Tehetetlenségi nyomatékok meghatározása tengelyek párhuzamos fordítása során. A tehetetlenségi nyomatékok változása tengelyek párhuzamos fordítása során. Alapfogalmak a torzióról. Kerek gerenda torziója
Legyen z Vel, y s– a szelvények központi tengelyei, – a szakasz tehetetlenségi nyomatékai ezekhez a tengelyekhez képest. Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékait az új tengelyekhez viszonyítva z 1, 1-kor, párhuzamosak a központi tengelyekkel, és azokhoz képest távolságokkal eltolva aÉs d. Hadd dA– elemi terület egy pont közelében M koordinátákkal yÉs z a központi koordinátarendszerben. ábrából 4.3 jól látható, hogy a C pont koordinátái in új rendszer koordinátái egyenlőek lesznek, .
Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az y tengelyhez képest 1 :
|
| z c |
| y c |
| z 1 |
| y 1 |
| d |
| a |
| C |
Így,
Hasonlóképpen
A szakasz tehetetlenségi nyomatékainak megváltoztatása a tengelyek forgatásakor
Keressük az összefüggést a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok között y, zés a tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekkel kapcsolatban y 1, z 1, szögben elforgatva a. Hadd Jy> Jzés pozitív szög a tengelytől mérve yóramutató járásával ellentétes irányban. Legyen a pont koordinátái M kanyar előtt - y, z, fordulás után - y 1, z 1(4.4. ábra).
Az ábrából ez következik:
Most határozzuk meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat y 1És z 1:
|
| M |
| z |
| z 1 |
| y 1 |
| y |
| a |
| y |
| y 1 |
| z 1 |
| z |
Hasonlóképpen:
A (4.13) és (4.14) egyenleteket tagonként összeadva a következőt kapjuk:
azok. a tehetetlenségi nyomatékok összege bármely egymásra merőleges tengelyhez képest állandó marad, és nem változik a koordinátarendszer elforgatásakor.
Fő tehetetlenségi tengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok
A tengelyek forgásszögének változásával a Mindegyik mennyiség változik, de összegük változatlan marad. Ezért van egy ilyen jelentés
a = a 0, amelynél a tehetetlenségi nyomatékok elérik a szélső értéket, azaz. az egyik eléri a maximumát, a másik pedig a minimumát. Az érték megtalálásához a 0 vegye a (vagy) első deriváltját, és egyenlő legyen nullával:
Mutassuk meg, hogy a kapott tengelyekhez viszonyítva a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával. Ehhez a (4.15) egyenlet jobb oldalát nullával egyenlővé tesszük: , honnan, azaz. ugyanazt a képletet kapta a 0 .
Azokat a tengelyeket, amelyeken a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla, a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok pedig szélsőséges értéket vesznek fel, főtengelyeknek nevezzük. Ha ezek a tengelyek is központiak, akkor ezeket fő központi tengelyeknek nevezzük. A főtengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat főtehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.
Jelöljük a főtengelyeket y 0És z 0. Majd
Ha egy szakasznak van szimmetriatengelye, akkor ez a tengely mindig a szakasz egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.
Legyen Ix, Iy, Ixy is ismert. Rajzoljunk egy új x 1, y 1 tengelyt párhuzamosan az xy tengelyekkel.
És határozzuk meg ugyanannak a szakasznak az új tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát.
X1 = x-a; y 1 = y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA - 2b ∫ ydA + b 2 ∫ dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Ha az x tengely átmegy a metszet súlypontján, akkor az Sx statikus nyomaték =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
Az új y 1 tengelyhez hasonlóan a következő képlet lesz: I y 1 = Iy + a 2 A
Centrifugális tehetetlenségi nyomaték új tengelyekre
Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.
Ha az xy tengelyek áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Ha a metszet szimmetrikus, akkor legalább az egyik központi tengely egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor Ixy =0, ami azt jelenti, hogy Ix 1 y 1 = abA
Változó tehetetlenségi nyomatékok tengelyek forgatásakor.
