Téglalap alakú koordináták kettős integráljának transzformációja, poláris koordinátákra
, téglalap koordinátákhoz kapcsolódnak a kapcsolatok
,
, a képlet szerint hajtjuk végre

Ha az integráció tartománya
két sugárra korlátozódik
,
(
), a sarkból kilépve és két ívben
És
, akkor a kettős integrált a képlet segítségével számítjuk ki

.

1.3. példa. Számítsa ki az alábbi vonalak által határolt ábra területét:
,
,
,
.

Megoldás. Egy terület területének kiszámításához
Használjuk a képletet:
.

Ábrázoljuk a területet (1.5. ábra). Ehhez átalakítjuk a görbéket: , , , . Térjünk át a poláris koordinátákra: , . . A poláris koordináta-rendszerben a terület egyenletek írják le:

.

1.2. Hármas integrálok

Alaptulajdonságok hármas integrálok hasonló a kettős integrálok tulajdonságaihoz.

A derékszögű koordinátákban a hármas integrált általában a következőképpen írják fel:

.

Ha
, majd a hármas integrált a terület felett számszerűen megegyezik a test térfogatával :

.

Háromszoros integrálszámítás

Legyen az integráció tartománya alul és felül egyértékű folytonos felületekkel határolják
,
és a régió vetülete a koordinátasíkra
sík terület van
(1.6. ábra).

Aztán fix értékekre megfelelő alkalmazások a terület pontjai belül változnak. Akkor kapjuk: . Ha emellett a vetítés egyenlőtlenségek határozzák meg , , Ahol - egyértelmű folyamatos funkciók bekapcsolva , Azt

.

Példa 1.4. Számítsa ki
, Hol - síkok által határolt test:

	, , , ( , , ). Megoldás. Az integrációs terület egy piramis (1.7. ábra). Vetítési terület van egy háromszög , amelyet egyenes vonalak határolnak , , (1.8. ábra). at pont vonatkozik kielégíti az egyenlőtlenséget , Ezért .
	Háromszög integrálási határainak beállítása , megkapjuk

Hármas integrál hengeres koordinátákban

Ha derékszögű koordinátákról mozog
hengeres koordinátákra
(1.9. ábra) kapcsolódó
kapcsolatokat
,
,
, és

	, ,, a hármas integrál átalakul: 1.5. példa. Számítsa ki a felületekkel határolt test térfogatát: , , . Megoldás. Szükséges testtérfogat egyenlő .
	Az integrációs tartomány egy henger egy része, amelyet alul sík határol , és a sík felett (1.10. ábra). Vetítési terület van egy kör középponttal az origóban és az egység sugarával. Térjünk át a hengeres koordinátákra. , , . pont vonatkozik at , kielégíti az egyenlőtlenséget vagy be:

hengeres koordináták
Régió
, amelyet egy görbe határol
, alakja lesz, ill
, míg a polárszög

.

. Ennek eredményeként megvan

2. A térelmélet elemei

Először idézzük fel a görbe- és felületi integrálok számítási módszereit. Görbén definiált függvények koordinátái feletti görbe vonalú integrál számítása

, az alak határozott integráljának kiszámítására redukálódik ha a görbe
paraméteresen megadva a görbe kezdőpontjának felel meg
, A

- a végpontja.
Függvény felületi integráljának kiszámítása , kétoldali felületen meghatározott

,

, például az alak kettős integráljának kiszámításához vezet ha a felület
, az egyenlet adja meg
, egyedileg vetül a síkra
a régióba . Itt - az egységnyi normálvektor közötti szög a felszínre
:

.

és tengely A felületnek a problémás körülmények által igényelt oldala

a (2.3) képletben a megfelelő előjel kiválasztása határozza meg.
Meghatározás 2.1. Vektor mező
pont vektorfüggvényének nevezzük

terjedelmével együtt:
Vektor mező skaláris mennyiséggel jellemezve –

eltérés: Meghatározás 2.2. Folyik
vektor mező a felületen keresztül

,

felületi integrálnak nevezzük: Ahol a görbe kezdőpontjának felel meg
- egységnyi normálvektor a felület kiválasztott oldalához És .

- vektorok skaláris szorzata Meghatározás 2.2. Folyik

Meghatározás 2.3. Keringés Által zárt görbe

,

felületi integrálnak nevezzük:
.

görbe vonalú integrálnak nevezzük Ostrogradsky-Gauss képlet kapcsolatot hoz létre a vektormező áramlása között zárt felületen keresztül

felületi integrálnak nevezzük: és meződivergencia: - zárt körvonallal határolt felület , A .

ennek a felületnek az egységnyi normálvektora. A normál irányának összhangban kell lennie a kontúr bejárásának irányával 2.1. példa.

,

felületi integrálnak nevezzük: Számítsa ki a felületi integrált
(
- a kúp külső része
), elvágta egy repülő

Megoldás.(2.1. ábra). Felület
egyedülállóan a régióra vetítve
repülőgép

, és az integrált a (2.2) képlet segítségével számítjuk ki. Egységfelszíni normálvektor . a (2.3) képlet segítségével találjuk meg: Itt a normál kifejezésben a pluszjelet választjuk, mivel a szög a tengely között és normális - hülye és ezért negatívnak kell lennie. Ezt figyelembe véve , a felszínen

hengeres koordináták
van egy kör
kapunk
,
:

. Ezért az utolsó integrálban poláris koordinátákra lépünk, míg 2.2. példa.
.

Megoldás. Keresse meg egy vektormező divergenciáját és görbületét

A (2.4) képlet segítségével megkapjuk

Egy adott vektormező rotorját a (2.5) képlet segítségével találjuk meg. 2.3. példa.
a sík egy részén keresztül :
, amely az első oktánsban található (a normál hegyesszöget zár be a tengellyel
).

