Több változóból álló függvény legkisebb értéke. Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke. Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke - definíciók, illusztrációk

Megoldásához pedig minimális ismeretre lesz szüksége a témában. Vége az újabb tanévnek, mindenki nyaralni szeretne, és hogy közelebb hozzam ezt a pillanatot, rögtön a lényegre térek:

Kezdjük a területtel. A feltételben említett terület az korlátozott zárt pontok halmaza egy síkon. Például egy háromszög által határolt pontok halmaza, beleértve az EGÉSZ háromszöget is (ha honnan határok legalább egy pontot „szúrjunk ki”, akkor a régió többé nem lesz bezárva). A gyakorlatban vannak téglalap alakú, kerek és kissé bonyolultabb formájú területek is. Meg kell jegyezni, hogy a matematikai elemzés elméletében szigorú definíciók vannak megadva korlátok, elszigeteltség, határok stb., de szerintem intuitív szinten mindenki tisztában van ezekkel a fogalmakkal, és most már semmi másra nincs szükség.

A lapos régiót általában betűvel jelölik, és általában analitikusan határozzák meg - több egyenlettel (nem feltétlenül lineáris); ritkábban egyenlőtlenségek. Tipikus szóhasználat: „vonalakkal határolt zárt terület”.

A vizsgált feladat szerves része a rajzon egy terület kialakítása. Hogyan kell ezt csinálni? Az összes felsorolt ​​vonalat meg kell rajzolnia (in ebben az esetben 3 egyenes), és elemezze a történteket. A keresett terület általában enyhén árnyékolt, határát pedig vastag vonal jelzi:


Ugyanez a terület is beállítható lineáris egyenlőtlenségek: , amelyeket valamilyen oknál fogva gyakran inkább felsorolt ​​listaként írnak, mintsem rendszer.
Mivel a határ a régióhoz tartozik, akkor természetesen minden egyenlőtlenség, laza.

És most a feladat lényege. Képzeld el, hogy a tengely egyenesen feléd jön ki az origóból. Vegyünk egy olyan funkciót, amely folyamatos mindegyikben területi pont. Ennek a függvénynek a grafikonja néhányat ábrázol felület, és az a kis boldogság, hogy a mai probléma megoldásához nem kell tudnunk, hogy néz ki ez a felület. Elhelyezhető magasabban, alacsonyabban, metszi a síkot - mindez nem számít. És a következő fontos: szerint Weierstrass tételei, folyamatos V korlátozottan zárt területen a függvény eléri a legnagyobb értékét (legmagasabb")és a legkevesebb (a "legalacsonyabb")értékek, amelyeket meg kell találni. Ilyen értékek érhetők el vagy V álló pontok, régióhoz tartozóD , vagy pontokon, amelyek e terület határán fekszenek. Ez egy egyszerű és átlátható megoldási algoritmushoz vezet:

1. példa

Korlátozottan zárt területen

Megoldás: Először is le kell ábrázolnia a területet a rajzon. Sajnos technikailag nehezemre esik interaktív modellt készíteni a problémáról, ezért azonnal bemutatom a végső illusztrációt, amely bemutatja a kutatás során talált összes „gyanús” pontot. Általában egymás után szerepelnek, ahogy felfedezik őket:

A preambulum alapján a döntés kényelmesen két pontra osztható:

I) Álló pontok keresése. Ez egy szokásos művelet, amelyet ismételten végrehajtottunk az órán. több változó extrémjéről:

Állópontot találtunk tartozik területek: (jelölje meg a rajzon), ami azt jelenti, hogy ki kell számítanunk a függvény értékét egy adott pontban:

- mint a cikkben Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen, a fontos eredményeket félkövérrel emelem ki. Kényelmes nyomon követni őket egy jegyzetfüzetben ceruzával.

Figyeljünk a második boldogságunkra – nincs értelme ellenőrizni elégséges feltétel az extrémumhoz. Miért? Még akkor is, ha egy ponton a függvény eléri pl. helyi minimum, akkor ez NEM JELENTI, hogy a kapott érték lesz minimális az egész régióban (lásd az óra elejét a feltétlen szélsőségekről) .

Mi a teendő, ha az állópont NEM tartozik a régióhoz? Szinte semmi! Ezt meg kell jegyezni, és tovább kell lépni a következő pontra.

II) Feltárjuk a régió határát.

Mivel a szegély egy háromszög oldalaiból áll, célszerű a tanulmányt 3 alszakaszra osztani. De jobb, ha nem teszed meg. Az én szempontomból elõször is elõnyösebb a koordinátatengelyekkel párhuzamos szakaszokat, és elsõsorban magukon a tengelyeken elhelyezkedõ szakaszokat figyelembe venni. A műveletek teljes sorrendjének és logikájának megértéséhez próbálja meg tanulmányozni a befejezést „egy lélegzettel”:

1) Foglalkozzunk a háromszög alsó oldalával. Ehhez írja be közvetlenül a függvénybe:

Alternatív megoldásként megteheti a következőképpen:

Geometriailag ez azt jelenti, hogy a koordinátasík (amit az egyenlet is megad)"farag" belőle felületek"térbeli" parabola, melynek teteje azonnal gyanúba kerül. Találjuk ki hol található:

– a kapott érték „beesett” a területre, és könnyen kiderülhet, hogy pont (a rajzon jelölve) a függvény eléri a legnagyobb vagy legkisebb értéket az egész régióban. Így vagy úgy, végezzük el a számításokat:

A többi „jelölt” természetesen a szegmens végei. Számítsuk ki a függvény értékeit a pontokban (a rajzon jelölve):

Itt egyébként szóbeli mini-ellenőrzést végezhet „lecsupaszított” verzióval:

2) A háromszög jobb oldalának tanulmányozásához cserélje be a függvénybe, és „rakjon rendet”:

Itt azonnal elvégzünk egy durva ellenőrzést, „becsengetve” a szegmens már feldolgozott végét:
, Remek.