Legyenek ismertek az xy tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok.
Új xy koordinátarendszert kapunk, ha a régi rendszert szöggel elforgatjuk (a > 0), ha a forgatás az óramutató járásával ellentétes.
Határozzuk meg a kapcsolatot a telephely régi és új koordinátái között
y 1 =ab = ac – bc = ab- de
háromszög acd-ből:
ac/ad =cos α ac= ad*cos α
oed háromszögből:
de/od =sin α dc = od*sin α
Helyettesítsük be ezeket az értékeket y kifejezésébe
y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.
Hasonlóképpen
x 1 = x cos α + y sin α.
Számítsuk ki az új x 1 tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékot
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
Hasonlóképpen, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Adjuk hozzá a kapott kifejezések bal és jobb oldalát:
Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
A forgás közbeni tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik.
Határozzuk meg az új tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot. Képzeljük el az x 1 , y 1 értékeket.
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α.
Fő nyomatékok és fő tehetetlenségi tengelyek.
A fő tehetetlenségi nyomatékok szélsőséges értékeknek nevezzük.
Azokat a tengelyeket, amelyekről a szélső értékeket megkaptuk, fő tehetetlenségi tengelyeknek nevezzük. Mindig egymásra merőlegesek.
A főtengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték mindig 0. Mivel ismert, hogy a metszetben van szimmetriatengely, a centrifugális nyomaték 0, ami azt jelenti, hogy a szimmetriatengely a főtengely. Ha vesszük az I x 1 kifejezés első deriváltját, majd egyenlővé tesszük „0”-val, akkor megkapjuk a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének megfelelő = = szög értékét.
tan2 α 0 = - 
Ha α 0 >0, akkor a főtengelyek egy bizonyos helyzetéhez a régi tengelyt kell az óramutató járásával ellentétes irányba forgatni. Az egyik főtengely max, a másik min. Ebben az esetben a max tengely mindig kisebb szöget zár be azzal a véletlen tengellyel, amelyhez képest nagyobb tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka van. A tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték szélső értékeit a következő képlet határozza meg:
2. fejezet Az anyagok szilárdságának alapfogalmai. Célok és módszerek.
Különböző szerkezetek tervezésekor meg kell oldani a szilárdság, a merevség és a stabilitás különböző kérdéseit.
Erő– az adott test azon képessége, hogy roncsolás nélkül ellenálljon a különféle terheléseknek.
Merevség– a szerkezet nagy alakváltozások (elmozdulások) nélküli terhelésfelvételi képessége. Az előzetesen megengedett alakváltozási értékek szabályozottak építési szabályzatokés szabályok (SNIP).
Fenntarthatóság
Tekintsük egy rugalmas rúd összenyomását
Ha a terhelést fokozatosan növeljük, a rúd először lerövidül. Amikor az F erő elér egy bizonyos kritikus értéket, a rúd meghajlik. - abszolút rövidítés.
Ebben az esetben a rúd nem esik össze, hanem élesen megváltoztatja alakját. Ezt a jelenséget a stabilitás elvesztésének nevezik, és pusztuláshoz vezet.
Sopromat– ezek a mérnöki szerkezetek szilárdságával, merevségével és stabilitásával kapcsolatos tudományok alapjai. A szilárdsági anyagok az elméleti mechanika, fizika és matematika módszereit használják. Az elméleti mechanikától eltérően a szilárdsági ellenállás figyelembe veszi a testek méretének és alakjának változásait a terhelés és a hőmérséklet hatására.
7. ábra.
,
,
,
Ahol én x, én y – a referenciatengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;
Én xy– a referenciatengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték;
Én xc, én yc– a központi tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;
Én xcyc– centrifugális tehetetlenségi nyomaték a központi tengelyekhez képest;
a, b– a tengelyek közötti távolság.
Egy szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározása a tengelyek forgatásakor
A szakasznak a központi tengelyekhez viszonyított összes geometriai jellemzője ismert x C,C-nél(8. ábra). Határozzuk meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat x 1,1-kor, a központiakhoz képest egy bizonyos szöggel elforgatva a.
8. ábra
,
Ahol I x 1, I y 1 – tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekre x 1,1-kor ;
I x 1 y 1– a tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték x 1,1-kor .
A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása
A szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeinek helyzetét a következő képlet határozza meg:
,
Ahol egy 0 – a központi és a fő tehetetlenségi tengely közötti szög.
A fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása
A szakasz fő tehetetlenségi nyomatékait a következő képlet határozza meg:
Egy összetett szakasz számítási sorrendje
1) Bontson fel egy összetett szakaszt egyszerűbbekre! geometriai formák [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]
2) Válasszon tetszőleges tengelyeket XOY .
3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét! [x c , y c].
4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c.
5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ixc, Iy c , a tengelyek párhuzamos fordításának tételével.
6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c.
7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét! tg2a 0.
8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Imin.
2. PÉLDA
A 13. ábrán látható ábrához határozza meg a főbb pontokat
a tehetetlenség és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzete.
1) Az összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra bontjuk
S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200 mm2, S= 3200 mm 2.
2) Válasszon tetszőleges XOY tengelyt.
3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét!
x c = 25 mm, y c=35 mm.
4) A központi tengelyek megrajzolása X c OY c
5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c, Iy c
6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c
7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!
Ha I x >I y És a 0 >0 , majd a szög egy 0 tengelytől eltolva X s óramutató járásával ellentétes irányban.
8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Imin
3. PÉLDA
 |
ábrán látható ábrához. 8 határozza meg a főtengelyek helyzetét
8. ábra.
tehetetlenség és fő tehetetlenségi nyomatékok.
1) Minden ábrához felírjuk az alapvető kiindulási adatokat
Csatorna
S 1 = 10,9 cm2
I x = 20,4 cm 4
I y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
Egyenetlen sarok
S 3 = 6,36 cm2
I x = 41,6 cm 4
I y = 12,7 cm 4
I min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x 0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Téglalap
S 2 = 40 cm2
cm 4
cm 4
2) Rajzolja meg a szakaszt méretarányosan
3) Rajzoljon tetszőleges koordinátatengelyeket
4) Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit!
5) Rajzolja meg a központi tengelyeket
6) Határozza meg a központi tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat!
7) Határozza meg a központi tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot!
A szöghengerelt acél súlypontjához viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékát a következő képletek egyike határozza meg:
-4
A szöghengerelt acél centrifugális tehetetlenségi nyomatékának előjelét az ábra szerint határozzuk meg. 9 tehát I xy 3= -13,17 cm 4.
8) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!
 |
a 0 = 21,84°
9) Határozza meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!
4. FELADAT
A megadott sémákhoz (6. táblázat) szükséges:
1) Rajzoljon keresztmetszetet szigorú léptékben.
2) Határozza meg a súlypont helyzetét!
3) Keresse meg a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét a központi tengelyekhez viszonyítva.
4) Határozza meg a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értékét a központi tengelyekhez viszonyítva!
5) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!
6) Keresse meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!
Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 6.
Számítási sémák a 4. feladathoz
 |
|||
 | |||
 |
6. táblázat
Kiinduló adatok a 4. számú feladathoz
| № | Egyenlő szögű sarok | Egyenetlen sarok | I-sugár | Csatorna | Téglalap | számú séma |
| 30'5 | 50'32'4 | 100×30 | ||||
| 40'6 | 56´36´4 | 100×40 | ||||
| 50'4 | 63'40'8 | 100×20 | ||||
| 56´4 | 70'45'5 | 80'40 | ||||
| 63´6 | 80'50'6 | 14a | 80'60 | |||
| 70'8 | 90'56'6 | 80'100 | ||||
| 80'8 | 100'63'6 | 20a | 16a | 80'20 | ||
| 90'9 | 90'56'8 | 60'40 | ||||
| 75'9 | 140'90'10 | 22a | 18a | 60'60 | ||
| 100×10 | 160'100'12 | 60'40 | ||||
| d | A | b | V | G | d |
Útmutató az 5. problémához
A hajlítás egy olyan alakváltozás, amelyben a rúd keresztmetszetében megjelenik a V.S.F. – hajlítónyomaték.
A hajlítási gerenda kiszámításához ismerni kell a maximális hajlítónyomaték értékét Més annak a szakasznak a helyzete, amelynél előfordul. Ugyanígy tudnia kell a maximális oldalerőt K. Erre a célra a hajlítónyomatékok és a nyíróerők diagramjai készülnek. Az ábrákból könnyen megítélhető, hogy hol a maximális pillanatérték ill nyíróerő. Mennyiségek meghatározásához MÉs K használja a szakaszos módszert. Tekintsük az ábrán látható áramkört. 9. Állítsuk össze a tengelyre ható erők összegét! Y, a gerenda levágott részére hat.
 |
9. ábra.
A keresztirányú erő egyenlő a szakasz egyik oldalán ható összes erő algebrai összegével.
Állítsuk össze a gerenda levágott részére ható nyomatékok összegét a metszethez képest.
A hajlítónyomaték egyenlő a nyaláb levágott részére ható összes nyomaték algebrai összegével a szakasz súlypontjához képest.
Ahhoz, hogy a számításokat a gerenda bármely végéről lehessen elvégezni, a belső erőtényezőkre vonatkozó előjelszabályt kell elfogadni.
Nyíróerőhöz K.
10. ábra.
Ha egy külső erő a nyaláb vágott részét az óramutató járásával megegyező irányba forgatja, akkor az erő pozitív, ha a nyaláb vágott részét az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor az erő negatív.
Hajlítási nyomatékhoz M.
11. ábra.
Ha külső erő hatására a gerenda ívelt tengelye homorú tál alakot vesz fel, úgy, hogy a felülről érkező eső vízzel tölti meg, akkor a hajlítónyomaték pozitív (11a. ábra). Ha külső erő hatására a gerenda ívelt tengelye domború tál alakú, így a felülről érkező eső nem tölti meg vízzel, akkor a hajlítónyomaték negatív (11b. ábra).
Az elosztott terhelési intenzitás között q, nyíróerő Kés hajlítónyomaték M, egy bizonyos szakaszban a következő különbségi függőségek vannak:
A hajlítás során feltüntetett differenciális függőségek lehetővé teszik a keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjainak néhány jellemzőjének megállapítását.
1) Azokon a területeken, ahol nincs megosztott terhelés, diagram K a diagram és a diagram tengelyével párhuzamos egyenesek határolják M , általános esetben ferde egyenesekkel (19. ábra).
2) Azokon a területeken, ahol egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendát, diagram K ferde egyenesek és a diagram korlátozza M – másodfokú parabolák (20. ábra). Tervezéskor M összenyomott szálakon a parabola konvexitása az elosztott terhelés hatásával ellentétes irányba néz (21a, b ábra).
12. ábra.
13. ábra.
3) Azokban a szakaszokban, ahol K= 0, a diagram érintője M párhuzamos a diagram tengelyével (12., 13. ábra). A hajlítónyomaték a gerenda ilyen szakaszaiban extrém nagyságú ( M max,Mmin).
4) Azokon a területeken, ahol Q> 0, M növeli, azaz balról jobbra a diagram pozitív ordinátáit M nőnek, negatívak csökkennek (12., 13. ábra); azokon a területeken, ahol K < 0, M csökken (12., 13. ábra).
5) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erők fejtik ki a gerendát:
a) a diagramon K a kifejtett erők nagysága és iránya szerint ugrások lesznek (12., 13. ábra).
b) a diagramon M törések lesznek (12., 13. ábra), a törés csúcsa az erőhatás ellen irányul.
6) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált nyomatékok hatnak a gerendára, a diagramon M ezeknek a pillanatoknak a nagyságrendjében ugrások lesznek a diagramon K nem lesz változás (14. ábra).
14. ábra.
15. ábra.
