Egy implicit módon megadott függvény deriváltjának képlete. Bizonyítékok és példák ennek a képletnek az alkalmazására. Példák első-, másod- és harmadrendű származékok kiszámítására.

Elsőrendű származék

Adjuk meg implicit módon a függvényt az egyenlet segítségével
(1) .
És legyen ennek az egyenletnek valamilyen értékre egyedi megoldása.
.
Legyen a függvény differenciálható függvény az és pontban
(2) .

Ezután ezen az értéken van egy derivált, amelyet a következő képlet határoz meg:

Bizonyíték
.
Ennek bizonyításához tekintsük a függvényt a változó komplex függvényének:
(3) :
.
Alkalmazzuk egy komplex függvény differenciálási szabályát, és keressük meg az egyenlet bal és jobb oldali változójának deriváltját
(4) ;
.

Mivel egy állandó deriváltja nulla és, akkor

A képlet bevált.

Magasabb rendű származékok
(4) .
Írjuk át a (4) egyenletet különböző jelölésekkel:
;
.
Ugyanakkor, és a változó összetett függvényei:
(1) .

A függőséget az (1) egyenlet határozza meg:
A (4) egyenlet bal és jobb oldaláról egy változóra vonatkozó deriváltot találunk.
;
.
Az összetett függvény deriváltjának képlete szerint a következőket kapjuk:

.
A termék származékos képlete szerint:


.

A derivált összegképlet segítségével:
(5) .
Mivel a (4) egyenlet jobb oldalának deriváltja nulla, akkor

Ha itt behelyettesítjük a deriváltot, megkapjuk a másodrendű derivált értékét implicit formában.
.
Az (5) egyenletet hasonló módon differenciálva egy harmadrendű deriváltot tartalmazó egyenletet kapunk:

Ha itt behelyettesítjük az első és másodrendű származékok talált értékeit, megkapjuk a harmadrendű derivált értékét.

Folytatva a differenciálást, bármilyen rendű származékot találhatunk.

Példák

1. példa
Keresse meg az egyenlet által implicit módon megadott függvény elsőrendű deriváltját: .

(P1)

Megoldás a 2. képlettel
(2) .

A származékot a (2) képlet segítségével találjuk meg:
.
Vigyük át az összes változót a bal oldalra, hogy az egyenlet a következőt vegye fel.

Innen.
;
;
;
.

Megtaláljuk a származékát, ha állandónak tekintjük.
;
;
;
.

Megtaláljuk a deriváltot a változóhoz képest, figyelembe véve a változó állandót.
.

A (2) képlet segítségével a következőket kapjuk:
.
Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a következővel:
.

Második megoldás

Oldjuk meg ezt a példát a második módon. Ehhez meg fogjuk találni a deriváltot az eredeti (A1) egyenlet bal és jobb oldalának változójához képest.

Jelentkezünk:
.
A derivált törtképletet alkalmazzuk:
;
.
Az összetett függvény deriváltjának képletét alkalmazzuk:
.
Megkülönböztetjük az eredeti (A1) egyenletet.
Keresse meg az egyenlet által implicit módon megadott függvény elsőrendű deriváltját: ;
;
.
A kifejezéseket megszorozzuk és csoportosítjuk.
;
.

Helyettesítsük be (az (A1) egyenletből):
.
Szorzás a következővel:
.

2. példa

Keresse meg az egyenlet segítségével implicit módon megadott függvény másodrendű deriváltját:
(A2.1) .

Megkülönböztetjük az eredeti egyenletet a változóhoz képest, figyelembe véve, hogy az a következő függvénye:
;
.
Alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.
.

Megkülönböztetjük az eredeti egyenletet (A2.1):
;
.
Az eredeti (A2.1) egyenletből az következik, hogy .
.
Cseréljük:
;
Nyissa ki a zárójeleket, és csoportosítsa a tagokat: .
(A2.2)
Megtaláljuk az elsőrendű származékot: .

