességvektora Innen az (I) képletek alapján, figyelembe véve, hogy a következőket kapjuk:

ahol a betű feletti pont az idő függvényében történő megkülönböztetés szimbóluma. Így a pont sebességének a koordinátatengelyekre vetített vetületei megegyeznek a pont megfelelő koordinátáinak első deriváltjaival az idő függvényében.

A sebesség vetületeinek ismeretében a képletek segítségével megtaláljuk annak nagyságát és irányát (azaz a v vektor által a koordinátatengelyekkel bezárt szögeket)

2. Egy pont gyorsulásának meghatározása. Egy pont gyorsulási vektora Innen a (11) képletek alapján kapjuk:

azaz egy pont gyorsulásának vetületei a koordinátatengelyekre egyenlők a sebességvetületek első deriváltjaival vagy a pont megfelelő koordinátáinak időbeli másodlagos deriváltjaival. A gyorsulás nagysága és iránya a képletekből megtudható

hol vannak a gyorsulásvektor által a koordinátatengelyekkel alkotott szögek.

Tehát, ha egy pont mozgása derékszögű derékszögű koordináták a (3) vagy (4) egyenlet, akkor a pont sebességét a (12) és (13) képlet, a gyorsulást pedig a (14) és (15) képlet határozza meg. Ezen túlmenően egy síkban történő mozgás esetén a tengelyre vetítést minden képletben el kell hagyni

Legyen most ismert a függvény. ábrán. 5.10
És
 mozgó pont sebességvektorai pillanatokban tés  t. Hogy megkapjuk a sebességvektor növekményét
mozgassa párhuzamosan a vektort
a lényegre M:

Egy pont átlagos gyorsulása egy időtartam alatt  t sebességvektor növekmény arányának nevezzük
egy időszakra t:

Ezért, pont gyorsulása pillanatnyilag az idő egyenlő a pont sebességvektorának idejére vonatkozó első deriváltjával vagy a sugárvektor időbeli második deriváltjával

. (5.11)

Pontgyorsulás ez egy vektormennyiség, amely a sebességvektor időbeli változásának sebességét jellemzi.

Készítsünk sebességhodográfot (5.11. ábra). Definíció szerint a sebességhodográf az a görbe, amelyet a sebességvektor vége felé rajzolunk, amikor egy pont mozog, ha a sebességvektort ugyanabból a pontból ábrázoljuk.

Egy pont sebességének meghatározása a mozgás megadásának koordináta módszerével

Adjuk meg egy pont mozgását a koordináta módszerrel in Descartes-rendszer koordináták

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Egy pont sugárvektora egyenlő

.

Mivel az egységvektorok
definíció szerint állandóak

. (5.12)

Jelöljük a sebességvektor vetületeit a tengelyre Ó, ÓÉs Oz keresztül V x , V y , V z

(5.13)

Összehasonlítva az (5.12) és (5.13) egyenlőségeket, megkapjuk

(5.14)

A továbbiakban az időhöz viszonyított deriváltot a fenti ponttal jelöljük, azaz.

.

Egy pont sebességi modulusát a képlet határozza meg

. (5.15)

A sebességvektor irányát az iránykoszinuszok határozzák meg:

Egy pont gyorsulásának meghatározása a mozgás megadásának koordináta módszerével

A sebességvektor a derékszögű koordinátarendszerben egyenlő

.

Definíció szerint

Jelöljük a gyorsulásvektor vetületeit a tengelyre Ó, ÓÉs Oz keresztül A x , A y , A z Ennek megfelelően kiterjesztjük a sebességvektort a tengelyek mentén:

. (5.17)

Az (5.16) és (5.17) egyenlőségeket összevetve megkapjuk

A pontgyorsulási vektor modulját a pontsebességvektor moduljához hasonlóan számítjuk ki:

, (5.19)

és a gyorsulásvektor iránya iránykoszinuszokkal van:

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása a mozgás megadásának természetes módszerével

Orty És feküdj be oszkulációs sík, egységvektorok És V normál repülő, egységvektorok És - be egyengető sík.

A keletkező triédert természetesnek nevezzük.

Legyen adott a pontmozgás törvénye s = s(t).

Sugár vektor pontokat M bármely fix ponthoz viszonyítva az idő összetett függvénye lesz
.

A differenciálgeometriából ismertek a Serre-Frenet képletek, amelyek kapcsolatot teremtenek a természetes tengelyek egységvektorai és a görbe vektorfüggvénye között.

ahol  a pálya görbületi sugara.

A sebesség definícióját és a Serre-Frenet képletet felhasználva a következőket kapjuk:

. (5.20)

A sebesség érintőre való vetületének jelölése és figyelembe véve, hogy a sebességvektor tangenciálisan irányul, megvan

. (5.21)

Az (5.20) és (5.21) egyenlőségeket összehasonlítva képleteket kapunk a sebességvektor nagyságrendi és irányú meghatározására

Nagyságrend pozitív, ha a lényeg M az ívreferencia pozitív irányába mozog s ellenkező esetben pedig negatív.

A gyorsulás definícióját és a Serre-Frenet képletet felhasználva a következőket kapjuk:

Jelöljük a pont gyorsulásának vetületét érintőn , fő normál és binormális
illetőleg.

Akkor a gyorsulás az

Az (5.23) és (5.24) képletekből az következik, hogy a gyorsulásvektor mindig az érintkezési síkban fekszik, és irányban bővül És :

(5.25)

Gyorsulás vetítése érintőre
hívott tangens vagy érintőleges gyorsulás. A sebesség változását jellemzi.

A gyorsulás vetítése a fő normálisra
hívott normál gyorsulás.

A sebességvektor irányváltozását jellemzi.
.

A gyorsulásvektor nagysága egyenlő És Ha

A gyorsulásvektor nagysága egyenlő És azonos előjelű, akkor a pont mozgása felgyorsul.

különböző előjelekkel, akkor a pont mozgása lassú lesz. Adjuk a kinematika alapképleteit anyagi pont

Tartalom Lásd még:

Példa egy probléma megoldására (pont mozgásának meghatározására szolgáló koordináta módszer)

Alapképletek egy anyagi pont kinematikájához

Mutassuk be egy anyagi pont kinematikájának alapképleteit. Ezt követően elmondjuk a következtetéseiket és az elmélet bemutatását.
,
Az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben az M anyagpont sugárvektora:

ahol egységvektorok (ortok) vannak az x, y, z tengelyek irányában.
;
.
.
Pont sebessége:
.

Egységvektor egy pont pályáját érintő irányban:
;
;
;
; ;

Gyorsulási pont:
;
;
.

Érintő (tangenciális) gyorsulás:
;
;
.

Normál gyorsulás:
.

A pont pályájának görbületi középpontjába irányított egységvektor (a főnormál mentén):

Sugárvektor és pontpálya Tekintsük az M anyagi pont mozgását. Válasszunk egy fix téglalap alakú Oxyz koordinátarendszert, amelynek középpontja valamilyen fix O pontban van.

Ekkor az M pont helyzetét a koordinátái egyértelműen meghatározzák
,
(x, y, z)

.
(1)
Ezek a koordináták az anyagi pont sugárvektorának összetevői.

Az M pont sugárvektora egy rögzített O koordinátarendszer origójából egy M pontba húzott vektor.

Ha a pont egy síkban mozog, akkor a tengelyek és a koordinátarendszerek kiválaszthatók úgy, hogy ebben a síkban legyenek. Ekkor a pályát két egyenlet határozza meg

Egyes esetekben az idő kiküszöbölhető ezekből az egyenletekből. Ekkor a pályaegyenletnek meglesz:
,
a forma függése

hol van valami funkció. Ez a függőség csak a és a változókat tartalmazza. Nem tartalmazza a paramétert.

Egy anyagi pont sebessége a sugárvektorának időbeli deriváltja.

A sebesség és a derivált definíciója szerint:
,
A mechanikában az időre vonatkozó deriváltokat a szimbólum felett egy pont jelöli. Helyettesítsük itt a sugárvektor kifejezését:

,
ahol egyértelműen jeleztük a koordináták időfüggőségét. Kapunk:
,
,

Ahol
.

- a sebesség vetületei a koordináta tengelyekre. Ezeket úgy kapjuk meg, hogy a sugárvektor összetevőit az idő függvényében differenciáljuk
.
Így
.

Sebesség modul:

Érintő az ösvényhez Matematikai szempontból az (1) egyenletrendszer egy paraméteres egyenletekkel meghatározott egyenes (görbe) egyenletének tekinthető. Ebben a tekintetben az idő paraméter szerepet játszik. A tanfolyamról matematikai elemzés
.
ismert, hogy a görbe érintőjének irányvektora a következő összetevőket tartalmazza: De ezek a pont sebességvektorának összetevői. Azaz.

az anyagi pont sebessége érintőlegesen irányul a pályára
Mindez közvetlenül kimutatható. Legyen a pont pillanatnyilag a sugárvektorral egy helyen (lásd az ábrát). És az idő pillanatában - a sugárvektorral pozícióban.
;
;
.
A pontokon keresztül húzzunk egy egyenest.

A definíció szerint az érintő egy olyan egyenes, amelyhez az egyenes úgy tart, mint .
.
Vezessük be a következő jelölést:
Ezután a vektort az egyenes mentén irányítjuk.

Hajtáskor az egyenes az érintőhöz, a vektor pedig a pont időpillanatbeli sebességéhez: Mivel a vektor az egyenes mentén, az egyenes pedig pontban van, a sebességvektor az érintő mentén irányul.:
.
Vagyis egy anyagi pont sebességvektora a pálya érintője mentén irányul.
Bemutatjuk
.

egységnyi hosszúságú érintő irányvektor
.

Mutassuk meg, hogy ennek a vektornak a hossza egyenlő eggyel. Valóban, azóta

Ekkor a pont sebességvektora a következőképpen ábrázolható:
;
;
;
.
Anyagi pont gyorsulása
.

Egy anyagi pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja.

Most vizsgáljuk meg a gyorsulásvektor irányának kérdését a pályához képest. Ehhez a következő képletet alkalmazzuk:
.
Időbeli különbséget teszünk a termékdifferenciálási szabály segítségével:
.

A vektor tangenciálisan irányul a pályára. Milyen irányba irányul az idő deriváltja?

A kérdés megválaszolásához azt a tényt használjuk, hogy a vektor hossza állandó és egyenlő az egységgel. Ekkor a hosszának négyzete is egyenlő eggyel:
.
Itt és lent két vektor zárójelben jelöli a vektorok skaláris szorzatát. Megkülönböztetjük az utolsó egyenletet az idő függvényében:
;
;
.
Mivel a és vektorok skaláris szorzata egyenlő nullával, ezek a vektorok merőlegesek egymásra. Mivel a vektor a pálya érintőjére irányul, a vektor merőleges az érintőre.

Az első komponenst érintőleges vagy tangenciális gyorsulásnak nevezzük:
.
A második komponenst normál gyorsulásnak nevezzük:
.
Ekkor a teljes gyorsulás:
(2) .
Ez a képlet a gyorsulás két, egymásra merőleges komponensre való felbomlását jelenti - a pálya érintőjére és az érintőre merőlegesre.

Azóta
(3) .

Érintő (tangenciális) gyorsulás

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (2) skalár ehhez:
.
Mert akkor.
;
.
Majd
.
Ide tesszük:

Ebből láthatjuk, hogy a tangenciális gyorsulás egyenlő a teljes gyorsulás vetületével a pálya érintőjének irányába, vagy ami megegyezik, a pont sebességének irányába.

Egy anyagi pont érintőleges (tangenciális) gyorsulása a teljes gyorsulásának vetülete a pálya érintőjének irányára (vagy a sebesség irányára).

A szimbólumot a pálya érintője mentén irányított tangenciális gyorsulási vektor jelölésére használjuk. Ekkor egy skaláris mennyiség, amely egyenlő a teljes gyorsulásnak az érintő irányára vetítésével. Lehet pozitív és negatív is.
.

Helyettesítve a következőket kínáljuk:
.
Tegyük bele a képletbe:
.
Majd: Vagyis a tangenciális gyorsulás egyenlő a pont abszolút sebességének időbeli deriváltjával. Így,érintőleges gyorsulás a pont sebességének abszolút értékének változásához vezet

. A sebesség növekedésével a tangenciális gyorsulás pozitív (vagy a sebesség mentén irányul). A sebesség csökkenésével a tangenciális gyorsulás negatív (vagy a sebességgel ellentétes irányban).

Tekintsünk egy egységvektort a pálya érintőjére.
.

Helyezzük az origóját a koordinátarendszer origójába. Ekkor a vektor vége egységnyi sugarú gömbön lesz. Amikor egy anyagi pont mozog, a vektor vége ezen a gömbön fog mozogni. Vagyis az origója körül fog forogni. Legyen a vektor pillanatnyi forgási szögsebessége az időpillanatban. Ekkor deriváltja a vektor végének mozgási sebessége. A vektorra merőlegesen irányul. Alkalmazzuk a forgó mozgás képletét. Vektor modul:
.
Most nézzük meg a pont helyzetét két közeli pillanatban. Legyen a pont az időpillanatban a helyén, és az időpillanatban is.

Legyen és ezekben a pontokban a pályára érintőlegesen irányított egységvektorok. A pontokon keresztül a és vektorokra merőleges síkokat rajzolunk.
.
Legyen egy egyenes, amelyet ezeknek a síkoknak a metszéspontja alkot. Egy pontból merőlegest engedünk le egyenesre.

Ha a pontok pozíciói elég közel vannak egymáshoz, akkor a pont mozgása a tengely körüli sugarú kör mentén történő forgásnak tekinthető, amely az anyagi pont pillanatnyi forgástengelye lesz. Mivel a és vektorok merőlegesek a és síkra, akkor az ezen síkok közötti szög

Ha a pontok pozíciói elég közel vannak egymáshoz, akkor a pont mozgása a tengely körüli sugarú kör mentén történő forgásnak tekinthető, amely az anyagi pont pillanatnyi forgástengelye lesz. Mivel a és vektorok merőlegesek a és síkra, akkor az ezen síkok közötti szög

szöggel egyenlő
vektorok és .
;
.
Ekkor a pont tengely körüli pillanatnyi forgási sebessége megegyezik a vektor pillanatnyi forgási sebességével:
.

Itt látható a pontok és a távolság közötti távolság. (2) Így megtaláltuk a vektor időderiváltjának modulusát:
(4) .
Ahogy korábban jeleztük, a vektor merőleges a vektorra. (3) A fenti okfejtésből világosan látszik, hogy a pálya pillanatnyi görbületi középpontja felé irányul. Ezt az irányt főnormálnak nevezzük.
.

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (2) skalár ehhez:
(2) .
.
Mert akkor.
;
.
Normál gyorsulás

a vektor mentén irányítják.

Mint megtudtuk, ez a vektor az érintőre merőlegesen, a pálya pillanatnyi görbületi középpontja felé irányul.
.
Azaz a normál gyorsulás egy pont sebességének irányváltozását okozza, és ez összefügg a pálya görbületi sugarával.

Innen megtalálja a pálya görbületi sugarát:
.

És végezetül megjegyezzük, hogy a képlet (4) a következőképpen írható át:
.
Itt három vektor keresztszorzatának képletét alkalmaztuk:
,
amelyet bekereteztek
.

Így kaptunk:
;
.
Tegyük egyenlőségjelet a bal és a jobb oldali rész moduljai között:
.
De a vektorok egymásra merőlegesek is. azért
.
Majd
.
Ez a differenciálgeometriából jól ismert képlet a görbék görbületére.

Vezessünk be egy τ egységvektort, amely az A mozgó ponthoz kapcsolódik, és a pályára érintőlegesen irányul a növekvő ívkoordináta irányába (1.6. ábra). Nyilvánvaló, hogy τ változóvektor: l-től függ. Az A pont v sebességvektora tangenciálisan irányul a pályára, így a következőképpen ábrázolható

ahol v τ =dl/dt a v vektor vetülete a τ vektor irányába, v τ pedig egy algebrai mennyiség. Ezenkívül |v τ |=|v|=v.

Pontgyorsulás

Differenciáljuk (1.22) az idő függvényében

(1.23)

Alakítsuk át ennek a kifejezésnek az utolsó tagját

(1.24)

Határozzuk meg a τ vektor növekményét dl-lel (1.7. ábra).

ábrából látható. 1,7, szög , honnan , és at .

A görbületi középpont felé irányított 1-es pontban a normál n egységvektorát bevezetve az utolsó egyenlőséget vektor formában írjuk fel.

Helyettesítsük be az (1.23)-at (1.24)-be, a kapott kifejezést pedig (1.22-be). Ennek eredményeként meg fogjuk találni

(1.26)

Itt az első kifejezést hívják érintő a τ , másodperc - normál a n.

Így egy pont a teljes gyorsulása a tangenciális és normál gyorsulások geometriai összegeként ábrázolható.

Teljes pontos gyorsulás modul

(1.27)

A sebességvektorral α szöget bezáró pálya konkávsága felé irányul, és.

Ha az α szög hegyes, akkor tanα>0, tehát dv/dt>0, mivel v 2 /R>0 mindig.

IN ebben az esetben a sebesség nagysága idővel növekszik – mozgást nevezünk felgyorsult(1.8. ábra).

Abban az esetben, ha a sebesség idővel nagysága csökken, a mozgást ún lassú(1.9. ábra).

Ha a szög α=90°, tanα=∞, azaz dv/dt=0. Ebben az esetben a sebesség nagysága nem változik az idő múlásával, és a teljes gyorsulás egyenlő lesz a centripetálissal.

(1.28)

Konkrétan, az egyenletes forgómozgás teljes gyorsulása (R=const, v=const) egy centripetális gyorsulás, amely egyenlő a n =v 2 /R értékkel, és folyamatosan a középpont felé irányul.

Ezzel szemben lineáris mozgásban a test teljes gyorsulása megegyezik a tangenciális gyorsulással. Ebben az esetben a n =0, mivel egy egyenes vonalú pálya végtelenül nagy sugarú körnek tekinthető, és R→∞; v2/R=0; a n=0; a=a τ .

Anyagi pont mozgásának pályája a sugárvektoron keresztül

Némileg elfelejtve a matematikának ezt a részét, emlékezetem szerint egy anyagi pont mozgásegyenletei mindig is a mindannyiunk számára ismert függőséggel voltak ábrázolva. y(x), és a feladat szövegét elnézve kicsit megdöbbentem, amikor megláttam a vektorokat. Kiderült, hogy létezik egy anyagi pont röppályájának ábrázolása sugárvektor— egy vektor, amely megadja egy pont helyzetét a térben valamely előre rögzített ponthoz képest, amelyet origónak nevezünk.

Az anyagi pont pályájának képletét a sugárvektor mellett ugyanígy írjuk le orts— egységvektorok i, j, k esetünkben a koordinátarendszer tengelyeivel egybeesve. És végül vegyünk egy példát egy anyagi pont pályájának egyenletére (kétdimenziós térben):

Mi az érdekes ebben a példában? Egy pont mozgásának pályáját szinuszok és koszinuszok adják meg. Mit gondol, hogyan fog kinézni a grafikon az ismerős y(x) ábrázolásban? „Valószínűleg valami hátborzongató” – gondoltad, de nem minden olyan bonyolult, mint amilyennek látszik! Próbáljuk meg megszerkeszteni az y(x) anyagi pont pályáját, ha a fent bemutatott törvény szerint mozog:

Itt vettem észre a koszinusz négyzetét, ha bármelyik példában a szinusz vagy koszinusz négyzetét látja, ez azt jelenti, hogy alkalmaznia kell az alapvető trigonometrikus azonosságot, amit én is megtettem (második képlet) és átalakítottam a koordináta képletet y, hogy a szinusz helyett a változási képletet cserélje be x:

Ennek eredményeként egy pont szörnyű mozgástörvénye közönségesnek bizonyult parabola, melynek ágai lefelé irányulnak. Remélem, érti a hozzávetőleges algoritmust az y(x) függés megalkotására a mozgás sugárvektoron keresztüli ábrázolásából. Most pedig térjünk át fő kérdésünkre: hogyan lehet megtalálni egy anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektorát, valamint azok moduljait.

Anyagi pont sebességvektora

Mindenki tudja, hogy egy anyagi pont sebessége a pont által egységnyi idő alatt megtett távolság nagysága, vagyis a mozgástörvény képletének deriváltja. A sebességvektor megtalálásához fel kell venni a deriváltot az idő függvényében. Vessünk egy pillantást konkrét példa a sebességvektor megtalálása.

Példa a sebességvektor megtalálására

Van egy anyagi pont mozgásának törvénye:

Most meg kell vennie ennek a polinomnak a deriváltját, ha elfelejtette, hogyan kell ezt csinálni, itt van. Ennek eredményeként a sebességvektor a következő formában lesz:

Minden egyszerűbbnek bizonyult, mint gondoltad, most keressük meg egy anyagi pont gyorsulási vektorát a fent bemutatott törvény alapján.

Hogyan találjuk meg egy anyagi pont gyorsulási vektorát

Pontgyorsulási vektor ez egy vektormennyiség, amely egy pont sebességének nagyságának és irányának időbeli változását jellemzi. A példánkban szereplő anyagi pont gyorsulási vektorának megtalálásához a deriváltot kell venni, de a fent bemutatott sebességvektor képletből:

A pontsebességvektor modulusa

Most keressük meg az anyagi pont sebességvektorának nagyságát. Amint azt 9. osztálytól tudja, egy vektor modulusa a hossza, derékszögű derékszögű koordinátákkal egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével. És honnan szerezhetjük meg a koordinátáit a fent kapott sebességvektorból, kérdezed? Nagyon egyszerű:

Most már csak be kell cserélnie a feladatban megadott időt, és egy adott számértéket kell kapnia.

Gyorsulási vektor modul

Ahogy a fent leírtakból (és 9. osztályból) megértetted, a gyorsulásvektor moduljának megtalálása ugyanúgy történik, mint a sebességvektor modulé: a vektorkoordináták négyzetösszegének négyzetgyökét vesszük , egyszerű! Nos, itt van egy példa természetesen:

Amint látható, egy anyagi pont gyorsulása a fent megadott törvény szerint nem függ az időtől, és állandó nagysága és iránya.

További példák a sebesség- és gyorsulásvektor megtalálásának problémájára

És itt találhat példákat a fizika egyéb problémáinak megoldására. És azoknak, akik nem egészen értik, hogyan kell megtalálni a sebesség- és gyorsulásvektort, itt van még néhány példa a hálózatból, minden felesleges magyarázat nélkül, remélem, segítenek.

Ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a megjegyzésekben.