7) Ha egy koncentrált
nyomaték, akkor ebben a szakaszban a hajlítónyomaték egyenlő a külső nyomatékkal (szakasz CÉs Bábrán. 15).
8) Diagram Kábrázolja a diagram deriváltját M. Tehát az ordináták K arányos a diagram érintőjének dőlésszögének érintőjével M(14. ábra).
A rajzolás sorrendje KÉs M:
1) A gerenda tervrajzát (tengely alakban) elkészítjük, amely bemutatja a rá ható terheléseket.
2) A támasztékok gerendára gyakorolt hatását megfelelő reakciók váltják fel; a reakciók megnevezései és elfogadott irányai vannak feltüntetve.
3) A gerenda egyensúlyegyenleteit állítják össze, amelyek megoldása határozza meg a támasztó reakciók értékeit.
4) A gerenda szakaszokra van felosztva, amelyek határai a külső koncentrált erők és nyomatékok alkalmazási pontjai, valamint a hatás vagy az elosztott terhelések természetében bekövetkező változás kezdetének és végének pontjai.
5) Összeállítjuk a hajlítónyomatékok kifejezéseit Més nyíróerők K a gerenda minden szakaszához. A számítási diagram minden szakaszra jelzi a távolságmérés kezdetét és irányát.
6) A kapott kifejezések felhasználásával a diagramok ordinátáit kiszámítjuk a gerenda számos szakaszára, olyan mennyiségben, amely elegendő ezen diagramok megjelenítéséhez.
7) Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyekben a keresztirányú erők nullával egyenlőek, és amelyekben ezért nyomatékok hatnak Mmax vagy Mmin a gerenda adott szakaszára; ezeknek a pillanatoknak az értékeit kiszámítjuk.
8) A kapott ordinátaértékek felhasználásával diagramokat készítünk.
9) A megszerkesztett diagramokat egymással összehasonlítva ellenőrizzük.
A hajlítás során fellépő belső erőtényezők diagramjai készülnek a veszélyes szakasz meghatározására. A veszélyes szakasz megtalálása után a gerenda szilárdságát számítják ki. A keresztirányú hajlítás általános esetben, amikor egy hajlítónyomaték és keresztirányú erő hat egy rúd szakaszain, a gerenda szakaszában normál és érintőleges feszültségek keletkeznek. Ezért logikus két erősségi feltételt figyelembe venni:
a) normál feszültségek szerint
b) érintőleges feszültségekkel
Mivel a gerendák fő romboló tényezője a normál feszültségek, az elfogadott alakú gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből határozzuk meg:
Ezután ellenőrzik, hogy a kiválasztott gerendaszakasz megfelel-e a nyírófeszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételnek.
A gerendák számításának ez a megközelítése azonban még nem jellemzi a gerenda szilárdságát. Sok esetben a gerendaszakaszokban vannak olyan pontok, amelyekben egyszerre hat nagy normál- és nyírófeszültség. Ilyen esetekben szükségessé válik a gerenda szilárdságának ellenőrzése főfeszültségekkel. A harmadik és a negyedik szilárdságelmélet a leginkább alkalmazható ilyen tesztelésre:
, 
.
1. PÉLDA
Készítsen nyíróerő diagramokat Kés hajlítónyomaték Mábrán látható gerendához. 16 ha: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, A = 2 m, b = 1 m, Vel = 3 m.
16. ábra.
1) Határozza meg a támasztó reakciókat!
;
;
Vizsgálat:
A reakciókat helyesen találtuk
2) A gerendát szakaszokra osztjuk C.A.,HIRDETÉS,DE,E.K.,K.B..
3) Határozza meg az értékeket! KÉs M minden helyszínen.
SA
, ; 
, .
HIRDETÉS
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Keressük meg a területen a maximális hajlítónyomatékot K.B..
Tegyük egyenlővé az egyenletet K ezen a területen nullázzuk, és fejezzük ki a koordinátát z max , amelyen K= 0, és a pillanatnak van egy maximális értéke. Ezután helyettesítjük z max a szakasz pillanategyenletébe, és keresse meg Mmax.
EK
, 
.
4) Diagramokat készítünk (16. ábra)
2. PÉLDA
ábrán látható gerendához. 16 határozza meg egy kerek, téglalap alakú ( h/b = 2) és I-szakasz. Ellenőrizze az I-gerenda szilárdságát főfeszültségekkel, ha [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Határozza meg a szilárdsági feltételből a szükséges ellenállási nyomatékot!
2) Határozza meg a körmetszet méreteit!
3) Határozza meg a téglalap alakú metszet méreteit!
4) A 10-es I-beam-et választjuk ki a választék szerint (GOST 8239-89)
W X= 39,7 cm 3, S X * =23 cm 3, én X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
A gerenda szilárdságának főfeszültségek alapján történő ellenőrzéséhez szükség van egy veszélyes szakaszon a normál és tangenciális feszültségek diagramjainak elkészítésére. Mivel a főfeszültségek nagysága mind a normál, mind a tangenciális feszültségektől függ, a szilárdsági vizsgálatot a gerenda azon szakaszán kell elvégezni, ahol MÉs K elég nagy. Egy támaszon IN(16. ábra) nyíróerő K itt azonban van egy maximális értéke M= 0. Ezért a támasztékról szóló részt veszélyesnek tartjuk A, ahol a hajlítónyomaték maximális és a nyíróerő viszonylag nagy.
A metszet magassága mentén változó normál feszültségek egy lineáris törvénynek engedelmeskednek:
Ahol y– a szakaszpont koordinátája (24. ábra).
at at= 0, s = 0;
at ymax
, 
A nyírófeszültségek változásának törvényét a terület statikus nyomatékának változásának törvénye határozza meg, amely viszont a metszet magassága mentén változik a parabolatörvény szerint. A metszet jellemző pontjainak értékének kiszámítása után elkészítjük a tangenciális feszültségek diagramját. A t értékeinek kiszámításakor a metszetméretekre vonatkozó jelölést használjuk az ábrán. 17.
A 3-3 réteg szilárdsági feltétele teljesül.
5. FELADAT
Adott gerendasémákhoz (12. táblázat) készítsen keresztirányú erődiagramokat Kés hajlítónyomaték M. Válassza ki az a) diagram kerek keresztmetszetét [s]= 10 MPa; b) I-gerenda [s]= 150 MPa.
Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 7.
7. táblázat
Kiinduló adatok a 6. számú feladathoz
| № | a, m | q 1 = q 3, kN/m | q 2, kN/m | F 1, kN | F 2, kN | F 3, kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | számú séma | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| A 12. táblázat folytatása | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
Ha a tengelyek központiak, akkor a pillanatnyi tengelyek így néznek ki: 
15.közötti függőség tehetetlenségi nyomatékok a tengelyek forgatásakor:
J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;
J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a;
Szög a>0, ha az átmenet a régi koordinátarendszerből az újba az óramutató járásával ellentétes irányban történik. J y 1 + J x 1 = J y + J x
A tehetetlenségi nyomatékok szélső (maximális és minimális) értékeit nevezzük fő tehetetlenségi nyomatékok. Azokat a tengelyeket, amelyeken a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélsőséges értékei vannak, nevezzük fő tehetetlenségi tengelyek. A fő tehetetlenségi tengelyek egymásra merőlegesek. A főtengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékok = 0, azaz. fő tehetetlenségi tengelyek - tengelyek, amelyek körül a centrifugális tehetetlenségi nyomaték = 0. Ha az egyik tengely egybeesik vagy mindkettő egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor ezek a fő tengelyek. A főtengelyek helyzetét meghatározó szög: 
, ha a 0 >0 Þ a tengelyek az óramutató járásával ellentétes irányban forognak. A maximális tengely mindig kisebb szöget zár be azzal a tengellyel, amelyhez képest nagyobb a tehetetlenségi nyomaték. A súlyponton áthaladó főtengelyeket ún fő központi tehetetlenségi tengelyek. Tehetetlenségi nyomatékok ezeknél a tengelyeknél: 
J max + J min = J x + J y. A centrifugális tehetetlenségi nyomaték a fő központi tehetetlenségi tengelyekhez viszonyítva 0. Ha a fő tehetetlenségi nyomatékok ismertek, akkor az elforgatott tengelyekre való átmenet képlete a következő:
J x 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;
A számítás végső célja geometriai jellemzők szakasz célja a fő központi tehetetlenségi nyomatékok és a fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása. 