A geometriai helyzet az előző ponthoz kapcsolódik:

– az így kapott érték is „érdekkörünkbe került”, ami azt jelenti, hogy ki kell számolnunk, hogy a megjelenő pontban mennyivel egyenlő a függvény:

Vizsgáljuk meg a szegmens második végét:

A funkció használata , hajtsunk végre egy ellenőrzési ellenőrzést:

3) Valószínűleg mindenki kitalálja, hogyan fedezze fel a fennmaradó oldalt. Behelyettesítjük a funkcióba, és egyszerűsítéseket hajtunk végre:

A szegmens végei már kutatott, de a tervezetben még mindig ellenőrizzük, hogy helyesen találtuk-e meg a függvényt :
– egybeesett az 1. albekezdés eredményével;
– egybeesett a 2. albekezdés eredményével.

Még ki kell deríteni, van-e valami érdekes a szegmensben:

- Van! Az egyenest behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk ennek az „érdekességnek” az ordinátáját:

Jelölünk egy pontot a rajzon, és megtaláljuk a függvény megfelelő értékét:

Ellenőrizzük a számításokat a „költségvetési” verzió segítségével :
, rendeljen.

És az utolsó lépés: Óvatosan végignézzük az összes "félkövér" számot, kezdőknek ajánlom, hogy akár egyetlen listát is készítsenek:

amelyek közül kiválasztjuk a legnagyobb és a legkisebb értékeket. VálaszÍrjuk le a megtalálás problémájának stílusában egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen:

Minden esetre még egyszer hozzászólok geometriai jelentése eredmény:
– itt van a felszín legmagasabb pontja a régióban;
– itt van a felszín legalacsonyabb pontja a területen.

Az elemzett feladatban 7 „gyanús” pontot azonosítottunk, de ezek száma feladatonként változik. Egy háromszög alakú régió esetében a minimális „kutatási halmaz” három pontból áll. Ez akkor fordul elő, ha a függvény például megadja repülőgép– teljesen világos, hogy nincsenek stacionárius pontok, és a függvény csak a háromszög csúcsainál tudja elérni a maximális/legkisebb értékeit. De csak egy-két hasonló példa van – általában meg kell küzdenie valamivel 2. rendű felület.

Ha egy kicsit megoldod az ilyen feladatokat, akkor a háromszögek felpörgetik a fejedet, ezért szokatlan példákat készítettem számodra, hogy négyzet alakú legyen :))

2. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét vonalakkal határolt zárt területen

3. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy korlátozott zárt területen.

Különös figyelmet kell fordítani a régió határának tanulmányozásának racionális rendjére és technikájára, valamint a közbenső ellenőrzések láncolatára, amellyel szinte teljesen elkerülhetők a számítási hibák. Általánosságban elmondható, hogy tetszés szerint megoldhatja, de bizonyos problémákban, például a 2. példában, minden esély megvan arra, hogy sokkal nehezebbé tegye az életét. Hozzávetőleges minta az utolsó feladatokból az óra végén.

Rendszerezzük a megoldási algoritmust, egyébként az én pók szorgalmammal valahogy elveszett az 1. példa hosszú kommentszálában:

– Első lépésben egy területet építünk, célszerű árnyékolni, és a szegélyt vastag vonallal kiemelni. A megoldás során olyan pontok jelennek meg, amelyeket meg kell jelölni a rajzon.

– Álló pontok keresése és a függvény értékeinek kiszámítása csak azokban amelyek a régióhoz tartoznak. A kapott értékeket kiemeljük a szövegben (például karikázzuk be őket ceruzával). Ha egy stacioner pont NEM tartozik a régióhoz, akkor ezt a tényt ikonnal vagy szóban jelöljük. Ha egyáltalán nincsenek stacioner pontok, akkor írásos következtetést vonunk le, hogy hiányoznak. Mindenesetre ezt a pontot nem lehet kihagyni!

– Feltárjuk a régió határát. Először is célszerű megérteni azokat az egyeneseket, amelyek párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (ha vannak egyáltalán). Kiemeljük a „gyanús” pontokon számított függvényértékeket is. A megoldási technikáról fentebb már sok szó esett, alább pedig még másról lesz szó - olvass, olvass újra, mélyedj el benne!

– A kiválasztott számok közül válassza ki a legnagyobb és legkisebb értéket, és adja meg a választ. Néha előfordul, hogy egy függvény egyszerre több ponton ér el ilyen értékeket - ebben az esetben ezeknek a pontoknak tükröződniük kell a válaszban. Legyen pl. és kiderült, hogy ez a legkisebb érték. Aztán felírjuk

Az utolsó példákat másoknak ajánljuk hasznos ötleteket ami a gyakorlatban hasznos lesz:

4. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy zárt tartományban .

Megtartottam a szerző megfogalmazását, amelyben a régió kettős egyenlőtlenség formájában van megadva. Ezt a feltételt egy ekvivalens rendszerrel vagy hagyományosabb formában is felírhatjuk erre a problémára:

Emlékeztetlek arra, hogy nemlineáris-n egyenlőtlenségekkel találkoztunk, és ha nem érti a jelölés geometriai jelentését, akkor kérem, ne késlekedjen, és most azonnal tisztázza a helyzetet;-)

Megoldás, mint mindig, egy olyan terület felépítésével kezdődik, amely egyfajta „talpot” jelent:

Hmm, néha nem csak a tudomány gránitját kell rágni...

I) Álló pontok keresése:

A rendszer egy idióta álma :)

Egy stacionárius pont a régióhoz tartozik, vagyis annak határán fekszik.

És rendben van... a lecke jól sikerült – ezt jelenti a megfelelő teát inni =)

II) Feltárjuk a régió határát. Minden további nélkül kezdjük az x tengellyel:

1) Ha , akkor

Nézzük meg, hol van a parabola csúcsa:
– értékeld az ilyen pillanatokat – pontosan „eltalálsz” arra a pontra, ahonnan már minden világos. De továbbra sem feledkezzünk meg az ellenőrzésről:

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén:

2) Foglalkozzunk a „talp” alsó részével „egy ülésben” - minden komplexus nélkül behelyettesítjük a függvénybe, és csak a szegmens érdekelni fog minket:

Ellenőrzés:

Ez már némi izgalmat hoz a monoton vezetésbe a recés pályán. Keressük a kritikus pontokat:

Döntsük el másodfokú egyenlet, emlékszel még valamire erről? ...Azonban persze ne feledd, különben nem olvasnád ezeket a sorokat =) Ha az előző két példában kényelmes volt a tizedes törtekkel történő számítás (ami egyébként ritka), akkor itt a szokásos közönséges törtek vár ránk. Megkeressük az „X” gyököket, és az egyenlet segítségével meghatározzuk a „jelölt” pontok megfelelő „játék” koordinátáit:


Számítsuk ki a függvény értékeit a talált pontokban:

Ellenőrizze saját maga a funkciót.

Most alaposan áttanulmányozzuk a megnyert trófeákat, és leírjuk válasz:

Ezek „jelöltek”, ezek „jelöltek”!

Mert önálló döntés:

5. példa

Keresse meg a legkisebb és legmagasabb érték funkciókat zárt területen

A göndör zárójelekkel ellátott bejegyzés így hangzik: „pontok halmaza olyan, hogy.”

Néha ilyen példákban használják Lagrange-szorzó módszer, de nem valószínű, hogy valóban szükség lesz a használatára. Így például ha egy azonos területű „de” függvényt adunk meg, akkor behelyettesítés után – a nehézségek nélküli deriválttal; Ezenkívül minden „egy sorban” (jelekkel) van felállítva, anélkül, hogy külön kellene figyelembe venni a felső és az alsó félkört. De persze vannak bonyolultabb esetek is, ahol a Lagrange függvény nélkül (ahol például ugyanaz a kör egyenlete) nehéz boldogulni – ahogyan nehéz nélküle jó pihenést!

Jó szórakozást mindenkinek, és hamarosan találkozunk a következő szezonban!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: Ábrázoljuk a területet a rajzon:

1.5. Tétel Legyen zárt tartományban D funkció megadva z=z(x,y) , amelynek folyamatos elsőrendű parciális deriváltjai vannak. Határ G régióban D darabonként sima (azaz „sima tapintású” görbékből vagy egyenes vonalakból áll). Aztán a környéken D funkció z (x,y) eléri a legnagyobbat M és a legkevesebb m értékeket.

Nincs bizonyíték.

A következő tervet javasolhatja a megtaláláshoz M És m .
1. Építünk egy rajzot, kijelöljük a területhatár összes részét D és megtalálja a határ összes „sarok” pontját.
2. Keresse meg az álló pontokat belül D .
3. Keressen állópontokat az egyes határokon.
4. Minden álló- és sarokponton számolunk, majd kiválasztjuk a legnagyobbat M és a legkevésbé m jelentések.

1.14. példa Keresse meg a legnagyobbat M és a legkevésbé m függvényértékek z = 4x2-2xy+y2-8x zárt területen D , korlátozott: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Építsünk egy területet D (1.5. ábra) síkon Óóó .

Sarokpontok: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Határ G régióban D három részből áll:

2. Keressen helyhez kötött pontokat a régión belül D :

3. Álló pontok a határokon l 1, l 2, l 3 :

4. Hat értéket számítunk ki:

Példák

1. példa

Ez a funkció a változók összes értékéhez definiálva x És y , kivéve az origót, ahol a nevező nullára megy.

Polinom x 2 +y 2 mindenhol folytonos, ezért a folytonos függvény négyzetgyöke folytonos.

A tört mindenhol folytonos lesz, kivéve azokat a pontokat, ahol a nevező nulla. Vagyis a vizsgált függvény folytonos a teljes koordinátasíkon Óóó , kivéve az eredetet.

2. példa

Vizsgálja meg egy függvény folytonosságát! z=tg (x,y) . Az érintő definiált és folytonos az argumentum összes véges értékére, kivéve azokat az értékeket, amelyek egyenlőek a mennyiség páratlan számával π /2 , azaz kizárva azokat a pontokat, ahol

Minden fixért "k" az (1.11) egyenlet egy hiperbolát határoz meg. Ezért a kérdéses függvény az folyamatos funkció x és y , kivéve a görbéken fekvő pontokat (1.11).

3. példa

Keresse meg a függvények parciális deriváltjait u=z -xy , z > 0 .

4. példa

Mutasd meg ezt a funkciót

megfelel az azonosságnak:

– ez az egyenlőség minden pontra érvényes M(x;y;z) , kivéve a pontot M 0 (a;b;c) .

Tekintsük két független változó z=f(x,y) függvényét és határozzuk meg a részváltozók geometriai jelentését z"x =f"x (x,y) És z"y =f"y (x,y) .

Ebben az esetben az egyenlet z=f (x,y) van valamilyen felület egyenlete (1.3. ábra). Rajzoljunk egy síkot y = konst . Ennek a felületi síknak egy szakaszán z=f (x,y) kapsz egy sort l 1 metszéspont, amely mentén csak a mennyiségek változnak X És z .

Részleges derivált z"x (geometriai jelentése közvetlenül következik egy változó függvény deriváltjának ismert geometriai jelentéséből) numerikusan egyenlő a szög érintőjével α dőlésszög a tengelyhez képest Ó , érintő L 1 a görbére l 1 , ami a felület egy szakaszát eredményezi z=f (x,y) repülőgép y = konst pontban M(x,y,f(xy)): z" x = tanα .

A felszín metszetében z=f (x,y) repülőgép X = konst kereszteződést kapsz l 2 , amely mentén csak a mennyiségek változnak at És z . Ezután a parciális derivált z" y számszerűen egyenlő a szög érintőjével β dőlésszög a tengelyhez képest Ó , érintő L 2 a megadott sorra l 2 kereszteződések egy pontban M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ .

5. példa

Milyen szöget zár be a tengellyel? Ó vonal érintője:

pontban M(2,4,5) ?

A parciális derivált geometriai jelentését használjuk egy változóra vonatkozóan X (állandóan at ):

6. példa.

Az (1.31) szerint:

7. példa.

Feltéve, hogy az egyenlet

implicit módon meghatároz egy függvényt

lelet z"x , z" y .

ezért (1.37) szerint azt a választ kapjuk.

8. példa.

Fedezd fel a végletekig:

1. Állandó pontok keresése az (1.41) rendszer segítségével:

vagyis négy stacionárius pontot találunk.
2.

az 1.4 Tétel szerint a pontban van egy minimum.

Ráadásul

4. Hat értéket számítunk ki:

A kapott hat érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Referenciák:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. Felső matematika közgazdászok számára. I félév: Expressz tanfolyam. – M.: Új ismeretek, 2002. – 140 p.

ü Gusak A. A. Matematikai elemzésés differenciálegyenletek – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 p.

ü Gusak A. A.. Felsőfokú matematika. Oktatóanyag egyetemisták számára 2 kötetben. – Mn., 1998. – 544 p. (1 kötet), 448 pp. (2 kötet).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Felső matematika közgazdászoknak: Tankönyv egyetemeknek / Szerk. prof. N. Sh. Kremer – M.: UNITI, 2002. – 471 p.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. és mások. Általános tanfolyam: Tankönyv / Általános alatt. szerk. S. A. Samal – Mn.: Vysh. iskola, 2000. – 351 p.

28. előadás Több változó extrémumfüggvényeinek vizsgálata. Több változó függvényének feltételes szélsőértéke.

Sok változó függvényeinek tanulmányozása egy végletig sokkal összetettebb eljárás, mint egy hasonló eljárás egyetlen változó függvényeinél. Ezért ennek a kérdésnek a megfontolására szorítkozunk a két változó függvényének legegyszerűbb és legszemléletesebb példájával (lásd 1. ábra). Itt M 1(x 1; y 1), M2(x 2; y 2), M3(x 3; y 3) ennek a függvénynek a szélsőpontjai. Mégpedig pontok M 1És M 3 – a függvény minimumpontja, és a pont M 2– a maximális pontja. Az 1. ábra egy három szélsőpontos függvényt mutat, de természetesen ezekből a pontokból lehet több vagy kevesebb.

Határozzuk meg pontosabban, hogy mik a szélsőpontok két változó függvényében.

Meghatározás. A funkciónak van maximális(minimális) egy ponton, ha valamely szomszédságban található bármely pontra - a pont szomszédságára, akkor a következők érvényesek: (). - a környéket olyan pontok halmazával lehet ábrázolni, amelyek koordinátái kielégítik a feltételt , ahol egy pozitív, kellően kis szám.

Egy függvény maximumát és minimumát nevezzük szélsőségek, A - szélső pont.

Hadd M0(x 0; y 0) – a függvény bármely szélsőpontja (maximális pontja vagy minimumpontja). Akkor igazságos

1. tétel.

Ha a szélsőponton M0(x 0; y 0) vannak részleges származékai És , akkor mindkettő egyenlő nullával:

2) Nézzük most a függvényt . Mert ennek a függvénynek a szélső értéke, majd ennek a függvénynek a deriváltja at y = y 0, ha létezik, egyenlő nullával:

(3)

A tétel bizonyítást nyert.

Vegye figyelembe, hogy az (1) feltételek teljesülnek csak szükséges extrém körülmények a ponton M0(x 0; y 0) függvény ezen a ponton differenciálható. Vagyis ezek a feltételek nem elegendő feltételek mi a lényeg M0(x 0; y 0) a függvénynek szélsőértéke lesz (maximum vagy minimum). Más szóval, időszak M0(x 0; y 0), amelyben mindkét (1) egyenlőség teljesül, az csak gyanús a függvény szélső pontjához. A végkövetkeztetés egy ilyen gyanús pont természetére vonatkozóan a következő tétel segítségével vonható le (levezetés nélkül mutatjuk be):

2. tétel.(Elegendő feltételek egy extrémumhoz)

Hadd M0(x 0; y 0) – egy ilyen pont a régióból D olyan függvény definiálása, amely szerint ennek a függvénynek a szélsőértékéhez szükséges feltételek (1) teljesülnek. Azaz M0(x 0; y 0) – extrémumra gyanús pont. Ezen a ponton keressük meg a számokat

(4)

1) Ha > 0 és > 0 (vagy С>0 at A=0), Ez M0(x 0; y 0) – a függvény minimális pontja .

2) Ha > 0 és < 0 (vagy VEL<0 at A=0), Ez M0(x 0; y 0) – a függvény maximális pontja .

3) Ha < 0, majd pont M0(x 0; y 0) – nem a függvény szélsőpontja .

4) Ha = 0, akkor a kérdés nyitott marad – további kutatásra van szükség.

1. példa Hadd XÉs at– két előállított áru mennyisége; p 1 = 8 dörzsölje. És p 2 = 10 dörzsölje. – az egyes áruk egységára; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) az ezen áruk előállítási költségeinek (rubelben) függvénye. Aztán bevétel Ráru eladásából lesz R = 8x+10y(dörzsölje.), és a profit P lesz (rubelben)

P = R – C = 8x+ 10y – 0,01(x 2 +xy+y 2).

Keressük a köteteket XÉs atáruk, amelyekből profit P maximális lesz.

1) Először keressük meg az értékeket ( x;y), gyanús a függvény szélsősége miatt P:

2) Most megvizsgáljuk a talált gyanús szélsőségfüggvényt P pont M 0(200; 400). Ehhez ezen a ponton megtaláljuk a (4) kifejezések által meghatározott értékeket. Mert

és ez mindenre igaz ( X; at), és ezért azon a ponton M 0(200; 400), akkor

Mert ez a lényeg M 0(200; 400) – a függvény maximális pontja P. Vagyis profit P az értékesítésből maximum at x = 200(egység)És y = 400(egység)és egyenlő 2800 rubel.

2. példa Keresse meg egy függvény szélsőpontját és szélsőértékét

Megoldás. Ez a függvény két változó függvénye, bármelyikhez definiálva XÉs at, vagyis az egész síkon hogyan, és minden pontban elsőrendű részleges deriváltjai vannak:

Először megkeressük a sík pontjait hogyan, gyanús ennek a függvénynek a szélsősége miatt:

Ezután, miután megtaláltuk a függvény másodrendű parciális deriváltjait, kifejezéseket írunk a következőkre:

Most, hogy kiszámoljuk ezeknek a mennyiségeknek a számértékeit mind a négy szélsőértékre gyanús pontra, a következő következtetéseket vonjuk le ezekről a pontokról:

Pont min.

Pont max.

Nem extrém pont.

Nem extrém pont.

Most keressük meg a függvény két szélső (maximális) értékét, amelyek meghatározzák a függvény grafikonjának két csúcsának magasságát:

Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékének meghatározása egy zárt tartományban.

Tekintsük a következő problémát. Legyen két változó valamilyen folytonos függvénye, zárt tartományban tekintve, ahol a tartomány belseje és G– szegélye (8.6. ábra).

Az a tény, hogy egy függvény folytonos a tartományban, azt jelenti, hogy ennek a függvénynek a grafikonja (felület a térben) folytonos (szakadások nélküli) felület minden . Vagyis a két változó függvényének folytonosságának fogalma hasonló egy változó függvényének folytonosságának fogalmához. Egy változó függvényeihez hasonlóan az elemi függvényekből képzett két változó függvényei folytonosak az argumentumaik minden értékére, amelyre definiálva vannak. Ez vonatkozik a három, négy vagy több változóból álló függvényekre is.

Térjünk vissza az ábrához. 2. Tegyük fel a következő kérdést: a régió mely pontjain éri el a függvény a legnagyobb és legkisebb értékét? z maxÉs z név? És mik ezek az értékek? Vegye figyelembe, hogy ez a probléma hasonló ahhoz, amelyet egy zárt intervallumon vett változó függvényében vettek figyelembe [ a; b] tengelyek Ó.

Nyilvánvaló, hogy a régió azon kívánt pontjai, amelyekben a függvény eléri a legnagyobb és minimális értékeit, vagy ennek a függvénynek a régión belül (a régióban) található szélső pontjai között találhatók, vagy valahol a határon találhatók. G ezt a területet. Egy zárt tartományban biztosan léteznek ilyen pontok (Weierstrass-tétel). És nyílt területen (határ nélkül G) előfordulhat, hogy nincsenek ilyen pontok.

A fentiekből a következők: diagram e pontok megtalálásához, hasonlóan az egy változó függvényeinél felvázolthoz.

1. Keresse meg a függvény összes olyan pontját, amely extrémumra gyanús és a területen található D. Ezek azok a pontok, ahol mindkét parciális derivált és egyenlő nullával (vagy az egyik nulla, a másik pedig nem létezik; vagy mindkettő nem létezik).

2. Keresse meg a függvény minden olyan pontját, amely szélsőségre gyanús és a határon található G területeken. Ebben az esetben a határegyenletet használjuk G.

3. Anélkül, hogy megvizsgálnánk az 1. és 2. lépésben talált gyanús pontokat (ez felesleges), minden talált gyanús ponton megkeressük a függvény értékeit, és kiválasztjuk azokat, ahol z lesz a legnagyobb és a legkisebb.

3. példa Lelet z maxÉs z név függvényt egy zárt tartományban tekintjük, ami egy csúcsokkal rendelkező háromszöglap O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (3. ábra).

Megoldás. Kövessük a fenti diagramot.

1. Keresse meg a háromszög belsejét (a területen D) gyanús pontok a funkciónk szélsőségére z. Ehhez először megkeressük az elsőrendű parciális deriváltokat és:

Ezek a származékok bármelyikre léteznek (ki lehet számítani). (x;y). Következésképpen az extrémum szempontjából csak azok a pontok gyanúsak, amelyeknél mindkét parciális derivált nulla:

A lényeg nyilván a régióhoz tartozik D(a kérdéses háromszögre). Vagyis egy adott függvény szélsőértékéhez gyanús pont z a háromszögben, és ő az egyetlen.

2. Keressünk most a háromszög határán lévő szélsőségre gyanús pontokat.

a) Először fedezzük fel a területet OA határok ( at= 0; 0 GBP X 1 font). Ebben a részben - egy változó függvénye X. A származéka mindenki számára létezik xÎ . Ezért szélső értékei függvények z lehet azon a ponton, ahol , azaz a pontban, vagy a szegmens végein OA, vagyis pontokon KÖRÜLBELÜL(0; 0) és A(1; 0).

b) Most fedezzük fel a területet OB a háromszög határai (ott X= 0; 0 GBP at 1 font). Ebben a részben a függvény (0 £ at£ 1) – egy változó függvénye at. Az a) pont indoklását megismételve arra a következtetésre jutunk, hogy szélső értékei függvények z lehet a szegmens pontjában vagy a végén OB, vagyis pontokon KÖRÜLBELÜL(0; 0) és B(0; 1).

c) Végül feltárjuk a területet AB határok. Azóta AB(erről győződj meg) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), akkor van egy függvény z a következő formát ölti: (0 £ X 1 font). Származéka tehát szélsőértékeinek függvénye z csak azt a pontot érheti el, ahol , vagyis a pontba, vagy a szakasz végein AB, vagyis pontokon AÉs IN.

Tehát az extrémumra gyanús függvény teljes pontkészlete
háromszögben OAV ez:

; ; ; ; ; ; .

3. Most keressük meg a függvény értékeit z minden talált gyanús ponton, és válassza ki a legnagyobb értéket ezek közül az értékek közül z maxés a legkisebb érték z név:

Így, z max = 3 és a függvény által érhető el z háromszögben OAV egyszerre két ponton – annak csúcsaiban AÉs IN. És a funkcióval érhető el z háromszögben OAV belső pontján.

4. példa A város költségvetésének lehetősége van legfeljebb 600 millió rubelt költeni szociális lakásokra, miközben projektjei és telkei 10 ötemeletes, egyenként 90 lakásos épület és 8 kilencemeletes, egyenként 120 lakásos épület számára vannak. Egy lakás átlagos becsült költsége egy ötemeletes épületben 400 ezer rubel, egy kilencemeletes épületben pedig 500 ezer rubel. Hány ötemeletes és hány kilencemeletes épületet építsen a város, hogy a lehető legtöbb lakást megkapja?

Megoldás. Hadd X– a szükséges számú ötemeletes épület, y – kilencemeletes, és z – lakások teljes száma ezekben az épületekben:

z = 90x+ 120y

Az ötemeletes épületekben lévő összes lakás ára 90 × 0,4 lesz X = 36X millió rubel, kilencemeletes épületekben pedig 120 × 0,5 at = 60at millió rubel. A probléma körülményei szerint a következőkkel rendelkezünk:

0 £ X 10 GBP; 0 GBP at 8 GBP; 36 X + 60at 600 GBP

Ezek a korlátozó egyenlőtlenségek nyilvánvalóan teljesülnek az ötszögben (4. ábra). Ezen a zárt területen meg kell találni egy pontot M(x;y), amelyhez a függvény z = 90x+ 120y a legnagyobb értéket veszi fel z max.

Valósítsuk meg a fenti sémát az ilyen problémák megoldására.

1. Keresse meg az ötszögön belül azokat a pontokat, amelyek gyanúsak a függvény szélsőértéke szempontjából z. Mert , és ezek a parciális deriváltak nyilvánvalóan nem egyenlők nullával, akkor az ötszögön belül nincsenek gyanús pontok az extrémumra.

2. Keresse meg a szélsőségre gyanús pontokat az ötszög határain. Az ötszög határát alkotó öt szakasz mindegyikén a függvény z– a forma lineáris függvénye z = ax + by, és ezért a legnagyobb és legkisebb értékeit a szegmensek határán éri el. Vagyis a kívánt maximális érték z max funkció z eléri valamelyik sarokpontot (O; A; M 1; M 2; B). Érték kiszámítása z ezeken a pontokon a következőket kapjuk:

z(KÖRÜLBELÜL) = 0; z( A) = 960; z( M 1) = 1260; z( M 2) = 1380; z( B) = 900.

Így z naimbo= 1380, és elérjük a pontban M 2(10; 4). Vagyis a legtöbb lakást (1380) akkor kapják, ha 10 ötemeletes és 4 kilencemeletes épületet építenek.

5. példa. Bizonyítsuk be, hogy az adott 2p kerületű háromszögek közül az egyenlő oldalú háromszögnek a legnagyobb az M(2p/3, 2p/3) területe a fennmaradó pontok nem elégítik ki a feladat értelmét: nem létezhet olyan háromszög, amelynek oldala egyenlő a kerület felével.

Megvizsgáljuk a szélsőpontot M(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B2=;

D>0, és mert A<0 , akkor a vizsgált pontban a függvény eléri a maximumot. Tehát egyetlen stacionárius pontban a függvény eléri a maximumát, tehát a legnagyobb értékét; így azzal x=2p/3, y=2p/3 a függvény eléri a maximális értékét. De akkor z=2p-x-y=2p/3. És mert x=y=z, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

Legmagasabb és legalacsonyabb értékek

A behatárolt zárt tartományba behatárolt függvény akár stacionárius, akár a tartomány határán fekvő pontokban éri el maximális és minimális értékét.

Egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értékének megtalálásához a következőket kell tennie:

1. Keresse meg a területen belül elhelyezkedő stacionárius pontokat, és számítsa ki bennük a függvény értékét!

2. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét a régió határán!

3. Hasonlítsa össze az összes kapott függvényértéket: a legnagyobb (legkisebb) a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke lesz ezen a területen.

2. példa. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét: körben.

Megoldás.

állópont; .

2 .E zárt terület határa egy kör vagy , ahol .

A tartomány határán lévő függvény egy változó függvényévé válik: , ahol . Keressük meg ennek a függvénynek a legnagyobb és legkisebb értékét.

Ha x=0 ; (0,-3) és (0,3) kritikus pontok.

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén

3 . Összehasonlítjuk az értékeket egymással,

Az A és B pontokban.

A C és D pontokban.

3. példa Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az egyenlőtlenséggel meghatározott zárt tartományban:

Megoldás. A terület egy háromszög, amelyet a koordinátatengelyek és az x+y=1 egyenes határol.

1. Helyhez kötött pontokat találunk a régión belül:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

A stacionárius pont nem tartozik a vizsgált régióhoz, így a benne lévő z érték nem kerül kiszámításra.

2 .Tanulmányozzuk a függvényt a határon. Mivel a határ három szakaszból áll, amelyeket három különböző egyenlet ír le, ezért minden szakaszon külön tanulmányozzuk a függvényt:

A) a 0A szakaszban: y=0 - 0A egyenlet, akkor ; az egyenletből jól látható, hogy a függvény 0A-val növekszik 0-ról 1-re. Ez azt jelenti.

b) a 0B szakaszban: x=0 - 0B egyenlet, akkor ; –6y+1=0; - kritikus pont.

V) az x+y = 1 egyenesen: y=1-x, akkor megkapjuk a függvényt

Számítsuk ki a z függvény értékét a B(0,1) pontban.

3 .A számokat összevetve azt kapjuk

Az AB egyenesen.

A B pontban.

A tudás önkontrollának tesztjei.

1. A függvény extrémuma az

a) elsőrendű származékai

b) egyenlete

c) az időbeosztását

d) maximuma vagy minimuma

2. Több változóból álló függvény extrémuma elérhető:

a) csak a definíciós tartományán belüli pontokban, ahol az összes elsőrendű parciális derivált nagyobb nullánál

b) csak azokon a pontokon, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol az összes elsőrendű parciális derivált nullánál kisebb

c) csak azokon a pontokon, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nem egyenlők nullával

d) csak a definíciós tartományán belüli pontokban, ahol minden elsőrendű parciális derivált nulla

3. Egy korlátozott zárt tartományban folytonos függvény eléri maximális és minimális értékét:

a) álló pontokon

b) akár állópontokon, akár a régió határán fekvő pontokon

c) a régió határán fekvő pontokon

d) minden ponton

4. Több változó függvényének stacionárius pontjai a következők:

a) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nem egyenlő nullával

b) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nagyobb nullánál

c) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nulla

d) amelyben minden elsőrendű parciális derivált kisebb, mint nulla

Több változó függvényei

1. Alapvető definíciók

1. definíció. Azt a megfelelést, amely megfelel az x és y változók értékének minden párjának (x; y), amelyek egy bizonyos D párhoz, egy és csak egy zÎR számhoz tartoznak, két változó függvényének nevezzük. állítsa be D-t R-ben lévő értékekkel. Ebben az esetben z = f (x;y)-t írunk. D = D(f) – az f függvény definíciós tartománya.

2. Két változó függvényének részleges és teljes növekménye

Ha két x és y változó z = f(x; y) függvényében rögzítjük az egyik értékét, például y = y 0, akkor z = f(x; y 0) függvényt kapunk, attól függően egy x változón.

Hasonlóképpen, ha az x = x 0 változót rögzítjük, akkor az egyik y változó z = f(x 0; y) függvényét kapjuk.

2. definíció. A D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0; y 0) mennyiséget ún. magán növekmény z = f(x; y) függvény az (x 0 ; y 0) pontban az x argumentumhoz képest.

3. definíció. A D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) mennyiséget ún. magán növekmény z = f(x; y) függvények az (x 0 ; y 0) pontban az y argumentum alapján.

4. definíció. A Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0; y 0) mennyiséget ún. teljes növekmény z = f(x; y) függvények az (x 0 ; y 0) pontban.

3. Két változó függvényének parciális deriváltjai

Legyen adott egy z = f(x; y) függvény két független x és y változóból. Az egyiket javítva, például y = const beállítással, egy x változó függvényéhez jutunk. Ezután bevezethetjük a kapott függvény deriváltjának fogalmát x-re vonatkozóan, amit jelölünk. Az egyik változó függvényének deriváltjának definíciója szerint:

5. definíció. A z=f(x; y) függvény z=f(x; y) részleges növekményének az x változóhoz viszonyított arányának az x változó Dx növekményéhez viszonyított határát, mivel Dx nullára hajlik, ún. részleges származéka függvények x-ben, és jelölése ; ;

Hasonlóan meghatározott és jelölve részleges származéka z = f(x; y) függvények az y változóban.

1. példa Keresse meg a függvények parciális deriváltjait:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Megoldás

1. Feltételezve, hogy y = const, és x-et független változónak tekintjük, azt találjuk

Hasonlóképpen x = const esetén azt kapjuk .

2. Amikor y = állandó

;

x = állandó

Minden, ami elhangzott, kiterjeszthető tetszőleges számú változó függvényére.

2. példa Keresse meg a függvények parciális deriváltjait

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).

Megoldás

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = állandó, y = állandó.

Mivel több változó függvényének parciális deriváltjai általában több változó függvényei is, ezekre is lehet parciális deriváltokat számítani. Ezeket a származékokat ún magasabb rendű részszármazékok.

Például egy két változóból álló f(x; y) függvényhez a következő típusú másodrendű származékok állnak rendelkezésre:

- második parciális derivált az x-hez képest;

és = - vegyes parciális származékok

- második parciális derivált y vonatkozásában.

4. Két változó függvényének teljes differenciája

6. definíció. A két x és y változó z=f(x;y) függvényének teljes differenciája a Dz teljes növekmény fő része, lineárisan a Dx és Dy argumentumok növekményeihez képest.

Figyelembe véve, hogy Dx = dx és Dy = dy, a z = f(x; y) függvény teljes differenciáját a következő képlettel számítjuk ki.

3. példa Számítsa ki egy függvény teljes differenciáját!

z = ln (x 2 + y 2).

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait

Miután behelyettesítettük őket a (3.5) képletbe, megkapjuk

dz =

Keresse meg a függvények parciális deriváltjait

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctan

Keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Ezt ellenőrizd

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctán

Keresse meg a függvények teljes differenciáját

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Két változó függvényének szélsőértéke

Alapvető definíciók

1. definíció. Az M(x 0 ; y 0) pontot a z = f(x; y) függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük, ha az M pontnak olyan környéke van, hogy ebből az összes (x; y) pontra szomszédságában a következő egyenlőtlenség érvényesül:

f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .

1. tétel (az extrémum létezésének szükséges feltétele) . Ha egy z = f(x; y) differenciálható függvény extrémumot ér el az M(x 0 ; y 0) pontban, akkor elsőrendű parciális deriváltjai ebben a pontban nullával egyenlők, azaz. ;

Azokat a pontokat, ahol a parciális deriváltak egyenlők nullával, nevezzük állandó vagy kritikus pontok.

2. tétel (elegendő feltétel az extrémum meglétéhez)

Legyen z = f(x; y) függvény:

a) az (x 0 ; y 0) pont egy bizonyos környezetében definiált, amelyben És ;

b) ezen a ponton folytonos másodrendű parciális deriváltjai vannak

;

Ekkor, ha D = AC - B 2 > 0, akkor az (x 0 ; y 0) pontban a z = f(x; y) függvénynek szélsőértéke van, és ha A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (vagy C > 0) – minimum. Ha D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

1. példa Határozzuk meg a z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y függvény szélsőértékét!

Megoldás. Keressük az elsőrendű parciális deriváltokat:

Használjuk ki szükséges feltétel szélsőség megléte:

Az egyenletrendszert megoldva megtaláljuk a stacionárius pontok x és y koordinátáit: x = 0; y = 3, azaz M(0; 3).

Számítsuk ki a másodrendű parciális deriváltokat, és keressük meg értéküket az M pontban.

A = = 2; C = = 2;

Tegyük fel a D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0 diszkriminánst. Ezért az M(0; 3) pontban adott funkciót minimuma van. A függvény értéke ezen a ponton z min = -9.

Keresse meg a függvények szélsőségeit

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értéke

Zárt területen

Annak érdekében, hogy megtalálja legnagyobbÉs legkevésbé egy függvény értékeit egy zárt régióban, akkor a következőket kell tennie:

1) keresse meg egy adott területen található kritikus pontokat, és számítsa ki a függvény értékeit ezeken a pontokon;

2) keresse meg a kritikus pontokat a régió határán, és számítsa ki a bennük lévő függvények legnagyobb és legkisebb értékét;

3) az összes talált érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

2. példa Keresse meg a z = függvény legnagyobb és legkisebb értékét a körben x 2 + y 2 £ 1.

Megoldás. Keressük meg a vizsgált tartományon belül elhelyezkedő kritikus pontok koordinátáit, amelyekhez kiszámítjuk a z függvény elsőrendű parciális deriváltjait, és egyenlővé tesszük őket nullával.

ahol x = 0, y = 0, és ezért M(0; 0) kritikus pont.

Számítsuk ki a z függvény értékét az M(0; 0) pontban: z(0; 0) = 2.

Keressük meg a terület határának kritikus pontjait - az x 2 + y 2 = 1 egyenlettel meghatározott kör. Ha y 2 = 1 - x 2-t behelyettesítünk a z = z(x; y) függvénybe, egy függvényt kapunk. egy változóból

z = ;

ahol xО[-1; 1].

A derivált kiszámítása után és nullával egyenlővé téve kritikus pontokat kapunk az x 1 = 0, x 2 = , x 3 = tartomány határán.

Keressük meg a z(x) = függvény értékét a kritikus pontokban és a szakasz végein [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Válasszuk ki a z függvény értékei közül a legnagyobbat és a legkisebbet a kör belsejében és határán található kritikus pontokban.

Tehát z max. = z(0; 0) = 2

z név = z

Feltételes szélsőség

2. definíció. A z = f(x; y) függvény feltételes szélsőértéke ennek a függvénynek a szélsőértéke, amelyet azzal a feltétellel érünk el, hogy az x és y változókat a j(x; y) = 0 egyenlet (kapcsolati egyenlet) kapcsolja össze. , y = .

Így a hipotenusznak akkor van a legkisebb értéke, ha a háromszög lábai egyenlőek egymással.

Keresse meg a függvények legnagyobb és legkisebb értékét:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x az x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0 egyenesek által határolt zárt területen.

333. z = xy + x + y az x = 1, x = 2, y = 2, y = 3 egyenesekkel határolt négyzetben.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y az x = 1, y = 1, x + y = 1 egyenesekkel határolt háromszögben.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) a 0 £ x £ , 0 £ y £ tartományban.

336. z = xy az x 2 + y 2 £ 1 körben.

337. z = 1 - x 2 - y 2 a körben (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 az (x - ) 2 + (y - ) 2 körben 9 £.

339. Határozzuk meg a z = x 2 + y 2 függvény szélsőértékét, ha x és y összefügg az = 1 egyenlettel!

340. Határozzuk meg a P kerületű háromszögek közül a legnagyobb területet.

341. Adott S területű téglalapok közül keressük meg azt, amelynek kerülete a legkisebb értékű.

342. Határozza meg a legkisebb felületű V térfogatú nyitott medence méreteit!

343. Határozzuk meg egy téglalap alakú paralelepipedon méreteit, amelynek maximális térfogata van egy adott S teljes felülethez!

344. Határozza meg a legnagyobb térfogatú henger méreteit, feltéve, hogy teljes felülete S = 6p!

* A fogalmak alatt konvexÉs homorúság A függvénygrafikonokat meg kell érteni kidomborodikÉs le- illetőleg.