Szabályos piramis térfogata. Szabályos háromszög alakú gúla V piramistérfogata
Azt a poliédert, amelynek alapja szabályos háromszög, a többi lapjait pedig egyenlő szárú háromszögek ábrázolják, ún. háromszög alakú piramis Az ilyen piramist tetraédernek is nevezik.
Egy szabályos piramisnak számos olyan tulajdonsága van, amelyek az alkotó figuráiból származnak:
- Az alap minden oldala egyenlő egymással, mert egy szabályos háromszög ábrázolja;
- A piramis minden éle is egyenlő egymással;
- Mert minden arc formálódik egyenlő szárú háromszög, amelyben az élek egyenlőek és az alapok egyenlőek, akkor azt mondhatjuk, hogy az egyes oldalak területe azonos;
- Minden diéder szög az alapnál egyenlő.
Kiszámítása az alap és az oldalsó letapogatás területének összegeként történik. Megtalálható az egyik oldalfelület és az alap területének kiszámításával is. A háromszög alakú piramis térfogatának képlete a háromszögek tulajdonságaiból származik, amelyekből áll:
Az alapterületet a következő képlet alapján számítjuk ki: 
Tekintsünk egy példát egy háromszög alakú piramis térfogatának kiszámítására.
Adjunk egy háromszög alakú piramist. Az alap oldala a = 2 cm, magassága h = 2√3. Keresse meg az adott poliéder térfogatát!
Először is keressük meg az alap területét. Ehhez cseréljük be az ismert adatokat a fenti képletbe: 
Most a talált értéket használjuk a háromszög alakú piramis térfogatának kiszámításához: 
A háromszög alakú piramis területének kiszámításához egy rövidített képletet is használhat. Ez egyesíti az alapterületet és a magasságot, és a képlet a piramis alapterületének és magasságának szorzatának egyharmadát jelenti:
Ennek a képletnek a használatakor fontos, hogy szigorúan kövesse a számításokat és a csökkentéseket. Egy apró hiba hibás eredményhez vezethet. Általában véve egy szabályos háromszög alakú piramis térfogatának meghatározása nagyon egyszerű.
Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét email stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Mi gyűjtöttük össze személyes adatok lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik fél számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Ha szükséges, a jogszabályoknak megfelelően bírósági eljárás, jogi eljárásokban és/vagy az Orosz Föderációban található nyilvános kérések vagy kormányzati szervek kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
A fő jellemzője bármely geometriai alakzat térben a térfogata. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, mi az a piramis, amelynek alapja háromszög, és azt is megmutatjuk, hogyan lehet megtalálni a háromszög alakú gúla térfogatát - szabályos teljes és csonka.
Mi ez - egy háromszög alakú piramis?
Mindenki hallott már a régiekről egyiptomi piramisok azonban szabályos négyszög alakúak, nem háromszög alakúak. Elmagyarázzuk, hogyan készítsünk háromszög alakú piramist.
Vegyünk egy tetszőleges háromszöget, és kössük össze annak összes csúcsát egy ponttal, amely a háromszög síkján kívül helyezkedik el. A kapott alakot háromszög alakú piramisnak nevezzük. Az alábbi ábrán látható.
Amint látható, a kérdéses ábrát négy háromszög alkotja, amelyek általában különböznek egymástól. Minden háromszög a piramis oldalai vagy lapja. Ezt a piramist gyakran tetraédernek, azaz tetraéderes háromdimenziós alaknak nevezik.
Az oldalakon kívül a piramisnak vannak élei (6 van belőlük) és csúcsai (4-ből) is.
háromszög alappal
Egy tetszőleges háromszög és egy térbeli pont felhasználásával kapott ábra általában szabálytalan ferde gúla lesz. Most képzeljük el, hogy az eredeti háromszögnek azonos oldalai vannak, és egy térpont pontosan a geometriai középpontja felett helyezkedik el, h távolságra a háromszög síkjától. Az ezen kezdeti adatok felhasználásával megszerkesztett piramis helyes lesz.
Nyilvánvaló, hogy egy szabályos háromszög alakú piramis éleinek, oldalainak és csúcsainak száma megegyezik egy tetszőleges háromszögből épített gúlaéval.
A helyes ábrán azonban van néhány jellegzetes vonásai:
- a csúcsból húzott magassága pontosan metszi az alapot a geometriai középpontban (a mediánok metszéspontjában);
- egy ilyen piramis oldalfelületét három egyforma háromszög alkotja, amelyek egyenlő szárúak vagy egyenlő oldalúak.
A szabályos háromszög alakú piramis nem csupán pusztán elméleti geometriai objektum. A természetben egyes struktúráknak megvan az alakja, például a gyémánt kristályrács, ahol a szénatom négy azonos atomhoz kapcsolódik kovalens kötésekkel, vagy egy metánmolekula, ahol a piramis csúcsait hidrogénatomok alkotják.
háromszög alakú piramis
Abszolút bármely olyan piramis térfogatát meghatározhatja, amelynek alapjában tetszőleges n-szög van a következő kifejezéssel:
Itt az S o szimbólum az alap területét jelöli, h pedig a megjelölt alaphoz húzott alak magassága a piramis tetejétől.
Mivel egy tetszőleges háromszög területe egyenlő az a oldal hosszának és az erre az oldalra ejtett h a apotémának a felével, a háromszög alakú gúla térfogatának képlete a következő formában írható fel:
V = 1/6 × a × h a × h
Mert általános típus A magasság meghatározása nem egyszerű feladat. Ennek megoldására a legegyszerűbb egy pont (csúcs) és egy sík (háromszög alap) távolságának képletét használni, amelyet az egyenlet ábrázol. általános nézet.
A megfelelőnek sajátos megjelenése van. Ennek (egy egyenlő oldalú háromszög) alapterülete egyenlő:
Ha behelyettesítjük a V általános kifejezésébe, a következőt kapjuk:
V = √3/12 × a 2 × h
Különleges eset az a helyzet, amikor a tetraéder minden oldala azonos egyenlő oldalú háromszögnek bizonyul. Ebben az esetben a térfogata csak az éle paraméterének ismerete alapján határozható meg a. A megfelelő kifejezés így néz ki:
Csonka piramis
Ha a csúcsot tartalmazó felső részt levágjuk egy szabályos háromszög alakú piramisról, akkor csonka alakot kapunk. Az eredetivel ellentétben két egyenlő oldalú háromszög alapból és három egyenlő szárú trapézből fog állni.
Az alábbi képen látható, hogyan néz ki egy szabályos csonka háromszög alakú, papírból készült piramis.
A csonka háromszög alakú piramis térfogatának meghatározásához ismernie kell három lineáris jellemzőjét: az alapok mindegyik oldalát és az ábra magasságát, amely megegyezik a felső és az alsó alap távolságával. A térfogat megfelelő képlete a következőképpen van felírva:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Itt h az ábra magassága, A és a a nagy (alsó) és a kis (felső) egyenlő oldalú háromszög oldalainak hossza.
Probléma megoldás
Annak érdekében, hogy a cikkben található információk érthetőbbek legyenek az olvasó számára, egy világos példával bemutatjuk, hogyan kell használni néhány írott képletet.
Legyen a háromszög alakú gúla térfogata 15 cm 3 . Köztudott, hogy az ábra helyes. Ha tudjuk, hogy a gúla magassága 4 cm, akkor meg kell találni az oldalsó él apotémáját a b.
Mivel az ábra térfogata és magassága ismert, a megfelelő képlet segítségével kiszámíthatja az alapja oldalának hosszát. Nálunk:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √ (16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
A figura apotémjének számított hossza nagyobbnak bizonyult, mint a magassága, ami minden típusú piramisra igaz.
Itt a volumen fogalmával kapcsolatos példákat tekintünk meg. Az ilyen feladatok megoldásához ismernie kell a piramis térfogatának képletét:
S
h – a piramis magassága
Az alap bármilyen sokszög lehet. De az egységes államvizsga legtöbb problémájában a feltétel általában a szabályos piramisokra vonatkozik. Hadd emlékeztesselek az egyik tulajdonságára:
Csúcs szabályos piramis az alapja közepére vetítve
Nézze meg a szabályos háromszög, négyszög és hatszögletű piramisok vetületét (FELSŐ NÉZET):
Megteheti a blogon, ahol a piramis térfogatának megtalálásával kapcsolatos problémákat tárgyalták.Nézzük a feladatokat:
27087. Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla térfogatát, amelynek alapoldalai egyenlők 1-gyel, magassága pedig három gyökével!
S– a piramis alapterülete
h– a piramis magassága
Keressük meg a piramis alapterületét, ez egy szabályos háromszög. Használjuk a képletet - egy háromszög területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével, ami azt jelenti:
Válasz: 0,25
27088. Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla magasságát, amelynek alapoldalai egyenlőek 2-vel, térfogata pedig három gyökével!
Az olyan fogalmakat, mint a piramis magassága és alapjának jellemzői, a térfogati képlet kapcsolja össze:
S– a piramis alapterülete
h– a piramis magassága
Ismerjük magát a térfogatot, meg tudjuk találni az alap területét, hiszen ismerjük a háromszög oldalait, ami az alap. A feltüntetett értékek ismeretében könnyen megtaláljuk a magasságot.
Az alap területének meghatározásához a képletet használjuk - egy háromszög területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével, ami azt jelenti:
Így ezeket az értékeket behelyettesítve a térfogatképletbe, kiszámíthatjuk a piramis magasságát:
A magasság három.
Válasz: 3
27109. Egy szabályos négyszög alakú piramis magassága 6, oldaléle 10. Határozza meg a térfogatát!
A piramis térfogatát a következő képlettel számítjuk ki:
S– a piramis alapterülete
h– a piramis magassága
Tudjuk a magasságot. Meg kell találnia az alap területét. Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy szabályos piramis csúcsa az alapja közepébe van vetítve. A szabályos négyszög alakú piramis alapja négyzet. Megtaláljuk az átlóját. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget (kék színnel kiemelve):
A négyzet közepét a B ponttal összekötő szakasz egy olyan szár, amely egyenlő a négyzet átlójának felével. Ezt a lábat a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki:
Ez azt jelenti, hogy BD = 16. Számítsuk ki a négyzet területét a négyszög területére vonatkozó képlettel:
Ezért:
Így a piramis térfogata:
Válasz: 256
27178. Egy szabályos négyszög alakú piramis magassága 12, térfogata 200. Keresse meg ennek a gúlának az oldalélét!
A piramis magassága és térfogata ismert, ami azt jelenti, hogy meg tudjuk találni a négyzet területét, amely az alap. Egy négyzet területének ismeretében megtalálhatjuk az átlóját. Ezután egy derékszögű háromszöget figyelembe véve a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítjuk az oldalélt:
Keressük meg a négyzet területét (a piramis alapját):
Számítsuk ki a négyzet átlóját. Mivel a területe 50, az oldal egyenlő lesz az ötven gyökével, és a Pitagorasz-tétel szerint:
Az O pont kettéosztja a BD átlót, ami az OB = 5 derékszögű háromszög szárát jelenti.
Így kiszámíthatjuk, hogy mekkora a piramis oldaléle:
Válasz: 13
245353. Határozza meg az ábrán látható gúla térfogatát! Alapja egy sokszög, melynek szomszédos oldalai merőlegesek, egyik oldaléle pedig merőleges az alap síkjára és egyenlő 3-mal.
Amint már sokszor elmondták, a piramis térfogatát a következő képlettel számítják ki:
S– a piramis alapterülete
h– a piramis magassága
Az alapra merőleges oldalél egyenlő hárommal, ami azt jelenti, hogy a piramis magassága három. A piramis alapja egy sokszög, amelynek területe egyenlő:
Így:
Válasz: 27
27086. A gúla alapja egy téglalap, melynek oldala 3 és 4. Térfogata 16. Határozza meg ennek a gúlának a magasságát!
A piramis egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög. Minden lap háromszöget alkot, amelyek egy csúcsban konvergálnak. A piramisok háromszög alakúak, négyszögletesek stb. Annak meghatározásához, hogy melyik piramis van előtted, elegendő megszámolni az alapjában lévő szögek számát. A „piramis magassága” definíciója nagyon gyakran megtalálható az iskolai tanterv geometriai problémáiban. Ebben a cikkben megpróbáljuk megvizsgálni különböző módokon a helyét.
A piramis részei
Minden piramis a következő elemekből áll:
- oldallapok, amelyeknek három sarka van, és a csúcson összefolynak;
- az apotém a csúcsából leszálló magasságot jelöli;
- a piramis teteje egy pont, amely összeköti az oldalbordákat, de nem fekszik az alap síkjában;
- az alap egy sokszög, amelyen a csúcs nem fekszik;
- a gúla magassága egy szakasz, amely a gúla tetejét metszi és derékszöget zár be az alapjával.
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismert a térfogata
A V = (S*h)/3 képletből (a V képletben a térfogat, S az alap területe, h a gúla magassága) azt kapjuk, hogy h = (3*V)/ S. Az anyag konszolidálásához azonnal oldjuk meg a problémát. A háromszög alakú alap 50 cm 2 , térfogata 125 cm 3 . A háromszög alakú piramis magassága ismeretlen, ezt kell megtalálnunk. Itt minden egyszerű: beillesztjük az adatokat a képletünkbe. Azt kapjuk, h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Hogyan találjuk meg a gúla magasságát, ha ismert az átló hossza és élei
Emlékszünk rá, hogy a piramis magassága derékszöget zár be az alapjával. Ez azt jelenti, hogy a magasság, az él és az átló fele együtt alkotják Sokan természetesen emlékeznek a Pitagorasz-tételre. Két dimenzió ismeretében nem lesz nehéz megtalálni a harmadik mennyiséget. Emlékezzünk vissza a jól ismert a² = b² + c² tételre, ahol a a befogó, esetünkben pedig a piramis éle; b - az átló első szára vagy fele, c - rendre a második szár, vagy a gúla magassága. Ebből a képletből c² = a² - b².
Most a probléma: egy szabályos piramisban az átló 20 cm, ha az él hossza 30 cm Meg kell találni a magasságot. Megoldjuk: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Tehát c = √ 500 = kb. 22,4.
Hogyan találjuk meg a csonka piramis magasságát
Ez egy sokszög, amelynek keresztmetszete az alapjával párhuzamos. A csonka piramis magassága az a szakasz, amely összeköti a két alapját. A magasságot egy szabályos gúlára találhatjuk meg, ha ismerjük mindkét alap átlóinak hosszát, valamint a gúla élét. Legyen a nagyobb alap átlója d1, míg a kisebbé d2, az él hossza pedig l. A magasság meghatározásához leengedheti a magasságokat a diagram két felső, egymással szemben lévő pontjáról az alapja felé. Látjuk, hogy kettőnk van derékszögű háromszög, marad a lábuk hosszának meghatározása. Ehhez vonjuk ki a kisebbet a nagyobb átlóból, és osszuk el 2-vel. Így találunk egy lábat: a = (d1-d2)/2. Ez után a Pitagorasz-tétel szerint már csak meg kell találnunk a második lábat, ami a piramis magassága.
Most nézzük meg ezt az egészet a gyakorlatban. Feladat áll előttünk. Egy csonka piramis alapja négyzet, a nagyobb alap átlója 10 cm, míg a kisebbé 6 cm, a széle pedig 4 cm. Meg kell találni a magasságot. Először az egyik lábát találjuk: a = (10-6) / 2 = 2 cm, az egyik láb egyenlő 2 cm-rel, és a hipotenusz 4 cm. Kiderül, hogy a második láb vagy magasság 16-. 4 = 12, azaz h = √12 = kb. 3,5 cm.