Tehetetlenségi sugár - 
; Jx=F×ix2, J y=F×i y2.
Ha J x és J y a fő tehetetlenségi nyomatékok, akkor i x és i y - fő forgatási sugarak. A fő tehetetlenségi sugarakra, mint a féltengelyekre épülő ellipszist nevezzük tehetetlenségi ellipszis. A tehetetlenségi ellipszis segítségével grafikusan megkeresheti az i x 1 tehetetlenségi sugarat bármely x 1 tengelyre. Ehhez meg kell rajzolni egy érintőt az ellipszisre, párhuzamosan az x1 tengellyel, és meg kell mérni a távolságot ettől a tengelytől az érintőig. A tehetetlenségi sugár ismeretében megtalálhatja a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az x tengelyhez képest 1: . Kettőnél több szimmetriatengellyel rendelkező metszeteknél (például: kör, négyzet, gyűrű stb.) az összes központi tengelyre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték egyenlő, J xy =0, a tehetetlenségi ellipszis tehetetlenségi körré változik .
Gyakran döntéskor gyakorlati problémák meg kell határozni a szelvény tehetetlenségi nyomatékait a síkjában eltérően orientált tengelyekhez képest. Ebben az esetben célszerű a teljes szakasz (vagy egyes alkotórészeinek) más tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak már ismert értékeit használni, amelyek a szakirodalomban, speciális referenciakönyvekben és táblázatokban vannak megadva, valamint kiszámítva. rendelkezésre álló képletek segítségével. Ezért nagyon fontos az azonos szakasz különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolatok megállapítása.
A legáltalánosabb esetben a régi koordinátarendszerből bármely új koordinátarendszerbe való átmenetet a régi koordinátarendszer két egymást követő transzformációjának tekinthetjük:
1) koordinátatengelyek párhuzamos átvitelével új pozícióba és
2) az új origóhoz viszonyított elforgatásával. Tekintsük az első transzformációt, azaz a koordinátatengelyek párhuzamos fordítását.
Tegyük fel, hogy egy adott szakasznak a régi tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai (18.5. ábra) ismertek.
Vegyünk egy új koordináta-rendszert, amelynek tengelyei párhuzamosak az előzőekkel. Jelöljük a-val és b-vel egy pont (azaz az új origó) koordinátáit régi rendszer koordináták
Tekintsünk egy elemi helyet, melynek koordinátái a régi koordinátarendszerben egyenlők y és . Az új rendszerben egyenlők
Helyettesítsük be ezeket a koordinátaértékeket a tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe
A kapott kifejezésben a tehetetlenségi nyomaték, a szakasz tengelyhez viszonyított statikus nyomatéka megegyezik a szakasz F területével.
Ezért,
Ha a z tengely átmegy a szakasz súlypontján, akkor a statikus nyomaték ill
A (25.5) képletből egyértelműen kiderül, hogy minden olyan tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, amely nem megy át a tömegközépponton, nagyobb, mint a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egy olyan mértékű, amely mindig pozitív. Ezért az összes tehetetlenségi nyomatékhoz képest párhuzamos tengelyek a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéknak van legkisebb érték a szakasz súlypontján átmenő tengelyhez képest.
A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték [a (24.5) képlettel analógia]
Abban az esetben, ha az y tengely áthalad a szakasz súlypontján
A (25.5) és (27.5) képletet széles körben használják összetett (kompozit) szakaszok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának kiszámítására.
Helyettesítsük be az értékeket a tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe
