A tulajdonság vektor tér fogalma. Lineáris vektortér: definíció, tulajdonságok. Vektor lineáris tér

Legyen P mező. Elemek a, b, ... О R hívjuk skalárok.

1. definíció. Osztály V tetszőleges természetű objektumok (elemek) , , , ... nevezzük vektortér a P mező felett, és az V. osztály elemeit hívjuk vektorok, ha V zárva van a „+” művelet és a P-ből származó skalárokkal való szorzás művelete alatt (azaz bármely , ОV +О esetén V;"aО Р aОV), és a következő feltételek teljesülnek:

A 1: algebra - Abeli ​​csoport;

A 2: bármely a, bОР, bármely ОV esetén a(b)=(ab) egy általánosított asszociációs törvény;

A 3: bármely a, bОР, bármely ОV esetén (a+b)= a+ b;

A 4: bármely a-ra P-ből, tetszőleges -re, V-ből, a(+)=a+a (általánosított eloszlási törvények);

A 5: V bármelyikére teljesül az 1 =, ahol 1 a P mező egysége - az egységesség tulajdonsága.

A P mező elemeit skalároknak, a V halmaz elemeit V vektoroknak nevezzük.

Megjegyzés. Egy vektor skalárral való szorzása nem bináris művelet a V halmazon, mivel ez egy P´V®V leképezés.

Nézzünk példákat vektorterekre.

1. példa Null (nulla dimenziós) vektortér - a V 0 =() - egy nullvektorból álló tér.

És bármely aОР a= esetén. Vizsgáljuk meg a vektortér-axiómák teljesíthetőségét.

Megjegyzendő, hogy a nulla vektortér alapvetően a P mezőtől függ. Így a mező felett nulldimenziós terek racionális számokés a valós számok mezője felett különbözőnek tekintendők, bár egyetlen nullvektorból állnak.

2. példa A P mező maga egy vektortér a P mező felett. Legyen V=P. Vizsgáljuk meg a vektortér axiómáinak teljesíthetőségét. Mivel P egy mező, akkor P egy additív Abel-csoport, és A 1 teljesül. A P-ben való szorzás kielégíthetősége miatt A2 teljesül. Az A 3 és A 4 axiómák teljesülnek a szorzás összeadásra vonatkoztatott eloszlásának P-ben való megvalósíthatósága miatt. Mivel a P mezőben 1 egységelem található, az A 5 egységtulajdonság teljesül. Így a P mező vektortér a P mező felett.

3. példa Aritmetikai n-dimenziós vektortér.

Legyen P mező. Tekintsük a V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n halmazt. Vezessük be a V halmazra a vektorok összeadásának és a vektor skalárral való szorzásának műveleteit a következő szabályok szerint:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , a n) + milliárd) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

A V halmaz elemei meg lesznek hívva n-dimenziós vektorok. Két n-dimenziós vektort egyenlőnek mondunk, ha a hozzájuk tartozó komponenseik (koordinátáik) egyenlőek. Mutassuk meg, hogy V egy vektortér a P mező felett. A vektorok összeadása és a vektor skalárral való szorzása műveleteinek definíciójából következik, hogy V zárt ezen műveletek alatt. Mivel V elemeinek összeadása a P mező elemeinek hozzáadására redukálódik, és P egy additív Abel-csoport, akkor V egy additív Abel-csoport. Továbbá =, ahol 0 a P mező nullája, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Így A 1 teljesül. Mivel egy V-ből származó elem szorzata egy P-ből származó elemmel redukálódik a P mező elemeinek szorzására, akkor:

A 2 teljesül a P-vel való szorzás asszociativitása miatt;

A 3 és A 4 teljesül a P-vel való összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlása ​​miatt;

Az 5 teljesül, mivel 1 Î P semleges elem a P-vel való szorzás szempontjából.

2. definíció. Az (1) és (2) képlettel definiált műveletekkel rendelkező V= P n halmazt a P mező feletti aritmetikai n-dimenziós vektortérnek nevezzük.

Az n-dimenziós vektorokról szóló cikkben eljutottunk az n-dimenziós vektorok halmaza által generált lineáris tér fogalmához. Most ugyanolyan fontos fogalmakat kell figyelembe vennünk, mint például a vektortér mérete és alapja. Közvetlenül kapcsolódnak a lineárisan független vektorrendszer fogalmához, ezért ajánlott ezen kívül emlékezni a téma alapjaira.

Mutassunk be néhány definíciót.

1. definíció

A vektortér mérete– a lineárisan nem maximális számának megfelelő szám függő vektorok ezen a téren.

2. definíció

Vektor tér alapja– lineárisan független vektorok halmaza, rendezett és számban egyenlő a tér dimenziójával.

Tekintsünk egy bizonyos n -vektorok terét. Mérete ennek megfelelően egyenlő n-nel. Vegyünk egy n egységnyi vektorrendszert:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Ezeket a vektorokat az A mátrix komponenseiként használjuk: egységmátrix lesz n x n dimenzióval. Ennek a mátrixnak a rangja n. Ezért az e (1) , e (2) , vektorrendszer. . . , e(n) lineárisan független. Ebben az esetben lehetetlen egyetlen vektort hozzáadni a rendszerhez anélkül, hogy megsértené annak lineáris függetlenségét.

Mivel a rendszerben a vektorok száma n, ezért az n-dimenziós vektorok terének dimenziója n, az egységvektorok pedig e (1), e (2), . . . , e (n) a megadott tér alapja.

Az így kapott definícióból azt a következtetést vonhatjuk le, hogy minden olyan n-dimenziós vektorrendszer, amelyben a vektorok száma kisebb, mint n, nem térbázis.

Ha felcseréljük az első és a második vektort, akkor e (2) , e (1) , vektorrendszert kapunk. . . , e (n) . Ez lesz az alapja egy n-dimenziós vektortérnek is. Hozzunk létre egy mátrixot úgy, hogy az eredményül kapott rendszer vektorait vegyük sorainak. A mátrixot az első két sor felcserélésével kaphatjuk meg az azonosságmátrixból, a rangja n lesz. Rendszer e (2) , e (1) , . . . , e(n) lineárisan független és egy n-dimenziós vektortér alapja.

Más vektorok átrendezésével az eredeti rendszerben egy másik alapot kapunk.

Felvehetünk egy nem egységvektorok lineárisan független rendszerét, és ez egy n-dimenziós vektortér alapját is képviseli.

3. definíció

Egy n dimenziójú vektortérnek annyi bázisa van, ahány n számú n-dimenziós vektor lineárisan független rendszere van.

A sík egy kétdimenziós tér – alapja bármely két nem kollineáris vektor lehet. A háromdimenziós tér alapja bármely három nem egysíkú vektor lehet.

Tekintsük ennek az elméletnek az alkalmazását konkrét példákon keresztül.

1. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorok egy háromdimenziós vektortér alapját képezik-e.

Megoldás

A probléma megoldásához a lineáris függőség adott vektorrendszerét tanulmányozzuk. Készítsünk egy mátrixot, ahol a sorok a vektorok koordinátái. Határozzuk meg a mátrix rangját.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Ebből következően a feladat feltétele által meghatározott vektorok lineárisan függetlenek, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a vektortér alapját.

Válasz: a jelzett vektorok a vektortér alapjai.

2. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0, 1, 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorrendszer lehet-e a háromdimenziós tér alapja.

Megoldás

A problémafelvetésben megadott vektorrendszer lineárisan függő, mert a lineárisan független vektorok maximális száma 3. Így a jelzett vektorrendszer nem szolgálhat háromdimenziós vektortér alapjául. De érdemes megjegyezni, hogy az eredeti rendszer alrendszere a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) bázis.

Válasz: a jelzett vektorrendszer nem alap.

3. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Lehetnek a négydimenziós tér alapjai?

Megoldás

Készítsünk mátrixot a megadott vektorok koordinátáinak sorok felhasználásával

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

A Gauss-módszerrel meghatározzuk a mátrix rangját:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Ebből következően az adott vektorok rendszere lineárisan független és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - egy négydimenziós vektortér alapját képezik.

Válasz: a megadott vektorok a négydimenziós tér alapjai.

4. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Ezek képezik a 4-es dimenziójú tér alapját?

Megoldás

Az eredeti vektorrendszer lineárisan független, de a benne lévő vektorok száma nem elegendő ahhoz, hogy egy négydimenziós tér alapjává váljon.

Válasz: nem, nem teszik.

Egy vektor bázisra bontása

Tegyük fel, hogy tetszőleges e (1) , e (2) , vektorok. . . , e (n) egy n-dimenziós vektortér alapja. Adjunk hozzájuk egy bizonyos n-dimenziós x → vektort: ​​a kapott vektorrendszer lineárisan függővé válik. A lineáris függés tulajdonságai kimondják, hogy egy ilyen rendszer vektorai közül legalább egy lineárisan kifejezhető a többien keresztül. Ezt az állítást újrafogalmazva azt mondhatjuk, hogy egy lineárisan függő rendszer vektorai közül legalább egy kiterjeszthető a többi vektorra.

Így elérkeztünk a legfontosabb tétel megfogalmazásához:

4. definíció

Egy n-dimenziós vektortér bármely vektora egyedileg felbontható bázisra.

Bizonyíték 1

Bizonyítsuk be ezt a tételt:

definiáljuk az n-dimenziós vektortér alapját - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Tegyük lineárisan függővé a rendszert úgy, hogy hozzáadunk egy n-dimenziós x → vektort. Ez a vektor lineárisan kifejezhető az eredeti e vektorokkal:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , ahol x 1 , x 2 , . . . , x n - néhány szám.

Most bebizonyítjuk, hogy egy ilyen dekompozíció egyedülálló. Tételezzük fel, hogy ez nem így van, és van egy másik hasonló dekompozíció:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ahol x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - néhány szám.

Ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldalából vonjuk le az x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + egyenlőség bal és jobb oldalát. . . + x n · e (n) . Kapunk:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

e (1) , e (2) , bázisvektorok rendszere. . . e(n) lineárisan független; egy vektorrendszer lineáris függetlenségének definíciója szerint a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden együttható (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) egyenlő lesz nullával. Amiből igazságos lesz: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . És ez az egyetlen lehetőség a vektor bázisra bontására.

Ebben az esetben az együtthatók x 1, x 2, . . . , x n az x → vektor koordinátáinak nevezzük az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (n) .

A bizonyított elmélet egyértelművé teszi az „adott egy n-dimenziós x = (x 1, x 2 , . . . , x n)” kifejezést: egy x → n-dimenziós vektorteret veszünk figyelembe, és ennek koordinátáit egy bizonyos alapon. Az is világos, hogy ugyanannak a vektornak az n-dimenziós tér egy másik bázisában különböző koordinátái lesznek.

Tekintsük a következő példát: tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér valamely bázisában adott egy n lineárisan független vektorból álló rendszer

és az x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) vektor is adott.

Vektorok e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ebben az esetben is ennek a vektortérnek az alapja.

Tegyük fel, hogy meg kell határozni az x → vektor koordinátáit az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) , jelölése x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Az x → vektort a következőképpen ábrázoljuk:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Írjuk fel ezt a kifejezést koordináta alakban:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1, e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , .

A kapott egyenlőség ekvivalens egy n lineáris rendszerrel algebrai kifejezések n ismeretlen lineáris változóval x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ennek a rendszernek a mátrixa a következő formában lesz:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Legyen ez egy A mátrix, és oszlopai egy lineárisan független e 1 (1), e 2 (2), vektorrendszer vektorai. . . , e n (n) . A mátrix rangja n, determinánsa pedig nem nulla. Ez azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amelyet bármilyen kényelmes módszerrel határozhatunk meg: például a Cramer-módszerrel vagy a mátrixmódszerrel. Így meghatározhatjuk az x ~ 1, x ~ 2, koordinátákat. . . , x ~ n vektor x → az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) .

Alkalmazzuk a vizsgált elméletet egy konkrét példára.

6. példa

Kiinduló adatok: vektorok a háromdimenziós tér alapján vannak megadva

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

Meg kell erősíteni azt a tényt, hogy az e (1), e (2), e (3) vektorok rendszere egy adott tér alapjául is szolgál, valamint meg kell határozni az x vektor koordinátáit egy adott bázisban.

Megoldás

Az e (1), e (2), e (3) vektorrendszer akkor lesz a háromdimenziós tér alapja, ha lineárisan független. Keressük meg ezt a lehetőséget az A mátrix rangjának meghatározásával, amelynek sorai az adott e (1), e (2), e (3) vektorok.

A Gauss-módszert használjuk:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. Így az e (1), e (2), e (3) vektorok rendszere lineárisan független és bázis.

Legyen az x → vektornak x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinátája a bázisban. A koordináták közötti kapcsolatot a következő egyenlet határozza meg:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Alkalmazzuk az értékeket a probléma feltételeinek megfelelően:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Oldjuk meg az egyenletrendszert Cramer módszerével:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Így az x → vektornak az e (1), e (2), e (3) bázisban x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 koordinátái vannak.

Válasz: x = (1, 1, 1)

Az alapok közötti kapcsolat

Tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér valamely bázisában két lineárisan független vektorrendszer adott:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2), ... (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . ., e n (1) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Ezek a rendszerek egyben egy adott tér bázisai is.

Legyen c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - a c (1) vektor koordinátái az e (1) bázisban, e (2) , . . . , e (3) , akkor a koordinátakapcsolatot egy lineáris egyenletrendszer adja meg:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) +. . . + c ~ n (1) e n (n)

A rendszer mátrix formában a következőképpen ábrázolható:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Tegyük meg ugyanezt a bejegyzést a c (2) vektorra analógia útján:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . ., c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2) (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Összevonjuk a mátrixegyenlőségeket egyetlen kifejezésben:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ez határozza meg a kapcsolatot két különböző bázis vektorai között.

Ugyanezen elv alapján az összes e(1), e(2), bázisvektor kifejezhető. . . , e (3) a c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Adjuk meg a következő definíciókat:

5. definíció

Mátrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) az e (1) , e (2) , bázisból származó átmeneti mátrix. . . , e (3)

c (1) , c (2) , alapra. . . , c(n) .

6. definíció

Mátrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) az átmeneti mátrix a c (1) , c (2) , bázisból. . . , c(n)

e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Ezekből az egyenlőségekből nyilvánvaló, hogy

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

azok. az átmeneti mátrixok reciprok.

Nézzük meg az elméletet egy konkrét példa segítségével.

7. példa

Kiinduló adatok: meg kell találni a bázisból az átmeneti mátrixot

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Egy tetszőleges x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot is meg kell adni az adott bázisokban.

Megoldás

1. Legyen T az átmeneti mátrix, akkor igaz lesz az egyenlőség:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kapjuk:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Határozza meg az átmeneti mátrixot:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Határozzuk meg az x → vektor koordinátái közötti összefüggést:

Tegyük fel, hogy a c (1) , c (2) , . . . , c (n) x → vektor koordinátái x 1 , x 2 , x 3 , akkor:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

és az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (3) koordinátái x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, akkor:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Mert Ha ezeknek az egyenlőségeknek a bal oldala egyenlő, akkor a jobb oldalakat is egyenlíthetjük:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Szorozzuk meg mindkét oldalt a jobb oldalon

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kapjuk:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

A másik oldalon

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az utolsó egyenlőségek az x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot mutatják mindkét bázisban.

Válasz:átmeneti mátrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az x → vektor koordinátáit az adott bázisokban a következő összefüggés kapcsolja össze:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Vektor(vagy lineáris) tér- matematikai struktúra, amely vektoroknak nevezett elemek halmaza, amelyekre az egymással való összeadás és a számmal való szorzás műveletei vannak definiálva - skalár.

1) X+y=y+x ( összeadás kommutativitása)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( összeadás asszociativitás)

3) van egy 0єV elem, amelyre x+0=x

4) bármely x єV esetén van olyan - x єV elem, hogy x+(-x)=0? vektornak nevezzük, szemben vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( skalárral való szorzás asszociativitása)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Szabad vektorok az R 3 térben

2) Nxm méretű mátrixok

3) Az összes olyan polinom halmaza, amelyek foka nem haladja meg az n-t

4) Példák a lineáris térre:

5) - valós számok tere.

6) - geometriai vektorok halmaza a síkon.

7) - rögzített méretű mátrixok tere.

8) - homogén lineáris rendszerek megoldásainak tere stb.

Alapvető definíciók

N-dimenziós vektor n számból álló sorozatnak nevezzük. Ezeket a számokat hívják koordináták vektor. Az n vektorkoordináták számát nevezzük dimenzió vektor.

Csak azonos méretű vektorokat adhat hozzá

A vektorok egyenlőek, ha azonos méretűek és a megfelelő koordinátáik egyenlőek.

Bármely n-dimenziós A vektor lehet szorozzuk meg tetszőleges számmalλ, és minden koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Két azonos méretű vektor hozzáadható, és a megfelelő koordináták hozzáadhatók:

Hogy hívják lineáris kombináció vektorok?

A1,a2,…,an vektorok lineáris kombinációja a forma kifejezésének nevezzük:

Ahol a1,a2,…,an- tetszőleges számok

Mely vektorokat nevezzük lineárisan függőnek (függetlennek)?

Nem nulla vektorok a1,a2,…,an hívják lineárisan függő, ha ezen vektorok nem triviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral:

Nem nulla vektorok a1,a2,…,an hívják lineárisan független, kivéve, ha ezen vektorok triviális lineáris kombinációja egyenlő a nullvektorral.

Példák lineárisan független vektorokra

Hogyan oldható meg a vektorok lineáris függésének kérdése?

1. tétel. Ahhoz, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy legalább az egyiket a többiek lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

2. tétel. Az n-dimenziós térben minden n-nél több vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

3. tétel.Ha a vektorkoordinátákból álló determináns nem nulla, akkor a vektorrendszer lineárisan független. Ha ezek a tételek nem adnak választ a vektorok lineáris függésének vagy függetlenségének kérdésére, akkor meg kell oldani az egyenletrendszert, vagy meg kell határozni a vektorrendszer rangját.

Mi a kapcsolat két lineárisan függő vektor koordinátái között?

Mondjon példát két lineárisan függő vektorra!

: Vektorok és kollineáris, ha létezik ilyen szám hogy az egyenlőség fennáll:
.

Lineáris térbázis definíciója

Az n dimenziójú térben n lineárisan független elem halmazát nevezzük ennek a térnek a bázisának.

Lineáris tér dimenziójának meghatározása.

Meghatározás 3.1. Lineáris tér R n-dimenziósnak nevezzük, ha tartalmaz n lineárisan független elemek, és bármely ( n+1) elemek már lineárisan függőek. Ebben az esetben a szám n a tér dimenziójának nevezzük R.

A tér dimenzióját a dim szimbólum jelöli.

Meghatározás 3.2. Lineáris tér R végtelen dimenziósnak nevezzük, ha tetszőleges számú lineárisan független elemet tartalmaz.

3.4. Tétel. Hadd lineáris tér Ráll az alapja n elemeket. Aztán a dimenzió R egyenlő n(homályos R=n).

Az n-dimenziós tér fogalma

Egy V lineáris teret n-dimenziós térnek nevezünk, ha n lineárisan független elemből álló rendszert tartalmaz, és bármely n+1 elem lineárisan függő.

A régi és új bázis vektorait összekötő képletek

A vektortér (lineáris) valós komponensekkel rendelkező vektorok (elemek) halmaza, amelyben meghatározott axiómákat (tulajdonságokat) kielégítő vektorok összeadásának és egy vektor számmal való szorzásának műveletei vannak meghatározva.

1)x+at=at+X(összeadás kommutálhatósága);

2)(X+at)+z=x+(y+z) (összeadás asszociativitása);

3) van egy nulla vektor 0 (vagy nullvektor), amely kielégíti a feltételt x+ 0 =x: bármely vektorhoz x;

4) bármely vektorra X van egy ellentétes vektor at olyan hogy X+at = 0 ,

5) 1 x=X,

6) a(bx)=(ab)X(a szorzás asszociativitása);

7) (a+b)X=ah+bx(a numerikus tényezőhöz viszonyított eloszlási tulajdonság);

8) a(X+at)=ah+igen(a vektorszorzóhoz viszonyított eloszlási tulajdonság).

A P mező feletti V(P) lineáris (vektor) tér egy V nem üres halmaz. A V halmaz elemeit vektoroknak, a P mező elemeit skalároknak nevezzük.

A legegyszerűbb tulajdonságok.

1. A vektortér egy Abel-csoport (olyan csoport, amelyben a csoportművelet kommutatív. Az Abeli-csoportok csoportműveletét általában „összeadásnak” nevezik, és + jellel jelöljük)

2. A semleges elem az egyetlen, amely a csoport tulajdonságaiból következik bármely .

3. Bármelyiknél az ellentétes elem az egyetlen, amely a csoport tulajdonságaiból következik.

4.(–1) x = – x bármely x є V esetén.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) bármely α є P és x є V esetén.

Kifejezés a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) vektorok lineáris kombinációjának nevezzük e 1 , e 2 ,..., e n esélyekkel egy 1, egy 2,..., a n . Az (1) lineáris kombinációt nemtriviálisnak nevezzük, ha legalább az egyik együttható a 1 , a 2 ,..., a n különbözik a nullától. Vektorok e 1 , e 2 ,..., e n lineárisan függőnek nevezzük, ha van egy nem triviális kombináció (1), amely nulla vektor. Ellenkező esetben (vagyis ha csak vektorok triviális kombinációja e 1 , e 2 ,..., e n egyenlő a nulla vektorral) vektorok e 1 , e 2 ,..., e n lineárisan függetlennek nevezzük.

A tér dimenziója a benne található LZ vektorok maximális száma.

Vektor tér n-dimenziósnak nevezzük (vagy „dimenziós n"), ha létezik n lineárisan független elemek e 1 , e 2 ,..., e n ,és bármilyen n+ 1 az elemek lineárisan függőek (általánosított B feltétel). Vektor tér végtelen dimenziósnak nevezzük, ha bármilyen természetes n létezik n lineárisan független vektorok. Bármilyen n lineárisan független n-dimenziós vektorok Vektor tér képezik ennek a térnek az alapját. Ha e 1 , e 2 ,..., e n- alapon Vektor tér, akkor bármely vektor X ez a tér egyedileg ábrázolható bázisvektorok lineáris kombinációjaként: x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
Ugyanakkor a számok a 1, a 2, ..., a n vektorkoordinátáknak nevezzük X ezen az alapon.

1. A lineáris tér fogalma

Meghatározás 1.1. R Sok elemeket x, y, z,

1. Bármilyen természetű, lineáris (vagy vektoros) térnek nevezzük, ha a következő három feltétel teljesül: x Van egy szabály, amely szerint bármely két elem yÉs R a harmadik elem illeszkedik z ebből a halmazból, amelyet elemek összegének neveznek x Van egy szabály, amely szerint bármely két elem yés kijelölték z=x+y.
2. Van egy szabály, amely szerint bármely elem xÉs Rés bárki valós szám α elem illeszkedik w ennek a halmaznak az elem szorzatának nevezzük x számonként α és kijelölték w=αx vagy w=xα.
3. A bemutatott két szabályra a következő nyolc axióma vonatkozik:
1. x+y=y+x(összeg kommutatív tulajdonsága);
2. (x+y)+z=x+(y+z)(összeg kombinált tulajdonsága);
3. van olyan 0 nulla elem, hogy x+0=x bármely elemhez x.
4. bármely elemhez x van egy ellentétes elem elem x" olyan hogy x+x"=0;
5. 1 · x=x bárkinek x;
6. λ(μx)=(λμ)x(egy numerikus tényezőre vonatkozó kombinációs tulajdonság);
7. (λ+μ )x= λx+μx(eloszlási tulajdonság a számszerű tényezők tekintetében);
8. λ(x+y)=λx+λy(eloszlási tulajdonság az elemek összegéhez viszonyítva).

A lineáris (vektor) tér elemeit vektoroknak nevezzük.

2. A lineáris tér alapja

Meghatározás 2.1. R A tér lineárisan független elemeinek halmaza x ennek a térnek a bázisának nevezzük, ha minden elemre tér R vannak valós számok

úgy, hogy az egyenlőség érvényesüljön x A (2.1) egyenlőséget az elem kiterjesztésének nevezzük x bázis szerint és a számokat az elem koordinátáinak nevezzük

(az alaphoz viszonyítva). x Bizonyítsuk be, hogy bármely elem R

lineáris tér x:

Legyen még egy bomlás

(2.3)

A (2.2)-ből kivonva (2.1) a következő eredményt kapjuk:

Mivel az alapelemek lineárisan függetlenek, a (2.3) összefüggésből az következik, hogy R Ezért a lineáris tér minden eleme

egyedi módon bővíthető az alapra. R Tétel 2.2. R A lineáris tér tetszőleges két elemének hozzáadásakor x koordinátáikat (bármilyen téralaphoz viszonyítva α ) összeadja, és bármely elem szorzásakor x tetszőleges számra α .

minden koordináta

szorozva

A bizonyítás az 1.1 definíció 1-8. axiómáiból következik. R.

3. Lineáris tér mérete R n-dimenziósnak nevezzük, ha tartalmaz n lineárisan független elemek, és bármely ( n Tekintsünk egy tetszőleges valós teret n Meghatározás 3.1. R.

A tér dimenzióját a dim szimbólum jelöli.

Lineáris tér R végtelen dimenziósnak nevezzük, ha tetszőleges számú lineárisan független elemet tartalmaz.

+1) elemek már lineárisan függőek. Ebben az esetben a szám R a tér dimenziójának nevezzük n(homályos R=n Meghatározás 3.2. n Lineáris tér

3.3. Tétel. R Hadd n egy lineáris dimenziótér n). Aztán bármelyik x ennek a térnek lineárisan független elemei alkotják az alapját. R Bizonyíték. Mert lineárisan függő, azaz. vannak számok (nem mindegyik egyenlő nullával) úgy, hogy az egyenlőség

(3.3)

A (3.3) egyenlőségből az következik, hogy bármely vektor a térből R elemekre bővíthető, így ezek képezik a tér alapját R. ■

3.4. Tétel. Ráll az alapja n elemeket. Aztán a dimenzió R Legyen a lineáris tér n(homályos R=n).

egyenlő n Bizonyíték. Hagyja a készletet R elemek a tér alapja n. Elég bizonyítani, hogy bármelyik +1 elemek

ebből a térből lineárisan függenek. Ezeket az elemeket az alap szerint kibővítve kapjuk: Ahol 11 a 12 , a ,...,a n+1,n

valós számok. Hagyja az elemeket

lineárisan független. Írjuk át a (3.4)-et mátrix alakban: Mivel lineárisan függetlenek, a mátrix A inverz mátrixa van A -1.

A (3.5) mátrixegyenlet megoldása után kapjuk: Amint a (3.9) egyenletből látható, vektorok lineáris kombinációjával ábrázolható . Ezért a vektorok

lineárisan függő. ■

4. Báziscsere és koordináták transzformációja R Engedd be az űrbe Az eredeti alapon kívül van egy másik alap is

. Ennek a bázisnak a vektorai az eredeti bázis vektorainak lineáris kombinációjával fejezhetők ki a következőképpen: Mátrix P hívott bázis változási mátrix .

-on

Az eredeti bázis vektorait viszont az új bázis vektorain keresztül fejezzük ki a következő összefüggéssel: A (4.6)-ból az következik, hogy QP=E , Hol E az identitásmátrix és a mátrixok K MátrixÉs

kölcsönösen inverz mátrixok.

Nézzük meg, hogyan változnak a vektorok koordinátái az alap megváltoztatásakor. x Legyen a vektor koordinátái és koordinátái vannak

(4.7)

. Ennek a bázisnak a vektorai az eredeti bázis vektorainak lineáris kombinációjával fejezhetők ki a következőképpen: , Akkor P P T koordináta transzformációs mátrix . Alapváltoztatási mátrixszal transzponáltuk. Inverz mátrix(P T) -1

kifejezéseket ad az új koordinátákhoz a régiek szempontjából. Valamely mátrix transzponálásával inverz mátrixot hívnak ellenszínátmenet

vele.

5. Lineáris terek izomorfizmusa R Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Meghatározás 5.1. Két tetszőleges valós lineáris tér R"∈R izomorfnak nevezzük, ha e terek elemei között egy-egy megfeleltetés állapítható meg úgy, hogy ha x, y∊Meghatározás 5.1. válasz x", y"∈R ennek megfelelően akkor az elem x+y∈Meghatározás 5.1. válaszol elem α x"+y" α x∈R ennek megfelelően akkor az elem α x"∈Meghatározás 5.1..

, és minden igazi R Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Meghatározás 5.1., elem

5.2. Tétel. R Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Meghatározás 5.1. Ha hely izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. R Bizonyíték. Legyen lineáris terek izomorfak, és legyen az elemek tér elemek válaszolnak tér R" rendre. Tegyünk fel elemeket Bizonyíték. Legyen lineáris terek y az R térben, és az összeg megfelel az összegnek . Ez utóbbi azonban az elemek lineáris függőségét jelenti . Ezért lineárisan független. Az elemek lineáris függéséből az elemek lineáris függését követi . Ezért a terekhez tartozó lineárisan független vektorok maximális száma R Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Meghatározás 5.1. egy és ugyanaz, i.e. ezek a terek azonos méretűek. ■

5.3. Tétel. n Bármelyik kettő R Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Meghatározás 5.1.-dimenziós valós lineáris terek

izomorfak. Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Bizonyíték. Válasszunk alapokat R Van egy szabály, amely szerint bármely két elem Meghatározás 5.1. terekhez Meghatározás 5.1. illetőleg. Ekkor az R tér minden eleme az alapelemek lineáris kombinációjával ábrázolható: . Ez az elem a térben x" izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. Meghatározás 5.1. párosítsuk az elemet azonos koordinátákkal:. Viszont az elem x izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. R elemnek felel meg x Van egy szabály, amely szerint bármely két elem y izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. R Bizonyíték. Legyen lineáris terek x" Van egy szabály, amely szerint bármely két elem . Vegye figyelembe, hogy ha az elemek izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. Meghatározás 5.1. y" x", y" izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. R ennek megfelelően akkor az elem x+y izomorfak, akkor azonos dimenziójúak. Meghatározás 5.1. ennek megfelelően akkor a 2.2. Tétel alapján az elem α x ennek megfelelően akkor az elem α x". ■