Határozatlan integrál definíció és legegyszerűbb tulajdonságok. Antiderivatív és határozatlan integrál, tulajdonságaik. Alapvető integrációs módszerek

Otthon

Javítás és tisztítás

A határozatlan integrál fogalma. A differenciálás az a művelet, amellyel egy adott függvény deriváltját vagy differenciálját megtaláljuk. Például, ha F(x) = x 10, akkor F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Integráció - Ez a megkülönböztetés ellentéte. Egy függvény adott deriváltján vagy differenciálján keresztüli integráció segítségével magát a függvényt találjuk meg. Például, ha F" (x) = 7x 6, akkor F (x) == x 7, mivel (x 7)" = 7x 6.

Differenciálható függvény F(x), xЄ]a; b[ hívják antiderivatív az f (x) függvényre az ]а intervallumon; b[, ha F" (x) = f (x) minden xЄ]a; b[.

Így az f(x) = 1/cos 3 x függvény antideriváltja az F(x)= tan x függvény, mivel (tg x)"= 1/cos 2 x.

Az összes f(x) antiderivatív függvény halmaza az ]а intervallumon; b[ hívják határozatlan integrál az f(x) függvényből ezen az intervallumon és írjuk be az f (x)dx = F(x) + C. Itt f(x)dx az integrandus;

F(x)-integrálfüggvény; Az integráció x-változója: C tetszőleges állandó.

Például 5x 4 dx = x 5 + C, mivel (x 3 + C)" = 5x 4.

Adjunk a határozatlan integrál alapvető tulajdonságai. 1. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel egy tetszőleges állandóhoz hozzáadva, azaz.

3. A konstans tényező kivehető a határozatlan integrál előjeléből:

af(x)dx = a f(x)dx

4. A függvények algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő az egyes függvények határozatlan integráljainak algebrai összegével:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x) dx ± f 2 (x) dx.

Alapvető integrációs képletek

(táblázatos integrálok).

1. példa Lelet

Megoldás. Tegyük a 2 - 3x 2 = t behelyettesítést akkor -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Következő, megkapjuk

3. példa Lelet

Megoldás. Tegyük fel 10x = t; akkor 10dx = dt, ahonnan dx=(1/10)dt.

Tehát a sinl0xdx megtalálásakor használhatja a sinkxdx = - (1/k) cos kx+C képletet, ahol k=10.

Ekkor sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Önellenőrző kérdések és gyakorlatok

1. Milyen cselekvést nevezünk integrációnak?

2. Melyik függvényt nevezzük az f(x) függvény antideriváltjának?

3. Határozzon meg egy határozatlan integrált.

4. Sorolja fel a határozatlan integrál főbb tulajdonságait!

5. Hogyan ellenőrizhető az integráció?

6. Írja fel az alapvető integrációs képleteket (táblázatos integrálokat).

7. Keresse meg az integrálokat: a) b) c)

ahol a az alsó határ, b a felső határ, F (x) az f (x) függvény valamilyen antideriváltja.

Ebből a képletből látható egy bizonyos integrál kiszámításának eljárása: 1) keressük meg egy adott függvény F (x) antideriváltját; 2) keresse meg F (x) értékét x = a és x = b esetén; 3) számítsa ki az F (b) - F (a) különbséget!

1. példa Integrál kiszámítása

Megoldás. Használjuk a tört és negatív kitevővel rendelkező hatvány definícióját, és számítsuk ki a határozott integrált:

2. Az integrációs szegmens részekre osztható:

3. A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:

4. A függvények összegének integrálja egyenlő az összes tag integráljának összegével:

2) Határozzuk meg a t változó integrálási határait. x=1 esetén tn =1 3 +2=3, x=2 esetén tb =2 3 +2=10.

3. példa Integrál kiszámítása

Megoldás. 1) tegye cos x=t; akkor – sinxdx =dt és

sinxdx = -dt. 2) Határozzuk meg a t változó integrálási határait: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Az integrandust t és dt értékekkel kifejezve és új határértékekre lépve megkapjuk

Számítsuk ki az egyes integrálokat külön:

5. példa Számítsa ki az ábra területét, amelyet az y = x 2 parabola, az x = - 1 egyenesek, az x = 2 és az abszcissza tengely határol (47. ábra).