(A2.3)
;
;
;
.
A másodrendű derivált megtalálásához az (A2.2) egyenletet differenciáljuk.
.
Szorzás a következővel:

;
.
Helyettesítsük be a kifejezést az elsőrendű deriváltra (A2.3):

Innen találjuk a másodrendű származékot.

3. példa
Keresse meg az egyenlet segítségével implicit módon megadott függvény harmadrendű deriváltját: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Megkülönböztetjük az eredeti egyenletet a változóhoz képest, feltételezve, hogy függvénye. ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Differenciáljuk az (A3.2) egyenletet a változóra vonatkozóan. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Differenciáljuk az (A3.3) egyenletet. .

(A3.4)
;
;
.

Az (A3.2), (A3.3) és (A3.4) egyenletekből megtaláljuk a deriváltak értékét a -nál.
Egy implicit módon megadott függvény származéka.

Paraméteresen meghatározott függvény deriváltja Ebben a cikkben két tipikusabb feladatot fogunk megvizsgálni, amelyek gyakran előfordulnak tesztek Által felsőbb matematika . Az anyag sikeres elsajátításához legalább középszinten tudnia kell származékokat találni. A származékok megtalálását gyakorlatilag a nulláról tanulhatod meg két alapleckében és Komplex függvény származéka

. Ha a megkülönböztető készséged rendben van, akkor menjünk.

Egy implicit módon megadott függvény származéka

Vagy röviden egy implicit függvény deriváltja. Mi az implicit függvény? Először emlékezzünk egy változó függvényének definíciójára: Egyváltozós függvény

egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke a függvény egy és csak egy értékének felel meg. A változót ún független változó vagy.
érv A változót ún független változó függő változó .

funkció Eddig a -ban definiált függvényeket néztük meg kifejezett

forma. Mit jelent ez? Konkrét példák segítségével készítsünk eligazítást.

Fontolja meg a funkciót Azt látjuk, hogy a bal oldalon van egy magányos „játékos”, a jobb oldalon pedig -. Vagyis a funkció kifejezetten független változón keresztül fejezzük ki.

Nézzünk egy másik függvényt:

Itt keverednek a változók. Ráadásul semmiképpen lehetetlen az „Y”-t csak „X”-en keresztül fejezze ki. Mik ezek a módszerek? Kifejezések áthelyezése részről részre előjelváltással, zárójelből való kihelyezés, faktorok bedobása az arányszabály szerint stb. Írja át az egyenlőséget, és próbálja meg kifejezetten kifejezni az „y”-t: . Órákig csavarhatod az egyenletet, de nem fog sikerülni.

Hadd mutassam be: – példa implicit függvény.

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy az implicit függvény létezik(bár nem mindig), van grafikonja (akárcsak egy „normál” függvény). Az implicit függvény pontosan ugyanaz létezik első származék, második származék stb. Ahogy mondani szokták, a szexuális kisebbségek minden jogát tiszteletben tartják.

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan találjuk meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját. Nem olyan nehéz! Minden differenciálási szabály, derivált táblázat elemi függvényekérvényben maradnak. A különbség egy különös pillanatban van, amelyet most megnézünk.

Igen, és elmondom a jó hírt - az alábbiakban tárgyalt feladatokat egy meglehetősen szigorú és világos algoritmus szerint hajtják végre, három sáv előtt kő nélkül.

1. példa

1) Az első szakaszban mindkét részhez vonásokat rögzítünk:

2) A derivált linearitási szabályait használjuk (a lecke első két szabálya). Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra):

3) Közvetlen megkülönböztetés.
A megkülönböztetés módja teljesen világos. Mi a teendő ott, ahol „játékok” vannak az ütések alatt?

- csak a szégyen erejéig, egy függvény deriváltja egyenlő a deriváltjával: .

Hogyan lehet megkülönböztetni
Itt van összetett funkció. Miért? Úgy tűnik, hogy a szinusz alatt csak egy „Y” betű található. De tény, hogy csak egy „y” betű van - ÖNMAGA FUNKCIÓ(lásd a definíciót a lecke elején). Így a szinusz külső függvény és belső függvény. A szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A terméket a szokásos szabály szerint megkülönböztetjük :

Kérjük, vegye figyelembe, hogy – szintén összetett funkció, minden „játék harangokkal és síppal” összetett funkció:

Magának a megoldásnak valahogy így kell kinéznie:


Ha vannak zárójelek, bontsa ki őket:

4) A bal oldalon összegyűjtjük azokat a kifejezéseket, amelyek „Y”-t tartalmaznak prímszámmal. Helyezzen minden mást jobb oldalra:

5) A bal oldalon zárójelből kivesszük a származékot:

6) És az arányszabály szerint ezeket a zárójeleket a jobb oldal nevezőjébe dobjuk:

A származékot megtalálták. Kész.

Érdekes megjegyezni, hogy bármilyen függvény implicit módon átírható. Például a függvény így át lehet írni: . És különböztesse meg az imént tárgyalt algoritmus segítségével. Valójában az „implicit funkció” és az „implicit funkció” kifejezések egy szemantikai árnyalatban különböznek egymástól. Az „implicit módon meghatározott funkció” kifejezés általánosabb és helyesebb, – ez a függvény implicit módon meg van adva, de itt kifejezheti a „játékot”, és explicit módon bemutathatja a függvényt. Az „implicit funkció” szavak gyakrabban jelentenek „klasszikus” implicit funkciót, amikor a „játék” nem fejezhető ki.

Azt is meg kell jegyezni, hogy egy „implicit egyenlet” implicit módon két vagy akár több függvényt is megadhat, például a kör egyenlete implicit módon határozza meg a félköröket meghatározó , , függvényeket nem tesz különösebb különbséget a kifejezések és az árnyalatok között, ez csak információ volt az általános fejlesztéshez.

Második megoldás

Figyelem! A második módszerrel csak akkor ismerkedhet meg, ha tudja, hogyan kell magabiztosan megtalálni részleges származékok. Kezdők tanulni matematikai elemzésés teáskannákat kérek ne olvassa el és hagyja ki ezt a pontot, különben teljes káosz lesz a fejed.

Keressük meg az implicit függvény deriváltját a második módszerrel.

Az összes kifejezést áthelyezzük a bal oldalra:

És vegyük figyelembe két változó függvényét:

Ekkor a deriváltunkat a képlet segítségével találhatjuk meg
Keressük a parciális deriváltokat:

Így:

A második megoldás lehetővé teszi az ellenőrzés elvégzését. De nem tanácsos kiírniuk a feladat végleges változatát, mivel a parciális deriváltokat később sajátítják el, és az „Egy változó függvényének deriváltja” témát tanuló hallgatónak még nem szabad ismernie a parciális deriváltokat.

Nézzünk még néhány példát.

2. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Adjon hozzá vonásokat mindkét részhez:

Linearitási szabályokat használunk:

Származékok keresése:

Az összes tartó kinyitása:

Az összes kifejezést áthelyezzük a bal oldalra, a többit a jobb oldalra:

Végső válasz:

3. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Teljes megoldás és mintaterv az óra végén.

Nem ritka, hogy a differenciálás után törtek keletkeznek. Ilyen esetekben meg kell szabadulnia a frakcióktól. Nézzünk még két példát.

4. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Mindkét részt vonjuk be, és használjuk a linearitási szabályt:

Differenciáljon az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával és a hányadosok differenciálásának szabálya :

A zárójelek bővítése:

Most meg kell szabadulnunk a törttől. Ezt később is meg lehet tenni, de ésszerűbb azonnal megtenni. A tört nevezője tartalmazza. Szorozni on . Részletesen így fog kinézni:

Néha a differenciálás után 2-3 frakció jelenik meg. Ha van például egy másik törtünk, akkor a műveletet meg kell ismételni - szorozni az egyes részek minden tagját-on

A bal oldalon zárójelből kirakjuk:

Végső válasz:

5. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Ez egy példa erre önálló döntés. Az egyetlen dolog az, hogy mielőtt megszabadulna a törttől, először meg kell szabadulnia magának a tört háromszintes szerkezetétől. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Paraméteresen meghatározott függvény deriváltja

Ne hangsúlyozzuk, ebben a bekezdésben is minden nagyon egyszerű. Felírhatod egy paraméteresen definiált függvény általános képletét, de az egyértelműség kedvéért azonnal leírom konkrét példa. Paraméteres formában a függvényt két egyenlet adja meg: . Az egyenleteket gyakran nem zárójelek közé írják, hanem egymás után: , .

A változót paraméternek nevezzükés értékeket vehet fel a „mínusz végtelen”-től a „plusz végtelenig”. Tekintsük például az értéket, és cseréljük be mindkét egyenletbe: . Vagy emberi kifejezéssel: "ha x egyenlő néggyel, akkor y egyenlő eggyel." Kijelölhet egy pontot a koordinátasíkon, és ez a pont megfelel a paraméter értékének. Hasonlóképpen, a „te” paraméter bármely értékéhez találhat pontot. Ami a „reguláris” függvényt illeti, a parametrikusan definiált függvény amerikai indiánjai számára is minden jogot tiszteletben tartanak: lehet gráfot építeni, származékokat találni stb. Egyébként, ha egy paraméteresen definiált függvény grafikonját kell ábrázolnia, használhatja a programomat.

A legegyszerűbb esetekben lehetőség van a függvény explicit ábrázolására. Adjuk meg a paramétert: – az első egyenletből és cseréljük be a második egyenletbe: . Az eredmény egy közönséges kockafüggvény.

Súlyosabb esetekben ez a trükk nem működik. De ez nem számít, mert van egy képlet a paraméteres függvény deriváltjának megtalálására:

Megtaláljuk a „játék a te változóhoz képest” származékát:

Az összes differenciálási szabály és a származéktáblázat természetesen a betűre érvényes, így a származékok megtalálásának folyamatában nincs újdonság. Csak gondolatban cserélje ki az összes „X”-et a táblázatban a „Te” betűre.

Megtaláljuk az „x” deriváltját a te változóhoz képest:

Most már csak az van hátra, hogy a talált származékokat behelyettesítsük a képletünkbe:

Kész. A derivált, akárcsak maga a függvény, szintén a paramétertől függ.

Ami a jelölést illeti, a képletbe való beírás helyett egyszerűen alsó index nélkül írhatnánk, mivel ez egy „szabályos” származék „X-hez képest”. De az irodalomban mindig van lehetőség, ezért nem térek el a szabványtól.

6. példa

A képletet használjuk

IN ebben az esetben:

Így:

A paraméteres függvény deriváltjának megtalálásának sajátossága az a tény, hogy minden lépésnél előnyös az eredmény lehető legegyszerűsítése. Tehát a vizsgált példában, amikor megtaláltam, kinyitottam a gyökér alatti zárójelet (bár lehet, hogy nem tettem volna meg). Jó esély van rá, hogy a képletbe való behelyettesítéskor sok minden jól lecsökken. Bár persze vannak példák ügyetlen válaszokkal.

7. példa

Keresse meg a paraméteresen megadott függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

A cikkben A deriváltokkal kapcsolatos legegyszerűbb tipikus problémák olyan példákat néztünk meg, amelyekben meg kellett találnunk egy függvény második deriváltját. Egy parametrikusan definiált függvényhez megtalálhatja a második deriváltot is, amelyet a következő képlettel találunk meg: . Teljesen nyilvánvaló, hogy a második származék megtalálásához először meg kell találni az első származékot.

8. példa

Keresse meg egy paraméteresen megadott függvény első és második deriváltját

Először keressük meg az első származékot.
A képletet használjuk

Ebben az esetben:

A Z= f(x; y) függvényt implicitnek nevezzük, ha az F(x,y,z)=0 egyenlettel adjuk meg feloldatlan Z-re. Keressük meg az implicit módon adott Z függvény parciális deriváltjait. Ehhez Z helyett az f(x;y) függvényt behelyettesítve az egyenletbe, az F(x,y, f(x,y))=0 azonosságot kapjuk. Egy nullával azonos függvény parciális deriváltjai x és y vonatkozásában szintén nullával egyenlők.

F(x,y, f(x,y)) =
=0 (állandónak tekinthető)

F(x,y, f(x,y)) =
=0 (x állandónak tekinthető)

Ahol
És

Példa: Keresse meg az egyenlet által megadott Z függvény parciális deriváltjait
.

Itt F(x,y,z)=
;
;
;
. A fenti képletek szerint a következőket kapjuk:

És

1. Irányított derivált

Legyen két Z= f(x; y) változóból álló függvény adott az M (x,y) pont egy bizonyos környezetében. Tekintsünk az egységvektor által meghatározott irányt
, Hol
(lásd a képet).

Az M ponton keresztül ebben az irányban áthaladó egyenesen felvesszük az M 1 pontot (
) úgy, hogy a hossz
szegmensMM 1 egyenlő
. Az f(M) függvény növekményét a reláció határozza meg, ahol
kapcsolatok kötik össze. Aránykorlát at
függvény deriváltjának nevezzük
pontban
irányába és ki kell jelölni .

=

Ha a Z függvény differenciálható a pontban
, akkor ennek növekménye ezen a ponton, figyelembe véve a for kapcsolatokat
a következő formában írható fel.

elosztva mindkét részt

és áthaladva a határig at
képletet kapunk a Z= f(x; y) függvény deriváltjára a következő irányban:

1. Gradiens

Tekintsünk három változó függvényét
egy bizonyos ponton megkülönböztethető
.

Ennek a függvénynek a gradiense
az M pontban egy vektor, amelynek koordinátái rendre megegyeznek a parciális deriváltokkal
ezen a ponton. A színátmenet jelzéséhez használja a szimbólumot
.
=
.

.A gradiens a függvény leggyorsabb növekedési irányát jelzi egy adott pontban.

Mivel az egységvektor koordinátái vannak (
), akkor a három változóból álló függvény esetére az irányszármazékot alakba írjuk, azaz. rendelkezik a vektorok skaláris szorzatának képletével És
. Írjuk át az utolsó képletet a következőképpen:

, Hol - vektor közötti szög És
. Mivel
, akkor ebből az következik, hogy a függvény irányú deriváltja a max értéket veszi fel =0, azaz amikor a vektorok iránya És
mérkőzés. Egy időben
Valójában egy függvény gradiense jellemzi a függvény maximális növekedési sebességének irányát és nagyságát egy pontban.

1. Két változó függvényének szélsőértéke

Két változó függvényének max, min, szélsőértéke fogalmai hasonlóak az egy változó függvényének megfelelő fogalmaihoz. Legyen a Z= f(x; y) függvény definiálva valamilyen D tartományban stb.
ehhez a területhez tartozik. M pont
a Z= f(x; y) függvény max pontjának nevezzük, ha van a pontnak ilyen δ-szomszédsága
, hogy a környék minden pontjára az egyenlőtlenség
. A min pont hasonló módon kerül meghatározásra, csak az egyenlőtlenség előjele változik
. A függvény értékét a max(min) pontban maximumnak (minimum) nevezzük. Egy függvény maximumát és minimumát szélsőségeknek nevezzük.

1. Az extrémum szükséges és elégséges feltételei

Tétel:(Az extrémumhoz szükséges feltételek). Ha az M pontban
a Z= f(x; y) differenciálható függvénynek van szélsőértéke, akkor parciális deriváltjai ebben a pontban nullával egyenlők:
,
.

Bizonyíték: Az x vagy y változók egyikének rögzítése után Z = f(x; y)-t egy változó függvényévé alakítjuk, amelynek szélsőértékéhez a fenti feltételeknek teljesülniük kell. Geometriai egyenlőségek
És
azt jelenti, hogy a Z= f(x; y) függvény szélső pontjában az f(x,y)=Z függvényt reprezentáló felület érintősíkja párhuzamos az OXY síkkal, mert az érintősík egyenlete Z = Z 0. Az a pont, ahol a Z = f (x; y) függvény elsőrendű parciális deriváltjai egyenlők nullával, azaz.
,
, a függvény stacionárius pontjának nevezzük. Egy függvénynek lehet szélsősége olyan pontokban, ahol a parciális deriváltok legalább egyike nem létezik. PéldáulZ=|-
| max az O(0,0) pontban, de nincs deriváltja ezen a ponton.

Stacionárius pontokat és pontokat, amelyekben legalább egy parciális derivált nem létezik, nevezzük kritikus pontok. A kritikus pontokon a függvénynek lehet szélsősége, de lehet, hogy nem. A parciális deriváltak nullával való egyenlősége szükséges, de nem elégséges feltétele a szélsőség létezésének. Például, ha Z=xy, az O(0,0) pont kritikus. A Z=xy függvénynek azonban nincs extrémuma. (Mert az I. és III. negyedben Z>0, illetve a II. és IV. negyedben – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Tétel: (Elegendő feltétel az extrémákhoz). Hagyjuk egy álló ponton
és egy bizonyos környéken az f(x; y) függvénynek a 2. rendűt bezárólag folytonos parciális deriváltjai vannak. Számoljunk a ponton
értékeket
,
És
. Jelöljük

Amennyiben
, extrémum a ponton
Lehet, hogy nem. További kutatásra van szükség.

Vagy röviden - egy implicit függvény deriváltja. Mi az implicit függvény? Mivel az óráim gyakorlatiak, igyekszem kerülni a definíciókat és a tételeket, de itt is helyénvaló lenne ezt megtenni. Egyébként mi az a függvény?

Az egyváltozós függvény egy olyan szabály, amely kimondja, hogy a független változó minden értékéhez a függvénynek csak egy értéke tartozik.

egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke a függvény egy és csak egy értékének felel meg. A változót ún független változó vagy.
A változót ún A változót ún független változó függő változó.

Nagyjából az „Y” betű ebben az esetben a függvény.

funkció Eddig a -ban definiált függvényeket néztük meg kifejezett

forma. Mit jelent ez? Konkrét példák segítségével készítsünk eligazítást.

Azt látjuk, hogy a bal oldalon van egy magányos „játékunk” (funkció), a jobb oldalon pedig - Azt látjuk, hogy a bal oldalon van egy magányos „játékos”, a jobb oldalon pedig -. Vagyis a funkció kifejezetten független változón keresztül fejezzük ki.

Nézzünk egy másik függvényt:

Itt keverednek a változók. Ráadásul semmiképpen lehetetlen az „Y”-t csak „X”-en keresztül fejezze ki. Mik ezek a módszerek? Kifejezések áthelyezése részről részre előjelváltással, zárójelből való kihelyezés, faktorok bedobása az arányszabály szerint stb. Írja át az egyenlőséget, és próbálja meg kifejezetten kifejezni az „y”-t: . Órákig csavarhatod az egyenletet, de nem fog sikerülni.

Hadd mutassam be: - példa implicit függvény.

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy az implicit függvény létezik(bár nem mindig), van grafikonja (akárcsak egy „normál” függvény). Az implicit függvény pontosan ugyanaz létezik első származék, második származék stb. Ahogy mondani szokták, a szexuális kisebbségek minden jogát tiszteletben tartják.

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan találjuk meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját. Nem olyan nehéz! Minden differenciálási szabály és az elemi függvények deriváltjainak táblázata érvényben marad. A különbség egy különös pillanatban van, amelyet most megnézünk.

Igen, és elmondom a jó hírt - az alábbiakban tárgyalt feladatokat egy meglehetősen szigorú és világos algoritmus szerint hajtják végre, három sáv előtt kő nélkül.

1. példa

1) Az első szakaszban mindkét részhez vonásokat rögzítünk:

2) A derivált linearitási szabályait használjuk (a lecke első két szabálya). Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra):

3) Közvetlen megkülönböztetés.
A megkülönböztetés módja teljesen világos. Mi a teendő ott, ahol „játékok” vannak az ütések alatt?

Csak a szégyen erejéig egy függvény deriváltja egyenlő a deriváltjával: .

Hogyan lehet megkülönböztetni

Itt van összetett funkció. Miért? Úgy tűnik, hogy a szinusz alatt csak egy „Y” betű található. De tény, hogy csak egy „y” betű van - ÖNMAGA FUNKCIÓ(lásd a definíciót a lecke elején). Így a szinusz külső függvény és belső függvény. Az összetett függvények megkülönböztetésére a következő szabályt használjuk:

A terméket a szokásos szabály szerint különböztetjük meg:

Felhívjuk figyelmét, hogy - szintén egy összetett funkció, minden „játék harangokkal és síppal” összetett funkció:

Magának a megoldásnak valahogy így kell kinéznie:

Ha vannak zárójelek, bontsa ki őket:

4) A bal oldalon összegyűjtjük azokat a kifejezéseket, amelyek „Y”-t tartalmaznak prímszámmal. Helyezzen minden mást jobb oldalra:

5) A bal oldalon zárójelből kivesszük a származékot:

6) És az arányszabály szerint ezeket a zárójeleket a jobb oldal nevezőjébe dobjuk:

A származékot megtalálták. Kész.

Érdekes megjegyezni, hogy bármilyen függvény implicit módon átírható. Például a függvény átírható így: . És különböztesse meg az imént tárgyalt algoritmus segítségével. Valójában az „implicit funkció” és az „implicit funkció” kifejezések egy szemantikai árnyalatban különböznek egymástól. Az „implicit formában megadott funkció” kifejezés általánosabb és helyesebb - ez a funkció implicit formában van megadva, de itt kifejezheti a „játékot” és kifejezheti a funkciót. Az „implicit függvény” kifejezés a „klasszikus” implicit függvényre utal, amikor a „játék” nem fejezhető ki.

Második megoldás

Figyelem! A második módszerrel csak akkor ismerkedhet meg, ha tudja, hogyan kereshet magabiztosan részleges származékokat. Kezdők és kezdők a matematikai elemzés tanulmányozásában, kérjük, ne olvassák el, és ne hagyják ki ezt a pontot, különben teljesen összezavarodik a fejük.

Keressük meg az implicit függvény deriváltját a második módszerrel.

Az összes kifejezést áthelyezzük a bal oldalra:

És vegyük figyelembe két változó függvényét:

Ekkor a deriváltunkat a képlet segítségével találhatjuk meg

Keressük a parciális deriváltokat:

Így:

A második megoldás lehetővé teszi az ellenőrzés elvégzését. De nem tanácsos kiírniuk a feladat végleges változatát, mivel a parciális deriváltokat később sajátítják el, és az „Egy változó függvényének deriváltja” témát tanuló hallgatónak még nem szabad ismernie a parciális deriváltokat.

Nézzünk még néhány példát.

2. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Adjon hozzá vonásokat mindkét részhez:

Linearitási szabályokat használunk:

Származékok keresése:

Az összes tartó kinyitása:

Az összes kifejezést a bal oldalra mozgatjuk, a többit a jobb oldalra:

A bal oldalon zárójelből kirakjuk:

Végső válasz:

3. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Teljes megoldás és mintaterv az óra végén.

Nem ritka, hogy a differenciálás után törtek keletkeznek. Ilyen esetekben meg kell szabadulnia a frakcióktól. Nézzünk még két példát: az egyes részek minden tagját

5. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az egyetlen dolog az, hogy mielőtt megszabadulna a törttől, először meg kell szabadulnia magának a tört háromszintes szerkezetétől. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.