	Megoldás. A (2.6) képlet alapján . Ábrázoljuk a repülőgép egy részét : , az első oktánsban található. Ennek a síknak a szegmensekben az egyenlete alakja (2.3. ábra). A sík normálvektorának koordinátái vannak:
	. . , , egységnyi normálvektor , hol

felületi integrálnak nevezzük:
, tehát, - síkivetítés
-on

(2.4. ábra). 2.4. példa. Számítsa ki egy vektormező fluxusát zárt felületen keresztül!
, amelyet a sík alkot
(
és a kúp egy része

Megoldás.) (2.2. ábra).

.

Használjuk az Ostrogradsky-Gauss képletet (2.8) Határozzuk meg a vektormező divergenciáját

felületi integrálnak nevezzük:
a (2.4) képlet szerint:
(annak a kúpnak a térfogata, amelyen az integráció megtörténik. Használjuk a jól ismert képletet a kúp térfogatának kiszámításához - a kúp alapjának sugara,
- magassága). A mi esetünkben azt kapjuk

.

. Végre megkapjuk 2.5. példa.
Számítsa ki egy vektormező cirkulációját! a kontúr mentén
És
(
, amelyet a felületek metszéspontja alkot

Megoldás.). Ellenőrizze az eredményt a Stokes-képlet segítségével.
,
Ezeknek a felületeknek a metszéspontja egy kör :

(2.1. ábra). A bejárási irányt általában úgy választják meg, hogy az általa korlátozott terület balra maradjon. Írjuk fel a kontúr paraméteres egyenleteit

ahol és a paraméter től változik
hogy

.

. A (2.7) képlet segítségével (2.1) és (2.10) figyelembe vételével megkapjuk Alkalmazzuk most a Stokes-képletet (2.9). Felületként , a kontúrra feszítve
, részt vehet a repülőn
. Normál irány ehhez a felülethez összhangban van a kontúr bejárásának irányával
. Egy adott vektormező görbületét a 2.2. példában számítjuk ki:

felületi integrálnak nevezzük:
. Ezért a kívánt keringés
.
- a régió területe
- kör sugara

, hol
Legyen két derékszögű koordinátarendszerünk a térben és

(1)

, és egy függvényrendszer
És
amelyek egyes területeken egy-egy megfeleltetést hoznak létre a pontok között
ezekben a koordinátarendszerekben. Tegyük fel, hogy az (1) rendszer függvényei rendelkeznek

,

folytonos parciális deriváltak. Az ezekből a parciális származékokból álló determináns
a függvényrendszer jakobi (vagy Jacobi-determinánsának) nevezzük (1). Ezt feltételezzük
.

V

A fenti feltételezések alapján a következő általános képlet érvényes a változók megváltoztatására egy hármas integrálban:
Mint a kettős integrál esetében, az (1) rendszer és a feltétel kölcsönös egyedisége

egyes pontokon, egyes vonalakon és egyes felületeken megsérthető.
Függvényrendszer (1) minden ponthoz
egyetlen ponttal egyezik meg
. Ez a három szám pont görbe vonalú koordinátáinak nevezzük
, amelyekre ezen koordináták egyike állandó értéket tart, alkotják az ún. koordináta felület.

II Hármas integrál hengeres koordinátákban

A hengeres koordinátarendszert (CSS) a sík határozza meg
, amelyben egy poláris koordináta-rendszer és a tengely van megadva
, merőleges erre a síkra. Egy pont hengeres koordinátái
, Hol
– a pont poláris koordinátái – vetületek t szemüveg a repülőhöz
a görbe kezdőpontjának felel meg – ezek a pont vetületének koordinátái tengelyenként
vagy
.

Síkban
a szokásos módon írjuk be a derékszögű koordinátákat, a tengely mentén irányítjuk az applikációs tengelyt
CSK. Most már nem nehéz olyan képleteket szerezni, amelyek hengeres koordinátákat kötnek össze a derékszögű koordinátákkal:

(3)

Ezek a képletek a területet a teljes térre képezik le
.

A koordinátafelületek a vizsgált esetben a következők lesznek:

1)
– hengeres felületek a tengellyel párhuzamos generatricákkal
, amelynek vezetői körök a síkban
pontban középre állítva ;

2)

;

3)
– a síkkal párhuzamos síkok
.

A (3) rendszer Jacobiánusa:

.

Az általános képlet a CSK esetében a következő:

1. megjegyzés . A hengeres koordinátákra való áttérés abban az esetben javasolt, ha az integrálási terület körhenger vagy kúp, vagy forgásparaboloid (vagy annak részei), és ennek a testnek a tengelye egybeesik az alkalmazás tengelyével.
.

2. megjegyzés. A hengeres koordináták ugyanúgy általánosíthatók, mint a poláris koordináták egy síkban.

1. példa Számítsa ki egy függvény hármas integrálját!

régiónként
, amely a henger belső részét képviseli
, amelyet kúp határol
és paraboloid
.

Megoldás. Ezt a területet már megvizsgáltuk a 2. § 6. példájában, és szabványos bejegyzést kaptunk a DPSC-ben. Az integrál kiszámítása azonban ebben a régióban nehéz. Menjünk a CSK-hoz:

.

Vetítés
test
a repülőhöz
- ez egy kör
. Ezért a koordináta 0-tól változik
a görbe kezdőpontjának felel meg – 0-tól R. Egy tetszőleges ponton keresztül
húzz egy egyenest a tengellyel párhuzamosan
. Az egyenes bemegy
kúpon, de kijön egy paraboloidon. De a kúp
az egyenlet szerepel a CSC-ben
, és a paraboloid
– egyenlet
.

Szóval van

III Háromszoros integrál gömbi koordinátákban
A gömbkoordináta-rendszert (SCS) a sík határozza meg
, amelyben az FKR van megadva, és a tengely
.

, merőleges a síkra Egy pont gömbkoordinátái
, Hol a teret számhármasnak nevezzük
,– egy pont síkra vetítésének polárszöge
– szög a tengely között
És
.

Síkban
és vektor
És
mutassunk be derékszögű koordinátatengelyeket
a szokásos módon, és az alkalmazási tengely kompatibilis a tengellyel

(4)

. A gömbi koordinátákat a derékszögű koordinátákkal összekötő képletek a következők:
.

Ezek a képletek a területet a teljes térre képezik le

.

A függvényrendszer Jacobiánusa (4):

1)
– koncentrikus gömbök a középponttal az origóban;

2)
– a tengelyen áthaladó félsíkok
;

3)
– körkúpok a koordináták origójában csúcsponttal, amelynek tengelye a tengely
.

Az SSC-re való átállás képlete hármas integrálban:

3. megjegyzés. Az SCS-re való átállás akkor javasolt, ha az integráció tartománya egy labda vagy annak egy része. Ebben az esetben a gömb egyenlete
belemegy. A korábban tárgyalt CSK-hoz hasonlóan a CSK is a tengelyhez van „kötve”.
. Ha a gömb középpontját egy sugárral eltoljuk a koordinátatengely mentén, akkor a legegyszerűbb gömbegyenletet a tengely mentén eltolva kapjuk
:

4. megjegyzés. Az SSC általánosítható:

Jacobiannal
. Ez a függvényrendszer lefordítja az ellipszoidot

"párhuzamos"

2. példa Határozza meg a pontok átlagos távolságát egy sugarú golyón közepétől.

Megoldás. Emlékezzünk vissza, hogy a függvény átlagos értéke
a területen
egy függvény hármas integrálja egy régióra osztva a régió térfogatával. A mi esetünkben

Szóval van

A hármas integrál kiszámításának eljárása hasonló a dupla integrál megfelelő műveletéhez. Ennek leírására bevezetjük a szabályos háromdimenziós régió fogalmát:

Meghatározás 9.1. Az S zárt felülettel határolt V háromdimenziós tartományt szabályosnak nevezzük, ha:

1. bármilyen egyenes vonal a tengellyel párhuzamosÓz és a tartomány belső pontján keresztül húzva metszi az S-t két pontban;
2. a teljes V tartomány az Oxy síkra egy szabályos kétdimenziós D tartományba vetül;
3. az V tartomány bármely részének, amelyet bármely koordinátasíkkal párhuzamos sík levág, rendelkezik 1) és 2) tulajdonságokkal.

Tekintsünk egy V szabályos tartományt, amelyet alul és felül a z=χ(x,y) és z=ψ(x,y) felületek határolnak, és az Oxy síkra vetítve a D szabályos tartományba, amelyen belül x a b-re, amelyet az y=φ1(x) és y=φ2(x) görbék korlátoznak (1. ábra). Definiáljunk egy f(x, y, z) folytonos függvényt az V tartományban.

Meghatározás 9.2. Nevezzük az f(x, y, z) függvény V tartomány feletti hármas integrálját a következő alak kifejezésének:

A hármas integrál ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a kettős integrál. Bizonyítás nélkül soroljuk fel őket, mivel a kettős integrál esetéhez hasonlóan bizonyítottak.

A hármas integrál számítása.

9.1. Tétel. Az f(x,y,z) függvény hármas integrálja egy V szabályos tartományon egyenlő az ugyanazon a tartományon lévő hármas integrállal:

. (9.3)

Bizonyíték.

Osszuk fel a V tartományt a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal n szabályos tartományra. Majd az 1. tulajdonságból az következik

ahol az f(x,y,z) függvény hármas integrálja a régióban.

A (9.2) képlet segítségével az előző egyenlőség a következőképpen írható át:

Az f(x,y,z) függvény folytonossági feltételéből az következik, hogy ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán az integrálösszeg határa létezik, és egyenlő a hármas integrállal. Ezután átlépve a határértékre, megkapjuk:

Q.E.D.

Megjegyzés.

A kettős integrálhoz hasonlóan igazolható, hogy az integrálási sorrend megváltoztatása nem változtatja meg a hármas integrál értékét.

Példa. Számítsuk ki azt az integrált, ahol V - háromszög alakú piramis a (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1) pontokban lévő csúcsokkal. Az Oxy-síkra vetített háromszög (0, 0), (1, 0) és (0, 1) csúcsokkal rendelkezik. A tartományt alulról a z = 0 sík, felülről pedig az x + y + z = 1 sík határolja. Térjünk át a háromszoros integrálra:

Az integrációs változótól nem függő tényezők a megfelelő integrál előjeléből kivehetők:

Görbe vonalú koordinátarendszerek háromdimenziós térben.

1. Hengeres koordinátarendszer.

A P(ρ,φ,z) pont hengeres koordinátái ennek a pontnak az Oxy-síkra való vetületének ρ, φ polárkoordinátái és ennek a z pontnak az alkalmazása (2. ábra).

A hengeres koordinátákról a derékszögű koordinátákra való átmenet képletei a következők szerint adhatók meg:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Gömbös koordinátarendszer.

Szférikus koordinátákban egy pont helyzetét a térben a ρ lineáris koordináta határozza meg - a pont és az origó távolsága Descartes-rendszer koordináták (vagy a gömbrendszer pólusa), φ az Ox pozitív féltengely és a pont Oxy síkra való vetülete közötti poláris szög, θ pedig az Oz tengely pozitív féltengelye és az OP szegmens (3. ábra). Egy időben

Állítsuk be a gömbi koordinátákról a derékszögű koordinátákra való átmenet képleteit:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jakobi és geometriai jelentése.

Tekintsük a változók megváltoztatásának általános esetét kettős integrál. Legyen megadva az Oxy síkban egy D régió, amelyet L egyenes határol. Tegyük fel, hogy x és y új u és v változók egyértékű és folytonosan differenciálható függvényei:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Mérlegeljük téglalap alakú rendszer koordinátái az Ouv, amelynek P΄(u, v) pontja a D régióból származó P(x, y) pontnak felel meg. Minden ilyen pont egy D΄ régiót alkot az Ouv síkban, amelyet az L΄ egyenes határol. Azt mondhatjuk, hogy a (9.6) képletek egy az egyhez egyezést hoznak létre a D és D΄ régiók pontjai között. Ebben az esetben az u = const és a sorok

v = const az Ouv síkban megfelel az Oxy sík néhány vonalának.

Tekintsünk egy ΔS΄ téglalap alakú területet az Ouv síkban, amelyet az u = const, u+Δu = const, v = const és v+Δv = const egyenesek határolnak. Ez egy ΔS görbe területnek felel meg az Oxy síkban (4. ábra). A vizsgált területek területeit ΔS΄ és ΔS is jelöljük. Ebben az esetben ΔS΄ = Δu Δv. Keressük meg a ΔS területet. Jelöljük ennek a görbe vonalú négyszögnek a P1, P2, P3, P4 csúcsait, ahol

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Helyettesítsük a kis Δu és Δv lépésközöket a megfelelő differenciálokra. Majd

Ebben az esetben a P1 P2 P3 P4 négyszög paralelogrammának tekinthető, és területe az analitikai geometriából származó képlet segítségével határozható meg:

(9.7)

Meghatározás 9.3. A determinánst a φ(x, y) és ψ(x, y) függvények funkcionális determinánsának vagy Jacobi-nak nevezzük.

Ha a (9.7) egyenlőségben elérjük a határértéket, megkapjuk a jakobiánus geometriai jelentését:

vagyis a jakobi modulja a ΔS és ΔS΄ infinitezimális területek arányának határa.

Megjegyzés. Hasonló módon definiálhatjuk a jakobi fogalmát és annak geometriai jelentését egy n-dimenziós térre: ha x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), akkor

(9.8)

Ebben az esetben a jakobi modulja megadja az x1, x2,..., xn és u1, u2,..., un terek kis régióinak „térfogatainak” arányának határát.

Változók változása több integrálban.

Vizsgáljuk meg a változók változásának általános esetét egy kettős integrál példáján.

Legyen D tartományban adott folyamatos funkció z = f(x,y), amelynek minden értéke a z = F(u, v) függvény azonos értékének felel meg a D΄ tartományban, ahol

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Tekintsük az integrál összeget

ahol a jobb oldali integrálösszeg átveszi a D΄ tartományt. A határértékre átlépve egy képletet kapunk a koordináták átalakítására a kettős integrálban.

Hármas integrálok. A testtérfogat kiszámítása.
Hármas integrál hengeres koordinátákban

A halott három napig feküdt a dékáni irodában, Pythagoras nadrágjába öltözve,
Fichtenholtz kezében tartott egy kötetet, amely elhozta őt ebből a világból,
A lábakhoz hármas integrált kötöttek, és a holttestet mátrixba csomagolták,
És ahelyett, hogy imádkozott volna, néhány szemtelen ember elolvasta Bernoulli tételét.

A hármas integráloktól nem kell félned =) Mert ha ezt a szöveget olvasod, akkor valószínűleg jól értesz a „hétköznapi” integrálok elmélete és gyakorlata, és azt is kettős integrálok. És ahol van egy dupla, a közelben van egy hármas:

És tényleg, mitől kell félni? Az integrál kevesebb, az integrál több....

Nézzük a felvételt:

– hármas integrált ikon;
– integrand három változó függvénye;
– differenciálművek szorzata.
– az integráció területe.

Koncentráljunk különösen a integráció területei. Ha be kettős integrál azt képviseli lapos alak, akkor itt - térbeli test, amelyet, mint ismeretes, a halmaz korlátoz felületek. Így a fentieken kívül navigálnia kell a tér fő felületeiés tudjon egyszerű háromdimenziós rajzokat készíteni.

Néhányan depressziósak, megértem... Sajnos a cikk nem nevezhető „hármas integrálok bábukhoz”, és van néhány dolog, amit tudnia kell/tudnia kell. De ez rendben van - az összes anyagot rendkívül hozzáférhető formában mutatják be, és a lehető legrövidebb időn belül elsajátítható!

Mit jelent a hármas integrál kiszámítása, és mi a páros?

A hármas integrál kiszámításához azt jelenti keresse meg a SZÁMOT:

A legegyszerűbb esetben mikor a hármas integrál numerikusan egyenlő a test térfogatával. És valóban, aszerint az integráció általános jelentése, a szorzat egyenlő elenyésző a test egy elemi „tégla” térfogata. A hármas integrál pedig igazságos egyesíti mindezeket végtelenül kicsi részecskék a területen, ami a test térfogatának integrál (teljes) értékét eredményezi: .

Ezen kívül a hármas integrál is fontos fizikai alkalmazások. De erről később - a lecke 2. részében, amelynek szentelt tetszőleges hármas integrálok számítása, amelyre a függvény általános esetben eltér egy konstanstól és folytonos a régióban. Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk a kötet megtalálásának problémáját, amely véleményem szerint szubjektív értékelés 6-7-szer gyakrabban fordul elő.

Hogyan lehet megoldani a hármas integrált?

A válasz logikusan következik az előző bekezdésből. Meg kell határozni testbejárási sorrendés menj oda iterált integrálok. Ezután három egységes integrállal dolgozzon egymás után.

Amint látja, az egész konyha nagyon-nagyon emlékeztet kettős integrálok, azzal a különbséggel, hogy most hozzáadtunk egy további dimenziót (nagyjából a magasság). És valószínűleg sokan már kitalálták, hogyan oldják meg a hármas integrálokat.

Eloszlatjuk a fennmaradó kétségeket:

1. példa

Kérem írja le egy oszlopba papírra:

És válaszoljon a következő kérdésekre. Tudja, hogy mely felületek határozzák meg ezeket az egyenleteket? Érted ezeknek az egyenleteknek az informális jelentését? El tudod képzelni, hogyan helyezkednek el ezek a felületek a térben?

Ha hajlamos az általános válaszra, hogy „inkább nem, mint igen”, akkor feltétlenül dolgozza fel a leckét, különben nem halad tovább!

Megoldás: a képletet használjuk.

Annak érdekében, hogy megtudja testbejárási sorrendés menj oda iterált integrálok meg kell értened (minden ötletes egyszerű), hogy megértsd, milyen testről van szó. És sok esetben a rajzok nagyban hozzájárulnak ehhez a megértéshez.

Feltétel szerint a testet több felület korlátozza. Hol kezdjem az építkezést? A következő eljárást javaslom:

Először ábrázoljuk párhuzamos merőleges a test vetítése a koordinátasíkra. Először mondtam el, hogy hívják ezt a vetítést, lol =)

Mivel a vetítés a tengely mentén történik, először is célszerű foglalkozni felületek, amelyek párhuzamosak ezzel a tengellyel. Hadd emlékeztesselek arra, hogy az ilyen felületek egyenletei nem tartalmazzák a "z" betűt. Ezek közül három van a vizsgált problémában:

– az egyenlet megadja a tengelyen átmenő koordinátasíkot;
– az egyenlet megadja a tengelyen átmenő koordinátasíkot;
– az egyenletkészletek repülőgép "lapos" egyenes vonal a tengellyel párhuzamos.

Valószínűleg a kívánt vetület a következő háromszög:

Talán nem mindenki értette teljesen, miről beszélünk. Képzelje el, hogy egy tengely jön ki a monitor képernyőjéből, és közvetlenül az orrnyeregbe tapad ( azok. kiderül, hogy egy 3 dimenziós rajzot nézel felülről). A vizsgált tértest egy végtelen háromszögű „folyosón” helyezkedik el, és síkra vetítése nagy valószínűséggel egy árnyékolt háromszöget képvisel.

Külön szeretném felhívni a figyelmet arra, hogy miközben kifejeztük csak a kivetítés feltételezéseés a „legvalószínűbb” és „legvalószínűbb” kitétel nem volt véletlen. Az tény, hogy még nem minden felületet elemeztek, és előfordulhat, hogy valamelyik „levágja” a háromszög egy részét. Világos példaként ez arra utal gömb amelynek középpontja egynél kisebb sugarú origónál van, például egy gömb – vetülete a síkra (kör ) nem fogja teljesen „lefedni” az árnyékolt területet, és a test végső vetülete egyáltalán nem lesz háromszög (a kör „levágja” éles sarkait).

A második szakaszban megtudjuk, hogyan korlátozódik a test felülről és alulról, és térbeli rajzot készítünk. Térjünk vissza a problémafelvetéshez, és nézzük meg, mely felületek maradtak meg. Az egyenlet magát a koordinátasíkot adja meg, és az egyenlet – parabola henger, található felett síkban és áthalad a tengelyen. Így a test vetülete valóban háromszög.

Egyébként itt találtam redundancia feltételek - nem kellett a sík egyenletét belefoglalni, mivel a felület az abszcissza tengelyt érintve már lezárja a testet. Érdekes megjegyezni, hogy ebben az esetben nem tudnánk azonnal megrajzolni a vetületet - a háromszög csak az egyenlet elemzése után „rajzolna”.

Óvatosan ábrázoljuk egy parabola henger töredékét:

A rajzok kitöltése után a test körüli járás rendje Nem probléma!

Először meghatározzuk a vetület bejárásának sorrendjét (ugyanakkor SOKKAL KÉNYELMESEBB kétdimenziós rajz segítségével navigálni). kész PONT UGYAN, mint a kettős integrálok! Gondoljon egy lézermutatóra és egy sík terület beolvasására. Válasszuk a „hagyományos” 1. bypass módszert:

Ezután felveszünk egy varázslámpást, megnézzük a háromdimenziós rajzot és szigorúan alulról felfelé Megvilágítjuk a beteget. A sugarak egy síkon keresztül jutnak be a testbe, és a felületen keresztül távoznak. Így a testen való áthaladás sorrendje a következő:

Térjünk át az iterált integrálokra:

1) Kezdje a „zéta” integrállal. használjuk Newton-Leibniz képlet:

Helyettesítsük be az eredményt a „játék” integrálba:

Mi történt? Lényegében a megoldás dupla integrálra redukálódott, és pontosan a képletre hengeres gerenda térfogata! A következő ismerős:

2)

Ügyeljen a 3. integrál megoldásának racionális technikájára!

Válasz:

A számítások mindig „egy sorban” írhatók:


De legyen óvatos ezzel a módszerrel - a sebesség növekedése minőségromlással jár, és minél összetettebb a példa, annál nagyobb a hiba valószínűsége.

Válaszoljunk egy fontos kérdésre:

Szükséges-e rajzokat készíteni, ha a feladatkörülmények nem követelik meg azok megvalósítását?

Négyféleképpen mehetsz:

1) Rajzolja meg a vetületet és magát a testet! Ez a legelőnyösebb lehetőség - ha lehetősége van két tisztességes rajz elkészítésére, ne legyen lusta, készítse el mindkét rajzot. Először is azt ajánlom.

2) Rajzolja csak a testet. Alkalmas, ha a testnek egyszerű és nyilvánvaló kiemelkedése van. Így például a szétszedett példában elég lenne egy háromdimenziós rajz. Van azonban egy mínusz is - 3D képből kényelmetlen meghatározni a vetítés bejárásának sorrendjét, és ezt a módszert csak jó képzettséggel rendelkezőknek ajánlom.

3) Csak a vetületet rajzolja meg. Ez szintén nem rossz, de akkor további írásos észrevételek szükségesek, ami több oldalról korlátozza a területet. Sajnos a harmadik lehetőség gyakran kényszerű - ha a test túl nagy, vagy felépítése más nehézségekkel jár. És megfontoljuk az ilyen példákat is.

4) Egyáltalán ne rajzok. Ebben az esetben el kell képzelni a testet mentálisan, és írásban kommentálni kell az alakját/elhelyezkedését. Alkalmas nagyon egyszerű testekhez vagy olyan feladatokhoz, ahol mindkét rajz végrehajtása nehézkes. De még mindig jobb, ha legalább egy sematikus rajzot készít, mivel a „meztelen” megoldás elutasítható.

Az alábbi szerv önálló munkavégzésre szolgál:

2. példa

Hármas integrál segítségével számítsuk ki a felületekkel határolt test térfogatát

IN ebben az esetben az integráció területét elsősorban az egyenlőtlenségek határozzák meg, és ez még jobb - sok egyenlőtlenség meghatározza az 1. oktánst, beleértve a koordinátasíkokat, és az egyenlőtlenséget – féltér, amely tartalmazza az eredetet (ellenőrzés)+ maga a repülő. A „függőleges” sík a parabola mentén metszi a paraboloidot, és ezt a szakaszt célszerű a rajzon megszerkeszteni. Ehhez meg kell találni egy további referenciapontot, a legegyszerűbb módja a parabola csúcsa (az értékeket vesszük figyelembe és számítsa ki a megfelelő „zetet”).

Folytassuk a bemelegítést:

3. példa

Hármas integrál segítségével számítsa ki a jelzett felületek által határolt test térfogatát. Hajtsa végre a rajzot.

Megoldás: A „rajz végrehajtása” megfogalmazás némi szabadságot ad nekünk, de nagy valószínűséggel egy térbeli rajz kivitelezését jelenti. Azonban a vetítés sem fog ártani, főleg, hogy itt nem a legegyszerűbb.

Ragaszkodunk a korábban bevált taktikához - először foglalkozunk vele felületek, amelyek párhuzamosak az alkalmazási tengellyel. Az ilyen felületek egyenletei nem tartalmazzák kifejezetten a „z” változót:

– az egyenlet megadja a tengelyen átmenő koordinátasíkot ( amelyet a síkon a „névadó” egyenlet határoz meg);
– az egyenletkészletek repülőgép, áthaladva a „névadón” "lapos" egyenes vonal a tengellyel párhuzamos.

A kívánt testet egy sík korlátozza alatta és parabola henger felett:

Hozzuk létre a test bejárási sorrendjét, míg az „X” és „Y” integrációs határokat, emlékeztetem Önt, kényelmesebb kétdimenziós rajz segítségével kideríteni:

Így:

1)

Ha „y” fölé integrálunk, az „x” konstansnak számít, ezért célszerű a konstanst azonnal kivenni az integráljelből.

3)

Válasz:

Igen, majdnem elfelejtettem, a legtöbb esetben nem sok haszna (sőt káros) a kapott eredményt háromdimenziós rajzzal ellenőrizni, hiszen nagy valószínűséggel kötet illúzió, amiről az órán beszéltem Egy forgástest térfogata. Tehát a vizsgált probléma testét értékelve nekem személy szerint úgy tűnt, hogy sokkal több, mint 4 „kockából” áll.

A következő példa erre való önálló döntés:

4. példa

Hármas integrál segítségével számítsa ki a jelzett felületek által határolt test térfogatát. Készítsen rajzokat erről a testről és síkra vetítéséről!

Hozzávetőleges példa egy feladatra a lecke végén.

Nem ritka, amikor egy háromdimenziós rajz kivitelezése nehézkes:

5. példa

Hármas integrál segítségével határozza meg a test térfogatát a határoló felületei alapján

Megoldás: itt a vetítés nem bonyolult, de át kell gondolni a bejárás sorrendjét. Ha az 1. módszert választja, akkor a számot 2 részre kell osztani, ami komolyan veszélyezteti az összeg kiszámítását két hármas integrálok. Ebből a szempontból a 2. út sokkal ígéretesebbnek tűnik. Fejezzük ki és ábrázoljuk ennek a testnek a vetületét a rajzon:

Néhány kép minőségéért elnézést kérek, közvetlenül a saját kézirataimból vágtam ki őket.

Az ábra bejárásának előnyösebb sorrendjét választjuk:

Most a testen múlik. Alulról a sík, felülről az ordinátatengelyen áthaladó sík korlátozza. És minden rendben is lenne, de az utolsó sík túl meredek, és a terület megépítése nem olyan egyszerű. A választás itt irigylésre méltó: vagy kis méretű ékszermunka (mivel elég vékony a test), vagy egy kb 20 centiméter magas rajz (és akkor is, ha belefér).

De van egy harmadik, natív orosz módszer a probléma megoldására - pontozni =) És a háromdimenziós rajz helyett beérj egy szóbeli leírással: „Ezt a testet hengerek határolják. és egy sík oldalról, egy sík alulról és egy sík felülről."

Az integráció "vertikális" korlátai nyilvánvalóan a következők:

Számítsuk ki a test térfogatát, ne felejtsük el, hogy a vetítést kevésbé gyakori módon megkerültük:

1)

Válasz:

Ahogy észrevette, a száz dollárnál nem drágább problémákhoz javasolt karosszériákat gyakran korlátozza az alábbi sík. De ez nem szabály, ezért mindig résen kell lenni - olyan feladattal találkozhat, ahol a test található és alatt lakás Így például, ha a vizsgált feladatban inkább a síkot vesszük figyelembe, akkor a vizsgált test szimmetrikusan leképeződik az alsó féltérbe, és alulról a sík, felülről pedig a sík korlátozza!

Könnyen belátható, hogy ugyanazt az eredményt kapja:

(ne feledje, hogy a testet meg kell kerülni szigorúan alulról felfelé!)

Ezenkívül a „kedvenc” sík egyáltalán nem használható a legegyszerűbb példa: egy golyó a sík felett - a térfogatának kiszámításakor egyáltalán nem lesz szükség egyenletre.

Mindezeket az eseteket megfontoljuk, de most van egy hasonló feladat, amelyet egyedül kell megoldania:

6. példa

A hármas integrál segítségével keressük meg a felületekkel határolt test térfogatát

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Térjünk át a második bekezdésre, ugyanolyan népszerű anyagokkal:

Hármas integrál hengeres koordinátákban

A hengeres koordináták lényegében polárkoordináták a térben.
A hengeres koordinátarendszerben egy pont helyzetét a térben a pont poláris koordinátái határozzák meg - a pont síkra való vetülete és magának a pontnak az alkalmazása.

A háromdimenziós derékszögű rendszerről a hengeres koordinátarendszerre az alábbi képletek szerint kell áttérni:

Témánkkal kapcsolatban az átalakítás így néz ki:

És ennek megfelelően abban az egyszerűsített esetben, amelyet ebben a cikkben tárgyalunk:

A lényeg az, hogy ne feledkezzünk meg a további „er” szorzóról, és helyesen helyezzük el az integráció poláris határai a vetületen való áthaladáskor:

7. példa

Megoldás: ragaszkodunk ehhez az eljáráshoz: mindenekelőtt olyan egyenleteket veszünk figyelembe, amelyekben nincs „z” változó. Itt csak egy van. Vetítés hengeres felület a repülőn a „névadót” képviseli kör .

Repülőgépek alulról és felülről korlátozzák a kívánt testet ("kivágják" a hengerből), és körbe vetítik:

Következő egy háromdimenziós rajz. A fő nehézség a hengert „ferde” szögben metsző sík megalkotásában rejlik, ami ellipszis. Tisztázzuk ezt a részt analitikusan: ehhez átírjuk a sík egyenletét funkcionális forma és számítsa ki a függvény értékeit ("magasság") a nyilvánvaló pontokban, amelyek a vetület határán helyezkednek el:

A talált pontokat a rajzon és gondosan bejelöljük (nem úgy mint én =)) kösd össze őket egy vonallal:

A test síkra vetítése egy kör, és ez erős érv a hengeres koordinátarendszerre való átállás mellett:

Keressük meg a felületek egyenleteit hengerkoordinátában:

Most meg kell találnia a testen való áthaladás sorrendjét.

Először is foglalkozzunk a vetítéssel. Hogyan határozható meg a bejárási sorrend? PONTAN UGYAN, MINDENKEL kettős integrálok számítása polárkoordinátákban. Itt ez elemi:

Az integráció „függőleges” határai is nyilvánvalóak - a testbe a síkon keresztül lépünk be, és a síkon keresztül lépünk ki belőle:

Térjünk át az iterált integrálokra:

Ebben az esetben az „er” tényezőt azonnal a „mi” integrálunkba helyezzük.

Szokás szerint a seprűt könnyebben el lehet törni a gallyak mentén:

1)

Az eredményt a következő integrálba helyezzük:

És itt nem felejtjük el, hogy a „phi” állandónak számít. De egyelőre ennyi:

Válasz:

Hasonló feladat, amit egyedül kell megoldanod:

8. példa

Számítsa ki a felületekkel határolt test térfogatát hármas integrál segítségével! Rajzolja le ennek a testnek a rajzait és a vetületét egy síkra.

Hozzávetőleges minta a végső tervből a lecke végén.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a problémakörülmények között egy szó sem esik a hengeres koordináta-rendszerre való átállásról, és egy tudatlan ember nehéz derékszögű integrálokkal küzd. ...Vagy talán nem is fog – elvégre van egy harmadik, eredeti orosz problémamegoldási mód =)

Minden csak most kezdődik! ...jó értelemben: =)

9. példa

A hármas integrál segítségével keressük meg a felületekkel határolt test térfogatát

Szerény és ízléses.

Megoldás: ez a test korlátozott kúpfelületÉs elliptikus paraboloid. Azok az olvasók, akik figyelmesen elolvasták a cikk anyagait A tér alapfelületei, már elképzeltem, hogyan néz ki a test, de a gyakorlatban gyakran előfordulnak bonyolultabb esetek is, ezért részletes elemző érvelést végzek el.

Először megkeressük azokat a vonalakat, amelyek mentén a felületek metszik egymást. Állítsuk össze és oldjuk meg a következő rendszert:

Az 1. egyenletből tagonként kivonjuk a második tagot:

Az eredmény két gyökér:

Helyettesítsük be a talált értéket a rendszer bármely egyenletébe:
, amiből az következik
Így a gyökér egyetlen pontnak felel meg - az eredetnek. Természetesen, mivel a vizsgált felületek csúcsai egybeesnek.

Most helyettesítsük be a második gyöket – szintén a rendszer bármely egyenletébe:

Mi a kapott eredmény geometriai jelentése? „Magasságban” (a síkban) a paraboloid és a kúp metszi egymást kör– egységsugár a középponttal a pontban.

Ebben az esetben a paraboloid „tála” tartalmazza a kúp „tölcsérét”, ezért alakítás A kúpos felületet pontozott vonallal kell megrajzolni (kivéve a generatrix tőlünk legtávolabbi szakaszát, amely ebből a szögből látható):

Egy test síkra vetítése az kör középponttal az 1-es sugár origójában, amit ennek a ténynek nyilvánvalósága miatt nem is vettem a fáradságot, hogy ábrázoljam (Azonban írásos megjegyzést adunk!). Amúgy az előző két feladatnál a vetületi rajzot is pontozni lehetett, ha nem a feltételt.

Ha szabványos képletekkel hengeres koordinátákra lépünk, az egyenlőtlenséget a legegyszerűbb formában írjuk fel, és nincs probléma a vetület bejárásának sorrendjével:

Keressük meg a felületek egyenleteit egy hengeres koordinátarendszerben:

Mivel a feladat a kúp felső részét veszi figyelembe, az egyenletből fejezzük ki:

„Pásztázzuk a testet” alulról felfelé. Fénysugarak jutnak be rajta elliptikus paraboloidés kilép a kúpos felületen keresztül. Így a testen való áthaladás „függőleges” sorrendje:

A többi már technika kérdése:

Válasz:

Nem ritka, hogy egy testet nem korlátozó felületei határoznak meg, hanem sok egyenlőtlenség:

10. példa

Geometriai jelentés A térbeli egyenlőtlenségeket kellően részletesen kifejtettem ugyanabban a referencia cikkben - A tér alapfelületei és felépítésük.

Ez a feladat ugyan tartalmaz paramétert, de lehetővé teszi a test alapvető megjelenését tükröző pontos rajz elkészítését. Gondold át, hogyan építs. Egy rövid megoldás és válasz a lecke végén található.

...na, még pár feladat? Arra gondoltam, hogy befejezem a leckét, de úgy érzem, többet akarsz =)

11. példa

Háromszoros integrál segítségével számítsuk ki egy adott test térfogatát:
, ahol egy tetszőleges pozitív szám.

Megoldás: egyenlőtlenség meghatároz egy golyót, amelynek középpontja a sugár és az egyenlőtlenség origójában van – sugaras szimmetriatengelyű körhenger „belseje”. Így a kívánt testet egy oldalsó körhenger, felül és alul pedig a síkhoz képest szimmetrikus gömbszegmensek határolják.

Ha ezt vesszük alapmértékegységnek, rajzoljuk:

Pontosabban rajznak kell nevezni, mivel nem nagyon tartottam meg az arányokat a tengely mentén. Az igazság kedvéért azonban a feltételhez egyáltalán nem kellett rajzolni, és egy ilyen illusztráció teljesen elegendőnek bizonyult.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt nem szükséges megtudni, hogy a henger milyen magasságban vágja ki a „sapkákat” a labdából - ha a kezébe vesz egy iránytűt, és egy kört jelöl meg vele, amelynek középpontja a sugár kezdőpontjában van. 2 cm, akkor a hengerrel való metszéspontok maguktól megjelennek.

Példák tetszőleges hármas integrálok megoldására.
A hármas integrál fizikai alkalmazásai

A lecke 2. részében kidolgozzuk a tetszőleges hármas integrálok megoldásának technikáját , amelynek integrálja három változó függvényeáltalános esetben eltér egy állandótól és folytonos a régióban; és megismerkedjen a hármas integrál fizikai alkalmazásaival is

Javaslom, hogy az új látogatók kezdjék az 1. résszel, ahol az alapfogalmakat ill a test térfogatának megtalálásának problémája hármas integrál segítségével. Javaslom a többieknek, hogy ismételje meg egy kicsit. három változó függvényeinek deriváltjai, mivel a cikk példáiban az inverz műveletet fogjuk használni - részleges integráció funkciókat

Ezen kívül van még egy fontos szempont: ha nem érzed jól magad, akkor jobb, ha lehetőség szerint elhalasztod az oldal elolvasását. És a lényeg nem csak az, hogy a számítások bonyolultsága most nőni fog – a legtöbb hármas integrálnak nincs ilyen megbízható módokon kézi ellenőrzések, ezért nagyon nem kívánatos fáradtan elkezdeni a megoldásukat. Alacsony tónus esetén ajánlatos megoldani valami könnyebbet vagy csak lazíts (türelmes vagyok, várok =)), hogy máskor friss fejjel folytathassam a tripla integrálok lecsapását:

13. példa

Háromszoros integrál kiszámítása

A gyakorlatban a testet is betűvel jelölik, de ez nem nagyon jó lehetőség, erre tekintettel a „ve” a kötet megjelölésére „fenntartott”.

Azonnal megmondom mit NE csinálj. Nem kell használni linearitási tulajdonságokés az integrált ábrázolja a formában. Bár ha nagyon akarod, akkor megteheted. A végén van egy kis plusz - bár hosszú lesz a felvétel, de kevésbé lesz zsúfolt. De ez a megközelítés még mindig nem szabványos.

Az algoritmusban megoldásokat kevés lesz az újdonság. Először is meg kell értened az integráció területét. A test síkra vetítése fájdalmasan ismerős háromszög:

A test felülről korlátozott repülőgép, amely áthalad az origón. Mellesleg először meg kell feltétlenül ellenőrizze(mentálisan vagy tervezetben), vajon ez a sík „levágja-e” a háromszög egy részét. Ehhez megkeressük a koordinátasíkkal való metszésvonalát, azaz. Megoldjuk a legegyszerűbb rendszert: - Nem, ezt egyenes (nincs a rajzon)„elhalad”, és a test síkra vetítése valóban egy háromszöget ábrázol.

A térbeli rajz itt sem bonyolult:

Valójában csak erre lehetett korlátozni magunkat, hiszen a vetítés nagyon egyszerű. ...Hát, vagy csak egy vetítési rajz, hiszen a test is egyszerű =) Viszont nem rajzolni semmit, emlékeztetem, rossz választás.

Nos, persze, nem tehetek mást, mint a végső feladattal:

19. példa

Keresse meg a felületekkel határolt homogén test súlypontját, . Rajzolja le ennek a testnek a rajzait és a vetületét egy síkra.

Megoldás: a kívánt testet koordinátasíkok és egy sík korlátozzák, ami kényelmes a későbbi megépítéshez szegmensekben van jelen: . Válasszuk az „a”-t léptékegységnek, és készítsünk háromdimenziós rajzot:

A rajzon már van egy kész súlypont, de ezt még nem ismerjük.

Egy test síkra vetítése nyilvánvaló, de ennek ellenére hadd emlékeztessem önöket arra, hogyan lehet analitikusan megtalálni – elvégre ilyen egyszerű esetek nem mindig találhatók meg. Annak a vonalnak a megtalálásához, amely mentén a síkok metszik egymást, meg kell oldania a rendszert:

Helyettesítsük be az értéket az 1. egyenletbe: és megkapjuk az egyenletet "lapos" egyenes:

A képletek segítségével kiszámítjuk a test súlypontjának koordinátáit
, hol van a test térfogata.