Megoldás. Az (1) képlet alkalmazásával kapjuk

azok. S = 3 négyzetméter egységek

Az ABCD ábra területe (48. ábra), grafikonokkal határolt folyamatos funkciók y =f 1 (x) és y f 2 = (x), ahol x Є[a, b], az x = a és x = b vonalszakaszok a következő képlettel számítható ki





		Az aAB görbe vonalú trapéz Oy tengelye körüli elforgatásával kialakult test térfogata, amelyet egy folytonos görbe határol x=f(y), ahol Є [a, b], Oy tengely [a, b] szakasza, egyenes képlettel számított y = a és y = b szegmens (53. ábra). Egy pont által megtett út. Ha egy pont egyenesen mozog, és sebessége v=f(t) a t idő ismert függvénye, akkor a pont által egy idő alatt megtett utat a képlet számítja ki Önellenőrző kérdések 1. Adja meg a határozott integrál definícióját! 2. Sorolja fel a határozott integrál főbb tulajdonságait! 3. Mi a geometriai jelentése egy határozott integrálnak? 4. Írjon képleteket egy síkfigura területének meghatározásához egy határozott integrál segítségével. 5. Milyen képletekkel határozzuk meg a forgástest térfogatát? 6. Írjon képletet a test által megtett távolság kiszámításához! 7. Írjon képletet a változó erő által végzett munka kiszámításához! 8. Milyen képlettel számítjuk ki a lemezre ható folyadéknyomás erejét?

Az integrál a differenciálszámítás fontos része. Az integrálok lehetnek dupla, hármas stb. Felület és térfogat megtalálása geometriai testek használják különféle típusok integrálok.

A határozatlan integrál alakja: \(∫f (x)\, dx\), a határozott integrálé pedig: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

A sík tartománya, amelyet a határozott integrál gráfja korlátoz:

Az integrációs műveletek a differenciálás fordítottja. Emiatt emlékeznünk kell az antiderivatívára, függvényre, derivált táblázatra.

Az \(F (x) = x^2\) függvény az \(f (x) = 2x\ függvény antideriváltja. Az \(f (x) = x^2+2\) és \(f (x) = x^2+7\) függvények szintén az \(f (x) = 2x\ függvény antideriváltjai. A \(2\) és \(7-\) olyan állandók, amelyek deriváltjai nullával egyenlőek, így tetszés szerint helyettesíthetjük őket, az antiderivált értéke nem fog változni. Határozatlan integrál írásához használja a \(∫\) jelet. Határozatlan integrál az \(f (x) = 2x\ függvény összes antideriváltjának halmaza. Az integrációs műveletek a differenciálás fordítottja. \(∫2x = x^2+C\) , ahol \(C\) az integráció állandója, azaz ha kiszámítjuk a \(x^2\) derivált, akkor \(2x\) , és ez \ (∫2x\) . Könnyű, nem? Ha nem érti, akkor meg kell ismételnie a függvény deriváltját. Most levezethetjük a képletet, amellyel kiszámítjuk az integrált: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n≠ -1\). kivontunk 1-et, most hozzáadunk 1-et, n nem lehet egyenlő 0-val. Vannak más integrációs szabályok is, amelyeket meg kell tanulni más alapfüggvényekhez:

A határozatlan integrál megoldása az antideriválták keresésének fordított folyamata differenciálegyenlet. Találunk egy függvényt, amelynek deriváltja egy integrál, és ne felejtsük el hozzáadni a "+ C"-t a végére.

