Kettős integrálok. A kettős integrál definíciója és tulajdonságai. Iterált integrálok. Dupla integrálok redukálása iterált integrálokká. Az integráció határainak meghatározása. Számítás kettős integrálok derékszögű koordinátarendszerben.

1. KETTŐS INTEGRÁLOK

1.1. A kettős integrál definíciója

A kettős integrál a határozott integrál fogalmának általánosítása két változós függvény esetére. Ebben az esetben az integrációs szegmens helyett valamilyen lapos figura lesz.

Hadd D egy zárt korlátozott terület, és f(x, y) egy tetszőleges függvény, amelyet ezen a területen határoznak meg és korlátoznak. Feltételezzük, hogy a régió határait D formaegyenletekkel meghatározott véges számú görbéből állnak y=f(x) vagy x=g( y), Hol f(x) És g(y) – folyamatos funkciók.

R

Rizs. 1.1

azobiem területen D véletlenszerűen bekapcsolva n alkatrészek. Négyzet én a szakaszt a  szimbólum jelöli s én. Minden szakaszban véletlenszerűen választunk ki egy pontot P én , és legyenek koordinátái valamilyen rögzített derékszögű rendszerben ( x én , y én). Komponáljunk integrál összeg funkcióhoz f(x, y) régiónként D, ehhez keresse meg a függvény értékeit minden ponton P én, szorozza meg őket a megfelelő szakaszok területével s énés összegezze az összes kapott eredményt:

. (1.1)

Hívjuk átmérő átm(G) területeken G ennek a területnek a határpontjai közötti legnagyobb távolság.

Kettős integrál funkciókat f(x, y) régiónként D az a határ, amelyre az integrálok sorozata hajlik összegeket (1.1) a partíciók számának korlátlan növelésével n (egy időben
). Ez a következőképpen van leírva

. (1.2)

Vegye figyelembe, hogy általánosságban elmondható, hogy az integrál összege adott funkciótés egy adott integrációs tartomány a tartomány particionálásának módjától függ Dés pontok kiválasztása P én. Ha azonban létezik kettős integrál, ez azt jelenti, hogy a megfelelő integrálösszegek határa már nem függ a feltüntetett tényezőktől. A kettős integrál létezéséhez(vagy ahogy mondják, hogy funkció f(x, y) volt integrálva a terepenD), elegendő, ha az integrand függvény azfolyamatos egy adott integrációs tartományban.

P

Rizs. 1.2

funkciójuk van f(x, y) integrálható a tartományba D. Mivel az ilyen függvények megfelelő integrálösszegek határa nem függ az integrációs tartomány particionálásának módjától, a partíció függőleges és vízszintes vonalak használatával is elvégezhető. Aztán a régió legtöbb területén D téglalap alakú lesz, amelynek területe  s én =x én y én. Ezért a területi különbséget így írhatjuk fel ds= dxdy. Ezért, derékszögű koordinátarendszerben kettős integrálok formába írható

. (1.3)

Megjegyzés . Ha az integrand f(x, y)1, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az integrációs régió területével:

. (1.4)

Figyeljük meg, hogy a kettős integrálok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a határozott integrálok. Jegyezzünk meg néhányat.

Kettős integrálok tulajdonságai.

1 0 . Lineáris tulajdonság. A függvények összegének integrálja egyenlő az integrálok összegével:

a konstans tényező pedig kivehető az integráljelből:

.

2 0 . Additív tulajdonság. Ha az integráció tartományaDkét részre osztva, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az egyes részek integráljainak összegével:

.

3 0 . Átlagérték tétel. Ha a funkció f( x, y)folyamatos a régióbanD, akkor ebben a régióban van egy olyan pont() , Mi:

.

A következő kérdés: hogyan számítják ki a dupla integrálokat? Erre a célra megközelítőleg kiszámítható, hatékony módszereket dolgoztak ki a megfelelő integrálösszegek összeállítására, amelyeket aztán számítógép segítségével numerikusan kiszámolnak. A kettős integrálok analitikus kiszámításakor két határozott integrálra redukálódnak.

1.2. Iterált integrálok

Az iterált integrálok az űrlap integráljai

. (1.5)

Ebben a kifejezésben először a belső integrált számítjuk ki, azaz. Először a változó feletti integrációt hajtjuk végre y(ebben az esetben a változó xállandó értéknek számít). Az integráció eredményeként vége y szerint kapsz valamilyen funkciót x:

.

Ezután a kapott függvényt integráljuk x:

.

Példa 1.1. Integrálok kiszámítása:

A)
, b)
.

Megoldás . a) Integráljunk át y, feltételezve, hogy a változó x= const. Ezt követően kiszámítjuk az integrált over x:

.

b) Mivel a belső integrálban az integráció a változó felett történik x, Azt y A 3 a külső integrálba konstans tényezőként vehető. Mivel y A belső integrálban lévő 2 állandó értéknek számít, akkor ez az integrál táblázatos lesz. Szekvenciális integráció végrehajtása yÉs x, megkapjuk

Van kapcsolat a dupla és az iterált integrálok között, de először nézzük az egyszerű és összetett területeket. A terület ún egyszerű bármely irányban, ha bármely ebben az irányban húzott egyenes legfeljebb két pontban metszi a terület határát. A derékszögű koordinátarendszerben általában az O tengelyek mentén vett irányokat veszik figyelembe xés O y. Ha a terület mindkét irányban egyszerű, akkor röviden azt mondják - egyszerű terület, az irány kiemelése nélkül. Ha egy régió nem egyszerű, akkor annak mondják összetett.

L

a b

Rizs. 1.4

Bármely összetett régió ábrázolható egyszerű régiók összegeként. Ennek megfelelően bármely kettős integrál ábrázolható egyszerű régiók kettős integráljainak összegeként. Ezért a következőkben elsősorban csak az egyszerű tartományok feletti integrálokat fogjuk figyelembe venni.

Tétel . Ha az integráció tartományaD– tengelyirányban egyszerűOy(lásd 1.4a. ábra), akkor a kettős integrál a következőképpen írható fel ismételt formában:

; (1.6)

ha az integráció tartományaD– tengelyirányban egyszerűÖkör(lásd 1.4b. ábra), akkor a kettős integrál a következőképpen írható fel ismételt formában:

. (1.7)

E

Rizs. 1.3

Ha az integráció tartománya mindkét irányban helyes, akkor tetszőlegesen választhatja ki az iterált integrál típusát, az integráció egyszerűségétől függően.

1.3. INTEGRÁCIÓS HATÁRÉRTÉKEK BEÁLLÍTÁSA

1.3.1. Téglalap alakú integrációs régió

P

Rizs. 1.5

A kettős integrálok ismétlődőkre redukálásakor a fő nehézség a belső integrálok határértékeinek beállításakor adódik. Ez a legegyszerűbb téglalap alakú területeken (lásd 1.5. ábra).

Példa 1.2. Dupla integrál kiszámítása

.

Megoldás . Írjuk fel a dupla integrált iteratívaként:

.

1.3.2. Az integráció tetszőleges tartománya

A kettős integrálról ismétlődőre való átlépéshez a következőket kell tennie:

konstruálja meg az integráció tartományát;

állítson be határértékeket az integrálokban, miközben ne feledje, hogy a külső integrál határértékeinek állandó mennyiségeknek (azaz számoknak) kell lenniük, függetlenül attól, hogy a külső integrált melyik változóból számítjuk..

1.3. példa. Rendezzük el az integrálás határait a megfelelő iterált integrálokban a kettős integrálhoz

, ha a)
b)

R

Rizs. 1.6

döntés . A)Ábrázoljuk az integráció területét D(lásd 1.6. ábra). Végezzük el az integrációt a külső integrálban a változón x, a belsőben pedig – szerint y. A határértékek beállításakor mindig a külső integrállal kell kezdenie, ebben az esetben változóval x. Az ábrából jól látszik, hogy x 0-ról 1-re változik, míg a változó értékei y eltérni fog az egyenesen lévő értékektől y= x az egyenesen lévő értékekhez y=2x. Így kapunk

.

Végezzük el most a külső integrálba való integrálást a szerint y, a belsőben pedig – szerint x. y 0-ról 2-re változik. Ekkor azonban a változó értékeinek változásának felső határa x két részből fog állni x= y/2 és x=1. Ez azt jelenti, hogy az integrációs régiót az egyenes két részre kell osztani y=1. Ekkor az első tartományban y 0-ról 1-re változik, és x az egyenesből x= y/2 egyenesre x= y. A második régióban y 1-ről 2-re változik, és x– egyenes vonalból x= y/2 egyenesre x=1. Ennek eredményeként azt kapjuk

.

b

Rizs. 1.7

) Építsük meg az integráció tartományát D(lásd 1.7. ábra). A külső integrálba való integrációt a szerint hajtsuk végre x, a belsőben pedig – szerint y. Ebben az esetben váltáskor x– 1:1 változás a változóban y felülről két vonal korlátozza: egy kör és egy egyenes. A szegmensen [–1;0] y től változik y=0 to
; változó a szegmensen y től változik y=0 to y=1–x. Így,

.

Most a külső integrálban az integrációt a szerint hajtsuk végre y, a belsőben pedig – szerint x. Ebben az esetben y 0-ról 1-re változik, és a változó x– a körívből
egyenesre x=1–y. Ennek eredményeként azt kapjuk

.

Ezek a példák megmutatják, mennyire fontos az integráció helyes sorrendjének kiválasztása.

Példa 1.4. Az integráció sorrendjének módosítása

A)
;
.

R

b)

döntés . A) Rizs. 1.8 x Alkossuk meg az integráció tartományát. A szegmensen y változó y egyenestől változik y= x. =0 az egyeneshez

.

Az eredmény a következő integrációs régió (lásd 1.8. ábra). A megszerkesztett ábra alapján meghatározzuk az integráció határait Rizs. 1.8 y Alkossuk meg az integráció tartományát. A szegmensen x változó x=y b)
parabolának x=y; szakaszon - egyenesből x= egyenesre

.

3/4. Az eredmény a következő integrációs régió (lásd 1.9. ábra). A megszerkesztett ábra alapján meghatározzuk az integráció határait,

A kettős integrál tulajdonságai hasonlóak a határozott integráléhoz. Csak a főbbeket jegyezzük meg:
1. Ha a függvények és
területekbe integrálva

, akkor összegük és különbségük integrálható benne, és

2. A konstans tényező kivehető a kettős integrál előjeléből:
3. Ha
területekbe integrálható , és ez a terület két nem átfedő területre oszlik
És

.

, Azt
, és ez a terület két nem átfedő területre oszlik
1. Ha a függvények és
4. Ha

És

.

, amelyben
5. Ha a területen
funkció


kielégíti az egyenlőtlenségeket
, és ez a terület két nem átfedő területre oszlik
,Ahol

,

akkor néhány valós szám Ahol
.

– a régió területe

Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítása hasonló a határozott integrálra vonatkozó megfelelő tételek bizonyításához.

Kettős integrál számítása derékszögű derékszögű koordinátákban
Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk a kettős integrált , ahol a terület ,.

- egyenlőtlenségekkel meghatározott téglalap
Tegyük fel, hogy folytonos ebben a téglalapban és nem negatív értékeket vesz fel benne, akkor ez a kettős integrál egyenlő a test térfogatával az alappal
, felette a felszín határolja
,
,
,
:

.

Másrészt egy ilyen szám térfogata egy határozott integrál segítségével számítható ki:

,

akkor néhány valós szám
- egy adott test keresztmetszete egy ponton átmenő síkkal és merőleges a tengelyre
. És mivel a vizsgált szakasz egy ívelt trapéz
, amelyet fent a függvény grafikonja határol
, Hol rögzített és És

.

Ebből a három egyenlőségből az következik

.

Tehát ennek a kettős integrálnak a számítását két határozott integrál kiszámítására redukáltuk; a "belső integrál" kiszámításakor (zárójelben írva) állandónak tekinthető.

Megjegyzés. Bizonyítható, hogy az utolsó képlet arra is igaz
, és abban az esetben is, ha a függvény
megváltoztatja a jelet a megadott téglalapban.

A képlet jobb oldalát iterált integrálnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

.

A fentiekből az következik

.

Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy az integráció eredménye nem függ az integráció sorrendjétől.

Egy általánosabb eset vizsgálatához bevezetjük a szabványos tartomány fogalmát. Egy adott tengely irányú szabványos (vagy szabályos) tartománynak nevezzük azt a tartományt, amelynél bármely, ezzel a tengellyel párhuzamos egyenes nem több mint két pontban metszi a tartomány határát. Más szóval, magát a régiót és annak határát csak egy egyenes szakasz mentén metszi.

Tegyük fel, hogy a korlátozott terület

és fent a függvény grafikonja határolja
, lent - függvénygrafikon
. Legyen R( ,) - az ezt a területet körülvevő legkisebb téglalap
.

Engedd be a környékre
meghatározott és folyamatos függvény
. Mutassunk be egy új funkciót:

,

akkor a kettős integrál tulajdonságainak megfelelően

.

És ezért

.

A szegmens óta
teljes egészében a régióhoz tartozik
akkor tehát
at


, és ha akkor ezen a szegmensen kívül esik
.

Fixen írhatjuk:

.

Mivel a jobb oldalon lévő első és harmadik integrál nulla, akkor

.

Ezért,

.

Ebből megkapjuk a képletet a kettős integrál kiszámításához egy régióstandard felett a tengelyhez képest
iterált integrállá redukálva:

.

Ha a terület
tengelyirányban szabványos
és az egyenlőtlenségek határozzák meg ,

, hasonlóan bizonyítható, hogy

.

Megjegyzés. Területre
, standard a tengelyek irányában
, és ez a terület két nem átfedő területre oszlik
, ezért mindkét utolsó egyenlőség teljesül

Ez a képlet megváltoztatja az integráció sorrendjét a megfelelő kettős integrál kiszámításakor.

Megjegyzés. Ha az integrálási terület nem szabványos (helyes) mindkét koordináta tengely irányában, akkor felosztjuk a szabványos területek összegére, és az integrált ezeken a területeken lévő integrálok összegeként jelenítjük meg.

Példa. Dupla integrál kiszámítása
régiónként
, vonalakkal határolva:
,
,
.

Megoldás.

Ez a terület szabványos a tengelyhez képest
, és a tengelyhez képest
.

Számítsuk ki az integrált úgy, hogy a területet standardnak tekintjük a tengelyhez képest
.

.

Megjegyzés. Ha az integrált számítjuk, figyelembe véve a tengelyhez viszonyított területstandardot
, ugyanazt az eredményt kapjuk:

.

Példa. Dupla integrál kiszámítása
régiónként
, vonalakkal határolva:
,
,
.

Megoldás.Ábrázoljuk az adott integrációs tartományt az ábrán.

Ez a terület szabványos a tengelyhez képest
.

.

Példa. Módosítsa az integráció sorrendjét az iterált integrálban:

Megoldás.Ábrázoljuk az integrációs régiót az ábrán.

Az integráció határai közül az integráció területét korlátozó vonalakat találjuk: ,
,
,
. Az integráció sorrendjének megváltoztatásához kifejezzük függvényeiként és keresse meg a metszéspontokat:

,
,
.

Mivel az egyik intervallumon a függvény két analitikai kifejezéssel fejezzük ki, akkor az integrációs régiót két részre kell osztani, és az ismétlődő integrált két integrál összegeként kell bemutatni.

.

1.1 A kettős integrál definíciója

1.2 A kettős integrál tulajdonságai

A kettős integrál tulajdonságai (és származtatásuk) hasonlóak az egyetlen határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz.

1°. Additivitás. Ha az f(x, y) függvény integrálható egy D tartományba, és ha a D tartományt egy nulla területű Г görbe osztja fel két összefüggő D1 és D2 tartományra, amelyeknek nincs közös belső pontja, akkor az f(x) függvény , y) mindegyikbe integrálható a D 1 és D 2 területekről, és

2°. Lineáris tulajdonság. Ha az f(x, y) és g(x, y) függvények integrálhatók a D tartományban, mi? És? - bármilyen valós számok, akkor a [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] szintén integrálható a D tartományba, és

3°. Ha az f(x, y) és g(x, y) függvények integrálhatók a D tartományban, akkor ezen függvények szorzata is integrálható D tartományban.

4°. Ha az f(x, y) és g(x, y) függvények egyaránt integrálhatók a D tartományban és mindenhol ebben az f(x, y) tartományban? g(x, y), akkor

5°. Ha az f(x, y) függvény integrálható a D tartományban, akkor az |f(x, y)| integrálható a D tartományba, és

(Természetesen az |f(x, y)| integrálhatósága D-ben nem jelenti az f(x, y) integrálhatóságát D-ben.)

6°. Átlagérték tétel. Ha mindkét f(x, y) és g(x, y) függvény integrálható egy D tartományban, akkor a g(x, y) függvény nem negatív (nem pozitív) mindenhol ebben a tartományban, M és m a f( x, y) függvény felső és infimuma a D tartományban, akkor van olyan szám, amely kielégíti az m egyenlőtlenséget? ? ? M és olyan, hogy a képlet érvényes legyen

Konkrétan, ha az f(x, y) függvény folytonos D-ben és a D tartomány összefügg, akkor ebben a tartományban van olyan pont (?, ?), hogy? = f(?, ?), és a képlet alakját veszi fel

7°. Fontos geometriai tulajdonság. megegyezik a D régió területével

Legyen adott egy T test a térben (2.1. ábra), amelyet alulról a D tartomány határol, felülről - egy folytonos és nem negatív függvény grafikonja) z=f (x, y), amelyet a a D régió oldalról - hengeres felület, melynek iránya a D tartomány határa, a generatricák pedig párhuzamosak az Oz tengellyel. Az ilyen típusú testet hengeres testnek nevezzük.

1.3 A kettős integrál geometriai értelmezése

1.4 A téglalap kettős integráljának fogalma

Legyen egy tetszőleges f(x, y) függvény definiálva mindenhol az R = téglalapon?

(lásd 1. ábra).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Osszuk fel az a szegmenst? x? b-t n részszakaszra az a = x 0 pontok felhasználásával

Ez az Ox és Oy tengellyel párhuzamos egyeneseket használó partíció megfelel az R téglalap n · p részleges téglalapokra R kl = ?

(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Az R téglalap jelzett partícióját a T szimbólummal jelöljük. A továbbiakban ebben a részben a „téglalap” kifejezésen olyan téglalapot értünk, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Minden R kl részleges téglalapon kiválasztunk egy tetszőleges pontot (? k, ? l). Ha?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, akkor?R kl-lel jelöljük az R kl téglalap területét. Nyilvánvaló, hogy ?R kl = ?x k ?y l .

Az R téglalap adott T partíciójának megfelelő f(x, y) függvény és a T partíció résztéglalapjain lévő közbülső pontok adott megválasztása (? k, ? l) integrálösszegének nevezzük. Az átlót az R kl téglalap átmérőjének nevezzük. Egy szimbólum? jelöljük az összes résztéglalap átmérője közül a legnagyobbat R kl -al. Az I számot integrálösszegek határának (1) nevezzük? > 0, ha bármely pozitív számra? ezt megadhatja< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

pozitív szám< ?.

?, mi van?

| ? - Én |

Egy f(x, y) függvényt R téglalapra integrálhatónak nevezünk Riemann-nak, ha ennek a függvénynek az integrál összegeinek véges I határa van? > 0.

A megadott I határértéket az f(x, y) függvény kettős integráljának nevezzük az R téglalap felett, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük:

Megjegyzés. Ugyanúgy, mint egyetlen határozott integrál esetében, megállapítható, hogy az R téglalapra integrálható f(x, y) függvény erre a téglalapra korlátozódik.

Ez okot ad arra, hogy a következőkben csak korlátozott f(x, y) függvényeket vegyünk figyelembe. Érintő és normál felület Meghatározás.

A felületnek bármely pontján vagy csak egy érintősíkja van, vagy egyáltalán nincs.

Ha a felületet a z = f(x, y) egyenlet adja meg, ahol f(x, y) az M 0 (x 0, y 0) pontban differenciálható függvény, az érintősík az N 0 pontban ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) létezik, és a következő egyenlete:

A felület normáljának egyenlete ezen a ponton:

Geometriai érzék teljes differenciálmű két f(x, y) változó függvénye az (x 0, y 0) pontban az érintősík felületre vonatkoztatott alkalmazásának (z koordinátáinak) a növekedése az (x 0, y 0) pontból a pont (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Amint látod, geometriai jelentése A két változó függvényének teljes differenciája az egyik változó függvénye differenciáljának geometriai jelentésének térbeli analógja.

Példa. Határozzuk meg a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

az M(1, 1, 1) pontban.

Érintősík egyenlet:

Normál egyenlet:

Kettős integrál számítása polárkoordinátában.

Legyen a D terület határa egy egyenessel r = r()és sugarak = És = , hol és r– a sík egy pontjának polárkoordinátái, amelyek annak derékszögű koordinátáihoz vannak társítva xÉs y

Kapcsolatok (5. ábra). Ebben az esetben

Megjegyzés. Ha a D területen belül Derékszögű koordináták ax-t például egy binomiálist tartalmazó egyenlet adja meg stb., akkor kényelmesebb egy ilyen tartományra poláris koordinátákban kiszámítani a dupla integrált.

Kettős integrál. Alapvető definíciók és tulajdonságok.

Kettős integrálok.

Tekintsünk egy zárt görbét azon a síkon, amelynek egyenlete:

A görbén belül és magán a görbén lévő összes pont halmazát zárt D régiónak nevezzük. Ha a régióban úgy választ ki pontokat, hogy nem veszi figyelembe a görbén fekvő pontokat, akkor a régiót D nyitott régiónak nevezzük.

Geometriai szempontból D az ábra kontúr által határolt területe.

Osszuk fel a D tartományt n részterületre olyan egyenesek rácsával, amelyek az x tengely mentén Dx i távolságra, az y tengely mentén pedig Dу i távolságra helyezkednek el. Általánosságban elmondható, hogy ez a felosztási sorrend kötelező, a területet tetszőleges alakú és méretű részterületekre lehet felosztani.

Azt találjuk, hogy az S terület elemi téglalapokra oszlik, amelyek területei egyenlők S i = Dx i × Dy i.

Minden részterületen vegyünk egy tetszőleges P(x i, y i) pontot, és állítsuk össze az integrál összeget

ahol f egy folytonos és egyértelmű függvény a D tartomány minden pontjára.

Ha végtelenül növeljük a D i részterületek számát, akkor nyilvánvalóan minden S i részterület területe nulla lesz.

Meghatározás: Ha a D tartomány felosztási lépése nullához közelít, az integrálösszegeknek véges határa van, akkor ezt a határértéket ún. kettős integrál az f(x, y) függvényből a D tartományon keresztül.

Figyelembe véve azt a tényt, hogy S i = Dx i × Dy i, a következőt kapjuk:

A fenti jelölésben két S jel van, mert az összegzést két x és y változón hajtjuk végre.

Mert Az integrációs régió felosztása tetszőleges, és a Р i pontok megválasztása is tetszőleges, akkor minden Si területet azonosnak tekintve a következő képletet kapjuk:

A kettős integrál létezésének feltételei.

Fogalmazzuk meg elegendő feltételeket kettős integrál létezése.

Tétel. Ha az f(x, y) függvény folytonos egy zárt D tartományban, akkor létezik a kettős integrál

Tétel. Ha az f(x, y) függvény egy zárt D tartományban korlátos, és mindenhol folytonos, kivéve véges számú darabonkénti sima egyenest, akkor létezik a kettős integrál.

A kettős integrál tulajdonságai.

3) Ha D = D 1 + D 2, akkor

4) Átlagérték tétel. Az f(x, y) függvény kettős integrálja megegyezik a függvény értékének szorzatával az integrációs tartomány egy bizonyos pontján és az integrációs tartomány területén.

5) Ha f(x, y) ³ 0 a D tartományban, akkor .

6) Ha f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), akkor .

#43 Meghatározás Tegyük fel, hogy a görbe C vektorfüggvény adja meg, ahol a változó s− a görbe ívének hossza. Ezután a vektorfüggvény deriváltja

Ez egy egységvektor, amely a görbe érintője mentén irányul (1. ábra).
A fenti képletben α, β És γ − az O tengely érintő és pozitív iránya közötti szögek x, O yés O z, ill.

Vezessünk be egy, a görbén definiált vektorfüggvényt C, tehát azért skaláris függvény

Volt egy görbe vonalú integrál Cés úgy jelöljük

Tehát definíció szerint

ahol a görbe érintőjének egységvektora C.
Az utolsó képlet vektoros formában is átírható:

Ahol.
Ha a görbe C az O síkban fekszik xy, akkor feltételezve R= 0, megkapjuk

Második típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai

A második típusú görbe vonalú integrál a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Legyen C pontból induló görbét jelöl Aés végpont B. Jelöljük azzal −C görbe az ellenkező irányba - -tól B To A. Majd

Ha C− görbék kombinálása C 1 és C 2 (fenti 2. ábra), majd Ha a görbe C alakban paraméteresen adjuk meg, akkor Ha a görbe C az O síkban fekszik xyés a Tm egyenlet adott (feltételezzük, hogy R= 0 és t = x), akkor az utolsó képlet a formába kerül

49. sz. Az F felület explicit módon z = z(x,y), (x,y)О D (kompakt),

ahol z(x,y) D-ben elsőrendű folytonos parciális deriváltjai vannak, az f(x,y,z) függvény definiált és folytonos F-en. Ekkor létezik egy integrál, amely egyenlő

Bizonyíték. Azokra a területekre, amelyeket kapunk

Ekkor az integrál összegek egyenlőek lesznek

Az összegek közül az első integrál -hoz, a második tetszőlegesen kicsinyíthető, ha kellően kicsi partíciót választunk. Ez utóbbi az f(x,y,z(x,y)) függvény D-n való egyenletes folytonosságából következik.

40. szám (folytatás) A létezéshez elegendő feltétel görbe vonalú integrál Az első típust később fogalmazzuk meg, amikor megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani.

Az első típusú görbe vonalú integrál definíciója szerkezetében megegyezik a határozott integrál definíciójával. Ezért az első típusú görbe vonalú integrál ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a határozott integrál. Ezeket a tulajdonságokat bizonyítás nélkül mutatjuk be.

AZ 1. TÍPUSÚ GÖRBELI INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI

1. , ahol a görbe hossza.

2. A konstans tényező kivehető az első típusú görbevonalas integrál előjeléből, azaz.

3. Két (véges számú) függvény algebrai összegéből származó első típusú görbe integrálja egyenlő az ezekből a függvényekből származó első típusú görbevonalas integrálok algebrai összegével, azaz.

4. Ha a görbe két részre oszlik, és nincs közös belső pontja, akkor

(az első típusú görbe vonalú integrál additivitásának tulajdonsága).

5. Ha a () függvény mindenhol ott van a görbén, akkor

6. Ha mindenhol a görbén (),

7. (a 6. és 1. tulajdonság következménye) Ha és a függvény legkisebb és legnagyobb értéke a görbén, akkor

hol van a görbe hossza.

8. (átlagérték tétel első típusú görbe integrálra) Ha a függvény folytonos a görbén, akkor van olyan pont, ahol az egyenlőség

hol van a görbe hossza.

42. sz. ív hossza.

Ha az f(x, y, z) integrandusfüggvény ≡ 1, akkor az 1. típusú görbe vonalú integrál definíciójából azt kapjuk, hogy ebben az esetben egyenlő annak a görbének a hosszával, amely mentén az integrációt végrehajtjuk:

Görbe tömeg.

Feltéve, hogy a γ (x, y, z) integrálfüggvény határozza meg a görbe egyes pontjainak sűrűségét, a görbe tömegét a képlet segítségével kapjuk meg.

3. Megtaláljuk az l görbe nyomatékait, úgy érvelve, mint egy sík régió esetén: -

statikus pillanatok lapos görbe l az Ox és Oy tengelyekhez képest;

a térbeli görbe tehetetlenségi nyomatéka az origóhoz viszonyítva;

· a görbe tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest.

4. A görbe tömegközéppontjának koordinátáit a képletek segítségével számítjuk ki

38. szám (2) Változók változása hármas integrálokban

Egy hármas integrál kiszámításakor, mint a dupla integrál, gyakran célszerű megváltoztatni a változókat. Ez lehetővé teszi az integrációs tartomány vagy az integrandus alakjának egyszerűsítését.

Adjuk meg az eredeti hármas integrált x, y, z derékszögű koordinátákkal az U tartományban:

Ezt az integrált új u, v, w koordinátákkal kell kiszámítani. A régi és új koordináták közötti kapcsolatot a következő összefüggések írják le:

Feltételezhető, hogy a következő feltételek teljesülnek:

1. A φ, ψ, χ függvények parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak;

2. Egy az egyhez megfeleltetés van az U integrációs tartomány xyz térbeli pontjai és az uvw tér U" tartományának pontjai között;

3. Az I (u,v,w) transzformáció jakobiánusa, egyenlő

különbözik a nullától, és az U integráció területén mindenhol állandó előjelet tart fenn.

Ekkor a hármas integrál változóinak megváltoztatására szolgáló képlet a következőképpen íródik:

A fenti kifejezésben azt jelenti abszolút érték Jacobi

38. sz. Háromszoros integrálok gömbkoordinátákban

Az M(x,y,z) pont gömbkoordinátái három szám − ρ, φ, θ, ahol

ρ az M pont sugárvektorának hossza;

φ az a szög, amelyet a sugárvektor az Oxy-síkra és az Ox-tengelyre vetítve alkot;

θ a sugárvektornak az Oz tengely pozitív irányától való eltérési szöge (1. ábra).

Vegye figyelembe, hogy a ρ, φ gömb- és hengerkoordinátákban megadott definíciói eltérnek egymástól.

Egy pont gömbkoordinátáit az összefüggések a derékszögű koordinátáihoz viszonyítják

A derékszögű koordinátákról a gömbi koordinátákra való átmenet Jacobi-féle alakja a következő:

A determinánst kiterjesztve a második oszlopra, azt kapjuk

Ennek megfelelően a jakobi abszolút értéke egyenlő

Ezért a változók megváltoztatásának képlete a derékszögű koordináták gömbkoordinátává való konvertálásakor a következő:

Háromszoros integrál kényelmesebb gömbkoordinátákkal számolni, ha az U integráció tartománya egy golyó (vagy annak egy része) és/vagy ha az integrandus f (x2 + y2 + z2) alakú.

Felület

Válasszunk ki egy M0 pontot egy sima felületen (sima kontúrral zárva vagy határolva), és rajzoljunk rá egy normálist a felületre, egy bizonyos irányt választva neki (a két lehetséges egyik közül). Rajzoljunk egy zárt kontúrt a felület mentén, amely az M0 pontban kezdődik és végződik. Tekintsünk egy M pontot, amely megkerüli ezt a kontúrt, és minden pozíciójában megrajzoljuk annak az iránynak a normálisát, amelybe az előző pontból származó normál folyamatosan halad. Ha a kontúr bejárása után a normál az M0 pontban visszatér eredeti helyzetébe bármely M0 pont választása esetén a felületen, akkor a felületet kétoldalinak nevezzük. Ha a normál iránya legalább egy pont bejárása után az ellenkezőjére változik, akkor a felületet egyoldalinak nevezzük (egyoldali felületre példa a Mobius-szalag). a normál iránya egy pontban egyértelműen meghatározza a normál irányát a felület minden pontján.

Meghatározás

A felület összes, azonos normál irányú pontjának halmazát a felület oldalának nevezzük.

Felületi tájolás.

Tekintsünk egy nyitott sima kétoldali S felületet, amelyet egy L kontúr határol, és válasszuk ki ennek a felületnek az egyik oldalát.

Meghatározás

Nevezzük pozitívnak az L körvonal bejárási irányát, amelyben a körvonal mentén való mozgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik a normál végpontjában elhelyezkedő megfigyelőhöz képest az S felület valamely, a felület kiválasztott oldalának megfelelő pontjához képest. Fordított irány az áramkör bypass-t negatívnak nevezzük.

Vektor mező áramlás.

Tekintsünk egy A(M) vektormezőt egy G térbeli tartományban, egy S G orientált sima felületet és egy n(M) egységnormális mezőt az S felület egy kiválasztott oldalán.

Meghatározás 13.3. 1. típusú felületi integrál, (13.1)

ahol An a megfelelő vektorok skaláris szorzata, An pedig az A vektor normál irányú vetülete, amelyet az A(M) vektormező áramlásának nevezünk az S felület kiválasztott oldalán keresztül.

1. megjegyzés.

Ha a felület másik oldalát választja, akkor a normál, és ennek következtében a fluxus előjelet vált.

2. megjegyzés.

Ha az A vektor a folyadék áramlási sebességét adja meg egy adott pontban, akkor a (13.1) integrál határozza meg az egységnyi idő alatt az S felületen pozitív irányban átáramló folyadék mennyiségét (innen az általános „áramlás”).

53. sz. Második típusú felületi integrál. Meghatározás és szentek.

Meghatározás

Tekintsünk egy kétoldalas, sima vagy darabonként sima felületet, és rögzítsük annak két oldalát, ami egyenértékű egy bizonyos tájolás kiválasztásával a felületen.

A határozottság kedvéért először tegyük fel, hogy a felületet egy explicit egyenlet adja meg, és a pont a síkon egy darabonként sima kontúrral határolt tartományban változik.

Határozzuk meg most ennek a felületnek a pontjain valamilyen függvényt. Miután a felületet darabonként sima görbék hálózatával részekre osztottuk, és mindegyik ilyen részen kiválasztunk egy pontot, kiszámítjuk a függvény értékét egy adott pontban, és megszorozzuk a vetület síkjára való vetület területével. az elem, egy bizonyos jellel ellátva. Készítsünk egy integrál összeget:

Ennek az integrálösszegnek a végső határát, mivel az összes rész átmérője nullára hajlik, a második típusú felületi integrálnak nevezzük.

a felület kiválasztott oldalára terjed, és a szimbólum jelöli

(itt) egy felületelem síkra vetítési területére emlékeztet

Ha sík helyett felületi elemeket vetítünk egy vagy síkra, akkor két másik, második típusú felületi integrált kapunk:

Az alkalmazásokban az összes ilyen típusú integrál kapcsolataival találkozhatunk leggyakrabban:

ahol a felület pontjain meghatározott függvényei.

A második és az első típusú felületi integrálok kapcsolata

Hol van a felület egységnyi normálvektora - ort.

Tulajdonságok

1. Linearitás: ;

2. Additivitás: ;

3. Amikor a felület orientációja megváltozik, a felületi integrál előjelet vált.

No. 60 Operatornabla (Hamilton operátora)- vektor differenciál operátor, szimbólummal (nabla) jelölve. Háromdimenziós euklideszi tér esetén derékszögű derékszögű koordinátákkal a nabla operátort a következőképpen definiáljuk: hol vannak az egységvektorok az x, y, z tengelyek mentén.

A megfigyelhető operátor tulajdonságai. Ennek a vektornak akkor van értelme, ha a skalár- vagy vektorfüggvénnyel kombináljuk, amelyre alkalmazzuk. Ha a vektort megszorozzuk a φ skalárral, akkor egy vektort kapunk, amely a függvény gradiensét reprezentálja. Ha egy vektort skalárisan megszorozunk egy vektorral, az eredmény skalár

vagyis a vektor divergenciája. Ha vektorral szorozunk, megkapjuk egy vektor rotorját:

Megjegyzés: csakúgy, mint a skalár és a vektorszorzat jelölésére általában, amikor a nabla operátorral együtt használják őket, a fent használtakkal együtt gyakran egyenértékű alternatív jelöléseket használnak, például ahelyett, hogy gyakran írnák, és helyette írj ; ez vonatkozik az alább megadott képletekre is.

Ennek megfelelően a skalárszorzat egy skaláris operátor, amelyet Laplace-operátornak neveznek. Utóbbit meg is jelöljük . A derékszögű koordinátákban a Laplace-operátort a következőképpen definiáljuk: Mivel a nabla operátor differenciáloperátor, a kifejezések transzformációja során figyelembe kell venni mind a vektoralgebra, mind a differenciálás szabályait. Például:

Vagyis egy kifejezés két mezőtől függő deriváltja azoknak a kifejezéseknek az összege, amelyek mindegyikében csak egy mező van differenciálva. A nabla melyik mezőkre hatásos jelzésének megkönnyítése érdekében általánosan elfogadott, hogy a mezők és operátorok szorzatában minden operátor a tőle jobbra lévő kifejezésre hat, és nem hat mindenre a balra. Ha az operátornak egy bal oldali mezőn kell cselekednie, akkor ezt a mezőt valamilyen módon megjelöljük, például egy nyíllal a betű fölé: Ezt a jelölési formát általában köztes átalakításoknál használják. Kényelmetlensége miatt próbálnak megszabadulni a nyilaktól a végső válaszban.

№61 Másodrendű vektoros differenciálműveletek A következő öt műveletet nevezzük:

1. hol van a Laplace operátor.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Itt van az a vektormennyiség, amelyet a Laplace-operátor alkalmazásával kapunk a vektor minden vetületére.

- - - - - - - - - - - - - - -

A kettős integrál fogalmához vezető probléma Dupla integrál definíciója Dupla integrál alaptulajdonságai Sík terület területe Dupla integrál redukálása ismételt integrállá Változók változása kettős integrálban Terület elem görbe vonalú koordinátákban Jacobi-féle és geometriai jelentése Kettős integrál változók változásának képlete Kettős integrál polárkoordinátákban

A kettős integrál fogalmához vezető probléma. A kettős integrál definíciója. A kettős integrál fogalmához a hengeres test térfogatszámításának specifikus feladatának megoldásával jutunk el. A hengeres test az xOy sík, egy bizonyos felület és egy hengeres felület által határolt test, amelynek generatricái párhuzamosak a tengellyel (lásd 1. ábra). Az x és y változók változásának D tartományát a hengeres test alapjának nevezzük. Egy test térfogatának meghatározásakor két alapelvből indulunk ki: !) ha a testet részekre osztjuk, akkor térfogata megegyezik az összes rész térfogatának összegével (additív tulajdonság); 2) egy egyenes henger térfogata, amelyet a z = const sík határol, párhuzamosan az xOy síkkal, egyenlő az alap területének szorozva a magassággal. A következőkben feltételezzük, hogy a D régió összefüggő (egy darabból áll), négyzet alakú (azaz van egy területe) és korlátos (azaz egy bizonyos körön belül helyezkedik el, amelynek középpontja az origóban van). Legyen a Z> tartományban mindenhol a P(x, y) pont folytonos függvénye, azaz hogy a vizsgált hengerfelület teljes egészében az xOy sík felett van. Jelöljük egy hengeres test térfogatát V-vel. A D tartományt - a hengeres test alapját - felosztjuk bizonyos n számú, tetszőleges alakú, nem metsző négyszöges tartományra; részrégióknak nevezzük őket. A részterületeket valamilyen sorrendben számozva, a területeket - ennek megfelelően át. Nevezzük a parciális tartomány átmérőjét Dk mennyiségnek. A kettős integrál fogalmához vezető probléma Dupla integrál definíciója A kettős integrál alapvető tulajdonságai Lapos terület területe Dupla integrál redukálása ismételt integrállá változók kettős integrálban Terület elem görbe vonalú koordinátákban Jacobi és geometriai jelentése Kettős integrál változóinak változási képlete Dupla integrál polárkoordinátákban, ahol a p(P; Q) szimbólum a P és Q pontok távolságát jelenti. d-vel a Dk részterületek átmérői közül a legnagyobb (k = 1,2,..., n). Rajzoljunk át minden részterület határán egy hengeres felületet az Oz tengellyel párhuzamos generátorokkal. Ennek eredményeként a hengeres test n részleges hengeres testre fog feltörni. Cseréljük ki ezt a résztestet egy egyenes hengerre, amelynek alapja és magassága megegyezik a cserélt felület valamely pontjának alkalmazásával (2. ábra). Egy ilyen henger térfogata megegyezik azzal, ahol a pont a Dk tartomány területe. A leírt konstrukciók elvégzése után minden részhengeres testre egy n-lépcsős testet kapunk, amelynek térfogata (o) Intuitív módon jól látható, hogy Vn pontosabban fejezi ki a kívánt V térfogatot, minél kisebbek a részterületek Dk. Egy hengeres test V térfogatát egyenlőnek vesszük azzal a határértékkel, amelyre egy n-lépéses test térfogata (1) n-ω, és a Dk részterületek legnagyobb d átmérője nullára hajlik. Természetesen a határérték nem függhet a D régió Dk részterületekre való felosztásának típusától és a részterületek Pk pontjainak megválasztásától. Legyen f(x, y) egy tetszőleges függvény, amely a D tartományban van definiálva. Az n (1) összeget az f(x)y) függvény D tartományon belüli integrálösszegének nevezzük, amely megfelel ennek a tartománynak az n tartományba való adott partíciójának. parciális tartományok és egy adott pontválasztás Ж ®*,!/*) parciális tartományokon Dk. Meghatározás. Ha d -* 0 esetén az n integrálösszegeknek van egy határa, amely nem függ sem a D tartomány résztartományokra való felosztásának módjától, sem a résztartományokban a Pk pontok megválasztásától, akkor ezt a tartomány kettős integráljának nevezzük. az f(P) (vagy f(x, y )) függvényt a D tartomány felett, és a VAGY szimbólummal jelöljük Tehát, (2) Magát az f(x, y) függvényt integrálhatónak nevezzük a D tartományban (f( P) az integrandus, f(P) dS az integrandus, dS a terület differenciálja (vagy eleme), a D régió - az integráció P(®, y) pontja - az integráció változója; ,.. Visszatérve a hengeres testre, arra a következtetésre jutunk: az xOy síkkal, a felülettel és az Oz tengellyel párhuzamos generatricákkal határolt hengeres test térfogata megegyezik a függvény /( x, y) a D tartomány felett, amely a hengeres test alapja / VAGY Itt dx dy a terület elem a derékszögű koordinátákban. Ez a nemnegatív függvény kettős integráljának geometriai jelentése. Ha ekkor az If térfogata az f(P) függvény D tartományában pozitív és negatív értéket is felvesz, akkor az integrál az xOy sík felett elhelyezkedő testrészek térfogatainak algebrai összegét jelöli. egy „+” jel), valamint azok a testrészek, amelyek az xOy sík alatt helyezkednek el (“-” jellel vesszük). 2. Tétel. Ha egy f(x, y) függvény egy zárt korlátos D tartományban korlátos, és D-ben mindenhol folytonos, kivéve néhány nullaterületi ponthalmazt, akkor ez a függvény integrálható a D tartományba. §2. A kettős integrál alapvető tulajdonságai A kettős integrálok számos tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek hasonlóak egy független változó függvényeihez a határozott integrál tulajdonságaihoz. 2.1. Lineáris tulajdonság Ha a függvények) integrálhatók a D tartományban, és a és p bármilyen valós szám, akkor az af) függvény is integrálható a D tartományban, és o) 2.2. Egyenlőtlenségek integrálása Ha a függvények) integrálhatók a D tartományban és mindenhol ebben a tartományban, akkor (2) azaz az egyenlőtlenségek integrálhatók. Konkrétan a nyilvánvaló egyenlőtlenségeket integrálva kapjuk meg a sík tartomány területét A sík tartomány D területe egyenlő az egységgel azonos függvény ezen tartománya feletti kettős integráljával. Valójában a /(P) = 1 függvény integrálösszege a D tartományban alakja, és a D tartomány Dt résztartományokra való felosztása esetén egyenlő az S területével. De akkor ennek az összegnek a határa, azaz a kettős integrál egyenlő az S területtel D területtel: vagy ami megegyezik, (3) 2.4. Az integrál becslése Legyen az f(P) függvény folytonos egy korlátos zárt D tartományban, legyen M és mn f(P) legnagyobb és legkisebb értéke a D tartományban és 5 annak területén. Ezután (4) 2.5. Additivitás: Ha a /(P) függvény integrálható a D tartományban, és a Z) tartomány két D\ és Di tartományra van osztva közös belső pontok nélkül, akkor a /(P) integrálható a D\ és Di tartományok mindegyikébe. és (5) 2.6. Átlagérték tétel 3. tétel (átlagérték). Ha a /(P) függvény folytonos egy zárt korlátos D tartományban, akkor a D tartománynak legalább egy Pc pontja van, így érvényes a képlet, ahol S a D tartomány területe /(P) folytonos egy zárt, határos D területen, akkor veszi annak legmagasabb érték M és legkisebb értéke m Az integrál kiértékelésének 4. tulajdonsága alapján tehát a szám a legnagyobb és között van legalacsonyabb értékek a /(P) függvény a D tartományban. A /(P) függvény folytonossága miatt a D tartományban egy ponton Pc G D ezzel a számmal egyenlő értéket vesz fel, ahonnan S Az f(Pc) értéke, a (7) képlet által meghatározott, az f(P) átlagérték függvényeknek nevezzük a D tartományban. Az átlagérték tétel geometriai jelentése Ha a D tartományban az f(P) → O függvény, akkor a (6) képlet azt jelenti, hogy létezik egy D alappal (5 területű) Н = /(Рс) magasságú egyenes henger, amelynek térfogata megegyezik egy hengeres test térfogatával (3. ábra). 3. § Kettős integrál redukálása ismételt integrállá Az egyik hatékony módszerek kettős integrál kiszámítása azt jelenti, hogy ismétlődőre redukáljuk. 3.1. Téglalap esete Legyen D terület egy zárt P téglalap, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel. Legyen az f(x, y) függvény folytonos a P téglalapban. A kettős integrál egy P alappal rendelkező hengeres test (algebrai) térfogataként értelmezhető. Tekintsük a megfelelő hengertestet. Rajzoljunk az Oy tengelyre merőleges síkot (4. ábra). Ez a sík elvágja a hengeres testet egy görbe vonalú trapéz mentén, amelyet felülről egy lapos z vonal határol, és amelyet az egyenletek írnak le. Az ABC\A\ trapéz területét az az integrál fejezi ki, ahol az integrációt x felett végezzük, és yo - az integrandus második argumentuma - konstansnak tekinthető (c ^ Uo ^ d ). Az integrál (1) értéke az уо érték megválasztásától függ. Tegyük fel (2) A (2) kifejezés megadja egy hengeres test a keresztmetszeti területét y függvényében. Ezért egy hengeres test térfogata kiszámítható a képlettel. Másrészt ezt a térfogatot az f(x, y) függvény kettős integrálja fejezi ki a P téglalap felett. Ez azt jelenti, hogy S(y) helyett S(y) kifejezését (2) kapjuk A kettős integrál fogalmához vezető probléma Dupla integrál definíciója Dupla integrál alapvető tulajdonságai Egy sík terület területe Dupla integrál redukálása ismételt integrálra Változók cseréje kettős integrálban Területelem görbe koordinátákban Jacobi és geometriai jelentése Kettős integrál változók cseréjének képlete Kettős integrál polárkoordinátákban Az utolsó összefüggést általában a következőképpen írják le. síkok x = x0. Ez a (4) képlethez vezet. A (3) és (4) képlet jobb oldalán található kifejezések mindegyike két egymást követő műveletet tartalmaz az /(x, y) függvény közönséges integrálására. Ezeket az /(x, y) függvény P tartományban ismétlődő integráljainak nevezzük. Ha f(x, y) folytonos egy zárt P téglalapban, akkor az ismétlődő integrálokra való átmenet mindig lehetséges, és (5) azaz a folytonos függvény /(x, y) ismétlődő integráljainak értékei nem függnek az integrálás sorrendjétől. 1. példa: Keressük meg egy függvény kettős integrálját egy tartományon A következőkkel rendelkezünk (lásd 5. ábra): 3.2. Egy tetszőleges tartomány esete Tegyük fel most, hogy az integrációs tartomány egy tetszőleges korlátozott négyzetes zárt D tartomány az xOy síkon, amely teljesül a következő feltételnek: bármely Oy tengellyel párhuzamos egyenes metszi a D tartomány határát több mint két pont vagy egy teljes szakasz mentén (ábra. 6 a). Zárjuk be a D területet a téglalap belsejébe, ahogy az ábra mutatja. 66. Az [a, 6] szakasz a D tartomány ortogonális vetülete az Oxy tengelyre, a [c, dj szakasz pedig a D tartomány merőleges vetülete az Oy tengelyre. Az A és C pont a D terület határát két ABC és AEC görbére osztja. Ezen görbék mindegyike legfeljebb egy pontban metszik egy tetszőleges, az Oy tengellyel párhuzamos egyenest. Ezért az egyenleteik felírhatók y-ra feloldott formában: Legyen f(x, y) valamilyen folytonos függvény a D tartományban. Boncoljuk fel a vizsgált hengertestet egy síkkal. A szakaszban egy görbe vonalú PQMN trapézt kapunk (7. ábra), amelynek területét az /(x, y) függvény közönséges integrálja fejezi ki, amelyet egy y változó függvényének tekintünk. Ebben az esetben az y változó a P pont ordinátájáról a Q pont ordinátájára változik, P pont az x = const egyenes „belépése” (a síkban) a tartományba - „kilépési pontja” ebből a régióból. Mivel az ABC görbe egyenlete és a görbe van, ezek az x ordinátái rendre egyenlőek. Következésképpen az integrál egy hengeres test lapos szakaszának területére ad kifejezést a vágási sík helyzetének függvényében x = const. A teljes test térfogata egyenlő lesz ennek a kifejezésnek a változási intervallumban lévő x feletti integráljával. Így Konkrétan a D tartomány S területére a következőt kapjuk: Tegyük fel most, hogy minden egyenes a D tartomány határát legfeljebb két P és Q pontban metszi, amelyek abszcisszái egyenlőek, ill. vagy a teljes szegmens mentén) (8. ábra). Hasonló érvelést végrehajtva olyan képlethez jutunk, amely a dupla integrál számítását is ismétlődőre redukálja. 2. példa Számítsa ki egy függvény kettős integrálját a D. vonalak által határolt területre ^ Első módszer. Ábrázoljuk a D integráció tartományát. Az y = x egyenes és az y = x2 parabola pontokban metszi egymást). Ez azt jelenti, hogy x 8 határon belül változik 0-tól. Bármely egyenes x = const) legfeljebb két pontban metszi a tartomány határát. Ezért a (8) képlet alkalmazható: Második módszer (10. ábra). A (10) képlet segítségével. ugyanazt az eredményt kapjuk: Példa 3. Számítsa ki annak a testnek a térfogatát, amelyet az xOy síkkal metszett felület egy féltengelyes ellipszis egyenese mentén metsz, ennek a testnek az xOz és y Ox koordinátasíkokhoz viszonyított szimmetriája miatt megkapjuk: Megjegyzés. Ha a D tartomány olyan, hogy néhány egyenes (osztratekális vagy vízszintes) több mint két pontban metszi a határát, akkor a D tartományra eső kettős integrál kiszámításához megfelelően részekre kell osztani, minden integrált részekre kell ismételni. , és add hozzá a kapott eredményeket. 4. példa Számítsa ki a kettős integrált a két középpontú négyzet közé bezárt D területre, az origónál és a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalakon, ha a belső négyzet oldala 2, a külsőé pedig 4. Folyamatos, mint a egy nagy Q négyzet, amelynek oldala 4, és egy kis négyzetben R., amelynek oldala egyenlő 2-vel (12. ábra). Az 1. Tétel szerint az e*** függvény integráljai a jelzett négyzetek felett léteznek, így a szükséges integrál értéke §4. Változók változása kettős integrálban 4.1. Egy pont görbe vonalú koordinátáinak fogalma Adjunk meg egy olyan függvénypárt az uOv sík D* tartományában, amelyet ebben a tartományban folytonosnak tekintünk, és folytonos parciális deriváltjai vannak. Az (1) egyenlet értelmében a D* tartomány minden M*(α, v) pontja egy meghatározott M(x, y) pontnak felel meg az xOy síkban, így a D* tartomány pontjai egy bizonyos D ponthalmaz (x, y) az xOy síkban (13. ábra). Ebben az esetben azt mondják, hogy az (1) függvények a D4 tartományt képezik le a D halmazra. Tegyük fel, hogy különböző pontok (u, v) különböző pontoknak (x, y) felelnek meg. Ez ekvivalens az (1) egyenletek egyedi megoldhatóságával u, v vonatkozásában: Ebben az esetben a leképezést a D* tartomány egy-egy leképezésének nevezzük a D tartományra. Egy ilyen transzformációval bármely a D* tartományban fekvő L* folytonos görbe átalakul a D tartományban fekvő L folytonos görbévé. Ha a d(x) y) és a h(x, y) függvény is folytonos, akkor bármilyen folytonos vonalú LCD a segítségével A (2) transzformáció átmegy az L* C D* folytonos vonalon.<)> Vq) magában a £)* tartományban, de a megfelelő M(xo, vo) pont helyzete a D tartományban, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o,vo). Ez okot ad arra, hogy az u, v számokat az M tartomány D pontjának néhány új koordinátájaként tekintsük az xOy síkon. Ezeket az M pont görbe vonalú koordinátáinak nevezzük. A D terület azon pontjainak halmazát, amelyeknél az egyik koordináta állandó marad, koordinátaegyenesnek nevezzük. Ha az (1) képletben u = vq-t állítunk be, megkapjuk a koordináta egyenes paraméteres egyenleteit. Itt a paraméter szerepét az u változó játssza. A v koordinátának különféle (lehetséges) konstans értékeket adva az xOy síkon egy koordinátaegyenes családot kapunk (v = const). Hasonlóképpen kapunk egy másik koordinátaegyenes családot (u = const). Ha a D* és D régiók között egy az egyhez egyezés van, akkor ugyanannak a családnak a különböző koordinátavonalai nem metszik egymást, és minden családból egy egyenes átmegy a D régió bármely pontján. Az xOp síkon görbe vonalú koordinátavonalak hálója egy téglalap alakú rács képe az uOv síkon (lásd 13. ábra). 4.2. Területelem görbe vonalú koordinátákban. A jakobi és geometriai jelentése Válasszunk a D* tartományban az Uo*V síkon egy kis P*P?P$Pl téglalapot, amelynek oldalai párhuzamosak a 0*u és O"v koordinátatengelyekkel, valamint Ai és Av oldalhosszúak. (a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy A ) rendre (14. ábra a) A Téglalap területe egy görbe vonalú négyszöggé alakul a D területen (146. ábra). ), a megfelelő Pi csúcsok koordinátái vannak). a négyszög csúcsai, ahol a függvények minden deriváltja a pontban tény, hogy ekkor egy négyszög DS területe megközelítőleg kifejezhető a vektorszorzat hosszával Kettős integrál redukálása ismétlődő integrálra Változók cseréje kettős integrálban Területelem görbe vonalú koordinátákban Jacobi-féle és geometriai jelentése Változóváltási képlet kettős integrálban Dupla integrál poláris koordinátákban Determináns A videó (7) és (8) képletéből , a Jacobi-féle abszolút értéke a D" régió lokális nyújtási együtthatója szerepét tölti be (ebben a pontban (tx, v)), amikor az (1) transzformációs képletekkel leképezi a D tartományra. 4.3. Változók megváltoztatásának képlete kettős integrálban. A folytonos függvények végezzék el a D* tartomány egy-egy leképezését D-re, és legyenek elsőrendű folytonos parciális deriváltjai. Adjunk meg egy folytonos függvényt az xOy síkon a D tartományban. A D régióban lévő) függvény minden értéke megfelel a D" tartományban lévő r = függvénynek, ahol. Osszuk fel a D* tartományt részterületekre. és készítsünk egy megfelelő partíciót a D régióból. Válasszunk ki pontokat a megfelelő résztartományokban (u, v) és (x, y) úgy, hogy a bennük lévő függvények értéke egybeessen, és a z függvényekre integrál összegeket állítunk össze. = /(x, y) és v) a D és D* tartományok felett A (9) függvények Jacobi-egyenlőségét a határértékig kapjuk, mivel a D\ részterületek legnagyobb átmérője d* nullára hajlik. a térkép folytonossága (I), a D-beli részterületek d átmérői közül a legnagyobb is nulla lesz), akkor lesz ahol J Ф 0 feltétel a függvények által végrehajtott lokális egy az egyhez leképezés feltétele 4. Tétel. Ahhoz, hogy a derékszögű koordinátákban megadott kettős integrált görbe vonalú koordinátákban kettős integrállá alakítsuk, az /(x, y) integrandusfüggvényben az x és y változókat rendre a dx dy területelemen keresztül kell helyettesíteni. kifejezése görbe vonalú koordinátákkal: Példa. Határozzuk meg egy m hiperbolákkal határolt ábra területét. A jelzett ábra területének megtalálása az O tartomány kettős integráljának kiszámításához vezet. Vezessünk be újakat, görbe vonalú koordinátákés és a képletekről Az aadachi yashio állapotából, hogy. Ez azt jelenti, hogy az uOv síkban egy téglalapot (156. ábra) kaptunk - a megadott D ábránál egyszerűbb alakot. Adjuk ki x és y relációkból (11) u és t> révén: 15. ábra Majd Double integrál polárkoordinátákban A kettős integrál kiszámítása gyakran leegyszerűsítve cserével derékszögű koordináták x és y polárkoordináták a képletek szerint A polárkoordinátákban lévő területelem alakja és képlete a derékszögű koordinátájú integrálról a polárkoordinátában lévő integrálra való átmenetnek a következőképpen írható fel: Ebben az esetben (13) A terület elem poláris koordinátáiban geometriai megfontolások alapján is megkapható (lásd . 16. ábra). Az A ábrán látható árnyékolt terület területe = pl. ágazatokban. szektorok Elvetve a magasabb rendű végtelenül kicsiny mennyiséget, megkapjuk és poláris koordinátákban területelemnek vesszük. Tehát ahhoz, hogy a derékszögű koordinátákban lévő kettős integrált polárkoordinátákban lévő kettős integrállá alakítsunk át, le kell cserélni a: és y-t az integrandusban a p costp és a psiny segítségével, és le kell cserélni a derékszögű koordinátákban lévő területelemet dx dy a terület elem poláris koordinátáival p dp dip. Most kezdjük el kiszámítani a polárkoordinátákban megadott kettős integrált. Akárcsak a derékszögű derékszögű koordináták esetében, a polárkoordinátákban lévő integrál kiszámítása iterált integrálra való redukálással történik. Tekintsük először azt az esetet, amikor az O pólus egy adott D tartományon kívül esik. Legyen a D tartománynak az a tulajdonsága, hogy a pólusból kiinduló bármely sugár (az y koordináta egyenes legfeljebb két pontban metszi a határát vagy egy teljes szakasz mentén (17. ábra) Figyeljük meg, hogy a polárszög szélső értékei a külső integráció határai. A μ> = sugár áthalad a D körvonal A pontján, a sugár pedig a B ponton. Az Aw B pontok a D régió körvonalát két részre osztják: ACB és AFB és) egyértékű folytonos függvények, amelyek kielégítik a feltételt. A függvények a belső integráció határai. Ismételt integrálokra áttérve a következő képletet kapjuk. Konkrétan a D tartomány S területére F(p, r 1) kapjuk. Legyen most az O pólus a D tartományon belül. Tegyük fel, hogy a D tartomány. csillag a pólushoz képest, azaz bármely tp = const sugár csak egy pontban vagy egy teljes szakasz mentén metszi a tartomány határát (18. ábra Legyen a tartomány határának egyenlete poláris koordinátákban). Ezután 18. ábra. Számítsuk ki azt az integrált, ahol az első kvadránsban található egységkör negyede A transzformált integrál téglalap: d nem nulla a D tartományban, akkor ennek a tartománynak egy bizonyos szomszédságában a leképezés egy az egyhez, azonban előfordulhat, hogy a teljes tartomány leképezése nem egy az egyhez. Tekintsük a függvények által definiált leképezést ezeknek a függvényeknek a Jacobi-félesége egyenlő, ezért mindenhol különbözik a nullától. Ettől függetlenül megkapjuk, tehát ez a leképezés nem egy az egyhez. Másrészt, ha egy leképezés jakobiusza egy ponton eltûnik, akkor ennek a pontnak a szomszédságában a leképezés egy az egyhez történhet. Például egy függvényekkel definiált leképezésnél a jakobi egyenlő nullával és at, de a leképezés egy az egyhez. Az inverz leképezést a függvények határozzák meg