Az integrálszámítás alapelveit Isaac Newton és Gottfried Leibniz egymástól függetlenül fogalmazta meg a 17. század végén. Bernhard Riemann szigorú matematikai definíciót adott az integrálokra. Az integrálok meghatározására alkalmas első dokumentált szisztematikus módszer az ókori görög csillagász, Eudoxus számítási módszere, aki úgy próbált területeket és térfogatokat találni, hogy azokat végtelen számú ismert területre és térfogatra bontotta. Ezt a módszert Arkhimédész fejlesztette tovább és alkalmazta a Kr.e. 3. században. e. és a parabolák területének kiszámítására és a kör területének közelítésére használták.

Egy hasonló módszert önállóan fejlesztett ki Kínában az i.sz. 3. század körül Liu Hui, aki egy kör területének meghatározására használta. Ezt a módszert később az 5. században ZU Chongzhi és ZU Geng kínai apa és fia matematikusok alkalmazták egy gömb térfogatának meghatározására.

Az integrálszámítás következő jelentős előrelépései csak a 17. században jelentek meg. Ez idő alatt Cavalieri és Fermat munkája elkezdte lerakni a modern számítás alapjait.

Különösen az integrálszámítás alaptétele teszi lehetővé a problémák sokkal szélesebb osztályának megoldását. Ugyanilyen fontos a Newton és Leibniz által kidolgozott összetett matematikai keretrendszer. Az integrálok struktúrája közvetlenül Leibniz munkájából származik, és modern integrálszámítássá vált. A számítást Riemann módosította határértékekkel. Ezt követően általánosabb függvényeket vettek figyelembe, különösen a Fourier-analízis keretében, amelyekre Riemann definíciója nem vonatkozik. Lebesgue megfogalmazta az integrál egy másik definícióját, amely a mértékelméletre (a valós elemzés egy részterületére) épül.

A határozatlan integrál modern jelölését Gottfried Leibniz vezette be 1675-ben.

Az integrálokat széles körben használják a matematika számos területén. Például a valószínűségelméletben integrálokat használnak annak meghatározására, hogy bizonyos valószínűségi változó mekkora valószínűséggel esik egy bizonyos tartományba.

Az integrálok felhasználhatók egy ívelt határvonallal rendelkező kétdimenziós régió területének, valamint egy ívelt határvonallal rendelkező háromdimenziós objektum térfogatának kiszámítására.

Az integrálokat a fizikában, például a kinematikában használják az elmozdulás, az idő és a sebesség meghatározására.

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként X, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a funkciót f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen egy ajtó (hagyományos fa ajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a közös függvényeket, feltüntetve azokat az antideriváltokat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antideriváltakról különféle állandókkal 1-től végtelenig, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivált a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor végtelen számú antideriválta van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként X, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Hol VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát is tanulmányozzuk egy kicsit tovább.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva. f, és szorzata a differenciálművel dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változóval keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintő dőlésszögének érintője minden pontban az adott funkciót f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

Szerint geometriai érzék deriváltja, az érintőszög érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amihez F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és bármely más görbe levehető belőle párhuzamos átvitel a tengely mentén Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciálja pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

A deriváltjából vagy differenciáljából visszaállítható függvényt nevezzük antiderivatív.

Meghatározás. Funkció F(x) hívott antiderivatív funkcióhoz

f(x) bizonyos intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden pontján

F"(x) = f(x)

vagy ami egyben

dF(x) = f(x)dx

Például, F(x) = sin x egy antiderivatív a f(x) = cos x a teljes számegyenesen OX, mert

(sin x)" = cos x

Ha a funkció F(x) a funkcióhoz van egy antiderivált f(x) a [ a; b], majd a függvényt F(x) + C, Hol C bármely valós szám egyben antiderivatív is f(x) bármilyen értékben C. tényleg ( F(x) + C)" = F"(x) + C" = f(x).

Példa.

Meghatározás. Ha F(x) a funkció egyik antideriváltja f(x) a [ a; b], majd a kifejezést F(x) + C, Hol C nevű tetszőleges állandó határozatlan integrál funkcióból f(x)és a ʃ szimbólummal jelöljük f(x)dx(olvassa: határozatlan integrálja f(x)-on dx). Így,

ʃ f (x ) dx = F (x ) +C ,

Ahol f(x) integrand függvénynek nevezzük, f(x)dx- integráns kifejezés, x az integráció változója, a ʃ szimbólum pedig a határozatlan integrál jele.

A határozatlan integrál tulajdonságai és geometriai tulajdonságai.

A határozatlan integrál definíciójából az következik, hogy:

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

Igazán, F"(x) = f(x) és ʃ f(x)dx = F(x)+C. Majd

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal

Igazán,

3. A derivált határozatlan integrálja magával a függvénnyel és egy tetszőleges állandóval egyenlő:

Igazán, F"(x) = f(x). Majd,

4. A differenciál határozatlan integrálja egyenlő a differenciálható függvénnyel és egy tetszőleges állandóval:

Igazán, . Majd,

5. Állandó szorzó k(k≠ 0) kivehető a határozatlan integrál jeleként:

6. Egy véges számú függvény algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak algebrai összegével:

Nevezzük a gráfot antideriváltnak Az integrálgörbe F(x).. Bármely más antiderivatív grafikonja F(x) + C az integrálgörbe párhuzamos átvitelével kapott F(x) a tengely mentén OY.

Példa.

Alapintegrálok táblázata

Alapvető integrációs technikák

1. Közvetlen (táblázatos) integráció.

A közvetlen (táblázatos) integráció az integrál táblázatos formára való redukálása az elemi matematika alapvető tulajdonságai és képletei segítségével.

1. példa

Megoldás:

Példa2 .

Megoldás:

Példa3 .

Megoldás:

2. A differenciálmű aláhozásának módja.

1. példa

Megoldás:

Példa2 .

Megoldás:

Példa3 .

Megoldás:

Példa4 .

Megoldás:

Példa5 .

Megoldás:

Példa6 .

Megoldás:

Példa7 .

Megoldás:

Példa8 .

Megoldás:

Példa9 .

Megoldás:

Példa10 .

Megoldás:

3. A differenciálműhöz való csatlakozás második módja.

1. példa

Megoldás:

Példa2 .

Megoldás:

4. Változó helyettesítési (helyettesítési) módszer.

Példa.

Megoldás:

5. Alkatrészenkénti integráció módja.

Ezzel a képlettel a következő típusú integrálokat veszik:

1 típus

, képlet érvényes n- egyszer, a többit dv.

2 típus.

, A képlet egyszer kerül alkalmazásra.

Példa1 .

Megoldás:

2. példa

Megoldás:

Példa3 .

Megoldás:

Példa4 .

Megoldás:

RACIONÁLIS TÖRTEK INTEGRÁLÁSA.

A racionális tört két polinom aránya - fok m és - fok n,

A következő esetek lehetségesek:

1. Ha , akkor használja a szögosztás módszerét a teljes rész kiküszöbölésére.

2. Ha a nevezőnek négyzetes trinomja is van, akkor a tökéletes négyzethez való összeadás módszerét alkalmazzuk.

1. példa

Megoldás:

Példa2 .

Megoldás:

3. A határozatlan együtthatók módszere egy megfelelő racionális tört egyszerű törtek összegére való felbontásakor.

Bármely megfelelő racionális tört, ahol egyszerű törtek összegeként ábrázolható:

Ahol A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ bizonytalan együtthatók.

A bizonytalan együtthatók megtalálásához a jobb oldalt közös nevezőre kell redukálni. Mivel a nevező egybeesik a jobb oldali tört nevezőjével, ezek elvethetők, és a számlálók egyenlővé tehetők. Ezután az együtthatók azonos fokozatú egyenlővé tétele x a bal és a jobb oldalon egy lineáris egyenletrendszert kapunk azzal n- ismeretlen. A rendszer megoldása után megtaláljuk a szükséges együtthatókat A, B, C, Dés így tovább. Ezért a megfelelő racionális törtet egyszerűbb törtekre bontjuk.

Nézzük meg a lehetséges lehetőségeket példák segítségével:

1. Ha a nevezőtényezők lineárisak és különbözőek: